文档内容
专题 22 直线与圆
【考纲要求】
1、理解直线的斜率和倾斜角的概念，理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
2、理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件，能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.
3、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
4、能根据所给条件求圆的标准方程，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
一、直线的倾斜角与斜率
【思维导图】
【考点总结】
1、直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
2、直线的斜率与倾斜角的关系(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
3、过两点的直线的斜率公式
直线过两点P(x，y)，P(x，y)，其斜率k＝(x≠x)．
1 1 1 2 2 2 1 2
二、直线的方程
【思维导图】
【考点总结】
一、点斜式和斜截式1．直线的点斜式方程
(1)定义：如右图所示，直线l过定点P(x，y)，斜率为k，则把方程y－y＝k(x－x)叫做直线l的点斜式方
0 0 0 0
程，简称点斜式．
(2)说明：如右图所示，过定点P(x，y)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x＝0，或x＝x.
0 0 0 0
2．直线的斜截式方程
(1)定义：如右图所示，直线l的斜率为k，
且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截
式方程．
二、两点式和截距式
项目 两点式 截距式
P(x，y)和P(x，y)，其中
1 1 1 2 2 2
条件 在x轴上截距a，在y轴上截距b
x≠x，y≠y
1 2 1 2
图形
方程 ＝ ＋＝1
不表示垂直于坐标轴的直线及过原
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线
点的直线
三、两条直线的交点坐标两点间的距离
【思维导图】【考点总结】
一、两条直线的交点坐标
1．两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l 与l 的交点是A 方程组的解是
1 2
2．两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
二、两点间的距离两点间的距离公式
(1)公式：点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
三、点到直线的距离和两条平行直线间的距离
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
项目 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
点P(x，y)到直线l：Ax＋By 两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax
0 0 0 1 1 2
公式
＋C＝0的距离d＝ ＋By＋C ＝0(C ≠C )之间的距离d＝
2 1 2
四、圆的标准方程
【思维导图】
【考点总结】
一、圆的标准方程
几种特殊位置的圆的标准方程：
条件 圆的标准方程
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
二、点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x，y)，则
0 0
位置关系 判断方法几何法 代数法
点在圆上 │MC│＝r⇔点M在圆C上 点M(x，y)在圆上⇔(x－a)2＋(y－b)2＝r2
0 0 0 0
点在圆内 │MC│r⇔点M在圆C外 点M(x，y)在圆外⇔(x－a)2＋(y－b)2＞r2
0 0 0 0
【题型汇编】
题型一：直线的倾斜角与斜率
题型二：直线的方程
题型三：直线的交点坐标与距离
题型四：圆的方程
题型五：直线与圆的位置关系
【题型讲解】
题型一：直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·山东潍坊·二模）已知直线 ， ，若 ，则 ( )
A． B． C．3 D．－3
2．（2022·浙江台州·二模）已知直线 ： ， ： ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·潞河中学三模）设 ，若直线 与直线 平行，则 的值是
（ ）
A．1 B． C．0 D．0，1
4．（2022·江西南昌·二模（文））已知直线 与直线 垂直，则m=（ ）
A．-2 B． C．2 D．
二、多选题
1．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知直线 与 平行，则k的值是3B．直线 与圆 的位置关系为相交
C．圆 上到直线 的距离为 的点共有3个
D．已知AC、BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，则四边形ABCD的面积的最
大值为10
题型二：直线的方程
1．（2022·北京市第十二中学三模）已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，
则l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
2．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知直线 ， ，若 ，则实数
的值是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
3．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））若经过点 的直线与圆 相切，则该直线在
y轴上的截距为( )
A． B．5 C． D．
4．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线 与直线 有两个交点，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·重庆·二模）已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是
（ ）A．直线l恒过定点
B．直线l与圆C恒有两个公共点
C．直线l与圆C的相交弦长的最大值为
D．当 时，圆C与圆 关于直线l对称
题型三：直线的交点坐标与距离
1．（2022·重庆·三模）已知直线 上存在一点P，满足 ，其中O为坐标原点.
则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州遵义·三模（文））圆O： 上点P到直线l： 距离的最小值为（ ）
A． B．
C．2 D．0
3．（2022·甘肃兰州·一模（理））圆 的圆心到直线 的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知直线 和 与圆 都相切，
则圆 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点 ，点 ， 到l的距离相等，则l的
方程可能是( )
A． B．C． D．
题型四：圆的方程
一、单选题
1．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·北京丰台·一模）已知圆 ，则圆心 到直线 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西南宁·二模（文））已知圆 ，圆 ，过动点P分别作圆
、圆 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 ，则动点P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2022·安徽滁州·二模（文））已知A，B为圆 上的两个动点，P为弦 的
中点，若 ，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2022·江苏南京·三模）在平面直角坐标系 中，已知圆 ： ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点 在圆 外
B．圆 与 轴相切
C．若圆 截 轴所得弦长为 ，则D．点 到圆 上一点的最大距离和最小距离的乘积为
题型五：直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知直线 被圆 截得的弦长为2，则
（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（2022·广东佛山·三模）已知集合 ， ，则 的元素个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（2022·安徽淮北·一模（理））直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
4．（2022·河南·一模（文））若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·山东济南·三模）已知圆 ： ，若圆 与 轴交于 ， 两点，且
，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
6．（2022·辽宁·东北育才学校二模）关于圆 ，有下列四个命题：甲：圆 的半径 ；
乙：直线 与圆 相切；丙：圆 经过点 ；丁：直线 平分圆 ，如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
1．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C： 上的动点，P为直线l： 上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
2．（2022·广东广州·一模）已知直线 与圆 ，则（ ）
A．直线 与圆C相离
B．直线 与圆C相交
C．圆C上到直线 的距离为1的点共有2个
D．圆C上到直线 的距离为1的点共有3个
3．（2022·广东汕头·三模）关于曲线C： ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C一定不过点
B．若 ，过原点与曲线C相切的直线有两条
C．若 ，曲线C表示两条直线
D．若 ，则直线 被曲线C截得弦长等于
