文档文本内容
专题四 曲线运动
基础篇
2. 考点 一 曲线运动、合运动与分运动 合运动与分运动的关系
一、曲线运动 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时
等时性
1.
间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
速度方向 质点在某一点的速度方向为曲线
：
各分运动相互独立，不受其他运动的影响，
上这一点的切线方向 独立性
。 各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
2.
运动的性质：曲线运动一定是变速运动 若
。 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的
所受合外力恒定 为匀变速曲线运动 若所受 等效性
， ； 效果
合外力变化 为变加速曲线运动
， 。 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
3.
曲线运动的条件
考点 二 抛体运动
物体的加速度方向跟速度方向不在同
运动学
一条直线上（加速度可以是恒定的，也
一、平抛运动
角度
两 可以是变化的）
个 1. 平抛运动的基本概念
角
度 合外力的方向跟物体速度方向不在同 定义 水平抛出的物体只在重力作用下的运
动力学
１） ：
一条直线上（合外力可以是恒力，也可
角度 动叫作平抛运动
以是变力） 。
性质 加速度为重力加速度 ｇ 的匀变速曲线
２） ：
提示 曲线运动轨迹特点：速度方向与运动轨迹相
① 运动 轨迹是抛物线
切；运动轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间；合力 ， 。
研究方法 平抛运动可以分解为水平方向上
指向运动轨迹的凹侧。 合力方向与速率变化的关系： ３） ：
②
设合力方向与速度方向之间的夹角为θ，若θ °，物体 的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体
＝９０
速率不变；若 θ °，物体速率增大；若 ° θ °， 运动
０＜ ＜９０ ９０ ＜ ＜１８０ 。
物体速率减小。
运动时间和射程
４）
ｈ
运动时间 ｔ ２ 仅取决于竖直下落的
① ＝ ｇ
高度
；
二、合运动与分运动
ｈ
1. 射程 ｘ ｖ ２ 取决于竖直下落的高度和初
运动的合成与分解
② ＝ ０ ｇ
运动的合成与分解是指位移 速度 加速度
5 １） 、 、 速度
。
年 的合成与分解 其合成 分解遵循平行四边
2.
高 。 、 平抛运动的规律
考 形定则
3 。 以抛出点为坐标原点 以初速度 ｖ 方向为 ｘ
年 对速度 ｖ 进行分解时 不能随意分解 应按物 ， ０
模 ２） ， ，
轴正方向 竖直向下为 ｙ 轴正方向 如图所
拟 体的实际运动效果进行分解
， ，
。
A 示 则有
版 ，
高
考
物
理
２８
时水平分位移的中点 如图乙中 Ｂ 点所示
。 。
注意 在平抛运动过程中，位移与速度永远不会同
①
线。 不能将推论一中的 θ β误认为θ β。
② ｔａｎ ＝２ ｔａｎ ＝２
二、斜抛运动
1.
斜抛运动的定义
水平方向分速度 ｖ ｖ 将物体以速度 ｖ 斜向上方或斜向下方抛出
ｘ＝ ０ ０ ，
竖直方向分速度 ｖ ｇｔ 物体只在重力作用下的运动
ｙ＝ 。
2.
运动性质
合速度大小 ｖ ｖ２ ｇ２ｔ２
＝ ＋
０
加速度为重力加速度 ｇ 的匀变速曲线运动
ｖ ｇｔ ，
ｙ
θ θ为速度方向与水平方向的夹角
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ （ ） 轨迹为抛物线
ｘ 。
０ 3.
基本特点（以斜向上抛为例说明，如图所示）
水平方向分位移 ｘ′ ｖ ｔ
＝
０
竖直方向分位移 ｙ′ １ｇｔ２
＝
２
合位移 ｘ ｘ′２ ｙ′２
合＝ ＋ 水平方向 ｖ ｖ θ Ｆ
１） ： ０ ｘ＝ ０·ｃｏｓ ， 合ｘ＝０。
ｙ′
１ｇｔ２
ｇｔ ２）
竖直方向
：
ｖ
０ ｙ＝
ｖ
０·ｓｉｎ
θ
，
Ｆ
合ｙ＝
ｍｇ
。
β ２ β 为位移方向与水平方 ｖ θ
ｔａｎ ＝ｘ′＝ ｖ ｔ ＝ ｖ （ 物体上升到最高点的时间 ｔ ０ ｓｉｎ
０ ２ ０ ３） ： 上＝ ｇ 。
向的夹角
）
三、类平抛运动
速度的改变量 ｖ 因为平抛
（Δ ）：
类平抛运动与平抛运动的区别
运动的加速度为恒定的重力加
平抛运动的初速度水平 只受重力 加速
速度ｇ 所以做平抛运动的物体 ， ，
，
度ａ ｇ 类平抛运动的初速度不一定水平 但合
在任意相等时间间隔 ｔ 内的 ＝ ； ，
Δ
外力与初速度方向垂直且为恒力 其加速度ａ
速度改变量 ｖ ｇ ｔ 相同 方 ， ＝
Δ ＝ Δ ，
Ｆ
向恒为竖直向下 如图所示 合 恒定
， 。 ｍ 。
3.
平抛运动的两个重要推论
凡是平抛运动的规律及推论都适用于类
推论一 做平抛运动的物体在任一时刻任一
１） ： 平抛运动
位置处 设其末速度方向与水平方向的夹角 。
，
为 θ 位移方向与水平方向的夹角为 β 则 考点 三 圆周运动
， ，
θ β
ｔａｎ ＝２ ｔａｎ 。 一、匀速圆周运动
1.
定义 做圆周运动的物体 若在相等的时间内
： ，
通过的弧长都相同 则该物体做的是匀速圆
，
周运动
。
2.
特点 加速度大小不变 方向 时刻改变 始
： ， （ ）
推论二 做平抛 或类平抛 运动的物体任意 终指向圆心 是变加速运动
２） ： （ ） ， 。 专
3.
时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此 条件 合外力大小不变 方向始终与速度方向 题
： ， 四
曲
线
运
动
２９
垂直且指向圆心 ｖ２
。 ｖ ωｒ 知 ω 与 ｒ 成反比 由 ａ 知 ａ 与 ｒ 成
＝ ， ＝ ｒ
二、描述匀速圆周运动的物理量
1. 反比
圆周运动各物理量及物理量间的关系
。
定义、意义 公式、单位
描述做圆周运动的物体
①
ｌ ｒ
线 运动快慢的物理量（ｖ） ．ｖ Δ ，ｖ ２π
速 ａ ＝ ｔ ＝ Ｔ
度 是矢量，方向和半径垂 Δ
② 单位：
直，和圆周相切 ｂ． ｍ／ｓ 同轴转动 如图 图 所示 绕同一转轴转
３） ： ５、 ６ ，
描述物体绕圆心转动快 动的物体 角速度相同 ω ω 由 ｖ ωｒ ａ
① θ ， ， Ａ＝ Ｂ， ＝ 、 ＝
角 慢的物理量（ω） ω Δ ，ω ２π
速 ａ． ＝ ｔ ＝ Ｔ ω２ｒ 知 ｖ ａ 与 ｒ 成正比
度 是矢量，但中学阶段不研 Δ 、 。
② 单位：
究其方向 ｂ． ｒａｄ／ｓ
周期是做匀速圆周运动
ｒ
周 ① Ｔ ２π ，单位：
期 的物体沿圆周运动一周的 ａ． ＝ ｖ ｓ
、
频
时间（Ｔ）；周期的倒数等于
ｆ １，单位：
率 频率（ｆ） ｂ． ＝ Ｔ Ｈｚ
三、匀速圆周运动的向心力
和
转
速 ②
转速（ｎ）是物体转过的圈
ｃ．
ｎ 的单位：
ｒ／ｓ
、
1. 作用效果 向心力产生向心加速度 只改变速
数与时间的比值 ： ，
ｒ／ｍｉｎ
度的方向 不改变速度的大小
向 心 加 ① 的 描 物理 述 量 速 （ 度 ａ） 方向变化快慢 ａ． ａ ＝ ｖ ｒ ２ ＝ ｒω２ ＝ ｖω 2. 大小 Ｆ ， ｍａ ｍ ｖ２ ｍω２ｒ 。 ｍ ４π ２ ｒ ｍωｖ
速 度 方向指向圆心 单位： ２ ： ＝ ＝ ｒ ＝ ＝ Ｔ ２ ＝ ＝
② ｂ． ｍ／ｓ
２ｍｆ ２ｒ
ｍｖ２ ４π 。
作用效果是产生向心加 Ｆ ｍａ 3.
向 ① ａ． ＝ ＝ ｒ ＝ 方向 始终沿半径指向圆心 方向时刻在改
心 速度 ： ，
力 ｍω２ｒ ｍωｖ 变 即向心力是一个变力
方向始终指向圆心 ＝ ， 。
② 单位： 4.
ｂ． Ｎ 来源 向心力可以由一个力提供 也可以由几
： ，
相 Ｔ １ ｖ ｒω ２πｒ ｆｒ 个力的合力提供 还可以由一个力的分力
① ＝ ｆ ② ＝ ＝ Ｔ ＝２π ，
互
关 提供
ｖ２ ２ｒ θ 。
系 ａ ｒω２ ωｖ ４π ２ｆ ２ｒ ｔ ·Ｔ
③ ＝ ｒ ＝ ＝ ＝ Ｔ２ ＝４π ④ ＝ 四、近心、离心运动
２π
2. 常见的几种传动装置 受力特点
皮带传动 如图 图 所示 皮带与两轮之 Ｆ 时 物体沿切线方向飞出
１） ： １、 ２ ， ＝０ ，
间无相对滑动时 ｖ ｖ 由ｖ ωｒ 知ω 与ｒ 成 Ｆ ｍω２ｒ 时 物体逐渐远离圆心
， Ａ＝ Ｂ， ＝ ＜ ，
反比 由ａ
ｖ２
知 ａ 与 ｒ 成反比
Ｆ
＞
ｍω２ｒ 时
，
物体逐渐靠近圆心
（
近心运动
）
， ＝ ｒ 。
5
年
高
考
3
年
摩擦传动和齿轮传动 如图 图 所示 两
模
２） ： ３、 ４ ，
拟
轮边缘接触 接触点无打滑现象时 ｖ ｖ 由
A ， Ａ＝ Ｂ，
版
高
考
物
理
３０
综合篇
拓展 一 运动的合成与分解 通常不同 但两物体沿绳或杆方向的速度分量
，
大小相等 原因是绳和杆的长度不发生变化
一、关联速度问题 （ ）。
关联速度 常见情景示例如下
物体的实际运动即合运动 对于用绳 杆 “ ” 。
， 、
相牵连的物体 在运动过程中 两物体的速度
， ，
专
题
四
曲
线
运
动
３１
情景图示
（注：Ａ沿斜面下滑）
分解图示
定量结论 ｖ ｖ θ ｖ ｖ ｖ θ ｖ ｖ α ｖ β（ｖ ｖ ） ｖ α ｖ α（ｖ ｖ ）
Ｂ＝ Ａ ｃｏｓ ＝ １ １＝ Ａ ｃｏｓ ＝ ０ Ａ ｃｏｓ ＝ Ｂ ｃｏｓ Ａ １＝ Ｂ １ Ｂ ｓｉｎ ＝ Ａ ｃｏｓ Ａ １＝ Ｂ １
基本思路 定合速度（物体实际速度） 分解合速度 定分速度方向 用平行四边形定则求解分速度
→ → →
例1 质量为 ｍ 的物体 Ｐ 置于倾角为 θ 的固 项错误。
１
定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连 答案
Ｂ
接着 Ｐ 与小车，Ｐ 与滑轮间的细绳平行于斜 二、小船渡河问题
1.
面，小车以速率ｖ 水平向右做匀速直线运动，重 小船渡河问题分析思路
力加速度大小为 ｇ。 当小车与滑轮间的细绳和
水平方向成夹角 θ 时（如图所示），下列判断
２
正确的是 （ ）
Ｐ 的速率为 ｖ
Ａ．
Ｐ 的速率为 ｖ θ
Ｂ． ｃｏｓ ２
绳中的拉力等于 ｍｇ θ
2.
Ｃ． ｓｉｎ １ 小船渡河的最短时间
绳中的拉力小于 ｍｇ θ
Ｄ． ｓｉｎ １
解析 将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分
解为 ｖ 、ｖ ，Ｐ 的速率 ｖ ｖ θ ， 项错误， 渡河情景
１ ２ １ ＝ ｃｏｓ ２ Ａ Ｂ
项正确；小车向右做匀速直线运动，θ 减小，Ｐ
２
的速率增大，绳中的拉力大于 ｍｇ θ ， 、
ｓｉｎ １ Ｃ Ｄ
续表 解析 设龙舟头与航线 ＭＮ 之间的夹角为
渡河条件 船头垂直于河岸 α，龙舟在静水中的速度与水流速度合成得到
ｄ 龙舟的合速度，沿 ＭＮ 方向。 如图所示，由几
渡河结果 最短时间ｔ
ｍｉｎ＝ｖ
船
何知识得 α °，龙舟的合速度大小 ｖ
3. ＝ ５３ ＝
小船渡河的最小位移
ｖ α ． 。 航 线 ＭＮ 的 长 度 Ｌ
２ 船 ｃｏｓ ＝ ６ ０ ｍ／ｓ ＝
２８８ ｍ ，故龙舟从Ｍ 点沿直线ＭＮ 到达
°＝３６０ ｍ
ｓｉｎ ５３
渡河情景
对岸所经历的时间 ｔ Ｌ／ｖ 。
＝ ＝６０ ｓ
船头斜向上游且ｖ 船头斜向上游，与合
船＞
渡河条件 ｖ ，船沿岸方向分速 速度方向垂直，且
水
度ｖ θ ｖ ｖ ｖ
船ｃｏｓ ＝ 水 水＞ 船
ｄ 答案
最短位移为
α ＝ Ａ
渡河结果 最短位移为河宽ｄ ｓｉｎ
ｖ
水 ｄ 拓展 二 平抛运动的特定情境
ｖ
船
1.
同一竖直面约束的平抛运动
例2 年 月，第三届“龙行中原”河南省
２０２０ ９
图示 方法 基本规律 初速度
全民龙舟大赛（淅川站）激情开赛。 如图所示，
假设某龙舟队在比赛前划向比赛点的途中要
ｘ
根据下 水平位移ｘ ｖ ｔ ｖ
渡过 宽、两岸平直的河，河中水流的速 ＝ ０ ０＝ ｔ ＝
２８８ ｍ 落高度
度恒为 ｖ 水＝５ ． ０ ｍ／ｓ 。 龙舟从 Ｍ 处开出后实际 求时间 下落高度ｈ ＝ ２ １ｇｔ２ ｘ ｇ ｈ
沿直线 ＭＮ 到达对岸，若直线 ＭＮ 与河岸夹角 ２
为 °，龙舟在静水中的速度大小也为 ． ， 注意 打到同一竖直墙壁的平抛运动，水平分位移一
５３ ５ ０ ｍ／ｓ
已知 ° ． ， ° ． ，龙舟可看作质 定相同，速度反向延长线一定交于水平位移的中点。
ｓｉｎ ５３ ＝０ ８ ｃｏｓ ５３ ＝０ ６
点。 则龙舟在水中的合速度大小ｖ 和龙舟从Ｍ 例3 （多选）从竖直墙的前方Ｏ′处，沿Ｏ′Ｏ 方
点沿直线 ＭＮ 到达对岸所经历的时间 ｔ 分别为 向水平发射三颗弹丸 Ａ、Ｂ、Ｃ，在墙上留下的弹
（ ） 痕为 ａ、ｂ、ｃ，如图所示。 已知 Ｏａ ａｂ ｂｃ，则 Ａ、
＝ ＝
Ｂ、Ｃ 三颗弹丸（不计空气阻力） （ ）
5
年
高
ｖ ． ，ｔ
考 Ａ． ＝６ ０ ｍ／ｓ ＝６０ ｓ
3
ｖ ． ，ｔ
年 Ｂ． ＝６ ０ ｍ／ｓ ＝７２ ｓ
模 初速度之比是
拟 ｖ ． ，ｔ Ａ． ６ ∶ ３ ∶ ２
Ｃ． ＝５ ０ ｍ／ｓ ＝７２ ｓ
A ｖ ． ，ｔ 初速度之比是
版 Ｄ． ＝５ ０ ｍ／ｓ ＝６０ ｓ Ｂ． １ ∶ ２ ∶ ３
高
考
物
理
３２
从射出至打到墙上过程速度增量之比是 续表
Ｃ． １ ∶
图示 运动时间
２ ∶ ３
在运动起点沿平行斜
从射出至打到墙上过程速度增量之比是
Ｄ．
面、垂直斜面同时分
６ ∶ ３ ∶ ２ 解 ｖ 、ｇ，在垂直斜面
０
解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方
方向上有 ｖ ａ ｔ、
０＝ １－ １
向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线
ｖ ２ ａ ｄ，解得ｔ
０－ １ ＝－２ １ ＝
运动。 又因为竖直方向上 Ｏａ ａｂ ｂｃ，即 Ｏａ ｖ θ
＝ ＝ ∶ ０ ｔａｎ ， 最 远 距 离
ｇ
Ｏｂ Ｏｃ ，由 ｈ １ｇｔ２ 可知 ｔ ｔ ｔ
∶ ＝１ ∶ ２ ∶ ３ ＝ ａ ∶ ｂ ∶ ｃ＝ ｖ ２ θ θ
２ ｄ ０ ｓｉｎ ｔａｎ
＝ ｇ
，由水平方向 ｘ ｖ ｔ 可得 ｖ ｖ ２
１ ∶ ２ ∶ ３ ＝ ０ ａ ∶ ｂ ∶ 在离斜面最高点，速
ｖ １ １ ， 项正确， 项 度 ｖ 方向平行于斜
ｃ＝１ ∶ ∶ ＝ ６ ∶ ３ ∶ ２ Ａ Ｂ
２ ３
面，分解速度ｖ，由ｖ
ｙ＝
错误；由 ｖ ｇｔ 可知，从射出至打到墙上过程
ｖ θ
Δ ＝ ｇｔ得ｔ ０ ｔａｎ
速度增量之比是 ， 项正确， 项 ＝ ｇ
１ ∶ ２ ∶ ３ Ｃ Ｄ
错误。 从斜面上某点水平抛出 又落到斜面上的
，
答案 平抛运动的特点
ＡＣ ：
2.
同一斜面约束的平抛运动 位移方向相同 末速度方向相同 α
１） ， ，ｔａｎ ＝
图示 运动时间 θ α 为速度方向与水平方向夹角 θ 为
２ ｔａｎ （ ，
垂直打到斜面： 位移方向与水平方向夹角
）。
ｖ ｖ 当速度方向与斜面平行时 物体到斜面的距
由 θ ０ ０ 得 ２） ，
ｔａｎ ＝ ｖ ＝ ｇｔ
ｙ 离最远 且从抛出到距斜面最远所用的时间
，
ｖ
ｔ ０ 为平抛运动时间的一半
＝ｇ θ 。
ｔａｎ
切入斜面： 例4 如图所示，从倾角为 θ 的足够长的斜面
ｖ ｇｔ 顶端Ｐ 以速度ｖ 水平抛出一个小球，落在斜面
由 θ ｙ ，得
ｔａｎ ＝ ｖ ＝ ｖ ０
０ ０ 上某处 Ｑ 点，小球落在斜面上的速度与斜面的
ｖ θ
ｔ ０ ｔａｎ 夹角为 α，若把初速度变为 ｖ ，小球仍落在斜
＝ ｇ ２ ０
面上，则以下说法正确的是 （ ）
ｙ
由 θ
ｔａｎ ＝ ｘ ＝
１ｇｔ２
ｇｔ
２
ｖ ｔ ＝ ｖ
０ ２ ０
ｖ θ
得ｔ ２ ０ ｔａｎ 夹角 α 将变大
＝ ｇ Ａ．
夹角 α 与初速度大小无关
Ｂ．
小球在空中的运动时间不变
Ｃ．
专
Ｐ、Ｑ 间距是原来间距的 倍 题
Ｄ． ３ 四
曲
线
运
动
３３
解析 小球初末位置都在斜面上，则小球位
移方向不变，速度与水平方向的夹角的正切值
ｇｔ
β θ，因为θ 不变，则β 不变，又因
ｔａｎ ＝ｖ ＝２ ｔａｎ
０
为 α β θ，可知 α 不变，与初速度无关， 、 项
＝ － Ａ Ｃ
ｘ ｖ ｔ 图
错误， 项正确；Ｐ、Ｑ 的间距 ｓ ０ ３
Ｂ ＝ θ＝ θ＝
ｃｏｓ ｃｏｓ 例5 （多选）如图所示，有一半圆形轨道在竖
ｖ ２ θ
２ ０ ｔａｎ ，初速度变为原来的 倍，则 Ｐ、Ｑ 的 直平面内，Ｏ 为圆心，ＡＢ 为水平直径，有一小球
ｇ θ ２
ｃｏｓ
从 Ａ 点以不同初速度向右平抛，不计空气阻
间距变为原来的 倍， 项错误。
４ Ｄ
力，在小球从抛出到落到轨道这个过程中，下
答案
Ｂ
3. 列说法正确的是 （ ）
曲面约束的平抛运动的三种常见情景
如图 所示 小球从半圆弧左边沿开始做平
１） １ ，
抛运动 落到半圆内的不同位置 竖直方向
， 。
有 ｈ １ｇｔ２ 水平位移 ｘ Ｒ Ｒ２ ｈ２ ｖ ｔ 联 初速度越小，小球运动时间越长
＝ ， ＝ ± － ＝ ０ ， Ａ．
２
初速度不同，小球运动时间可能相同
立两方程可求 ｔ Ｂ．
。
落在半圆形轨道最低点时小球运动的时间
Ｃ．
最长
小球落到半圆形轨道上的瞬间，速度方向可
Ｄ．
能垂直半圆形轨道
图
１
解析 小球做平抛运动的时间由下落高度决
定，初速度不同的小球落在半圆形轨道上时下
落的高度可能相等，运动的时间可能相等，
Ａ
项错误， 项正确；落在半圆形轨道最低点的
Ｂ
小球下落的高度最大，所以运动的时间最长，
Ｃ
项正确；若小球落到半圆形轨道上的瞬间垂直
图
２
撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则
如图 所示 小球恰好从圆柱体 Ｑ 点沿切线 速度方向与水平方向的夹角 α 是位移方向与
２） ２ ，
飞过 此时半径 ＯＱ 垂直于速度方向 圆心角 水平方向夹角 θ 的 倍，这与结论 α
， ， ２ ｔａｎ ＝
θ 与速度的偏向角 α 相等
α相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半
。 ２ ｔａｎ
5
如图 所示 小球恰好沿 Ｂ 点的切线方向进
径方向， 项错误。
年 ３） ３ ， Ｄ
高 答案
入圆轨道 此时半径 ＯＢ 垂直于速度方向 圆
考 ， ， ＢＣ
3
心角 α 与速度的偏向角相等
年
。
模
拟
A
版
高
考
物
理
３４
2. 拓展 三 圆周运动的力学分析 两类模型对比
1. 类型 轻绳模型 轻杆模型
常见圆周运动的分析
受力分析并
圆周运动图例 利用向心力分析 常见
建立坐标系
类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
Ｆ θ ｍｇ
ｃｏｓ ＝
Ｆ
ｓｉｎ
θ
＝
Ｆ
向＝
过最高
由ｍｇ ｍ
ｖ２临
由小球恰能运动到
点的临 ＝ ｒ
ｍω２ｌ θ 最高点可得ｖ
ｓｉｎ
界条件 得ｖ ｇｒ
临＝０
临＝
（ ）当 ｖ 时，Ｆ
Ｆ θ ｍｇ １ ＝０ Ｎ＝
ｃｏｓ ＝ ｍｇ，Ｆ 为支持力，沿
Ｆ ｓｉｎ θ ＝ Ｆ 向＝ Ｎ
半径背离圆心
ｍω２（ｄ ｌ θ）
＋ ｓｉｎ （ ）过最高点时，ｖ （ ）当 ｖ ｇｒ时，
１ ＞ ２ ０＜ ＜
Ｆ Ｎ ｃｏｓ θ ＝ ｍｇ 对最高 ｇｒ，Ｆ Ｎ＋ ｍｇ ＝ ｍ ｖ ｒ ２ ， ｍｇ － Ｆ Ｎ＝ ｍ ｖ ｒ ２ ，Ｆ Ｎ 背
Ｆ Ｎ ｓｉｎ θ ＝ Ｆ 向＝ 点不同 绳或轨道对球产生 离圆心，随 ｖ 的增大
ｍω２ｒ 速度的 竖直向下弹力Ｆ 而减小
Ｎ
讨论 （ ）ｖ ｇｒ，不能过最 （ ） 当 ｖ ｇｒ 时，
Ｆ θ ｍｇ ２ ＜ ３ ＝
升 ｃｏｓ ＝ 分析 高点，在到达最高点 Ｆ
Ｆ θ Ｆ Ｎ＝０
升 ｓｉｎ ＝ 向＝ 前小球已经脱离了
（ ） 当 ｖ ｇｒ 时，
在水平面内 ｍω２ｒ
圆轨道
４ ＞
ｖ２
Ｆ ｍｇ ｍ ，Ｆ 指
Ｎ＋ ＝ ｒ Ｎ
Ｆ ｍ ｇ
Ｎ＝ Ａ
向圆心并随 ｖ 的增
Ｆ ｍ ｇ Ｆ
＝ Ｂ ＝ 向＝ 大而增大
ｍ ω２ｒ
接触面光滑 Ａ 3. 分析思路
Ｆ ｍｇ
ｆ＝
Ｆ
Ｎ＝
Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
（Ｆ μＦ ）
ｆ≤ Ｎ
Ｆ ｍｇ
Ｎ＝
Ｆ
ｆ＝
Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
（Ｆ μＦ ）
ｆ≤ Ｎ
Ｆ θ
ｆ ｃｏｓ ＋
Ｆ θ ｍｇ
Ｎ ｓｉｎ ＝
Ｆ θ
ｆ ｓｉｎ － 例6 如图所示，同一水平面的皮带轮 Ａ、Ｂ 通
Ｆ θ
Ｎ ｃｏｓ ＝ 过不打滑的皮带传动，Ａ 轮的半径是 Ｂ 轮的
Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
倍。 在皮带轮各自的轴上用长度相同的轻绳
２
（Ｆ μＦ ）
专
ｆ≤ Ｎ 分别悬挂质量为 ｍ 和 ｍ 的甲、乙两个小球， 题
甲 乙
四
曲
线
运
动
３５
二者质量关系满足 ｍ ｍ 。 两轻绳上端的 误；甲、乙两球做匀速圆周运动，设 θ 为轻绳与
甲 ＝４ 乙
悬挂点足够高且在同一水平面上，通过外力驱
轴的夹角，显然 θ π，由 Ｆ ｍｇ θ
动 Ａ 轮，待系统稳定转动后，两轻绳与轴的夹 ０＜ ＜ 向 ＝ ｔａｎ ＝
２
角分别为 α 和 β。 下列说法正确的是 （ ） ｇ
ｍω２Ｌ θ，ｈ Ｌ θ，得 ｈ ，甲、乙两球离
ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝ω２
悬挂点的高度之比为 ｈ ｈ ，故甲、乙
甲 ∶ 乙＝４ ∶ １
两球不在同一水平面上， 错误；甲、乙两球做
Ｂ
ｇ
匀速圆周运动，由 ｍｇ θ ｍω２Ｌ θ 得
ｔａｎ ＝ ｓｉｎ Ｌ ＝
甲、乙两球转动的角速度之比为
ω２
ｃｏｓ
θ，再由ω
甲＜
ω
乙
得
ｃｏｓ
α
＞ ｃｏｓ
β，故α
＜
β，
Ａ． ２ ∶ １ 但此大小关系与质量无关， 错误；由题知拉
甲、乙两球在同一水平面上 Ｃ
Ｂ． ｍｇ ｍｇＬ
因为 ｍ ｍ ，所以 α β 力 Ｆ ，因 ｍ ｍ 且 ｈ ｈ
Ｃ． 甲＝４ 乙 ＜ ＝ θ＝ ｈ 甲 ＝ ４ 乙 甲 ∶ 乙 ＝
ｃｏｓ
甲、乙两球受到细绳的拉力大小相等
Ｄ．
，故甲球受到细绳的拉力等于乙球受到细
４ ∶ １
解析 Ａ、Ｂ 通过皮带传动，系统稳定后，Ａ、Ｂ
绳的拉力， 正确。
Ｄ
匀速转动，线速度大小相同，即 ｖ ｖ ，ω ·
Ａ ＝ Ｂ Ａ 答案
Ｄ
Ｒ ω Ｒ，所以 ω ω ω ω ， 错
２ ＝ Ｂ 甲 ∶ 乙 ＝ Ａ ∶ Ｂ ＝１ ∶ ２ Ａ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
物
理
３６
应用篇
模型 一 平抛运动的临界模型 设球台长为 Ｌ、网高为 ｈ，乒乓球反弹前后水
２
1.
平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相
模型解读
反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。 （重
平抛运动与日常生活紧密关联 如乒乓球 足
， 、
力加速度为 ｇ）
球 排球 飞镖等的运动 射击 飞机投弹等情
、 、 ， ，
景 将这些运动情景建立物理模型 找出物
。 ，
体运动过程中受到边界条件的制约 如网球
，
是否触网 压界或越界 飞镖是否能中靶心
、 、 、
飞机投弹是否能命中目标等
。
2. （ ）若球在球台边缘 Ｏ 点正上方高度为 ｈ 处
求解平抛运动临界问题的一般思路
１ １
分析求解平抛运动中的极值问题的方法 主 以速度 ｖ 水平发出，落在球台上的 Ｐ 点（如图
， １ １
要是利用平抛运动规律和相关知识 列出方 中实线所示），求 Ｐ 点距 Ｏ 点的距离 ｘ 。
， １ １
程 得出相关函数关系式 利用数学的二次函 （ ）若球从 Ｏ 点正上方某高度处以速度 ｖ 水
， ， ２ ２
数求极值或利用均值不等式求极值得出最大 平发出，球经反弹后恰好在最高点时越过球网
值或最小值 落在球台上的 Ｐ 点（如图中虚线所示），求 ｖ
。 ２ ２
例1 抛体运动在各类体育运动项目中很常 的大小。
见，如乒乓球运动。 现讨论乒乓球发球问题， （ ）若球从 Ｏ 点正上方水平发出后，球经反弹
３
恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘 Ｐ
３
点，求发球点距 Ｏ 点的高度 ｈ 。
３
解析 （ ）根据平抛规律得
１
ｈ
ｈ １ｇｔ ２，ｘ ｖ ｔ ，联立解得 ｘ ｖ ２ １。
１ ＝ １ １ ＝ １ １ １ ＝ １ ｇ
２
当 Ａ 达到最大静摩擦力时，Ｂ 受到的摩擦力
Ａ．
（ ）根据平抛运动规律得 ｈ １ｇｔ ２，ｘ ｖ ｔ
大小为
２ ２ ＝ ２ ２ ＝ ２ ２ １２ Ｎ
２
当 Ａ 恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速
Ｌ ｇ Ｂ．
且 ｈ ｈ， ｘ Ｌ，联立解得 ｖ 。
２ ＝ ２ ２ ＝ ２ ＝ ｈ
２ ２ 度为２ ３０
ｒａｄ／ｓ
（ ）如图所示，得 ｈ １ｇｔ ２，ｘ ｖ ｔ ３
３ ３ ＝ ３ ３ ＝ ３ ３ 当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度为
２ Ｃ．
２ ３０
ｒａｄ／ｓ
３
在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，Ａ 将
Ｄ．
且 ｘ Ｌ 做向心运动，Ｂ 将做离心运动
３ ３ ＝２
设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的 解析 由 Ｆ ｍω２ｒ 知 Ｂ 所需向心力大于 Ａ
＝
的，则增大圆盘的角速度，Ｂ 先达到最大静摩
时间为 ｔ，水平距离为 ｓ，有 ｈ ｈ １ｇｔ２、ｓ ｖ ｔ，
－ ＝ ＝
３ ３
２ 擦力，ω 再大时细线上有了拉力，Ｂ 受到的拉力
由几何关系得 ｘ ｓ Ｌ，解得 ｈ ４ｈ。 指向 Ａ，Ａ 受到的拉力指向 Ｂ，所以 Ａ 达到最大
＋ ＝ ＝
３ ３
３ 静摩擦力时，Ｂ 受到的摩擦力大小 Ｆ ｋｍ ｇ
Ｂ＝ Ｂ ＝
ｈ Ｌ ｇ
答案 （ ）ｖ ２ １ （ ） （ ） ４ｈ ， 项正确；设小物体 Ａ 达到最大静摩擦
１ １ ｇ ２ ｈ ３ １２ Ｎ Ａ
２ ２ ３ 力时，圆盘的角速度为 ω ，此时细线的拉力大
１
模型 二 圆周运动的临界模型 小为Ｔ，则对Ａ 有ｋｍ ｇ Ｔ ｍ ω ２ｒ ，对Ｂ 有Ｔ
Ａ － ＝ Ａ Ａ ＋
１
一、水平面的圆周运动临界问题
ｋｍ ｇ ｍ ω ２ｒ ，得 ω ２ ， 项错
两物体相接触且处于相对静止时 常存在 Ｂ ＝ Ｂ １ Ｂ １ ＝ １０ ｒａｄ／ｓ Ｂ
１３
，
误；当细线上开始有弹力时，对 Ｂ 有 ｋｍ ｇ
着静摩擦力 则相对滑动的临界条件是 静摩 Ｂ ＝
， ：
擦力达到最大值
。 ｍ ω ２ｒ ，解得 ω ２ ３０ ， 项正确；剪断
例2 （多选）如图所示，匀速转动的水平圆盘 Ｂ ２ Ｂ ２ ＝ ｒａｄ／ｓ Ｃ
３
细线，Ａ 随圆盘做圆周运动，Ｂ 将做离心运动，
上放有质量分别为 和 的小物体Ａ、Ｂ，
２ ｋｇ ３ ｋｇ
项错误。
Ａ、Ｂ 间用细线沿半径方向相连。 它们到转轴
Ｄ
答案
的距离分别为 ｒ ． 、ｒ ． 。 Ａ、Ｂ 与盘
Ａ＝０ ２ ｍ Ｂ＝０ ３ ｍ ＡＣ
二、圆锥面上的临界问题
面间的最大静摩擦力均为重力的 ２。 ｇ 取
在圆锥面上做圆周运动的物体 随转动角
５ ，
２，现缓慢地增大圆盘的角速度，则下列 速度的增大 物体受到的某个力会变小 当该
１０ ｍ／ｓ ， ，
专
说法正确的是 （ ） 力恰好减为零时 往往就是该类问题的临界状 题
， 四
曲
线
运
动
３７
态 由临界状态求临界的线速度或角速度 问 细线沿水平方向，且细线的拉力为零，设此时
， ，
题常常就迎刃而解了 小球的速度为 ｖ ，受力如图
。 ３ ３
例3 如图所示，内壁光滑的“倒立”圆锥筒的 ｍｖ２
由牛顿第二定律得 Ｎ ° ３，在竖直方
轴线竖直，顶角为 θ °，底面半径为 Ｒ，在底 ２ ｃｏｓ ３０ ＝ Ｒ
２ ＝６０
面圆心 Ｏ 处系一个轻质细线，长也为 Ｒ，细线 向有 Ｎ ° ｍｇ
２ ｓｉｎ ３０ ＝
的另一端连一个小球，小球可视为质点。 现给
解得 ｖ ｇＲ所以要使细线无拉力，小球的
３ ＝ ３
小球一个初速度，使其在水平面内做圆周运
ｇＲ
动，已知重力加速度为 ｇ，则： 线速度大小应满足： ３
≤
ｖ
球≤ ３
ｇＲ。
２
（ ）要使小球不碰到圆锥筒，小球的线速度大 图
１ １
小应不超过多大？
（ ）要使细线无拉力，小球的线速度大小应满
２
足什么条件？
解析 （ ）小球恰好与筒壁接触，但与筒壁
１
间无作用力，设此时小球的线速度大小为 ｖ ，
１
受力如图
１
图
ｍｖ２ ２
由牛顿第二定律得 Ｆ ° １ ，在竖
１ ｓｉｎ ３０ ＝Ｒ °
ｓｉｎ ３０
ｇＲ
直方向有 Ｆ ° ｍｇ，解得 ｖ ３ ，
１ ｃｏｓ ３０ ＝ １ ＝
６
ｇＲ 图
所以，当小球的线速度 ｖ ３ 时，小球不 ３
球＜
答案 见解析
６
会碰到筒壁。
三、竖直面上的脱轨问题
（ ）小球与筒壁接触，但细线的拉力为零，设此 1. 竖直圆的有关脱轨问题
２
时小球的线速度大小为 ｖ ，受力如图 脱轨可分为外侧脱轨与内侧脱轨两种情况
２ ２ １） 。
5 ｍｖ２ 脱轨的条件为物体与轨道之间的作用力
年 由牛顿第二定律得 Ｎ ° ２ ， ２）
高 １ ｃｏｓ ３０ ＝Ｒ ° 为零
考 ｓｉｎ ３０ 。
3 在竖直方向有 Ｎ ° ｍｇ 如图所示 外脱轨 小球 质量为 ｍ 从光滑
年 １ ｓｉｎ ３０ ＝ （ ）， （ ）
模
圆轨道最高点由静止滑下 设小球与圆心连
拟 ｇＲ
解得 ｖ ３ ，
A ２ ＝ 线与竖直方向的夹角为 θ 时开始脱轨 则
版 ２ ，
高
考
物
理
３８
ｖ２ 若 ｈ Ｒ，小球会脱离轨道
ｍｇ θ ｍ 由机械能守恒得 ｍｇＲ Ａ． ≤
ｃｏｓ ＝ Ｒ， （１－ 若 ｈ Ｒ，小球不能到达 ｂ 点
Ｂ． ＝２
若 ｈ ． Ｒ，小球运动到 ａ、ｂ 时对轨道都有
θ １ｍｖ２ 解得 θ ２
Ｃ． ＝２ ５
ｃｏｓ ）＝ ， ｃｏｓ ＝ 。
２ ３ 压力
若 ｈ ． Ｒ，小球运动到 ａ、ｂ 时对轨道的压
Ｄ． ≥２ ５
力差为 ｍｇ
６
解析 设小球沿倾斜轨道下滑再进入圆轨道
2.
竖直面内圆周运动临界问题的分析步骤 后恰好经过最高点 ｂ，据动能定理可得 ｍｇ（ｈ
－
定模型 判断是轻绳模型还是轻杆模型 两
１） ： ， Ｒ） １ｍｖ２；在 ｂ 点据牛顿第二定律可得ｍｇ
种模型过最高点的临界条件不同 ２ ＝ ＝
。 ２
定临界点 抓住绳模型中在最高点 ｖ ｇＲ
ｖ２
ｍ ，联立解得 ｈ ５ Ｒ；当小球沿倾斜轨道下
２） ： ≥
Ｒ ＝
及杆模型中在最高点 ｖ 这两个临界条件 ２
≥０ 。
滑再进入圆轨道后恰好运动到与圆心等高处，
受力分析 对物体在最高点或最低点时进行
３） ：
由动能定理可得 ｍｇ（ｈ′ Ｒ） ，解得 ｈ′ Ｒ；若
受力分析 根据牛顿第二定律列出方程 － ＝ ０ ＝
， ，
ｈ Ｒ，小球不会脱离轨道， 错误；若 ｈ Ｒ，小
Ｆ Ｆ ≤ Ａ ＝２
合＝ 向。
球在到达 ｂ 点前脱离轨道，即不能到达 ｂ 点，
过程分析 应用动能定理或机械能守恒定律 Ｂ
４） ：
正确；若 ｈ ． Ｒ，小球恰好能到达 ｂ 点，即在 ｂ
将初 末两个状态联系起来列方程 ＝２ ５
、
点时对轨道没有压力，运动到 ａ 点时满足 Ｆ
例4 （多选）某同学根据游乐园的过山车轨 －
１
ｖ′２
道，制作了如图所示的竖直放置的轨道，其中 ｍｇ ｍ 由于 ｖ′ ，则轨道对小球有支持力，
＝ Ｒ ≠０
左侧为倾斜直轨道，在靠近底端处与圆轨道相
小球对轨道有压力， 错误；若 ｈ ． Ｒ，小球
切，圆轨道的最低点为 ａ、最高点为 ｂ。 小球从 Ｃ ≥２ ５
ｖ２
倾斜轨道上某处无初速度释放，小球将沿轨道 在最低点、最高点分别满足 Ｆ ｍｇ ｍ １；Ｆ
１ － ＝ Ｒ ２ ＋
下滑。 该同学多次改变释放点进行实验，发现
ｖ２
有时小球能通过 ｂ 点，有时在到达 ｂ 点前就脱 ｍｇ ｍ ２，从 ａ 点到 ｂ 点过程，据动能定理可得
＝ Ｒ
离轨道。 不计阻力，小球质量为 ｍ，小球释放
ｍｇ· Ｒ １ ｍｖ２ １ ｍｖ２，联立解得 Ｆ Ｆ
点到 ａ 点的竖直高度为 ｈ，圆轨道半径为 Ｒ，重 － ２ ＝ ２ － １ １ － ２ ＝
２ ２
力加速度大小为 ｇ，以下分析正确的是 （ ） ｍｇ。 由牛顿第三定律可知，小球运动到 ａ、ｂ
６
时对轨道的压力差为 ｍｇ， 正确。
６ Ｄ
答案
ＢＤ
专
题
四
曲
线
运
动
３９
