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专题十 磁场
基础篇
考点 一 磁场的描述 三、几种常见的磁场
1.
常见磁体的磁场
一、磁场、磁感应强度
1.
磁场的基本性质 磁场对处于其中的磁体 电
： 、
流和运动电荷有力的作用
。
2.
磁感应强度
物理意义 描述磁场的强弱和方向的物
１） ：
理量
。
2.
Ｆ 电流的磁场
比值定义式 Ｂ 通电导线垂直于磁场
２） ： ＝ＩＬ（ ）。
通电直导线 通电螺线管 环形电流
单位为特斯拉
（Ｔ）。
安培定则
方向 小磁针静止时 极的指向
３） ： Ｎ 。
示意图
标矢性 磁感应强度是矢量 利用平行四边
４） ： ，
形定则或正交分解进行合成和分解
。
3.
匀强磁场 立体图
定义 磁感应强度的大小处处相等 方向处
１） ： 、
处相同的磁场称为匀强磁场
。 横截
特点 磁感线是疏密程度相同 方向相同的
２） ： 、 面图
彼此平行的直线
。
二、磁感线特点
1. 考点 二 磁场对电流的作用
磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场
方向 一、安培力
。
2. 磁感线的疏密程度定性地表示磁场的强弱 1. 安培力的方向
。
在磁感线较密的地方磁场较强 在磁感线较 左手定则 伸开左手 使拇指与其余四个手
； １） ： ，
疏的地方磁场较弱 指垂直 并且都与手掌在同一个平面内 让
。 ， ，
3.
磁感线是闭合的曲线 没有起点和终点 在 磁感线从掌心进入 并使四指指向电流的方
， 。 ，
磁体外部 从 极指向 极 在磁体内部 从
向 这时大拇指所指的方向就是通电导线在
， Ｎ Ｓ ； ，
，
极指向 极
磁场中所受安培力的方向
Ｓ Ｎ 。
。
4.
同一磁场的磁感线不中断 不相交 不相切
安培力方向总垂直于电流和磁场所决定的
、 、 。
２）
5.
磁感线是假想的曲线 客观上并不存在
平面 即 Ｆ 一定垂直于 Ｂ 和 Ｉ 但 Ｂ 与 Ｉ 不一
， 。
， ，
定垂直
。 专
题
十
磁
场
９７
2. 安培力的大小
考点 三 磁场对运动电荷（或带电粒子）的
当磁感应强度 Ｂ 的方向与导线方向成 θ 角 作用
时 Ｆ ＩＬＢ θ
， ＝ ｓｉｎ 。 一、对洛伦兹力的理解
当磁场与电流垂直时 θ ° 安培力最大
１） ， ＝９０ ， ， 1. 定义 磁场对运动电荷的作用力
： 。
Ｆ ＩＬＢ
ｍａｘ ＝ 。 2. 洛伦兹力的方向
当磁场与电流平行时 θ 安培力等于零
２） ， ＝０， 。 判定方法 应用左手定则 注意四指应指向
Ｌ 为导线在磁场中的有效长度 如弯曲通电 １） ： ，
３） 。 正电荷的运动方向或负电荷运动的反方向
导线的有效长度Ｌ 等于连接两端点的线段的 。
方向特点 Ｆ Ｂ Ｆ ｖ 即 Ｆ 垂直于 Ｂ ｖ 决定
长度 相应的电流方向沿两端点连线由始端 ２） ： ⊥ ， ⊥ ， 、
， 的平面 注意 Ｂ 和 ｖ 可以有任意夹角
流向末端 如图所示 （ ）。
3.
， 。 洛伦兹力的大小
ｖ Ｂ 时 Ｆ
１） ∥ ， ＝０。
ｖ Ｂ 时 Ｆ ｑｖＢ
２） ⊥ ， ＝ 。
ｖ 与 Ｂ 的夹角为 θ 时 Ｆ ｑｖＢ θ
３） ， ＝ ｓｉｎ 。
4.
做功 洛伦兹力不做功
： 。
二、安培力作用下导体运动情况的判断方法 5. 洛伦兹力与安培力的联系及区别
1.
五种判定方法
安培力是洛伦兹力的宏观表现 洛伦兹力是
１） ，
左手定则 安培力的微观实质 二者是相同性质的力
将导体分割为电流元 安培力方 。 ，
→
电流元法 都是磁场力
向 整段导体所受合力方向 运动
。
→ →
方向 安培力可以做功 而洛伦兹力对运动电荷不
２） ，
特殊 做功
特殊位置 安培力方向 运动方向 。
位置法 → → 二、洛伦兹力作用下带电粒子的运动
环形电流 小磁针
ｖ Ｂ 匀速直线运动
等效法 条形磁铁 通电螺线管 多个环形 ∥
ｖ Ｂ 在垂直于磁感线平面内做匀速圆周运动
电流 ⊥
在平行于磁场方向，以ｖ θ做匀速直线运
同向电流相互吸引，反向电流相互排斥， ｖ与Ｂ ｃｏｓ
动；在垂直于磁场方向，以 ｖ θ 做匀速圆
结论法 两不平行的直线电流相互作用时，有转到 成θ角 ｓｉｎ
周运动
平行且电流方向相同的趋势
三、带电粒子在匀强磁场中的运动
转换研究 先分析电流所受的安培力，再用牛顿第三
对象法 定律，确定磁体受电流的作用力
条件 粒子垂直磁场方向射入匀强磁场中
2.
判定导体运动情况的常规思路 轨迹平面 垂直于磁感线的平面内
ｍｖ２
5 向心力 洛伦兹力提供向心力，Ｆ Ｂｑｖ
＝ ＝ Ｒ
年
高
考 轨迹 ｍｖ ｐ
3 Ｒ
半径 ＝ｑＢ＝ｑＢ
年
模
拟
A
版
高
考
物
理
９８
续表 点就是圆弧轨迹的圆心 如图甲所示
（ ）。
Ｒ ｍ ｑＢ
周期 Ｔ ２π ２π （ｆ １ ）
＝ ｖ ＝ ｑＢ ＝ Ｔ ＝ ｍ
（频率） ２π
周期与粒子的运动速率无关
ｑＢ
ω ２π
＝ Ｔ ＝ ｍ
角速度
角速度只取决于粒子的比荷与磁感应强
度，与粒子的运动速率无关
方法二 已知入射方向和入射点 出射点的
ｍｖ Ｂ２ｑ２Ｒ２ ： 、
Ｅ
ｋ＝
１ｍｖ２，Ｒ
＝ｑＢ⇒
Ｅ
ｋ＝ ｍ 位置时 可以通过入射点作入射方向的垂
动能 ２ ２ ，
粒子运动的动能与磁感应强度、电荷量、 线 连接入射点和出射点 作其中垂线 这两
， ， ，
质量、轨道半径相关联
条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心 如图乙
（
四、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
所示
）。
1.
常见的三类边界磁场
几何知识求半径
２）
直线边界 进出磁场具有对称性
利用平面几何关系 求出轨迹圆的可能半径
１） ： 。
，
或圆心角 求解时注意以下几个重要的几
（ ），
何特点
。
若是劣弧 粒子速度的偏向角 φ 等于圆心
① ， （ ）
平行边界 存在临界条件 角 α 并等于 ＡＢ 弦与切线的夹角 弦切角
２） ： 。 （ ）， （
θ 的 倍 如图所示 即 φ α θ ωｔ 若
） ２ （ ）， ＝ ＝２ ＝ 。
是优弧 φ α
， ＝２π－ 。
圆形边界 等角进出 沿径向射入必沿径向
３） ： ，
半径方向 射出
（ ） 。
直角三角形的应用 勾股定理 找到 ＡＢ 的
② （ ）：
中点 Ｃ 连接 Ｏ Ｃ 则 ＡＣＯ ＢＣＯ 都是直
， 、 ， △ 、△
角三角形
。
两个观点算时间
３）
ｌ
① ② 观点一 由运动弧长计算 ｔ ｌ 为弧长
2. ： ， ＝ ｖ （ ）。
圆心、半径和运动时间的确定
α
两种方法定圆心
观点二 由旋转角度计算 ｔ Ｔ 或 ｔ
１）
： ， ＝ ° （ ＝
方法一 已知入射点 入射方向和出射点 出 ３６０
： 、 、
α
射方向时 可通过入射点和出射点作垂直于 Ｔ
， ）。
入射方向和出射方向的直线 两条直线的交 ２π
，
专
题
十
磁
场
９９
综合篇
轨迹圆圆心共线
拓展 一 带电粒子在磁场中运动的临界与极
②
如图所示 图中只画出粒
值问题
（
子带正电的情境 速度 ｖ
一、常规临界问题 ），
æ ｍｖö
1.
常见的关键字 越大 运动半径çＲ ÷也
， è ＝ｑＢø
以题目中的 恰好 最大 最高 至少 等词
“ ”“ ”“ ”“ ” 越大 可以发现这些带电粒子射入磁场后
。 ，
语为突破口 运用动态思维 寻找临界点 确定
， ， ， 它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的
临界状态
。 直线 ＰＰ′上
2. 。
寻找临界点常用的结论
界定方法
２）
刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁
１） 以入射点 Ｐ 为定点 圆心位于 ＰＰ′直线上 将
， ，
场中运动的轨迹与边界相切
。 半径放缩作轨迹 从而探索出临界条件 这
， ，
当速度 ｖ 一定时 弧长 或弦长 越长 圆心
２） ， （ ） ， 种方法称为 放缩圆法
“ ”。
角越大 则带电粒子在有界磁场中运动的时
2.
， 定圆旋转法
间越长
。
当速度 ｖ 变化时 圆心角越大 运动时间
３） ， ，
越长
。
3.
分析方法
数学方法和物理方法的结合 如利用 矢量
１） ： “
图 边界条件 等求临界值 利用 三角函
”“ ” ， “
数 不等式的性质 一元二次方程的判别 适用条件
”“ ”“ １）
式 等求极值 速度大小一定 方向不同
” 。 ① ，
一个 解题流程 突破临界问题 粒子源发射速度大小一定 方向不同的带电
２） “ ”， 。 ，
粒子进入匀强磁场时 它们在磁场中做匀速
，
圆周运动的半径相同 若入射初速度为 ｖ
， ０，
ｍｖ２ ｍｖ
由 ｑｖ Ｂ ０得圆周运动半径为 Ｒ ０
０ ＝ Ｒ ＝ ｑＢ。
二、磁偏转临界问题的两种有效处理方法
轨迹圆圆心共圆
1. 放缩圆法 ②
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心
适用条件
１） ｍｖ
速度方向一定 大小不同 在以入射点 Ｏ 为圆心 半径 Ｒ ０的圆 这
5 ① ， 、 ＝ ｑＢ （
年 粒子源发射速度方向一定 大小不同的带电
高 ， 个圆在下面的叙述中称为 轨迹圆心
考 “
粒子进入匀强磁场时 这些带电粒子在磁场
3 ， 圆 上
年 ”） 。
中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变
模
拟
化而变化
A 。
版
高
考
物
理
１００
界定方法
２）
ｍｖ
将一半径为 Ｒ ０的圆的圆心沿着 轨迹圆
＝ ｑＢ “
心圆 平移 从而探索出临界条件 这种方法
” ， ，
称为 定圆旋转法
“ ”。
另外 要重视分析时的尺规作图 规范而准
， ，
确地作图可突出几何关系 使抽象的物理问
，
题更形象 直观
、 。
例1 （ 课标 ， ， 分）一匀强磁场的
２０２０ Ⅰ １８ ６
磁感应强度大小为Ｂ，方向垂直于纸面向外，其
边界如图中虚线所示，ａｂ
专
题
十
磁
场
１０１
(
ｍ β
２π ，带电粒子在磁场中运动的时间 ｔ
ｑＢ ＝ °×
３６０
Ｔ，要让粒子的运动时间最长，只需运动轨迹对
应的圆心角 β 取得最大值即可。 圆心角与弦
切角（ ° θ）的关系为 β （ ° θ），如图甲
９０ ＋ ＝２× ９０ ＋
所示，当弦长 ｃＢ 与半圆形边界相切时，θ 取得
最大值，β 也取得最大值，此时有 ＡＢ ＢＣ（Ａ 为
⊥
ＡＢ ｒ
边界半圆的圆心）， θ １，即 θ
ｓｉｎ ＝ＡＣ＝ ｒ ＝ ＝
２ ２
°，所以粒子运动的最长时间
３０
为半圆，ａｃ、ｂｄ 与直径
ａｂ 共线，ａｃ 间的距离等于半圆的半径。 一束质
量为 ｍ、电荷量为 ｑ（ｑ ）的粒子，在纸面内从
＞０
ｃ 点垂直于 ａｃ 射入磁场，这些粒子具有各种速
甲
率。 不计粒子之间的相互作用。 在磁场中运
动时间最长的粒子，其运动时间为 （ ） β （ ° θ） ｍ ｍ
ｔ Ｔ ２× ９０ ＋ ２π ４π ， 项
＝ ° × ＝ ° × ｑＢ ＝ ｑＢ Ｃ
３６０ ３６０ ３
正确。
答案
Ｃ
ｍ ｍ
７π ５π 拓展 二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的
Ａ． ｑＢ Ｂ． ｑＢ
６ ４
多解问题
ｍ ｍ
４π ３π
Ｃ． ｑＢ Ｄ． ｑＢ
带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆
３ ２
解题导引 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周
周运动 由于多种因素的影响 使问题形成多
， ，
运动时，运动时间由圆心角和周期共同决定，
解 在解题时需考虑形成多解的原因 从而避
。 ，
而运动周期与粒子的速度无关，因此，要让粒
免漏解
。
子的运动时间最长，只需让粒子转过的圆心角
1.
带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带
：
最大即可，考虑到圆心角是弦切角的两倍，本
电粒子 可能带正电荷 也可能带负电荷 在
， ， ，
题既可以从圆心角的角度寻找临界轨迹，也可
相同的初速度下 正 负粒子在磁场中运动轨
以从弦切角的角度寻找临界轨迹。 ， 、
迹不同 形成多解
解析 设半圆边界的半径为 ｒ，带电粒子的轨 ， 。
2.
磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小 而
道半径为 Ｒ，带电粒子在磁场中做匀速圆周运 ： ，
未具体指出磁感应强度方向 此时必须要考
ｖ２ ，
动时，由牛顿第二定律得 ｑｖＢ ｍ ，又因为匀 虑磁感应强度方向不确定而形成的多解
＝ Ｒ 。
3.
临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用
Ｒ
：
速圆周运动的周期 Ｔ ２π ，联立两式可得 Ｔ
＝ ｖ ＝ 下飞越有界磁场时 由于粒子运动轨迹是圆
，
弧状 因此 它可能穿过去了 也可能转过 ｖ２
， ， ， 由洛伦兹力提供向心力有：Ｂｑｖ ｍ ０
°从入射界面这边反向飞出 于是形成多 ０ ＝ ｒ
１８０ ，
解 如图甲 ｍｖ
， 。 解得：ｒ ０
＝ ｑＢ
ｍ
粒子在磁场中运动的周期为：Ｔ ２π
＝ Ｂｑ
代入数据得：ｒ －３ ，Ｔ ． －８
＝５×１０ ｍ ＝６ ２８×１０ ｓ
由图可知，粒子在磁场中运动的时间是一个周
甲 乙 期 ｔ Ｔ ． －８
１ ＝ ＝６ ２８×１０ ｓ
4.
运动具有周期性 带电粒子在部分是电场 部 设粒子在无磁场区域运动的时间为 ｔ 、无磁场
： 、
２
分是磁场的空间运动时 往往运动具有周期 区域宽度为 ｄ，有：
，
性 因而形成多解 如图乙 ｄ
， ， 。
例2 在如图所示的ｘＯｙ 平面内，ｙ ． 和 ２× ° ｄ ．
≥０ ５ ｃｍ ｔ ｓｉｎ ３０ ４ ４×０ ００５ ． －８
ｙ 的范围内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸 ２ ＝ ｖ ０ ＝ ｖ ０ ＝ ５ ． ０×１０ ５ ｓ＝４ ０×１０ ｓ
＜０
粒子运动总时间为：
面向里，磁感应强度均为Ｂ ． ，一个质量为
＝１ ０ Ｔ
ｍ ＝１ ． ６×１０ －１５ ｋｇ ，带电荷量为 ｑ ＝１ ． ６×１０ －７ Ｃ 的 ｔ ＝ ｔ １ ＋ ｔ ２ ＝１ ． ０２８×１０ －７ ｓ
（ ）粒子可以不断地重复上述运动情况，粒子
带正电粒子，从坐标原点 Ｏ 以ｖ ． ５ ２
０ ＝５ ０×１０ ｍ／ｓ
的速度沿与 ｘ 轴成 °角的方向斜向上射出，
在磁场中通过的路程为：
３０
经磁场偏转恰好从 ｘ 轴上的 Ｑ 点飞过，经过 Ｑ ｓ ｎ ｒ（ｎ ， ， ，…）
１ ＝２ π ＝１ ２ ３
点时的速度方向也斜向上（不计重力，
在无磁场区通过的路程为：
π ＝
． ），求： ｓ ｎｄ（ｎ ， ， ，…）
３ １４ ２ ＝４ ＝１ ２ ３
总路程为：ｓ ｓ ｓ ． ｎ （ｎ ， ， ，…）
＝ １ ＋ ２ ＝０ ０５１ ４ ｍ ＝１ ２ ３
答案 （ ） ． －７
１ １ ０２８×１０ ｓ
（ ） ． ｎ （ｎ ， ， ，…）
２ ０ ０５１ ４ ｍ ＝１ ２ ３
（ ）粒子从 Ｏ 点运动到 Ｑ 点所用的最短时间； 拓展 三 带电粒子在组合场和叠加场中的
１
（ ）粒子从 Ｏ 点运动到 Ｑ 点所通过的路程。 运动
２
解析 （ ）粒子从 Ｏ 点运动到 Ｑ 点所用时间 1.
带电粒子在组合场中的运动
１
最短时的运动轨迹如图所示
思路方法图
１）
5
年
高
考
3
年
模
拟
A 设粒子在磁场中运动时间为 ｔ
版 １
高
考
物
理
１０２
步 突破带电粒子在组合场中的运动问题 在垂直电场方向：ｘ ｖ ｔ
２）“５ ” ＝ ０
合位移 ｄ ｘ２ ｙ２
＝ ＋
ｍｖ２
解得 ｄ １３ ０
＝ ｑＥ
６
（ ）粒子从 Ｑ 射出磁场时轨迹半径为 ｒ ，几何
２ １
关系如图 ：
１
ｌ ｌ
ｒ
１
＝ °＝
２ ｃｏｓ ３０ ３
例3 （ 全国甲， ， 分）如图，长度均 粒子从 Ｎ 射出磁场时轨迹半径为 ｒ ，几何关系
２０２１ ２５ ２０
２
为 ｌ 的两块挡板竖直相对放置，间距也为 ｌ，两 如图 ：
２
挡板上边缘Ｐ 和Ｍ 处于同一水平线上，在该水
ｌ
ｒ ２ （ ）ｌ
平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场， ２ ＝ °＝ ３＋１
２ ｓｉｎ １５
电场强度大小为Ｅ；两挡板间有垂直纸面向外、 ｍｖ２
由洛伦兹力提供向心力可得：ｑｖＢ
＝ ｒ
磁感应强度大小可调节的匀强磁场。 一质量
ｍｖ
为 ｍ、电荷量为 ｑ（ｑ ）的粒子自电场中某处 即 Ｂ
＞０ ＝ ｑｒ
以大小为 ｖ 的速度水平向右发射，恰好从 Ｐ 点
０ 由题意知 ｒ ｒ ｒ
处射入磁场，从两挡板下边缘 Ｑ 和 Ｎ 之间射出 １＜ ＜ ２
（ ）ｍｖ ｍｖ
磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。 已知粒 联立可解得： ３－ ３ ０ Ｂ ２ ０
ｑｌ ＜ ＜ ｑｌ
子射入磁场时的速度方向与ＰＱ 的夹角为 °， ３
６０
不计重力。
图
１
（ ）求粒子发射位置到 Ｐ 点的距离；
１
（ ）求磁感应强度大小的取值范围；
２
（ ）若粒子正好从 ＱＮ 的中点射出磁场，求粒
３
子在磁场中的轨迹与挡板 ＭＮ 的最近距离。
解析 （ ）将粒子进磁场时的速度分解，可
１
ｖ ｖ ｖ ｖ
得 ｖ ０ ０、ｖ ０ ２ ０
ｙ＝ °＝ ＝ °＝
图
ｔａｎ ６０ ３ ｓｉｎ ６０ ３ ２
粒子在电场中做类平抛运动 （ ）粒子从ＱＮ 的中点Ａ 射出时轨迹半径为ｒ ，
３ ３
在沿电场方向：ｑＥ ｍａ，ｖ２ ａｙ，ｖ ａｔ 几何关系如图
＝ ｙ＝２ ｙ＝ ３ 专
题
十
磁
场
１０３
设 ＱＰＡ α， 可以忽略 而对于一些实际物体 如带电小
∠ ＝ ； ，
球 液滴 尘埃等一般应当考虑其重力
则 ＰＡ ５ｌ， α ５， α ２ ５ 、 、 。
＝ ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝ 在题目中有明确说明是否要考虑重力的 按
２ ５ ５ ② ，
由几何关系可知： 题目要求处理
。
不能直接判断是否要考虑重力的 在进行受
ＰＡ （ ）
③ ，
ｒ ５ ２ ３＋１ ｌ
３ ＝ （ ° α）＝ 力分析与运动分析时 要结合运动状态确定
２ ｃｏｓ ３０ ＋ ２２ ，
当粒子速度与 ＭＮ 平行时，距 ＭＮ 最近 是否要考虑重力
。
过圆心 Ｏ 作 ＭＮ 的垂线交轨迹于 Ｂ 点，交 ＭＮ 三步 解决叠加场问题
３）“ ”
３
于 Ｃ 点，则
ｒ
ＢＣ ｒ ° ｌ ｒ ｌ ３ ３９－１０ ３ｌ
＝ ３ ｓｉｎ ３０ ＋ － ３ ＝ － ＝
２ ４４
图
３
答案 见解析
2. 带电粒子在叠加场中的运动 例4 如图所示，空间中存在着水平向右的匀
三种场的比较 强电场，电场强度大小 Ｅ ，同时存在
１） ＝５ ３ Ｎ／Ｃ
着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂
场 力的特点 功和能的特点
直，磁感应强度大小Ｂ ． 。 有一带正电的
重力做功与路径无关
重 大小：Ｇ ｍｇ ＝０ ５ Ｔ
力 ＝ 重力做功改变物体的 小球，质量 ｍ －６ ，电荷量ｑ －６ ，
场 方向：竖直向下 ＝１×１０ ｋｇ ＝２×１０ Ｃ
重力势能 正以速度 ｖ 在图示的竖直面内做匀速直线运
大小：Ｆ ｑＥ 电场力做功与路径 动，当经过 Ｐ 点时撤掉磁场（不考虑磁场消失
＝
方向：正电荷受力方向 无关
电
引起的电磁感应现象），取 ｇ ２。 求：
与场强方向相同，负电 Ｗ ｑＵ ＝１０ ｍ／ｓ
场 ＝
荷受力方向与场强方向 电场力做功改变物体
相反 的电势能
大小：Ｆ ｑｖＢ（ｖ Ｂ）
磁
＝ ⊥ 洛伦兹力不做功，不改
5 方向： 可 用 左 手 定 则 （ ）小球做匀速直线运动的速度 ｖ 的大小和
场
年 变带电粒子的动能 １
高 判断 方向；
考
3
关于是否考虑粒子重力的三种情况 （ ）从撤掉磁场到小球再次穿过 Ｐ 点所在的这
年 ２） ２
模
拟 对于微观粒子 如电子 质子 离子等 其重 条电场线经历的时间 ｔ。
① ， 、 、 ，
A 力一般情况下与静电力或磁场力相比太小 解析 （ ）小球做匀速直线运动时受力如
版 ， １
高
考
物
理
１０４
图，其所受的三个力在同一平面内，合力为 代入数据解得 θ
ｔａｎ ＝ ３
零，有 则 θ °，速度方向与电场方向成 °角斜
＝ ６０ ６０
向上
（ ）撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，
２
它对竖直方向的分运动没有影响，以 Ｐ 点为坐
标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向
上做匀减速运动，其初速度为 ｖ ｖ θ
ｙ＝ ｓｉｎ
ｑｖＢ
＝
ｑ２Ｅ２
＋
ｍ２ｇ２
若使小球再次穿过 Ｐ 点所在的电场线，仅需小
代入数据解得 ｖ
＝２０ ｍ／ｓ
球竖直方向上分位移为零，则有 ｖ ｔ １ｇｔ２
速度ｖ 的方向与电场Ｅ 的方向之间的夹角θ 满 ｙ － ＝０
２
ｑＥ
足 θ 联立并代入数据解得 ｔ ．
ｔａｎ ＝ｍｇ ＝２ ３ ｓ≈３ ５ ｓ
答案 （ ）见解析 （ ） ．
１ ２ ３ ５ ｓ
专
题
十
磁
场
１０５
应用篇
模型 一 洛伦兹力与现代科技模型 Ｕ æＤö２ ＵＤ
ç ÷ π
ＤＢ·πè ø ＝ Ｂ 。
以探究仪器 仪表的原理及其应用过程中 ２ ４
、 3. 霍尔元件
产生的新变化 新问题为背景进行命题 已成
、 ， 当磁场方向与电流方向垂直时 导体在与磁
为高考命题中司空见惯的现象 所以 同学们 ，
， ，
场 电流方向都垂直的方向上出现电势差
在学习过程中一定要把常用仪器 仪表的原理 、 。
、
理解透彻 本专题涉及的仪器主要有以下
。
几种
：
1.
速度选择器
霍尔元件 磁流体发电机
Ｅ
若 ｑｖ Ｂ Ｅｑ 即 ｖ 带电粒子做匀速直线
4.
０ ＝ ， ０ ＝ Ｂ， 磁流体发电机
运动 等离子体射入 受洛伦兹力发生偏转 使两极
。 ， ，
注意 在Ｅ、Ｂ方向确定时，带电粒子只有从一侧垂直 板带正 负电荷 两极板间电压为 Ｕ 时稳定
、 ， ，
进入才可以做匀速直线运动，从另一侧垂直进入不行。
ｑＵ
ｑｖ Ｂ Ｕ ｖ Ｂｄ
ｄ ＝ ０ ， ＝ ０ 。
5.
质谱仪
带电粒子由静止被加速电场加速 ｑＵ
， ＝
ｖ２
１ｍｖ２ 在磁场中做匀速圆周运动 ｑｖＢ ｍ
， ， ＝ ｒ ，
速度选择器 电磁流量计 ２
ｑ Ｕ
2. 电磁流量计 则比荷 ２
ｍ＝Ｂ２ｒ２ 。
Ｕ Ｕ
Ｅｑ ｑ ｑｖＢ 所以 ｖ 所以流量 Ｑ ｖＳ
＝Ｄ ＝ ， ＝ＤＢ， ＝ ＝
ｄ 表示）；
（ ）如图乙所示，在记录板上得到三个点 ｓ 、ｓ 、
４ １ ２
ｓ ，若这三个点是质子 １ 、氚核 ３ 、氦核 ４ 的
３ １Ｈ １Ｈ ２Ｈｅ
位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不
考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过
程）。
质谱仪 回旋加速器
6.
回旋加速器
交变电流的周期和带电粒子做圆周运动的周
期相同 带电粒子在做圆周运动的过程中每
，
次经过 形盒缝隙都会被加速 若 形盒
Ｄ 。 Ｄ
ｖ２
半径 为 Ｒ 由 ｑｖＢ ｍ 得 最 大 动 能
， ＝ ｒ 甲 乙
ｑ２Ｂ２Ｒ２ 解析 （ ）设粒子经加速电场到 ｂ 孔的速度
Ｅ １
ｋｍ ＝ ｍ 。
２ 大小为 ｖ，粒子在区域 中做匀速圆周运动对
Ⅰ
例1 （ 山东， ， 分）某型号质谱仪的
２０２０ １７ １４ 应的圆心角为 α，半径为 Ｒ，在 Ｍ、Ｎ 两金属板
工作原理如图甲所示。 Ｍ、Ｎ 为竖直放置的两
间，由动能定理得
金属板，两板间电压为 Ｕ，Ｑ 板为记录板，分界
面Ｐ 将Ｎ、Ｑ 间区域分为宽度均为ｄ 的 、 两
ｑＵ
＝
１ｍｖ２
①
Ⅰ Ⅱ ２
部分，Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ 所在平面相互平行，ａ、ｂ 为 Ｍ、 在区域 中，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力
Ⅰ
Ｎ 上两正对的小孔。 以 ａ、ｂ 所在直线为 ｚ 轴， 提供向心力，由牛顿第二定律得
向右为正方向，取 ｚ 轴与 Ｑ 板的交点 Ｏ 为坐标
ｖ２
ｑｖＢ ｍ
原点，以平行于 Ｑ 板水平向里为 ｘ 轴正方向， ＝ Ｒ ②
竖直向上为 ｙ 轴正方向，建立空间直角坐标系
ｍｑＵ
联立 式得 Ｒ ２
Ｏｘｙｚ。 区域 、 内分别充满沿 ｘ 轴正方向的 ①② ＝ ｑＢ ③
Ⅰ Ⅱ
匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场 由左手定则可知粒子在区域 中做匀速圆周
Ⅰ
强度大小分别为 Ｂ 和 Ｅ。 一质量为 ｍ，电荷量 运动的轨迹圆与 ｚ 轴在同一竖直面内，则 ｃ 点
为 ｑ 的粒子，从 ａ 孔飘入电场（初速度视为 也与ｚ 轴在同一竖直面内，粒子在ｂ 点速度沿ｚ
＋
零），经 ｂ 孔进入磁场，过 Ｐ 面上的 ｃ 点（图中 轴正方向，过 ｂ 点作 ｚ 轴垂线，连接 ｂｃ，过 ｂｃ 中
未画出）进入电场，最终打到记录板 Ｑ 上。 不 点作 ｂｃ 垂线，两垂线交于 Ｏ′点，Ｏ′点即为轨迹
5 计粒子重力。 圆心，如图所示
年
高 （ ）求粒子在磁场中做圆周运动的半径 Ｒ 以及
考 １
3
ｃ 点到 ｚ 轴的距离 Ｌ；
年
模
拟 （ ）求粒子打到记录板上位置的 ｘ 坐标；
２
A （ ）求粒子打到记录板上位置的 ｙ 坐标（用 Ｒ、
版 ３
高
考
物
理
１０６
由几何关系得 ｄ２ （Ｒ Ｌ）２ Ｒ２ 场的粒子 做圆周运动对应的圆心为 Ｏ′ 四
＋ － ＝ ④ ， 。
边形 ＯＡＯ′Ｂ 为菱形 必是平行四边形 对边
Ｒ２ ｄ２
， ，
α －
ｃｏｓ ＝ Ｒ ⑤ 平行 ＯＢ 必平行于 ＡＯ′ 竖直方向 可知从
， （ ），
ｄ Ａ 点发出的带电粒子必然经过 Ｂ 点
α 。
ｓｉｎ ＝ Ｒ ⑥
ｍｑＵ ｍＵ
联立得 Ｌ ２ ２ ｄ２
＝ ｑＢ － ｑＢ２ － ⑦
（ ）设区域 中粒子沿ｚ 轴方向的分速度为ｖ ，
２ Ⅱ ｚ
沿 ｘ 轴正方向加速度大小为 ａ，位移大小为 ｘ，
运动时间为 ｔ，由牛顿第二定律得 ｑＥ ｍａ
＝ ⑧
粒子在 ｚ 轴方向做匀速直线运动，由运动合成 2. 带电粒子的发散——“磁发散”的原理
与分解的规律得 ｖ ｖ α 如图乙所示 有界圆形磁场的磁感应强度为
ｚ＝ ｃｏｓ ⑨ ，
ｄ ｖ ｔ Ｂ 圆心为 Ｏ 从 Ｐ 点有大量质量为 ｍ 电荷量
＝ ｚ ⑩ ， ， 、
粒子在 ｘ 方向做初速度为零的匀加速直线运 为 ｑ 的正粒子 以大小相等的速度 ｖ 沿不同
，
方向射入有界磁场 不计粒子的重力 如果正
动，由运动学公式得 ｘ １ａｔ２ ， ，
＝
粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等
２
，
ｍｄ２Ｅ 则所有粒子射出磁场的方向平行
联立得 ｘ
。
＝
４
ｍＵ
－２
ｑｄ２Ｂ２
证明 所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆
：
（ ）设粒子沿 ｙ 方向偏离 ｚ 轴的距离为 ｙ，其中
３ 心 Ｏ 入射点 出射点的连线为菱形 也是平
、 、 ，
在区域 中沿 ｙ 方向偏离的距离为 ｙ′，由运动
Ⅱ 行四边形 Ｏ Ａ Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ 均平行于 ＰＯ 则出
， １ 、 ２ 、 ３ ，
学公式得 ｙ′ ｖｔ α
＝ ｓｉｎ 射速度方向相同 水平方向
（ ）。
由题意得 ｙ ＝ Ｌ ＋ ｙ′ 例2 （ 湖南， ， 分）带电粒子流的磁
２０２１ １３ １３
ｄ２
聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之
联立得 ｙ Ｒ Ｒ２ ｄ２
＝ － － ＋
Ｒ２
－
ｄ２
一。 带电粒子流（每个粒子的质量为 ｍ、电荷
（ ）ｓ 、ｓ 、ｓ 分别对应氚核 ３ 、氦核 ４ 、质子 １ 量为 ｑ）以初速度 ｖ 垂直进入磁场，不计重力
４ １ ２ ３ １Ｈ ２Ｈｅ １Ｈ ＋
的位置。
及带电粒子之间的相互作用。 对处在 ｘＯｙ 平
答案 见解析
面内的粒子，求解以下问题。
模型 二 磁聚焦与磁发散模型
1.
带电粒子的汇聚——“磁聚焦”的原理
如图甲所示 大量的同种带正电的粒子 速度
， ，
大小相同 平行入射到圆形磁场区域 如果轨
， ，
迹圆半径与磁场圆半径相等 Ｒ ｒ 则所有
（ ＝ ），
图
的带电粒子将从磁场圆的最低点 Ｂ 点射出
（ａ）
。
证明 从磁场边缘任取一点 Ａ 从该点射入磁
： ， 专
题
十
磁
场
１０７
（ ）由第（ ）问知，该过程为磁聚焦的逆过程，
２ １
图
（ｂ） 即磁发散，粒子在磁场区域运动的轨迹半径
（ ）如图（ ），宽度为 ｒ 的带电粒子流沿 ｘ 轴
１ ａ ２ １ ｒ′ ｒ ，磁场方向垂直纸面向里。
＝
正方向射入圆心为 Ａ（ ，ｒ ）、半径为 ｒ 的圆形 ２
０ １ １ ｖ２ ｍｖ
匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚 由 ｑｖＢ ｍ ，解得 Ｂ
２ ＝ ｒ ２ ＝ｑｒ
２ ２
到坐标原点 Ｏ，求该磁场磁感应强度 Ｂ 的
１
磁场区域面积为 ｒ２。
大小； π ２
（ ）如图所示
３
（ ）如图（ ），虚线框为边长等于 ｒ 的正方
２ ａ ２ ２
形，其几何中心位于 Ｃ（ ， ｒ ）。 在虚线框内设
０ － ２
计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到 Ｏ
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为 ｒ ，
２ ２
并沿 ｘ 轴正方向射出。 求该磁场磁感应强度
Ｂ 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无
２
需写出面积最小的证明过程）；
在区域 中，最小磁场区域的左下边界是由各
（ ）如图（ ），虚线框 和 均为边长等于 ｒ 的正 Ⅰ
３ ｂ Ⅰ Ⅱ ３ 粒子入射点形成的边界，由磁聚焦可知该边界
方形，虚线框 和 均为边长等于 ｒ 的正方形。
Ⅲ Ⅳ ４
在 、 、 和 中分别设计一个区域面积最小的 是一段半径为 ｒ 的１圆弧（图中实线）；右上边
ⅠⅡⅢ Ⅳ ３
４
匀强磁场，使宽度为 ｒ 的带电粒子流沿 ｘ 轴正
２ ３ 界是由最上端入射粒子运动轨迹形成的圆弧
方向射入 和 后汇聚到坐标原点 Ｏ，再经过 和
Ⅰ Ⅱ Ⅲ （图中右上角弧形虚线），即最小区域是两段
后宽度变为 ｒ ，并沿ｘ 轴正方向射出，从而实
Ⅳ ２ ４
１圆弧所围成的。
现带电粒子流的同轴控束。 求 和 中磁场磁感
Ⅰ Ⅲ
４
应强度的大小，以及 和 中匀强磁场区域的面
Ⅱ Ⅳ 由Ｂ ｑｖ ｍ
ｖ２
可得区域 的磁感应强度Ｂ
ｍｖ
积（无需写出面积最小的证明过程）。 Ⅰ ＝ ｒ Ⅰ Ⅰ ＝ｑｒ
３ ３
解析 （ ）取任意入射点 Ｅ，作出运动轨迹如 由几何知识可得区域 中磁场面积为
１ Ⅰ
图所示，四边形 ＡＥＯ′Ｏ 中 ＡＥ ＡＯ ｒ ， ＡＥＯ æ ö æ ö
＝ ＝ １ ∠ ＝ Ｓ ç １ ｒ２ １ｒ２÷ çπ ÷ｒ２
ＡＯＥ，Ｏ′Ｅ ＯＡ，所以 Ｏ′ＥＯ ＥＯＡ，由此 Ⅰ ＝è π ３ － ３ø×２＝è －１ø ３
∠ ∥ ∠ ＝∠ ４ ２ ２
5
年 得四边形 ＡＥＯ′Ｏ 为菱形，入射粒子在磁场中运 区域 Ⅱ 中磁场的方向与 Ⅰ 中的相反，则 Ⅱ 中粒
高
考
3 动的轨迹半径为 ｒ ， 得 ｑｖＢ ｍ
ｖ２
， 解得
子的运动轨迹与
Ⅰ
中的关于 ｘ 轴对称，由对称
年 １ １ ＝ ｒ 性可知区域 内磁场区域最小面积
模 １ Ⅱ
拟 ｍｖ æ ö
Ｂ 。 Ｓ Ｓ çπ ÷ｒ２
A １ ＝ｑｒ Ⅱ ＝ Ⅰ ＝è －１ø ３
版 １ ２
高
考
物
理
１０８
同理，在区域 、 中磁场的磁感应强度为 （ ）粒子在磁场中运动的周期；
Ⅲ Ⅳ １
ｍｖ （ ）ｔ －３ 时粒子的位置坐标；
Ｂ Ｂ ２ ＝２０×１０ ｓ
Ⅲ
＝
Ⅳ
＝ｑｒ
（ ）ｔ －３ 时粒子的速度。
４ ３ ＝２４×１０ ｓ
对应的最小磁场区域面积为
解析 （ ）粒子在磁场中运动时
１
æ ö
Ｓ Ｓ çπ ÷ｒ２
ｑｖＢ
ｍｖ２
，
Ⅲ
＝
Ⅳ
＝è －１ø
４ ＝ Ｒ
２
答案 见解析
Ｒ
Ｔ ２π ，
＝ ｖ
模型 三 带电粒子在交变电、磁场中的运动
ｍ
解得 Ｔ ２π －３
模型 ＝ ｑＢ ＝４×１０ ｓ
此类问题的最大特点是带电粒子的运动 （ ）粒子的运动轨迹如图所示，ｔ －３ 时
２ ＝２０×１０ ｓ
粒子在坐标系内做了两个圆周运动和三段类
具有周期性 如带电粒子在匀强磁场中做匀速
，
平抛运动
圆周运动时 一般只做１ 圆周 １圆周 ３ 圆周
， 、 、
４ ２ ４
或一周的运动 这样的设计主要是为了使带电
，
粒子的运动过程不至于太复杂 在解题过程
。
中 抓住上述特点 也就抓住了解决此类问题
， ，
的关键
。
例3 如图甲所示，在 ｘＯｙ 坐标系内存在周期 水平位移 ｘ ｖ Ｔ ． －２
＝３ ０ ＝９ ６×１０ ｍ
性变化的电场和磁场，电场沿 ｙ 轴正方向，磁 竖直位移 ｙ １ａ（ Ｔ）２
＝ ３
场垂直纸面（以向里为正），电场和磁场的变化 ２
Ｅｑ ｍａ，解得 ｙ ． －２
规律如图乙所示。 一质量为 ． －１３ 、电荷 ＝ ＝３ ６×１０ ｍ
３ ２×１０ ｋｇ 故 ｔ －３ 时粒子的位置坐标为
量为 ． －１０ 的带电粒子，在 ｔ 时刻以 ＝２０×１０ ｓ
－１ ６×１０ Ｃ ＝０
（ ． －２ ， ． －２ ）
ｖ 的速度从坐标原点沿 ｘ 轴正向运动， ９ ６×１０ ｍ －３ ６×１０ ｍ
０ ＝８ ｍ／ｓ （ ）ｔ －３ 时粒子的速度大小、方向与ｔ
不计粒子重力， 取 ． 。 求： ３ ＝２４×１０ ｓ ＝
π ３ １４
－３
时相同，设速度方向与水平方向夹角
２０×１０ ｓ
为 α
ｖ
则 ｖ ｖ２ ｖ２、ｖ ａＴ、 α ｙ ，解得 ｖ
甲 ＝ ０ ＋ ｙ ｙ ＝ ３ ｔａｎ ＝ ｖ ＝
０
，与 ｘ 轴正向夹角 α 为 °，斜向右下方
１０ ｍ／ｓ ３７
答案 见解析
乙
专
题
十
磁
场
１０９
