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第08 讲圆的相关概念
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 圆的基本概念辨析
题型2 圆中弦的相关概念
题型3 圆中弧的相关计算
题型4 圆心角的相关问题
题型5 圆的周长和面积
题型6 判断点与圆的位置关系
题型7 根据点与圆的位置关系求长度
题型8 点与圆上一点的最值问题
题型9 圆的相关概念综合（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
圆的基本概念
圆中弦、弧、圆心角
1.认识圆，准确掌握弦、弧、圆心角的定义；
2.能区分优弧劣弧，规范书写各类圆弧符号；
3.理解同圆中圆心角与其对应弧、弦的关系；
4.会利用三者等量关系完成简单几何证明；
5.提升识图能力，建立圆内等量转化思想。
学习重点：掌握弦、弧、圆心角概念，理解三者相等关系。
学习难点：灵活运用三者关系进行几何推理与等量证明。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 圆的定义
1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫圆．这个固定
的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．以O 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径
确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
即时即练
1．下列说法中，正确的是（
）
A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形
B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆
C．弦是直径
D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
【答案】D
【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错．
【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆
外区域，
∴A 选项错误，不符合题意；
∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不
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是等圆，
∴B 选项错误，不符合题意；
∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径，
∴C 选项错误，不符合题意；
∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确；
∴D 选项正确．
2．下列说法正确的是（
）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
【答案】D
【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误．
【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A 选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定
义，故此选项错误，不符合题意；
B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重
合，故此选项错误，不符合题意；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相
等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意；
D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D 选项表述一致，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
3．在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（
）
A．圆心决定圆的位置
B．半径决定圆的大小
C．同圆中的半径都相等
D．同圆中直径是半径的2 倍
【答案】C
【分析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等．人们围成圆形是为了使每个人到舞台（圆心）
的距离相等，从而获得相同的观看体验，这利用了同圆中所有半径相等的性质．
【详解】解：∵在同圆中，所有半径都相等，
∴当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等，
∴这是应用了同圆中半径都相等的特征．
故选：C．
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知识点02 弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的
2 倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A
B
、
为端点的弧记作⌒
AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，
能够重合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优
弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称
概念
注意
图示
弦
连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦AC ”
直径是圆中最长的
弦不一定是直径
直径
经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径AB ”
但弦不一定是直径
弧、
半圆、
劣孤、
优弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条
直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；
大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的
ABC ；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图
中AC
半圆是弧，但弧不
一定
是半圆
等圆
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个
圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
等圆只和半径的大
小有关，和圆心有
位置有关
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
长度相等的孤不一
定是等孤
即时即练
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4．如图，在Rt ABC 中，
90 ,
20
ACB
A
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于点D、
点E，则弧BD 的度数为（
）
A．28
B．60
C．55
D．40
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出
B
，再根
据等腰三角形的性质求出
BCD
，
BCD
即为弧BD 的度数，即可得解．
【详解】解：
90 ,
20
ACB
A
，
90
70
B
A
，
CB
CD
，
70
CDB
B
，
180
70
70
40
BCD
，
弧BD 的度数为40，
故选：D ．
5．下列图形中的角是圆心角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意；
B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．如图，圆心角
90
AOD
BOC
．
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(1)判断
AOC
和
BOD
的数量关系，并说明理由；
(2)若
30
COD
，求
AOB
的度数．
【答案】(1)
AOC
BOD
，见解析
(2)
150
AOB
【分析】（1）根据条件和
AOD
AOC
COD
，
BOC
BOD
COD
即可求解；
（2）根据第（1）问的结论和
30
COD
即可求解．
【详解】（1）解：
AOC
BOD
；
∵
AOD
AOC
COD
，
BOC
BOD
COD
，
90
AOD
BOC
，
∴
AOC
BOD
（2）解：∵
AOD
AOC
COD
，
BOC
BOD
COD
，
90
AOD
BOC
，
30
COD
，
∴
60
AOC
BOD
，
∴
60
30
60
150
AOB
AOC
COD
BOD
；
【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．
题型1 圆的基本概念辨析
1．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距
离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B 是半径为3cm 的
O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是
0cm
6cm
AB
．其中，正确的是（
）
A．②③④⑤
B．①②④⑤
C．①③④⑤
D．①②③⑤
【答案】B
【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性．
本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：∵①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确；
②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确；
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③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误；
④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确；
⑤
弦AB 连接圆上两个不同点，
0
AB＞，最大弦为直径6cm ，
∴0cm
6cm
AB
，正确。
∴正确的是①②④⑤，
故选：B．
2．下列说法正确的是（
）
A．直径是弦，弦是直径
B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
C．相等的弦所对的弧相等
D．在同圆中直径的长度是半径的2 倍
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的
正确性即可．
【详解】A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意；
B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并
延长），故该选项错误，不符合题意；
C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相
等，故该选项错误，不符合题意；
D．在同圆中，直径的长度是半径的2 倍，故该选项正确，符合题意；．
故选：D．
3．若
O 的直径长为4 ，点A ，B 在
O 上，则AB 的长不可能是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键．
根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项．
【详解】解：∵
O 的直径长为4，点A，B 在
O 上
∴弦AB 的长满足0
4
AB
，选项A、B、C 都满足条件，
∵选项D 中5
4
，
∴选项D 不符合条件．
故选：D．
4．下列说法中，不正确的是（）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
C．周长相等的两个圆是等圆
D．等弧的长度一定相等
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．
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根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可．
【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A 正确；
选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条
弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B 错误；
选项C、根据圆的周长公式2π半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C 正确；
选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D 正确；
故选：B．
5．在下列说法中，正确的有________．（填序号）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧．
【答案】②
【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线
段是弦而非弧。
【详解】解：半圆不是扇形，故①错误；
半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确；
弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误；
圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误．
故答案为：②．
【易错警示】
辨析圆相关概念需规避常见误区：弦不一定是直径，直径是最长弦；半圆是特殊弧，但弧不一定是半圆。
优弧、劣弧需区分，不可混淆。圆心角、弦、弧相等关系仅适用于同圆或等圆，切勿通用，避免概念混用
解题出错。
题型2 圆中弦的相关概念
6．如图所示，点A ，O，D ，点C ，D ，E 以及点B ，O，C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
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【答案】A
【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有
关概念是解题的关键．
【详解】解：圆中的弦有：BC 、CE ，共两条，
故选：A ．
7．如图，在
O 中，点A ，O，D 在一条直线上，点B ，O，C 在一条直线上，那么图中有弦（
）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半
圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【详解】解：弦为AB 、CE 、BC ．
故选：B．
8．如图，A
B
C
E
，，，
四点在
O 上，点A
O
B
C
O
D
，，，点，，
，点B
D
E
，，
分别共线，则图中弦的条数
为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AC
AB
BE
，
，
共三条，
故选：B．
9．
O 的半径为2cm ，A 为
O 上一定点，点P 在
O 上沿圆周运动（不与点A 重合），则使弦AP 的长度
为整数的点P 共有________个．
【答案】7
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【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定
义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据
O 的半径为2cm ，得到直径
4cm
AB
，根据0
4
AP
，得到在半圆上，AP 有3 个，另一侧也有3
个，加上长度为4cm 的是与B 点重合，一共有7 个．
【详解】如图，∵
O 的半径为2cm ，
∴直径
4cm
AB
，
∴弦AP 长的整数值有1cm 或2cm 或3cm 或4cm ，共4 种可能，
当
1cm
AP
或2cm 或3cm 时,各有2 条,
当
4cm
AP
时有1 条,
∴这样的弦共有7 条．
∴这样的点P 共有7 个．
故答案为：7．
10．如图，ABC 是
O 内接三角形，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．，分别按下列要求画图．
（1）在图1 中，画山一条与BC 相等的弦；
（2）在图2 中，画出一个与ABC 全等的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO 并延长交
O 于E，连接BO 并延长交
O 于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），
可得BC=DE；
（2）连结AO 并延长交
O 于A′，OA=OA′，连结BO 并延长交
O 于B′，OB=OB′，连结CO 并延长交
O
于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′
（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法
可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
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【详解】解：（1）如图1，DE 为所作；
连结CO 并延长交
O 于E，连接BO 并延长交
O 于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在△BOC 和△DOE 中，
OC
OE
COB
EOD
OB
OD
，
∴△BOC≌△DOE（SAS），
∴BC=DE；
（2）如图2，△A′B′C′为所作．
连结AO 并延长交
O 于A′，OA=OA′，连结BO 并延长交
O 于B′，OB=OB′，连结CO 并延长交
O 于C′，
OC=OC′，
在△BOC 和△B′OC′中，
OC
OC
COB
C OB
OB
OB
，
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′，
同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C′，
在△ABC 和△A′B′C′中，
AB
A B
AC
A C
BC
B C
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
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【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性
质与三角形全等判定与性质是解题关键．
题型3 圆中弧的相关计算
11．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为2 : 3: 4 : 6 ，则丁扇形的圆心角的度数为（
）
A．48
B．72
C．144
D．96
【答案】C
【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角．
【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为2:3: 4:6 ，那么整个圆的面积可看作2
3
4
6
15
份
丁扇形的面积占6 份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为6
2
15
5
∵整个圆的圆心角是360
∴丁扇形的圆心角为
2
360
144
5
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利
用这一关系结合圆的圆心角为360，计算扇形的圆心角是解题的关键．
12．如图ABC 中，
=90 ,
=20
C
B
，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D，则AD 的度数为（
）
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A．30
B．40
C．45
D．50
【答案】B
【分析】如图，连接
,
CD 先求解
=
=70 ,
=40 ,
A
ADC
ACD
再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
,
CD
∵
=90 ,
=20
C
B
，
∴
=90
20 =70 ,
A
∵
,
CD
CA
∴
=
=70 ,
A
ADC
∴
=180
2 70 =40 ,
ACD
∴AD 的度数为：40 .
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等
于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
13．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC 的度数是_______
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【答案】150/150 度
【分析】本题考查了求弧的角度，连接BO，过点O 作OE
AB
于点E，设圆的半径为r ，根据题意可得
1
2
OE
OB
，进而得
30
OBE
，根据AB
CD 得
30
BOD
OBE
，即可求解；
【详解】解：如图所示：连接BO，过点O 作OE
AB
于点E，
设圆的半径为r ，
由题意可得：
1
2
OE
r
，AB
CD
∴
1
2
OE
OB
∴
30
OBE
∴
30
BOD
OBE
∴
180
150
BOC
BOD
∴弧BC 的度数是150
故答案为：150
14．如图，AB ，CD是圆O的两条相等的弦，弧AD ，弧BC 的度数分别为30 度，120 度，P 为劣弧AB 上
一点，则
APB
______°．
【答案】127.5
【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD 和∠BOC 的度数；再根据弦AB=CD，
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可求得∠AOB 和∠COD 的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB 的度数．
【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示．
∵AD 和BC 的度数分别是30°和120°，
∴∠AOD=30°，∠BOC=120°．
∵AB=CD，
∴
360
30
120
=
105
2
AOB
COD
∠
∠
．
∵BCD
BCD
，
∴
1
1
360
=
360
105
=127.5
2
2
APB
AOB
∠
∠
．
故答案为：127.5 ．
【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定
理是解题的关键．
15．如图，A 为⊙O 上的一点，C 为⊙O 外的一点，AC 交⊙O 于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A 的度数.
【答案】48°
【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可．
【详解】连接OB
则OA=OB
∵OA=BC
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∴OB=BC
∴∠C=∠BOC=24°
∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48°
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系．关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答．
题型4 圆心角的相关问题
16．如图所示，量角器的圆心O 在矩形ABCD 的边AD 上，直径经过点C，则∠OCB 的度数为（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，
∴∠DOC＝40°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠DOC＝40°，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
17．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是弧AB 上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC 的度数为
（
）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定
理求出∠AOB 和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
18．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到
的，图中的度数为_______．
【答案】72
【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角360平均分成5份后每份的
角度，即可得出的度数为72．
【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分，
360
72
5
．
故答案为：72 ．
19．如图，在
O 中，已知
50
OAB
，则弦AB 所对的圆心角的度数是________．
【答案】80
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【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由OA
OB
，可
得
50
OAB
OBA
，再根据三角形的内角和定理求出
AOB
，即可求解．
【详解】解：
OA
OB
，
50
OAB
，
50
OAB
OBA
，
180
50
50
80
AOB
，
即弦AB 所对的圆心角的度数是80，
故答案为：80．
20．如图，AB 是
O 的直径，点C，D 在
O 上，OC
AD ，OA CD ，若
1
AD ，则BC 的长为__________．
【答案】1
【分析】根据OC
AD ，OA CD ，OA
OC
可得四边形ADCO 是菱形，则可得OA
AD
，进而可得OAD
是等边三角形，
60
OAD
，由OC
AD 可得
60
BOC
OAD
，进而可得OBC 是等边三角形，则可
得
1
BC
OC
．
本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
【详解】
解：连接OD ，BC ，
∵OC
AD ，OA CD ，
∴四边形ADCO 是平行四边形，
又∵OA
OC
,
∴四边形ADCO 是菱形，
∴
1
OA
OC
CD
AD
，
又∵OA
OD
，
∴OA
OD
AD
，
∴OAD 是等边三角形，
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∴
60
OAD
，
∵OC
AD ，
∴
60
BOC
OAD
，
∵OB
OC
，
∴OBC 是等边三角形，
∴
1
BC
OC
．
故答案为：1
题型5 圆的周长和面积
21．若
O 的半径为6cm ，
7cm
PO
，则点P 与
O 的位置关系是（
）
A．点P 在
O 外
B．点P 在
O 上
C．点P 在
O 内
D．点P 在
O 内或
O 上
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断点的位置．
【详解】解：∵
7
6
OP
cm
cm
，
∴点P 在
O 外．
故选：A．
22．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
8
AC
，
6
BC
，点O为AB 的中点，若以点O为圆心，5 为半径作
O ，则下列判断正确的是（
）
A．点C 在
O 外B．点C 在
O 上
C．点C 在
O 内
D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接OC ，根据在直角三角形中，斜
边上的中线等于斜边的一半可得
5
OC
，则点C 到圆心的距离等于半径，判断点C 在
O 上．
【详解】解：连接OC ，
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∵
90
8
6
C
AC
BC
，
，
，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
，
∵点O 为AB 的中点，
∴
1
5
2
OC
AB
，
∵
O 的半径为5，
∴点C 在
O 上．
故选：B．
23．如图，在Rt ABC 中，
6
AC
，
8
BC ，以点A 为圆心，BC 为半径画圆，则点C 与
A的位置关系是
___________．
【答案】点C 在
A内
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合6
8
即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此
题的关键．
【详解】解：∵在Rt ABC 中，
6
AC
，
8
BC ，以点A 为圆心，BC 为半径画圆，且6
8
，
∴AC
BC
，
∴点C 与
A的位置关系是点C 在
A内，
故答案为：点C 在
A内．
24．如图，Rt ABC 中，
90
ACB
，
6
BC
，
8
AC
，CD
AB
于点D，以点C 为圆心，5 为半径作
C ，
则点D 在
C ___________．(填“外”“内”或“上”)
【答案】内
【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系.
先根据勾股定理求出AB 的长，再由三角形的面积公式求出CD的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出
结论．
【详解】解：∵在Rt ABC 中，
90
ACB
，
6
BC
，
8
AC
，
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∴
2
2
2
2
6
8
10
AB
AC
BC
，
∵CD
AB
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
，
∴
8 6
4.8
10
AC BC
CD
AB
，
∵4.8
5
，
∴点D 在圆C 内．
故答案为：内．
25．已知如图，在
ABC 中，
90 ,
3,
4
ACB
AC
BC
，AB 的中点为点M．
(1)以点C 为圆心，3 为半径作
C ，则点A、B、M 分别与
C 有怎样的位置关系？
(2)若以C 为圆心作
C ，使A，B，M 三点中至少有一点在
C 内，且至少有一点在
C 外，则
C 的半径
r 的取值范围是什么？
【答案】(1)点A 在圆上，点B 在圆外，点M 在圆内
(2)2.5
4
r
【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d 与半径r 的关系，d
r
>
，在圆外，
d
r
，在圆上，d
r
，在圆内判断是解题关键．
（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC CM BC
,
,
与半径AC 的大小关系即可得出答案；
（2）利用分界点当A、B、M 三点中至少有一点在
C 内时，以及当至少有一点在
C 外时，分别求出即可．
【详解】（1）解：∵在ABC 中，
90 ,
3,
4
ACB
AC
BC
，AB 的中点为点M，
∴
2
2
3
4
5
AB
，
1
2.5
2
CM
AB
，
∵以点C 为圆心，3 为半径作
C ，
∴
3
AC
，则点A 在圆上，
2.5
3
CM =
< ，则点M 在圆内，
4
3
BC
，则点B 在圆外；
（2）解：以点C 为圆心作
C ，使A、B、M 三点中至少有一点在
C 内时，
2.5
r >
，
当至少有一点在
C 外时，
4
r
，
故
C 的半径r 的取值范围为：2.5
4
r
．
题型6 判断点与圆的位置关系
26．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径
为10 米，外圈跑道的半径为12 米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（
）
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A．2 米
B．10 米
C．20 米
D．25 米
【答案】D
【分析】求出2
22
AB
即可得到答案．
【详解】解：当两人在同一条半径上时，
12 10
2
AB
，
当两人在同一条直径的两端时，
12
10
22
AB
，
故2
22
AB
，
慢跑过程中两人的距离不可能是25 米．
27．如图，战机白帝号顺着大半圆从A 地飞到B 地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从A 地到B 地与之汇合，设
白帝、鸾鸟走过的路程分别为a 、b ，则a 与b 的大小关系是（
）
A．a
b
B．a
b
C．a
b
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了半圆弧长的计算，掌握半圆弧长的计算是解题的关键．
根据图形，得三个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得两架战机所走的路程相等．
【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为R ，则白帝所走的路程a
R
，
设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是1r 、2r 、3r ，则
1
2
3
2
2
2
2
r
r
r
R
，即1
2
3
r
r
r
R
，
∴
1
2
3
b
r
r
r
R
a
．
故选：A．
28．．已知图1、图2 中两个半圆的半径相等，
1
2
O
O
、
分别是两圆的圆心，图1 中的阴影部分面积为
1S ，
图2 中的阴影部分面积为
2S ，那么
1S 与
2S 之间的大小关系是
1S ______
2S ．
【答案】
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【分析】设两个圆的半径都是r，则图1 中长方形的长为2r ，宽为r，图2 中三角形的底为2r ，高为r，图
1 中阴影部分的面积
1S 为长方形的面积减去半圆的面积，图2 中阴影部分的面积
2S 为半圆的面积减去三角
形的面积，再进行比较所得面积的大小．
【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1 中长方形的长为2r ，宽为r，
2
1
1
2
2
r
r
S
r
2
2
1
2
2
r
r
2
1
2
2
r
2r
≈0.43
图2 中三角形的底为2r ，高为r，
2
2
1
1
2
2
2
r
S
r
r
2
2
1
2
r
r
2
1
1
2
r
2
0.57r
≈
∴
1
2
S
S
．
29．如图，在一个长方形休闲广场的中央设计一个圆形的音乐喷泉，若圆形音乐喷泉的半径为r 米，广场
的长为a 米，宽为b 米，则广场空地的面积为______平方米（结果用含a，b，r 的代数式表示）．
【答案】
2
π
ab
r
【分析】本题考查了长方形和圆的面积计算，组合图形面积的求解及代数式的表示，先分别计算长方形广
场和圆形音乐喷泉的面积，再用长方形面积减去圆形面积得到广场空地的面积．
【详解】解：由题意知，长方形广场的面积为a b
ab
（平方米），
圆形音乐喷泉的面积为
2
2
π
π
r
r
（平方米），
广场空地的面积为：
2
π
ab
r
（平方米），
故答案为：
2
π
ab
r
．
30．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为100米,宽为60 米的长方形构成（π取3）．
(1)求这个运动场的周长是多少米?
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为2:3,每平方米塑胶的价格为120元,比
每平方米草坪的价格高1
5 ,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元?
【答案】(1)380
(2)918720
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【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可;
（2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可．
【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为100米,宽为60 米的长方形构成,
∴运动场的周长为: π 60
2 100
380
（米）,
故答案为:380．
（2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为100米,宽为60 米的长方形构成,
∴运动场的面积为:
2
60
π
100 60
3 900
6000
8700
2
（平方米）,
∵塑胶跑道和草坪的面积比为2:3,
∴塑胶跑道面积为：
2
8700
3480
5
（平方米）,
∴草坪面积为：
3
8700
5220
5
（平方米）,
∵每平方米塑胶的价格为120元,比每平方米草坪的价格高1
5 ,
∴每平方米草坪的价格为:
1
120 (1
)
96
5
（元）,
∴总费用为:3480 120
5220 96
417600
501120
918720
（元）,
故答案为:918720 ．
【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算．
题型7 根据点与圆的位置关系求长度
31．点P 到圆心O 的距离为6，若点P 在圆O 外，则圆O 的半径r 满足（
）
A．0
6
r
B．0
6
r
C．
6
r
D．
6
r
【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离
大于半径，且圆的半径为正数即可求解．
【详解】解：
点P 在圆O 外，
点P 到圆心O 的距离大于圆O 的半径r，
点P 到圆心O 的距离为6 ，且圆的半径
0
r
，
0
6
r
．
故选：A．
32．如图，在Rt ABC 中，
90
B
，
4
AB
，
7
BC
，点D 在边BC 上，且
3
BD
，连接AD ．以点D 为
圆心，以r 为半径画圆，若点
, ,
A B C 中只有2 个点在圆内，则r 的值可能为（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当d
r
>
时，
点在圆外；当d
r
时，点在圆上；当d
r
时，点在圆内．
先根据勾股定理求出
2
2
5
AD
AB
BD
，再得出
4
CD
BC
BD
，根据点A，B，C 中只有2 个点在圆
内，推出4
5
r
，即可解答．
【详解】解：∵
90
B
，
4
AB
，
7
BC
，
3
BD
，
∴
2
2
5
AD
AB
BD
，
4
CD
BC
BD
，
∵点
, ,
A B C 中只有2 个点在圆内，BD
CD
AD
，
∴4
5
r
，
故选：C．
33．已知
O 的半径为7cm ，点P 到圆心O的距离为d ，若点P 在
O 内，则d 的取值范围中整数的个数为
___________
【答案】
7
【分析】根据点与圆的位置关系得到d 的取值范围，再统计范围内整数的个数即可．
【详解】已知
O 的半径
7
r
cm
，
根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数，
因此可得d 的取值范围为0
7
d
,
该范围内的整数为0,1,2,3,4,5,6 ，共7 个．
34．如图，原点右边7 个单位有一点P，数轴上半径为1 的
O 从原点O 开始以每秒2 个单位的速度向右
运动，经过________秒，点P 在
O 上
【答案】3或4
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分两种情况，列式计算即可得解，解题的关键是能够分类讨论．
【详解】解：当第一次点P 在圆上时，
7
1
2
3
秒，
当第二次点P 在圆上时，
7
1
2
4
秒，
综上所述，经过3或4 秒，点P 在
O 上，
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故答案为：3或4 ．
35．如图，在ABC 中，
90 ,
3,
4
C
AC
BC
，以点C 为圆心作
C ，半径为r．
(1)当r 取什么值时，点A，B 都在圆外？
(2)当r 取什么值时，点A 在圆内，点B 在圆外？
【答案】(1)当0
3
r
时，点A，B 都在圆外．
(2)3
4
r
时，点A 在圆内，点B 在圆外．
【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点A
B
、到圆心C 的距离与半径r 的大小关系，从而确定r 的范
围．
（2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点A 在圆内、点B 在圆外时r 的范围，再取交集．
【详解】（1）解：
3,
AC
AC
r
，
当0
3
r
时，点A，B 都在圆外．
（2）解：
3,
4
AC
BC
，
当AC
r
BC
，即3
4
r
时，点A 在圆内，点B 在圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离d 与半径r 的关系：d
r
时点在圆外，d
r
时
点在圆内是解题的关键．
题型8 点与圆上一点的最值问题
36．如图，在边长为2 的正方形ABCD中，以点C 为圆心，1为半径的圆弧与边CB ，CD分别交于点E ，F ．点
M 在边AB 上，点N 在EF 上，则DM
MN
的最小值为（
）
A．10
B．13
C．2 5
1
D．17
1
【答案】C
【分析】作点D 关于AB 的对称点D，连接D M
，可得DM
MN
D M
MN
，利用正方形的性质得
90
BAD
ADC
，
2
AD
CD
，得到点D
A
D
、、
在同一条直线上，即得到
4
D D
，连接CD，与
AB 相交于点M ，与EF 相交于点N ，此时DM
MN
的值最小，最小值DM
MN
D M
MN
D N
，再
利用勾股定理解答即可求解．
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【详解】解：如图，作点D 关于AB 的对称点D，连接D M
，则DM
D M
，
∴DM
MN
D M
MN
，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2 ，
∴
90
BAD
ADC
，
2
AD
CD
，
∴DA
AB
，
∴点D
A
D
、、
在同一条直线上，
∴
2
AD
AD
，
∴
4
D D
，
连接CD，与AB 相交于点M ，与EF 相交于点N ，如图，
此时DM
MN
的值最小，最小值DM
MN
D M
MN
D N
，
∵
2
2
2
2
2
4
2 5
CD
CD
D D
，
∴
2 5
1
D N
CD
CN
，
∴DM
MN
的最小值为2 5
1
．
37．如图，已知
O 的半径为2, P 是
O 外一点，
4,
OP
Q
是
O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连结OP ，
OM ，则线段OM 的最小值是（
）
A．0
B．0.5
C．1
D．1.5
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【答案】C
【分析】取OP 的中点N ，连接MN ，利用三角形中位线定理求出MN 的长度，从而确定点M 的轨迹是以N
为圆心，MN 长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出OM 的最小值．
【详解】解：取OP 的中点N ，连接MN ，OQ ，
M 为PQ 的中点，N 为OP 的中点，
MN
为POQ 的中位线，
1
2
MN
OQ
，
O 的半径为2 ，即
2
OQ
，
1
MN
，
点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上，
4
OP
，N 为OP 的中点，
1
2
2
ON
OP
，
当点M 在线段ON 上时，OM 取得最小值，
OM
的最小值为
2 1 1
ON
MN
．
38．如图，
M 的半径为4，圆心M 的坐标为
6,8 ，P 是
M 上的任意一点，PA
PB
，且PA 、PB 与x
轴分别交于A 、B 两点．若点A 、B 关于原点O对称，则AB 长的最大值为（
）
A．16
B．12
C．28
D．14
【答案】C
【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作
出辅助线，找出OP 取得最大值的位置．连接OM ，延长OM 交
M 于C ，得出当点P 与点C 重合时，OP
取得最大值，根据圆心坐标求出
10
OM
，OP 的最大值为14，根据点A 、B 关于原点O对称得出OA
OB
，
根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接OM ，延长OM 交
M 于C ，
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∵P 是
M 上的任意一点，
∴当点P 与点C 重合时，OP 取得最大值，
∵圆心M 的坐标为
6,8 ，
∴
2
2
6
8
10
OM =
+
=
，
∵
M 的半径为4，
∴OP 的最大值为10
4
14
，
∵点A 、B 关于原点O对称，
∴OA
OB
，
∵PA
PB
，
∴
2
AB
OP
，
∴AB 长的最大值为2 14
28
．
故选：C．
39．如图，在正方形ABCD中，点E 、F 分别是DC 、AD 边上的动点，且AE
BF
，垂足为P ，连接CP ．若
正方形的边长为1．则线段CP 的最小值为（
）
A．
5
1
2
B．
2
2
C．
5
1
2
D．
5
4
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据
APB
得到点P 的轨迹，从而得到CP
最小时点P 的位置，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵AE
BF
交于点P，且
90
APB
，则点P 的轨迹为以AB 为直径的半圆上，连接AC
BD
、
，
交于点P，此时，CP 的值最小，
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∵
1
BC
AB
，
∴
2
2
2
AC
AB
BC
，
∴
1
2
2
2
CP
AC
，
当C 、P 、A 三点共线时，CP 最小，
∴CP 的最小值
2
2
CP
，
故选：B．
40．如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
AD
，点E ，F 分别是AD ，CD边上的点，且
4
EF
，点M 为
EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA
PM
的最小值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径．
由直角三角形斜边上中线的性质可得
2
DM
，可知M 点的轨迹为：以D 为圆心，2 为半径的圆弧（一部分），
作A 关于BC 的对称点A，连接A D
，交BC 于P ，交以D 为圆心，以2 为半径的圆于M ，此时PA
PM
的
值最小，最小值为A M
的长，根据勾股定理可得A D
，即可得PA
PM
的最小值．
【详解】解：
4
EF
，点M 为EF 的中点，
2
DM
，
M
点的轨迹是以D 为圆心，以2 为半径的圆弧（一部分），
作A 关于BC 的对称点A，连接A D
，交BC 于P ，当M 为A D
与EF 的交点时，PA
PM
的值最小，最小
值为A M
的长，
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4
AB
，
6
AD
，
8
AA
，
在Rt AA D
中，
2
2
6
8
10
A D
，
10
2
8
A M
A D
DM
，
PA
PM
的最小值为8 ，
故选：A．
【易错警示】
求解点与圆上一点的最值问题易出现误区：需牢记定点与圆心的距离为核心，圆上点到定点距离最大值为
圆心距加半径，最小值为圆心距减半径。切勿忽略点在圆内、圆上、圆外的不同情况，盲目套用公式，导
致最值求解错误。
题型9 圆的相关概念综合（压轴）
41．如图，点A，B，C 在直线l 上，AD
l
，AD
BE
CF
∥
∥
，且过点D，E，F 三点的圆的圆心在直线l
上．若
1
AD
CF
，
2
BE
，则AB BC
的值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握运用平方差公式进行化简
计算是解题的关键．
设圆心为O，连接OD
OE
OF
，
，
，先证DAO
FCO
≌
，得到OA
OC
，将AB BC
化简变形得到
2
2
AB BC
OA
OB
OC
OB
OA
OB
OA
OB
OA
OB
，由勾股定理得
2
2
2
OA
OD
AD
，
2
2
2
OB
OE
BE
，代入，即可求解．
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【详解】解：如图，设圆心为O，连接OD
OE
OF
，
，
，则OD
OE
OF
，
AD
l
，AD
BE
CF
∥
∥
，
BE
l
FC
l
，
，
90
DAO
FCO
，
又
1
AD
CF
OD
OF
，
，
DAO
FCO HL
≌
，
OA
OC
，
由勾股定理得
2
2
2
OA
OD
AD
，
2
2
2
OB
OE
BE
，
则
AB BC
OA
OB
OC
OB
OA
OB
OA
OB
2
2
OA
OB
2
2
2
2
OD
AD
OE
BE
2
2
4 1
3
BE
AD
．
故选：A．
42．如图，已知点
15,20
P
，
P 半径为10，
14,0
A
，
28,0
B
，点M 是
P 上的动点，点C 是MB 的中
点，连接AC ，则AC 的最小值是（
）
A．15
B．15
2
C．35
D．35
2
【答案】B
【分析】如图，连接OP 交
P 于M ，连接OM ，因为OA
AB
，CM
CB
，所以
1
2
AC
OM
，所以当OM
最小时，AC 最小，M 运动到M 时，OM 最小，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OP 交
P 于M ，连接OM ，
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∴
2
2
15
20
25
OP
，
∵
14,0
A
，
28,0
B
，
OA
AB
，
∵点C 是MB 的中点，即CM
CB
，
∴AC 是OBM 的中位线，
1
2
AC
OM ，
当OM 最小时，AC 最小，
当M 运动到M 时，OM 最小，
∵
P 半径为10，
∴
10
PM
此时AC 的最小值
1
1
1
15
25 10
2
2
2
2
OM
OP
PM
．
故选：B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，
解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，是中考常考题型．
43．如图，正方形AEFG 与正方形ABCD的边长都为3，正方形AEFG 绕顶点A 旋转一周，在此旋转过程中，
线段DF 的长的取值范围是（
）
A．3 2
3
3 2
3
DF
B．3 2
6
DF
C．3
6
DF
D．3 2
3
0
DF
【答案】A
【分析】因为正方形的边长为3，可得正方形的对角线长为3 2 ，当正方AEFG 绕点A 旋转一周时，点F 是
以A 为圆心，3 2 为半径的圆上一点，当F ，D ，A 三点共线且D 在线段AF AF 上时，线段DF 的长度最
短；当F ，D ，A 三点共线且A 在线段DF 上时．求出线段DF 的最大值和最小值即可求出线段DF 的长度
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的取值范围．
【详解】解：
正方形AEFG 与正方形ABCD的边长都为3，
3 2
AF
，
点F 是以A 为圆心，3 2 为半径的圆上一点，
当F ，D ，A 三点共线且D 在线段AF 上时，
如下图所示，
DF 最短为3 2
3
，
当F ，D ，A 三点共线且A 在线段DF 上时，
如下图所示，
DF 最长为3 2
3
，
3 2
3
3 2
3
DF
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转、圆的基本性质、勾股定理、正方形的性质，解决本题的关键是根据
正方形的性质和勾股定理求出AF 的长度，根据旋转的性质可知点F 的运动轨迹是以点A 为圆心AF 为半径
的圆．
44．如图，正方形ABCD的边长为6，以点C 为圆心，2 为半径作
C ．P 为
C 上的动点，连接BP ，并将
BP 绕点B 逆时针旋转90得到BP，连接CP．在点P 运动的过程中，CP长度的最大值是（
）
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A．5 2
2
B．6 2
2
C．5 2
2
D．6 2
2
【答案】B
【分析】先证明PBC
P BA
≌
，则
2
AP
PC
，通过画图发现，点P的运动路线为以A 为圆心，2 为半径
的圆，当P在对角线CA 延长线上时，CP最大．再利用勾股定理求对角线CA 的长，即可得出CP长度的
最大值．
【详解】解：如图，连接AP，CP ，
由旋转得：
,
90
BP
BP
PBP
，
∴
90
P BA
ABP
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC
BA
，
90
ABC
，
∴
90
ABP
CBP
，
∴
CBP
ABP
，
在PBC 和
P BA
△
中，
BP
BP
CBP
ABP
BC
AB
，
∴
SAS
PBC
P BA
≌
，
∴
2
AP
PC
，
∴P在以点A 为圆心，半径为2 的圆上，
如图，当P在对角线CA 延长线上时，CP最大，
在Rt ABC 中，
6
AB
BC
，
∴
2
2
6 2
AC
AB
BC
，
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即CP长度的最大值为
6 2
2
AC
AP
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻
找点的运动轨迹是本题的关键．
45．某学校计划修建一条400m 标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图．
已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为86m；内圈（第1 道）的长度为400m ，一
共8 条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线
上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度）
(1)内圈（第1 道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留）
(2)如果每条跑道宽1.22m ，求第2 道的全长
2L ，并计算第2 道起跑线比第1 道应前移多少米（结果保留π）；
(3)已知规范要求跑道宽度为1.22
0.01m
，如果实际测量得到第8 道起跑线比第1 道前移了53.38m．请你通
过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（π取3.14）
【答案】(1)114 m
；
(2)
400
2.44
m
，2.44πm ；
(3)该跑道宽度符合规范．理由：
设跑道实际宽度为dm ，第8 条跑道与第1 条跑道的半径差为7dm ，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即
为
2π 7
14π
d
d m
，
∵际测量得到第8 道起跑线比第1 道前移了53.38m．
∴14π
53.38
d
，
解得
1.214
d
m
，
∵规范要求跑道宽度为1.22
0.01m
，
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∴
1.22
0.01
1.22
0.01
m
d
m
，
即1.21
1.23
m
d
m
∵1.21
1.214
1.23
m
m
，
∴该跑道宽度符合规范．
【分析】（1）设内圈（第1 道）半圆形弯道的半径为rm，内圈（第1 道）的长度为400m ，据此列方程并
解方程即可；
（2）先求出第2 道半圆形弯道的半径为
114
1.22
m
，再用直道的长度加上第2 道半圆形弯道的长度即可
得到第2 道的全长，用第2 道的全长减去第1 道的全长即可得到第2 道起跑线比第1 道应前移的长度；
（3）设跑道实际宽度为dm ，第8 条跑道与第1 条跑道的半径差为7dm ，根据起跑线前移为两个跑道的长
度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可．
【详解】（1）解：设内圈（第1 道）半圆形弯道的半径为rm，则
2π
86 2
400
r
，
解得
114
r
，
即内圈（第1 道）半圆形弯道的半径为114 m
；
（2）解：∵每条跑道宽1.22m，
∴第2 道半圆形弯道的半径为
114
1.22
m
，
∴第2 道全长
2
114
86
2
2
1.22
400
2.44
L
m
，
∵
400
2.44
400
2.44
m
，
∴第2 道起跑线比第1 道应前移2.44πm ；
（3）略
1．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（
）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．圆心
【答案】C
【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径，
∴该点在圆外．
2．如图，在直角ABC 中，CD为斜边AB 上的中线，以点D 为圆心，以AB 为直径作
D，则点C 与
D
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的位置关系为（
）
A．点C 在圆外
B．点C 在圆内
C．点C 在圆上
D．不能确定
【答案】C
【分析】已知
D的半径
1
2
r
AB
，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出
1
2
CD
AB
r
，
即可求解．
【详解】解：AB 为直径作
D，
∴
D的半径
1
2
r
AB
∵在直角ABC 中，CD为斜边AB 上的中线，
∴
1
2
CD
AB
r
∴点C 在圆上．
3．如图，点A 、B 为
O 上两点，连接OA、OB ，分别以A 、B 为圆心，以大于1
2 AB 的长为半径作弧，两
弧交于点M ，作射线OM 交
O 于点C ，连接AC 、BC ，若
65
A
，则
AOB
的度数为（
）．
A．90
B．100
C．110
D．120
【答案】B
【分析】由作图可得OM 平分
AOB
，再根据OA
OC
，易得
65
ACO
，利用三角形内角和定理求出
50
AOC
，即可得出结果．
【详解】解：由作图可得OM 平分
AOB
，
∴
2
AOB
AOC
，
∵OA
OC
，
65
A
，
∴
65
ACO
A
，
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∴
180
50
AOC
A
ACO
，
∴
100
AOB
．
4．一个圆形花坛，周长是9.42m，在距花坛边0.5m的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取3.14）（
）
A．9.42m
B．10.42m
C．12.56m
D．15.7m
【答案】C
【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算
栏杆周长．
【详解】解：设花坛半径为1r ，栏杆围成圆的半径为2r ，
∵
1
9.42m
C
，
∴
1
1
9.42
1.5m
2
2 3.14
C
r
，
∵栏杆在距花坛边0.5m的外侧，
∴2
1
0.5
1.5
0.5
2m
r
r
，
∴栏杆周长
2
2
2
2 3.14 2
12.56m
C
r
．
5．已知
O 的半径为5cm，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与
O 的位置关系是（
）
A．点P 在圆上
B．点P 在圆内
C．点P 在圆外
D．无法确定
【答案】B
【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
当d
r
>
时，点在圆外；当d
r
时，点在圆上，当d
r
时，点在圆内．据此解答即可．
【详解】解：∵
O 的半径为5cm，点P 到圆心O 的距离为3cm ，
∴d
r
，
∴点P 与
O 的位置关系是：P 在
O 内．
故选：B．
6．如图，
ABCD 中，
10
DC
，
6
CB
，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB 于点E ；则BE 的长
（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得
6
AD
CB
,
10
AB
DC
,再根据题意得AD
AE
,即可得出答案．
【详解】解：∵在
ABCD 中，
∴
6
AD
CB
,
10
AB
DC
,
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根据题意，得
6
AE
AD
,
∴
10
6
4
BE
AB
AE
．
7．小明把一个半圆平均分成12 份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（
）
A．半圆周长更长
B．新图形的周长更长
C．一样长
D．无法比较．
【答案】C
【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12 份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之
和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长．
8．如图，扇形OAB ，点C 在AB 上．若
60
AOB
，则
ACB
的度数是（
）
A．150
B．140
C．130
D．120
【答案】A
【分析】连接OC ，则OA
OC
OB
，根据等边对等角与三角形内角和定理得到
1
90
2
ACO
AOC
，
1
90
2
BCO
BOC
，根据
ACB
ACO
BCO
即可求出
ACB
的度数．
【详解】解：连接OC ，则OA
OC
OB
，
∴
1
1
180
90
2
2
ACO
OAC
AOC
AOC
，
1
1
180
90
2
2
BCO
OBC
BOC
BOC
，
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∴
1
1
1
90
90
180
2
2
2
ACB
ACO
BCO
AOC
BOC
AOC
BOC
1
1
180
180
60
150
2
2
AOB
．
9．如图，A，B，C 是小区内的三栋楼，现准备在B，C 的中点D 处建造一个5G 基站，若其覆盖范围是一
个半径为200m 的圆，则这三栋楼在该5G 基站覆盖范围内的是（
）
A．只有B
B．只有A、B
C．只有B、C
D．A、B、C
【答案】C
【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出
90
ABC
，再利用勾股定理求出OA，进一步即
可得出答案．
【详解】解：如图，点O 是BC 的中点，
∴
1
1
360
180m
2
2
OB
OC
BC
，
∵
150m
AB
，
360m
BC
，
390m
AC
，
而
2
2
2
150
360
152100
390
，
∴
90
ABC
，
在Rt AOB 中，
150m
AB
，
180m
OB
，
∴
2
2
2
2
150
180
54900
40000
200
OA
AB
OB
m
即
200m
OA
，
又∵
180m
200m
OB
OC
，
∴点B、点C 在圆的内部，点A 在圆的外部．
10．如图，OA是
O 的半径，B 为OA上一点（且不与点O、A 重合），过点B 作OA的垂线交
O 于点C．以
OB 、BC 为边作矩形OBCD，连接BD ．若
10
BD
，
8
BC ，则AB 的长为（
）
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A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【分析】连接OC ，根据矩形的性质得到OC
BD
，进而求出
O 的半径，再利用勾股定理求出OB 长，利
用AB
OA
OB
求解即可．
【详解】解：连接OC ，
四边形OBCD是矩形，
10
OC
BD
、
90
CBO
，
10
OA
OC
，
在Rt OBC 中，由勾股定理得：
2
2
2
2
10
8
6
OB
OC
BC
，
10
6
4
AB
OA
OB
．
11．
O 的半径是5cm，同一平面内，若点P 到点O 的距离是6cm ，则点P 与
O 的位置关系为________．
【答案】点P 在
O 外
【详解】解：已知
O 的半径
5
r
cm
，点P 到圆心O的距离
6
d
cm
，
可得
6
5
d
cm
r
cm
，
因此点P 与
O 的位置关系是点P 在圆外．
12．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为15.7cm（π取
3.14），则这个圆形物体的直径是______cm ．
【答案】
5
【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径．
【详解】由题意得，该圆形物体的周长
15.7
C
cm
，圆的周长公式为
π
C
d
（其中d 为圆的直径，取3.14），
变形得
C
d
，
∵
15.7
C
cm
，
代入数据得
15.7
5
3.14
C
d
cm
．
13．已知矩形ABCD，
4
AB
，
3
AD
，以点A 为圆心，AB 为半径作
A，则点D 在
A_________（填“外”“内”
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或“上”）．
【答案】内
【分析】先确定点D 到圆心A 的距离d 以及
A的半径r，再根据当d 和r 的关系判断点和圆的位置关系即
可．
【详解】解：如图：矩形ABCD，
4
AB
，
3
AD
，以点A 为圆心，AB 为半径作
A，
∴点D 到圆心A 的距离
3
d
，
A的半径
4
r
，
∴d
r
，
∴点D 在
A内．
14．如图，AB 是
O 的弦，
90
AOB
，若
4
OA
，则AB 的长为__________．
【答案】4 2
【分析】由题意得AOB 是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，
4
OA
OB
，
90
AOB
，
AOB
是等腰直角三角形，
2
2
2
2
4
4
4 2
AB
OA
OB
．
15．在平面内，线段
8
AB
，在以AB 为直径的
O 外有一点C，则OC 长度的取值范围为_______．
【答案】
4
OC
【分析】先由直径AB 的长度求出
O 的半径，再根据点C 在
O 外得到OC 的取值范围．
【详解】解：
线段
8
AB
，AB 为
O 的直径，点C 在
O 外，
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O
的半径为1
4
2 AB
，
根据点与圆的位置关系可得，点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径，
4
OC
．
16．如图，已知正方形ABCD，以点A 为圆心，以AB 为半径作
A，则点C 在
A_______．（填“外”或“内”）
【答案】外
【分析】根据正方形的性质得到
2
AC
AB
AB
，于是得到结论．
【详解】解：连接AC ，如图，
∵正方形ABCD的对角线
2
AC
AB
AB
，
∴点C 在
A外．
17．如图，A ，B ，C 是
O 上的点，OC
AB
，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，若
5
OA
，则BC 的长
为______．
【答案】5
【分析】连接OB ，可得OA
OB
，根据垂直平分线的性质可得OB
BC
，即可得出
5
BC
OA
．
【详解】解：如图，连接OB ，
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∵A ，B ，C 是
O 上的点，
∴OA
OB
，
∵OC
AB
，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，
∴AB 是OC 的垂直平分线，
∴OB
BC
，
∴
5
BC
OA
．
18．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知
平行四边形的底是15.7cm ，那么圆形茶杯垫片的面积是_______
2
cm ．（取3.14）
【答案】78.5
【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：
15.7
2
10
3.14
cm
，
∴圆的半径为
1 10
5
2
cm
，
∴圆形茶杯垫片的面积为
2
2
3.14 5
78.5 cm
．
19．如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2 是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之
比是3:1，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________．
【答案】9π : 2
【分析】设圆的直径为3a ，正方形的对角线长为a ，其中
0
a
，分别表示出圆的面积和正方形的面积，即
可求解．
【详解】解：∵圆的直径与正方形的对角线之比是3:1，
∴设圆的直径为3a ，正方形的对角线长为a ，其中
0
a
，
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∴圆的面积
2
2
3
9
2
4
a
a
S
圆
，
正方形的面积
2
1
2
S
a
正方形
，
∴
2
2
9
1
:
:
9 : 2
4
2
a
S
S
a
圆
正方形
．
20．如图，A 为
O 上一点，按以下步骤作图：①连接OA，②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交
O 于
点B；③在射线OB 上截取BC
OB
；④连接AC ．若
2
OA
，则AC 的长为______．
【答案】2 3
【分析】连接AB ，证明
90
OAC
，再利用勾股定理求解．
【详解】解：连接AB ，
由题意得，
2
OA
OB
AB
，
∴AOB 为等边三角形，
60
AOB
ABO
OAB
，
60
C
BAC
，
2
BC
OB
，
,
2
4
BC
AB OC
OB
，
30
ACO
BAC
，
90
OAC
OAB
BAC
，
2
2
2
2
4
2
2 3
AC
OC
OA
．
21．如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是12cm，内圈直径是8cm ，求该零件的横截面积．
【答案】
2
10π
cm
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【分析】本题考查了圆的面积计算方法，该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即可求解．
【详解】外圈半径为
12
2
6 cm
内圈半径为
8
2
4 cm
如图，
该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即
2
2
1
1
6 π
4 π
2
2
2
10π
cm
．
22．已知
O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为d，且d 满足方程
2
4
3
0
x
x
，试判断点P 与
O 的位
置关系．
【答案】点P 在
O 内
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，当d
r
时，点在圆上，当d
r
时，点在圆外，
当d
r
时，点在圆内．掌握点到圆心的距离与圆的半径的关系是关键．
首先解方程
2
4
3
0
x
x
，得
1
x 或
3
x
，即
1
d 或
3
d
．已知
O 的半径
4
r
，根据点与圆的位置关
系判定即可．
【详解】解：∵
2
4
3
0
x
x
，
∴
1
3
0
x
x
，
∴
1
x 或
3
x
，即
1
d 或
3
d
，
∵
O 的半径
4
r
，
∴当
1
d 时，
1
4
d
，点P 在圆内；当
3
d
时，
3
4
d
，点P 也在圆内．
∴点P 在
O 内．
23．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面
圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为
2
64πcm 为了美观，涵涵准备用一个体积为
3
3000cm ，
长、宽、高之比为15:8: 25的长方体纸盒进行包装，如图2．
(1)该圆形团扇的半径为______cm ；
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(2)求该长方体盒子的长．
【答案】(1)8
(2)15cm
【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键；
（1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可；
（2）设长方体盒子的长为15 cm
x
，则宽为8xcm，高为25 cm
x
，根据长方体体积公式解答即可．
【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r．
2
π
64π
r
即
2
64
r
解得
8
r
或
8
r （舍去）
答：该圆形团扇的半径为8cm ．
（2）解：设长方体盒子的长为15 cm
x
，则宽为8xcm，高为25 cm
x
，
15
8
25
3000
x
x
x
，即
3
1
x ．
解得
1
x ．
15
15
x
．
故长方体盒子的长为15cm．
24．如图，AB 是
O 的直径，C，D 是圆上的两点，连接BC ，CD，DA ，OC ，OD ．若OC
AD ，求证：
BOC
COD
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线
的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等．
由OC
AD 得同位角、内错角相等，结合OD
OA
得等腰三角形的角相等，进而转化得到
BOC
COD
【详解】证明：∵OC
AD ，
∴
BOC
OAD
，
COD
ODA
，
∵OD
OA
，
∴
ODA
OAD
，
∴
BOC
COD
．
25．如图，AB 、AC 为
O 的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB 、AC 于点E、F，
B
C
．求证：
CE
BF
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【答案】见解析
【分析】本题考查了圆的基本概念，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是关键．
根据圆的性质，半径相等和对顶角相等、题目条件，证明三角形
EOB
FOC
≌
△
△
，得对应边相等，然后同
时加上半径即可证明．
【详解】解：证明：∵OB ，OC 是
O 的半径，
∴OB
OC
．
又∵
B
C
，
BOE
COF
，
∴
EOB
FOC
≌
△
△
（ASA）．
∴OE
OF
．
∵CE
OC
OE
，BF
OB
OF
，
,
OE
OF OB
OC
∴CE
BF
．
26．如图，在ABC 中，
90 ,
3,
4
C
AC
BC
，以点C 为圆心作
C ，半径为r．
(1)当r 取什么值时，点A，B 都在圆外？
(2)当r 取什么值时，点A 在圆内，点B 在圆外？
【答案】(1)当0
3
r
时，点A，B 都在圆外．
(2)3
4
r
时，点A 在圆内，点B 在圆外．
【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点A
B
、到圆心C 的距离与半径r 的大小关系，从而确定r 的范
围．
（2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点A 在圆内、点B 在圆外时r 的范围，再取交集．
【详解】（1）解：
3,
AC
AC
r
，
当0
3
r
时，点A，B 都在圆外．
（2）解：
3,
4
AC
BC
，
当AC
r
BC
，即3
4
r
时，点A 在圆内，点B 在圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离d 与半径r 的关系：d
r
时点在圆外，d
r
时
点在圆内是解题的关键．
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27．欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6
中给出的，如图，已知
O ，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①点O 为
O 的圆心，点A 为
O 上任意一点，过点
,
A O 作
O 的直径AC ；
②作直径AC 的垂直平分线BD ，分别交
O 交于点
,
B D ；
③连接
,
,
,
A B C D ，即得到
O 的内接正方形ABCD．
(2)若
O 的半径是6，则正方形ABCD的面积为________．
【答案】(1)如图，正方形ABCD即为所求；
(2)72
【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）解：作图见答案，
∵AC 是直径，点O 为
O 的圆心，BD 垂直平分AC ，
∴BD 经过点O，AC
BD
，
∴OA
OB
OC
OD
，BD
AC
∴四边形ABCD是矩形，
∵BD 垂直平分AC ，
∴BC
BA
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：
O 的半径是6，
∴
12
AC
BD
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC
BD
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∴
1
72
2
ABCD
S
AC
BD
正方形
．
28．如图，在
O 中，AB 为直径，点P 为圆内一点，连接PA ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出
BAP
的平分线AC ，交
O 于点C （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若AP
OA
，连接OC ，PC ，求证：四边形AOCP是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AO 、AP 于点M
N
，
，再分别以点M
N
，
为圆
心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线AE 交
O 于点C，则AC 是
BAP
的平分线；
（2）先证明四边形AOCP是平行四边形，再根据AO
OC
可证明四边形AOCP是菱形．
【详解】（1）解：如图，AC 即为所求：
（2）证明：由作图得：
OAC
PAC
，
∵OA
OC
，
∴
OAC
OCA
，
∴
OCA
PAC
，
∴AP
OC ，
∵AP
AO
，AO
OC
∴AP
OC
，
∴四边形AOCP 是平行四边形，
又AO
OC
，
∴四边形AOCP 是菱形．
29．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方
形两种，每种扇面面积均为
2
900cm ．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不
计），如图所示（取3）．
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(1)圆形团扇的半径为________cm ，正方形团扇的边长为_______cm ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1) 300 ，30
(2)圆形扇面所用的包边长度更短，理由见解析
【分析】（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）设圆形团扇的半径为rcm，正方形的边长为bcm，
由题意得：
2
900
r
，
2
900
b
，
3
，
2
300
r
，
30
b
，
300
r
；
（2）圆形扇的周长为：2
2 3
300
6 300cm
r
，
正方形扇的周长为：4
4 30
120cm
b
，
289
300
324
，
17
300
18
，
6 300cm
120cm
，
圆的周长较小，即圆形扇面所用的包边长度更短．
30．操作与探究：如图，在ABC 中，
90
ABC
．
(1)动手操作：
用直尺和圆规按要求作图：①作AC 的垂直平分线MN 交AC 于点O；②以点O 为圆心OC 长为半径作
O ；
③连接BO并延长交
O 于点D，连接AD ，CD（要求：保留作图痕迹，标明字母）．
(2)猜想证明：
在（1）所作的图形中：
①判断点A，B 与
O 的位置关系，并说明理由；
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②判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】(1)如图即为所求．
(2)
解：①点A，B 在
O 上．
理由如下：∵MN 垂直平分AC 于点O，
∴点O 是AC 的中点，
∴
1
2
OA
OC
AC
．
在Rt ABC 中，
90
ABC
，OB 是斜边AC 上的中线，
∴
1
2
OB
AC
．
∴OA
OB
OC
．
∵OC 是
O 的半径，
∴点A，B 在
O 上．
②四边形ABCD是矩形．
理由如下：由作图可知，点D 在
O 上，
∴OD
OC
．
∵OA
OC
，OB
OD
，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵
90
ABC
，
∴
ABCD 是矩形．
【分析】（1）根据题目的操作步骤画图即可；
（2）①根据线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质可得出OA
OB
OC
，即可得证；
②根据OA
OC
，OB
OD
，可证四边形ABCD是平行四边形，结合
90
ABC
，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
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