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专题九 平面解析几何
9.1 直线和圆
基础篇
考点 一 直线的方程
4.两直线的位置关系
1.直线的倾斜角 斜截式 一般式
倾斜角 当直线 ｌ 与 ｘ 轴相交时 我们以 ｘ 轴 方程
１) : ꎬ ｌ :Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ (Ａ２ Ｂ２
位置 ｌ :ｙ ｋ ｘ ｂ ꎬ １ １ ＋ １ ＋ １＝０ １＋ １
为基准 ｘ 轴正向与直线ｌ 向上的方向之间所 １ ＝ １ ＋ １ )ꎬｌ :Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ
ꎬ 关系 ｌ :ｙ ｋ ｘ ｂ ≠０ ２ ２ ＋ ２ ＋ ２＝０
成的角 α 叫做直线 ｌ 的倾斜角. ２ ＝ ２ ＋ ２ (Ａ２ Ｂ２ )
２＋ ２≠０
规定 当直线 ｌ 与 ｘ 轴平行或重合时 规定 ｌ
２) : ꎬ 相交 ｋ ｋ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
的倾斜角为 °. １≠ ２ １ ２－ ２ １≠０
０
ｋ １ 或
范围 直线的倾斜角 α 的取值范围是 ° α 垂直 １ ＝ － ｋ Ａ Ａ Ｂ Ｂ
３) : ０ ≤ ２ １ ２＋ １ ２＝０
°. ｋ ｋ
<１８０ １ ２＝－１
2.直线的斜率 {Ａ Ｂ Ａ Ｂ ꎬ
１ ２－ ２ １＝０ 或
ｋ ｋ 且 ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ
定义 当直线 ｌ 的倾斜角 α π时 其倾斜角 平行 １ ＝ ２ １ ２ １－ １ ２≠０
１) : ≠ ꎬ ｂ {Ａ Ｂ Ａ Ｂ ꎬ
２ ≠ ２ １ ２－ ２ １＝０
Ａ Ｃ Ａ Ｃ
α 的正切值 α 叫做这条直线的斜率 斜率 １ ２－ ２ １≠０
ｔａｎ ꎬ
通常用小写字母 ｋ 表示 则 ｋ α. 常见的直线系方程
ꎬ ＝ｔａｎ
范围 全体实数 Ｒ. 过定点 Ｍ ｘ ｙ 的直线系方程为 ｙ ｙ ｋ ｘ
２) : １) ( ０ꎬ ０) － ０ ＝ (
斜率公式 经过两点 Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ ｘ 不包含直线 ｘ ｘ .
３) : １( １ꎬ １)ꎬ ２( ２ꎬ ２) － ０)( ＝ ０)
ｙ ｙ 和直线 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 平行的直线系方程为 Ａｘ
ｘ ｘ 的直线的斜率公式为 ｋ ２ － １. ２) ＋ ＋ ＝０
( １≠ ２) Ｐ
１
Ｐ
２
＝ｘ
－
ｘ
Ｂｙ Ｃ′ Ｃ Ｃ′ .
２ １ ＋ ＋ ＝０( ≠ )
3.直线方程的形式
和直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 垂直的直线系方程为Ｂｘ
３) ＋ ＋ ＝０
名称 条件 方程 Ａｙ Ｃ″ .
－ ＋ ＝０
点斜式 斜率ｋ与点(ｘ
０
ꎬｙ
０
) ｙ
－
ｙ
０＝
ｋ(ｘ
－
ｘ
０
)
４)
经过两相交直线 Ａ
１
ｘ
＋
Ｂ
１
ｙ
＋
Ｃ
１ ＝０(
Ａ２
１ ＋
Ｂ２
１≠０)
斜率ｋ与直线在ｙ轴
斜截式 ｙ ｋｘ ｂ 和 Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 的交点的直线
上的截距ｂ ＝ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝０( ２ ＋ ２≠０)
系方程为 Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ λ Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ
点(ｘ ꎬｙ )ꎬ(ｘ ꎬｙ ) ｙ ｙ ｘ ｘ １ ＋ １ ＋ １ ＋ ( ２ ＋ ２ ＋ ２)＝ ０
两点式 １ １ ２ ２ － １ － １ 不包括直线 Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ .
(ｘ １≠ ｘ ２ 且ｙ １≠ ｙ ２ ) ｙ ２－ ｙ １ ＝ｘ ２－ ｘ １ ( ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝０)
5.距离公式
直线在ｘ轴上的截距
ｘ ｙ
截距式 为 ａꎬ在 ｙ 轴上的截 平面上的两点 Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 间的距
ａ ＋ ｂ ＝１ １) １( １ꎬ １)、 ２( ２ꎬ ２)
距为ｂ(ａｂ ) 专
≠０ 离公式 Ｐ Ｐ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２.特别 题
:｜ １ ２ ｜ ＝ ( ２ － １) ＋( ２ － １) 九
Ａｘ Ｂｙ Ｃ (Ａ２ Ｂ２
一般式 ——— ＋ ＋ ＝０ ＋ 地 点 Ｐ ｘ ｙ 到原点 Ｏ 的距离 ＯＰ
) ꎬ ( ꎬ ) (０ꎬ０) ｜ ｜ 平
≠０ 面
ｘ２ ｙ２. 解
＝ ＋ 析
几
点 Ｐ ｘ ｙ 到直线 ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２
何
２) ０( ０ꎬ ０) : ＋ ＋ ＝０( ＋ ≠
３０１
Ａｘ Ｂｙ Ｃ 2.与圆的切线有关的结论
０ 的距离 ｄ ｜ ０ ＋ ０ ＋ ｜.
) ＝ Ａ２ Ｂ２ 过圆 ｘ２ ｙ２ ｒ２ 上一点 Ｐ ｘ ｙ 的切线方程
＋ １) ＋ ＝ ( ０ꎬ ０)
两条平行线 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 为 ｘ ｘ ｙ ｙ ｒ２.
３) ＋ ＋ １ ＝０ ＋ ＋ ２ ＝０ ０ ＋ ０ ＝
Ｃ Ｃ 过圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 上一点 Ｐ ｘ ｙ 的
Ａ２ Ｂ２ Ｃ Ｃ 间的距离 ｄ ｜ １ － ２｜. ２) ( － ) ＋( － ) ＝ ( ０ꎬ ０)
( ＋ ≠０ꎬ １≠ ２) ＝ Ａ２
＋
Ｂ２ 切线方程为
(
ｘ
０ －
ａ
)(
ｘ
－
ａ
)＋(
ｙ
０ －
ｂ
)(
ｙ
－
ｂ
)
ｒ２.
＝
考点 二 圆的方程
3.直线与圆相交
1.标准方程 直线与圆相交时 若 ｌ 为弦长 ｄ 为弦心距 ｒ
ꎬ ꎬ ꎬ
圆心为 ａ ｂ 半径为 ｒ 的圆的标准方程为 ｌ２
( ꎬ )ꎬ 为半径 则有 ｒ２ ｄ２ 即 ｌ ｒ２ ｄ２ 求弦
ꎬ ＝ ＋ ꎬ ＝２ － ꎬ
ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２. ４
( － ) ＋( － ) ＝
2.一般方程 长或已知弦长求其他量时 一般用此公式.
ꎬ
ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 表示圆心
＋ ＋ ＋ ＋ ＝０( ＋ －４ >０) 考点 四 圆与圆的位置关系
æ Ｄ Ｅö
为 è ç － ꎬ－ ø ÷ ꎬ 半径为１ Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ的圆. 1.设两圆的圆心距为 ｄ 两圆的半径分别为 Ｒ
ꎬ ꎬ
２ ２ ２
圆的一般方程的形式特点 ｒ Ｒ ｒ 则
( > )ꎬ
１) :
ｘ２ 和 ｙ２ 的系数相等且大于 . 位置 公共点 ｄꎬＲꎬｒ的 公切线
① ０ 图形
关系 个数 关系 条数
没有含 ｘｙ 的二次项.
②
Ａ Ｃ 且 Ｂ 是二元二次方程 Ａｘ２ Ｂｘｙ
③ ＝ ≠０ ＝０ ＋ ＋ 外离 ｄ Ｒ ｒ
０ > ＋ ４
Ｃｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 表示圆的必要不充分
＋ ＋ ＋ ＝ ０
条件.
外切 ｄ Ｒ ｒ
已知Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 则以ＰＱ 为直径的 １ ＝ ＋ ３
２) ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
圆的方程为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ
( － １)( － ２)＋( － １)( － ２)
Ｒ ｒ ｄ
. 相交 － < <
＝ ０ ２ Ｒ ｒ ２
＋
考点 三 直线与圆的位置关系
内切 ｄ Ｒ ｒ
1.设直线 ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 圆 Ｃ ｘ １ ＝ － １
: ＋ ＋ ＝０( ＋ ≠０)ꎬ :( －
ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ ｄ 为圆心 ａ ｂ 到直
) ＋( － ) ＝ ( >０)ꎬ ( ꎬ )
线 ｌ 的距离 联立直线和圆的方程 消元后得 内含 ｄ Ｒ ｒ
ꎬ ꎬ ０ < － ０
到一元二次方程根的判别式 Δ.
知识拓展
位置 判断方法 公共点
5 图形 圆系方程
年 关系 代数法 几何法 个数
高 .同心圆系方程为(ｘ ａ)２ (ｙ ｂ)２ ｒ２(ｒ )ꎬ其中 ａꎬｂ
考 １ － ＋ － ＝ >０
3 相交 Δ ｄ ｒ 是定值ꎬｒ是参数ꎻ
年 >０ < ２
模 .过直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与圆 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 交点的
拟 ２ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０
A 相切 Δ ＝０ ｄ ＝ ｒ １ 圆系方程为ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ Ｄｘ ＋ Ｅｙ ＋ Ｆ ＋ λ(Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ) ＝ ０ (λ ∈ Ｒ)ꎻ
版 .过圆Ｃ :ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 和圆 Ｃ :ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ
３ １ ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０ ２ ＋ ＋ ２ ＋
高
考 数 相离 Δ <０ ｄ > ｒ ０
Ｅ
２
ｙ
＋
Ｆ
２＝０
交点的圆系方程为ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄ
１
ｘ
＋
Ｅ
１
ｙ
＋
Ｆ
１＋
λ(ｘ２
学 ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ ) (λ )(该圆系不含圆 Ｃ ꎬ解题
＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ０ ≠－１ ２
３０２
时ꎬ注意检验圆Ｃ 是否满足题意ꎬ以防漏解). 公共弦 由 得 Ｄ Ｄ ｘ Ｅ Ｅ ｙ
２ ꎬ ①－②ꎬ ( １ － ２) ＋( １ － ２) ＋
Ｆ Ｆ .方程 表示圆Ｃ 与Ｃ 的公共弦
2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程 １ － ２ ＝０③ ③ １ ２
所在直线的方程.
设圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 圆 Ｃ ｘ２
１: ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １ ＝０①ꎬ ２: ＋
ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 若两圆相交 则有一条
＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝０②ꎬ ꎬ
专
题
九
平
面
解
析
几
何
３０３
综合篇
考法 一 对称问题 Ｂꎬ Ｃ 的平分线所在直线的方程分别为 ｘ ｙ
∠ ∠ ＋
ꎬｘ ｙ ꎬ则 ＢＣ 边所在直线的方程为
1.中心对称 －２＝０ －３ －６＝０
.
若点 Ｍ ｘ ｙ 与 Ｎ ｘ ｙ 关于 Ｐ ａ ｂ 对称
１) ( １ꎬ １) ( ꎬ ) ( ꎬ ) ꎬ
解析 由角平分线的性质知点 Ａ 关于 Ｂꎬ
{ｘ ａ ｘ ∠
则由中点坐标公式得 ＝２ － １ꎬ Ｃ 的平分线所在直线的对称点均在直线 ＢＣ
ｙ ｂ ｙ . ∠
＝２ －
１ 上ꎬ设点 Ａ 关于直线 ｘ ｙ 的对称点为
直线关于点的对称问题可以转化为点关于 －３ －６＝０
２)
Ａ (ｘ ꎬｙ )ꎬ
点的对称问题来解决.
１ １ １
2.轴对称 ì ï ï ï ｙ ｘ １ ＋４１ ＝－１ ꎬ ì ï ï ï ｘ １ ＝ ２ꎬ
点关于直线对称 则有í １ －２ ３ 解得í ５
１)
ïｘ ｙ ï
求 Ｐ １( ｘ １ꎬ ｙ １) 关于直线 ｌ : Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝０( Ｂ ≠ î ï ï １ ＋２ －３ １ －４ －６＝０ ꎬ î ï ï ｙ １ ＝ ４ꎬ
对称的点 Ｐ ｘ ｙ 由线段 Ｐ Ｐ 的中点 ２ ２ ５
０) ２( ２ꎬ ２)ꎬ １ ２ æ ö
在对称轴 ｌ 上 而且过点 Ｐ Ｐ 的直线垂直 即 Ａ ç２ꎬ４ ÷ꎬ同理ꎬ点 Ａ( ꎬ )关于直线 ｘ ｙ
ꎬ １ꎬ ２ １è ø ２ －４ ＋ －
５ ５
于 对 称 轴 ｌ 得 方 程 组
ꎬ 的对称点 Ａ 的坐标为( ꎬ ). 直线 Ａ Ａ
ì ｘ ｘ ｙ ｙ ２＝０ ２ ６ ０ ∴ １ ２
ï
Ａ １ ＋ ２ Ｂ １ ＋ ２ Ｃ
ï
ï ＋ ＋ ＝０ꎬ ４
í ２ ２ 可得到点 Ｐ 的 ０－
的方程为 ｙ ５ (ｘ )ꎬ即 ｘ ｙ . ＢＣ
ïｙ ｙ æ Ａö ２ ＝ －６ ＋７ －６＝０ ∴
ï ï １ － ２ ç ÷ ２
îｘ ｘ è－Ｂø ＝－１ꎬ ６－
１ － ２ ５
坐标 ｘ ｙ 其中Ａ ｘ ｘ . 边所在直线的方程为 ｘ ｙ .
( ２ꎬ ２)( ≠０ꎬ １≠ ２) ＋７ －６＝０
直线关于直线的对称问题可以转化为点关 答案 ｘ ｙ
２) ＋７ －６＝０
于直线的对称问题来解决.
考法 二 与圆的切线相关的问题
特别地
ꎬ
点 Ｐ ｘ ｙ 关于直线 ｘ ａ 的对称点为 1.求过圆上一点 ｘ ｙ 的切线
① ( ０ꎬ ０) ＝ ( ０ꎬ ０)
Ｐ ａ ｘ ｙ . 若切线斜率存在且不为零 则先求切点和圆心
１(２ － ０ꎬ ０) ꎬ
点 Ｐ ｘ ｙ 关于直线 ｙ ｂ 的对称点为
② ( ０ꎬ ０) ＝ 连线的斜率ｋ 由垂直关系知切线斜率为 １
Ｐ ｘ ｂ ｙ . ꎬ －ｋꎬ
２( ０ꎬ２ － ０)
点 Ｐ ｘ ｙ 关于直线 ｙ ｘ ｃ 的对称点为 由点斜式可求切线方程 若切线斜率不存在或
③ ( ０ꎬ ０) ＝ ＋ ꎻ
Ｐ ｙ ｃ ｘ ｃ . 为零 则可直接写出切线的方程为 ｘ ｘ 或
３( ０ － ꎬ ０ ＋ ) ꎬ ＝ ０
点 Ｐ ｘ ｙ 关于直线 ｙ ｘ ｃ 的对称点为 ｙ ｙ .
④ ( ０ꎬ ０) ＝－ ＋ ＝ ０
Ｐ ｃ ｙ ｃ ｘ . 2.求过圆外一点 ｘ ｙ 的切线
４( － ０ꎬ － ０) ( ０ꎬ ０)
例1 已知 ＡＢＣ 的一个顶点 Ａ( ꎬ )ꎬ且 几何法 当切线斜率存在时 设斜率为 ｋ 则
△ ２ －４ １) : ꎬ ꎬ
切线方程为 ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 即 ｋｘ ｙ ｙ ｋｘ Ｑ 的圆 Ｍ 的切线方程为 ｘ 或 ｘ ｙ .
－ ０ ＝ ( － ０)ꎬ － ＋ ０ － ０ ＝４ ４ ＋３ －２５＝０
＝０ꎬ
由圆心到切线的距离等于半径长列出
∵ ｜
ＱＭ
｜ ＝
(
４－１
)２
＋
(
３－２
)２
＝ １０
ꎬ
∴
过点 Ｑ
关于 ｋ 的方程 解方程即可得到 ｋ 的值 从
ꎬ ꎬ 的圆 Ｍ 的切线长为 ＱＭ ２ ｒ２ .
｜ ｜ － ＝ １０－９ ＝１
而可得切线方程 当切线斜率不存在时 可
ꎻ ꎬ
考法 三 与圆有关的最值问题
直接写出切线的方程为 ｘ ｘ 检验该直线
＝ ０ꎬ
是不是切线. 1.与圆有关的长度或距离的最值问题的常见解
代数法 当切线斜率存在时 设斜率为 ｋ 则 法 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆
２) : ꎬ ꎬ :
切线方程为 ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 即 ｙ ｋｘ ｋｘ 的几何性质数形结合求解.注意圆的弦长或
－ ０ ＝ ( － ０)ꎬ ＝ － ０ ＋
切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到
ｙ 代入圆的方程 得到一个关于ｘ 的一元二
０ꎬ ꎬ
直线的距离或点到圆心的距离.
次方程 由 Δ 求得 ｋ 的值 从而得到切线
ꎬ ＝０ ꎬ
2.与圆上点 ｘ ｙ 有关的最值的常见类型及解
方程 当切线斜率不存在时 可直接写出切
( ꎬ )
ꎻ ꎬ
法如下：
线的方程为 ｘ ｘ 检验该直线是不是切线.
＝ ０ꎬ
ｙ ｂ
例2 已知点 Ｐ( ꎬ )ꎬＱ( ꎬ )ꎬ圆 Ｍ:(ｘ 形如 ｕ － 型的最值问题 可转化为过点
３ ５＋２ ４ ３ － １) ＝ｘ ａ ꎬ
－
)２ (ｙ )２ .
ａ ｂ 和点 ｘ ｙ 的直线的斜率的最值问题.
１ ＋ －２ ＝９
( ꎬ ) ( ꎬ )
( )求过点 Ｐ 的圆 Ｍ 的切线方程ꎻ 形如 ｔ ａｘ ｂｙ 型的最值问题 可转化为动直
１ ２) ＝ ＋ ꎬ
( )求过点 Ｑ 的圆 Ｍ 的切线方程以及切线长. 线的截距的最值问题.
２
解析 易知圆Ｍ的圆心为Ｍ( ꎬ )ꎬ半径ｒ . 形如 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ 型的最值问题 可转化
１ ２ ＝３ ３) ( － ) ＋( － ) ꎬ
( ) ( )２ ( )２ ꎬ 点 Ｐ 在圆 Ｍ 为动点到定点 ａ ｂ 的距离平方的最值问题.
１ ∵ ３－１ ＋ ５＋２－２ ＝９ ∴ ( ꎬ )
3.与距离最值有关的常见的结论
上ꎬ又 ｋ ５＋２－２ ５ꎬ 切线的斜率 ｋ
ＰＭ ＝ ＝ ∴ ＝ 圆外一点 Ａ 到圆 Ｃ 上的最近距离为 ＡＣ ｒ
３－１ ２ １) ｜ ｜－ ꎬ
最远距离为 ＡＣ ｒ ｒ 为圆的半径 .
｜ ｜＋ ( )
２ ２ ５. 过点 Ｐ 的圆 Ｍ 的切线方程为 ｙ
过圆内一点的弦最长的是圆的直径 最短的
－ ＝－ ∴ －
２) ꎬ
５ ５
是以该点为中点的弦.
( ) ２ ５(ｘ )ꎬ即 ｘ ｙ . 直线与圆相离 则圆上点到直线的距离最大
５＋２ ＝ － －３ ２ ＋ ５ －１１－２ ５ ＝０ ３) ꎬ
５
为 ｄ ｒ 最小为 ｄ ｒ. 其中 ｄ 为圆心到直线的
( ) ( )２ ( )２ ꎬ 点 Ｑ 在 ＋ ꎬ － (
２ ∵ ４－１ ＋ ３－２ ＝９＋１＝１０>９ ∴ 距离 ｒ 为圆的半径
圆 Ｍ 的外部. ꎬ )
过两定点的所有圆中 面积最小的是以这两
当过点 Ｑ 的直线的斜率不存在时ꎬ直线的方 ４) ꎬ
① 个定点为直径端点的圆.
程为 ｘ ꎬ又知点 Ｍ( ꎬ )到该直线的距离 ｄ
＝４ １ ２ ＝ 直线外一点与直线上的点的距离中 最短的
ｒꎬ 直线 ｘ 符合题意. ５) ꎬ
４－１＝３＝ ∴ ＝４ 是点到直线的距离.
5 当过点 Ｑ 的直线的斜率存在时ꎬ设直线方程
② 两个动点分别在两条平行线上运动 这两个
年
６) ꎬ
高 为 ｙ ｋ(ｘ )ꎬ即 ｋｘ ｙ ｋ ꎬ则圆心 Ｍ
考 －３＝ －４ － －４ ＋３＝０ 动点间的最短距离为两条平行线间的距离.
3 ｋ ｋ
年 到直线的距离 ｄ ｜ －２－４ ＋３｜ ꎬ即 ｋ 例3 ( 山东日照二模ꎬ )若实数 ｘ、ｙ 满
模
拟
＝ ｋ２
＋１
＝３ ｜１－３ ｜ ＝ ２０２１
ｙ
４
足条件 ｘ２ ｙ２ ꎬ则 －２的取值范围是 ( )
A ＋ ＝１ ｘ
版
ｋ２ ꎬ解得 ｋ ４ꎬ 切线方程为 ４ｘ ｙ ＋１
３ ＋１ ＝－ ∴ － － －４
３ ３
高
考 æ ö
数 ç ４÷ ꎬ即 ｘ ｙ .综上可知ꎬ过点
学 ×è－ ø＋３＝０ ４ ＋３ －２５＝０ [ ꎬ ] [ ꎬ ]
３ Ａ. ０ ２ Ｂ. －３ ５
３０４
æ ù
Ｃ.
(
－∞
ꎬ
－１
]
Ｄ.è
ç
－∞
ꎬ
－
３
û
ú
ú ｜
ＯＢ
｜ ＝
２
＝ ２
.延长 ＢＯ 交圆 ｘ２
＋
ｙ２
＝１
于点
４ １＋１
ｙ Ｃꎬ以 Ｃ 为圆心ꎬＯＣ 长为半径作圆 ＣꎬＢＣ 的延
解析 －２的几何意义是圆上的点(ｘꎬｙ)与
ｘ
＋１ 长线交圆 Ｃ 于点 Ｄꎬ当圆心(ａꎬｂ)在 Ｃ 处时ꎬ点
定点( ꎬ )的斜率ꎬ由图知ꎬ斜率的范围处在
－１ ２ (ａꎬｂ)到直线 ｙ ｘ 的距离最大ꎬ为 ＯＢ
＝ ＋２ ｜ ｜＋１＝
圆的两条切线斜率之间ꎬ其
ꎬ此时ꎬ圆(ｘ ａ)２ (ｙ ｂ)２ 上的点Ｄ 到
中直线 ＡＣ 的斜率不存在ꎬ设 ２＋１ － ＋ － ＝１
直线 ｙ ｘ 的距离最大ꎬ为 ＯＢ .
直线 ＡＢ 的斜率为 ｋꎬ则直线 ＝ ＋２ ｜ ｜＋１＋１＝ ２＋２
答案
ＡＢ 的方程为 ｙ ｋ(ｘ ) ꎬ Ｂ
＝ ＋１ ＋２ 例5 ( 福建宁德质检ꎬ )已知点 Ｍ( ꎬ
即 ｋｘ ｙ ｋ ꎬ由直线 ＡＢ ２０２２ ６ ２
－ ＋ ＋２＝０
).若过点 Ｎ( ꎬ )的直线 ｌ 与圆 Ｃ:(ｘ )２ ｙ２
ｋ ｙ ４ ４ ０ －６ ＋
与圆相切得｜ ＋２｜ ꎬ解得 ｋ ３ꎬ故 －２的取
１＋
ｋ２ ＝１ ＝－
４
ｘ
＋１ ＝９
交于 ＡꎬＢ 两点ꎬ则
｜
Ｍ→Ａ
＋
Ｍ→Ｂ
｜
的最大值为
æ ù ( )
值范围为ç ꎬ ３ úꎬ故选 .
ú
è－∞ － û Ｄ
４
Ａ.１２ Ｂ.８ ２ Ｃ.１０ Ｄ.６ ２
答案
解析 由已知圆的方程可得:圆心 Ｃ( ꎬ )ꎬ
Ｄ
６ ０
例4 ( 湖南岳阳三模ꎬ )已知圆(ｘ ａ)２ 半径 ｒ ꎬ设线段 ＡＢ 的中点为 Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ则由
２０２２ ５ － ＋
＝３
(ｙ ｂ)２ 经过原点ꎬ则圆上的点到直线 ｙ ｘ
－ ＝１ ＝ ＋ 垂径定理可知:ＮＰ ＣＰꎬ即Ｎ→ＰＣ→Ｐ ꎬ而Ｎ→Ｐ
⊥ ＝０
距离的最大值为 ( )
２ (ｘ ꎬｙ)ꎬＣ→Ｐ (ｘ ꎬｙ)ꎬ所以(ｘ )(ｘ )
＝ －４ ＝ －６ －４ －６ ＋
Ａ.２ ２ Ｂ. ２＋２ ｙ２ ꎬ即点 Ｐ 的轨迹方程为(ｘ )２ ｙ２ ꎬ即
＝０ －５ ＋ ＝１
Ｃ. ２＋１ Ｄ. ２ 点 Ｐ 的轨迹是以线段 ＣＮ 为直径的圆ꎬ设 Ｅ 为
解析 因为圆(ｘ
－
ａ)２
＋
(ｙ
－
ｂ)２
＝１
经过原点ꎬ
ＮＣ 的中点ꎬ则 Ｅ( ꎬ )ꎬ所以 ＭＰ 的最大值为
５ ０ ｜ ｜
所以 ａ２ ｂ２ ꎬ
＋ ＝１ ＭＥ ( )２ ２ ꎬ又 Ｍ→Ａ Ｍ→Ｂ
则圆心(ａꎬｂ)在单位圆 ｘ２ ｜ ｜＋１＝ ２－５ ＋４ ＋１＝５＋１＝６ ｜ ＋ ｜＝
＋
Ｍ→Ｐ ꎬ所以 Ｍ→Ａ Ｍ→Ｂ 的最大值为 .故选 .
ｙ２ 上ꎬ问题转化为与单 ２｜ ｜ ｜ ＋ ｜ １２ Ａ
＝ １
答案
位圆上的点到直线 ｙ ｘ Ａ
＝ ＋２
的最大距离问题.原点( ꎬ
０
)到直线 ｙ ｘ 的距离为
０ ＝ ＋２
专
题
九
平
面
解
析
几
何
３０５
