1 / 79
学科网（北京）股份有限公司
第11 讲圆周角
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 圆周角的概念辨析
题型2 圆周角定理
题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等
题型4 直径所对的圆周角是直角
题型5 90 度的圆周角所对的弦是直径
题型6 已知圆内接四边形求角度
题型7 求四边形外接圆的直径
题型8 圆周角中的最值问题（隐圆）
题型9 圆周角、圆心角辅助线添加问题
题型10 圆周角综合
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
圆周角定理
直径所对的圆周角是
直角
90 度的圆周角所对的
弦是直径
圆内接四边形定理
1. 掌握圆周角的定义，理解并熟记圆周角定理，能区分圆周角与圆心角的数
量关系。
2. 熟练掌握直径与圆周角的推论，明确90°圆周角所对弦为直径，可用于几
何计算与证明。
3. 掌握圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质，精准解决角度求解
问题。
4. 通过定理探究推导，提升数形结合、逻辑推理能力，学会规范几何解题步
骤。
5. 规避定理易错误区，养成严谨审题、规范论证的习惯，提升几何综合解题
2 / 79
学科网（北京）股份有限公司
素养。
学习重点：掌握圆周角定理、直径圆周角推论及圆内接四边形性质，熟练用于角度计算与简单证明。
学习难点：精准识别图形隐含条件，辨析定理适用前提，灵活综合运用性质解决几何难题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 圆心角与弧的定义
圆心角与弧的定义
1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.
要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
3 / 79
学科网（北京）股份有限公司
2. 1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
要点：
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=
.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
即时即练
1．如图，AB 为半圆O的直径，C 为半圆O上一点，D 为弧BC 中点，若弧AC 的度数为40，则
BOD
的
度数为（
）
A．35
B．50
C．60
D．70
【答案】D
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由AC 的度数为40，得到
40
AOC
，由邻补角的性质求出
140
BOC
，由圆心角、弧、弦的关系得到
1
70
2
BOD
COD
BOC
．
【详解】解：∵AC 的度数为40，
40
AOC
，
180
40
140
BOC
，
D 为BC 中点，
1
70
2
BOD
COD
BOC
．
故选：D．
2．如图，AB 是
O 的直径，AC
CD
DE
，若
52.5
BEO
，则
AOC
的度数为__________．
4 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【答案】35/35 度
【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角．
根据等边对等角和三角形的外角可得
105
AOE
，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可．
【详解】解：∵OE
OB
，
∴
52.5
BEO
OBE
，
∴
52.5
52.5
105
AOE
BEO
OEB
，
又∵AC
CD
DE
，
∴
35
AOC
COD
DOE
，
故答案为：35．
3．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
26
A
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点
E ，则BD的度数为___________．
【答案】52/52 度
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．
连接CD，如图，先根据三角形内角和计算出
64
B
，再根据等腰三角形的性质由CB
CD
得到
64
CDB
B
，然后再利用三角形内角和计算出
52
BCD
，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧
的度数求解．
【详解】解：连接CD，如图，
∵
90
C
，
26
A
，
∴
64
B
，
∵CB
CD
，
5 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
64
CDB
B
，
∴
180
64
64
52
BCD
，
∴BD的度数为52，
故答案为：52．
知识点02 圆心角定理及其推论
圆心角定理及推论
1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距
相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，
那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量
相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
即时即练
4．如图，在
O 中，将弦AB 绕圆心O顺时针旋转得到弦CD，若
35
A
，则
COD
的度数为_____．
【答案】110
【分析】先根据圆的半径相等得到OA
OB
，利用等边对等角及三角形内角和定理求出
AOB
的度数，再
根据旋转的性质得到AB
CD
，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解．
【详解】解：
在
O 中，OA
OB
，
35
B
A
，
180
180
35
35
110
AOB
A
B
．
弦AB 绕圆心O顺时针旋转得到弦CD，
AB
CD
，
110
COD
AOB
．
6 / 79
学科网（北京）股份有限公司
5．如图，AB 是
O 的直径，BC 、CD、DA 是
O 的弦，且BC
CD
DA
，则
BOD
________．
【答案】120
【分析】连接OC ，由BC
CD
DA
得到
BOC
COD
DOA
，根据
180
BOC
COD
DOA
，
得到
60
BOC
COD
DOA
，即可解答．
【详解】解：连接OC ，
∵BC
CD
DA
，
∴BC
CD
DA
，
∴
BOC
COD
DOA
，
∵
180
BOC
COD
DOA
，
∴
60
BOC
COD
DOA
，
∴
120
BOD
BOC
COD
6．如图，AB 是
O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．
（1）若
120
AOB
，则
AOC
_________；
（2）若
8
AB
cm
，则AD _________cm ．
【答案】
60
4
【分析】（1）根据C 是AB 的中点可得AC
BC
，易知
1
2
AOC
BOC
AOB
；
7 / 79
学科网（北京）股份有限公司
（2）根据垂径定理可得
1
2
AD
BD
AB
．
【详解】解：∵C 是AB 的中点，
120
AOB
，
∴AC
BC
，
∴
1
60
2
AOC
BOC
AOB
；
∵C 是AB 的中点，OC 过圆心O，
8
AB
cm
，
∴
1
4cm
2
AD
BD
AB
．
故答案为：①60，②4．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
知识点03 圆周角
圆周角
圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
即时即练
7．下列命题中，正确的结论有（
）
①顶点在圆周的角是圆周角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；
③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是
解题的关键．
根据定义和性质逐一判断即可．
【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题①中“顶点在圆周的角”未指定两边都
8 / 79
学科网（北京）股份有限公司
与圆相交，故错误；
由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题②未指定条件，故错误；
由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题③未指定，故错误；
由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题④正确；
∴正确的结论有1个．
故选：A ．
8．下列说法正确的是（
）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．相等的圆周角所对的弧相等
D．等弧所对的弦相等
【答案】D
【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定
义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意；
D、
等弧一定是在同圆或等圆中，
等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意；
故选：D．
9．如图，弦AB 所对的圆周角有_______________________，劣弧AB 所对的圆周角有_________________．
【答案】
ACB
，
ADB
，
AEB
ADB
，
AEB
【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键．
根据圆周角的概念直接得到答案．
【详解】解：弦AB 所对的AB 上的圆周角为
ACB
，所对的ADB 上的圆周角为
ADB
，AEB
，则弦AB 所
对的圆周角有
ACB
，
ADB
，
AEB
；
劣弧AB 所对的圆周角有
ADB
，
AEB
；
故答案为：
ACB
，
ADB
，
AEB
；
ADB
，
AEB
．
9 / 79
学科网（北京）股份有限公司
知识点04 圆周角定理
圆周角定理：
内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条
件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内
部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
即时即练
10．如图，点A ，B ，C 均在
O 上，若
56
ACB
，则
AOB
的度数为____．
【答案】112/112 度
【详解】解：
56
ACB
，AB
AB
，
2
112
A
AOB
CB
．
11．如图，D ，C 是以AB 为直径的圆上两点，已知
39
ABC
，则
D
的度数为__________．
10 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【答案】51/51 度
【分析】作出辅助线，根据直径所对的圆周角为90可得
90
ADB
，再结合圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接AD ，如图，
∵AB 为圆的直径，
∴
90
ADB
，
∵
39
ADC
ABC
，
∴
90
39
51
D
CDB
．
12．如图，AB 为
O 的直径，点D 是弦AC 延长线上一点，AC
CD
，连接DB 并延长，交
O 于点E，
连接CE ．
(1)求证：CE
CD
；
(2)若AE 所对圆心角的度数为108，求
E
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)27
【分析】
（1）连接BC ，根据AB 为
O 的直径，得出
90
ACB
，根据AC
CD
，得出BA
BD
，则
A
D
，
根据同弧所对的圆周角相等得出
A
CED
，进而可得
CED
D
，即可证明CE
CD
；
（2）连接OE ，依题意
108
AOE
，根据圆周角定理可得
54
ACE
，根据三角形的外角的性质以及（1）
的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接BC ．
∵AB 是直径，
∴
90
ACB
，
11 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴BC
AD
．
又∵AC
CD
，
∴BA
BD
，
∴
A
D
．
∵
A
CED
，
∴
CED
D
，
∴CE
CD
．
（2）解：如图，连接OE
∵
108
AOE
，
∴
54
ACE
．
∵
,
ACE
CED
D
CED
D
，
∴
1
27
2
CED
ECA
．
知识点05 圆内接四边形及其性质
圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形
的外接圆.
圆内接四边形性质定理
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
即时即练
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O 经过点
, ,
A B C ，与CD 相交于点E ，连接AE ．若
75
B
，
则
DAE
的度数为（
）
12 / 79
学科网（北京）股份有限公司
A．25
B．30
C．35
D．40
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得
75
B
D
，再根据圆内接四边形的性质得
105
AEC
，然后根据
三角形外角的性质得
AEC
DAE
D
，则此题可解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
75
B
，
∴
75
B
D
．
∵四边形ABCE 是
O 的内接四边形，
∴
180
B
AEC
，
∴
105
AEC
．
∵
AEC
是ADE 的外角，
∴
AEC
DAE
D
，
即105
75
DAE
，
∴
30
DAE
．
14．如图，四边形ABCD内接于
O ，
60
ABC
，
90
DAB
，C 为BD的中点，则
ACD
________．
【答案】15
【分析】先根据圆的内接四边形求解
120
ADC
，然后根据圆周角定理求解
1
45
2
CAD
CAB
DAB
，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
ABC
ADC
，
∵
60
ABC
，
∴
120
ADC
，
∵C 为BD的中点，
90
DAB
，
∴
1
45
2
CAD
CAB
DAB
，
13 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
180
15
ACD
CAD
ADC
．
15．如图，已知四边形ABCD内接于
O ，连接BD ，
105
BAD
，
75
DBC
．
(1)求证：BD
CD
；
(2)若
O 的半径为5，求BC 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)5．
【分析】（1）由内接四边形性质可得
180
C
BAD
，从而有
75
DBC
C
，然后通过等角对等
边即可求证；
（2 ）连接OB
OC
、
，通过三角形内角和定理可得
30
BDC
，由圆周角定理得
60
BOC
，然后证明
BOC 为等边三角形，再根据等边三角形性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
C
BAD
，
∵
105
BAD
，
∴
180
105
75
C
，
∵
75
DBC
，
∴
DBC
C
，
∴BD
CD
；
（2）解：连接OB
OC
、
，
由（1）可知，
75
DBC
DCB
，
∴
180
75
75
30
BDC
，
由圆周角定理得，
60
BOC
，
∵OB
OC
，
∴BOC 为等边三角形，
14 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
5
BC
OB
．
题型1 圆周角的概念辨析
1．下列说法正确的是（
）
A．顶点在圆周上的角叫做圆周角
B．两边都和圆相交的角叫做圆周角
C．等于圆心角一半的角叫做圆周角
D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键．
根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意；
故选：D．
2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在
圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角
的定义解答即可．
【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故选：B．
15 / 79
学科网（北京）股份有限公司
3．如图，在半圆O 中，AB 为直径，下列四个选项中BC 所对的圆周角是（
）
A．
BEC
B．
DCE
C．
ABC
D．
CDE
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相
交的角叫做圆周角是解题的关键．
【详解】解：BC 所对的圆周角是
CDE
与
CAB
，
故选：D．
4．如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得
出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：
1
和
3
符合圆周角的定义，
2
顶点不在圆周上，
4
的一边和圆不想交，
故图中的圆周角有
1
和
3
，共2 个，
故选：B．
5．如图，A，B，C，D，E 是⊙O 上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是_____________．
【答案】
6
∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.
【详解】根据题意可知图中共有6 个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
16 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
题型2 圆周角定理
6．如图，
O 是ABC 的外接圆，连接OA、OC ．若AOC 为等边三角形，则
ABC
的度数是（
）
A．20
B．30
C．50
D．60
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得到
AOC
的度数，再由圆周角定理即可得到
ABC
的度数．
【详解】解：∵AOC 为等边三角形，
∴
60
AOC
，
∵AC
AC
，
∴
1
30
2
ABC
AOC
．
7．如图，已知A、B、C 都在圆O 上，
35
C
，则
AOB
的度数是（
）
A．75
B．70
C．60
D．35
【答案】B
【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算
AOB
的度数即可．
【详解】解：弧AB 所对的圆周角是
C
，圆心角是
AOB
，
已知
35
C
，由圆周角定理可得
2
2 35
70
AOB
C
．
8．如图OA，OB ，OC 都是
O 的半径，
2
AOB
BOC
，AC 平分
OAB
，则
AOC
________°．
【答案】135
17 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【分析】设
BOC
，先利用圆周角定理求出
CAB
，根据
2
AOB
BOC
，求出
AOB
，再利用等边
对等角以及角平分线的定义列方程求解即可．
【详解】解：设
BOC
，
∴
2
2
AOB
BOC
，
1
1
2
2
CAB
BOC
，
∵OA
OB
，
∴
1 180
2
90
2
OAB
，
∵AC 平分
OAB
，
∴
1
90
2
2
，
解得
45
，
∴
2
3
135
AOC
．
9．如图，在
O 中，AB 是直径，点C 在
O 上，且OC
AB
，连接AD ，CD．若
32
OCD
，则
A
的
度数是______．
【答案】13
【分析】连接OD ，根据等边对等角可得
32
ODC
OCD
，再根据三角形内角和定理可得
116
COD
，
结合OC
AB
可求出
26
DOB
，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OD ，如图，
则OC
OD
，
∴
32
ODC
OCD
，
在OCD中，
180
180
32
32
116
COD
OCD
ODC
，
∵OC
AB
，
90
COB
，
∴
116
90
26
DOB
COD
COB
，
18 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
1 26
13
2
2
A
DOB
．
10．如图，
A
是
O 的圆周角，
40
A
．求
OBC
的大小．
【答案】50
【分析】先根据圆周角定理求出
BOC
，再根据等边对等角得出答案．
【详解】解：∵
40
A
，
∴
2
80
BOC
A
．
∵BO
CO
，
∴
180
80
50
2
OBC
OCB
．
【易错警示】
运用圆周角定理时，易忽略同弧或等弧的前提，随意判定圆周角相等。混淆圆周角与圆心角倍数关系，误
用角度公式。易错点还有忽视直径所对圆周角为直角、圆内接四边形性质，遗漏分类讨论导致解题出错。
题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等
11．如图，在
O 中，弦AB ，CD相交于点P ，若
20
C
，
130
CPA
，则
D
的度数是（
）
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】B
【分析】
B
和
C
对应同一段弧AD ，故
20
B
，又
130
CPA
，在PBD 中，
30
D
．
【详解】解：
B
和
C
对应同一段弧AD ，
20
B
C
，
在PBD 中，
180
180
130
20
30
D
BPD
B
．
19 / 79
学科网（北京）股份有限公司
12．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是
O 上的两点，设
58
D
，则
ABC
的度数为（
）
A．42
B．58
C．64
D．32
【答案】DD
【详解】解：∵AC
AC
，
58
D
，
∴
58
A
D
．
又∵AB 是
O 的直径
∴
90
ACB
，
∴
90
32
ABC
A
13．如图，
O 的直径CD 弦EF ，垂足为点G ，
58
EOD
，则
DCF
______．
【答案】29
【分析】根据垂径定理得DE
DF
，继而得到
1
2
DCF
EOD
，可得答案．
【详解】解：∵
O 的直径CD 弦EF ，
58
EOD
，
∴DE
DF
，
∴
1
1
58
29
2
2
DCF
EOD
．
14．如图，点A、B 在
O 上，点C 是劣弧AB 的中点，若
50
AOC
，则
CDB
的度数为____．
【答案】25
20 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【分析】由点C 是劣弧AB 的中点，得到AC
BC
，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接AD ，
则
1
2
CDA
AOC
，
∵点C 是劣弧AB 的中点，
∴AC
BC
，
CDA
CDB
，
∴
1
2
CDB
AOC
，
∵
50
AOC
，
∴
25
CDB
．
15．如图，在
O 中，直径AB 与弦CD相交于点P，
40
CAB
，
66
APD
．
(1)求
B
的大小；
(2)已知圆心O 到BD 的距离为4，求AD 的长．
【答案】(1)26
(2)8
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得
40
CAB
CDB
，根据三角形外角性质求解即可；
（2）过点O 作OE
BD
于点E，则
4
OE
，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解．
【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到
40
CAB
CDB
，
∵
66
APD
，
APD
B
CDB
，
∴
66
40
26
B
；
（2）解：过点O 作OE
BD
于点E，则圆心O 到BD 的距离
4
OE
，BE
DE
，
21 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵O 是AB 的中点，
∴OE 是ABD 的中位线，
∴
2
8
AD
OE
．
题型4 直径所对的圆周角是直角
16．如图，四边形ABCD内接于
O ，AB 是
O 的直径，点E 在
O 上，且
40
BEC
，则
ADC
的度数
为（
）
A．120
B．130
C．135
D．140
【答案】B
【分析】连接AC ，根据同弧所对的圆周角相等求出
BAC
，根据直径所对的圆周角是直角求出
ACB
，进
而求出
ABC
，最后利用圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】如图，连接AC ，
∵
BEC
与
BAC
对着同一条弧BC ，
∴
40
BAC
BEC
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
，
∴
90
90
40
50
ABC
BAC
，
∵四边形ABCD内接于
O ，
22 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
180
ADC
ABC
，
∴
180
50
130
ADC
．
17．如图，ABC 内接于
O ，AB 是
O 的直径，点D 是AB 的中点，连接CD交OA于点E，若
15
ABC
，
则
AEC
的度数为（
）
A．60
B．40
C．50
D．70
【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到
15
ABC
，进而得到
75
CAE
，根据D 是AB 的中点，可得
45
DCA
，
最后利用三角形外角的性质即可求出
AEC
．
【详解】解：
AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
，
∵
15
ABC
，
∴
75
CAE
，
∵点D 是AB 的中点，
1
45
2
DCA
DCB
ACB
，
180
75
45
60
AEC
．
18．如图，AB 是
O 的直径，C ，D ，E 是
O 上的点，BC
DE
，CE 交AB 于点F ．若
43
A
，则
BFC
的大小为_______°．
【答案】47
【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，
BD
EC
∥
得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导
BFC
的大小．
【详解】解：
AB 是
O 的直径，
90
ADB
，
23 / 79
学科网（北京）股份有限公司
43
A
，
47
B
，
BC
DE
，
BDC
C
，
BD
EC
，
47
BFC
B
．
19．如图，AB 为
O 的直径，
O 上的点C，D 在直径AB 的两侧，E 为直径AB 上一点，且DE
AB
，已
知
65
C
，则
ADE
的度数为______．
【答案】65
【分析】连接BD ，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得
65
C
ABD
，结合DE
AB
求得
25
BDE
，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得
90
ADB
，然后由
ADE
ADB
BDE
求解即
可．
【详解】解：如下图，连接BD ，
∵AD
AD
，
65
C
，
∴
65
C
ABD
，
∵DE
AB
，
∴
90
25
BDE
ABD
，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
，
∴
90
25
65
ADE
ADB
BDE
．
20．如图，AB 是半圆O的直径，C 为半圆O上一点，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点M ，
交BC 于点N ，分别以点M ，N 为圆心，大于1
2 MN 的长为半径画弧，两弧在
ABC
的内部相交于点D ，
24 / 79
学科网（北京）股份有限公司
画射线BD ，连接AC ．
(1)求证：BD 平分
ABC
；
(2)若
50
CAB
，求
CBD
的度数．
【答案】(1)证明：如图：连接
,
DN DM ，
由题意得：BN
BM
，DN
DM
，BD
BD
SSS
BND
BMD
≌
CBD
ABD
BD
平分
ABC
．
(2)
20
CBD
【分析】（1）如图：连接
,
DN DM ，根据作图过程可知BN
BM
，DN
DM
，BD
BD
，可证BND
BMD
≌
可得
CBD
ABD
即可证明结论；
（2）由圆周角定理可得
90
ACB
，再根据直角三角形两锐角互余可得
40
ABC
，再根据角平分线的
定义求解即可．
【详解】（1）证明：略．
（2）解：
AB 是半圆O的直径，
90
ACB
，
50
CAB
90
90
50
40
ABC
CAB
，
由（1）可得：BD 平分
ABC
1
1
40
20
2
2
CBD
ABC
，即
CBD
的度数为20．
【易错警示】
使用直径所对圆周角为直角解题时，易错用非直径弦构造直角，误用直角结论。忽略直角顶点必须在圆上
的核心条件，不会主动连接直径端点构直角三角形，遗漏隐性条件，造成几何推理与计算失误。
题型5 90 度的圆周角所对的弦是直径
25 / 79
学科网（北京）股份有限公司
21．如图，四边形ABCD中，
90
BAD
BCD
，
40
BAC
，则
CBD
的度数为（
）
A．40
B．45
C．50
D．55
【答案】C
【分析】根据直角确定四点A
B
C
D
、、、
共圆，然后根据圆周角定理求解．
【详解】解：如图所示，
∵
90
BAD
BCD
，
∴四点A
B
C
D
、、、
共圆，
∵
40
BAC
，
∴
50
CAD
BA
C
D
BA
，
∵
CBD
与
CAD
所对的弧为CD，
∴
50
CAD
CBD
．
22．如图，四边形ABCD内接于
O ，已知
90
BAD
BCD
，AD
CD
，且
120
ADC
，若点E 为
弧BC 的中点，连接DE ，则
CDE
的大小是（
）
A．30
B．45
C．40
D．35
【答案】A
【分析】连接BD ，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出
CDE
的大小．
【详解】解：连接BD ，如下图所示：
26 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵
90
BAD
BCD
，
∴BD 为
O 的直径，
∵AD
DC
，
∴AD
DC
，
∴AB
BC
，
∵优弧ABC 所对圆周角为
120
ADC
，
∴
1
60
2
ADB
BDC
ADC
，
又∵点E 为弧BC 的中点，
∴BE
EC
，
∴
1
30
2
BDE
CDE
BDC
．
23．如图，Rt ACB 的斜边与半圆的直径AB 重合放置，
90
ACB
，点M 为AB 上任意一点，连接CM 并
延长交半圆于点N ，连接BN ，若
40
ABC
，则
BNC
的度数为（
）
A．60
B．55
C．50
D．30
【答案】C
【分析】根据
90
ACB
，Rt ACB 的斜边与半圆的直径AB 重合，可知点C 在以点O为圆心的圆上，由
40
ABC
，得
BAC
50
，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵
90
ACB
，Rt ACB 的斜边与半圆的直径AB 重合，
∴点C 在以点O为圆心的圆上，
∵
40
ABC
，
∴
180
40
90
50
BAC
，
∵»
»
CB
CB
，
27 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
50
BNC
BAC
．
24．如图，
A过原点O，分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，点B 在
A上，已知
30 ,
B
A
的半径为
2，则圆心A 的坐标是______
【答案】
3,1
【分析】如图，连接CD，证明CD为
A的直径，可得
4
CD
，
1
2
2
OD
CD
，
2
2
2 3
OC
CD
DO
，
可得
0,2
D
，
2 3,0
C
，进一步可得答案．
【详解】解：如图，连接CD，
∵
30
B
，
∴
30
DCO
B
，
∵
90
DOC
，
∴CD为
A的直径，
∵
A的半径为2，
∴
4
CD
，
1
2
2
OD
CD
，
2
2
2 3
OC
CD
DO
，
∴
0,2
D
，
2 3,0
C
，
∵A 为CD的中点，
∴
3,1
A
．
25．如图，点, , ,
A P B C 在圆上，
60
APC
CPB
，连接
,
,
AB BC AC ．
28 / 79
学科网（北京）股份有限公司
(1)判断ABC 的形状，并证明你的结论．
(2)若
90 ,
2 3
PAC
AC
，求圆的半径．
【答案】(1) ABC 是等边三角形．证明见解析
(2) 2
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得
60
ABC
BAC
，进而可得出结论；
（2）根据90的圆周角所对的弦是直径，得出PC 是直径，再结合第（1）问的结论，可得PAC 是含30的
直角三角形，列方程求解即可．
【详解】（1）解：ABC 是等边三角形．
证明：
60
APC
，
60
ABC
APC
．
同理，
60
BAC
CPB
，
60
ABC
BAC
ACB
，
ABC
是等边三角形．
（2）解：由（1），得
2 3
AC
AB
．
90
PAC
，
线段PC 为圆的直径．
在Rt PAC 中，
60 ,
2 3
APC
AC
，
∴
1
2
AP
PC
，
设
2
PC
r
，则AP
r
，
∵
2
2
2
AP
AC
PC
，
即
2
2
2
2 3
2
r
r
，
解得：
2
r
，
∴圆的半径是2 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键．
【易错警示】
运用该定理时，容易忽略角的顶点必须在圆上，误将圆外直角对应弦当作直径。混淆定理正反推导逻辑，
29 / 79
学科网（北京）股份有限公司
仅凭直角直接判定弦为直径，缺少圆周角前提验证，造成几何判断错误。
题型6 已知圆内接四边形求角度
26．如图，点A、B、C、D 在
O 上，若1
2
110
，则
B
的度数为（
）
A．55
B．60
C．65
D．70
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质可得
180
D
B
，再根据圆周角定理可得
2
AOC
B
，再结合题
目已知进行列方程组求解即可．
【详解】解：在四边形AOCD 中，
1
2
360
D
AOC
，
∵
1
2
110
，
∴
250
D
AOC
，
由图可得，
2
AOC
B
，且
180
D
B
，
∴
2
250
180
D
B
D
B
，
解得
110
70
D
B
．
27．如图，在
O 中，AB
CD ，
100
BCD
，E 为
O 上的任意一点，A ，B ，C ，D 是
O 上的四个
点，则
AEC
的角度为（
）
A．110
B．70
C．80
D．100
【答案】D
【分析】根据平行线的性质求出
ABC
的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵
,
100
AB
CD
BCD
，
∴
180
80
ABC
BCD
，
∵四边形AECB 是圆内接四边形，
30 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
180
AEC
ABC
，
∴
100
AEC
．
28．如图，四边形ABCD内接于
O ，AB 是
O 的直径，点E 是AB 下方
O 上一点．若
130
C
，则
AED
的大小为________．
【答案】40/40 度
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出
DAB
的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出
90
ADB
，在直角三角形中求出
ABD
的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解．
【详解】如图，连接BD ，
∵四边形ABCD内接于
O ，
∴
180
DAB
C
，
∵
130
C
，
∴
180
130
50
DAB
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
，
在Rt ABD 中，
90
90
50
40
ABD
DAB
，
∵
AED
与
ABD
都是AD 所对的圆周角，
∴
40
AED
ABD
∠
∠
．
29．如图，AB 是
O 的直径，D ，E 为
O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD
BD
，
连接AC 交
O 于点F ，连接AE ，DE ，DF ．
31 / 79
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：
CFD
C
；
(2)若
50
E
，求
BDF
的度数．
【答案】(1)证明：连接BF ，
AB 为
O 的直径，
90
AFB
，
180
90
CFB
AFB
，
BD
CD
，
CD
DF
BD
，
C
CFD
；
(2)100
【分析】（1）连接BF ，根据圆周角定理求出
90
AFB
，求出
90
CFB
，根据直角三角形斜边上的中
线性质得出CD
DF
BD
，求出
C
CFD
即可；
（2）求出
50
C
CFD
E
，根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
180
E
AFD
，
180
CFD
AFD
∴
E
CFD
，
50
E
，
50
C
CFD
E
，
50
50
100
BDF
C
CFD
．
30．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，点M 在
O 上，MD 恰好经过圆心O，连接MB ．
32 / 79
学科网（北京）股份有限公司
(1)若
2
D
M
，求
D
的度数；
(2)若弦CD分
O 为5:7 的两部分，点F 在
O 上，求弦CD所对的圆周角
CFD
的度数．
【答案】(1)45
(2)75或105
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到
2
DOB
B
M
M
，再根据三角
形的内角和定理，结合已知求得
22.5
M
，进而可求解；
（2）先根据弧和圆心角的关系求得
5
360
150
5
7
COD
，再分点F 在优弧CAD 上和点F 在劣弧CD
上，利用圆周角定理求解即可．
【详解】（1）解：∵OM
OB
，
∴
B
M
，
∴
2
DOB
B
M
M
，
∵CD
AB
，则
90
DOB
D
，而
2
D
M
，
∴2
2
90
M
M
，
∵
22.5
M
，
2
D
M
，
∴
45
D
.
（2）解：如图，连接OC 、CF 、DF ，
∵CD分
O 为5:7 的两部分，
∴
5
360
150
5
7
COD
，
若点F 在优弧CAD 上，
33 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
75
2
CFD
COD
；
若点F 在劣弧CD上，
∴
180
75
105
CFD
．
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理
及外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系和运用是解答的关键．
【易错警示】
求解圆内接四边形角度时，易记错对角互补核心性质，误用外角等于内对角结论。常混淆内角、外角关系，
忽略四点共圆前提乱套公式，不区分邻角与对角，导致角度计算出现偏差、推理失误。
题型7 求四边形外接圆的直径
31．如图，四边形ABCD内接于
O ，BC 是直径，连接AC 、若
150
ADC
，点O到AC 的距离为2 3 ，
则
O 的半径长为（
）
A．2
B．6
C．4
D．8
【答案】C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含30角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周
角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明OD
AB ，结合圆内接四边形的性质得到
30
DOC
B
，
再利用含30角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：
四边形ABCD内接于
O ，BC 是直径，
90
BAC
，
OD
AC
，且
2 3
OD
，
90
ODC
BAC
，
OD
AB
，
150
ADC
，
180
150
30
B
，
30
DOC
B
，
1
2
DC
OC
，
34 / 79
学科网（北京）股份有限公司
2
2
2
OD
DC
OC
，即
2
2
2
1
2
OD
OC
OC
，
2
2
2
1
2 3
2 OC
OC
，
解得
4
OC
，
则
O 的半径长为4 ；
故选：C．
32．如图，
C 过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A 的坐标为
0,4 ，点M 是第三象限内圆
上一点，
120
BMO
，则
C 的半径为（
）
A．4
B．5
C．6 3
D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含30角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，
根据圆内接四边形对角互补得到
60
BAO
，再由90的圆周角所对的弦是直径得到AB 是直径，求出
4
OA
，进而求出
2
8
AB
OA
，是解题的关键．
【详解】解：∵O、A 、B 、M 都在圆上，
120
BMO
，
∴
180
60
BAO
BMO
∠
，
∵
90
BOA
，
∴AB 是
C 的直径，
30
ABO
，
∵
0,4
A
，
∴
4
OA
，
∴
2
8
AB
OA
，
∴
C 的半径为4，
故选：A．
33．如图，将正方形ABCD放在边长为1的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均落在格点上，能够完全覆盖
正方形ABCD的最小圆面的半径是______．
35 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【答案】13
【分析】根据题意得出正方形ABCD的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方
形的最小圆面的半径．
【详解】解：如图所示：点O 为正方形ABCD的外接圆圆心，则AO 为外接圆半径，
故能够完全覆盖正方形ABCD的最小圆面的半径是13
故答案为：13
【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置．
34．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，E 为BC 延长线上一点，BD
AD
．
(1)如图①，若
60
DCE
，求证：ABD 为等边三角形；
(2)如图②，对角线AC ，BD 交于点F ，AC
BD
，若
3
DF
，
4
AF
，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 5 5
4
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出
180
BCD
BAD
，结合
180
BCD
DCE
，推出
36 / 79
学科网（北京）股份有限公司
60
DCE
BAD
，即可证明；
（2）作DH
AB
于H ，根据等腰三角形三线合一的性质得出AH
BH
，即可得出DH 过圆心O，利用勾
股定理求得AD ，进一步求得AB ，DH ，连接OB ，设
O 的半径为r ，则
2 5
OH
DH
OD
r
，在
Rt BOH 中，由
2
2
2
OB
BH
OH
得出关于r 的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：
四边形ABCD是
O 的内接四边形，
180
BCD
BAD
，
180
BCD
DCE
，
60
DCE
BAD
，
BD
AD
，
ABD 为等边三角形；
（2）解：如图，作DH
AB
于H ，
BD
AD
，
AH
BH
，
DH 过圆心O，
AC
BD
，
3
DF
，
4
AF
，
2
2
5
BD
AD
DF
AF
，
5
3
2
BF
BD
DF
，
2
2
2
2
2
4
2 5
AB
BF
AF
，
1
5
2
BH
AB
，
2
2
2
25
5
2 5
DH
BD
BH
，
连接OB ，设
O 的半径为r ，则
2 5
OH
DH
OD
r
，
在Rt BOH 中，
2
2
2
OB
BH
OH
，
2
2
2
5
2 5
r
r
，
解得：
5 5
4
r
，
O 的半径为5 5
4
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判断，勾股定理，解题的关键是正
37 / 79
学科网（北京）股份有限公司
确作出辅助线．
35．如图，四边形ABCD内接于
O ，AD 为直径，
5
BC
CD
，
5 5
AD
，E 为对角线AC 上一动点，
连结BE 并延长交
O 于点F．
(1)若BF
AD
，求证：
ABF
ACB
；
(2)求四边形ABCD的面积；
【答案】(1)见解析
(2)40
【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识；
（1）先根据垂径定理可得：AB
AF
，再由圆周角定理可得结论；
（2）如图1，过点C 分别作AD 和AB 的垂线，垂足分别为G ，H ，证明Rt
Rt
(HL)
CGD
CHB
≌
，则四边
形ABCD的面积四边形CGAH 的面积，可以解答．
【详解】（1）证明：
AD 为直径，BF
AD
，
AB
AF
，
ABF
ACB
；
（2）解：如图1，过点C 分别作AD 和AB 的垂线，垂足分别为G ，H ，
CD
BC
，
CD
BC
，
CAD
BAC
，
CG
CH
，
Rt
Rt
(HL)
CGD
CHB
≌
，
四边形ABCD的面积四边形CGAH 的面积，
CG
CH
，AC
AC
，
38 / 79
学科网（北京）股份有限公司
Rt
Rt
(HL)
ACG
ACH
≌
，
ACG
ACH
S
S
，
AD 是直径，
90
ACD
，
5 5
AD
，
5
CD
，
2
2
2
2
(5 5)
5
10
AC
AD
CD
，
1
1
2
2
ACD
S
AC CD
AD CG
，
1
1
5 10
5 5
2
2
CG
，
2 5
CG
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
10
(2 5)
4 5
AG
AC
CG
，
四边形ABCD的面积四边形CGAH 的面积
1
2
2
2 5
4 5
40
2
ACG
S
．
题型8 圆周角中的最值问题（隐圆）
36．如图，ABC 中，
10
AC
BC
，点P 为ABC 的边上或内部一动点，满足
90
APB
，连接CP ，若
CP 的最小值是2 ，则CP 的最大值是（
）
A．2.4
B．2.8
C．3
D．3.2
【答案】B
【分析】根据
90
APB
，可知点P 在以AB 为直径的
O 上，根据CP 的最小值是2 ，求出
12
AB
，因为
当点P 在AC 上时，CP 最大，利用勾股定理可得方程设CP
y
，则
10
AP
y
，解方程求出y 的值即为CP
的最大值．
【详解】解：如下图所示，
90
APB
，
点P 在以AB 为直径的
O 上，
当点P 在OC 上时，CP 最小，
OA 、OP 是
O 的半径，
OA
OP
，
39 / 79
学科网（北京）股份有限公司
设OA
OP
x
，则
2
OC
CP
OP
x
，
AC
BC
，点O是AB 的中点，
OC
AB
，
在Rt AOC 中，
2
2
2
OA
OC
AC
，
2
2
2
2
10
x
x
，
解得：
6
x
，
12
AB
，
当点P 在AC 上时，CP 最大，
设CP
y
，则
10
AP
y
，
2
2
2
2
2
AB
AP
BP
BC
CP
，
即
2
2
2
2
12
10
10
y
y
，
解得：
2.8
y
．
37．如图，在正方形ABCD中，
4
AB
，点E，F 分别在CD
AD
，
上，CE
DF
BE
CF
，
，
相交于点G，连
结DG ．当点E 从点C 运动到点D 的过程中，DG 的最小值为（
）
A．2
B．2 5
2
C．4
D．2 5
【答案】B
【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合CE
DF
证明BCE
CDF
≌
，进而推出
90
CGB
，从而确定点G 的运动轨迹是以BC 为直径的圆弧，将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆
上一点的最短距离问题，当O，G，D 共线时，DG 有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴
,
90
BC
CD
BCE
CDF
，
在Rt BCE 和Rt CDF 中，
40 / 79
学科网（北京）股份有限公司
BC
CD
BCE
CDF
CE
DF
∴
BCE
CDF SAS
≌
，
∴
EBC
FCD
，
∵
90
FCD
BCG
，
∴
90
CBE
BCG
，
∴
90
CGB
，
∴点G 的运动轨迹是以BC 为直径的圆弧，当O，G，D 共线时，DG 有最小值，
如图，以BC 为直径作
O ，连接OG ，
在正方形ABCD中，
4
AB
，
∴
2,
4
OC
CD
AB
，
∴
2
2
2
2
4
2
2 5
OD
CD
OC
，
∴
2 5
2
DG
OD
OG
，
即DG 的最小值为2 5
2
．
【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心．
38．如图，点D 在半圆O 上，半径
91
OB
，
12
AD
，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，H 是AC 上一点，
90
DHC
，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【分析】根据题意，得到点H 在以点G 为圆心的DE 上运动，当点
,
,
G H B 三点共线时，BH 的值最小，由
半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到
2 55,
16
BD
BG
，由此即可求解．
【详解】解：∵
90
DHC
DHA
，
41 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴当点C 在BD上运动时，点H 在以AD 为直径的圆弧上运动，该弧交
O 于点D ，与AB 交于点E ，如图
所示，
取线段AD 的中点为G ，连接
,
,
GH GB BD ，
∴点H 在以点G 为圆心的DE 上运动，
在Rt ADH 中，
90
AHD
，点G 为AD 中点，
12
AD
，
∴
1
6
2
GH
DG
AG
AD
，
∵GH
HB
BG
，
∴当点
,
,
G H B 三点共线时，BH 的值最小，
在
O 中，AB 是直径，则
2
2 91
AB
OB
，
∴
90
ADB
，
∴
2
2
2
2
2
12
2 55
91
BD
AB
AD
，
在Rt BDG 中，
2
2
2
2
2 55
1
6
6
BG
DG
BD
，
∴
16
6
10
BH
BG
GH
，
∴BH 的最小值是10．
39．边长为4 的正方形ABCD中，点E，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且BE
CF
，AE 与BF 相交于点
G，当CG 长最小时，BE 的长是______
【答案】2 5
2
【分析】根据题意可证得ABE
BCF
≌
，则
90
AGB
，从而可以确定G 在以AB 的直径的圆上运动，
取AB 的中点O，连接OC ，则当C
G
O
，，
共线时，CG 的值最小，据此可求得
3 5
3
CG
，进一步即可
求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB
CB
，
90
ABC
BCD
，
42 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵BE
CF
，
∴
ABE
BCF SAS
≌
，
∴
BAE
CBF
，
∵
90
ABG
CBF
，
∴
90
BAE
ABG
，
∴
90
AGB
，
则G 在以AB 的直径的圆上运动，
如图，以AB 的直径画
O ，连接OC ，与圆交于点G，延长AG交BC 于E，连接BG并延长，交CD于
点F，
当C
G
O
，，
共线时，CG 长度最小，此时BE即为所求，
2
OB
，
4
BC
，
∴
2
2
2 5
OC
OB
BC
，
又∵
O 的半径为2，
∴
2 5
2
CG
OC
OG
，
∵OB
OG
，
∴
OBG
OG B
，
∵AB
CD ，
∴
CF G
OBG
，
∵
OG B
F G C
，
∴
CG F
CF G
，
∴
2 5
2
CG
CF
，
∵ABE
BCF
≌
，
∴
2 5
2
BE
CF
．
40．如图，矩形ABCD中，
7
AB
，
12
AD
，P 为BC 边的中点，M，N 分别为边AB ，CD上的动点．若
120
MPN
，则BM
CN
的最小值为__________．
43 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【答案】4 3
【分析】延长MP 交NC 的延长线与点M ，由矩形的性质得出
90
B
DCP
，
12
AD
BC
，
6
BP
PC
，证明
BPM
CPM
SAS
≌
，由全等三角形的性质得出BM
CM
，进而可得出
BM
CN
CM
CN
M N
，再得出
60
NPM
，作PM N的外接圆，连接PO，M O，ON ，由圆周
角定理得出
120
M ON
，过点O 作OH
MN
，由等腰三角形的性质和含30 度直角三角形的性质得出
2
2 3
M N
M H
x
，故当点P，点O，和点H 三点共线时，x 最小，
此时PH
PO
OH
PC
，即2
6
x
x
，求出x 的值，即可进一步求出答案．
【详解】解：延长MP 交NC 的延长线与点M ，
∵矩形ABCD中，
7
AB
，
12
AD
，P 为BC 边的中点，
∴
90
B
DCP
，
12
AD
BC
，
6
BP
PC
，
∴
90
B
PCM
，
在BPM 和CPM中，
B
PCM
BP
CP
MPB
M PC
，
∴
BPM
CPM
SAS
≌
，
∴BM
CM
，
∴BM
CN
CM
CN
M N
，
∵
120
MPN
，
∴
60
BPM
NPC
，
∴
60
CPM
NPC
，即
60
NPM
，
作PM N的外接圆，连接PO，M O，ON ，
∵
60
NPM
，
∴
120
M ON
，
过点O 作OH
MN
，
44 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵OM
ON
，
∴
60
M OH
，
2
M N
M H
，
∴
30
OM H
设OH
x
，则
2
OM
OP
x
，
∴
2
2
3
M H
M O
OH
x
，
∴
2
2 3
M N
M H
x
，
要使M N最小，则x 最小，
故当点P，点O，和点H 三点共线时，x 最小，
此时PH
PO
OH
PC
，即2
6
x
x
，
解得
2
x
，
∴
2 3
4 3
M N
x
，
即BM
CN
的最小值为4 3 ．
题型9 圆周角、圆心角辅助线添加问题
41．如图，正方形ABCD内接于
O ，点E 为CD的中点，连接AE 、CE ，若
1
CE ，则AE 的长是（）．
A．
1
2 2
2
B．
2
1
C．
2
2
2
D．
2
2
2
【答案】B
【分析】连接AC 、DE 、BD 、OE ，设OE 与CD交于点H ，利用正方形内接于圆的性质得AC 为直径，
90
ADC
，由点E 是弧CD的中点推出OE 垂直平分CD，再结合正方形性质、勾股定理建立边长关系，
求解AE 长度．
【详解】解：连接AC 、DE 、BD 、OE ，设OE 与CD交于点H ，
由
90
ADC
，
90
BAD
，AD
CD
，
45 / 79
学科网（北京）股份有限公司
故对角线AC 是
O 的直径，对角线BD 是
O 的直径，AD
CD
，
已知点E 为弧CD的中点，
CE
DE
，OE 垂直平分CD，DE
CE
，
又
45
BDC
，
ODH
是等腰直角三角形，
2
2
2
2
2
2
OD
DH
OH
DH
DH
OH
，
设正方形边长
2
AD
CD
x
，则
1
DE
CE
，
在Rt ADC 中，
2
2
2
2
2
2
2 2
BD
AC
AD
CD
x
x
x
，
1
2
2
OB
OD
OE
BD
x
，
2
OD
DH
CH
OH
x
，
2
EH
OE
OH
x
x
，
在Rt CHE 中，
2
2
2
CE
EH
CH
，
即
2
2
1
2x
x
x
，
解得
2
1
2
2
4
4
2 2
x
，
根据勾股定理，
2
2
2
2
2
2
8
1
4
2 2
1
3
2 2
2
2
2 1 1
2
1
2
AE
AC
CE
x
．
42．如图，半圆O 的直径
10
AB
，弦
6
AC
，AD 平分
BAC
，则AD 的长为（）
A．9
B．3 10
C．7 2
D．4 5
【答案】D
【分析】连接OD ，OC ，作DE
AB
于E ，OF
AC
于F ，利用圆周角定理和角平分线性质证明
46 / 79
学科网（北京）股份有限公司
BAC
BOD
，进而证得AOF
ODE
≌
，求出OE 和DE 的长，最后在Rt ADE 中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OD ，OC ，作DE
AB
于E ，OF
AC
于F ，
90
DEO
AFO
，
AO
CO
，
1
2
AF
AC
，
6
AC
，
3
AF
，
AD 平分
BAC
，
2
BAC
AD
B
\ Ð
=
Ð
，
2
BOD
BAD
，
BAC
BOD
，即
FAO
EOD
，
在AOF 和ODE 中，
AFO
OED
FAO
EOD
AO
OD
，
AOF
ODE AAS
≌
，
3
OE
AF
，
10
AB
，
5
AO
OD
5
3
8
AE
AO
OE
，
在Rt ODE 中，
2
2
2
2
5
3
4
DE
OD
OE
，
在Rt ADE 中，
2
2
2
2
8
4
4 5
AD
AE
DE
．
43．如图，AB 是
O 的直径，点C ，D 在
O 上，
90
COD
，
2 2
AC
，
2
BD
，则AB 的长是（
）
A．6
B．2 5
C．10
D．2 10
【答案】D
47 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【分析】延长DO 交
O 于点E ，作EF
AC
交CA 延长线于点F ，连接AE ，则
90
F
，根据等圆心角
对等弦得到
2
AE
BD
，根据圆周角定理得到
135
CAE
，进而得到
2
2
AE
EF
AF
，利用勾股定
理求出CE 的长，再根据COE 是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，延长DO 交
O 于点E ，作EF
AC
交CA 延长线于点F ，连接AE ，CE ，则
90
F
，
∵
AOE
BOD
，
∴
2
AE
BD
，
∵
90
DOC
，
∴
90
COE
，
∴
1
1
360
360
90
135
2
2
CAE
COE
，
∴
45
EAF
，
∴AEF 是等腰直角三角形，
2
2
2
2
AE
EF
AF
，
∴
2
2 2
3 2
CF
AF
AC
，
∴
2
2
2
2
2
3 2
2 5
CE
EF
CF
，
∵OC
OE
，
90
COE
，
∴COE 是等腰直角三角形，
2 5
10
2
2
CE
OC
，
∴
2
2 10
AB
OC
．
44．如图，OA
OB
OC
，
，
都是
O 的半径，ACB
BOC
．若
8
AB
，
2 5
BC
，则OA的长为________．
【答案】5
【分析】过点O 作OD
AB
于点D，延长OD 交
O 于点E，根据等腰三角形的性质得到
1
4
2
AD
BD
AB
，
证明
OCB
OEB SAS
≌
．得到
2 5
BE
BC
．由勾股定理得到
2
DE
．设OE
r
，则
2
OD
r
．由勾
股定理得到
2
2
2
OD
BD
OB
，即可求出OA的长．
48 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：过点O 作OD
AB
于点D，延长OD 交
O 于点E，
∵OA
OB
，
∴
1
4
2
AD
BD
AB
，
2
AOB
BOD
．
又∵
2
AOB
ACB
，
∴
BOD
ACB
．
∵
ACB
BOC
，
∴
BOD
BOC
．
∵OC
OE
，OB
OB
，
∴
OCB
OEB SAS
≌
．
∴
2 5
BE
BC
．
∴
2
2
2
DE
BE
BD
．
设OE
r
，则
2
OD
r
．
∵
2
2
2
OD
BD
OB
，
∴
2
2
2
2
4
r
r
，
解得
5
r
．
∴
5
OA
．
45．如图，点P 是边长为1的正方形ABCD的边AB 上一动点，连接DP ，交对角线AC 于点E ，作ADP 的
外接圆
O ，交AC 于点F ，连接PF ．若
2
CF
AP
，则AP ____________．
【答案】1
3
【分析】由正方形的性质可得
45
CAD
CAB
，再结合圆周角定理即可得出
DPF
的度数；连接DF ，
由圆周角定理可得
90
DFP
，则DFP 为等腰直角三角形，进而可得DF
PF
，作FM
CD
于点M ，
延长MF 交AB 于点N ，证明四边形BCMN 为矩形，得出CM
BN
，证明
DFM
FPN AAS
≌
，得出
49 / 79
学科网（北京）股份有限公司
DM
FN
，MF
PN
，证明FCM 为等腰直角三角形，得出CM
FM
PN
BN
，设
CM
FM
PN
BN
a
，则
2
CF
a
，
1
DM
NF
a
，
1 2
AP
a
，根据
2
CF
AP
，即可求解．
【详解】解：如图，连接DF ，∵四边形ABCD是正方形，
∴
1
AB
CD
BC
AD
，AB
CD ，
2
2
2
AC
AB
BC
，
∵DF
DF
，
∴
45
DPF
DAF
；
∵DP 为
O 的直径，
∴
90
DFP
，
∴DFP 为等腰直角三角形，
∴DF
PF
，
作FM
CD
于点M ，延长MF 交AB 于点N ，
∵AB
CD ，
∴MN
AB
，
∴
90
DMF
FNP
DFP
MNA
，
∴四边形BCMN 为矩形，
∴CM
BN
，
∵
90
DFM
FDM
DFM
PFN
，
∴
FDM
PFN
，
∴
DFM
FPN AAS
≌
，
∴DM
FN
，MF
PN
，
∵
45
DCA
，FM
CD
，
∴FCM 为等腰直角三角形，
∴CM
FM
PN
BN
，
设CM
FM
PN
BN
a
，则
2
2
2
CF
CM
MF
a
，
1
DM
NF
a
，
1 2
AP
a
，
∵
2
CF
AP
，
∴
2
2 1
2
a
a
解得：
1
3
a
50 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
1
2
3
AP
a
题型10 圆周角综合
46．如图，在
O 中，将AB 沿AB 翻折刚好过圆心O，交弦AC 于点D，
3
AD
CD
，
O 的半径为13 ，
则AC 的长为（
）
A．3
B．2 3
C．2 13
D．4 3
【答案】D
【分析】连接
,
,
OA OB 过点O作OM
AB
于点
,
M 连接
,
,
BC BD 作BE
CD
于点
,
E 求出
30
OAM
，
60
C
，求出AM ，由垂径定理得到AB ，证明BCD 是等边三角形，则BC
CD
BD
，设CD
x
，则
,
4
BC
x AC
x
，
1
3
,
2
2
CE
x BE
x
，得到
7
2
AE
x
，在Rt ABE 中利用勾股定理求出x ，即可得到AC 的
长．
【详解】解：连接
,
,
OA OB 过点O作OM
AB
于点
,
M 连接
,
,
BC BD 作BE
CD
于点
,
E 如图所示：则
∵将AB 沿AB 翻折刚好过圆心O，交弦AC 于点D，
∴
1
1
2
2
OM
OA
OB
,
∵
1
sin
2
OM
OAM
OA
，
∴
30
OAM
，
∵OA
OB
，
∴
30
OBA
OAM
，
∴
180
120
AOB
OAM
OBA
，
∴
1
60
2
C
AOB
，
51 / 79
学科网（北京）股份有限公司
在Rt AOM 中，
3
39
cos
13
2
2
AM
OA
OAM
，
∴
2
39
AB
AM
，
由折叠性质得：
ADB
等于原来的优弧AB 所对的圆周角，
∴
180
120
ADB
C
，
∴
60
BDC
，
∴BCD 是等边三角形，
∴BC
CD
BD
，
∵
3
AD
CD
，
∴设CD
x
，则
,
4
BC
x AC
AD
CD
x
，
1
1
3
,
2
2
2
CE
BC
x BE
x
，
∴
7
2
AE
AC
CE
x
，
在Rt ABE 中，
2
2
2
AB
AE
BE
，
即
2
2
2
7
3
39
2
2
x
x
解得
2
3
x
，
∵
0
x
，
∴
3
x
，
∴
4
4 3
AC
x
．
47．如图，四边形ABCD内接于
O ，AD
CD
，连接BD 和OC ．若
25
ABD
，则
OCD
的度数是（
）
A．50
B．65
C．60
D．55
【答案】B
【分析】先根据AD
CD
，得出AD
CD
，再得出
25
ABD
CBD
，求出圆心角的度数，再利用三角
形内角和求解即可．
【详解】解：连接OD ，
∵AD
CD
，
∴AD
CD
，
∴
25
ABD
CBD
，
52 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
50
COD
CBD
，
∵OD
CO
，
∴
180
65
2
COD
OCD
．
48．如图，在ABC 中，
,
90 ,
AC
BC
ACB
CD
AB
于点D ，点E 在AC 边上，BE 与CD交于点
,
G CF
BE
于点F ，连接DF ，若
1,
2
CF
DF
，则EF 的长为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．
5
5
D．
3
3
【答案】A
【分析】过点D 作DH
DF
，交BE 于点H，则
90
FDH
，由等腰Rt ABC 得出
90
CDB
，
1
45
2
BCD
ACB
，
1
2
CD
BD
AB
，从而有
CFB
CDB
，得到点B，C，D，F 四点共圆，因此
45
BFD
BCD
，从而DFH 是等腰直角三角形，得到
2
DH
DF
，
BDH
CDF
，证明
SAS
BDH
CDF
≌
，得到
1
BH
CF
，又
2
2
2
HF
DH
DF
，因此
3
BF
BH
HF
，
2
2
10
BC
BF
FC
．设EF
x
，CE
y
，根据
1
1
2
2
BCE
S
BE CF
BC CE
△
，求得
10 3
10
y
x
，
再在Rt CEF 中由勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：过点D 作DH
DF
，交BE 于点H，则
90
FDH
，
53 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵AC
BC
，
90
ACB
，CD
AB
，
∴
90
CDB
，
1
45
2
BCD
ACB
，
1
2
CD
BD
AB
，
∵CF
BE
，
∴
90
CFB
，
∴
CFB
CDB
，
∴点B，C，D，F 四点共圆，
∴
45
BFD
BCD
，
∴
90
90
45
45
FHD
BFD
，
∴
DHF
DFH
，
∴
2
DH
DF
，
∵
90
BDC
HDF
，
∴
BDC
HDC
HDF
HDC
，即
BDH
CDF
，
∴
SAS
BDH
CDF
≌
，
∴
1
BH
CF
，
∵在Rt HDF 中，
2
DH
DF
，
∴
2
2
2
HF
DH
DF
，
∴
1 2
3
BF
BH
HF
，
∴在Rt BCF 中，
2
2
10
BC
BF
FC
，
设EF
x
，CE
y
，则
3
BE
BF
EF
x
，
∵
1
1
2
2
BCE
S
BE CF
BC CE
△
，
∴
1
1
3
1
10
2
2
x
y
，
∴
10 3
10
y
x
，
∵在Rt CEF 中，
2
2
2
CF
EF
CE
，即
2
2
2
1
x
y
，
∴
2
2
1
1
3
10
x
x
，
解得
1
3
x
，
∴
1
3
EF
．
49．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，
2
AC
，
3 3
BC
，D 为平面内一点，连接AD
CD
BD
，
，
，
30
ADC
，则线段BD 的最小值为（
）
54 / 79
学科网（北京）股份有限公司
A．1
B．11
2
C．2
D．13
2
【答案】D
【分析】过点
,
,
A C D 作圆，圆心为O，交BC 于点
2
D ，连接
2
,
OA OD ，根据直径定理以及含30角的直角三
角形的性质得出圆的半径长度，过点O作OE
BC
于点E ，连接OC ，连接OB 交
O 于点
1
D ，得出此时
1
BD
的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解．
【详解】解：如图所示，过点
,
,
A C D 作圆，圆心为O，交BC 于点
2
D
连接
2
,
OA OD ，
∵
90
ACB
，
∴
2
AD 为直径，
∴点
2
,
,
A O D 共线，
此时，
2
30
AD C
，
∴
2
2
4
AD
AC
，
∴
O 的半径为2，
过点O作OE
BC
于点E ，连接OC ，连接OB 交
O 于点
1
D ，
此时，
1
BD 的值最小，
∴
2
1
1
2
OE
OD
，
∴
2
2
2
2
3
CE
D E
OD
OE
，
∴
3 3
3
2 3
BE
BC
CE
，
由勾股定理得
2
2
1 12
13
OB
OE
BE
，
∴
1
1
13
2
BD
OB
OD
，
即线段BD 的最小值为13
2
．
50．如图，
O 为ABC 的外接圆，AD
BC
交BC 于点D，直径AE 平分
BAD
交BC 于点F，连接BE ．
55 / 79
学科网（北京）股份有限公司
(1)证明：
AEB
AFD
；
(2)若
10
AB
，
5
BF
，求AF 的长．
【答案】(1)证明：
AE 平分
BAD
，
BAF
DAF
，
AD
BC
，
90
DAF
AFD
，
AE 为
O 的直径，
90
ABE
，
90
AEB
BAF
，
AEB
AFD
；
(2)3 5
【分析】（1）根据圆周角定理得到
90
ABE
，根据等角的余角相等证明结论；
（2）过点B 作BH
AE
于H ，根据勾股定理求出AE ，根据三角形的面积公式求出BH ，根据勾股定理计
算即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点B 作BH
AE
于H ，如图，
AFD
BFE
，
AFD
AEB
，
BFE
AEB
，
5
BE
BF
，
在Rt ABE 中，
10
AB
，
90
ABE
，
则
2
2
2
2
5
10
5 5
AE
AB
BE
，
1
1
2
2
ABE
S
AB BE
AE BH
，
10 5
2 5
5 5
AB BE
BH
AE
，
56 / 79
学科网（北京）股份有限公司
2
2
5
EH
FH
BE
BH
，
2
3 5
AF
AE
EF
AE
EH
．
1．已知弦AB 把圆周分成1:3 两部分，则弦AB 所对圆周角的度数为（
）
A．45
B．135
C．90或270
D．45或135
【答案】D
【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．
【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3 两部分，
∴劣弧AB 的度数为：
1
360
90
4
按
=
，即：劣弧所对的圆周角的度数为
1
90
45
2
，
优弧AB 的度数为：
3
360
270
4
，即：优弧所对的圆周角的度数为
1
270
135
2
，
∴弦AB 所对圆周角的度数为45或135；
故选：D．
【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．
2．如图，AB 是
O 的直径，C 是
O 上一点．若
68
BOC
，则
C
的度数为（
）
A．30
B．34
C．38
D．60
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】解：
1
68
2
A
BOC
BOC
，
，
34
A
，
又
OA
OC
，
34
C
A
，
3．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，若
110
A
，则BD 的度数为（
）
57 / 79
学科网（北京）股份有限公司
A．55
B．70
C．110
D．140
【答案】D
【详解】∵四边形ABCD是
O 的内接四边形，
110
A
，
∴
180
180
110
70
C
A
，
∵
C
是BD所对的圆周角，
∴BD的度数= 2
2 70
140
C
．
4．如图，
O 中，AB
AC
，
70
ACB
，则
BDC
的度数是（
）
A．20
B．60
C．70
D．40
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的性质求出
70
ABC
ACB
，再根据三角形内角和定理求出
40
A
，最
后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可．
【详解】解：∵AB
AC
，
70
ACB
，
∴
70
ABC
ACB
，
∴
180
70
70
40
A
，
∵BC
BC
，
∴
40
BDC
A
∠
．
5．如图，在ABC 中，以BC 为直径的半圆分别与
,
AB AC 交于点D ，E ．若
70
A
，则DE 的度数为（
）
58 / 79
学科网（北京）股份有限公司
A．20
B．30
C．40
D．50
【答案】C
【分析】连接BE ，根据直径所对的圆周角是直角可得
90
BEC
，在ABE 中利用内角和定理求出
ABE
的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接BE ，
∵BC 为直径，
∴
90
BEC
，
∴
90
AEB
，在ABE 中，
70
A
，
∴
90
20
ABE
A
，
∵
ABE
是DE 所对的圆周角，
∴DE 的度数为2
40
ABE
，
故选：C.
6．如图，四边形ABCD内接于
O ，若
100
D
，AB
AC
，则
BAC
的度数是（
）
A．80
B．30
C．20
D．10
【答案】C
【分析】先根据圆内接四边形对角互补求出
ABC
的度数，再利用等腰三角形性质得出
ACB
ABC
，最
后利用三角形内角和定理求出
BAC
即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于
O ，
100
D
，
∴
180
180
100
80
ABC
D
，
∵AB
AC
，
∴
80
ACB
ABC
，
∴
180
180
80
80
20
BAC
ABC
ACB
．
7．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B 在同一条直线上，点D，A，C，E
59 / 79
学科网（北京）股份有限公司
所对的刻度分别为0，60，150，180，则
ABD
的度数为（
）
A．15
B．20
C．25
D．30
【答案】A
【分析】先依据量角器刻度得出AD 、CE 的度数，再利用圆周角定理求出
AED
与
CAE
的度数，最后借
助三角形外角性质，可求出
ABD
度数．
【详解】解：连接AE ，
点D 刻度为0，点A 刻度为60，
AD 的度数为60，
AD 所对圆周角
1
60
30
2
AED
，
点C 刻度为150，点E 刻度为180，
CE 的度数为180
150
30
，
CE 所对圆周角
1
30
15
2
CAE
，
AED
是ABE 的外角，
AED
ABD
BAE
，
又
15
BAE
CAE
，
30
15
15
ABD
AED
BAE
．
8．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，AB
AD
，BE 是直径，若
70
A
，则
ABE
的度数为（
）
A．55
B．40
C．38
D．35
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质．先连接BD ，利用等腰三角
形的性质求出
ADB
，然后连接AE ，结合圆周角定理求出
AEB
，进而求解．
60 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：如图，连接BD ，AE ，
∵AB
AD
，
∴ABD 是等腰三角形．
∵
70
BAD
，
∴
180
180
70
55
2
2
BAD
ADB
．
∴
55
AEB
．
∵BE 是直径，
∴
90
BAE
，
∴
90
90
55
35
ABE
AEB
．
9．如图，在ABC 中，AB
AC
，
45
BAC
，以AC 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AB 于点E ，连
接AD ，CE 相交于点F ．已知
3
CD
，则AF 的长为（
）
A．3 2
B．3 3
C．6
D．8
【答案】C
【分析】由圆周角定理得到
90
ADC
AEC
，由等腰三角形的性质推出
2
6
BC
CD
，判定AEC 是
等腰直角三角形，得到AE
CE
，由三角形内角和定理推出
FAE
BCE
，判定
ASA
AFE
CBE
≌
，推
出
6
AF
BC
．
【详解】解：∵AC 是半圆的直径，
∴
90
ADC
AEC
，
∴AD
BC
，
∵AB
AC
，
∴
2
2 3
6
BC
CD
，
∵
45
BAC
，
61 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴AEC 是等腰直角三角形，
∴AE
CE
，
∵
90
CDF
AEF
，
CFD
AFE
，
∴
FAE
BCE
，
∵AE
CE
，
90
AEF
CEB
，
∴
ASA
AFE
CBE
≌
，
∴
6
AF
BC
．
10．如图，AB 是
O 的弦，
10
AB
，点C 是
O 上的一个动点，且
45
ACB
，若点M 、N 分别是AB 、
BC 的中点，则MN 长的最大值是（
）
A．10
B．5
C．10 2
D．5 2
【答案】D
【分析】连接
,
OA OB ，首先根据圆周角定理可知
90
AOB
，结合OA
OB
，在Rt AOB 中由勾股定理解
得OA的长度；根据题意易知MN 为ABC 的中位线，易得
1
2
MN
AC
，当AC 经过原点O，即AC 为
O 的
直径时，AC 取最大值，此时MN 也取最大值，然后确定答案即可．
【详解】解：如下图，连接
,
OA OB ，
∵
45
ACB
，AB
AB
，
∴
2
90
AOB
ACB
，
∵OA
OB
，
∴在Rt AOB 中，
2
2
2
2
2
AB
OA
OB
OA
=
+
=
，
∴
2
2
10
2OA
，解得
5 2
OA
（负值舍去），
∵点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，
∴MN 为ABC 的中位线，
62 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
2
MN
AC
，
当AC 经过原点O，即AC 为
O 的直径时，如下图，
∴此时AC 取最大值，为
2
10 2
AC
OA
，且MN 也取最大值，
∴MN 长的最大值
1
5 2
2 AC
．
11．如图，A、B、C 点在圆O 上，若
72
AOB
，则
ACB
______．
【答案】36
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出
ACB
的度数．
【详解】解：
AOB
与
ACB
是同弧所对的圆心角与圆周角，
1
2
ACB
AOB
，
72
AOB
，
1
72
36
2
ACB
．
12．如图，AB 是
O 的直径，点C 、D 在圆周上，若
24
D
，则
AOC
的度数是_________．
【答案】48
【详解】解：∵AC
AC
，
24
D
，
∴
2
48
AOC
D
．
13．如图，AB 为
O 的直径，点C ，D ，E 在
O 上，若
26
AED
，则
BCD
的度数是______ .
63 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【答案】116
【分析】连接BD ，利用
AED
求出
ABD
，进而求出
BAD
，最后利用圆内接四边形的性质求出
BCD
即
可．
【详解】如图，连接BD ．
AB 是
O 的直径，
90
ADB
．
26
AED
，
26
ABD
AED
．
90
90
26
64
BAD
ABD
．
四边形ADCB 是
O 的内接四边形，
180
BCD
BAD
，
180
64
116
BCD
．
14．如图，点A 、B 、C 在
O 上，D 是弧AB 的中点，CD交OA于点E ．若
100
AOB
，
20
OBC
，
则
OEC
的度数是______．
【答案】95/95 度
【分析】连接OD ，设BC 与OA交于点F ，由圆心角、弧、弦的关系定理推出
1
50
2
BOD
AOD
AOB
，
由圆周角定理得到
C
，然后由三角形外角的性质求解．
【详解】解：如图，连接OD ，设BC 与OA交于点F ，
64 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵D 是弧AB 的中点，
100
AOB
，
20
OBC
，
∴
1
50
2
BOD
AOD
AOB
，
∴
1
25
2
C
BOD
∠
∠
，
∴
100
20
120
BFA
AOB
B
，
∴
120
25
95
OEC
BFE
C
．
15．如图，AB 是
O 的直径，点C ，D ，E 在
O 上（C ，D 在直径AB 的下方，E 在直径AB 的上方），
则
C
BDE
___________．
【答案】90/90度
【分析】连接AD ，利用圆周角定理解答即可，
本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：连接AD ，
AB 是
O 的直径，
90
ADB
，
90
ADE
BDE
，
C
ADE
，
90
C
BDE
．
故答案为：90．
65 / 79
学科网（北京）股份有限公司
16．如图，
O 是ABE 的外接圆，AB 是
O 的直径，点F 是
O 上一点，已知
70
EFA
，则
BAE
___________．
【答案】20
【分析】本题考查了圆周角定理．
连接BF ，可知
90
AFB
，即
20
EFB
即可求出
BAE
的值．
【详解】解：如图，连接BF ，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
AFB
，
∵
70
EFA
，
∴
20
EFB
，
∴
20
E
BAE
FB
．
故答案为：20 ．
17．如图，等腰三角形ABC 的顶角
BAC
为50，以腰AB 为直径作半圆，分别交BC 、AC 于点D、E．则
CBE
∠
____________________ ．
【答案】25/25 度
【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．连接AD ，BE ，由AB 为直径可得出AD
BC
，
由AB
AC
利用等腰三角形的三线合一即可得出
1
25
2
BAD
CAD
BAC
，根据圆周角定理即可得到
结论．
66 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：连接AD ，BE ，如图所示，
∵AB 为直径，
∴AD
BC
．
∵AB
AC
，
∴
1
25
2
BAD
CAD
BAC
．
∴
25
CBE
DAC
．
故答案为：25．
18．如图，在正方形ABCD中，
4
AB
，E ，F 分别是边CD和AD 上的动点，且AF
DE
，BE 与CF 交
于点G ，连接AG ，则AG 的最小值是_________．
【答案】2 2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，借助于圆解决线段的最值
问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．判定出CDF
BCE
≌
，得出
90
BGC
，确定点G
在以BC 为直径的圆弧上运动，进而可求出AG 的最小值．
【详解】解：
在正方形ABCD中，
4
AD
CD
BC
AB
，且AF
DE
，
DF
CE
，
又
CD
BC
，
90
D
BCE
，
SAS
CDF
BCE
≌
，
DCF
CBE
，
90
DCF
BCG
，
90
CBE
BCG
，
90
BGC
，
点G 在以BC 为直径的圆弧上运动，
67 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∵E ，F 分别是边CD和AD 上的动点，
∴当点E 与点D 重合、点F 与点A 重合时，AG 取得最小值，
由勾股定理得
2
2
2
2
4
4
4 2
AC
AD
CD
，
1
2 2
2
AG
AC
，
即AG 的最小值是2 2 ，
故答案为：2 2 ．
19．如图，O 的半径为2，ABC 是
O 的内接三角形，D 为BC 上一点，连接AD ，CD．若
75
ACD
，
30
BAD
，则弦AB 的长为________．
【答案】2 2
【分析】本题考查了圆周角的定理，圆心角定理，勾股定理，连接OA
OB
，
，根据圆周角定理，圆心角定理，
得
90
AOB
，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接OA
OB
，
，
∵
30
BAD
，
68 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
30
BCD
，
∵
75
ACD
，
∴
45
ACB
，
∴
90
AOB
，
∵
O 的半径为2，
∴
2
OA
OB
，
∴
2
2
2 2
AB
AO
BO
，
故答案为：2 2 ．
20．如图，在Rt ABC 中，
90
B
，
6,
4
AB
BC
，P 是ABC 内部的一个动点，且始终有AP
BP
，
则CP 长的最小值是______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，根据
90
APB
，可知点P 在以AB 为直径的
O 上，连
接OC 交
O 于点P ，此时PC 最小，利用勾股定理得到
5
OC
，此时CP 的最小值为2 ．
【详解】解：如图所示，
∵AP
BP
，
∴
90
APB
，
点P 在以AB 为直径的
O 上，
连接OC 交
O 于点P ，此时PC 最小，
在Rt BCO 中，
90
OBC
，
4
BC
，
1
3
2
OB
OA
OP
AB
，
2
2
2
2
3
4
5
OC
OB
BC
，
5
3
2
PC
OC
OP
，
69 / 79
学科网（北京）股份有限公司
线段CP 长的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
21．如图，在
O 中，AB
AC
，半径OM
AB
，ON
AC
，垂足为D，E ．
(1)求证：BM
CN
；
(2)若
O 的半径为5，
8
AB
，则EN ______．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键．
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得AB
AC
，再根据垂径定理得
1
2
BM
AB
和
1
2
CN
AC
，即可得出结论；
（2）连接OA，根据垂径定理得
1
2
AE
AC
，由勾股定理求得
3
OE
，进而求出EN 的长．
【详解】（1）证明：
AB
AC
，
AB
AC
，
OM
AB
，ON
AC
，
1
2
BM
AB
，
1
2
CN
AC
BM
CN
；
（2）解：如图，连接OA，
8
AB
AC
，ON
AC
，
1
4
2
AE
AC
，
5
OA
，
2
2
2
2
5
4
3
OE
OA
AE
，
5
3
2
EN
．
70 / 79
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：2 ．
22．如图，
DAE
是
O 的内接四边形ABCD的一个外角，如果
118
BOD
，请求出
DAE
的度数．
【答案】59
【分析】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形的性质，根据圆周角定理可求出
59
BCD
，根据圆的内
接四边形的性质和邻补角的性质可求出
59
DAE
BCD
，即可求解．
【详解】解：∵
118
BOD
，
∴
5
1
2
9
B
BCD
OD
，
∵四边形ABCD是
O 的内接四边形，
∴
180
BCD
BAD
，
又
180
DAE
BAD
，
∴
59
DAE
BCD
．
23．如图，ABC 内接于
O ，C 为ACB 的中点，D 在BC 上，连接AD ．若AD
BC
，垂足为E ，直线OC
分别交AD ，AB 于点F ，G
(1)求证：CG
AB
；
(2)求证：EF
DE
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质
与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）连接OA、OB ，先得AC
BC
，则AC
BC
，因为半径相等，得出O、C 都在AB 的垂直平分线上，
即可作答．
（2）先由直角三角形的两个锐角互余，得
B
CFE
，运用圆周角定理得
B
D
，然后结合等角对等
71 / 79
学科网（北京）股份有限公司
边，则CF
CD
．故CFD 是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答．
【详解】（1）证明：连接OA、OB ，如图，
C 为优弧AB 的中点，
AC
BC
，
AC
BC
，
又OA
OB
，
O
、C 都在AB 的垂直平分线上，
即CG 是AB 垂直平分线，
CG
AB
；
（2）证明：连接CD，如图，
AD
BC
，CG
AB
，
90
CFE
BCG
，
90
B
BCG
，
B
CFE
，
∵AC
AC
，
B
D
，
CFE
D
，
CF
CD
．
∴CFD 是等腰三角形，
又AD
BC
，
EF
DE
；
24．如图，在
O 的内接四边形ABCD中，
ADE
是四边形ABCD的一个外角，且AD 平分
BDE
．
72 / 79
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：AB
AC
；
(2)若点F 在BC 上，且
118
F
，求
ADE
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)59
【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）利用圆内接四边形的性质可得
ADE
ABC
，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答；
（2）利用圆内接四边形的性质可得
62
BDC
°，求出
118
BDE
，根据角平分线定义即可求出结果．
【详解】（1）解：
AD 平分
BDE
，
ADE
ADB
，
∵AB
AB
，
∴
ADB
ACB
，
∴
ADE
ACB
，
在
O 的内接四边形ABCD中，
180
ABC
ADC
，
180
ADC
ADE
，
ABC
ADE
，
∴
ABC
ACB
，
AB
AC
；
（2）解：
118
F
，四边形BFCD 为圆内接四边形，
180
62
BDC
F
，
180
118
BDE
BDC
，
AD 平分
BDE
，
1
59
2
ADE
BDE
．
25．如图，AB 是
O 的直径，CD
CB
，CE
AB
于点E，连接BD 交CE 于点F．
73 / 79
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：CF
BF
．
(2)若
2
CD
，
4
AC
，求弦BD 的长．
【答案】(1)证明见详解
(2) 8 5
5
【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想
与方程思想的应用．
（1）要证明CF
BF
，可以证明
ECB
DBC
；AB 是
O 的直径，则
90
ACB
，又知CE
AB
，则
90
CEB
，则
90
DBC
ACE
A
，
ECB
A
，则
ECB
DBC
；
（2）连接OC ，交BD 于点G ，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出OG 的长，进而求得BG 的长
和BD 的长．
【详解】（1）证明：
AB 是
O 的直径，
90
ACB
，
90
A
ABC
．
CE
AB
，
90
CEB
，
90
ECB
ABC
，
ECB
A
．
又
CD
CB
，
CD
CB
，
DBC
A
，
ECB
DBC
，
CF
BF
；
（2）解：连接OD ，OC ，交BD 于点G ，则OD
OB
，
BC
CD
，
OC
BD
，
2
BD
BG
，
90
ACB
，
2
BC
CD
，
4
AC
，
2
2
2
2
4
2
2 5
AB
AC
BC
，
O
的半径为5 ，
设OG
x
，则
5
CG
x
，
74 / 79
学科网（北京）股份有限公司
由勾股定理，得
2
2
2
2
2
BG
OB
OG
BC
CG
，
即
2
2
2
2
5
2
5
x
x
，
解得
3 5
5
x
，
2
2
3 5
4 5
5
5
5
BG
，
8 5
5
BD
．
26．如图，AD 是
O 的直径，弦BC
AD
于点P ，连接AB ，BD ．
(1)求证：
A
DBC
．
(2)若
16
BC
，
4
PD
，求O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
10
r
【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解
题的关键．
（1）由垂径定理可得BD
CD
，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论；
（2）连接OB ，设
O 的半径为r ，由垂径定理可得BP
CP
，利用勾股定理列方程求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：
AD 是
O 的直径，BC
AD
，
BD
CD
．
A
DBC
．
（2）解：连接OB ，
设
O 的半径为r ，
AD 是
O 的直径，BC
AD
，
75 / 79
学科网（北京）股份有限公司
90
OPB
，BP
CP
．
2
2
2
OP
BP
OB
．
16
BC
，
4
PD
，
4
OP
r
，
8
BP ．
2
2
2
4
8
r
r
．
解得
10
r
．
27．如图，在
O 中，AB 、AD 为弦，CD为直径，CD
AB
于M ，BN
AD
于N ，BN 与CD相交于Q ．
(1)求证：BQ
BC
；
(2)若
5
BQ
，
3
CM
，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 25
6
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等，得出
BQM
A
，根据同弧所对的圆周角相等得出
C
A
，等量代换得出
C
BQM
，等角对等边即可得证；
（2）由（1）得出
5
BC
BQ
，
90
BMC
BMO
勾股定理得出BM ，连接OB ，设OB
OC
r
，则
3
OM
OC
CM
r
，在Rt BMO
V
中，
2
2
2
BM
OM
OB
，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵CD
AB
于M ，BN
AD
于N ，
∴
90
BNA
BMQ
，
∵
ABN
QBM
，
∴
BQM
A
，
∵BD
BD
，
∴
C
A
，
∴
C
BQM
，
∴BQ
BC
（2）由（1）得
5
BC
BQ
，
90
BMC
BMO
∴在Rt BMC 中，
2
2
2
2
5
3
4
BM
BC
CM
，
连接OB ，设OB
OC
r
，则
3
OM
OC
CM
r
，
76 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴在Rt BMO
V
中，
2
2
2
BM
OM
OB
，
即
2
2
2
4
3
r
r
，
解得：
25
6
r
，即
O 的半径为25
6 ．
28．如图，点B 是
O 上一点，AD 为
O 的直径，点C 在
O 上且平分AD ．
(1)连接BC ，
ABC
_____．
(2)若
5 2
AC
，
6
BD
，求AB 的长．
【答案】(1)45
(2)8
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为90 度可得
90
ACD
，由等弧所对的圆周角相等，可得
45
ADC
CAD
，
由同弧所对的圆周角相等，可得
45
ABC
ADC
；
（2）由点C 在
O 上且平分AD ，可得
5 2
AC
DC
，再由勾股定理解Rt ACD，Rt ABD 即可．
【详解】（1）解：
AD 为
O 的直径，
90
ACD
，
点C 在
O 上且平分AD ，
AC
DC
，
ADC
CAD
，
1
1
180
180
90
45
2
2
ADC
ACD
，
45
ABC
ADC
，
故答案为：45；
77 / 79
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：
AD 为
O 的直径，
90
ACD
ABD
，
点C 在
O 上且平分AD ，
AC
DC
，
5 2
AC
DC
，
2
2
2
2
5 2
10
AD
AC
CD
AC
，
在Rt ABD 中，
2
2
2
AB
BD
AD
，
2
2
2
2
10
6
8
AB
AD
BD
．
29．如图，在ABC 中，AB
AC
，以AB 为直径的圆交AC 于点D，交BC 于点E，延长AE 至点F，使EF
AE
，
连接
,
FB FC ．
(1)求证：四边形ABFC 是菱形；
(2)若
7
AD
，
2
BE
，求半圆的直径及菱形ABFC 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8 15
【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握直径所对的圆周角为
直角，是解题的关键：
（1）圆周角定理得到
90
AEB
，三线合一，得到BE
CE
，结合EF
AE
，得到四边形ABFC 为平行四
边形，再根据AB
AC
，即可得证；
（2）连接BD ，设CD
x
，得到
7
AB
AC
x
，根据勾股定理，得到
2
2
2
2
2
BD
BC
CD
AB
AD
，列
出方程求出x 的值，进而求出AB 的长，勾股定理求出AE 的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB 是直径，
∴
90
AEB
，即AE
BC
，
∵AB
AC
，
∴BE
CE
，
又∵EF
AE
，
∴四边形ABFC 为平行四边形，
∵AB
AC
，
∴四边形ABFC 为菱形；
（2）连接BD ，则
90
ADB
，
78 / 79
学科网（北京）股份有限公司
∴
90
BDC
，
设CD
x
，则：
7
AB
AC
AD
CD
x
，
由（1）可知：
2
4
BC
BE
，
由勾股定理，得：
2
2
2
2
2
BD
BC
CD
AB
AD
，
即
2
2
2
2
4
7
7
x
x
，
解得
1
x 或
8
x
（舍去）；
∴
7 1
8
AB
，
在Rt AEB中，
2
2
2 15
AE
AB
BE
，
∴
2
4 15
AF
AE
，
∴菱形ABFC 的面积为1
1
4 4 15
8 15
2
2
BC AF
．
30．如图，在四边形ABCD中，AD
BC ，
90
D
，AD
CD
，过点A，B，C 的
O 交AD 于点E，连
接AC 交BE 于点F，
(1)求证：AC
BE
．
(2)若
O 的半径为5 ，
4
AC
，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识，正确
作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据题意得
45
DAC
，由圆周角定理得
45
EBC
DAC
；根据平行线性质得
45
DAC
ACB
，
可得
90
BFC
（2）连结AO
BO
，
，求得
2
10
AB
AO
，设AF
x
，则
4
CF
BF
x
，由勾股定理得
2
2
2
4
10
x
x
，求出
1
x ，可得
2 2
AD
CD
，最后根据四边形ABCD的面积
ACD
△
的面积
ABC
＋
的面积解答即可．
79 / 79
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）证明：∵
90
D
，AD
CD
,
∴
45
DAC
，
∴
45
EBC
DAC
，
∵AD
BC ，
∴
45
DAC
ACB
，
∴
90
BFC
，
∴AC
BE
；
（2）解：连接AO
BO
，
，如图，
∴
2
90
AOB
ACB
，又OA
OB
，
∴
2
10
AB
AO
，
设AF
x
，则
4
CF
BF
x
，
∵
2
2
2
AF
BF
AB
，
∴
2
2
2
4
10
x
x
，
解得
1
x 或
3
x
（不合题意，舍去），
∵
45
FBC
FCB
，AC
BE
，
4
AC
，
∴
1
3
AF
BF
CF
，
，
2 2
AD
CD
，
∴四边形ABCD的面积
ACD
△
的面积
ABC
＋
的面积= 1
1
2 2
2 2
4 3
2
2
4
6
10
．
