文档文本内容
A
版
高
考
数
学
／
１１０
９．３ 双曲线及其性质
§
续表
标准方程
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ
ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
考点一 双曲线的定义及标准方程
范围 ｘ ａ ｙ Ｒ ｙ ａ ｘ Ｒ
１．定义 ｜ ｜≥ ， ∈ ｜ ｜≥ ， ∈
焦点 Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ
在平面内到两定点 Ｆ Ｆ 的距离的差的绝对值等于常数 １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
１， ２
小于 Ｆ Ｆ 且大于零 的点的轨迹叫做双曲线 定点Ｆ Ｆ 叫 顶点 Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ
（ ｜ １ ２｜ ） ， １， ２ １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做焦距．
， 对称性 关于ｘ轴 ｙ轴对称 关于原点对称
注意 设双曲线上的点Ｍ到两焦点Ｆ Ｆ 的距离之差 、 ，
的 Ｆ ① Ｆ 绝 这 对 一 值 （ 条 １ ） 为 件不 ２ ａ 能 ， 即 忽略 ｜ ｜ ． ＭＦ １ ｜－｜ ＭＦ ２ ｜ ｜ ＝２ １ ａ ， ， 其 ２ 中 ０＜２ ａ ＜ 几 何 性 实 轴 、 长 虚 线 Ｂ １ 段 Ｂ ２ Ａ 叫 １ Ａ 做 ２ 双 叫 曲 做 线 双 的 曲 虚 线 轴 的 ， 实 它 轴 的 ， 长 它的 ｜ Ｂ 长 １ Ｂ ２ ｜ Ａ ｜ １ ＝ Ａ ２ ２ ｂ ｜ （ ＝ ａ ２ 叫 ａ ； 做 线段 双
｜ １ ２｜， 质 曲线的实半轴长 ｂ叫做双曲线的虚半轴长
若 ａ Ｆ Ｆ 则点Ｍ的轨迹是分别以Ｆ Ｆ 为端点的 ， ）
ａ． ２ ＝｜ １ ２｜， １， ２ 焦距 焦距 Ｆ Ｆ 为 ｃ ｃ是半焦距
两条射线 ｜ １ ２｜ ２ ，
；
若 ａ Ｆ Ｆ 则点Ｍ的轨迹不存在 离心率 ｅ ｃ ｂ２ ｅ
ｂ．
若
２
ａ
＞｜ １
则
２
点
｜，
Ｍ的轨迹是线段Ｆ Ｆ
；
的垂直平分线．
＝ ａ ＝④ １＋ａ２ （ ＞１）
ｃ． ２ ＝０， １ ２
若将双曲线定义中的 差的绝对值等于常数 中的 绝 渐近线 ｂ ａ
（２） “ ” “ ｙ ｘ ｙ ｘ
对值 去掉 则点的集合是双曲线的一支 具体是左支 上支 还 方程 ＝± ａ ⑤ ＝± ｂ
” ， ， （ ）
是右支 下支 视情况而定． 拓展延伸 １．通径 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的
（ ） ：
２．标准方程
ｂ２
弦的长为２ ．
中心在坐标原点 焦点在ｘ轴上的双曲线的标准方程为 ａ
（１） ，
ｘ２ ｙ２ ２．焦点三角形的面积 Ｐ为双曲线上的点 Ｆ Ｆ 为双曲线
② ａ２ －ｂ２ ＝１ （ａ ＞０ ，ｂ ＞０ ） ； ： ， １，
ｂ２
２
的两个焦点 且 Ｆ ＰＦ θ 则 Ｆ ＰＦ 的面积为 ．
（２） 中心在坐标原点 ， 焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为 ， ∠ １ ２＝ ， △ １ ２ θ
ｙ２ ｘ２ ｔａｎ
ａ ｂ ． ２
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
注意 焦点位置的判断 在双曲线的标准方程中 看ｘ２
（１） ： ，
项与ｙ２ 项的系数正负 若ｘ２ 项的系数为正 则焦点在ｘ轴上 若
， ， ；
ｙ２ 项的系数为正 则焦点在ｙ轴上 即 焦点位置看正负 焦点随
， ， “ ，
着正的跑 ．
”
ａ ｂ ｃ满足 ｃ２ ａ２ ｂ２ 即ｃ最大 ｃ为半焦距 ． ３．焦点到渐近线的距离为ｂ．
（２） ， ， ③ ＝ ＋ ， （ ）
４． 等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴
考点二 双曲线的几何性质 （１） ：
双曲线．
标准方程
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ （２）
双曲线为等轴双曲线
⇔
双曲线离心率ｅ
＝ ２⇔
两条渐近
ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 线互相垂直．
一般方程 ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ ５．设Ｐ Ａ Ｂ是双曲线 焦点在ｘ轴上 上的三个不同的点
＋ ＝１（ ＜０） ， ， （ ） ，
ｂ２
其中Ａ Ｂ关于原点对称 则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为 ．
， ， ａ２
６．若Ｐ是双曲线右支上一点 Ｆ Ｆ 分别为双曲线的左 右
图 ， １、 ２ 、
形 焦点 则 ＰＦ ａ ｃ ＰＦ ｃ ａ．
， ｜ １｜ｍｉｎ＝ ＋ ，｜ ２｜ｍｉｎ＝ －
７．同支的焦点弦中最短的为通径 过焦点且垂直于长轴的
（
ｂ２
弦 其长为２ 异支的弦中最短的为实轴 其长为 ａ．
）， ａ ， ， ２
ｘ２ ｙ２
８．Ｐ是双曲线 ａ ｂ 右支上不同于实轴端点
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
的任意一点 Ｆ Ｆ 分别为双曲线的左 右焦点 Ｉ为 ＰＦ Ｆ 内
， １， ２ 、 ， △ １ ２
切圆的圆心 则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ．
，
９．共轭双曲线的性质 它们有共同的渐近线 它们的
：（１） ；（２）
四个焦点共圆 它们的离心率的倒数的平方和等于 ．
；（３） １
专
题
九
平
面
解
析
几 何
／ １１１
ｘ２ ｙ２
双曲线Ｃ的方程为 ，故选 ．
∴ － ＝１ Ｄ
４ ６
答案 Ｄ
考法一 求双曲线方程的方法
方法总结 求双曲线方程的方法
ｘ２ ｙ２
例１ 设双曲线与椭圆 有共同的焦点 且与椭 １．定义法 根据已知条件 若所求轨迹满足双曲线的定义
＋ ＝１ ， ： ， ，
２７ ３６ 则利用双曲线的定义求出参数ａ ｂ的值 从而得到轨迹方程．
圆相交 其中一个交点的坐标为 则此双曲线的标准方 ， ，
， （ １５，４）， ２．待定系数法 根据题目条件确定焦点的位置 从而设出所
程是 ． ： ，
求双曲线的标准方程 利用题目条件构造关于ａ ｂ的方程 组
解题导引 要求双曲线的标准方程 应先看焦点所在坐标 ， ， （ ），
， 解得ａ ｂ的值 即可求得方程．
， ，
轴 再确定ａ ｂ的值 即先定型 再定量．结合题设 焦点已知且在
经典例题教师用书
， ， ， ， ，
ｙ轴上
，
并且过点
（ １５，４），
求出该点到两焦点的距离
，
用定义
例 （２０２０浙江浙南名校联盟联考，２）双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ
求即可 还可以设出标准方程 用待定系数法求解．这两种方法是 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
； ，
求双曲线标准方程的通用方法．
ｂ 的离心率为 且其右焦点为Ｆ 则双曲线Ｃ的标
解析 解法一：椭圆
ｘ２ ｙ２
的焦点坐标是（ ， ）．设双 准
＞
方
０）
程为
２， ２（２ ３，０），
＋ ＝１ ０ ±３ （ ）
２７ ３６ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
曲线方程为
ｙ２ ｘ２
（ａ ，ｂ ），根据双曲线的定义知 ａ Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ２ ＝ ３ ９ ９ ３
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
（ ）２ （ ）２ （ ）２ （ ）２ ，故ａ ．又 Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
｜ １５－０ ＋ ４－３ － １５－０ ＋ ４＋３ ｜＝４ ＝２ ４ １２ １２ ４
ｙ２ ｘ２ 解析 本题考查双曲线的标准方程及几何性质；考查学生
ｂ２ ２ ａ２ ，故所求双曲线的标准方程为 ．
＝３ － ＝５ － ＝１
４ ５ 数学运算的能力；考查了数学运算的核心素养．
ｘ２ ｙ２
解法二：椭圆 的焦点坐标是（ ， ）．设双曲线方 ｃ
＋ ＝１ ０ ±３ 由已知有ｃ ， ２ ３ ，所以ａ ，ｂ２ ｃ２ ａ２ ，故
２７ ３６ ＝２ ３ ａ ＝ ａ ＝２ ＝ ３ ＝ － ＝９
ｙ２ ｘ２
程为
ａ２ －ｂ２ ＝１
（ａ
＞０
，ｂ
＞０
），则ａ２
＋
ｂ２
＝９①
，又点（
１５
，
４
）在双
双曲线的标准方程为
ｘ２ ｙ２
，故选 ．
－ ＝１ Ａ
３ ９
曲线上，所以１６ １５ ，联立 ，解得ａ２ ，ｂ２ ．故所求双 答案 Ａ
ａ２ －ｂ２ ＝１② ①② ＝４ ＝５
ｙ２ ｘ２
曲线的标准方程为 ． 考法二 求双曲线的离心率（或取值范围）的方法
－ ＝１
４ ５
答案
ｙ２ ｘ２
例３ （２０１８课标Ⅲ，１１，５分）设Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ
ｘ２
－ ＝１ １， ２ ：ａ２
４ ５
ｘ２ ｙ２ ｙ２
例２ 已知双曲线Ｃ ａ ｂ 的右焦点为 ａ ｂ 的左 右焦点 Ｏ是坐标原点．过Ｆ 作Ｃ的一
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ， ２
Ｆ 点Ｂ是虚轴的一个端点 线段ＢＦ与双曲线Ｃ的右支交于点 条渐近线的垂线 垂足为Ｐ．若 ＰＦ ＯＰ 则Ｃ的离心率为
， ， ， ｜ １｜＝ ６｜ ｜，
Ａ 若→ＢＡ →ＡＦ 且 Ｂ→Ｆ 则双曲线Ｃ的方程为
， ＝２ ， ｜ ｜＝４， （ ） （ ）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ Ａ． ５ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
６ ５ ８ １２ ８ ４ ４ ６ 解析 解法一：如图所示，由已知条件知直线ＯＰ的方程为
解题导引 本题与例 的不同点在哪儿 这儿给出了两个
１ ？ ｂ
ｙ ｘ，
条件→ＢＡ →ＡＦ Ｂ→Ｆ 要求出方程 必求ａ ｂ的值 已知中的 ＝ ａ
＝２ ，｜ ｜＝４， ， ， ，
每个条件应得出关于ａ ｂ的方程 联立求出ａ ｂ的值．
， ， ，
解析 不妨设Ｂ（ ，ｂ），Ａ（ｘ，ｙ），由→ＢＡ →ＡＦ，Ｆ（ｃ， ），得→ＢＡ
０ ＝２ ０
（ｘ ，ｙ ｂ），→ＡＦ （ｃ ｘ， ｙ）， （ｘ，ｙ ｂ） （ｃ ｘ， ｙ），即
＝ －０ － ＝ － ０－ ∴ － ＝ ２ － －
ì ｃ
ïｘ ２ ， {ｘ ｃ ｘ， ï ＝ ( ｃ ｂ )
＝２ －２ í ３ 可得Ａ ２ ， ，代入双曲线Ｃ的方程可
ｙ ｂ ｙ，∴ ï ｂ
－ ＝－２ ïｙ ． ３ ３ ａ î ＝ 直线ＰＦ 的斜率为 ，且直线ＰＦ 过点Ｆ ，则其方程为ｙ
３ ２ － ｂ ２ ２
ｃ２ ａ２ ｂ２ ｂ２
得 ４ ９ ×ａ２ － ９ １ ＝１ ，即 ４ ９ · ａ ＋ ２ ＝ １ ９ ０， ∴ ａ２ ＝ ２ ３ ． ① ａ ì ï ï ｙ ＝ ａ ｂ ｘ， (ａ２ ａｂ)
（ｘ ｃ），联立得方程组í 求得Ｐ ， ，
又 ｜ Ｂ→Ｆ ｜＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ＝４ ，ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２， ∴ ａ２ ＋２ ｂ２ ＝１６ ． ② －０＝－ ｂ － ï ïｙ ａ ｘ ａ ｃ， ｃ ｃ
由 可得，ａ２ ，ｂ２ ， î ＝－ ｂ ＋ ｂ
①② ＝４ ＝６
A
版
高
考
数
学
／
１１２
因此 ＯＰ
(ａ２ )
２
(ａｂ)
２ ａ，
不等式
，
然后求解．
｜ ｜＝ ｃ ＋ ｃ ＝ ｘ２ ｙ２ ｃ２
解析 将ｘ ｃ代入 （ａ ，ｂ ），得ｙ ｂ
(ａ２ )
２
(ａｂ)
２
＝ ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ＝± ａ２ －１
又Ｆ １ （ － ｃ， ０ ）， ∴ ｜ ＰＦ １｜＝ ｃ ＋ ｃ ＋ ｃ ＝ ３ ａ２ ＋ ｃ２， ｂ２ ，所以Ａ ( ｃ， ｂ２ ) ，又点Ｑ的坐标为 ( ｃ，３ ａ) 且满足 Ｆ Ｑ
又 ＰＦ ＯＰ ， ａ２ ｃ２ ａ， ｃ２ ａ２， ( ｃ ) ２ ＝± ａ ａ ２ ｜ ２ ｜＞
∵ ｜ １｜＝ ６｜ ｜ ∴ ３ ＋ ＝ ６ ∴ ＝３ ａ ａ ｂ２ ( ｂ ) ２ ｃ ( ｂ ) ２
Ｆ Ａ ，所以３ ，所以 ３ ，所以ｅ
＝３
，ｅ２
＝３
，
∴
ｅ
＝ ３
，故选
Ｃ
． ｜ ２ ｜
２
＞ ａ ａ ＜
２
＝ ａ ＝ １＋ ａ ＜
ｂ
解法二：点 Ｆ （ｃ， ）到渐近线 ｙ ｘ 的距离 ＰＦ ３ １０．
２ ０ ＝ ａ ｜ ２ ｜ ＝ １＋ ＝
２ ２
ｂｃ 又因为 ＰＦ ＰＱ ａ ＰＦ ＰＱ ａ Ｆ Ｑ ，且在双
｜ １｜＋｜ ｜＝２ ＋｜ ２｜＋｜ ｜≥２ ＋｜ ２ ｜
ａ －０
ｂ（ｂ ），而 ＯＦ ｃ，所以在 ＯＰＦ 中，由勾股 曲线Ｃ的右支上存在点Ｐ，使得 ＰＦ ＰＱ ７ Ｆ Ｆ 成立，所
( ｂ ) ２ ＝ ＞０ ｜ ２｜＝ Ｒｔ△ ２ ｜ １｜＋｜ ｜＜ ｜ １ ２｜
６
１＋ ａ
以有 ａ Ｆ Ｑ ７ Ｆ Ｆ ，即 ａ ３ ａ ７ ｃ，解得ｅ ３ ，
定理可得 ＯＰ ｃ２ ｂ２ ａ，所以 ＰＦ ＯＰ ａ． ２ ＋｜ ２ ｜＜ ６ ｜ １ ２｜ ２ ＋ ２ ＜ ６ ×２ ＞ ２
｜ ｜＝ － ＝ ｜ １｜＝ ６｜ ｜＝ ６
在
Ｒｔ△
ＯＰＦ
２
中，
ｃｏｓ∠
ＰＦ
２
Ｏ
＝
｜
Ｏ
ＰＦ
Ｆ
２｜
＝
ｂ
ｃ
， 又ｅ
＞１
，所以 ３
２ ＜
ｅ
＜ ２
１０．
在 Ｆ Ｆ Ｐ中，
｜ ２｜
æ ö
△ １ ２ 答案 è ç ３ ， １０ ø ÷
ｃｏｓ∠ Ｐ
ｂ
Ｆ ２ Ｏ
ｂ２
＝ ｜ Ｐ
ｃ２
Ｆ
２
２｜
｜ ａ
２ Ｐ ＋
２
Ｆ ｜
２
Ｆ
｜
１ · Ｆ ２
｜
｜ Ｆ ２
１
－ Ｆ ｜
２
Ｐ
｜
Ｆ １｜ ２ ＝ ｂ２ ＋
２
４ ｂ· ｃ２ －
２
６ ｃ ａ２ ， 方法总结 ２ １． ２ 求ａ及ｂ或ｃ的值
，
由ｅ２
＝ａ
ｃ２
２ ＝
ａ２
ａ
＋
２
ｂ２
＝１＋ａ
ｂ２
２
求ｅ．
所以 ｃ ＝ ＋４ ４ ｂｃ －６ ⇒３ ｂ２ ＝４ ｃ２ －６ ａ２， ２．列出含有ａ ， ｂ ， ｃ的齐次方程 （ 或不等式 ）， 借助于ｂ２ ＝ ｃ２ －
则有
３
（ｃ２
－
ａ２）
＝４
ｃ２
－６
ａ２， ａ２ 消去ｂ
，
然后转化成关于ｅ的方程
（
或不等式
）
求解．
经典例题教师用书
ｃ
解得 （负值舍去），
ａ ＝ ３ ｘ２ ｙ２
例 （２０１８山东泰安２月联考，１１）已知双曲线Ｃ
即ｅ ．故选 ．
１：ａ２ －ｂ２ ＝１
＝ ３ Ｃ
ａ ｂ 圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａｘ ３ ａ２ 若双曲线Ｃ 的一条渐
（ ＞０， ＞０）， ２： ＋ －２ ＋ ＝０， １
４
近线与圆Ｃ 有两个不同的交点 则双曲线Ｃ 的离心率的范围是
２ ， １
（ ）
æ ö æ ö
ç ２ ３÷ ç２ ３ ÷
Ａ．è１， ø Ｂ．è ，＋∞ø
３ ３
答案 Ｃ Ｃ．（１，２） Ｄ．（２，＋∞）
ｂ
ｘ２ ｙ２ 解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为ｙ ｘ，即ｂｘ
例４ （２０２０山东济宁６月三模，１５）设双曲线Ｃ ＝± ａ ±
：ａ２ －ｂ２
＝１（
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的左
、
右焦点分别为Ｆ
１，
Ｆ
２，｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜＝２
ｃ
，
过Ｆ
２
作 ａｙ
＝０
，圆Ｃ
２
：ｘ２
＋
ｙ２
－２
ａｘ
＋
３ ａ２
＝０
可化为（ｘ
－
ａ）２
＋
ｙ２
＝
１ ａ２，圆心
ｘ轴的垂线 与双曲线在第一象限的交点为 Ａ 点 Ｑ 的坐标为 ４ ４
， ，
( ａ) Ｃ 的坐标为（ａ， ），半径ｒ １ ａ，由双曲线Ｃ 的一条渐近线与
ｃ ３ 且满足 Ｆ Ｑ Ｆ Ａ 若在双曲线 Ｃ 的右支上存在点 ２ ０ ＝ １
， ， ｜ ２ ｜＞｜ ２ ｜， ２
２ ａｂ
圆Ｃ 有两个不同的交点，得 ｜ ｜ １ ａ，即ｃ ｂ，即ｃ２ ｂ２，
Ｐ
，
使得
｜
ＰＦ
１｜＋｜
ＰＱ
｜＜
７
｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
成立
，
则双曲线的离心率的取值 ２ ａ２
＋
ｂ２ ＜
２
＞２ ＞４
６
范围是 ． ｃ
又ｂ２ ｃ２ ａ２，所以ｃ２ （ｃ２ ａ２），即ｃ２ ４ ａ２，所以ｅ ２ ３，又
＝ － ＞４ － ＜ ＝ ａ ＜
解题导引 求双曲线离心率的取值范围 关键是把题目中 ３ ３
，
æ ö
的两个不等关系 ｜ Ｆ ２ Ｑ ｜＞｜ Ｆ ２ Ａ ｜ 及 ｜ ＰＦ １｜＋｜ ＰＱ ｜＜ ７ ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜， 转化 知ｅ ＞１ ，所以双曲线 Ｃ １ 的离心率的取值范围为 è ç １ ，２ ３ ３ ø ÷，故
６
选 ．
为关于ａ
，
ｂ
，
ｃ的不等关系
，
结合ｃ２
＝
ａ２
＋
ｂ２ 和
ａ
ｃ
＝
ｅ得到关于ｅ的 Ａ
答案 Ａ
