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9.3 双曲线及其性质
基础篇
考点 一 双曲线的定义及标准方程 为函数 ｙ ｘ２ 图象上的点 则 ＯＰ
＝３ ４－ ꎬ ｜ ｜ ＝
１.( 湖北十堰月考ꎬ )方程
ｘ２ ｙ２
( )
２０２１ ３ ｍ－ ｍ＝１
２＋ １－
２２ ４ １０
表示的曲线是双曲线 则 ｍ 的取值范围是 Ａ. Ｂ. Ｃ. ７ Ｄ. １０
ꎬ ２ ５
答案 Ｄ 由双曲线定义可知 点 Ｐ 在以 Ａ
( ) ꎬ ꎬ
ｍ ｍ Ｂ 为焦点 实轴长为 的双曲线的右支上 设
Ａ.－２< <１ Ｂ. >１ ꎬ ２ ꎬ
ｍ ｍ ｙ２
Ｃ. <－２ Ｄ.－１< <２ Ｐ ｘ ｙ 则 ｘ２ ｘ 将 ｙ ｘ２
( ꎬ )ꎬ － ＝１( ≥１)ꎬ ＝３ ４－
ｘ２ ｙ２ ３
答案 Ａ 因为方程 表示的曲
ｍ－ ｍ＝１
２＋ １－ 代入可得ｘ２ １３ ｙ２ ｘ２ ２７ ＯＰ
＝ ꎬ∴ ＝３( －１)＝ ꎬ∴ ｜
线是双曲线 所以 ｍ ｍ 即 ｍ
４ ４
ꎬ (２＋ )(１－ )>０ꎬ ( ＋
ｍ 解得 ｍ . ｘ２ ｙ２ 故选 .
２)( －１)<０ꎬ －２< <１ ｜ ＝ ＋ ＝ １０ꎬ Ｄ
２.( 河北衡水中学联考二ꎬ )已知双曲线 ｘ２
２０２１ ６ ４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知双曲线 Ｃ
２０１７ Ⅲ ５ ５ :ａ２ －
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的焦点 Ｆ ｃ 到渐近
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ( ꎬ０) ｙ２
ａ ｂ 的一条渐近线方程为 ｙ
ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ＝
线的距离为 ３ｃ 且点 在双曲线上 则
ꎬ (２ꎬ ３) ꎬ ｘ２ ｙ２
２ ５ｘ 且与椭圆 有公共焦点 则 Ｃ 的
ꎬ ＋ ＝１ ꎬ
双曲线的方程为
２ １２ ３
( )
方程为
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ( )
Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
９ ３ １２ ３
Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ８ １０ ４ ５
Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
３ １２ ３ ９
Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１
ｘ２ ｙ２ ５ ４ ４ ３
答案 Ｄ 双曲线 的焦点 Ｆ ｃ
ａ２ －ｂ２ ＝１ ( ꎬ０) 答案 Ｂ 由双曲线的渐近线方程可设双曲
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｂｃ 线方程为 ｋ ｋ 即
到渐近线 ｂｘ ａｙ 的距离为 ３ｃ － ＝ ( >０)ꎬ ｋ－ ｋ＝１ꎬ
± ＝０ ａ２ ｂ２ ＝
２
ꎬ ４ ５ ４ ５
＋ ｘ２ ｙ２
双曲线与椭圆 有公共焦点
∵ ＋ ＝１ ꎬ
解得 ｂ ３ｃ 所以 ｂ２ ３ｃ２ 又 ｃ２ ａ２ ｂ２ 所 １２ ３
＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ＋ ꎬ
２ ４ ｋ ｋ 解得 ｋ
∴ ４ ＋５ ＝１２－３ꎬ ＝１ꎬ
以 ｂ２
＝３
ａ２
ꎬ
因为点
(２ꎬ ３)
在双曲线上
ꎬ
所以
故双曲线 Ｃ 的方程为
ｘ２ ｙ２
.故选 .
－ ＝１ Ｂ
４ ３ 联立解得 ａ２ ｂ２ 所以双曲线 ４ ５
ａ２ －ｂ２ ＝１ꎬ ＝３ꎬ ＝９ꎬ ５.( 届海南琼海嘉积中学月考ꎬ )双曲线
专
２０２３ １３
题
的方程为
ｘ２ ｙ２
.故选 .
ｘ２
－
ｍｙ２
＝１
的渐近线方程为 ｙ
＝±２
ｘ
ꎬ
则 ｍ
＝
九
－ ＝１ Ｄ 平
３ ９ . 面
３.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知点 Ｏ Ａ 解
２０２０ ８ ４ (０ꎬ０)ꎬ (－２ꎬ 析
答案 １ 几
Ｂ .设点Ｐ 满足 ＰＡ ＰＢ 且Ｐ 何
０)ꎬ (２ꎬ０) ｜ ｜－｜ ｜ ＝２ꎬ ４
３６７
ｙ２
解析 由题意可知 ｍ ｘ２ ３ ２ ３ ２
>０ꎬ － ＝１ꎬ Ａ. Ｂ. Ｃ.２ ２ Ｄ.３ ２
１ ４ ２
ｍ
ｘ２ ｙ２
答案 Ａ 由双曲线的方程为 知 ａ
－ ＝１ꎬ
所以 ａ２ ｂ２ １ 所以 ａ ｂ １ 所以 ４ ２
＝１ꎬ ＝ ｍꎬ ＝１ꎬ ＝ ｍꎬ
ｂ 故 ｃ ａ２ ｂ２ 渐近线的方
＝２ꎬ ＝ ２ꎬ ＝ ＋ ＝ ６ꎬ
１ 所以 ｍ １.
ｍ ＝２ꎬ ＝ 程为 ｙ ２ｘ.不妨设点
４ ＝±
２
Ｐ 在第一象限 作 ＰＱ
考点 二 双曲线的几何性质
ꎬ ⊥
ＯＦ 于 Ｑ 如图
１.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)点 到双曲线 ꎬ ꎬ
２０２１ ５ ５ (３ꎬ０) ＰＯ ＰＦ Ｑ 为
∵ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ∴
ｘ２ ｙ２
的一条渐近线的距离为
－ ＝１ ( )
ＯＦ 的中点 ＯＱ ６.令 ＰＯＦ θ
１６ ９ ꎬ∴ ｜ ｜ ＝ ∠ ＝ ꎬ
２
９ ８ ６ ４
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
５ ５ ５ ５ 由 θ ２得 ＰＱ ＯＱ θ ６ ２
ｔａｎ ＝ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ｔａｎ ＝ ×
ｘ２ ｙ２
２ ２ ２
答案 Ａ 双曲线 的渐近线方程为
－ ＝１
１６ ９ ３.
＝
ｙ ３ｘ 根据对称性 不妨取 ｙ ３ｘ 即 ｘ ２
＝± ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ３ －
４ ４ ＰＦＯ 的面积 Ｓ １ ＯＦ ＰＱ １
ｙ 点 到直线 ｘ ｙ 的距离 ｄ ∴ △ ＝ ｜ ｜｜ ｜ ＝ × ６
４ ＝０ꎬ (３ꎬ０) ３ －４ ＝０ ＝ ２ ２
｜３×３－４×０｜ ９ 故选 . ３ ３ ２.故选 .
＝ ꎬ Ａ × ＝ Ａ
２ ２ ５
３ ＋(－４) ２ ４
ｘ２ ４.( 课标 ꎬ文 ꎬ理 ꎬ 分)设 Ｏ 为坐标
２.( 届长春六中月考ꎬ )若双曲线 Ｃ ２０２０ Ⅱ ９ ８ ５
２０２３ ８ :ａ２ －
ｘ２ ｙ２
原点 直线 ｘ ａ 与双曲线 Ｃ ａ
ｙ２
ａ ｂ 的离心率为 则其渐近线
ꎬ ＝ :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ
ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ５ꎬ
ｂ 的两条渐近线分别交于 Ｄ Ｅ 两点.若
>０) ꎬ
方程为
( ) ＯＤＥ 的面积为 则 Ｃ 的焦距的最小值为
△ ８ꎬ
ｙ ｘ ｙ １ｘ
Ａ. ＝±２ Ｂ. ＝± ( )
２
Ａ.４ Ｂ.８ Ｃ.１６ Ｄ.３２
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ. ＝± ３ Ｄ. ＝± ５ 答案 Ｂ 直线 ｘ ａ 与双曲线 Ｃ 的两条渐
＝
ｃ ａ２ ｂ２
ｂ
答案 Ａ 由 可 得 ＋
近线 ｙ ｘ 分别交于 Ｄ Ｅ 两点 则 ＤＥ
ａ ＝ ５ꎬ ａ ＝ ＝±ａ 、 ꎬ ｜ ｜ ＝
æ ｂ ö２ ｂ
5 ç ÷ 解得 故双曲线的渐近 ｙ ｙ ｂ 所以 Ｓ １ ａ ｂ ａｂ 即
年 １＋èａø ＝ ５ꎬ ａ ＝２ꎬ ｜ Ｄ－ Ｅ｜ ＝２ ꎬ △ ＯＤＥ＝ ２ ＝ ꎬ
高 ２
考 线方程为 ｙ ｘ.故选 ａｂ .所以 ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ 当且仅当 ａ
3 ＝±２ Ａ. ＝８ ＝ ＋ ≥２ ＝１６(
年
模 拟 ３.( ２０１９ 课标 Ⅲ 理ꎬ １０ ꎬ ５ 分)双曲线 Ｃ :
ｘ２
－
ｙ２
＝ ＝
ｂ 时取等号
)ꎬ
即 ｃ
ｍｉｎ ＝４ꎬ
所以双曲线的焦
４ ２ 距 ｃ 的最小值为 故选 .
A ２ ８ꎬ Ｂ
的右焦点为 Ｆ 点 Ｐ 在 Ｃ 的一条渐近线上
版 １ ꎬ ꎬ ５.(多选)( 届河北邯郸摸底ꎬ )已知双
２０２３ １０
高 Ｏ 为坐标原点.若 ＰＯ ＰＦ 则 ＰＦＯ 的
考 ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ △ ｘ２ ｙ２
数 面积为 曲线 Ｃ ａ 的左 右焦点分别为
学 ( )
:ａ２ － ＝１( >０) 、
３
３６８
Ｆ Ｆ 离心率为 Ｐ 为 Ｃ 上一点 则 ｂ
１ꎬ ２ꎬ ２ꎬ ꎬ ( ) ｘ 则 不正确
＝±ａ ꎬ Ｂ ꎻ
双曲线 Ｃ 的实轴长为
Ａ. ２
ｘ２ ｙ２
双曲线 Ｃ 的一条渐近线方程为 ｙ ｘ 对于 设 ａ２ ｂ２ ｃ２ 则双曲线 ａ
Ｂ. ＝ ３ Ｃꎬ ＋ ＝ ꎬ ａ２ －ｂ２ ＝１( >
ＰＦ ＰＦ
Ｃ.｜ １｜－｜ ２｜ ＝２ ｃ ｙ２ ｘ２
双曲线 Ｃ 的焦距为 ｂ 的离心率为 ｅ 双曲线
Ｄ. ４ ０ꎬ >０) １ ＝ ａꎬ ｂ２ －ａ２ ＝１
答案 ＡＢＤ 由双曲线方程知 ｂ 又由
＝ ３ꎬ ｃ ｃ２
ａ ｂ 的离心率为 ｅ 则 ｅ ｅ
ｃ ａ２ ( >０ꎬ >０) ２ ＝ ｂꎬ １ ２ ＝ａｂ＝
离心率为 ｅ ＋３ 解得 ａ 故 Ｃ
＝ ａ ＝ ａ ＝２ꎬ ＝１ꎬ :
ｂ２ ａ２ ｂ ａ ｂ ａ
＋ 当且仅当 ａ ｂ
ｙ２ ａｂ ＝ ａ＋ｂ≥２ ａｂ ＝２ꎬ ＝
ｘ２
－ ＝１ꎬ
时 等号成立 因此 正确
３
ꎬ ꎬ Ｃ ꎻ
实半轴长为
１ꎬ
实轴长为
２
ａ
＝２ꎬＡ
正确
ꎻ 对于 设 ａ２ ｂ２ ｃ２ 则双曲线
ｘ２ ｙ２
的
可求得双曲线的渐近线方程为 ｙ ｘ 故 Ｄꎬ ＋ ＝ ꎬ ａ２ －ｂ２ ＝１
＝± ３ ꎬ
ｙ２ ｘ２
一条渐近线方程为 ｙ ｘ 正确 焦点坐标为 ｃ 双曲线 的焦点
＝ ３ ꎬＢ ꎻ (± ꎬ０)ꎬ ｂ２ －ａ２ ＝１
由于Ｐ 可能在Ｃ 的不同支上 则有 ＰＦ
ꎬ ｜ ｜ １｜－｜ 坐标为 ｃ 这四个焦点都在圆 ｘ２ ｙ２ ｃ２
(０ꎬ± )ꎬ ＋ ＝
ＰＦ 错误 焦距为 ｃ ａ２ ｂ２
２｜ ｜ ＝２ꎬＣ ꎻ ２ ＝２ ＋ ＝４ꎬ 上 因此 正确.故选
ꎬ Ｄ ＣＤ.
正确.故选
Ｄ ＡＢＤ. ７.(多选)( 广东揭阳 月联考ꎬ )已知一
２０２１ ４ ９
６.(多选)( 届重庆八中入学考ꎬ )定义
２０２３ １１ : 组直线 ｘ ｙ 则以该组直线为渐近线的
±２ ＝０ꎬ
以双曲线的实轴为虚轴 虚轴为实轴的双曲
ꎬ 双曲线的方程可能是
( )
线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共
ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２
Ａ. －４ ＝１ Ｂ.４ － ＝１
轭双曲线的结论正确的是
( ) ｙ２ ｘ２
ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ ｙ２ Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１
与 ａ ｂ 共轭的双曲线是 ４ ４
Ａ. ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ａ２
答案 ＡＢＤ 双曲线 ｘ２ ｙ２ 的渐近线方
－４ ＝１
ｘ２
ａ ｂ
－ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 程为 ｙ
＝±
１ｘ
ꎬ
即 ｘ
±２
ｙ
＝０ꎬ
故
Ａ
符合题意
ꎻ
双
２
互为共轭的双曲线的渐近线不相同
Ｂ.
曲线 ｙ２ ｘ２ 的渐近线方程为 ｙ １ｘ 即
互为共轭的双曲线的离心率为 ｅ ｅ 则 ４ － ＝１ ＝± ꎬ
Ｃ. １、 ２ꎬ ２
ｅ ｅ ｙ２
１ ２≥２ ｘ ｙ 故 符合题意 双曲线 ｘ２ 的
互为共轭的双曲线的 个焦点在同一圆上 ±２ ＝０ꎬ Ｂ ꎻ － ＝１
４
Ｄ. ４
答案 ＣＤ 对于 由共轭双曲线的定义可 渐近线方程为 ｙ ｘ 即 ｘ ｙ 故 不符
Ａꎬ ＝±２ ꎬ ２ ± ＝０ꎬ Ｃ
知
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的共轭双曲线是
ｙ２
合题意 双曲线
ｘ２
ｙ２ 的渐近线方程为ｙ
ꎬａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ｂ２ － ꎻ
４
－ ＝１ ＝
ｘ２
１ｘ 即 ｘ ｙ 故 符合题意 故选 .
ａ ｂ 则 不正确
± ꎬ ±２ ＝０ꎬ Ｄ ꎬ ＡＢＤ
ａ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎬ Ａ ꎻ
２
专
题
８.( 河北邯郸一中开学考ꎬ )已知双曲线 九
ｘ２ ｙ２
２０２２ ８
对于 双曲线 ａ ｂ 与双曲
Ｂꎬ ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ｘ２ ｙ２ 平
面
ａ ｂ 的离心率为 ５ Ｏ 为坐
ｙ２ ｘ２
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
４
ꎬ 解
析
线 ａ ｂ 的渐近线方程均为 ｙ 几
ｂ２ －ａ２ ＝ １( >０ꎬ >０) 标原点 右焦点为Ｆ 过点Ｆ 作一条渐近线的 何
ꎬ ꎬ
３６９
垂线 垂足为 Ｐ 若 ＯＰＦ 的周长为 则双 选项中 若 ｍｎ 则此曲线应为双曲线
ꎬ ꎬ △ １２ꎬ Ｃ ꎬ <０ꎬ ꎬ
曲线的实轴长为
( ) ｍｘ２ ｎｙ２ 可化为 ｙ２
ｍｘ２
即 ｙ
ｍ
＋ ＝０ ＝－ ｎ ꎬ ＝± －ｎ
Ａ.８ Ｂ.４ Ｃ.２ ２ Ｄ.２
ｘ２ ｙ２ ｍ
答案 Ａ 双曲线 ａ ｂ 的渐 ｘ 即双曲线的渐近线方程为 ｙ ｘ 所
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ ＝± －ｎ ꎬ
以 正确.
ｂ
Ｃ
近线方程为ｙ ｘ 右焦点为Ｆ ｃ 不妨
＝±ａ ꎬ ( ꎬ０)ꎬ 选项中 若 ｍ ｎ 则方程 ｍｘ２ ｎｙ２
Ｄ ꎬ ＝０ꎬ >０ꎬ ＋ ＝１
设点 Ｐ 位于第一象限 则 ＰＦ 的长度为点 Ｆ
ꎬ 可化为 ｙ２ １ ｘ Ｒ 即 ｙ １ 表示两条
ｂ
＝ ｎ( ∈ )ꎬ ＝±
ｎ
ꎬ
ｃ 到直线 ｙ ｘ 的距离
( ꎬ０) ＝ ａ ꎬ 直线 所以 正确.
ꎬ Ｄ
ｂｃ 故选 .
即 ＰＦ ｜ －０｜ ｂ 所 以 ＯＰ ＡＣＤ
｜ ｜ ＝ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝
ａ２ ｂ２ １０.( 届安徽十校联考ꎬ )已知双曲线 Ｅ
＋
２０２３ １４ :
ＯＦ ２ ＰＦ ２ ａ 又 ＯＰＦ 的周长为 ｘ２ ｙ２
｜ ｜ －｜ ｜ ＝ ꎬ △ １２ꎬ ａ 的渐近线方程为 ｙ ｘ
ｃ
ａ２ － ＝１( >０) ＝± ３ ꎬ
９
所以 ａ ｂ ｃ 由 ５ 得 ９ａ ｂ
＋ ＋ ＝１２ꎬ ａ ＝ ꎬ ＋ ＝１２①ꎬ 则双曲线 Ｅ 的焦距等于 .
４ ４
答案
又 ｃ２ ａ２ ｂ２ 所以 ｂ２ ９ ａ２ 即 ｂ ３ａ 代入 ４ ３
＝ ＋ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ
１６ ４ ｘ２ ｙ２
解析 由双曲线 Ｅ ａ 得其渐
①
解得 ａ
＝４ꎬ
故双曲线的实轴长为
８
.故选
Ａ
. :ａ２ －
９
＝１( >０)
９.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知曲线
２０２０ Ⅰ ９ ５ 近线方程为 ｙ ３ｘ.因为双曲线的渐近线方
＝±ａ
Ｃ ｍｘ２ ｎｙ２ .
: ＋ ＝１ ( )
若 ｍ ｎ 则 Ｃ 是椭圆 其焦点在 ｙ 轴上
Ａ. > >０ꎬ ꎬ
程为ｙ ｘ 所以３ 得ａ 所以ｃ２
＝± ３ ꎬ ａ ＝ ３ꎬ ＝ ３ꎬ
若 ｍ ｎ 则 Ｃ 是圆 其半径为 ｎ
Ｂ. ＝ >０ꎬ ꎬ
ａ２ ｂ２ 得 ｃ
若 ｍｎ 则 Ｃ 是双曲线 其渐近线方程为 ＝ ＋ ＝３＋９＝１２ꎬ ＝２ ３ꎬ
Ｃ. <０ꎬ ꎬ
所以双曲线的焦距为 .
ｍ ４ ３
ｙ ｘ
＝± －ｎ ｘ２
１１.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知双曲线 Ｃ
２０２１ Ⅱ １３ ５ :ａ２
若 ｍ ｎ 则 Ｃ 是两条直线
Ｄ. ＝０ꎬ >０ꎬ
ｙ２
答案 ＡＣＤ 选项中 若 ｍ ｎ 则方程 ａ ｂ 离心率 ｅ 则双曲线
Ａ ꎬ > >０ꎬ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎬ ＝２ꎬ
ｘ２ ｙ２
ｍｘ２ ｎｙ２ 可变形为 因为 ｍ ｎ Ｃ 的渐近线方程为 .
＋ ＝１ ＋ ＝１ꎬ > >
１ １
ｍ ｎ 答案 ｙ ｘ
＝± ３
5 ì ï ｃ
年
高 ０ꎬ
所以
０<ｍ
１
<ｎ
１
ꎬ
所以此曲线表示椭圆
ꎬ
且焦
解析 由题意得í
ïｅ
＝ ａ ＝２ꎬ 所以
ｂ２
考 ï ａ２ ＝３ꎬ
3 点在 ｙ 轴上 所以 正确. î ï ｃ２ ａ２ ｂ２
年 ꎬ Ａ ＝ ＋ ꎬ
模 选项中 若 ｍ ｎ 则方程 ｍｘ２ ｎｙ２ 可 ｂ
拟 Ｂ ꎬ ＝ >０ꎬ ＋ ＝１ 所以双曲线的渐近线方程为 ｙ ｘ ｘ.
＝±ａ ＝± ３
A
变形为 ｘ２ ｙ２ １ 所以此曲线表示圆 半径
版 ＋ ＝ ｎꎬ ꎬ ｘ２
１２.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)已知双曲线 Ｃ
高 ２０２１ １３ ５ :ｍ
考
为１ 所以 不正确.
数
学 ｎ ꎬ Ｂ ｙ２ ｍ 的一条渐近线为 ｘ ｍｙ
－ ＝１( >０) ３ ＋ ＝０ꎬ
３７０
则 Ｃ 的焦距为 . 解析 由题意知双曲线的焦点在 ｙ 轴上 且
ꎬ
答案
４ ｍ 所以渐近线方程为 ｙ １ ｘ 所以
ｘ２ <０ꎬ ＝± －ｍ ꎬ －
解析 由双曲线 Ｃ ｙ２ ｍ 得渐近
:ｍ－ ＝１( >０)ꎬ
１ １ 所以 ｍ .
ｍ＝ ꎬ ＝－３
ｍ
线方程为 ｙ ｘ 结合题设得 ３ ３
＝ ± ｍ ꎬ － ｍ ＝ －
考点 三 直线与双曲线的位置关系
ｍ ｘ２
ｍ 双曲线 Ｃ 的方程为 ｙ２
ｍ ꎬ∴ ＝３ꎬ∴ － ＝ １.( 河北沧州一中月考ꎬ )已知 Ｆ Ｆ 分
３ ２０２２ ８ １ꎬ ２
Ｃ 的焦距为 . ｘ２
１ꎬ∴ ２ ３＋１ ＝４ 别是双曲线 Ｃ ｙ２ 的左 右焦点 点 Ｍ
: － ＝１ ꎬ ꎬ
１３.( 北京ꎬ ꎬ 分)已知双曲线 Ｃ
ｘ２ ｙ２
３
２０２０ １２ ５ : － 在直线 ｘ ｙ 上 则 ＭＦ ＭＦ 的最
６ ３ － ＋３＝０ ꎬ ｜ １ ｜＋｜ ２ ｜
则 Ｃ 的右焦点的坐标为 Ｃ 的 小值为
＝１ꎬ ꎻ ( )
焦点到其渐近线的距离是 .
Ａ.２ １３ Ｂ.６ Ｃ. ２６ Ｄ.５
答案 ｘ２
(３ꎬ０) ３ 答案 Ｃ 由双曲线Ｃ ｙ２ 可得ａ２
解析 由双曲线的方程
ｘ２ ｙ２
得 ａ２
:
３
－ ＝１ ＝３ꎬ
－ ＝１ꎬ ＝６ꎬ ｂ２ 所以 ｃ２ ａ２ ｂ２ 可得 ｃ 所以 Ｆ
６ ３ ＝１ꎬ ＝ ＋ ＝４ꎬ ＝２ꎬ
１
ｂ２ 故 ｃ２ Ｃ 的右焦点的坐标为 Ｆ .
＝３ꎬ ＝９ꎬ∴ (３ꎬ (－２ꎬ０)ꎬ ２(２ꎬ０)
设点 Ｆ 关于直线 ｘ ｙ 对称的点
.易知渐近线方程为 ｙ ２ｘ 双曲线的 ２(２ꎬ０) － ＋３＝０
０) ＝± ꎬ∴ 为 Ｐ ｍ ｎ
２
( ꎬ )ꎬ
ìｍ ｎ
ï
右焦点 到一条渐近线 ２ｘ ｙ 的距 ＋２
(３ꎬ０) － ＝０ ï ï － ＋３＝０ꎬ {ｍ
２ 由í ２ ２ 可得 ＝－３ꎬ所以 Ｐ
ï ｎ ｎ (－３ꎬ
３ ２ ï ï ＝５ꎬ
îｍ ＝－１
离 ｄ ２ . －２
＝ ＝ ３
１ ５)ꎬ
＋１ 所以 ＭＦ ＭＦ ＭＦ ＭＰ ＰＦ
２ ｜ １｜＋｜ ２｜ ＝ ｜ １｜＋｜ ｜≥｜ １｜ꎬ
ｘ２ ｙ２ 当且仅当 Ｐ Ｍ Ｆ 三点共线时等号成立
１４.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)双曲线
２０２１ １４ ５ － ＝１ ꎬ ꎬ １ ꎬ｜
４ ５ ＰＦ ２ ２ 所以
的右焦点到直线 ｘ ｙ 的距离为 . １｜ ＝ [－３－(－２)] ＋(５－０) ＝ ２６ꎬ ｜
＋２ －８＝０
ＭＦ ＭＦ 的最小值为 .故选 .
答案 １｜＋｜ ２｜ ２６ Ｃ
５ ２.( 湘豫名校 月联考ꎬ )已知双曲线
ｘ２ ｙ２ ２０２１ ４ １０
解析 由 得右焦点的坐标为
－ ＝ １ (３ꎬ ｘ２ ｙ２
Ｃ 的右焦点为 Ｆ 过原点 Ｏ 的直线
４ ５
: － ＝１ ꎬ
则由点到直线的距离公式得所求距离 ｄ １６ ９
０)ꎬ
与双曲线 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点 且 ＡＦＢ °
ꎬ ꎬ ∠ ＝６０ ꎬ
｜３－８｜ .
＝ ＝ ５ 则 ＯＢＦ 的面积为
２ ２ △ ( )
１ ＋２
１５.(
２０２２
北京ꎬ
１２
ꎬ
５
分)已知双曲线ｙ２
＋
ｘ
ｍ
２
＝１ Ａ.
９
Ｂ.
９ ３
Ｃ.
３
Ｄ.
３ ３ 专 题
九
２ ２ ２ ２
答案 Ｄ 如图 设双曲线的左焦点为 Ｆ 平
的渐近线方程为 ｙ ３ｘ 则 ｍ .
ꎬ １ꎬ 面
＝± ꎬ ＝ 连接 ＡＦ ＢＦ . 解
３ １ꎬ １ 析
几
答案 依题意可知 四边形 ＡＦＢＦ 为平行四边形 何
－３ ꎬ １ ꎬ
３７１
由 ＡＦＢ ° 可 得 以 ｃ ａ ｂ ａ Ｆ ａ .渐近线方程不
∠ ＝ ６０ ＝ ５ ꎬ ＝２ ꎬ ( ５ ꎬ０)
Ｆ ＢＦ °. Ｆ Ｆ
ｂ
∠ １ ＝ １２０ ｜ １ ｜ ＝ 妨取 ｙ ｘ 即 ｘ ｙ 设 Ｆ 关于渐近线 ｘ
ｃ 在 ＝ ａ ꎬ ２ － ＝０ꎬ ２
２ ＝ ２ １６＋９ ＝ １０ꎬ
ＢＦ Ｆ 中 由余弦定理 ｙ 的 对 称 点 为 ｍ ｎ 则
△ １ ꎬ － ＝ ０ ( ꎬ )ꎬ
可 ＝ ｜ 得 Ｆ １ ｜ Ｆ ＢＦ ｜ ２ １ ꎬ ｜ 即 ２ ＋ ｜ ｜ Ｂ Ｂ Ｆ Ｆ １ ｜ ｜ ２ ２ － ＋ ２ ｜ ｜ Ｂ Ｂ Ｆ Ｆ １ ｜ ２ ｜ ＋ ｜ Ｂ ｜ Ｆ Ｂ ｜ Ｆ ｃ １ ｏ ｜ ｓ∠ ｜ Ｂ Ｆ Ｆ １ ｜ Ｂ ＝ Ｆ ì í ï ï ïｍ － ｎ ５ ａ ×２＝－１ꎬ 解得 ì í ï ï ï ｍ ＝ －３ ５ ａ ꎬ 代入 Ｃ 的
. ï ｍ ａ ｎ ï ａ
１００ ① î ï ï ２× ＋ ５ － ＝０ꎬ î ï ï ｎ ＝ ４ ꎬ
又因为点 Ｂ 在双曲线上 所以 ＢＦ ＢＦ ２ ２ ５
ꎬ ｜ ｜ １｜－｜ ｜
｜ ＝２
ａ
＝８ꎬ
æ çç －３ ａö ÷÷ ２ æ çç ４ ａö ÷÷ ２
è ø è ø
两边平方得 ＢＦ ２ ＢＦ ２ ＢＦ ＢＦ 方程 得 ５ ５ ９ ４ 所以点 Ｆ
｜ １ ｜ ＋｜ ｜ －２｜ １ ｜ ｜ ｜ ＝ ꎬ ａ２ － ａ２ ＝ － ＝１ꎬ
. ４ ５ ５
６４ ②
关于双曲线 Ｃ 的渐近线的对称点在双曲线
得 ＢＦ ＢＦ 即 ＢＦ ＢＦ
①－② ３｜ １ ｜ ｜ ｜ ＝ ３６ꎬ ｜ １ ｜ ｜ ｜ Ｃ 上 故 正确
ꎬ Ｂ ꎻ
＝１２ꎬ
对于 过双曲线 Ｃ 的右焦点 Ｆ 的直线与双
Ｃꎬ
所以 Ｓ １ ＢＦ ＢＦ Ｆ ＢＦ １
△ Ｆ １ ＢＦ＝ ｜ １｜ ｜ ｜ｓｉｎ∠ １ ＝ ×１２ 曲线的右支交于 Ｍ ꎬ Ｎ 两点 ꎬ 当直线 ＭＮ 与 ｘ
２ ２
轴垂直时 线段 ＭＮ 的长度最短 故 正确
ꎬ ꎬ Ｃ ꎻ
３ 因为 Ｏ 为 Ｆ Ｆ 的中点 所以
× ＝ ３ ３ꎬ １ ꎬ 对于 双曲线 Ｃ 为等轴双曲线 即 Ｃ ｘ２ ｙ２
２ Ｄꎬ ꎬ : －
ａ２ ａ 设 Ｐ ｘ ｙ ｙ 则 ｘ２ ｙ２
Ｓ １Ｓ ３ ３ 故选 . ＝ ( >０)ꎬ ( ０ꎬ ０)( ０≠０)ꎬ ０ － ０ ＝
△ ＯＢＦ＝ △ Ｆ １ ＢＦ＝ ꎬ Ｄ ａ２ 又 Ａ Ａ ＰＡ 则 ｘ ａ ２ ｙ２ ａ２
２ ２ ①ꎬ ｜ １ ２ ｜ ＝ ｜ ２ ｜ꎬ ( ０ － ) ＋ ０ ＝４
３.(多选)( 届湖北摸底联考ꎬ )已知双
联立 解得 ｘ ａ ｙ ａ 易得
２０２３ １２
②ꎬ ①② ０ ＝ ２ ꎬ ０ ＝ ± ３ ꎬ
ｘ２ ｙ２
曲线 Ｃ ａ ｂ 的右焦点为 Ｆ
ＰＡ Ａ π 故 正确.故选
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ
∠ １ ２ ＝ ꎬ Ｄ ＢＣＤ.
６
左 右顶点分别为 Ａ Ａ 则
４.( 届浙江嘉兴一中期中ꎬ )已知双曲线
、 １ꎬ ２ꎬ ( )
２０２３ ２１
过点 Ａ 与 Ｃ 只有一个公共点的直线有
Ａ. ２ ｘ２ ｙ２
ａ ｂ Ｏ 为坐标原点 离心率
２
条 ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎬ ꎬ
若 Ｃ 的离心率为 则点 Ｆ 关于 Ｃ 的渐近
ｅ 点 Ｍ 在双曲线上.
Ｂ. ５ꎬ
＝２ꎬ ( ５ꎬ ３)
线的对称点在 Ｃ 上
求双曲线的方程
(１) ꎻ
过 Ｆ 的直线与 Ｃ 的右支交于 Ｍ Ｎ 两点
Ｃ. ꎬ ꎬ 如图 若直线 ｌ 与双曲线的左 右两支分
(２) ꎬ 、
则线段 ＭＮ 的长度有最小值
别交于点 Ｑ Ｐ 且Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ 求 ＯＰ ２
若 Ｃ 为等轴双曲线 点 Ｐ 是 Ｃ 上异于顶点 ꎬ ꎬ ＝ ０ꎬ ｜ ｜ ＋
Ｄ. ꎬ ＯＱ ２ 的最小值.
5 ｜ ｜
年 的一点 且 Ａ Ａ ＰＡ 则 ＰＡ Ａ π
高 ꎬ ｜ １ ２｜ ＝ ｜ ２｜ꎬ ∠ １ ２ ＝
６
考
3 答案 ＢＣＤ 对于 过 Ａ 与 Ｃ 只有一个
年 Ａꎬ ２
模 公共点的直线 与渐近线平行的直线有
拟 ꎬ ２
条 与 ｘ 轴垂直的直线有 条 共 条
A
ꎬ １ ꎬ ３ ꎬＡ
版
错误
ꎻ
高
解析 由离心率 ｅ 点 Ｍ 在
考 数 对于 ｅ２ ｃ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｂ２ ｂ２ ａ２ 所 (１) ＝２ꎬ ( ５ꎬ ３)
学 Ｂꎬ ＝ａ２ ＝５ꎬ ＝５ ＝ ＋ ꎬ ＝４ ꎬ 双曲线上
ꎬ
３７２
ｃ ＭＦ ＭＦ Ｆ Ｆ 所以结合
可得 ａ ＝２ꎬａ ５
２
－ｂ ３
２
＝１ꎬ 结合 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２ ꎬ
双曲
１｜
线
－
定
｜
义
２
知
｜ ＝
点
２<
Ｍ
｜
的
１
轨
２ ｜
迹
＝２
Ｃ 是
１７
以
ꎬ
Ｆ Ｆ 为
ꎬ １、 ２
解得 ａ ｂ ｃ 焦点的双曲线的右支.
＝２ꎬ ＝２ ３ꎬ ＝４ꎬ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
则双曲线的方程为 . 设其方程为 ａ ｂ ｘ ａ
４
－
１２
＝１ ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０ꎬ ≥ )ꎬ
由Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ 可得 ＯＰ ＯＱ 则 ａ ｃ 解得 ａ ｃ
(２) ＝０ꎬ ⊥ ꎬ ２ ＝２ꎬ２ ＝２ １７ꎬ ＝１ꎬ ＝ １７ꎬ
设 ＯＰ 的方程为 ｙ ＝ ｋｘ ꎬ 则 ＯＱ 的方程为 ｙ ＝－ 则 ｂ２ ＝ ｃ２ － ａ２ ＝( １７) ２ －１ ２ ＝１６ꎬ
１
ｋ
ｘ
ꎬ
所以 Ｍ 的轨迹 Ｃ 的方程为 ｘ２
－
ｙ２
＝１(
ｘ
≥１)
.
１６
由
{ｙ
＝
ｋｘ
ꎬ 解得 ｘ２ １２ ｙ２ １２
ｋ２
如图 设 Ｔ
æ
ç１ ｍ
ö
÷ 直线 ＡＢ 的方程为 ｙ
３
ｘ２
－
ｙ２
＝１２
＝
３－
ｋ２ ꎬ ＝
３－
ｋ２ ꎬ (２) ꎬ è
２
ꎬ øꎬ －
ì æ ö
则 ｜ ＯＰ ｜ ２ ＝ １２(
３
１
－
＋ ｋ２
ｋ２
) ꎬ
ｍ ｋ
æ
çｘ １
ö
÷ 由í
ï
ï ï ｙ ＝ ｋ １è çｘ －
２
１ ø ÷ ＋ ｍ ꎬ
得
将 ｋ 换为 － １ ｋꎬ 可得 ｜ ＯＱ ｜ ２ ＝ １２( ｋ １ ２ ＋ ｋ２ ) ꎬ １ < ｋ２ ＝ １è － ２ øꎬ î ï ï ï ｘ２ － １ ｙ ６ ２ ＝１( ｘ ≥１)ꎬ (１６－
３ －１ ３
<３ꎬ
ｋ２
１)
ｘ２
＋(
ｋ２
１ －２
ｋ
１
ｍ
)
ｘ
－
１ｋ２
１ ＋
ｋ
１
ｍ
－
ｍ２
－１６＝０ꎬ
ｋ２ ２ ４
所以 ＯＰ ２ ＯＱ ２ ２４(１＋ )
｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝ ｋ２ ｋ２ ꎬ
(３－ )(３ －１)
æ ö
令 ｋ２ ｔç４ ｔ ÷ 则 ｋ２ ｔ
１＋ ＝ è < <４øꎬ ＝ －１ꎬ
３
ｔ２
所以 ＯＰ ２ ＯＱ ２ ２４
｜ ｜ ＋ ｜ ｜ ＝ ｔ ｔ ＝
(４－ )(３ －４)
ｔ２
２４ ２４ ２４
－３ ｔ２ ＋１６ ｔ －１６ ＝ １６ １６ ＝ æ ç１ １ ö ÷ ２ ꎬ 设 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
－３＋ ｔ －ｔ２ －１６è ｔ － ø ＋１ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
２
当 ｔ
＝２ꎬ
即 ｋ２
＝１
时
ꎬ｜
ＯＰ
｜
２
＋｜
ＯＱ
｜
２ 取得最小
则 ｘ ｘ
ｋ２
１ －２
ｋ
１
ｍ
ｘ ｘ ４
１ｋ２
１
＋
ｍ２
－
ｋ
１
ｍ
＋１６
值 . １ ＋ ２ ＝ ｋ２ ꎬ １ ２ ＝ ｋ２ ꎬ
２４
１
－１６
１
－１６
５.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)在平面直角坐标 æ ö
２０２１ Ⅰ ２１ １２ 则 ＴＡ ｋ２ çｘ １÷ ＴＢ
｜ ｜ ＝ １＋ １ è １ － øꎬ ｜ ｜ ＝
系 ｘＯｙ 中 已知点 Ｆ Ｆ ２
ꎬ １(－ １７ꎬ０)ꎬ ２( １７ꎬ
æ ö
点 Ｍ 满足 ＭＦ ＭＦ .记 Ｍ 的轨迹 ｋ２ çｘ １÷
０)ꎬ ｜ １｜－｜ ２｜ ＝２ １＋ １ è ２ － øꎬ
２
为 Ｃ.
所 以 ＴＡ ＴＢ ｋ２
求 Ｃ 的方程 ｜ ｜ ｜ ｜ ＝ ( １ ＋ １ )
(１) ꎻ æ öæ ö ｍ２ ｋ２
çｘ １÷çｘ １÷ ( ＋１２)(１＋ １).
设点 Ｔ 在直线 ｘ １上 过 Ｔ 的两条直线 è １ － øè ２ － ø ＝ ｋ２
(２) ＝ ꎬ ２ ２ １ －１６
２ æ ö 专
分别交 Ｃ 于 Ａ Ｂ 两点和 Ｐ Ｑ 两点 且 ＴＡ 设直线 ＰＱ 的方程为 ｙ ｍ ｋ çｘ １÷ 题
ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜ － ＝ ２è － øꎬ 九
２
ＴＢ ＴＰ ＴＱ 求直线 ＡＢ 的斜率与 平
｜ ｜ ＝ ｜ ｜｜ ｜ꎬ ｍ２ ｋ２
同理得 ＴＰ ＴＱ ( ＋１２)(１＋ ２) 面
直线 ＰＱ 的斜率之和. ｜ ｜｜ ｜ ＝ ｋ２ ꎬ 解
析
２
－１６
几
解析 由题意知 Ｆ Ｆ 因为 因为 ＴＡ ＴＢ ＴＰ ＴＱ 何
(１) ｜ １ ２ ｜ ＝２ １７ꎬ ｜ ｜ ｜｜ ｜ ＝ ｜ ｜｜ ｜ꎬ
３７３
ｍ２ ｋ２ ｍ２ ｋ２ æ ö
所以( ＋１２)(１＋ １) ( ＋１２)(１＋ ２) 不妨设直线 ＰＡ 的倾斜角为 αçπ α ÷ 直
ｋ２
１
－１６
＝ ｋ２
２
－１６
ꎬ è
２
< <πøꎬ
æ ö
所以 １＋
ｋ２
１ １＋
ｋ２
２ 即 ｋ２ ｋ２ 由题意知 ｋ 线 ＱＡ 的倾斜角为 β è ç ０< β < π ø ÷ ꎬ 则 ∠ ＰＡＱ ＝ α
ｋ２ ＝ｋ２ ꎬ １ ＝ ２ꎬ １≠ ２
１
－１６
２
－１６
β
ｋ 所以 ｋ ｋ 即直线 ＡＢ 的斜率与直线 － ꎬ
２ꎬ １ ＋ ２ ＝０ꎬ ｋ ｋ
ＰＱ 的斜率之和为 . α β 即 ＰＡ－ ＱＡ
０ ∴ ｔａｎ( － )＝ ２ ２ꎬ ｋ ｋ ＝２ ２ꎬ
６.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知点 Ａ １＋ ＰＡ ＱＡ
２０２２ Ⅰ ２１ １２ (２ꎬ１)
由题意知 ｋ ｋ 解得 ｋ 或 ｋ
ｘ２ ｙ２ ＱＡ ＝－ ＰＡꎬ ＰＡ ＝－ ２ ＰＡ ＝
在双曲线 Ｃ ａ 上 直线 ｌ 交
:ａ２ －ａ２
－１
＝１( >１) ꎬ
２ 舍去 .
( )
Ｃ 于Ｐ Ｑ 两点 直线ＡＰ ＡＱ 的斜率之和为 . ２
ꎬ ꎬ ꎬ ０
直线 ＰＡ 的方程为 ｙ ｘ
求 ｌ 的斜率
∴ ＝－ ２( －２)＋１ꎬ
(１) ꎻ
ì ïｙ ｘ
若 ＰＡＱ 求 ＰＡＱ 的面积.
(２) ｔａｎ∠ ＝２ ２ꎬ △ ï ＝－ ２( －２)＋１ꎬ
联立í 得 ｘ １０＋４ ２
解析 点 Ａ 在双曲线上 ４ １ ï ï
ｘ２
ｙ２ １ ＝ ３ ꎬ
(１)∵ ꎬ∴ ａ２ －ａ２ î
２
－ ＝１ꎬ
－１
＝１ꎬ 同理 ｘ １０－４ ２
ꎬ ２ ＝ ꎬ
ｘ２ ３
解得 ａ２ . Ｃ 的方程为 ｙ２ .
＝２ ∴ － ＝１ ①
２ ＰＡ ｋ２ ｘ ４ ３( ２＋１)
设直线 ｌ ｙ ｋｘ ｍ. ∴ ｜ ｜ ＝ １＋ ＰＡ ｜ １ －２｜ ＝ ꎬ
: ＝ ＋ ② ３
联立 消去 ｙ 得 ｋ２ ｘ２ ｋｍｘ ｍ２
①②ꎬ (１－２ ) －４ －２( ＱＡ ｋ２ ｘ ４ ３( ２－１)
. ｜ ｜ ＝ １＋ ＱＡ ｜ ２ －２｜ ＝ ꎬ
３
＋１)＝ ０
设 Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ
( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ 由 ＰＡＱ 得 ＰＡＱ ２ ２
ｔａｎ∠ ＝２ ２ ｓｉｎ∠ ＝ ꎬ
ｋｍ ｍ２ ３
则 ｘ ｘ ４ ｘ ｘ ２ ＋２
１ ＋ ２ ＝
１－２
ｋ２ ꎬ １ ２ ＝－
１－２
ｋ２ ꎬ
∴
Ｓ
△ ＰＡＱ＝
１
｜
ＰＡ
｜ ｜
ＱＡ
｜ｓｉｎ∠
ＰＡＱ
ｙ ｙ ２
ｋ １ －１ ｋ ２ －１
ＰＡ＝ｘ ꎬ ＱＡ＝ｘ ꎬ
１
－２
２
－２
＝
１
×
４ ３( ２＋１)
×
４ ３( ２－１)
×
２ ２
＝
１６ ２.
ｙ ｙ ２ ３ ３ ３ ９
由 ｋ ｋ 得 １ －１ ２ －１
ＰＡ＋ ＱＡ＝０ꎬ ｘ ＋ｘ ＝０ꎬ ７.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知双曲线 Ｃ ｘ２
１
－２
２
－２
２０２２ Ⅱ ２１ １２ :ａ２
化简得 ｋｘ ｘ ｍ ｋ ｘ ｘ ｍ
２ １ ２ ＋( －２ －１)( １ ＋ ２)－４( －１) ｙ２
ａ ｂ 的右焦点为 Ｆ 渐近
＝ ０ꎬ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) (２ꎬ０)ꎬ
æ ｍ２ ö ｋｍ
即 ｋ çç ２ ＋２÷÷ ｍ ｋ ４ ｍ
线方程为 ｙ ｘ.
２ è － ｋ２ ø＋( －２ －１) ｋ２ －４( ＝± ３
5 １－２ １－２
求 Ｃ 的方程
年
(１) ꎻ
高 －１)＝ ０ꎬ
考 过 Ｆ 的直线与 Ｃ 的两条渐近线分别交于
3 化简得 (２ ｋ ＋ ｍ －１)( ｋ ＋１)＝ ０ꎬ (２)
年 Ａ Ｂ 两点 点Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 在 Ｃ 上 且
模
∴ ２
ｋ
＋
ｍ
－１＝０
或 ｋ
＋１＝０
. ꎬ ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２) ꎬ
拟
若 ｋ ｍ 则 ｌ ｙ ｋ ｘ ｘ ｘ ｙ .过 Ｐ 且斜率为 的直线与
A ２ ＋ －１＝０ꎬ : ＝ ( －２)＋１ꎬ １> ２>０ꎬ １>０ － ３
版 这时直线 ｌ 过点 Ａ 不合题意 过 Ｑ 且斜率为 的直线交于点 Ｍ.从下面
ꎬ ꎬ ３ ①
高
ｋ ｋ . 中选取两个作为条件 证明另外一个
考
∴ ＋１＝０ꎬ∴ ＝－１ ②③ ꎬ
数
学 由 知 ｋ 从而 ｌ ｙ ｘ ｍ 成立.
(２) (１) ＝－１ꎬ : ＝－ ＋ ꎬ
３７４
Ｍ 在 ＡＢ 上 ＰＱ ＡＢ ＭＡ ＭＢ .
① ꎻ② ∥ ꎻ③｜ ｜ ＝ ｜ ｜ 故点 Ｍ 的轨迹方程为 ｙ ３ｘ 其中 ｋ 为直线
＝ ｋ ꎬ
注 若选择不同的组合分别解答 则按第一
: ꎬ
ＰＱ 的斜率.
个解答计分.
若选择 作为条件 作为结论
ìｃ
ï ①② ꎬ③ ꎬ
＝２ꎬ
ï 设直线 ＡＢ 的方程为 ｙ ｋ ｘ Ａ ｘ ｙ
解 析 由 题 意 知 í ïｂ 解 ＝ ( －２)ꎬ ( Ａꎬ Ａ)ꎬ
( １ ) ïａ ＝ ３ꎬ
Ｂ ｘ ｙ 不妨设点 Ａ 在渐近线 ｙ ｘ 上
ï ( Ｂꎬ Ｂ)ꎬ ＝ ３ ꎬ
ï
îｃ２ ａ２ ｂ２
ì ｋ
＝ ＋ ꎬ ï
ｘ ２
{ａ {ｙ ｋ ｘ ï ＝ ｋ ꎬ
得 ＝１ꎬ 则由 ＝ ( －２)ꎬ得í ï － ３
ｂ ｙ ｘ ï ｋ
＝ ３ꎬ ＝ ３ ꎬ ïｙ ２ ３
ｙ２ î ï ＝ ｋ ꎬ
Ｃ 的方程为 ｘ２ . － ３
∴ － ＝１
３ æ ｋ ｋö æ ｋ ｋö
Ａç ２ ２ ３ ÷ 同理 Ｂç ２ ２ ３ ÷
易知直线 ＰＱ 的斜率存在 设其方程为 ｙ ç ÷ ç ÷
(２) ꎬ ∴ èｋ ꎬｋ ø ꎬ èｋ ꎬ－ ｋ ø ꎬ
{ｙ ｋｘ ｂ － ３ － ３ ＋ ３ ＋ ３
ｋｘ ｂ ｋ 由 ＝ ＋ ꎬ 消 ｙ 得 ì ï ｋ２
＝ ＋ ( > ３)ꎬ ３ ｘ２ － ｙ２ －３＝０ (３－ ì ï ï ｙ ＝ ｋ ( ｘ －２)ꎬ ï ï ｘ ＝ｋ ２ ２ ꎬ
又 由 í 得 í －３
ｋ２ ｘ２ ｋｂｘ ｂ２ 由Δ 得ｂ２ ｋ２ ïｙ ３ｘ ï ｋ ∴
) －２ － －３＝０ꎬ >０ꎬ ＋３－ >０ꎬ ï
î ＝ ｋ ꎬ ïｙ ６
ｋｂ î ï ＝ｋ２ ꎬ
由根与系数的关系得 ｘ ｘ ２ ｘ ｘ －３
１ ＋ ２ ＝
３－
ｋ２ ꎬ １ ２ æ ｋ２ ｋ ö
Ｍçç ２ ６ ÷÷
ｂ２ èｋ２ ꎬｋ２ øꎬ
－ －３ －３ －３
＝
３－
ｋ２ ꎬ
ｘ
ｘ
Ａ＋
ｘ
Ｂ
ｙ
ｙ
Ａ＋
ｙ
Ｂ
即 Ｍ 为 ＡＢ 的中点
ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ∴ Ｍ＝ ꎬ Ｍ＝ ꎬ ꎬ
∴ １ － ２ ＝ ( １ ＋ ２) －４ １ ２ ２ ２
ＭＡ ＭＢ .
ｂ２ ｋ２ ∴ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜
２ ３( ＋３－ )
＝
３－
ｋ２ ꎬ 若选择
①③
作为条件
ꎬ②
作为结论
ꎬ
设点Ｍ 的坐标为 ｘ ｙ 则直线ＰＭ ＱＭ 的
当直线ＡＢ 的斜率不存在时 点Ｍ 即为Ｆ
ꎬ (２ꎬ
( ０ꎬ ０)ꎬ 、
方程分别为ｙ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ 此时Ｍ 不在直线ｙ ３ｘ 上 不符合题意
－ ０ ＝－ ３( － ０)ꎬ － ０ ＝ ３( － ０)ꎬ ＝ ｋ ꎬ ꎬ
ｘ
０)ꎬ 舍去
ì ïï ｙ ｙ ｘ ｘ ꎻ
故í １ － ０ ＝－ ３( １ － ０)ꎬ(∗) 当直线 ＡＢ 的斜率存在时 设直线 ＡＢ 的方程
ꎬ
ïï
îｙ ｙ ｘ ｘ
２ － ０ ＝ ３( ２ － ０)ꎬ(∗∗) 为 ｙ ＝ ｍ ( ｘ －２)ꎬ ｍ ≠０ꎬ± ３ .不妨设点 Ａ 在渐
得 ｙ ｙ ｘ ｘ ｘ
(∗)－(∗∗) １ － ２ ＝－ ３( １ ＋ ２ －２ ０)ꎬ 近线 ｙ ＝ ３ ｘ 上 ꎬ 且Ａ ( ｘ Ａꎬ ｙ Ａ)ꎬ Ｂ ( ｘ Ｂꎬ ｙ Ｂ) .
即 ｋ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
ì ｍ
( １ － ２)＝ － ３( １ ＋ ２ －２ ０)ꎬ ï ｘ ２
ｋ ｂ２ ｋ２ ｋｂ {ｙ ｍ ｘ ï ï ＝ ｍ ꎬ
解得 ｘ ＋３－ ＋ 由 ＝ ( －２)ꎬ得í － ３
０ ＝ ｋ２ ꎬ ｙ ｘ ï ｍ
３－
＝ ３ ꎬ ïｙ ２ ３
又 得 ｙ ｙ ｙ ｘ ｘ î ï ＝ ｍ ꎬ
(∗)＋(∗∗) １ ＋ ２ －２ ０ ＝ ３( ２ － １)ꎬ － ３ 专
而 ｙ １ ＋ ｙ ２ ＝ ｋ ( ｘ １ ＋ ｘ ２)＋２ ｂ ꎬ∴ ｋ ( ｘ １ ＋ ｘ ２)＋２ ｂ －２ ｙ ０ Ａ æ ç ２ ｍ ２ ３ ｍö ÷ 题 九
ç ÷
ｘ ｘ ∴ èｍ ꎬｍ ø ꎬ 平
＝ ３( ２ － １)ꎬ － ３ － ３ 面
解得 ｙ ３ ｂ２ ＋３－ ｋ２ ＋３ ｂ ３ｘ . 同理 Ｂ æ ç ç ２ ｍ ２ ３ ｍö ÷ ÷ 解 析 几
０ ＝ ｋ２ ＝ ｋ ０ èｍ ꎬ－ ｍ ø ꎬ 何
３－ ＋ ３ ＋ ３
３７５
此时 ｘ
ｘ
Ａ＋
ｘ
Ｂ ２
ｍ２
ｙ
ｙ
Ａ＋
ｙ
Ｂ ６
ｍ 设线段 ＡＢ 的中点为 Ｃ
(
ｘ
Ｃꎬ
ｙ
Ｃ)ꎬ
Ｍ＝
２
＝ｍ２
－３
ꎬ Ｍ＝
２
＝ｍ２
－３
ꎬ
则 ｘ
ｘ
Ａ＋
ｘ
Ｂ ２
ｋ２
ｙ
ｙ
Ａ＋
ｙ
Ｂ ６
ｋ
Ｃ＝ ＝ｋ２ ꎬ Ｃ＝ ＝ｋ２ ꎬ
点 Ｍ 在直线 ｙ ３ｘ 上 ２ －３ ２ －３
∵ ＝ ｋ ꎬ
由于 ＭＡ ＭＢ 故点Ｍ 在线段ＡＢ 的中垂
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ
ｍ ｍ２
线上
６ ３ ２ 解得 ｋ ｍ 故 ＰＱ ＡＢ.
ꎬ
∴ ｍ２ ＝ ｋｍ２ ꎬ ＝ ꎬ ∥
－３ －３
即点 Ｍ 在直线 ｙ ｙ １ ｘ ｘ 上
若选择 作为条件 作为结论 － Ｃ＝－ｋ( － Ｃ) ꎬ
②③ꎬ ꎬ① ꎬ
设直线 ＡＢ 的方程为 ｙ
＝
ｋ
(
ｘ
－２)ꎬ
Ａ
(
ｘ
Ａꎬ
ｙ
Ａ)ꎬ 将该直线方程与 ｙ ３ｘ 联立 得 ｘ ２
ｋ２
Ｂ ｘ ｙ 不妨设点 Ａ 在渐近线 ｙ ｘ 上
＝ ｋ ꎬ Ｍ＝ｋ２ ＝
( Ｂꎬ Ｂ)ꎬ ＝ ３ ꎬ －３
{ ｙ ｋ ｘ ｋ
Ａ＝ ( Ａ－２)ꎬ ｋ ｋ ｘ ｙ ６ ｙ 即点 Ｍ 恰为线段 ＡＢ 的
则
ｙ ｘ
解得 ｘ
Ａ＝ ｋ
２
ꎬ
ｙ
Ａ＝ ｋ
２ ３
ꎬ
Ｃꎬ Ｍ ＝ ｋ２
－３
＝ Ｃꎬ
Ａ＝ ３ Ａꎬ － ３ － ３ 中点
ꎬ
ｋ ｋ
同理 得 ｘ ２ ｙ ２ ３ 故点 Ｍ 在直线 ＡＢ 上.
ꎬ Ｂ＝ ꎬ Ｂ＝－ ꎬ
ｋ ｋ
＋ ３ ＋ ３
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３７６
综合篇
考法 一 求双曲线的标准方程 曲线方程为
( )
１.( 天津河西期末ꎬ )已知双曲线的一个 ｘ２
ｙ２ ｘ２ ｙ２
２０２２ ４ Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１
焦点与抛物线ｘ２ ｙ 的焦点重合 且双曲线 ４ ６ ２４
＝２０ ꎬ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
上的一点 Ｐ 到双曲线的两个焦点的距离之
Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１
８ ４８ ４ １６
差的绝对值等于 则双曲线的标准方程为
６ꎬ ｃ２
答案 Ｄ 由双曲线的离心率为 得
( ) ５ꎬ ａ２ ＝
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ａ２ ｂ２
Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１ 所以 ＋ 所以 ｂ２ ａ２ 所以双曲线
９ １６ １６ ９ ５ꎬ ａ２ ＝５ꎬ ＝４ ꎬ
ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２
Ｃ. － ＝１ Ｄ. － ＝１ 方程为
ｘ２ ｙ２
将 Ａ 代入
ｘ２ ｙ２
９ １６ １６ ９ ａ２ － ａ２ ＝１ꎬ (４ꎬ４ ３) ａ２ － ａ２
答案 Ｃ 由ｘ２ ｙ 得 ｐ 则 ｐ . ４ ４
＝２０ ꎬ ２ ＝２０ꎬ ＝１０ ∴
抛物线ｘ２
＝２０
ｙ 的焦点坐标为
(０ꎬ５)ꎬ
则双曲
＝１
得１
ａ
６
２ －
４
ａ
８
２ ＝１ꎬ
所以 ａ２
＝４
.所以双曲线的
线的焦点在 ｙ 轴上 半焦距 ｃ .设其方程为 ４
ꎬ ＝５
ｘ２ ｙ２
ｙ２ ｘ２ 方程为 .故选
ａ ｂ . － ＝１ Ｄ.
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ４ １６
ｘ２
双曲线上的一点 Ｐ 到双曲线的两个焦点 ３.( 天津ꎬ ꎬ 分)设双曲线 Ｃ 的方程为
∵ ２０２０ ７ ５ ａ２
的距离之差的绝对值等于 ａ 即 ａ
６ꎬ∴ ２ ＝６ꎬ ＝
ｙ２
. ｂ２ ｃ２ ａ２ . ａ ｂ 过抛物线 ｙ２ ｘ 的焦点
３ ∴ ＝ － ＝１６ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎬ ＝４
ｙ２ ｘ２
双曲线的标准方程为 .故选
和点 ｂ 的直线为 ｌ.若 Ｃ 的一条渐近线与
∴ － ＝１ Ｃ.
(０ꎬ )
９ １６
ｌ 平行 另一条渐近线与 ｌ 垂直 则双曲线 Ｃ
２.( 海南琼海嘉积三中月考ꎬ )双曲线
ｘ２
ꎬ ꎬ
２０２２ ５ ａ２ － 的方程为
( )
ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｙ２
的离心率为 且过 Ａ 则双 ｘ２
ｂ２ ＝１ ５ꎬ (４ꎬ４ ３)ꎬ Ａ. － ＝１ Ｂ. － ＝１
４ ４ ４
Ｃ.
ｘ
４
２
－
ｙ２
＝１ Ｄ.
ｘ２
－
ｙ２
＝１
的离心率为３
５
５
ꎬ
所以 ｅ２
＝１＋ａ
ｂ２
２
＝
５
９
ꎬ
即
５
ｂ
＝
答案 Ｄ 由题意知双曲线的两条渐近线互
ｂ
ａ.又 ＡＦ 与渐近线 ｙ ｘ 垂直 则 ＡＦ
相垂直 双曲线 Ｃ 为等轴双曲线 渐近线 ２ ＝ ａ ꎬ ｜ ｜ ＝
ꎬ∴ ꎬ
的斜率分别为 和 直线 ｌ 与一条渐近 ｂｃ
１ －１ꎬ∵ ｂ 所以 ＡＯ ｃ２ ｂ２ ａ 因为
线平行
ꎬ
抛物线 ｙ２
＝ ４
ｘ 的焦点为
(１ꎬ０)ꎬ
ａ２
＋
ｂ２
＝ ꎬ ｜ ｜ ＝ － ＝ ꎬ
ｂ
∴
－０
＝－１ꎬ
即ｂ
＝１
.
∴
双曲线Ｃ 的方程为ｘ２
－
ｙ２
ＡＦＯ 的面积为 所以１ａｂ 解得 ａ
０－１ △ ５ꎬ ＝ ５ꎬ ＝
２
.故选 .
＝１ Ｄ ｘ２ ｙ２
ｂ 所以双曲线 Ｃ 的方程为 .
４.( 天津和平模考ꎬ )在平面直角坐标系 ５ꎬ ＝２ꎬ － ＝１
２０２２ ４ ５ ４
中 双曲线 Ｃ 过点 Ｐ 且其两条渐近线 ６.( 广州二模ꎬ )写出一个同时满足下列
ꎬ (１ꎬ１)ꎬ ２０２２ １３
的方程分别为 ｘ ｙ 和 ｘ ｙ 则双曲线
２ ＋ ＝０ ２ － ＝０ꎬ 性质 的双曲线方程 .
①②③ :
Ｃ 的方程为
中心在原点 焦点在ｙ 轴上 一条渐近线
( )
① ꎬ ꎻ②
ｘ２
４
ｙ２
方程为 ｙ ｘ 焦距大于 .
Ａ. － ＝１ ＝２ ꎻ③ １０
３ ３ ｙ２ ｘ２
ｘ２ ｙ２ 答案 答案不唯一
４ － ＝１( )
Ｂ. － ＝１ ２４ ６
３ ３
ｙ２ ｘ２
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ 解析 由性质 设双曲线方程为 ａ
４ 或 ４ ① ａ２ －ｂ２ ＝１(
Ｃ. － ＝１ － ＝１
３ ３ ３ ３
ｂ .由性质 渐近线方程为 ｙ ｘ 可
ｙ２ ｘ２ >０ꎬ >０) ② ＝２ ꎬ
４
Ｄ. － ＝１ 令 ａ ｋ ｂ ｋ ｋ 则 ｃ ｋ 由性质 焦
３ ３ ＝２ ꎬ ＝ ( >０)ꎬ ＝ ５ ꎬ ③
答案 Ｂ 由双曲线的两条渐近线的方程分
距大于 知 ｋ 如取 ｋ 则 ａ
１０ꎬ > ５ꎬ ＝ ６ꎬ ＝２ ６ꎬ
别为 ｘ ｙ 和 ｘ ｙ 设双曲线 Ｃ 的方
２ ＋ ＝０ ２ － ＝０ꎬ ｙ２ ｘ２
ｂ 可得双曲线的方程为 .
ｙ２ ＝ ６ꎬ － ＝１
程为ｘ２ λ λ 把 Ｐ 代入 得 ２４ ６
－ ＝ ꎬ ≠０ꎬ (１ꎬ１) ꎬ １－
４ ７.( 届湖北起点考试ꎬ )已知双曲线 Ｃ
ｘ２ ２０２３ ２１
１ λ 解得λ ３ 双曲线Ｃ 的方程为４
＝ ꎬ ＝ ꎬ∴ － 与双曲线
ｘ２ ｙ２
有相同的渐近线 且过点
４ ４ ３ － ＝１ ꎬ
ｙ２ １２ ３
.故选
＝１ Ｂ. Ａ .
３ (２ ２ꎬ－１)
５.( 湖南永州二模ꎬ )已知 Ｏ 为坐标原 求双曲线 Ｃ 的标准方程
２０２１ １５ (１) ꎻ
ｘ２ ｙ２ 已知 Ｄ Ｅ Ｆ 是双曲线 Ｃ 上不同于
点 双曲线 Ｃ ａ ｂ 的离心率 (２) (２ꎬ０)ꎬ ꎬ
ꎬ :ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
Ｄ 的两点 且Ｄ→Ｅ Ｄ→Ｆ ＤＧ ＥＦ 于 Ｇ 证
ꎬ ＝０ꎬ ⊥ ꎬ
为３ ５ 从双曲线 Ｃ 的右焦点 Ｆ 引渐近线的 明 存在定点 Ｈ 使得 ＧＨ 为定值.
ꎬ : ꎬ ｜ ｜
５ ｘ２ ｙ２
解析 因为双曲线 Ｃ 与双曲线
垂线 垂足为 Ａ 若 ＡＦＯ 的面积为 则双 (１) － ＝１
ꎬ ꎬ △ ５ꎬ
１２ ３
专
曲线 Ｃ 的方程为 .
有相同的渐近线 所以设双曲线 Ｃ 的方程为 题
ꎬ 九
答案
ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ λ λ .
－ ＝１ －４ ＝ ( ≠０) 平
面
５ ４
因为双曲线 Ｃ 过点 Ａ 所以 解
ｘ２ ｙ２ (２ ２ꎬ－１)ꎬ (２ 析
解析 因为双曲线 Ｃ ａ ｂ 几
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ２ ２ λ 解得 λ 何
２) －４×(－１) ＝ ꎬ ＝４ꎬ
３７７
ｘ２ æ ö
所以双曲线 Ｃ 的标准方程为 ｙ２ . ＥＦ 也过点 Ｍç１０ ÷.
－ ＝１ è ꎬ０ø
４ ３
证明 当直线 ＥＦ 的斜率存在时 设 æ ö
(２) :(ｉ) ꎬ 综上 直线 ＥＦ 过定点 Ｍç１０ ÷.
ＥＦ ｙ ｋｘ ｍ Ｅ ｘ ｙ Ｆ ｘ ｙ 联立 ꎬ è ꎬ０ø
３
: ＝ ＋ ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
因为 ＤＧ ＥＦ 所以点 Ｇ 在以 ＤＭ 为直径的
ì ï ｙ ｋｘ ｍ ⊥ ꎬ
ï ＝ ＋ ꎬ
圆上 Ｈ 为该圆圆心 ＧＨ 为该圆半径 所以
î
í
ï
ï
ｘ２
－
ｙ２
＝１ꎬ
消 ｙ 整理得
(４
ｋ２
－１)
ｘ２
＋８
ｋｍｘ
＋４
ꎬ
æ ö
ꎬ｜ ｜ ꎬ
４ 存在定点 Ｈç８ ÷ 使得 ＧＨ 为定值２.
è ꎬ０øꎬ ｜ ｜
ｍ２ ３ ３
( ＋１)＝ ０ꎬ
考法 二 求双曲线的离心率（或范围）
由 Δ ｋｍ ２ ｍ２ ｋ２ 得 ｋ２
＝(８ ) －４(４ ＋４)(４ －１)>０ꎬ ４
－
ｍ２
－１<０ꎬ １.( 广州调研ꎬ )双曲线 Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
２０２２ ５ :ａ２ －ｂ２ ＝１( >
ì ｋｍ
ï
ｘ ｘ ８
由根与系数的关系得í ï ï １ ＋ ２ ＝－ ４ ｋ２ －１ ꎬ ０ꎬ ｂ >０) 的一条渐近线方程为 ｘ ＋２ ｙ ＝０ꎬ 则 Ｃ
的离心率为
ï ｍ２
( )
ïｘ ｘ ４ ＋４
î ï １ ２ ＝ ｋ２ ꎬ
４ －１ ５
因为 ｙ
１
ｙ
２ ＝(
ｋｘ
１ ＋
ｍ
)(
ｋｘ
２ ＋
ｍ
)＝
ｋ２ｘ
１
ｘ
２ ＋
ｋｍ
(
ｘ
１
Ａ.
２
Ｂ. ３ Ｃ.２ Ｄ. ５
ｂ
＋
ｘ
２)＋
ｍ２
ꎬ
答案 Ａ 由题意得１
＝ ａꎬ
即 ａ
＝２
ｂ
ꎬ
又
∵
ｂ２
２
Ｄ→Ｅ Ｄ→Ｆ ｘ ｘ ｙ ｙ
＝( １ －２)( ２ －２)＋ １ ２ ＝０ꎬ ｃ
所以 ｋ２ ｘ ｘ ｋｍ ｘ ｘ ｍ２ ＝
ｃ２
－
ａ２
ꎬ∴ ５
ａ２
＝４
ｃ２
ꎬ∴
ｅ
＝ ａ ＝
５
ꎬ
故选
Ａ
.
( ＋１) １ ２ ＋( －２)( １ ＋ ２)＋ ＋ ２
４＝０ꎬ ２.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)双曲线 Ｃ
ｘ２ ｙ２
ｍ２ ｋｍ ２０１９ Ⅰ １０ ５ :ａ２ －ｂ２ ＝
所以 ｋ２ ４ ＋４ ｋｍ －８ ｍ２
( ＋１) ｋ２ ＋( －２) ｋ２ ＋ ＋ ａ ｂ 的一条渐近线的倾斜角为
４ －１ ４ －１ １( >０ꎬ >０)
° 则 Ｃ 的离心率为
４＝０ꎬ １３０ ꎬ ( )
化简 得 ｍ２ ｋｍ ｋ２ 即 ｍ ｋ ° °
ꎬ ３ ＋１６ ＋２０ ＝０ꎬ (３ ＋１０ ) Ａ.２ｓｉｎ ４０ Ｂ.２ｃｏｓ ４０
ｍ ｋ
( ＋２ )＝ ０ꎬ １ １
Ｃ. ° Ｄ. °
所以 ｍ ｋ ｍ １０ｋ 均满足 ｋ２ ｍ２ ｓｉｎ ５０ ｃｏｓ ５０
１ ＝－２ ꎬ ２ ＝－ ꎬ ４ － －１ 答案 Ｄ 由题意得双曲线的一条渐近线的
３
ｂ
<０ꎬ 斜率 ｋ ° ° 所以
＝ ｔａｎ １３０ ＝ －ｔａｎ ５０ ＝ － ａꎬ
当 ｍ ｋ 时 直线 ｌ 的方程为 ｙ ｋ ｘ
＝－２ ꎬ ＝ ( －２)ꎬ
直线过定点 与已知矛盾
ｂ２ ｃ２ ａ２
(２ꎬ０)ꎬ ꎬ ２ ° － ｅ２ 即 ｅ２ ２ °
ｔａｎ ５０ ＝ａ２ ＝ ａ２ ＝ －１ꎬ ＝１＋ｔａｎ ５０ ＝
æ ö
当ｍ １０ｋ 时 直线ｌ 的方程为ｙ ｋçｘ １０÷
5 ＝－ ꎬ ＝ è － øꎬ １ 所以 ｅ １ 故选 .
３ ３
年 ２ °ꎬ ＝ °ꎬ Ｄ
高 æ ö ｃｏｓ ５０ ｃｏｓ ５０
考 3 过定点 Ｍç è １ ３ ０ ꎬ０ø ÷. ３.( ２０２１ 全国甲理ꎬ ５ ꎬ ５ 分)已知 Ｆ １ꎬ Ｆ ２ 是双曲
年
模 当直线 ＥＦ 的斜率不存在时 由对称性 线 Ｃ 的两个焦点 Ｐ 为 Ｃ 上一点 且 Ｆ ＰＦ
拟 (ｉｉ) ꎬ ꎬ ꎬ ∠ １ ２
不妨设直线 ＤＥ ｙ ｘ ° ＰＦ ＰＦ 则 Ｃ 的离心率为
A : ＝ －２ꎬ ＝６０ ꎬ｜ １｜ ＝３｜ ２｜ꎬ
版
ìｙ ｘ
ï
高 ï
＝ －２ꎬ ( )
考 数
学
联立
î
í ï
ï
ｘ２
－
ｙ２
＝１ꎬ
解得 ｘ Ｅ ＝ ｘ Ｆ ＝ １
３
０ ꎬ 此时直线
Ａ.
７
Ｂ.
１３
Ｃ. ７ Ｄ. １３
４ ２ ２
３７８
ｘ２ ｙ２ æ ö
答案 Ａ 设双曲线 Ｃ 的标准方程为 çç ３９ ÷÷ Ｍ Ｎ 都 在 双 曲 线 上
ａ２ －ｂ２ è ꎬ－２øꎬ ∵ ꎬ ꎬ ∴
３
ａ ｂ ì
＝１( >０ꎬ >０)ꎬ ï ２５ １６
由题意知 ＰＦ ＰＦ ａ 又 ＰＦ ï ï ａ２ －ｂ２ ＝１ꎬ { ａ
｜ １ ｜ －｜ ２ ｜ ＝２ ꎬ ｜ １ ｜ ＝３｜ í３ 解得 ＝ ３ꎬ则 ｃ ａ２ ｂ２
ＰＦ ï ｂ ＝ ＋ ＝
所以
２｜
解
ꎬ
得 ＰＦ ａ ＰＦ ａ î
ï
ï
１
ａ
３
２ －ｂ
４
２ ＝１ꎬ
＝３ꎬ
３
｜ １｜ ＝３ ꎬ｜ ２｜ ＝ ꎬ
ｃ
又 Ｆ Ｆ ｃ 所以在 ＰＦ Ｆ 中 由余弦定
ｅ 故选 .
｜ １ ２｜ ＝２ ꎬ △ １ ２ ꎬ ２ ３ꎬ∴ ＝ ａ ＝２ꎬ Ａ
理得 Ｆ Ｆ ２ ＰＦ ２ ＰＦ ２ ＰＦ
｜ １ ２｜ ＝ ｜ １ ｜ ＋｜ ２ ｜ －２｜ １ ｜｜ ５.( 江苏海门开学考ꎬ )从某个角度观察
ＰＦ Ｆ ＰＦ ２０２２ ７
２｜ｃｏｓ∠ １ ２ꎬ 篮球 如图 可以得到一个对称的平面图
ｃ ( １)ꎬ
即
４
ｃ２
＝ ９
ａ２
＋
ａ２
－２×３
ａ
ａ
ｃｏｓ ６０
°
ꎬ
可得
ａ 形 如图 所示 篮球的外轮廓为圆 Ｏ 将篮
ꎬ ２ ꎬ ꎬ
球表面的线看成坐标轴和双曲线 若坐标轴
ꎬ
７
＝ ꎬ 和双曲线与圆 Ｏ 的交点将圆 Ｏ 的周长八等
２
分 ＡＢ ＢＣ ＣＤ 则该双曲线的离心率为
ｃ ꎬ ＝ ＝ ꎬ
所以双曲线 Ｃ 的离心率 ｅ ７.故选 .
＝ ａ ＝ Ａ
２ ( )
４.( 江苏百校大联考ꎬ )图 所示的为陕
２０２２ ４ １
西历史博物馆收藏的国宝 金筐宝钿团
———
花纹金杯 杯身曲线内收 玲珑娇美 巧夺天
ꎬ ꎬ ꎬ
工 是唐代金银细作的典范之作.如图 该
ꎬ ２ꎬ
杯的主体部分可以近似看作是由双曲线 Ｃ
:
ｘ２ ｙ２ ６ ３ ５ ４ ７
ａ ｂ 的右支 ｙ 轴及平行于 ｘ Ａ. ２ Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 、 ２ ５ ７
答案 Ｄ 以ＡＣ 所在直线为ｙ 轴 过点Ｏ 且
轴的两条直线围成的曲边四边形 ＡＢＭＮ 绕 ｙ ꎬ
与 ＡＣ 垂直的直线为 ｘ 轴建立平面直角坐标
轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部
ｙ２ ｘ２
系 如图 .设双曲线的方程为 ａ
分的上杯口外直径为１０ ３ 下底座外直径为 ( ) ａ２ －ｂ２ ＝１( >
ꎬ
３ ｂ 则 ＯＣ ａ 因为
０ꎬ >０)ꎬ ＝ ꎬ
２ ３９ 杯高为 且杯身最细之处到上杯口 ＡＢ ＢＣ ＣＤ 所以 ＣＤ
ꎬ ６ꎬ ＝ ＝ ꎬ ＝
３
ＯＣ 所以 ＯＤ ＯＣ
的距离是到下底座距离的 倍 则双曲线 Ｃ ２ ꎬ ＝ ３ ＝
２ ꎬ ａ 即圆Ｏ 的半径为 ａ.
的离心率为 ３ ꎬ ３
( ) 因为坐标轴和双曲线与
圆 Ｏ 的交点将圆 Ｏ 的周长八等分 所以点
ꎬ
æ ö ｙ２ ｘ２
Ｐçç ３ａ ３ａ÷÷在双曲线上 代入 可得
è ꎬ ø ꎬ ａ２ －ｂ２ ＝１
２ ２
专
ａ２ ｂ２ 题
９ ９ 解得 ９ 所以双曲线的离心率
九
－ ｂ２ ＝１ꎬ ａ２ ＝ ꎬ
２ ２ ７
平
面
Ａ.２ Ｂ. ２ Ｃ.３ Ｄ.４
ｅ
ｃ ｂ２
９ ４ ７.故选 . 解
答 案 Ａ 由 题 意 知 Ｍ
æ
çç５ ３
ö
÷÷ Ｎ
＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ １＋
７
＝
７
Ｄ 析
几
è ꎬ４øꎬ 何
３
３７９
６.( 江苏ꎬ ꎬ 分)在平面直角坐标系 ｘＯｙ 与圆 Ｏ 切于点 Ｂ 并与双曲线的右支交于点
２０２０ ６ ５ ꎬ
中 若双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ 的一条渐近线
Ｃ
ꎬ
若
｜
ＢＣ
｜ ＝ ｜
ＣＦ
２ ｜ꎬ
则双曲线的离心率为
ꎬ ａ２ － ＝１( >０) .
５
答案
方程为 ｙ ５ ｘ 则该双曲线的离心率是 ５
＝ ꎬ
解析 因为 ＢＣ ＣＦ ＣＦ ＣＦ
２
｜ ｜ ＝ ｜ ２ ｜ꎬ｜ １ ｜ － ｜ ２ ｜
.
ａ
＝２ ꎬ
答案 ３ 所以 ＢＦ ａ 连接 ＯＢ 则 ＯＢ ＢＦ 因为
｜ １｜ ＝２ ꎬ ꎬ ⊥ １ꎬ
２ ＯＢ ａ ＯＦ ｃ 所以 ｃ２ ａ２ ａ２ ａ２ 即
ｘ２ ｙ２ ｜ ｜ ＝ ꎬ｜ １｜ ＝ ꎬ ＝ ＋４ ＝５ ꎬ
解析 双曲线 ａ 的渐近线方 ｃ
∵ ａ２ － ＝１( >０) ｅ .
５ ＝ ａ ＝ ５
程为ｙ ５ｘ ５ ５ ａ 则离心率ｅ ９.( 届广西北海一模ꎬ )如图 已知双曲
＝± ａ ꎬ∴ ａ ＝ ꎬ∴ ＝２ꎬ ２０２３ １５ ꎬ
２
ｘ２ ｙ２
线 Ｍ ａ ｂ 的左 右焦点分别
５ ３.
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ
＝ １＋ ＝
４ ２ 为 Ｆ Ｆ 正六边形 ＡＢＦ ＣＤＦ 的一边 ＡＦ
７.( 届广东佛山顺德教学质量检测一ꎬ ) １ꎬ ２ꎬ ２ １ １
２０２３ １５ 的中点恰好在双曲线 Ｍ 上 则双曲线 Ｍ 的
ꎬ
ｘ２ ｙ２
已知双曲线 Ｃ ａ ｂ 的一条 离心率是 .
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
ｂ
渐近线为 ｌ ｙ ｘ 左 右焦点分别是 Ｆ Ｆ
: ＝ ａ ꎬ 、 １ꎬ ２ꎬ
过点 Ｆ 作 ｘ 轴的垂线与渐近线 ｌ 交于点 Ａ
２ ꎬ
若 ＡＦ Ｆ π 则双曲线 Ｃ 的离心率为
∠ １ ２ ＝ ꎬ
６
. 答案 １３＋１
３
答案 ２１ 解析 设 ＡＦ 的中点为 Ｐ 连接 ＯＰ ＰＦ 因
１ ꎬ ꎬ ２ꎬ
３ 为六边形ＡＢＦ ＣＤＦ 是正六边形 所以ＰＯ
æ ｂｃö ２ １ ꎬ ⊥
解析 由已知条件可得 Ａçｃ ÷ Ｆ Ｆ
è ꎬａøꎬ｜ １ ２ ｜ ＝ ＡＦ ＰＦ Ｏ ° 所以 ＰＦ １ ＯＦ １
１ꎬ∠ １ ＝６０ ꎬ ｜ １｜ ＝ ｜ １｜ ＝
ｃ 且 ＡＦ Ｆ 为 直 角 三 角 形. 因 为 ２ ２
２ ꎬ △ １ ２ ｔａｎ ｃ 所以在 ＰＦ Ｆ 中
ｂｃ ꎬ △ １ ２ ꎬ
ＡＦ Ｆ ｜
ＡＦ
２｜ ３ 即
ａ
３ 所以
ｂ 由余弦定理得 ｜ ＰＦ ２｜ ２ ＝
∠ １ ２ ＝ Ｆ Ｆ ＝ ꎬ ｃ ＝ ꎬ ａ ＰＦ ２ Ｆ Ｆ ２
｜ １ ２｜ ３ ２ ３ ｜ １｜ ＋ ｜ １ ２｜ －
ＰＦ Ｆ Ｆ
5 ２ ３ ２｜ １｜ ｜ １ ２ ｜ ｃｏｓ
年 ＝ ꎬ
高 ３ ＰＦ Ｆ １ｃ２ ｃ２ ｃ２
考 ∠ １ ２ ＝ ＋４ － ＝
3 ｃ ａ２ ｂ２ ｂ２ ４
则离心率 ｅ ＋ ２１.
年
模
＝ ａ ＝ ａ２ ＝ １＋ａ２ ＝
３ １３ｃ２ 解得 ＰＦ １３ｃ 所以 ａ ＰＦ
拟 ８.( 届湖北名校联盟联合测评ꎬ )已知双 ４ ꎬ ｜ ２ ｜ ＝ ２ ꎬ ２ ＝ ｜ ２ ｜－｜
A ２０２３ １４
版 ｘ２ ｙ２
ＰＦ １３ｃ １ｃ 所以双曲线 Ｍ 的离心率 ｅ
曲线 ａ ｂ 的左 右焦点分别
高 ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 、
１｜ ＝
２
－
２
ꎬ
考
数
学
为 Ｆ Ｆ 过 Ｆ 作圆 Ｏ ｘ２ ｙ２ ａ２ 的切线 ｌ ｌ
１、 ２ꎬ １ : ＋ ＝ ꎬ
３８０
ｃ ｃ 解析 点 Ｂ 为双曲线的通径位于第一象限
２ ２ １３＋１.
＝ ａ＝ ＝ æ ｂ２ö
２ １３ｃ １ｃ ３ 的端点 其坐标为çｃ ÷ 点 Ａ 的坐标为 ａ
－ ꎬ è ꎬａøꎬ ( ꎬ
２ ２
ｘ２ ｙ２ ＡＢ 的斜率为
１０.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知双曲线 ０)ꎬ∵ ３ꎬ
２０２２ １６ ４ ａ２ －ｂ２ ＝１ ｂ２
ｂ
ａ ｃ２ ａ２ ｃ ａ
ａ ｂ 的左焦点为Ｆ 过Ｆ 且斜率为 即 － ＋ ｅ ｅ .
( >０ꎬ >０) ꎬ ａ ∴ ｃ ａ＝３ꎬ ａ ｃ ａ ＝ ａ ＝ ＋１＝３ꎬ∴ ＝２
－ ( － )
４
的直线交双曲线于点 Ａ ｘ ｙ 交双曲线 １２.( 长沙雅礼中学月考一ꎬ )已知 Ｆ 为
( １ꎬ １)ꎬ ２０２２ １５
的渐近线于点Ｂ ｘ ｙ 且ｘ ｘ .若 ＦＢ ｘ２ ｙ２
( ２ꎬ ２) １<０< ２ ｜ ｜ 双曲线 ａ ｂ 的右焦点 过 Ｆ
ＦＡ 则双曲线的离心率是 .
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ
＝３｜ ｜ꎬ
作与 ｘ 轴垂直的直线交双曲线于 Ａ Ｂ 两
ꎬ
答案 ３ ６
点 若以 ＡＢ 为直径的圆过坐标原点 则该
４ ꎬ ꎬ
解析 如图所示 双曲线的离心率为 .
ꎬ
答案 ５＋１
２
解析 设双曲线的半焦距为 ｃ ｃ 则 Ｆ ｃ
ꎬ >０ꎬ ( ꎬ
ｂ２
把 ｘ ｃ 代入双曲线方程得 ｙ 不妨
０)ꎬ ＝ ＝±ａꎬ
由题意得双曲线左焦点为 Ｆ ｃ 点 Ｂ 所
(－ ꎬ０)ꎬ æ ｂ２ö æ ｂ２ö
ｂ ｂ 令 Ａçｃ ÷ Ｂçｃ ÷ 因为以 ＡＢ 为直径的
在的渐近线方程为 ｙ ｘ 过 Ｆ 且斜率为 è ꎬａøꎬ è ꎬ－ａøꎬ
＝ ａ ꎬ ａ
４ ｂ２
ｂ 圆过坐标原点 所以 ｃ 所以 ａｃ ｃ２ ａ２
的直 线 方 程 为 ｙ ｘ ｃ 联 立 ꎬ ＝ ａꎬ ＝ － ꎬ
＝ ａ( ＋ )ꎬ
４
ì ï ｂ 可得 ｅ２ ｅ 又 ｅ 所以 ｅ １＋ ５.
ｙ ｘ ｃ － －１＝０ꎬ >１ꎬ ＝
ï ï ＝ ａ( ＋ )ꎬ æ ｃ ｂｃö ２
í ï ４ ｂ 得 Ｂ è ç ꎬ ａø ÷ ꎬ １３.( ２０２１ 广州一模ꎬ １５ )已知圆 ( ｘ －１) ２ ＋ ｙ２ ＝４
ïｙ ｘ ３ ３
î ï ＝ ａ ꎬ ｘ２ ｙ２
与双曲线 Ｃ ａ ｂ 的两条渐
æ ｂｃö
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
由 ＦＢ ＦＡ 可得Ａç ５ｃ ÷ 又Ａ 在双
｜ ｜ ＝３｜ ｜ꎬ è－ ꎬ ａøꎬ 近线相交于四个点 按顺时针排列依次记
９ ９ ꎬ
ｃ２ ｂ２ｃ２ ｃ２ 为 Ｍ Ｎ Ｐ Ｑ 且 ＭＮ ＰＱ 则 Ｃ 的离
曲线上 所以２５ 化简得 ２７ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜ ＝２｜ ｜ꎬ
ꎬ ａ２ － ａ２ｂ２ ＝１ꎬ ａ２ ＝ ꎬ 心率为 .
８１ ８１ ８
则 ｅ ３ ６. 答案 ２ ６
＝
４
３
１１.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知 Ｆ 为双曲线 ｂ
２０２０ Ⅰ １５ ５ 解析 设 ｋ 则渐近线方
ｘ２ ｙ２
＝ ａꎬ
Ｃ ａ ｂ 的右焦点 Ａ 为 Ｃ 的
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) ꎬ 程是 ｙ
＝±
ｋｘ
ꎬ
如图
ꎬ
由对称性
专
题
右顶点 Ｂ 为 Ｃ 上的点 且 ＢＦ 垂直于 ｘ 轴. 可设 Ｍ ｘ ｋｘ Ｎ ｘ 九
ꎬ ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( １ꎬ－
若 ＡＢ 的 斜 率 为 则 Ｃ 的 离 心 率 ｋｘ Ｐ ｘ ｋｘ 平
３ꎬ １ )ꎬ ( ２ꎬ ２ )ꎬ 面
为 . Ｑ ｘ ｋｘ 则 ＭＮ ｋｘ ＰＱ ｋｘ 解
( ２ꎬ－ ２)ꎬ ｜ ｜ ＝２ １ꎬ｜ ｜ ＝ －２ ２ꎬ 析
几
答案
何
２
３８１
所以 ｋｘ ｋｘ 即 ｘ ｘ .由 Ｆ ＱＦ °
２ １ ＝ ２(－２ ２)ꎬ １ ＝ －２ ２① ∠ １ ２ ＝９０ ꎬ
{ｙ ｋｘ 所以点 Ｑ 在以 Ｆ Ｆ 为直径的圆 ｘ２ ｙ２
＝ ꎬ 得 ｋ２ ｘ２ ｘ １ ２ ＋ ＝
ｘ ２ ｙ２ (１＋ ) －２ －３＝０ꎬ ｃ２ 上
( －１) ＋ ＝４ꎬ ꎬ
ｂ
则 ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ３ 又点 Ｑ 在渐近线 ｙ ｘ 上 且 Ｑ 在第一
１ ＋ ２ ＝ ｋ２ ②ꎬ １ ２ ＝－ ｋ２ ③ꎬ ＝ ａ ꎬ
１＋ １＋
象限
把 代入 得 ｘ ２ ｘ ４ ꎬ
① ② ２ ＝－ ｋ２ ꎬ １ ＝ ｋ２ ꎬ ì ｂ
１＋ １＋ ï
ïｙ ｘ
故联立得í ＝ ａ ꎬ 解得 ｘ ａ ｙ ｂ 即点 Ｑ
将上式代入 得 ８ ３ 所以 ï ＝ ꎬ ＝ ꎬ
③ －
(１＋
ｋ２
)
２ ＝－
１＋
ｋ２ ꎬ １＋ î ï ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｃ２
ꎬ
ｋ２ ８ ａ ｂ .设点 Ｐ ｘ ｙ 由Ｆ→Ｐ Ｐ→Ｑ得 ｘ
＝ ꎬ ( ꎬ ) ( １ꎬ １)ꎬ １ ＝２ ( １ ＋
３ ｃ ｙ ａ ｘ ｂ ｙ
ｃ æ ｂ ö２
ꎬ １)＝ ２( － １ꎬ － １)ꎬ
所以 ｅ ç ÷ ｋ２ ２ ６. ì ï
＝ ａ ＝ １＋èａø ＝ １＋ ＝
３ {ｘ ｃ ａ ｘ ï ï
ｘ
１ ＝
１
(２
ａ
－
ｃ
)ꎬ
１４.( 东北三省三校第一次联考ꎬ )双曲 即 １ ＋ ＝２ －２ １ꎬ解 得 í ３ 即
２０２１ １５ ｙ ｂ ｙ ï
ｘ２ ｙ２ １ ＝２ －２ １ꎬ î ï ï ｙ １ ＝ ２ｂ ꎬ
线 Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点分 ３
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 、
æ ａ ｃ ｂö
Ｐç２ － ２ ÷.
别为 Ｆ Ｆ 过 Ｆ 的直线与双曲线 Ｃ 的两 è ꎬ ø
１、 ２ꎬ １ ３ ３
条渐近线分别交于 Ｐ Ｑ 两点 Ｐ 在第二象 ｂ ｂ ｂ
、 ( 由点 Ｐ 在渐近线 ｙ ｘ 上 可得２
＝－ ａ ꎬ ＝－ ａ
限 Ｑ 在第一象限 Ｆ→Ｐ Ｐ→Ｑ Ｆ→Ｑ Ｆ→Ｑ ３
ꎬ )ꎬ １ ＝ ２ ꎬ １ ２ ａ ｃ
则双曲线 Ｃ 的离心率为 . ２ －
＝０ꎬ ꎬ
答案 ３
４ ｃ
解析 由已知得 Ｆ ｃ Ｆ ｃ . 化简可得 ｃ ａ 所以 ｅ .
＝４ ꎬ ＝ ａ ＝４
１(－ ꎬ０)ꎬ ２( ꎬ０)
因为 Ｆ→Ｑ Ｆ→Ｑ 所以 Ｆ→Ｑ Ｆ→Ｑ 即
１ ２ ＝ ０ꎬ １ ⊥ ２ ꎬ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３８２
