北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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9.3 双曲线及其性质
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2021北京,5,4分)若双曲线x2 y2
=1的离心率为2,且过点( ),则双曲线的方程为( )
− √2,√3
a2 b2
y2
A.2x2-y2=1 B.x2- =1
3
x2 y2
C.5x2-3y2=1 D. − =1
2 6
2 3
{ − =1,
a2 b2
答案
{a2=1, y2
B 设双曲线的半焦距为c,由题意可知 c 解得 则双曲线的方程为x2-
e= =2, b2=3, 3
a
c2=a2+b2,
=1.
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√5x,且与椭圆x2 +y2
a2 b2 2 12 3
=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
5 4 4 3
答案 B 本题考查双曲线的方程.
x2 y2 x2 y2 x2 y2
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k>0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 + =1有公共
4 5 4k 5k 12 3
x2 y2
焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B.
4 5北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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x2 y2 x2 y2
一题多解 ∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲
12 3 12 3
√5 b √5 x2 y2
线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为 - =1.
2 a 2 4 5
y2
3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标
3
是(1,3),则△APF的面积为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
答案 D 本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
1 3
∴S = ×3×1= .故选D.
△APF
2 2
4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
4 4
y2 x2
C. -x2=1 D.y2- =1
4 4
答案 C 由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦
a2 b2
点在直线l上,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
5 20 20 5 25 100 100 25北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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b x2 y2
答案 A 由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 - =1.
a 5 20
6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2 -y2
=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C
a2 b2
的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 12 7 9
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
8 8 12 4
b
答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y= x,因此可设点A的坐标为(a,b).
a
设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,
c x2 y2
所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为 - =1,故选A.
2 4 12
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和
逻辑推理能力.
7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程
x2
-
y2
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取
m2+n 3m2−n
值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,√3)
C.(0,3) D.(0,√3)
答案 A 解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,∵方程
x2
m2+n
-
y2
=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,
3m2−n
∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故选A.
解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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{
m2+n>0,
∴ 3m2−n>0, ①
m2+n+3m2−n=4,
{
m2+n<0,
或 3m2−n<0, ②
−(3m2−n)−(m2+n)=4,
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
知识拓展 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.
8.(2016天津,6,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
4 b2
两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
x2 3 y2 x2 4 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 4 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 4 4 12
答案 D 设A(x,y),不妨令其在第一象限,
0 0
{x2+ y2=22,
0 0
由题意得
b
y = x ,
0 2 0
可得 = 16 , =b2 × 16 = 4b2 ,
x2 y2
0 4+b2 0 4 4+b2 4+b2
结合2x·2y=2b,可得b2=12.
0 0
x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.故选D.
4 12
y2
9.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6).当△APF周
8
长最小时,该三角形的面积为 .
答案 12√6
解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|
=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点
共线时,△APF的周长最小.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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x y
{ 0 + 0 =1,
−3 6√6
设P点坐标为(x
0
,y
0
),y
0
>0,由 得y2+6√6y
0
-96=0,所以y
0
=2√6或y
0
=-8√6(舍去).
y2 0
x2− 0=1
0 8
1 1
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S= ×6×6√6- ×6×2√6=12√6.
2 2
1
10.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=± x,则该双曲线的标准方程为
2
.
x2
答案 -y2=1
4
解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3
x2
)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.
4
考点二 双曲线的几何性质
x2 y2
1.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线 − =1的一条渐近线的距离为 ( )
16 9
9 8 6 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
x2 y2 3 3
答案 A 双曲线 − =1的渐近线方程为y=± x,根据对称性,不妨取y= x,即3x-4y=0,点(3,0)
16 9 4 4
|3×3−4×0| 9
到直线3x-4y=0的距离d= = ,故选A.
√32+(−4) 2 5
易错警示
在写渐近线方程时首先要根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点位置:双曲线x2 y2
−
a2 b2
=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,渐近线方程为y=±bx;双曲线y2 x2
=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,渐近线
−
a a2 b2
a
方程为y=± x.
b北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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2.(2021全国甲理,5,5分)已知F,F 是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠FPF=60°,|PF|=3|PF|,则
1 2 1 2 1 2
C的离心率为 ( )
√7 √13
A. B. C.√7D.√13
2 2
答案 x2 y2
A 设双曲线C的标准方程为 − =1(a>0,b>0),由题意知|PF 1 |-|PF 2 |=2a,|PF 1 |=3|PF 2 |,两式联
a2 b2
立解得|PF|=3a,|PF|=a,又|FF|=2c,所以在△PFF 中,由余弦定理得|FF|2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
c √7 c √7
cos∠FPF,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,可得 = ,所以双曲线C的离心率e= = .故选A.
1 2
a 2 a 2
方法总结 求圆锥曲线的离心率,一般是利用条件得到a,c或a,b的关系式,然后利用离心率的定义得出结
论.
3.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1. ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√n
√ m
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± − x
n
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
x2 y2
+ 1 1
答案 ACD A选项中,若m>n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为 1 1 =1,因为m>n>0,所以0< < ,
m n
m n
所以此曲线表示椭圆,且焦点在y轴上,所以A正确.
1 1
B选项中,若m=n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2= ,所以此曲线表示圆,半径为 ,所以B不正确.
n √n
mx2 √ m
C选项中,若mn<0,则此曲线应为双曲线,mx2+ny2=0可化为y2=- ,即y=± − x,即双曲线的渐近线方
n n
√ m
程为y=± − x,所以C正确.
n
1 1
D选项中,若m=0,n>0,则方程mx2+ny2=1可化为y2= (x∈R),即y=± ,表示两条直线,所以D正确.
n √n
故选ACD.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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4.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x2
-y2=1(a>0)的离心率是 ,则a=( )
√5
a2
1
A.√6 B.4 C.2 D.
2
答案 D 由题意得e=c= ,又a2+b2=c2,∴b2 =c2−a2 =e2-1=4,
√5
a a2 a2
1 1
∵b2=1,∴a2= .∵a>0,∴a= .
4 2
易错警示 把双曲线的离心率错认为e=√ b2 而出错.
1−
a2
x2
5.(2018浙江,2,4分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是( )
3
A.(-√2,0),(√2,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-√2),(0,√2) D.(0,-2),(0,2)
答案 B ∵a2=3,b2=1,∴c= =2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
√a2+b2
易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点
(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;
(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.
x2
6.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M(x,y)是双曲线C: -y2=1上的一点,F,F 是C的两个焦点.若 ⃗M F ·⃗M F
0 0 2 1 2 1 2
<0,则y 的取值范围是( )
0
A.( √3 √3) B.( √3 √3)
− , − ,
3 3 6 6
C.( 2√2 2√2) D.( 2√3 2√3)
− , − ,
3 3 3 3
