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11.3 二项分布与正态分布
基础篇
考点 一 条件概率、相互独立事件及二项分
一般地 在ｎ 重伯努利试验中 设每次试验中
ꎬ ꎬ
布、全概率公式 事件Ａ发生的概率为ｐ ｐ 用 Ｘ 表示事
(０< <１)ꎬ
件Ａ发生的次数 则Ｘ 的分布列为Ｐ Ｘ ｋ
1. 条件概率及其性质 ꎬ ( ＝ )＝
ｋｐｋ ｐ ｎ － ｋ ｋ ｎ .如果随机变量
一般地 设 Ａ Ｂ 为两个随机事件 且 Ｐ Ａ Ｃｎ (１－ ) ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬꎬ )
１) ꎬ ꎬ ꎬ ( )>
Ｘ 的分布列具有上式的形式 则称随机变量 Ｘ
Ｐ ＡＢ ꎬ
称 Ｐ Ｂ Ａ ( )为在事件 Ａ 发生的条
服从二项分布 记作Ｘ Ｂ ｎ ｐ .
０ꎬ ( ｜ )＝ Ｐ Ａ
ꎬ ~ ( ꎬ )
( )
5.
二项分布的均值与方差
件下 事件 Ｂ 发生的条件概率 简称条件
ꎬ ꎬ
若Ｘ Ｂ ｎ ｐ 则Ｅ Ｘ ｎｐ Ｄ Ｘ ｎｐ ｐ .
概率.
~ ( ꎬ )ꎬ ( )＝ ꎬ ( )＝ (１－ )
条件概率的性质
２)
设 Ｐ Ａ 则 考点 二 正态分布
( )>０ꎬ
Ｐ Ω Ａ 1. 正态曲线
① ( ｜ )＝ １ꎻ
如果Ｂ和Ｃ是两个互斥事件 则Ｐ Ｂ Ｃ Ａ
② ꎬ ( ∪ ｜ )＝ 函数 ｆ ｘ １ － ( ｘ ２ － σ μ ２ )２ ｘ Ｒ 其中 μ Ｒ
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｃ Ａ . ( )＝ σ ｅ ꎬ ∈ ( ∈
( ｜ )＋ ( ｜ ) ２π
设Ｂ和Ｂ互为对立事件 则Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ . 和 σ σ 为参数 的图象为正态密度曲线
③ ꎬ ( ｜ )＝１－ ( ｜ ) ( >０) ) ꎬ
2. 全概率公式 简称正态曲线.
2.
正态分布
一般地 设 Ａ Ａ Ａ 是一组两两互斥的
ꎬ １ꎬ ２ꎬꎬ ｎ
事件 Ａ Ａ Ａ Ω 且 Ｐ Ａ ｉ 若随机变量Ｘ的概率分布密度函数为ｆ ｘ 则
ꎬ １∪ ２∪∪ ｎ＝ ꎬ ( ｉ)>０ꎬ ＝１ꎬ ( )ꎬ
ｎ 则对任意的事件 Ｂ Ω 有 Ｐ Ｂ 称随机变量Ｘ服从正态分布 记为Ｘ Ｎ μ σ２ .
２ꎬꎬ ꎬ ⊆ ꎬ ( )＝ ꎬ ~ ( ꎬ )
ｎ 特别地 当μ σ 时 称随机变量Ｘ 服从标
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ｜ Ａ 称此公式为全概率公式. ꎬ ＝０ꎬ ＝１ ꎬ
∑ ｉ＝ ( ｉ) ( ｉ)ꎬ 准正态分布.
１
3.
相互独立事件 3.
正态分布的均值和方差
对任意两个事件Ａ与Ｂ 如果Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ
１) ꎬ ( )＝ ( ) 若 Ｘ Ｎ μ σ２ 则 Ｅ Ｘ μ Ｄ Ｘ σ２.
~ ( ꎬ )ꎬ ( )＝ ꎬ ( )＝
Ｐ Ｂ 成立 则称事件Ａ与事件Ｂ相互独立. 4.
正态曲线的特点
( ) ꎬ
若 Ａ 与 Ｂ 相互独立 则 Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ
２) ꎬ ( ｜ )＝ ( )ꎬ 曲线位于 ｘ 轴上方且与 ｘ 轴不相交
１) ꎻ
Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ .
( )＝ ( ｜ ) ( )＝ ( ) ( ) 曲线是单峰的 它关于直线 ｘ μ 对称
２) ꎬ ＝ ꎻ
若 Ａ 与 Ｂ 相互独立 则 Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｂ
３) ꎬ ꎬ ꎬ 曲线在 ｘ μ 处达到峰值 １
也都相互独立. ３) ＝ σ ꎻ
２π
4.
ｎ 重伯努利试验与二项分布 当 ｘ 无限增大时 曲线无限接近 ｘ 轴
４) ｜ ｜ ꎬ ꎻ
ｎ 重伯努利试验 曲线与 ｘ 轴之间区域的面积为
１) ５) １ꎻ
定义 将一个伯努利试验独立地重复进行 ｎ 当σ一定时 曲线随着μ的变化而沿ｘ轴移动
专
① : ６) ꎬ ꎻ
题
次所组成的随机试验称为 ｎ 重伯努利试验. 当 μ 一定时 曲线的形状由 σ 确定 σ 越小 十
７) ꎬ ꎬ ꎬ 一
用 Ａ ｉ ｎ 表示第 ｉ 次试验结果 则 曲线越 瘦高 σ 越大 曲线越 矮胖 .
② ｉ( ＝１ꎬ２ꎬꎬ ) ꎬ “ ”ꎻ ꎬ “ ” 概
5. 率
Ｐ Ａ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ . σ 原则
( １ ２ ｎ)＝ ( １) ( ２) ( ｎ) ３ 与 统
二项分布 正态总体在三个特殊区间内取值的概率 计
２) １)
３２７
Ｐ μ σ Ｘ μ σ . 在实际应用中 通常认为服从正态分布
( － ≤ ≤ ＋ )≈０ ６８２ ７ꎻ ꎬ
Ｐ μ σ Ｘ μ σ . Ｎ μ σ２ 的随机变量 Ｘ 只取 μ σ μ σ
( －２ ≤ ≤ ＋２ )≈０ ９５４ ５ꎻ ( ꎬ ) [ －３ ꎬ ＋３ ]
Ｐ μ σ Ｘ μ σ . . 中的值 这在统计学中称为 σ 原则.
( －３ ≤ ≤ ＋３ )≈０ ９９７ ３ ꎬ ３
σ 原则
２)３
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高 考
数
学
３２８
综合篇
考法 一 条件概率的求法 Ｐ(ＡＢ)
三张为奇数的概率Ｐ(Ｂ Ａ) １.
｜ ＝ Ｐ(Ａ) ＝
1. 求条件概率的三种方法 ２
答案
定义法 先求 Ｐ Ａ 和 Ｐ ＡＢ 再由 Ｐ Ｂ Ａ Ｃ
１) : ( ) ( )ꎬ ( ｜ ) 例2 ( 山东临沂三模ꎬ )某足球队在对
Ｐ ＡＢ ２０２２ １３
( )求 Ｐ Ｂ Ａ . 球员的使用上进行数据分析ꎬ根据以往的数据
＝ Ｐ Ａ ( ｜ )
( )
统计ꎬ甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位
样本点个数法 借助古典概型概率公式 先
２) : ꎬ
置ꎬ且出场率分别为 . ꎬ . ꎬ . ꎬ当甲球员在
求事件Ａ 包含的样本点个数ｎ Ａ 再求事件
０ ３ ０ ５ ０ ２
( )ꎬ
相应位置时ꎬ球队输球的概率依次为 . ꎬ . ꎬ
ＡＢ 包含的样本点个数 ｎ ＡＢ 得 Ｐ Ｂ Ａ
０ ４ ０ ２
( )ꎬ ( ｜ )
. .据此判断当甲球员参加比赛时ꎬ该球队某
ｎ ＡＢ
０ ６
( ).
＝ ｎ Ａ 场比赛不输球的概率为 .
( )
缩样法 去掉第一次抽到的情况 只研究剩 解析 记甲球员出场担任前锋、中锋、后卫分
３) : ꎬ
下的情况 用古典概型概率公式求解. 别为事件 Ａ ꎬＡ ꎬＡ ꎻ记甲球员出场担任前锋、
ꎬ
１ ２ ３
2.
应用全概率公式求概率的步骤 中锋、后卫时输球分别为事件 Ｂ ꎬＢ ꎬＢ ꎬ
１ ２ ３
根据题意找出完备事件组 即满足全概率公 当甲球员参加比赛时ꎬ该球队某场比赛不输球
１) ꎬ
式的 Ω 的一个划分 Ａ Ａ Ａ Ａ
１ꎬ ２ꎬ ３ꎬꎬ ｎꎻ 的概率 Ｐ Ｐ(Ａ Ｂ ) Ｐ(Ａ Ｂ ) Ｐ(Ａ Ｂ )
＝ ＋ ＋ ＝
用 Ａ ｉ ｎ 来表示待求的事件 １ １ ２ ２ ３ ３
２) ｉ( ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬꎬ ) ꎻ
Ｐ(Ａ )Ｐ(Ｂ ) Ｐ(Ａ )Ｐ(Ｂ ) Ｐ(Ａ )Ｐ(Ｂ )
代入全概率公式求解.
１ １
＋
２ ２
＋
３ ３
＝
３)
. ( . ) . ( . ) . ( . )
例1 ( 山东泰安二模ꎬ )已知盒子中装 ０ ３× １－０ ４ ＋０ ５× １－０ ２ ＋０ ２× １－０ ６ ＝
２０２２ ６
. .
有形状、大小完全相同的五张卡片ꎬ分别标有 ０ ６６
答案 .
数字 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ现每次从中任意取一张ꎬ取出 ０ ６６
１ ２ ３ ４ ５
后不再放回ꎬ若抽取三次ꎬ则在前两张卡片所
考法 二 ｎ 重伯努利试验及二项分布问题的
标数字之和为偶数的条件下ꎬ第三张为奇数的
求解方法
概率为 ( )
1.
ｎ 重伯努利试验与二项分布的判断
１ ２ １ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ｎ 重伯努利试验满足的条件 在同样的条
５ ５ ２ ８ １) :①
解析 设前两张卡片所标数字之和为偶数是 件下重复进行 各次试验之间相互独立.
ꎻ②
事件Ａꎬ第三张为奇数是事件 Ｂꎬ则事件 Ａ 包括 二项分布模型的确定
２)
前两张都为奇数或都为偶数两种情况ꎬ故 Ｐ(Ａ) 一般地 确定一个二项分布模型的步骤
ꎬ
如下
２ １ ２ １ ２ １ ２ １
Ａ３Ｃ３ ＋Ａ２Ｃ３ ２ꎬＰ(ＡＢ) Ａ３Ｃ１ ＋Ａ２Ｃ３ １ꎬ故在 :
＝ ３ ＝ ＝ ３ ＝ 明确伯努利试验及事件 Ａ 的意义 确定事件 Ａ５ ５ Ａ５ ５ ① ꎬ
前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下ꎬ第 Ａ 发生的概率 ｐ
ꎻ
确定重复试验的次数 ｎ 并判断各次试验的 之前到校的天数ꎬ求随机变量 Ｘ 的分布列和数
② ꎬ
独立性 学期望ꎻ
ꎻ
设 Ｘ 为 ｎ 次独立重复试验中事件 Ａ 发生的 ( )设 Ｍ 为事件“上学期间的三天中ꎬ甲同学
③ ２
次数 则 Ｘ Ｂ ｎ ｐ . 在 : 之前到校的天数比乙同学在 : 之前
ꎬ ~ ( ꎬ ) ７ ３０ ７ ３０
2. ｎ 重伯努利试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次的概 到校的天数恰好多 ”ꎬ求事件 Ｍ 发生的概率.
２
率求法 解析 ( )因为甲同学上学期间的三天中到
１
ｎ 重伯努利试验中事件 Ａ 恰好发生 ｋ 次可看 校情况相互独立ꎬ且每天 : 之前到校的概
７ ３０
作 ｋ 个互斥事件的和 其中每一个事件都可 æ ö
Ｃｎ ꎬ 率均为 ２ꎬ故 Ｘ Ｂç ꎬ２ ÷ꎬ从而 Ｐ(Ｘ ｋ)
~ è３ ø ＝ ＝
看作 ｋ 个 Ａ 事件与 ｎ ｋ 个 Ａ 事件同时发 ３ ３
( － ) æ öｋæ ö ｋ
３－
生 只是发生的次序不同 其发生的概率都是 ｋç２ ÷ ç１ ÷ ꎬｋ ꎬ ꎬ ꎬ .
ꎬ ꎬ Ｃ３è ø è ø ＝０ １ ２ ３
ｐｋ ｐ ｎ － ｋ 其中 ｐ 为在一次试验中事件 Ａ 发 ３ ３
(１－ ) ( 所以ꎬ随机变量 Ｘ 的分布列为
生的概率 .因此 ｎ 重伯努利试验中事件 Ａ
) ꎬ
Ｘ
恰好发生 ｋ 次的概率为 ｋｐｋ ｐ ｎ － ｋ. ０ １ ２ ３
Ｃｎ (１－ )
例3 ( 课标 ꎬ ꎬ 分)甲、乙两队进行 Ｐ １ ２ ４ ８
２０１９ Ⅰ １５ ５ ２７ ９ ９ ２７
篮球决赛ꎬ采取七场四胜制(当一队赢得四场
则随机变量 Ｘ 的数学期望 Ｅ(Ｘ) ２ .
胜利时ꎬ该队获胜ꎬ决赛结束).根据前期比赛 ＝ ３× ＝２
３
成绩ꎬ甲队的主客场安排依次为“主主客客主 ( )设乙同学上学期间的三天中 : 之前到
２ ７ ３０
客主”.设甲队主场取胜的概率为 . ꎬ客场取 æ ö
０ ６ 校的天数为 Ｙꎬ则 Ｙ Ｂç ꎬ２ ÷ꎬ且 Ｍ {Ｘ ꎬＹ
胜的概率为 . ꎬ且各场比赛结果相互独立ꎬ则 ~ è３ ø ＝ ＝３
０ ５ ３
甲队以 获胜的概率是 . } {Ｘ ꎬＹ }.由题意知事件{Ｘ ꎬＹ
４ ∶ １ ＝１ ∪ ＝２ ＝０ ＝３ ＝
解析 由题意可知七场四胜制且甲队以 }与{Ｘ ꎬＹ }互斥ꎬ且事件{Ｘ }与{Ｙ
４ ∶ １ ＝２ ＝０ ＝３ ＝
获胜ꎬ则共比赛了 场ꎬ且第 场甲胜ꎬ前 }ꎬ事件{Ｘ }与{Ｙ }均相互独立ꎬ从而由
１ ５ ５ ４ １ ＝２ ＝０
场中甲胜 场.第一类:第 场、第 场中甲胜 ( )知 Ｐ(Ｍ) Ｐ({Ｘ ꎬＹ } {Ｘ ꎬＹ
３ １ ２ １ １ ＝ ＝３ ＝１ ∪ ＝２ ＝
场ꎬ第 ３ 场、第 ４ 场甲胜ꎬ则 Ｐ １ ＝Ｃ １ ２ ×０ . ６×０ . ４× ０ }) ＝ Ｐ(Ｘ ＝３ ꎬＹ ＝１ ) ＋ Ｐ(Ｘ ＝２ ꎬＹ ＝０ ) ＝ Ｐ(Ｘ ＝
０ . ５ ２ ＝２× ３ × ２ × １ ＝ ３ꎻ第二类:第 １ 场、第 ２ 场 ３ )Ｐ(Ｙ ＝１ ) ＋ Ｐ(Ｘ ＝２ )Ｐ(Ｙ ＝０ ) ＝ ８ × ２ ＋ ４ × １
５ ５ ４ ２５ ２７ ９ ９ ２７
甲胜ꎬ第 ３ 场、第 ４ 场中甲胜 １ 场ꎬ则 Ｐ ２ ＝０ . ６ ２ × ＝ ２０.
æ ö ２ ２４３
１ . . ç ３÷ １ ９ꎬ所以甲队以
Ｃ２ ×０ ５×０ ５＝è ø ×２× ＝ ４ ∶
５ ４ ５０ 考法 三 正态分布问题的求解方法
æ ö
获胜的概率为 Ｐ ç ３ ９ ÷ . . .
１ ＝è ＋ ø×０ ６＝０ １８ 若 Ｘ Ｎ μ σ２ 则
~ ( ꎬ )ꎬ
２５ ５０
答案 . Ｐ Ｘ μ Ｐ Ｘ μ .
１) ( ≥ )＝ ( ≤ )＝ ０ ５ꎻ
０ １８
例4 ( 天津理ꎬ ꎬ 分)设甲、乙两位 对任意的 ａ 有 Ｐ Ｘ μ ａ Ｐ Ｘ μ ａ
２) ꎬ ( < － )＝ ( > ＋ )ꎻ
２０１９ １６ １３
Ｐ Ｘ ｘ Ｐ Ｘ ｘ
同学上学期间ꎬ每天 : 之前到校的概率均为 专
７ ３０
３) ( < ０)＝ １－ ( ≥ ０)ꎻ
题
Ｐ ａ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ａ 十
２.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响ꎬ且 ４) ( < < )＝ ( < )－ ( ≤ )ꎻ 一
利用 Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ μ
３ ５) ( － ≤ ≤ ＋ )ꎬ ( －２ ≤ ≤ ＋ 概
率
任一同学每天到校情况相互独立. σ Ｐ μ σ Ｘ μ σ 的值直接求.
２ )ꎬ ( －３ ≤ ≤ ＋３ ) 与
统
( )用 Ｘ 表示甲同学上学期间的三天中 : 例5 ( 届广东佛山南海、三水摸底ꎬ )李 计
１ ７ ３０ ２０２３ ４
３２９
明上学有时坐公交车ꎬ有时骑自行车ꎬ他各记 且 Ｘ Ｎ(μ ꎬ ２)ꎬ可得随机变量 Ｘ 的方差为 σ２
~ １ ６
录了 次坐公交车和骑自行车所花的时间ꎬ ２ꎬ即 Ｄ(Ｘ) ꎬ所以 错误ꎻ
５０ ＝６ ＝ ３６ Ａ
经数据分析得到ꎬ假设坐公交车用时 Ｘ 和骑自 对于 ꎬ根据给定的正态分布密度曲线ꎬ可得随
Ｂ
行车用时 Ｙ 都服从正态分布ꎬＸ Ｎ(μ ꎬ ２)ꎬ 机变量 μ ꎬμ ꎬ所以 μ μ ꎬ所以
~ １ ６ １ ＝ ３０ ２ ＝ ３４ １ < ２ Ｂ
Ｙ Ｎ(μ ꎬ ２).Ｘ 和 Ｙ 的正态分布密度曲线如图 错误ꎻ
~ ２ ２
所示ꎬ则下列结果正确的是 ( ) 对于 ꎬ根据正态分布密度曲线ꎬ可得 Ｘ
Ｃ ≤３８
时ꎬ随机变量 Ｘ 的正态分布曲线与 ｘ 轴围成的
面积小于 Ｙ 时随机变量 Ｙ 的正态分布曲
≤３８
线与 ｘ 轴围成的面积ꎬ所以 Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｙ
≤３８ < ≤
)ꎬ所以 正确ꎻ
３８ Ｃ
对于 ꎬ根据正态分布密度曲线ꎬ可得 Ｐ(Ｘ
Ｄ ≤
Ｄ(Ｘ)
Ａ. ＝ ６
) １ꎬＰ(Ｙ ) １ꎬ即 Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｙ
μ μ ３４ > ≤３４ ＝ ≤３４ > ≤
Ｂ. １> ２ ２ ２
Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｙ ) )ꎬ所以 错误.故选 .
Ｃ. ≤３８ < ≤３８ ３４ Ｄ Ｃ
Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｙ ) 答案
Ｄ. ≤３４ < ≤３４ Ｃ
解析 对于 ꎬ由随机变量 Ｘ 服从正态分布ꎬ
Ａ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３３０
