2.1 直线的倾斜角与斜率
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：直线倾斜角的定义.......................................................... 2
考点二：直线的斜率................................................................... 2
考点三：过两点的直线的斜率公式..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：直线的倾斜角与斜率定义..................................................3
题型二：倾斜角与斜率................................................................ 6
题型三：两点与斜率................................................................... 8
题型四：直线方向向量与斜率....................................................... 9
题型五：斜率与倾斜角概念辨析...................................................10
题型六：斜率与倾斜角的变化关系................................................11
题型七：直线与线段相交求斜率范围.............................................15
题型八：共线问题.................................................................... 18
题型九：倾斜角与斜率求参数......................................................19
题型十：斜率公式的几何意义应用................................................21
模块三：综合巩固....................................................................... 23
2.1 直线的倾斜角与斜率
模块一：基础知识
考点一：直线倾斜角的定义
1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴称为基准，x 轴的正向与l 向上的方向之间所产生的
角叫做直线l 的倾斜角．【13723366289】
2.倾斜角的范围：
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为
0
180
，具体如下：
倾斜角
0
0
90
90
90
180
直线图示
3.对倾斜角的理解
（1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②x 轴正向；③小于180的角．
（2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
（3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．
（4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直
线的位置．
考点二：直线的斜率
1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（
90
）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表
示，即
tan
k
．
2.倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于x 轴
由左向右上升
垂直于x 轴
由左向右下降
的大小
0
0
90
90
90
180
k 的取值范围
0
k
0
k
不存在
0
k
k 的增减性
—
k 随的增大而增大
—
k 随的增大而减增大
3.倾斜角与斜率的区别和联系
（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角
可以互相转化．因此，确定一条不垂直于x 轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可．
考点三：过两点的直线的斜率公式
1.斜率公式：如果直线经过两点
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
（
1
2
x
x
），那么可得到如下斜率公式：
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．
2.对斜率公式的理解
（1）当
1
2
x
x
时，直线与x 轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研
究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况．
（2）直线的斜率公式中k 的值与
1P ，
2P 两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其
斜率均不变．
（3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，
如果分子式
2
1
y
y
，分母必须是
2
1
x
x
；如果分子是
1
2
y
y
，分母必须是
1
2
x
x
，即
2
1
1
2
2
1
1
2
y
y
y
y
k
x
x
x
x
．
（4）当
1
2
y
y
时，斜率
0
k
，直线的倾斜角
0
，直线与x 轴重合或者平行。【13723366289】
3.直线的斜率与方向向量的关系
我们知道直线
1
2
PP 上的向量
1 2
PP
以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线
1
2
PP 的方向向量
1 2
PP
的
坐标为
2
1
2
1
(
,
)
x
x y
y
．当直线
1 2
PP 与x 轴不垂直时，此时向量
1
2
2
1
1
PP
x
x
也是直线
1
2
PP 的方向向量，且
它的坐标
2
1
2
1
2
1
1
(
,
)
x
x y
y
x
x
，即
2
1
2
1
(1,
)
(1, )
y
y
k
x
x
，其中k 是直线
1 2
PP 的斜率．因此，若直线l 的
斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为( , )
x y ，则斜率为
y
k
x
．
模块二：题型分类
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
1.直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,π
B．
π
π
0,
, π
2
2
C．
0,2π
D．
0,π
【答案】D
【解析】直线l 的倾斜角是指直线向上的方向与x 轴的正半轴之间所成的角，故的取值范围是
0,π
.
故选：D
2．图中�能表示直线�的倾斜角的是（
）
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.
【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的�为直线�的倾斜角，
图③中的�的对顶角为直线�的倾斜角，
图②中的�的补角为直线�的倾斜角，
图④中的�+ ��°为直线�的倾斜角.
故符合题意的只有①③.
故选：C
3．已知直线�1的倾斜角�1 = 15°，直线�1与�2的交点为�，直线�1和�2向上的方向之间所成的角为120°，如
图所示，求直线�2的倾斜角.
【答案】���°
【分析】根据给定图形，结合倾斜角的定义求解.
【详解】设直线��的倾斜角为��，结合图形及三角形外角与内角的关系，
得��= ���° + ��= ���° + ��° = ���°，
所以直线��的倾斜角为���°.
4．已知�−2,0 ，�−5,3 ，则直线��的倾斜角为（
）
A．
π
4
B．
π
3
C．
2π
3
D．
3π
4
【答案】D
【分析】根据斜率公式求出���，再根据斜率与倾斜角的关系判断即可.
【详解】因为�−�, �，�−�, �，所以���=
�
−�−−�=−�，
设直线��的倾斜角为�，则����= ���=−�，又�∈�,π ，
所以�=
�π
�，即直线��的倾斜角为
�π
�.
故选：D
5．直线�经过�4,2 3 , �3,
3 两点，则�的倾斜角是（
）
A．−
π
6
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
【答案】C
【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案.
【详解】由题知：���=
�−��
�−�
=
�，设直线的倾斜角为�，故����=
�，所以倾斜角�=
π
�.故选：C
6．已知直线�的方程为�= �+ 1，则直线�的倾斜角为（
）
A．45°
B．90°
C．120°
D．135°
【答案】A
【分析】根据直线的斜率的定义即可求解.
【详解】由题意知，直线l 的斜率为�= �，设直线l 的倾斜角为�(�≤�< ���°)，则����= �，
解得�= ��°，即直线l 的倾斜角为��°.故选：A
7.直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是（
）
A．0
90
B．90
180
C．90
180
D．0
180
【答案】C
【解析】直线倾斜角的取值范围是0
180
，又直线l 经过第二、四象限，
所以直线l 的倾斜角范围是90
180
.
故选：C
8.(多选)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，
那么l1 的倾斜角可能为(
)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α－45°
答案
AB
解析
根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，l1 的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1 的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
9.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________．
答案
60°或120°
解析
有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°.
(1)
(2)
②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°.
10.已知直线l1 的倾斜角α1＝15°，直线l1 与l2 的交点为A，直线l1 和l2 向上的方向所成的角为120°，如图，
则直线l2 的倾斜角为________．
答案
135°
解析
设直线l2 的倾斜角为α2，l1 和l2 向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
题型二：倾斜角与斜率
1.若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为________．
答案
－3，k=tanα=tan120°=－3
2.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为60，则该直线的斜率为
.
【答案】
3
【分析】根据斜率与倾斜角的关系计算可得.
【详解】因为直线的倾斜角为60，所以直线斜率
tan 60
3
k
.
故答案为：
3
3.直线
3
3
y
x
的倾斜角等于（
）
A．30
B．60
C．120
D．150
【答案】B
【分析】利用倾斜角和斜率的关系处理即可.
【详解】化简得
3
3
y
x
，显然斜率为
3 ，故倾斜角为60.
故选：B
4.直线
3
10086
y
x
的倾斜角为
.
【答案】3
/60
【分析】由题意，根据斜率的定义直接得出结果.
【详解】由题意知，直线的斜率
3
k
，
设直线的倾斜角为，则tan
3
，
所以π
3 .
故答案为：π
3
5.直线
12
y
x
的倾斜角是（
）
A．π
4
B．π
2
C．3π
4
D．π
3
【答案】C
【分析】求出直线的斜率即可求解.
【详解】因为
12
0
x
y
，所以
12
y
x
，
所以直线
12
0
x
y
的斜率为1
，所以直线
12
0
x
y
的倾斜角为3π
4 .
故选：C.
6.已知直线
3
2
y
a
x
的倾斜角为30，则
a
（
）
A．2 3
B．4 3
3
C．2 3
3
D．0
【答案】C
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，求a 的值.
【详解】直线
3
2
0
a
x
y
的斜率为
3
a
，所以
3
tan30
3
3
a
，
解得
2 3
3
a
.
故选：C.
7.已知直线l 的方程为
3
3
3
3
y
x
m
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．5π
6
D．不确定
【答案】A
【分析】求出直线l 的斜率，根据斜率再求直线l 的倾斜角即可.
【详解】直线l 的方程为
3
0
x
y
m
，即
3
3
3
3
y
x
m
，
则直线l 的斜率为
3
3
，设直线l 的倾斜角为，所以
3
tan
3
，
因为0
π
，所以
π
6
.
故选：A.
题型三：两点与斜率
1.直线l 经过
4,2 3 ,
3, 3
A
B
两点，则l 的倾斜角是（
）
A．
π
6
B．π
6
C．π
3
D．π
2
【答案】C
【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案.
【详解】由题知：
3
2 3
3
3
4
AB
k
，
设直线的倾斜角为，故tan
3
，
所以倾斜角
π
3
.
故选：C
2.已知直线l 经过两点
2,6
M
，
4, 2
N
，则它的斜率为
．
【答案】4
3 / 1
13
【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率.
【详解】因为直线l 经过两点
2,6
M
，
4, 2
N
，
所以它的斜率为6
( 2)
4
2
( 4)
3
.
故答案为：4
3 .
3.若直线经过
1,0 ,
4,3
A
B
两点，则直线AB 的倾斜角为（
）
A．30
B．45
C．60
D．120
【答案】B
【解析】由,A B 两点的坐标代入两点间的斜率公式可得
0
3
1
1 4
AB
k
，
设直线AB 的倾斜角为
,
0,π
，可知tan
1
，所以
π
45
4
.
故选：B
4.已知直线l 的倾斜角为π
3 ，且直线经过
( 2, 3)
P
，
(
,0)
Q
m
两点，则实数m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由题意，直线l 的斜率为
π
3
0
tan
3
3
2
k
m
，解得
3
m
，故选：B．
5.求经过两点
2 ,1
A
m
，
,2
B m
mR 的直线l 的斜率．
【答案】答案见解析
【分析】由斜率的概念以及过两点的斜率公式可直接求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】当2m
m
，即
0
m
时，直线l 垂直于x 轴，其斜率不存在；
当2m
m
，即
0
m
时，直线l 的斜率
2 1
1
2
k
m
m
m
题型四：直线方向向量与斜率
1．已知( −3,
3)是直线�的一个方向向量，则直线�的倾斜角为（
）【13723366289】
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
【答案】D
【分析】由直线�的方向向量可知直线�的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线�的倾斜角为�∈�,π ，由直线�的方向向量可知直线�的斜率�= ����=−
�
�，所以�=
�π
�.
故选：D.
2．已知直线�的一个方向向量为4, −4 ，则直线�的倾斜角�=
．【13723366289】
【答案】���°/
�
��
【分析】根据给定条件，求出直线�的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线�的一个方向向量为�, −�，得直线�的斜率�= tan�=
−�
�=−�，而�° ≤�< ���°，
所以�= ���°.故答案为：���°
3.经过(0,4), ( 1,3)
A
B
两点的直线的方向向量(1, )
k ，则k （
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题意
1, 1
AB
与直线的方向向量(1, )
k 共线，所以1
1
1
k
，解得
1
k .故选：C.
题型五：斜率与倾斜角概念辨析
1.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（
）
A．任意一条直线都有斜率
B．倾斜角的范围为
0,π
C．倾斜角为0 的直线只有一条，即x 轴
D．若直线的倾斜角为，则sin
(0,1)
【答案】B
【解析】对于A，垂直于x 轴的直线没有斜率，A 错误；
对于B，直线倾斜角的范围为[0,π) ，B 正确；
对于C，垂直于y 轴的直线倾斜角都为0，C 错误；
对于D，直线的倾斜角为，则sin
[0,1]
，D 错误.故选：B
2.在下列四个命题中，正确的是（
）
A．若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
D．直线的倾斜角的取值范围是
0,π
【答案】D
【解析】对于A，直线y
x
的斜率为1，而
5π
tan
1
4 ，显然5π
4 不是直线y
x
的倾斜角，A 错误；
对于B，直线
1
x 的倾斜角为π
2 ，而直线
1
x 的斜率不存在，B 错误；
对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x 轴的直线没有斜率，C 错误；
对于D，直线的倾斜角的取值范围是
0,π ，D 正确.故选：D
3.（多选）已知直线的倾斜角为，斜率为k ，则下列命题正确的有（
）
A．k 存在则一定存在
B．存在则k 一定存在
C．有些直线不存在，但存在k
D．有些直线不存在k ，但存在
【答案】AD
【解析】所有直线都有倾斜角，但倾斜角
90
时直线没有斜率.
由此可知，AD 正确；BC 错误.故选：AD.
4.（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（
）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为tan
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0或90
【答案】ABC
【解析】对于A，当直线的倾斜角为90时，直线没有斜率，故A 错误；
对于B，当直线的倾斜角为45时，斜率为1，
当直线的倾斜角为135时，斜率为1
，故B 错误；
对于C，若一条直线的倾斜角为
90
，则该直线的斜率不存在，故C 错误；
对于D，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角是90，
当直线与y 轴垂直时，直线的倾斜角是0，
即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0或90，故D 正确.故选：ABC.
题型六：斜率与倾斜角的变化关系
1．直线的斜率
（1）当倾斜角�≠
π
2时，定义tan�为直线l 的斜率，常用字母k 表示，即
；当�=
π
2，即直线l 与x
轴垂直时，我们说直线l 的斜率不存在．倾斜角不是
π
2的直线都有斜率，其取值范围是−∞, + ∞．
（2）直线上任意两点��1, �1 、��2, �2 ，当�1 ≠�2时，�=
；当�1 = �2时，斜率k
．
（3）事实上，�= tan�即正切函数在0,π 上的图像受正切函数定义域的限制，�= tan�在0,π 上的图像不
连续，从而�= tan�在0,
π
2 及
π
2 ,π 上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求
得斜率k 的范围，再取并集即可．
（4）斜率k 和倾斜角θ之间的关系
θ
0
0 < �
< π
2
π
2
π
2 < �
< π
k
【答案】
�= �����≠
π
�
��−��
��−��
不存在
0
�> �
不存在
�< �
【分析】略
【详解】略
2．已知两条直线�1，�2的斜率分别为�1，�2，倾斜角分别为�，�.若�<
π
2 < �，则下列关系正确的是（
）
A．0 < �1 < �2
B．�1 < �2 < 0
C．�1 < 0 < �2
D．�2 < 0 < �1
【答案】D
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数�= ����的单调性即可得解.
【详解】依题意得，��= ����，��= ����，�∈�,
�
�，�∈
�
�, �，
而�= ����在�,
π
2 和
π
2 ,π 上单调递增，且在�,
π
2 上，�= ����> �，
在
π
2 ,π 上�= ����< �，所以����< �< ����，即��< �< ��.
故选：D
3．已知直线�的倾斜角为�，并且0° ≤�< 120°，直线�的斜率�的范围是（
）
A．−
3 < �≤0
B．�>−
3
C．�≥0 或�<−
3
D．�≥0 或�<−
3
3
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.
【详解】因为斜率�= ����，且�° ≤�< ���°，其中�= ��°时直线�无斜率，
当�° ≤�< ��°时，得�≥�；
当��° < �< ���°时，得�<−
�；
故选：C.
4.如图，已知直线1
2
3
, ,
l l l 的斜率分别为
1
2
3
,
,
k k k ，则（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
3
2
1
k
k
k
D．
1
3
2
k
k
k
【答案】D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】设直线1
2
3
, ,
l l l 的倾斜角分别为
1
2
3
,
,
，
由题图知，直线1l 的倾斜角
1a 为钝角，
1
0
k
.
又直线2
3
,
l l 的倾斜角
2
3
,
均为锐角，且
2
3
，
3
2
0
k
k
，
1
3
2
k
k
k
.
故选：D.
5.直线1l ，2l ，3l ，4l 的图象如图所示，则斜率最小的直线是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．4l
【答案】B
【解析】由图知：
3
4
1
2
0
l
l
l
l
k
k
k
k
，故斜率最小的直线是2l .
故选：B
6.设直线l 的方程为
cos
1
y
x
，则直线l 的倾斜角的范围是（
）
A．[0, ]
B．
π
0, 4
C．π 3π
,
4
4
D．
π
3π
0,
,π
4
4
【答案】D
【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为直线cos
1
0
x
y
的斜率
cos
1,1
k
，即
tan
1,1
，
又
0,π
，
所以
π
3π
0,
, π
4
4
，
故选：D
7.直线
3sin
2
y
x
的倾斜角的取值范围是
．
【答案】
π
2π
0,
,π
3
3
U
【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得.
【详解】tan
3sin
3, 3
，故
π
2π
0,
,π
3
3
.
故答案为：
π
2π
0,
,π
3
3
U
.
8.直线
2
2
1
1
1
1
y
x
a
a
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．3π ,π
4
C．π π
,
4 2
D．
π 3π
,
2
4
【答案】B
【分析】
先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.
【详解】
直线
2
1
1
0(
R)
x
a
y
a
的斜率为
2
1
1
a
，
由于
2
1
0
1
1
a
，设倾斜角为，
则0
π
，1
tan
0
，
所以3π
π
4
.
故选：B.
9.若直线m 的斜率
, 1
1, 3
k
，则直线m 的倾斜角的取值范围是
．
【答案】
π π
π 3π
,
,
4 3
2
4
【分析】利用倾斜角与斜率的定义、正切函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】解：设直线m 的倾斜角为，则
0,π
，斜率
π
tan
2
k
.
由题意，直线m 的斜率
tan
, 1
1, 3
k
，则：
当tan
1
时，π
3π
2
4
；
当1
tan
3
时，π
π
4
3
；
综上知，直线m 的倾斜角的取值范围是
π π
π 3π
,
,
4 3
2
4
.
故答案为：
π π
π 3π
,
,
4 3
2
4
10.直线
2
1
1
0(
R)
x
a
y
a
的倾斜角的取值范围是（
）
A．
π
0, 4
B．3π ,π
4
C．π π
,
4 2
D．
π 3π
,
2
4
【答案】B
【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.
【详解】直线
2
1
1
0(
R)
x
a
y
a
的斜率为
2
1
1
a
，
由于
2
1
0
1
1
a
，设倾斜角为，
则0
π
，1
tan
0
，
所以3π
π
4
.
故选：B.
题型七：直线与线段相交求斜率范围
1.设点
(4, 3),
( 2, 2)
A
B
，直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率
k 的取值范围是（
）
A．
1
k 或
4
k
B．
1
k 或
4
3
k
C．4
1
k
D．
4
1
3
k
【答案】B
【分析】根据给定条件求出直线
,
PA PB 的斜率，再画出图形分析可得
PA
k
k
或
PB
k
k
，从而即可得解.
【详解】依题意，直线
,
PA PB 的斜率分别为
1
3
1
2
4 ,
1
1 4
3
1
2
PA
PB
k
k
，
如图所示：
若直线l 过点
(1,1)
P
且与线段AB 相交，
则l 的斜率k 满足
4
3
PA
k
k
或
1
PB
k
k
，
即l 的斜率k 的取值范围是
1
k 或
4
3
k
.
故选：B
2.已知点
1,1
A
、
1,2
B
、
0, 1
C
，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范
围是（
）
A．
2,3
B．
2,0
0,3
C．
, 2
3,
D．以上都不对
【答案】C
【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率
AC
k
k
或
BC
k
k
，进而
求解即可
【详解】如图，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率
AC
k
k
或
BC
k
k
，
而
2,
3
AC
BC
k
k
，于是直线l 的斜率
2
k 或
3
k
，
所以直线l 斜率k 的取值范围是(
, 2]
[3,
)
，
故选：C
3.已知点
(2,1)
A
，
( 2,2)
B
，若直线l 过点
4
1
(
,
)
5
5
P
，且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围
是
．
【答案】
11
3
(
,
]
[ ,
)
6
7
【分析】
根据题意，利用斜率公式，分别求得线PA 和直线PB 的斜率，结合图象，即可求解.
【详解】
由题意，点
(2,1), ( 2,2)
A
B
，直线l 过点
4
1
(
,
)
5
5
P
，
可得直线PA 的斜率为
7
1
1
5
3
4
2
5
PA
k
，直线PB 的斜率为
6
1
2
5
4
2
5
11
PB
k
，
如图所示，要使得直线l 与线段AB 有交点，
则直线l 的斜率k 的取值范围为
11
3
(
,
]
[ ,
)
6
7
.
故答案为：
11
3
(
,
]
[ ,
)
6
7
.
4.已知两点
3,2
A
，
2,1
B
，过点
0, 1
P
的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值
范围为（
）
A．
, 1
1,
B．[ 1,1]
C．
1
,
1,
5
D．
1,1
5
【答案】A
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【详解】如图所示，
直线PB 逆时针旋转到PA 的位置才能保证过点
0, 1
P
的直线与线段AB 有交点，
从PB 转到PF 过程中，倾斜角变大到π
2 ，斜率变大到正无穷，
此时斜率
1
1
1
2
0
PB
k
，所以此时
1,
k
；
从PF 旋转到PA 过程中，倾斜角从π
2 开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率
2
1
1
3
0
PA
k
，所以此时
, 1
k
，
综上可得直线l 的斜率的取值范围为
, 1
1,
.
故选：A
5.若点
2, 3
3, 2
A
B
,
，直线l 过点
1,1
P
且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．
3
4
,
,
4
3
B．
4
3
,
3
4
C．
4
3
,
,
3
4
D．3 4
,
4 3
【答案】D
【分析】直线PA 和PB 的斜率，结合图形判断直线l 与线段AB 相交时斜率k 的取值范围.
【详解】因为
1
3
4
1
2
3
PA
k
，
1
2
3
1
3
4
PB
k
.
由图可知，直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率k 的取值范围是3
4
4
3
k
.
故选：D
题型八：共线问题
1.若三点
2,3
A
，
3, 2
B
，
1 ,
2
C
m
共线，则m
.
【答案】21
2
【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得.
【详解】由题意，直线AB 的斜率为
1
3
2
5
2
3
k
，直线BC 的斜率为：
2
2
2 (
2)
1
5
3
2
m
k
m
，
因
, ,
A B C 三点共线，故
1
2
k
k
，即
2 (
2)
5
5 m
，解得：
21
2
m
.
故答案为：21
2 .
2.已知
0 3
1 2 ,
3,
A
B
C
m
, ,
,
三点共线，则实数m 的值为
．
【答案】0
【分析】根据A，B，C 三点共线可得
AB
BC
k
k
，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可.
【详解】由
0 3
1 2 ,
3,
A
B
C
m
, ,
,
三点共线可得
AB
BC
k
k
，
即2
3
2
1 0
3 1
m
，解得
0
m
.
故答案为：0.
3.已知
2
A a
( ，)，
(51)
B ，，
4 2
C
a
(
，)三点在同一条直线上，求a 的值．
【答案】2 或7
2
【分析】利用点共线的定义求解参数即可.
【详解】
, ,
A B C
三点共线，
AB
BC
k
k
，
2 1
2
1
5
4
5
a
a
，解得
2
a
或
7
2
a
．
故所求的a 的值为2 或7
2 ．
题型九：倾斜角与斜率求参数
1.已知直线l 的倾斜角为π
3 ，且直线经过
( 2, 3)
P
，
(
,0)
Q
m
两点，则实数m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据斜率公式计算即可.
【详解】由题意，直线l 的斜率为
π
3
0
tan
3
3
2
k
m
，
解得
3
m
，
故选：B．
2.若经过
1,3
A m
，
,1
B m
m
两点的直线的倾斜角是π
4 ，则m （
）
A．3
B．0
C．1
D．3
【答案】A
【分析】根据斜率公式计算即可.
【详解】由题意可得
1
3
π
tan
1
1
4
AB
m
k
m
m
，解得
3
m .
故选：A.
3.已知坐标平面内两个不同的点
1(1,1)
P
，
2
2
2(
,
3
3)
P a a
a
（a R ），若直线
1
2
PP 的倾斜角是钝角，则a 的
取值范围是
【答案】
1,1
1,2
【解析】因为直线
1
2
PP 的倾斜角是钝角，所以直线
1
2
PP 的斜率k 存在,且
0
k
,
2
2
2
1
3
3 1
1
1
1
a
a
a
a
k
a
a
a
,
则
2
2
1
0
2
1
0
0
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
k
a
a
a
a
a
,解得
1,1
1,2
a
.
故答案为:
1,1
1,2
.
4.若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m 的取值范围是
．
【答案】
4 ,39
3
【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k
则
2
(1
)
1
tan
4
(1
)
3
a
a
a
k
a
a
，又α为钝角
∴
1
0
3
a
a
，即(
1)(
3)
0
a
a
，故3
1
a
，
因为关于a 的函数
2
3
4
m
a
a
的对称轴为
2
3
a
∴
2
2
2
2
3
4
3 ( 3)
4 ( 3)
3
3
m
-
∴实数m 的取值范围是
4 ,39
3
.
5.若三点
2,2
A
，
,0
B a
，
0,
C
b ，（
0
ab
）共线，则1
1
a
b
的值等于
.
【答案】1
2 /0.5
【解析】由题知，直线AC 的斜率存在，由三点共线可知
2
a
.
由
AB
AC
k
k
得：2
0
2
2
2
0
b
a
，即
1
2
a
b
ab
，又
0
ab
，
∴1
1
1
2
a
b
.
故答案为：1
2
6.已知
1,2 ,
3,2
A
B
，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2 和2
，则P 点的坐标为
．
【答案】
1,6
【解析】设
,
P x y ，显然
1,
3
x
x
，则
2
2
2,
2
1
3
y
y
x
x
，
解得
1,
6
x
y
，所以
1,6
P
.
故答案为：
1,6
7.若过
2
2
2,2
3
A m
m
、
2
3
,2
B
m
m
m
，两点的直线倾斜角为45，则m
．
【答案】
2
3
【解析】已知点
2
2
2,2
3
A m
m
、
2
3
,2
B
m
m
m
，且直线AB 的倾斜角为45，
则
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
tan 45
1
2
1
2
3
AB
m
m
m
m
k
m
m
m
m
m
，
整理可得
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
m
m
m
m
m
m
，解得
2
3
m
.
故答案为：
2
3
.
题型十：斜率公式的几何意义应用
1.已知实数x、y 满足方程
1
3
2
y
x
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围是
．
【答案】
0,1
【分析】将
1
2
y
x
的范围转化为线段AB 上的点与
2,1
C
构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可.
【详解】
方程
2
6
0
x
y
，令
0
x
，则
3
y ，令
4
x
，则
1
y ，
设点
0,3
A
，
4,1
B
，
所以
1
2
y
x
可以表示线段AB 上的点与
2,1
C
构成的直线的斜率，
3 1
1
0
2
AC
k
，
0
BC
k
，
所以
1
2
y
x
的取值范围为
0,1 .
故答案为：
0,1 .
2.已知正ABC
的顶点
1,1
A
，
1,3
B
，顶点C 在第一象限，若点
,
P x y 是ABC
内部及其边界上一点，
则
1
y
x 的最大值为（
）
A．1
2
B．3
2
C．2
3
D．3 3
3
2
【答案】B
【解析】正ABC
的顶点
1,1
A
，
1,3
B
且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为(1
3
，2) ，
1
y
x 可看作ABC
内部及其边界上一点与点
1,0
的连线斜率，
当P 运动到点
1,3
B
时，直线的斜率最大，故
1
y
x 的最大值为
3
3
1 1
2
故选：B.
3.已知函数
ln
1
f x
x
.则
2
3
1 ,
,
2
3
f
f
f
的大小关系为（）
A．
2
3
1
2
3
f
f
f
B．
3
2
1
3
2
f
f
f
C．
3
2
1
3
2
f
f
f
D．
2
3
1
2
3
f
f
f
【答案】C
【解析】将函数
ln
y
x
图象向左平移1 个单位长度可得函数
ln(
1)
y
x
的图象，如图，
由图可知，函数
ln
1
y
x
在
0,上单调递增，
点(1, (1)),(2, (2)),(3, (3))
f
f
f
分别与原点(0,0) 的连线的斜率随着x 的增大而减小，
即
(1)
0
(2)
0
(3)
0
1 0
2
0
3
0
f
f
f
，所以
(2)
(3)
(1)
2
3
f
f
f
.故选：C
4.已知实数x、y 满足方程
2
6
0
x
y
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围是
．
【答案】
0,1
【解析】
方程
2
6
0
x
y
，令
0
x
，则
3
y ，令
4
x
，则
1
y ，
设点
0,3
A
，
4,1
B
，
所以
1
2
y
x
可以表示线段AB 上的点与
2,1
C
构成的直线的斜率，
3 1
1
0
2
AC
k
，
0
BC
k
，
所以
1
2
y
x
的取值范围为
0,1 .
5.点
1
1
,
M x y
在函数
ex
y
的图象上，当
1
0,1
x
，则
1
1
1
1
y
x
的取值范围为
.
【答案】
, 2
【解析】由
1
1
1
1
y
x
表示
1
1
,
M x y
与点
1, 1
A
所成直线的斜率k ，
又由
1
1
,
M x y
是
ex
y
在
0,1
x
部分图象上的动点，
如图所示：可得
(0,1),
(1,e)
C
B
，则
2
AC
k
，
所以
2
k ，即k 的取值范围为
, 2
.
模块三：综合巩固
1.图中能表示直线l 的倾斜角的是（
）这个题重复出现了
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
【答案】C
【解析】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线l 的倾斜角，
图③中的的对顶角为直线l 的倾斜角，
图②中的的补角为直线l 的倾斜角，
图④中的
90
为直线l 的倾斜角.
故符合题意的只有①③.故选：C
2.经过两点
2,
,
,4
A
m
B
m
的直线l 的倾斜角为135，则m 的值为（
）
A．-2
B．1
C．3
D．4
【答案】B
【解析】经过两点
2,
,
,4
A
m
B
m
的直线l 的斜率为
4
2
m
k
m
，
又直线l 的倾斜角为135，所以
4
tan135
1
2
m
m
，解得
1
m .故选：B.
3.（多选）下列命题中，正确的是（
）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为30
C．倾斜角为0的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则sin
(0,1)
【答案】AC
【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC 正确，B 错误，举反例得到D 错误，得到答案.
【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确；
对选项B：倾斜角的范围是0
180
，不可能为负，错误；
对选项C：倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，正确；
对选项D：当
0
时，sin
0
；当
90
时，sin
1
，错误.
故选：AC
4.若
1,2
A
，
3,
B
m ，
7,
2
C
m
三点共线，则实数m 的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．3
【答案】D
【解析】因为3
1
，直线AB 斜率存在，A ，B ，C 三点共线，则
AB
AC
k
k
，
即
2
2
2
3 1
7
1
m
m
，解得
3
m
．故选：D
5.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若
1, 3
A
，
1,3
B
，则直线AB 的倾斜角为90
C．若直线过点
1,2 ，且它的倾斜角为45，则这条直线必过点
3,4
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan
【答案】BC
【分析】根据斜率与倾斜角的关系以及两点间斜率公式，即可逐个选项判断.
【详解】对于A，若直线倾斜角大于90，则直线的斜率存在负值，故A 错；
由
1, 3
A
，
1,3
B
，可知直线AB 与x 轴垂直，则其倾斜角为90，故B 正确；
对于C，直线倾斜角为45，则斜率
1
k ，又过
1,2 ，且4
2
1
3 1
，故C 正确；
直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是tan90，D 错.
故选：BC
6.如图所示，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k 的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
2
1
3
k
k
k
D．
2
3
1
k
k
k
【答案】C
【解析】由
tan
k
，结合
tan
y
x
的函数图像，
直线3l 对应的倾斜角为钝角，则
3
0
k
直线1l 与2l 都为锐角，且2l 的倾斜角大于1l 的倾斜角，
则
2
1
0
k
k
，故
2
1
3
k
k
k
.故选：C
7.已知直线1l 的倾斜角是，直线2l 的倾斜角是，1
2
l
l
，则（
）
A．
90
B．
90
C．
90
D．
180
【答案】C
【解答】1.当直线1l ，2l 的倾斜角分别为
90
，
0
或
0
，
90
时，
90
；
2.当直线1l ，2l 的斜率都存在时，则
90
或
90
，因此
90
；
综上可得：
90
.故选：C.
8.直线:l
2
1
3
3
y
x
的一个方向向量为（
）
A．
2, 3
B．
3,2
C．
2,3
D．
3,2
【答案】B
【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.
【详解】由2
3
1
0
x
y
+
- =
得，
2
1
3
3
y
x
，
所以直线的一个方向向量为
2
(1,
)
3
，
而
2
( 3,2)
3(1,
)3
，所以( 3,2)
也是直线的一个方向向量.
故选：B.
9.若直线l 的斜率为k ，且
2
3
k
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．30或150
B．60或120
C．45或135
D．90或180
【答案】B
【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.
【详解】设直线l 的倾斜角为，则0
180
因为
2
3
k
，所以
3
k
，
当
3
k
时，即tan
3
，则
60
；
当
3
k
时，即tan
3
，则
120
，
所以直线l 的倾斜角为60或120.
10.已知点
2, 1
A
，
3,
B
m ，若
3
1, 3 1
3
m
，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）
A．
π
5π
0,
, π
3
6
B．
π
5π
0,
,π
6
6
C．
π
5π
0,
,π
3
3
D．π π
5π
,
,π
3 2
6
【答案】A
【解析】由题意点
2, 1
A
，
3,
B
m ，则直线AB 的斜率为
1
1
3
2
AB
m
k
m
，
∵
3
1, 3 1
3
m
，∴
3
1
, 3
3
AB
k
m
，
又∵直线倾斜角的范围是
0,π ，
∴当
3
0
3
AB
k
时，倾斜角有：5π
π
6
；
当0
3
AB
k
时，倾斜角有：0
3
π
；
综上，直线AB 的倾斜角的取值范围为
π
5π
0,
, π
3
6
.故选：A.
11.“直线
1
2
1
y
k
x
k
经过第一、二、四象限”是“
1
1
2
k
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先利用直线
1
2
1
y
k
x
k
经过第一、二、四象限求得k 的取值范围，进而得到其与“
1
1
2
k
”
逻辑关系.
【详解】要使
1
2
1
y
k
x
k
经过第一、二、四象限，
则
1
0
2
1
0
k
k
，解得：
1
1
2
k
，
因此，“直线
1
2
1
y
k
x
k
经过一、二、四象限”
是“
1
1
2
k
”的充要条件．
故选：C
12.若直线:
3
l y
kx
与直线
2
2
3
y
x
的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 3
B．π π
,
6 2
C．π π
,
3 2
D．π π
,
3 2
【答案】B
【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.
【详解】因为直线:
3
l y
kx
恒过点
0,
3
P
，
直线2
3
6
0
x
y
与坐标轴的交点分别为
3,0 ,
0,2
A
B
，
直线AP 的斜率
3
3
AP
k
，此时倾斜角为π
6 ；
直线BP 的斜率不存在，此时倾斜角为π
2 ；
所以直线l 的倾斜角的取值范围是π π
,
6 2
.
故选：B.
13.（多选）在下列四个命题中，错误的有（
）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角
B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为90
C．直线的倾斜角的取值范围是
0,π
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
【答案】BD
【解析】坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，故A 正确；
若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45，故B 错误；
直线的倾斜角的取值范围是
0,π ，故C 正确；
若一条直线的倾斜角为，且
90
，则此直线的斜率为tan，
若
90
，则斜率不存在，故D 错误.故选：BD
14.（多选）已知直线1
2
3
l
l
l
，，的倾斜角分别为
1
2
3
，
，
，斜率分别是
1
2
3
k
k
k
，，
，若
1
2
3
，则
1
2
3
k
k
k
，，
的大小关系可能是（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
2
1
k
k
k
C．
3
1
2
k
k
k
D．
2
3
1
k
k
k
【答案】ACD
【解析】由
tan
k
x
=
在
π
π
0,
),(
, )
2
2
分别单调递增，
且
π
0, 2
x
时，
0
k
；
π ,π
2
x
时，
0
k
，
若
1
2
3
π
0
2
，或
1
2
3
π
π
2
，则
1
2
3
k
k
k
，故A 正确；
若
1
2
3
π
0
π
2
，则
3
1
2
k
k
k
，故C 正确；
若
1
2
3
π
0
π
2
，则
2
3
1
k
k
k
，故D 正确，
无论哪种条件下，B 都不成立.故选：ACD.
15.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 上的一点向右平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度后，
仍在该直线l 上，则直线l 的斜率为
．
【答案】3
【解析】依题意，直线l 上的一点向右平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度后，
仍在该直线l 上，如下图所示，
所以直线l 的斜率为
3
3
1
.
16.已知某直线的倾斜角
]
π 3π
,
4
[
4
，则该直线的斜率k 的范围为
．
【答案】(
, 1]
[1,
)
【解析】当
π π
,
)
4
[
2
，斜率
[1,
)
k
，
当
π
2
，斜率k 不存在，
当
]
π 3π
,
2
(
4
，斜率
(
, 1]
k
，
综上，
]
π 3π
,
4
[
4
，则
(
, 1]
[1,
)
k
.
17.已知点
( 1,3), (3,2)
A
B
，过点
3 1
,
2 2
P
的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为
，
直线l 的斜率的取值范围为
．【13723366289】
【答案】
π 3π
,
4
4
, 1
1,
【解析】如图所示：
由点
3 1
( 1,3), (3,2),
,
2 2
A
B
P
，可得直线PA 的斜率为
1
3
2
1
3
1
2
，直线PB 的斜率为
1
2
2
1
3
3
2
，
由直线l 与线段AB 相交，可得k 的范围是
, 1
1,
；
由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角
π 3π
,
4
4
18.（1）设坐标平面内三点
( ,
3), (2,
1),
( 1,4)
A m
m
B
m
C
，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3 倍，
求实数m 的值；【13723366289】
（2）已知直线l1 的方向向量为
2,1
n
，直线l2 的倾斜角是直线l1 倾斜角的2 倍，求直线l2 的斜率.
【答案】（1）1 或2；（2）4
3
【解析】（1）由
3
AC
BC
k
k
得：4
(
3)
4
(
1)
3
1
1 2
m
m
m
，解得
1
m 或
2
m
，
经验证均符合题意，故m 的值是1 或2.
（2）设直线l1 的倾斜角为α，则直线l2 的倾斜角为2α，
由直线l1 的方向向量为
2,1
n
，得直线l1 的斜率为
1
tan
2
，
因此直线l2 的斜率为
2
2 tan
4
tan 2
1
tan
3
.
19.已知坐标平面内两点
3,3
5 ,
2
1,1
M m
m
N
m
.【13723366289】
(1)当直线MN 的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m 的取值范围；
(2)若直线MN 的方向向量为
1, 2023
a
，求m 的值.
【答案】(1)答案见解析；(2)
2024
505
m
【解析】（1）直线MN 的倾斜角为锐角时，
3
5 1
0
3
(2
1)
m
k
m
m
，解得
4
4
3
m
，
直线MN 的倾斜角为钝角时，
3
5 1
0
3
(2
1)
m
k
m
m
，解得
4
3
m
或
4
m
，
所以直线MN 的倾斜角为锐角时，
4
4
3
m
，为钝角时，
4
3
m
或
4
m
；
（2）由已知
(
4, 3
4)
MN
m
m
，又直线MN 的方向向量为
1, 2023
a
，
所以2023(
4)
3
4
m
m
，解得
2024
505
m
．
20.已知坐标平面内三点
1,1
A
，
1,1
B
，
2, 3
1
C
.
(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；
(2)若D 为ABC
的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率的取值范围.【13723366289】
【答案】(1)答案见解析
(2)
3 , 3
3
【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；
（2）根据D 点移动时，直线CD 夹在直线CA 和直线CB 之间，运动时CD 不可能与x 轴垂直，由此可得斜
率范围．
【详解】（1）解：因为
1,1
A
，
1,1
B
，
2, 3
1
C
，
由斜率公式，可得
1 1
3
1 1
3
1 1
3
0,
3,
1 ( 1)
2 1
2
( 1)
3
AB
BC
AC
k
k
k
，
再由直线倾斜角的定义得：
直线AB 的倾斜角为0，直线BC 的倾斜角为60，直线AC 的倾斜角为30.
（2）如图所示，当直线CD 由CA 绕点C 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，
即D 在线段AB 上，此时CD 的斜率k 由
AC
k
增大到
BC
k
，
所以k 的取值范围为
3 , 3
3
.
21.已知
2,3
A
，
4,1
B
，
0, 3
C
．
(1)求直线AB 和AC 的斜率；
(2)若点D 在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．【13723366289】
【答案】(1)直线AB 的斜率为1
3 ，直线AC 的斜率为3
(2) 1 ,3
3
【分析】
（1）由斜率公式直接求解；
（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】（1）
由斜率公式可得直线AB 的斜率
1 3
1
4
2
3
AB
k
，
直线AC 的斜率
3
3
3
2
0
AC
k
，
故直线AB 的斜率为1
3 ，直线AC 的斜率为3．
（2）
当D 由B 运动到C 时，直线AD 的倾斜角增大且为锐角，
直线AD 的斜率由
AB
k
增大到
AC
k
，
所以直线AD 的斜率的变化范围是1 ,3
3
.
