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专题五 万有引力与航天
基础篇
考点 一 开普勒三定律 考点 二 万有引力定律
一、开普勒三定律内容 一、万有引力定律
1. 开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕 1. 定律内容
：
太阳运行的轨道都是椭圆 太阳处在椭圆的 自然界中任何两个物体都相互吸引
， １） 。
一个焦点上 引力的方向在它们的连线上
。 ２） 。
2. 开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个 引力的大小与物体的质量 ｍ 和 ｍ 的乘积
： ３） １ ２
行星而言 它与太阳的连线在相等的时间内 成正比与它们之间距离 ｒ 的二次方成反比
， 。
扫过的面积相等 ｍ ｍ
2.
。 表达式 Ｆ Ｇ １ ２ 其中 Ｇ 为引力常量
3.
开普勒第三定律（周期定律） 所有行星轨
： ＝ ｒ２ ， 。
：
提示 英国物理学家卡文迪什利用扭秤测出引力常
道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次
量Ｇ，使涉及万有引力的定量计算得以实现，开创了测
ａ３
方的比都相等 即 ｋ
， Ｔ２ ＝ 。
量弱相互作用的时代。
3.
适用条件
二、开普勒三定律的理解及说明
两个质点之间的相互作用
1.
微元法解读开普勒第二定律 行星在近日点 １） 。
： 、
对于质量分布均匀的球体 ｒ 为两球心间的
远日点时的速度方向与两点连线垂直 若行 ２） ，
，
距离
星在近日点 远日点到太阳的距离分别为 ａ 。
、 、 4.
两条推论
ｂ 取足够短的时间 ｔ 则行星在 ｔ 时间内可
， Δ ， Δ
推论 在匀质球层的空腔内任意位置处 质
看作匀速直线运动 由开普勒第二定律知 １） １： ，
，
点受到的万有引力的合力为零 即 Ｆ
， ∑ ＝０；
Ｓ ａ＝ Ｓ ｂ 即 １ ｖ ａΔ ｔ · ａ ＝ １ｖ ｂΔ ｔ · ｂ ， 可得行星到 推论 在匀质球体内部距离球心 ｒ 处 质点
２） ２： ，
２ ２
受到的万有引力等于半径为 ｒ 的球体的引
太阳的距离越大 行星的速率越小 反之
， ，
越大 力 如图 即 Ｆ′ Ｇ
Ｍ′ｍ
而
Ｍ′ ｒ３
Ｍ′
ｒ３
Ｍ
2.
。 ， 。 ＝ ｒ２ ， Ｍ ＝Ｒ３ ， ＝Ｒ３
行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动
。
Ｍｍ
3. 开普勒行星运动定律也适用于其他天体 例 故 Ｆ′ Ｇ ｒ
， ＝ Ｒ３ 。
如月球 卫星绕地球的运动
、 。
5
年 4. 开普勒第三定律
ａ３
ｋ 中 ｋ 值只与中心天体
高 Ｔ２ ＝ ，
考
3
的质量有关 不同的中心天体 ｋ 值不同 故该
年 ， ，
模
定律只能用在同一中心天体的两星体之间
拟
。
A
版
高
考
物
理
４０
二、万有引力与重力的关系 Ｍｍ
注意 Ｇ ｍｇ中的ｒ 为质点所在位置到天体球
1. ① ｒ２ ＝
关系推导
Ｍｍ
重力是因地面附近 心的距离，并非到天体表面的距离。 由 Ｇ ｍｇ
② ｒ２ ＝ ＝
的物体受到地球的万有
ｍａ 可知，空中某处的重力加速度即该处的向心加
向
引力而产生的 如图所
速度。
；
示 Ｆ 产生两个效果 三、月—地检验
， 引 ：
一是提供物体随地球自 1. 牛顿的思考 地球对月球的引力 地球对地面
： 、
转所需的向心力 二是
上物体的引力若为同一种力 其大小的表达
；
，
产生物体的重力 由于
ｍ ｍ
。 地 月
式满足 Ｆ Ｇ
Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
，
随纬度的增大而减小
，
所以物体 ＝ ｒ２ 。
的重力随纬度的增大而增大 即重力加速度 2. 检验过程
，
从赤道到两极逐渐增大 理论分析 对月球绕地球做匀速圆周运动 由
。 ： ，
Ｍｍ ｍ ｍ Ｆ Ｇｍ
在赤道上 Ｇ ｍｇ ｍω２Ｒ
Ｆ Ｇ
地 月
和 ａ 可得 ａ
地
对苹
１） ： Ｒ２ ＝ １ ＋ 。 ＝ ｒ２ 月 ＝ｍ
月
月 ＝ ｒ２ ；
Ｍｍ
ｍ ｍ
在两极上 Ｇ ｍｇ 地 苹
２） ： Ｒ２ ＝ ２。 果做自由落体运动 ， 由 Ｆ ＝ Ｇ Ｒ２ 和 ａ 苹 ＝
Ｆ 很小 在一般情况下可认为重力和万
向 ， Ｆ Ｇｍ ａ
地 月
可得 ａ 由 ｒ Ｒ 可得 １
有引力近似相等 即Ｇ Ｍｍ ｍｇ ｍ 苹 苹＝ Ｒ２ ； ＝６０ ， ａ 苹 ＝ ２ 。
， Ｒ２ ＝ 。 ６０
天文 观 测 已 知 自 由 落 体 加 速 度 ｇ
： ＝
在地球同一纬度处 重力加速度随物体离
， ． ２ 月地中心间距 ｒ ． ８ 月球
９ ８ ｍ／ｓ ， ＝３ ８×１０ ｍ，
地面高度的增加而减小 因为物体所受万有引
， 公转周期Ｔ ． ６ 可求得月球绕地球
月＝２ ３６×１０ ｓ，
力随物体离地面高度的增加而减小 即 ｇ′
， ＝
２
Ｍ 做匀速圆周运动的加速度 ａ ４π ｒ ．
Ｇ 月＝ Ｔ２ · ≈２ ７×
月
Ｒ ｈ ２ 。
（ ＋ ） ａ
2. 月
地球表面、上空、内部的重力加速度 －３ ２ １
１０ ｍ／ｓ ， ｇ ≈
２
在地球表面附近的重力加速度 ｇ 不考虑地 ６０
3.
１） （ 检验结果 地球对月球的引力 地球对地面上
： 、
Ｍｍ ＧＭ
球自转 ｍｇ Ｇ 得 ｇ 物体的引力 太阳与行星间的引力 遵从相同
）： ＝ Ｒ２ ， ＝ Ｒ２ 。 、 ，
的规律
在地球上空距离地心 ｒ Ｒ ｈ 处的重力加速 。
２） ＝ ＋ 四、割补法求物体间的引力
ｇ Ｒ ｈ ２
度为 ｇ′ 有 （ ＋ ） 1. 方法 万有引力定律适用于质点间 质点与均
， ｇ′＝ Ｒ２ 。 ： 、
匀球体间 两均匀球体间的相互作用力 若出
在地球内部距离地心 ｒ 处的重力加速度为 、 ，
３）
现大球内某个区域被挖去一个小球 无法直
ＧＭｍ ，
ｇ″ 由万有引力推论 可得 ｍｇ″ ｒ 即
， ２ ＝ Ｒ３ ， 接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体 专
题
的万有引力 此时可以采用 先补后挖 的方
ＧＭ 五
ｇ″ ｒ ， “ ”
＝ Ｒ３ 。 法 应用万有引力定律间接求解 万
， 。 有
引
力
与
航
天
４１
如图 在一个半径为 Ｒ 质量为 Ｍ 的均匀球体 Ｍ Ｍ ｇ
2.
， 、 天体密度 ρ ３
＝ Ｖ ＝ ＝ ＧＲ。
Ｒ
中 紧贴球的边缘挖去一个半径为 的小球
４ Ｒ３ ４π
π
，
３
２
二、利用环绕天体运动参量计算中心天体的
体后 求剩余部分对位于球心和空穴中心连
，
质量和密度
线上 与球心相距为 ｄ 且质量为 ｍ 的质点的
、 、
测出环绕天体做匀速圆周运动的半径 ｒ 和
引力大小
。
周期 Ｔ
。
1.
Ｍｍ ２ｒ
由 Ｇ ｍ ４π 得 中 心 天 体 的 质 量
ｒ２ ＝ Ｔ２
２ｒ３
完整的均匀球体对球外质量为 ｍ 的质点的 Ｍ ４π
＝ ＧＴ２ 。
Ｍｍ
引力为 Ｆ Ｇ 设挖去小球体后的剩余部 2. 若已知中心天体的半径 Ｒ 则中心天体的密
＝ ｄ２ ， ，
Ｍ Ｍ ｒ３
Ｒ 度 ρ ３π
分对质点的引力为 Ｆ 半径为 的小球体对 ＝ Ｖ ＝ ＝ＧＴ２Ｒ３ 。
１， ４ Ｒ３
２ π
３
Ｒ
3.
质点的引力为 Ｆ 则 Ｆ Ｆ Ｆ 半径为 的 若轨道半径ｒ 等于中心天体半径Ｒ 则中心天
２， ＝ １ ＋ ２， ，
２
Ｒ Ｍ 体密度 ρ ３π
小球体质量 Ｍ′ ４ ３ρ 则 Ｆ ＝ＧＴ２ 。
＝ π（ ） ＝ ， ２ ＝
３ ２ ８
ｒ
4.
Ｍ′ｍ Ｍｍ 利用公式 Ｔ ２π 或 Ｔ ２π与上式联立也可求
Ｇ Ｇ 所以 Ｆ Ｆ Ｆ ＝ ｖ ＝ ω
Ｒ ＝ Ｒ ， １ ＝ － ２ ＝
ｄ ２ ｄ ２ 出中心天体质量和密度
（ － ） ８（ － ） 。
２ ２
注意 利用万有引力提供向心力估算天体质量时，
Ｍｍ Ｍｍ ①
Ｇ Ｇ
ｄ２ － Ｒ 。 估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
ｄ ２
８（ － ） 区别中心天体半径 Ｒ和轨道半径 ｒ，只有在中心天体
２ ②
2.
适用的条件 表面附近做圆周运动时，才有 ｒ Ｒ；Ｖ ４ Ｒ３ 中的“Ｒ”
≈ ＝ π
３
形状的要求 大球内挖掉小球 挖掉其他形
１） ： ， 只能是中心天体的半径。 天体质量估算中常有隐含
③
状的物体的情况不可用此法
条件，如地球的自转周期为 ，公转周期为 天等。
。 ２４ ｈ ３６５
三心的位置关系 大球球心 小球球心 第三
２） ： 、 、
考点 四 人造卫星 宇宙速度
个球的球心 或质点 若三心共线 则三力
（ ）， ，
共线 可转化为代数运算 若三心不共线 则 一、卫星运行参量的分析
， ； ，
1.
三力不共线 遵循矢量运算法则 核心思想（匀速圆周运动模型）
， 。
无论自然天体还是人造天体都可以看作质
5 考点 三 天体质量和密度的计算
点 围绕中心天体 视为静止 做匀速圆周运
年
， （ ）
高
考 一、利用重力加速度和天体半径计算天体的 动 其所需向心力由万有引力提供 通常有
。 。
3
年 质量和密度 两条思路 如下
模 ， 。
拟
1.
Ｍｍ Ｒ２ Ｍｍ
由 Ｇ ｍｇ 得天体质量 Ｍ ｇ 万有引力提供向心力 即 Ｇ ｍａ
A Ｒ２ ＝ ＝ Ｇ。 １） ， ｒ２ ＝ 向。
版
高
考
物
理
４２
天体对其表面的物体的万有引力近似等于 且与地球自转的方向相同
２） 。
ＧＭｍ ．周期一定 周期与地球自转周期相等 Ｔ
重力 即 ｍｇ 或 ｇＲ２ ＧＭ Ｒ ｇ 分别是 Ⅱ ： ， ＝
， Ｒ２ ＝ ＝ （ 、
２４ ｈ。
中心天体的半径 表面重力加速度 公式 ．角速度一定 与地球自转的角速度相同
、 ）， Ⅲ ： 。
ｇＲ２ ＝ ＧＭ 应用广泛 ， 被称为 “ 黄金代换 ”。 Ⅳ ．高度一定 ： 高度固定不变 ， ｈ ＝３ ． ６×１０ ７ ｍ。
2.
物理量随半径变化的规律 ．速率一定 运行速率均为 ｖ ．
Ⅴ ： ＝３ １ ｋｍ／ｓ。
Ｍｍ ｖ２ ＧＭ 近地卫星 轨道在地球表面附近的卫星 其
线速度 Ｇ ｍ ｖ ③ ： ，
１） ： ｒ２ ＝ ｒ ⇒ ＝ ｒ 。 轨道半径 ｒ Ｒ 地球半径 运行速度等于第
＝ （ ），
Ｍｍ ＧＭ 一宇宙速度 ｖ ． 最大环绕速度
角速度 Ｇ ｍω２ｒ ω ＝７ ９ ｋｍ／ｓ（ ），
２） ： ｒ２ ＝ ⇒ ＝ ｒ３ 。 Ｔ 人造地球卫星的最小周期
＝８５ ｍｉｎ（ ）。
星球解体问题
Ｍｍ æ ö２ ｒ３
３）
周期 Ｇ ｍç２π÷ ｒ Ｔ
３） ： ｒ２ ＝ è Ｔ ø ⇒ ＝２π ＧＭ。 假设让地球旋转加快 则地球表面上的物体
，
Ｍｍ ＧＭ 绕地球运行所需的向心力将变大 当赤道上
向心加速度 Ｇ ｍａ ａ ，
４） ： ｒ２ ＝ ⇒ ＝ ｒ２ 。 的物体与地球间的万有引力完全提供物体
注意 ｒ越大，ｖ、ω、ａ 越小，Ｔ 越大，即“高轨、低速、长 所需的向心力时 地球对物体的支持力为
，
周期”。 上述公式中 ｒ 指轨道半径，是卫星到中心天体 ｖ２ æ ö２
零 即 ｍｇ ｍａ ｍω２Ｒ ｍ ０ ｍç２π÷ Ｒ 所
球心的距离，Ｒ通常指中心天体的半径，有ｒ Ｒ ｈ。 。 ＝ ０ ＝ ０ ＝ Ｒ ＝ èＴ ø ，
＝ ＋
０
3.
人造卫星
ｇ
以可以求出 ａ ｇ ω ｖ ｇＲ Ｔ
轨道特点 所有卫星运行的轨道平面一定通 ： ０ ＝ 、 ０ ＝ Ｒ 、 ０ ＝ 、 ０ ＝
１） ：
过地心 圆心与地心重合
Ｒ
（ ）。
２π ｇ 。
这些结果恰好是近地人造卫星的向心加速
度 角速度 线速度和周期 此时赤道上的物
、 、 ，
体相当于地球的近地轨道卫星 这时的角速
，
度即是地球解体的临界角速度 此方法可
。
推广到其他星球解体的问题
。
4.
近地卫星与赤道上物体的区别
人造卫星的分类 近地卫星绕地球运行 满足万有引力提供向
２） ，
人造卫星按轨道一般分为静止轨道卫星 极 心力 而赤道上的物体是随地球自转而运
、 。
地轨道卫星和其他轨道卫星 同步卫星的轨 行 不满足万有引力提供向心力 因此 二者
， ， 。 ，
道是静止轨道 无法直接进行物理量的比较 需借助同步卫
。 ，
极地卫星运行时轨道经过南北两极上空 由 星这个 中介 进行比较 如图所示 ａ 为近
① ， “ ” 。 ，
于地球自转 极地卫星可以实现全球覆盖 地卫星 轨道半径为ｒ ｂ 为地球同步卫星 轨
， 。 ， １； ， 专
题
同步卫星的六个一定 道半径为 ｒ ｃ 为赤道上随地球自转的物体
五
② ２； ，
．轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面 轨道半径为 ｒ 万
Ⅰ ： ， ３。 有
引
力
与
航
天
４３
二、宇宙速度
1.
第一宇宙速度
第一宇宙速度是地球卫星的最大环绕速度
，
也是最小发射速度 ｖ ． 此时它的
， ＝７ ９ ｋｍ／ｓ。
Ｒ
赤道上随地球
运行周期最短 Ｔ
近地卫星 同步卫星
自转的物体 ， ｍｉｎ ＝２π ｇ ≈８５ ｍｉｎ。
（ｒ 、ω 、ｖ 、ａ ） （ｒ 、ω 、ｖ 、ａ ） 2.
１ １ １ １ ２ ２ ２ ２ （ｒ 、ω 、ｖ 、ａ ） 第一宇宙速度的两种计算方法
３ ３ ３ ３
万有引力 Ｍｍ ｖ２ ＧＭ
向心力 万有引力 万有引力 由 Ｇ ｍ 得 ｖ
的一个分力 １） Ｒ２ ＝ Ｒ ＝ Ｒ 。
轨道半径 ｒ ｒ ｒ ｖ２
２＞ ３＝ １ 由 ｍｇ ｍ 得 ｖ ｇＲ
２） ＝ Ｒ ＝ 。
Ｍｍ
由Ｇ
ｒ２ ＝
ｍω２ｒ得
3. 宇宙速度与轨迹的关系
ω ω
角速度 ＧＭ ２＝ ３
ω ，故ω ω
＝ ｒ３ １＞ ２
ω ω ω
１＞ ２＝ ３
Ｍｍ ｖ２
由Ｇ ｍ 得
ｒ２ ＝ ｒ 由 ｖ ωｒ 得
＝
线速度 ＧＭ ｖ ｖ
ｖ ，故ｖ ｖ ２＞ ３
＝ ｒ １＞ ２ １） ｖ 发 ＝ ７ ． ９ ｋｍ／ｓ 时 ， 卫星绕地球做匀速圆周
ｖ ｖ ｖ 运动
１＞ ２＞ ３ 。
Ｍｍ ． ｖ ． 脱离速度 卫星绕
由Ｇ ｍａ得 ２）７ ９ ｋｍ／ｓ＜ 发＜１１ ２ ｋｍ／ｓ（ ），
ｒ２ ＝ 由 ａ ω２ｒ 得
向心 ＝ 地球运动的轨迹为椭圆
ＧＭ ａ ａ 。
加速度 ａ ，故ａ ａ ２＞ ３ ． ｖ ． 卫星挣脱地球引
＝ ｒ２ １＞ ２ ３）１１ ２ ｋｍ／ｓ≤ 发＜１６ ７ ｋｍ／ｓ，
ａ ａ ａ 力绕太阳做椭圆运动
１＞ ２＞ ３ 。
ｖ ． 逃逸速度 卫星将挣脱太阳
４） 发≥１６ ７ ｋｍ／ｓ（ ），
引力的束缚 飞到太阳系以外的空间
， 。
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
物
理
４４
综合篇
拓展 一 卫星的变轨问题 周运动的向心力 卫星做离心运动进入椭圆
，
轨道
1.
人造地球卫星的发射过程 Ⅱ。
在 Ｂ 点 远地点 再次点火加速进入圆形轨
为了节省能量 在赤道上顺 ３） （ ）
１） ，
道
着地球自转方向发射卫星到 Ⅲ。
2.
变轨过程中物理量的变化
圆轨道 上
Ⅰ 。
速度 设卫星在圆轨道 和 上运行时的速
在 Ａ 点点火加速 由于速度 １） ： Ⅰ Ⅲ
２） ， 率分别为 ｖ ｖ 在轨道 上过 Ａ 点和 Ｂ 点时
变大 万有引力不足以提供在轨道 上做圆 １、 ３， Ⅱ
， Ⅰ
速率分别为 ｖ ｖ 因在 Ａ 点加速 则 ｖ ｖ 地转移轨道，在 Ｐ 点由轨道 变为绕地椭圆轨
Ａ、 Ｂ。 ， Ａ＞ １， Ⅰ
因在Ｂ 点加速 则ｖ ｖ 又因ｖ ｖ 故有ｖ 道 ，在近地点 Ｑ 再变为绕地椭圆轨道 。 下
， ３＞ Ｂ， １＞ ３， Ａ＞ Ⅱ Ⅲ
ｖ ｖ ｖ 列说法正确的是 （ ）
１＞ ３＞ Ｂ。
规律总结 卫星变轨前后在同一位置不同轨道的
①
速度大小比较：可以根据发动机做功的正负比较，还可
以根据变轨后是做近心运动还是离心运动比较，也可以
ｖ２
用ａ 来比较，其中ｒ为轨道曲率半径，同一位置加速
＝ ｒ
度ａ相同，曲率半径大的对应速度大。 卫星在同一轨
②
道不同位置速度的比较：可以根据开普勒第二定律比 在轨道 运行时，“嫦娥五号”在 Ｑ 点的机械
Ａ． Ⅱ
较，还可以根据万有引力做功的正负比较。 卫星在变 能比在 Ｐ 点的机械能大
③
ＧＭ “嫦娥五号”在轨道 上运行的周期比在轨
轨前后稳定圆轨道的速度比较：根据ｖ 比较。
Ｂ． Ⅱ
＝ ｒ
道 上运行的周期长
加速度 因为在 Ａ 点 卫星只受万有引力的 Ⅲ
２） ： ， “嫦娥五号”分别沿轨道 和轨道 运行时，
作用 故无论从轨道 还是轨道 上经过 Ａ Ｃ． Ⅱ Ⅲ
， Ⅰ Ⅱ 经过 Ｑ 点时的向心加速度大小相等
点 卫星的加速度都相同 同理 从轨道 和
， ， ， Ⅱ “嫦娥五号”分别沿轨道 和轨道 运行时，
轨道 上经过 Ｂ 点时加速度也相同 Ｄ． Ⅱ Ⅲ
Ⅲ 。 经过 Ｑ 点时的速度大小相等
周期 设卫星在 轨道上运行周期分别为
３） ： Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 解析 在轨道 运行时，只有万有引力做功，
Ｔ Ｔ Ｔ 轨道半径分别为 ｒ ｒ 半长轴 ｒ Ⅱ
１、 ２、 ３， １、 ２（ ）、 ３， 机械能守恒， 项错误；根据开普勒第三定律
Ａ
ａ３
由开普勒第三定律 ｋ 可知Ｔ Ｔ Ｔ 可知半长轴越长周期越长，轨道 对应的半长
Ｔ２ ＝ １＜ ２＜ ３。 Ⅱ
轴长，所以“嫦娥五号”在轨道 上运行的周期
机械能 在一个确定的圆 椭圆 轨道上机械 Ⅱ
４） ： （ ） 比在轨道 上运行的周期长， 项正确；“嫦娥
能守恒 若卫星在 轨道的机械能 Ⅲ Ｂ
。 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 五号”分别沿轨道 和轨道 运行时，向心加
分别为 Ｅ Ｅ Ｅ 则 Ｅ Ｅ Ｅ Ⅱ Ⅲ
１、 ２、 ３， １＜ ２＜ ３。 速度都是由万有引力提供的，所以经过 Ｑ 点的
规律总结 机械能变化根据发动机做功情况判断，或
向心加速度大小相等， 项正确；“嫦娥五号”
者根据引力势能与动能之和的变化判断。 引力势能的 Ｃ
由轨道 变向轨道 运行时，需要减速才能实
变化根据万有引力做功情况判断。 Ⅱ Ⅲ
3. 现，所以由轨道 变向轨道 ，经 Ｑ 点的速度
卫星回收过程与发射过程的对比
Ⅱ Ⅲ
要减小， 项错误。
卫星发射与回收过程 可以看成可逆过程
Ｄ
，
答案
去理解
ＢＣ
。
拓展 二 天体运动中的几何问题
涉及多个天体做圆周运动时 在解题中
， ，
先要找到各自的轨迹圆周半径 再对题目中给
，
例1 （多选）“嫦娥五号”取壤返回地球，是中
出的各种 条件 分析 找出几何关系 专
“ ” ， 。 题
国航天史上的一次壮举。 图为“嫦娥五号”着
五
陆地球前部分轨道的简化示意图，其中 是月 万
Ⅰ 有
引
力
与
航
天
４５
例2 我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近 解析 如图乙，因月球遮挡微波信号不能到
似于圆形轨道绕月飞行。 为了获得月球表面 达地球的时间为卫星转过角 θ 所对应圆弧
２
全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。 卫星
（即ＣＤ
将获得的信息持续用微波信号发回地球。 设
地球和月球的质量分别为 Ｍ 和 ｍ，地球和月球
的半径分别为 Ｒ 和 Ｒ ，月球绕地球的轨道半径
１
和卫星绕月球的轨道半径分别为 ｒ 和 ｒ ，月球
１
绕地球的周期为 Ｔ。 假定在卫星绕月球运行的
一个周期内卫星轨道平面与地月连线共面，求
在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡
而不能到达地球的时间（用 Ｍ、ｍ、Ｒ、Ｒ 、ｒ、ｒ 表
１ １
示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
解题导引 模型的建立及规律选择
．分别作出地球、月球、“嫦娥一号”的运动示
１
意图，如图甲；
．根据月球环绕地球运动的相关物理量求出引
２
力常量 Ｇ；
．作好图、用好图，根据万有引力提供向心力，
３
及几何关系求解。
甲
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
物
理
４６
(
）的时间。
乙
Ｍｍ ２
月球绕地球运动则有 Ｇ ｍ４π ｒ
ｒ２ ＝ Ｔ２
Ｇｍｍ ｖ２
“嫦娥一号”绕月球运动 １ ｍ １
ｒ２ ＝ １ ｒ
１ １
根据 ＯＯ Ａ 与 ＯＯ Ａ 相似知 α β θ，
△ ２ ２ △ １ １ ＝ ＋
Ｒ Ｒ Ｒ θｒ
α － １、 β １、ｔ ２ １
ｃｏｓ ＝ ｒ ｃｏｓ ＝ ｒ ＝ ｖ
１ １
Ｔ Ｍｒ３ Ｒ Ｒ Ｒ
解得 ｔ １（ － １ １）
＝ ｍｒ３ ａｒｃ ｃｏｓ ｒ －ａｒｃ ｃｏｓ ｒ
π １
Ｔ Ｍｒ３ Ｒ Ｒ Ｒ
答案 １（ － １ １）
ｍｒ３ ａｒｃ ｃｏｓ ｒ －ａｒｃ ｃｏｓ ｒ
π １
应用篇
模型 一 双星和多星模型
1.
双星模型
定义 两颗星体在宇宙中远离其他天体 且
１） ： ，
绕公共圆心转动 我们称之为双星系统 如
， 。
图所示
。
特点
Ｇ（Ｍ ｍ）
２） ｍω２ｒ ，而 ｒ ｒ ｒ，解得 ω ＋ ，两星
各自需要的向心力由彼此间的万有引力提 Ｂ Ａ＋ Ｂ ＝ ＝ ｒ３
①
Ｇｍ ｍ Ｇｍ ｍ 球的总质量不变且两星间的距离在一定的时
供 即 １ ２ ｍ ω２ｒ １ ２ ｍ ω２ｒ
， Ｌ２ ＝ １ １ １， Ｌ２ ＝ ２ ２ ２。
间内不变，故两星球的角速度不变，由 Ｔ ２π可
两颗星的周期及角速度都相同 即 Ｔ Ｔ ＝ ω
② ， １ ＝ ２ ＝
知，两星球的周期不变，子星 Ａ 周期不变，选项
Ｔ ω ω ω
， １ ＝ ２ ＝ 。
正确；设子星 Ｂ 释放的物质为 ｍ，则万有引
两颗星的运动轨道半径与它们之间的距离
Ｂ Δ
③
Ｇ（Ｍ ｍ）（ｍ ｍ）
关系为 ｒ ｒ Ｌ
力 Ｆ ＋Δ －Δ ，两星的质量总和不
１ ＋ ２ ＝ 。 ＝ ｒ２
两颗星到轨道圆心的距离 ｒ ｒ 与星体质量
④ １、 ２ 变，但两星质量的乘积变，则引力大小变，故
ｍ ｒ Ｃ
成反比 １ ２ 中两式作比得出 错误；两星球速率之和为 ｖ ωｒ ωｒ ωｒ
ｍ ＝ｒ （① ）。 ＝ Ａ＋ Ｂ ＝ ＝
２ １
Ｇ（Ｍ ｍ）
Ｌ３ ＋ ，因两星球的总质量不变且两星间
双星的运动周期 Ｔ ｒ
⑤ ＝２π Ｇ ｍ ｍ 。
（ １ ＋ ２） 的距离在一定的时间内不变，故两星球的速率
２Ｌ３
双星的总质量 ｍ ｍ ４π 之和不变，故 正确。
⑥ １ ＋ ２ ＝ ＧＴ２ 。 Ｄ
答案
例1 （多选）在浩瀚的银河系中，我们发现的
ＢＤ
2.
多星模型
半数以上的恒星都是双星体，组成双星的两颗
定义 所研究星体的万有引力的合力提供做
恒星都称为双星的子星。 有的双星，不但相互 １） ：
圆周运动的向心力 除中央星体外 各星体
之间距离很近，而且有物质从一颗子星流向另 ， ，
的角速度和周期相同
一颗子星。 设子星 Ｂ 所释放的物质被子星 Ａ 。
三星模型
全部吸收，并且两星间的距离在一定的时间内 ２）
三颗星位于同一直线上 两颗环绕星围绕中
不变，两星的总质量不变，则下列说法正确的是 ① ，
央星在同一半径为 Ｒ 的圆轨道上运行 如
（ ） ，
图甲
子星 Ａ 的轨道半径不变 。
Ａ．
子星 Ａ 的运动周期不变
Ｂ．
两星间的万有引力不变
Ｃ．
两星速率之和不变
Ｄ．
解析 设子星 Ａ 的质量为 Ｍ，轨道半径为 ｒ ，
Ａ 三颗质量均为 ｍ 的星体位于等边三角形的
子星 Ｂ 的质量为 ｍ，轨道半径为 ｒ ，则有 ②
Ｂ
三个顶点上 如图乙
ｒ ｍ ， 。
Ｍω２ｒ ｍω２ｒ ，可得 Ａ ，子星 Ａ 质量变大， 四星模型
Ａ＝ Ｂ ｒ ＝ Ｍ ３）
Ｂ
四颗质量相等的恒星位于边长为 Ｌ 的正方
子星 Ｂ 质量变小，由于两星间的距离在一定的 ①
形的四个顶点上 沿着外接于正方形的圆形
时间内不变，所以子星 Ａ 的半径变小，子星 Ｂ ，
轨道做匀速圆周运动 如图丙
的半径变大，故 错误；设两星之间的距离为 ， 。 专
Ａ 题
ＧＭｍ ＧＭｍ Ｇｍ２ Ｇｍ２ 五
ｒ，则对Ａ 星有 Ｍω２ｒ ，对子星Ｂ 有 ° ｍａ 其中 ｒ ２Ｌ
ｒ２ ＝ Ａ ｒ２ ＝ Ｌ２ ×２×ｃｏｓ ４５ ＋ （ ２ Ｌ ） ２ ＝ ， ＝ ２ 。 万 有
引
力
与
航
天
４７
四颗星转动的方向相同 周期 角速度 线速 ｍｍ′ Ｇｍ
， 、 、 力，可得 Ｇ ｍ′ｇ，解得 ｇ ， 项正确；
度的大小相等 Ｒ２ ＝ ＝ Ｒ２ Ｃ
。
Ｇｍ２ Ｇｍ２ ２ ａ
由牛顿第二定律 ２ ｍ ４π · ２
（
２
ａ）２ ＋ ａ２ ＝ Ｔ２
２
ａ
解得 Ｔ ａ ２ ， 项正确。
＝２π Ｄ
（ ）Ｇｍ
４＋ ２
三颗恒星位于边长为 ｌ 的正三角形的三个顶
答案
②
Ｂ
点上 另一颗位于中心 Ｏ 外围三颗星绕 Ｏ
， ，
模型 二 卫星的追及模型
点做匀速圆周运动 如图丁
， 。
1.
三颗行星以 Ｏ 点为圆心 绕正三角形的外接 模型特征
，
Ｇｍ２ ＧＭｍ 人造卫星的追及问题主要研究同一中心天体
圆做匀速圆周运动 °
， ｌ２ ×２×ｃｏｓ ３０ ＋ ｒ２ ＝ 的两颗卫星相距最近或最远的情况 当两颗
。
ｍａ 其中 ｌ ｒ ° 卫星与中心天体在同一直线上 且位于中心
， ＝２ ｃｏｓ ３０ 。 ，
外围三颗星转动的方向相同 周期 角速度 天体的同一侧时 相距最近 当两颗卫星与中
， 、 、 ， ；
线速度的大小相等 心天体在同一直线上 且位于中心天体的两
。 ，
例2 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒 侧时 相距最远
， 。
2.
星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略 处理方法（规定两颗卫星同向转动）
其他星体对它们的引力作用。 设四星系统中 计算同一中心天体的两颗卫星由相距最近
１）
每颗星的质量均为 ｍ，半径均为 Ｒ，四颗星稳定 最远 到再次相距最近 最远 需要的时间
（ ） （ ）
角度关系 ω ｔ ω ｔ ｎ ｎ
分布在边长为 ａ 的正方形的四个顶点上。 已
① ： １ － ２ ＝ ·２π（ ＝１、２、３…）。
ｔ ｔ
知引力常量为 Ｇ。 关于宇宙四星系统，下列说 圈数关系 ｎ ｎ
② ：Ｔ －Ｔ ＝ （ ＝１、２、３…）。
法错误的是 （ ） １ ２
计算同一中心天体的两颗卫星由相距最近
四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆 ２）
Ａ． 到相距最远需要的时间
周运动
角度关系 ω ｔ ω ｔ ｎ ｎ
ａ ① ： １ － ２ ＝ （２ －１） π（ ＝ １、２、
四颗星的轨道半径均为
Ｂ． ３…）。
２ ｔ ｔ ｎ
Ｇｍ 圈数关系 ２ －１ ｎ
四颗星表面的重力加速度均为 ② ：Ｔ －Ｔ ＝ （ ＝１、２、３…）。
Ｃ． Ｒ２
例3 （多选）
１
某行
２
星和
２
地球绕太阳公转的轨
ａ 道均可视为圆，每过 Ｎ 年，该行星会运行到日
四颗星的周期均为 ａ ２
Ｄ． ２π
（ ）Ｇｍ 地连线的延长线上（相距最近），如图所示，该
４＋ ２
解析 其中一颗星在其他三颗星的万有引力 行星与地球的公转半径之比为 ａ，公转周期之
5 作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正 比为 ｂ，则 （ ）
年
高
方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知
考
3
年
模 识可得轨道半径均为 ２ ａ， 项正确， 项错
拟 Ａ Ｂ
２
A 误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重
版
高
考
物
理
４８
Ｎ Ｎ ａ、ｂ 运动的周期之比 Ｔ Ｔ
ａ ＋１ ｂ Ａ． ａ ∶ ｂ＝１ ∶ ８
Ａ． ＝ Ｎ Ｂ． ＝Ｎ ａ、ｂ 运动的周期之比 Ｔ Ｔ
－１ Ｂ． ａ ∶ ｂ＝１ ∶ ４
æＮ ö ２ ３ æ Ｎ ö ２ ３ 从图示位置开始，在ｂ 转动一周的过程中，ａ、
ｂ ç ＋１÷ ａ ç ÷
Ｃ．
Ｃ． ＝è Ｎ ø Ｄ． ＝èＮ ø
－１ ｂ、ｃ 共线 次
１２
解析 地球公转周期为 Ｔ 年，每过 Ｎ 年
地＝１ 从图示位置开始，在 ｂ 转动一周的过程中，
Ｄ．
该行星会运行到日地连线的延长线上，即地球
ａ、ｂ、ｃ 共线 次
１４
比该行星多运动 圈，有
Ｎ Ｎ
１
Ｎ 解析 根据开普勒第三定律
ｒ３
ｋ 得
Ｔ
ａ
Ｔ －Ｔ ＝１
，得 Ｔ
行＝Ｎ
Ｔ
地
Ｔ２ ＝ Ｔ
ｂ
＝
地 行 －１
ｒ ３
Ｔ 行 Ｎ ａ １ １，则周期之比为 ， 项正
由题意 Ｔ 地 ＝Ｎ －１ ＝ ｂ，故 Ｂ 正确， Ｃ 错误。 ｒ ｂ ３ ＝ ４ ３ ＝ ８ １ ∶ ８ Ａ
ｒ３行 ｒ３地 æ Ｎ ö２ 确， 项错误；设图示位置 ａ、ｂ 的夹角为 θ π，
根据开普勒第三定律有 ，即 ａ３ ç ÷ Ｂ ＜
Ｔ２行 ＝Ｔ２地 ＝èＮ
－１
ø ２
ｂ 转动一周（圆心角为 ）的时间 ｔ Ｔ ，则 ａ、ｂ
æ Ｎ ö ２ ３ ２π ＝ ｂ
得 ａ ç ÷ ，故 正确， 错误。
＝èＮ ø Ｄ Ａ 相距最远时有２πｔ ２πｔ （２π ２π）Ｔ （ θ）
－１ Ｔ －Ｔ ＝ Ｔ －Ｔ ｂ＝ π－ ＋
ａ ｂ ａ ｂ
答案
ＢＤ ｎ· （ｎ ， ， ， ，…），可知 ｎ ，故相距最
例4 （多选）如图所示，三个质点 ａ、ｂ、ｃ 的质 ２π ＝０ １ ２ ３ ＝６
远有 次；ａ、ｂ 相距最近时有２πＴ ２πＴ
量分别为 ｍ 、ｍ 、Ｍ（Ｍ 远大于 ｍ 及 ｍ ），在 ｃ ７ Ｔ ｂ－ Ｔ ｂ ＝
１ ２ １ ２ ａ ｂ
的万有引力作用下，ａ、ｂ 在同一平面内绕 ｃ 沿 （ θ） ｍ· （ｍ ， ， ， ，…），可知 ｍ
２π－ ＋ ２π ＝０ １ ２ ３ ＝
逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之
，故相距最近有 次，故在 ｂ 转动一周的过程
６ ７
比 ｒ
ａ ∶
ｒ
ｂ＝１ ∶ ４
，则下列说法正确的有 （ ） 中，ａ、ｂ、ｃ 共线 次， 项正确。
１４ Ｄ
答案
ＡＤ
专
题
五
万
有
引
力
与
航
天
４９
