文档文本内容
专
题
七
数
列
／
７１
专题七 数列
７．１ 数列的概念及表示
§
解析法 公式法 通项公式或递推公式．
（３） （ ）：
··· ···
４．数列与函数的关系
考点 数列的概念及表示
从函数观点看
，
数列可以看成以正整数集Ｎ∗
（
或它的有限
子集 ｎ 为定义域的函数ａ ｆ ｎ 当自变量按照从小
１．数列的概念 ｛１，２，…， ｝） ｎ＝ （ ），
到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值．反过来 对于函数
按照一定顺序排列的一列数称为数列 其中的每一个数叫 ， ，
， ｙ ｆ ｘ 如果ｆ ｉ ｉ 有意义 那么我们可以得到一
做这个数列的项． ＝ （ ）， （ ）（ ＝１，２，３，…） ，
个数列ｆ ｆ ｆ ｆ ｎ ．
２．数列的分类 （１）， （２），（３），…， （ ），…
５．数列的递推公式与通项公式
分类原则 类型 满足条件 递推公式的定义
（１）
有穷数列 项数有限 如果已知数列 ａ 的 第一项 或 前几项 且从第二
项数 ｛ ｎ｝ ① （ ② ），
无穷数列 项数无限
项
（
或某一项
）
起的任何一项ａ
ｎ
与它的前一项ａ
ｎ －１（
或前几项
）
间的关系可以用一个式子来表示 那么这个式子叫做数列 ａ
递增数列 ａ ｎ＋１＞ ａ ｎ
其中 的递推公式．
， ｛ ｎ｝
递减数列 ａ ａ
项与项间的 ｎ＋１＜ ｎ ｎ Ｎ∗ 通项公式
∈ （２）
大小关系 常数列 ａ ｎ＋１＝ ａ ｎ 如果数列
｛
ａ
ｎ｝
的第ｎ项ａ
ｎ
与
③
序号ｎ 之间的关系可以用
从第 项起 有些项大于它的前一 一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
摆动数列 ２ ， ，
项
，
有些项小于它的前一项的数列 ６．数列的前ｎ项和及其与通项公式的关系
３．数列的表示法 若Ｓ ａ ａ ａ 则称Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 由Ｓ
（１）
图 ·
列
象 ·
举
法 ·
法 ： ａ
数
１，
列
ａ ２
可
， ａ
用
３，
一
…
群
， ａ
孤
ｎ，
立
…
的
；
点表示
可求出通 ｎ 项 ＝ 公 １＋ 式 ２ ａ ＋
ｎ
… ．已 ＋ 知 ｎ， Ｓ
ｎ，
则ａ ｎ
ｎ＝
{Ｓ １，
Ｓ
ｎ ｛ ＝１ ｎ
Ｓ
｝ ，
ｎ ．
， ｎ
（２） ： ； ④ ｎ－ ｎ －１ ， ≥２
···
ｂ ｂ （ ｋ ） （ ｋ ） ，则｛ｂ ｝是以 为首项， 为公
２ ｋ ＋１－ ２ ｋ －１＝ ２ ＋１ － ２ －１ ＝２ ２ ｋ －１ １ ２
差的等差数列； ｂ ２ ｋ ＋２ ２ ２ ｋ ＋２ ，
考法一 利用Ｓ
ｎ
与ａ
ｎ
的关系求通项公式
则｛ｂ ２ ｋ ｝是以
ｂ ２
４
ｋ
为
＝
首
２ ２ ｋ
项
＝
，
４
４ 为公比的等比数列，
例１ （２０２０山东济南６ 月模拟）已知数列 ａ 的前 ｎ 所以Ｔ （ｂ ｂ ｂ … ｂ ） （ｂ ｂ ｂ … ｂ ）
｛ ｎ｝ ２ ｎ＝ １＋ ３＋ ５＋ ＋ ２ ｎ －１ ＋ ２＋ ４＋ ６＋ ＋ ２ ｎ
ｎ（ ｎ ）
项和为Ｓ
ｎ，
且Ｓ
ｎ＝
１ ｎ２
＋
１ ｎ．
＝
（
１＋３＋
…
＋２
ｎ
－１
）
＋
（
２
２
＋２
４
＋２
６
＋
…
＋２
２ ｎ）
＝
１＋２ －１
＋
２ ２ ２
求 ａ 的通项公式 （ ｎ） ｎ ＋１
（１） ｛ ｎ｝ ； ４ １－４ ｎ２ ４ ４ ．
（２） 设ｂ ｎ＝ {ａ ａ ｎ ｎ ， ｎ ｎ ＝２ ｋ ｋ － ｋ １， ｋ ∈ Ｎ∗ Ｎ∗ ，求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前 ２ ｎ项和Ｔ ２ ｎ ． １－ 方 ４ 法 ＝ 总结 ＋ ３ １ － ．已 ３ 知Ｓ ｎ 求ａ ｎ 的步骤 ：
２ ， ＝２ ， ∈ ，
先利用ａ Ｓ 求出ａ ．
解析 （
１
）因为Ｓ
ｎ＝ ２
１ ｎ２
＋ ２
１ ｎ，所以当ｎ
＝１
时，ａ
１＝
Ｓ
１＝１
，
（
（
２
１
）
）
用ｎ －１ 替
１
换
＝
Ｓ
１
ｎ 中的
１
ｎ得到一个新的关系式 ， 利用ａ ｎ＝ [ Ｓ Ｓ ｎ 便可求出当ｎ 时ａ 的表达式．
当ｎ
≥２
时，ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１＝
２
１ ｎ２
＋
２
１ ｎ
－
２
１ （ｎ
－１
）２
＋
２
１ （ｎ
－
ｎ－
（
ｎ －
３
１（
）
对
≥
ｎ
２
＝
）
１
时的结果进
≥
行
２
检验
，
ｎ
看是否符合ｎ
≥２
时ａ
ｎ
的表
] 达式 如果符合 则可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则
） ｎ， ， ， ； ，
１ ＝ 应该分ｎ 与ｎ 两段来写．
＝１ ≥２
又ｎ
＝１
时ａ
１＝１
符合上式，所以ａ
ｎ＝
ｎ，ｎ
∈
Ｎ∗． ２．Ｓ
ｎ
与ａ
ｎ
关系问题的求解思路
（
２
）因为 ｂ
ｎ＝
{
２
ａ
ａ
ｎ
ｎ
，
，
ｎ
ｎ
＝
＝
２
２
ｋ
ｋ
－
，
１
ｋ ∈
，ｋ ∈
Ｎ∗
Ｎ
，
∗， 所以对任意的 ｋ
∈
Ｎ∗，
（
根
１
据
） 利
所
用
求
ａ
结
ｎ＝
果
Ｓ
的
ｎ－
不
Ｓ ｎ
同
－１（
要
ｎ ≥
求
２
，
）
将
转
问
化
题
为
向
只
不
含
同的
Ｓ ｎ
两
、 Ｓ
个
ｎ －１
方
的
向
关
转
系
化
式
．
，
A 版
高
考
数
学
／
７２
再求解． （２） ａ ｎ ＋１＝ ｐａ ｎ＋ ｑ · ｐｎ ＋１ （ ｐ ≠０， ｑ ≠０） 的求解方法是等式两边
利用Ｓ Ｓ ａ ｎ 转化为只含ａ ａ 的关系式 ａ ａ {ａ }
（２） ｎ－ ｎ －１＝ ｎ（ ≥２） ｎ、 ｎ －１ ， 同时除以ｐｎ ＋１ 得 ｎ ＋１ ｎ ｑ 数列 ｎ 为等差数列．
再求解． ， ｐｎ ＋１ －ｐｎ ＝ ， ｐｎ
经典例题教师用书 经典例题教师用书
ａ ａ
例 （
ａ
２０１８
ｎ
山东
那
省
么
实
这
验
个
中
数
学
列
期
的
中
通
，
项
５）
公
若
式
数
为
列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＋ 例 在数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
１＝１，
ａ
ｎ＝
ｎ －
ｎ
１ａ
ｎ －１（
ｎ
≥２，
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则数
２＋ ３＋…＋ ｎ＝３ －２， （ ）
Ａ． ａ ｎ＝２×３ ｎ －１ Ｂ． ａ ｎ＝３×
(
１
)ｎ －１ 列
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式
ｎ
为 ．
２ 解析 ａ －１ａ （ｎ ），
{ ｎ ∵ ｎ＝ ｎ ｎ －１ ≥２
ａ ｎ ａ １， ＝１
Ｃ． ｎ＝３ －２ Ｄ． ｎ＝ ｎ －１ ｎ ｎ ｎ
２×３ ， ≥２ ａ －２ａ ，ａ －３ａ ，……，ａ １ ａ ．
解析 ∵ 数列｛ａ ｎ ｝满足ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋ … ＋ ａ ｎ＝３ ｎ －２① ， ∴
以上
ｎ －
（
１
ｎ
＝ｎ －
）
１
个
ｎ －
式
２
子
ｎ
相
－２＝
乘
ｎ
得
－２
，
ｎ －３ ２＝ ２ １
当ｎ 时，ａ ； －１
∴ 当 ＝ ｎ １ ≥２ 时 １ ， ＝ ａ １ １ ＋ ａ ２＋ ａ ３＋ … ＋ { ａ ｎ ， －１ ｎ ＝３ ｎ ， －１ －２② ， ａ ｎ＝ ａ １ · １ ２ · ２ ３ ·…· ｎ － ｎ １ ＝ ａ ｎ １ ＝ ｎ １ ．
①－②
得ａ
ｎ＝２×３
ｎ －１，故ａ
ｎ＝
２
１
×３
ｎ
＝
－１
１
，ｎ
≥２
，
故选
Ｄ．
当ｎ
＝１
时，ａ
１＝１
，符合上式，
答案 Ｄ
∴
ａ
ｎ＝ ｎ
１ （ｎ
∈
Ｎ∗）．
例 （２０１９浙江高考信息优化卷（三），１１）数列 ａ 的前
｛ ｎ｝
答案 ａ １
ｎ项和Ｓ ４ ａ １ 则ａ ａ 的通项ａ ． ｎ＝ ｎ
ｎ＝
３
ｎ＋
３
， １＝ ；｛ ｎ｝ ｎ＝
例 （２０１９浙江三校联考，２０）已知数列 ａ 中 ａ ａ ａ
｛ ｎ｝ ， １＝ （
解析 因为Ｓ ４ ａ １ ，所以当ｎ 时，ａ ． 且ａ ａ ａ ａ ａ ｎ ．
ｎ＝ ｎ＋ ＝１ １＝－１ ≠１ ≠－３）， ２＝３， ｎ＝２ ｎ －１＋３ ｎ －２（ ≥３）
３ ３ 求 ａ ａ 和 ａ ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ ＋１＋ ｎ｝ ｛ ｎ ＋１－３ ｎ｝ ；
又Ｓ
ｎ －１＝
４ ａ
ｎ －１＋
１ （ｎ
∈
Ｎ∗，ｎ
≥２
），
（２）
若数列
｛
ａ
ｎ｝
单调递增
，
求ａ的取值范围．
３ ３ 解析 （ ）由ａ ａ ａ 得 ａ ａ （ａ ａ ），
所以ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１＝ ３
４ ａ
ｎ－ ３
４ ａ
ｎ －１
（ｎ
∈
Ｎ∗，ｎ
≥２
），即ａ
ｎ＝４
ａ
ｎ －１ ∴ ａ ｎ ＋ １＋ ａ
１
ｎ＝３ （ａ
ｎ
ｎ＋
＝
ａ
２
ｎ －１
ｎ －
）
１
，
＋３ ｎ －２ ｎ＋ ｎ －１＝３ ｎ －１＋ ｎ －２
（ｎ
∈
Ｎ∗，ｎ
≥２
），所以｛ａ
ｎ
｝为等比数列，ａ
ｎ＝－４
ｎ －１（ｎ
∈
Ｎ∗）． ａ
ｎ －１＋
ａ
ｎ －２＝３
（ａ
ｎ －２＋
ａ
ｎ －３
），
答案 ； ｎ －１ ……
－１ －４
ａ ａ （ａ ａ ），
３＋ ２＝３ ２＋ １
考法二 由递推关系求数列的通项公式
∴
ａ
ｎ ＋１＋
ａ
ｎ＝３
ｎ －１（ａ
２＋
ａ
１
）
＝３
ｎ －１（
３＋
ａ）．
例２ （２０１９ 河北省级示范性高中４ 月联考，１５）数列 由ａ
ｎ＝２
ａ
ｎ －１＋３
ａ
ｎ －２
得ａ
ｎ－３
ａ
ｎ －１＝－
（ａ
ｎ －１－３
ａ
ｎ －２
），
｛ ＝ ａ ｎ｝ 满 足 ａ ． １＝３， 且对于任意的ｎ ∈ Ｎ∗都有ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝ ｎ ＋２， 则ａ ３９ ａ ∴ ｎ － ａ １ ｎ － ＋１ ３ － ａ ３ ｎ － ａ ２ ｎ ＝ ＝ － － （ （ ａ ａ ｎ － ｎ ２ － － ３ ３ ａ ａ ｎ ｎ － － １ ３ ） ） ， ，
解析 因为ａ ａ ｎ ，所以ａ ａ ， ……
ｎ ＋１－ ｎ＝ ＋２ ２－ １＝３
ａ ａ （ａ ａ ），
ａ
ａ
３
ｎ
－
－
ａ
ａ
２
ｎ －
＝
１＝
４ ，
ｎ
ａ
＋
４
１
－
（
ａ
ｎ
３
≥
＝５
２
，
）
…
，上
…
面
，
（ｎ －１ ）个式子左右两边分别相加 ∴
３－ ａ
ｎ
３
＋１－
２＝
３
ａ －
ｎ＝
（ ２－
－
３
１
） １ ｎ －１（ａ
２－３
ａ
１
）
＝
（
－１
）ｎ －１（
３－３
ａ）．
得ａ ｎ－ ａ １＝ （ｎ ＋４ ）（ｎ －１ ） （ｎ ≥２ ），即ａ ｎ＝ （ｎ ＋１ ）（ｎ ＋２ ） （ｎ ≥ （ ２ ）由（ １ ）得ａ ｎ＝ ４ １ ［ ３ ｎ －１（ａ ＋３ ） － （ －１ ）ｎ －１（ ３－３ ａ）］，
２ ２
２ ），当ｎ ＝１ 时，ａ １＝３ 适合上式，所以ａ ｎ＝ （ｎ ＋１ ）（ｎ ＋２ ） ，ｎ ∈ Ｎ∗， ∴ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝ ２ １ ［ ３ ｎ －１（ａ ＋３ ） ＋ （ －１ ）ｎ －１（ ３－３ ａ）］．
２ 当ｎ为奇数时， ｎ －１（ａ ） （ ）ｎ －１（ ａ） （ ｎ －１ ）ａ ｎ
所以ａ ４０×４１ ． ３ ＋３ ＋ －１ ３－３ ＝ ３ －３ ＋３
３９＝
２
＝８２０
＋３
．
答案
８２０
由ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＞０ 可得（ ３ ｎ －１ －３ ）ａ ＋３ ｎ ＋３＞０ ．
当ｎ 时，解得ａ ；
方法总结 由递推关系求通项公式的常用方法 ＝１ ＜３
ｎ
当ｎ 时，ａ ３ ＋３ １２ ， ａ １２ ．
递推式 方法 示例 ≥３ ＞－ ｎ －１ ＝－３－ ｎ －１ ∴ ＞－３－ ２ ＝－５
３ －３ ３ －３ ３ －３
ａ ａ ｆ ｎ 累加法 ａ ａ ａ ｎ ａ ．
ｎ＋１＝ ｎ＋（ ） １＝１， ｎ＋１＝ ｎ＋２ ∴ －５＜ ＜３
ａ ａ ｎ＋ ｎ １ ＝ ｆ （ ｎ ） 累乘法 ａ １＝１， ａ ａ ｎ＋ ｎ １ ＝２ ｎ －３ ． 当ｎ为偶数时， ３ ｎ －１（ａ ＋３ ） ＋ （ －１ ）ｎ －１（ ３－３ ａ） ＝ （ ３ ｎ －１ ＋３ ）ａ ＋３ ｎ ｎ
ａ ｐａ ｑ ｐ ｑ 转化为等比数列 ａ ａ ａ 由ａ ａ 可得 ａ ３ －３ １２ ， ａ １２
ｎ＋１＝ ｎ＋ （ ≠０，１， ≠０） １＝１， ｎ＋１＝２ ｎ＋１ ｎ ＋１－ ｎ＞０ ＞－ ｎ －１ ＝ ｎ －１ －３ ∴ ＞ ２－１ －３＝
３ ＋３ ３ ＋３ ３ ＋３
ａ ｎ＋１＝ ｐａ ｎ＋ ｑ · ｐｎ＋１ （ ｐ ≠０， ｑ ≠０） 转化为等差数列 ａ １＝１， ａ ｎ＋１＝３ ａ ｎ＋３ ｎ－１ －１ ．
其中 ：（１） ａ ｎ ＋１＝ ｐａ ｎ＋ ｑ （ ｐ ≠０，１， ｑ ≠０） 的求解方法是设ａ ｎ ＋１＋ 综上可知，ａ ∈ （ －１ ， １ ） ∪ （ １ ， ３ ）．
λ ｐ ａ λ 即ａ ｐａ ｐλ λ 与ａ ｐａ ｑ 比较即可知 λ
＝ （ ｎ＋ ）， ｎ ＋１＝ ｎ＋ － ， ｎ ＋１＝ ｎ＋ 考法三 数列的单调性和最大（小）项
ｑ
． ＝ｐ 例３ （２０１９河南新乡二模，９）已知数列 ａ 的首项ａ
－１ ｛ ｎ｝ １
专
题
七
数
列
／
７３
＝２１，
且满足
（２
ｎ
－５）
ａ
ｎ ＋１＝（２
ｎ
－３）
ａ
ｎ＋４
ｎ２
－１６
ｎ
＋１５，
则
｛
ａ
ｎ｝
中最
（１）
用作差比较法
，
根据ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ
的符号判断数列
｛
ａ
ｎ｝
是递
小的一项是 增数列 递减数列还是常数列．
（ ） 、
ａ ａ ａ ａ ａ
Ａ． ５ Ｂ． ６ Ｃ． ７ Ｄ． ８ 用作商比较法 根据 ｎ ＋１ ａ 或ａ 与 的大小关
解析
∵４
ｎ２
－１６
ｎ
＋１５＝
（
２
ｎ
－３
）（
２
ｎ
－５
），
∴
（
２
ｎ
－５
）ａ
ｎ ＋１＝
（２） ， ａ
ｎ
（ ｎ＞０ ｎ＜０） １
（ ｎ ）ａ （ ｎ ）（ ｎ ），等式两边同时除以（ ｎ ）（ ｎ ）， 系进行判断．
２ －３ ｎ＋ ２ －３ ２ －５ ２ －３ ２ －５
结合相应函数的图象直观判断．
ａ ａ ａ ａ
可得 ｎ ｎ ＋１ ＝ ｎ ｎ ＋１ ，可设ｂ ｎ＝ ｎ ｎ ，则 ｎ ｎ ＋１ ＝ ｂ ｎ ＋１ ， ∴ ｂ ｎ ＋１＝ ｂ ｎ＋１ ， 经典例 （３ 题 ） 教师用书
２ －３ ２ －５ ２ －５ ２ －３
ｎ
即ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ＝１ ． ∵ ｂ １＝
ａ
１ ＝ ２１ ＝－７ ， ∴ 数列｛ｂ ｎ ｝是以 －７ 为首
例 已知数列
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式为ａ
ｎ＝ ３ ｎ
＋
－
１
１６ （
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则数
２×１－５ －３ 列 ａ 的最小项是第 项．
项， １ 为公差的等差数列． ∴ ｂ ｎ＝－７＋ （ｎ －１ ） ×１＝ ｎ －８ ，ｎ ∈ Ｎ∗． ∴ ａ ｎ ｛ ｎ｝ ｎ
＝
（ｎ
－８
）（
２
ｎ
－５
）
＝２
ｎ２
－２１
ｎ
＋４０
．可把ａ
ｎ
看成关于ｎ的二次函数， 解析 因为 ａ
ｎ ＝ ｎ
＋１ ，数列｛ａ
ｎ
｝的最小项必小于
０
，即
则根据二次函数的性质，可知：当ｎ 或ｎ 时，ａ 可能取最小 ３ －１６
＝５ ＝６ ｎ ｎ
值． ∵ 当ｎ ＝５ 时，
，
ａ ５＝
当
２×
ｎ
５ ２ －２
时
１×
，ａ
５＋
取
４０
得
＝－
最
１
小
５ ，
值
当
．故
ｎ ＝
选
６ 时，ａ ６＝２×６ ２
３
ｎ ＋
－
１
１６
＜０ ， ３ ｎ －１６＜０ ，从而ｎ ＜ １
３
６，又因为ｎ ∈ Ｎ∗，且数列｛ａ ｎ ｝的前
－２１×６＋４０＝－１４ ∴ ＝５ ｎ Ａ． 项递减，所以ｎ 时ａ 的值最小．故数列｛ａ ｝的最小项是第
答案 Ａ ５ 项． ＝５ ｎ ｎ
５
方法总结 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 答案
５
