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3.4 函数的图象
基础篇
考点 函数的图象 ｙ ａｘ ａ 且 ａ 的图象与 ｙ ｘ ａ
＝ ( >０ꎬ ≠１) ＝ｌｏｇａ ( >０ꎬ
1. 且 ａ 的图象关于直线 ｙ ｘ 对称.
描点法作图的方法与步骤 ≠１) ＝
规律总结
确定函数的定义域
１) ꎻ .函数ｙ ｆ(ｘ)与ｙ ｆ( ａ ｘ)的图象关于直线ｘ ａ对称.
化简函数解析式 １ ＝ ＝ ２ － ＝
２) ꎻ .函数ｙ ｆ(ｘ)与 ｙ ｂ ｆ( ａ ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)
２ ＝ ＝２ － ２ －
讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性
３) ( 、 、 对称.
等
)ꎻ .若函数ｙ ｆ(ｘ)的定义域内任意自变量ｘ都满足ｆ(ａ ｘ)
３ ＝ ＋ ＝
列表 关注特殊点 最值点 与坐标轴的交点
ｆ(ａ ｘ)ꎬ则函数ｙ ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ ａ对称.
４) ( : 、 － ＝ ＝
等 描点 连线. .偶函数图象关于ｙ轴对称.
)ꎬ ꎬ ４
2.
图象变换 .奇函数图象关于原点对称.
５
平移变换
１) 伸缩变换
３)
ａ 横坐标缩短为原来的１ 纵坐标不变
>１ꎬ ａꎬ
ｙ ｆ ｘ
＝ ( ) →
ａ 横坐标伸长为原来的１倍 纵坐标不变
０< <１ꎬ ａ ꎬ
ｙ ｆ ａｘ .
＝ ( )
Ａ 纵坐标伸长为原来的Ａ倍 横坐标不变
ｙ ｆ ｘ >１ꎬ ꎬ
＝ ( ) Ａ 纵坐标缩短为原来的Ａ倍 横坐标不变→
０< <１ꎬ ꎬ
对称变换
２) ｙ Ａｆ ｘ .
＝ ( )
ｙ ｆ ｘ 的图象与 ｙ ｆ ｘ 的图象关于 ｘ 轴
＝ ( ) ＝－ ( ) 翻折变换
４)
对称
ꎻ 保留ｘ轴上及ｘ轴上方图象
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ
ｙ ｆ ｘ 的图象与 ｙ ｆ ｘ 的图象关于 ｙ 轴 ＝ ( ) 将ｘ轴下方图象翻折上去→ ＝ ｜ ( )｜ꎻ
＝ ( ) ＝ (－ )
对称 保留ｙ轴上及ｙ轴右边图象
ꎻ ｙ ｆ ｘ ｙ
＝ ( ) 并作ｙ轴右边图象关于ｙ轴对称的图象→
ｙ ｆ ｘ 的图象与 ｙ ｆ ｘ 的图象关于坐标
＝ ( ) ＝－ (－ )
ｆ ｘ .
原点对称 ＝ (｜ ｜)
ꎻ
5
年
高 考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２４４
综合篇
考法 一 函数图象的识辨 从特殊点或极限位置排除不合要求的图象.
５)
例1 函数ｆ(ｘ) １－ ｘ２的部分图象大致是( ) 函数图象的识辨 一般从以下几个方面入手 ＝２
ꎬ :
从函数定义域判断图象的左右位置 从值域
１) ꎬ
判断图象的上下位置
ꎻ
从函数单调性判断图象的变化趋势
２) ꎻ
从奇偶性判断图象的对称性 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
３) ꎻ 解析 易知函数 ｆ(ｘ) １－ ｘ２是偶函数ꎬ排除
从周期性判断图象的循环往复 ＝ ２
４) ꎻ
选项 、 .又ｆ(ｘ)恒大于 ꎬ所以ｆ(ｘ)的图象与 æ ù æ ù
ú ú
Ａ Ｂ ０ ç ꎬ９ ç ꎬ７
ú ú
ｘ 轴没有交点.故选 Ａ.è－∞ û Ｂ.è－∞ û
４ ３
Ｃ.
æ ù æ ù
答案 ú ú
ç ꎬ５ ç ꎬ８
Ｃ ú ú
Ｃ.è－∞ û Ｄ.è－∞ û
考法 二 函数图象的应用 ２ ３
解析 当 ｘ ( ꎬ ]时ꎬ ｆ(ｘ) ｘ(ｘ )
1. ∈ ０ １ ＝ －１ ＝
函数图象的应用角度
æ ö é ù
２ ê ú
çｘ １÷ １ １ꎬ .
利用图象研究函数性质 è － ø － ∈ë ê － ０û ú
１) ꎻ ２ ４ ４
利用函数的图象研究不等式 由 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ)得ꎬ ｆ(ｘ ｔ) ｔｆ(ｘ)(ｔ Ｚ)ꎬ
２) ꎻ ＋１ ＝ ２ ＋ ＝ ２ ∈
利用函数的图象研究零点问题. 画出 ｆ(ｘ)的大致图象如图.
３)
2.
求解函数图象应用问题的步骤如下：
画出函数的图象.
１)
准确分析函数图象的特征 定性分析 定量
２) ꎬ 、
分析.
借助函数图象 把原问题转化为数量关系比
３) ꎬ
较明确的问题.
解决问题 并回归题目的要求 得出正确
４) ꎬ ꎬ 当 ｘ ( ꎬ ]时ꎬｘ ( ꎬ ]ꎬ ｆ(ｘ) ２ｆ(ｘ )
结论. ∈ ２ ３ －２∈ ０ １ ＝ ２ －２
ｆ(ｘ ) (ｘ )(ｘ )ꎬ
例2 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ(ｘ) ＝ ４ －２ ＝ ４ －２ －３
２０１９ Ⅱ １２ ５
的定义域为 Ｒꎬ满足 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ)ꎬ且当 ｘ 解不等式 ｆ(ｘ) ８ꎬ得 ｘ ７或 ｘ ８ꎬ观察图
＋１ ＝ ２ ∈ ≥－ ≤ ≥
９ ３ ３
( ꎬ ]时ꎬ ｆ(ｘ) ｘ(ｘ ).若对任意 ｘ ( ꎬ
０ １ ＝ －１ ∈ －∞ æ ù ú
象知ꎬｍ ç ꎬ７ ꎬ选
ú
∈è－∞ û Ｂ.
ｍ]ꎬ都有ｆ(ｘ) ８ꎬ则ｍ的取值范围是 ( ) ３
≥－
答案
９
Ｂ
专
题
三
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
２４５
