文档文本内容
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第05 讲 一元二次方程的解法
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 直接开方法解一元二次方程
题型2 配方法解一元二次方程
题型3 配方法的应用
题型4 公式法解一元二次方程
题型5 因式分解法解一元二次方程
题型6 换元法解一元二次方程
题型7 选用合适的解法解一元二次方程
题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型9 根据一元二次方程的两个相等实数根求参数
题型10 根据一元二次方程的两个不相等实数根求参数
题型11 根据一元二次方程无实数根的情况求参数
题型12 一元二次方程解法的新定义问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
直接开方法
配方法
因式分解法
公式法
法
换元
1. 掌握直接开平方法适用题型，理解配方原理，熟练完成方程配方变形。
2. 熟记求根公式，理解公式推导过程，能规范运用公式法解方程。
3. 掌握因式分解法解题步骤，能快速分解方程，简洁高效求解方程根。
4. 学会辨析题型特点，灵活选用最优解法，提升解方程运算能力。
5. 养成规范解题、检验根的习惯，培养严谨细致的数学运算思维。
学习重点：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的解题步骤，能熟练解方程。
学习难点：根据方程结构特点灵活选择最优解法，熟练掌握配方变形与公式推导思路。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
直接开方法解一元二次方程
根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法.
以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程：
1.形如x 的一元二次方程
：
当a＞0 时，则
，此时方程有两个不相等的实数根；
当a＝0 时，则
，此时方程有两个相等的实数根；
当a＜0 时，则方程无实数根.
2. 形如x 的一元二次方程
，可用直接开方法解得两个根分别是
.
易错点：
（1）必须保证等式左边为完全平方式、右边为常数，满足开方条件。
（2）正数开平方有两个互为相反数的根，切勿遗漏负根。
（3）右边常数为负数时，方程无实数根，不可强行开方求解。
（3）开方后需规范化简根式，保证最终结果最简、书写规范。
即时即练
1．方程
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．关于x 的方程
没有实数根则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用直接开方法解方程：
知｜识｜精｜讲
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知识点
02
用配方法解一元二次方程
将一元二次方程化成
的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法.
1.对
进行分类讨论：
（1）当m＞0 时，则
，此时方程有两个不相等的实数根；
（2）当m＝0 时，则
；
（3）当m＜0 时，则方程无实数根.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.配方法主要有以下几种应用：
①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或
小于零）而比较出大小；
②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值；
③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）.
易错点：
（1）配方前未将二次项系数化为1，直接配方，导致式子变形错误。
（2）配方时常数项只单边加减，未遵循等式左右两边同时变形原则。
（3）凑完全平方时，混淆一次项系数一半的平方，出现计算失误。
（4）配方完成开方时遗漏负根，且未及时化简最终方程的根式结果。
即时即练
4．将方程
配方后，所得方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知一元二次方程
可以配方成
，则
的值为_．
6．用配方法解下列方程：
(1)
．
(2)
．
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知识点
0 3 用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程
，当
时，它的根是
（
），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法.
其中，
叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况：
①当
时，则
，此时方程有两个不相等的实
数根；
②当
时，则
，此时方程有两个相等的实数根；
③当
时，此时方程没有实数根.
以上三点，反之也成立.
即时即练
7．关于
的一元二次方程
（
，且
为互质的整数）的两根分别是
，
，那么
_____．
8．用公式法解方程：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
9．解方程：
．
知识点
0 4 因式分解法解一元二次方程
利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法
.
1.因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程等号的右边化为0；
②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
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④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
易错点：
（1）解方程时未先移项整理，保留常数项在一侧，直接因式分解导致漏根、错根。
（2）随意约去含未知数的整式，丢失使该整式为零的有效根，造成解题失分。
（3）因式分解不彻底，未拆解为两个一次因式乘积的标准形式，无法正确求根。
（4）忽略“若乘积为0，则至少一个因式为0”的核心依据，凭主观臆断求解方程。
即时即练
10．一元二次方程
的一个根为
，则另一个根是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知关于
的一元二次方程
，则该一元二次方程的解为________．
12．解方程：
(1)
；
(2)
．
知识点
0 5 换元法
定义：换元法是数学重要转化思想，指将方程中重复、复杂的整体代数式设为新未知数，简化复杂方程。
核心原理：通过变量替换，把高次方程、分式方程、复合型方程转化为熟悉的一元二次方程，化繁为简。
解题关键：找准整体换元对象，换元求解出新未知数的值后，必须回代原式求出原未知数的值。
适用题型：主要用于可整体替换的高次方程、分式方程、重复结构的一元二次复合型方程。
易错点：
（1）换元后只求解新未知数，忘记回代原式计算原未知数，解题步骤不完整。
（2）未检验新元取值范围，出现增根、无意义解，未及时舍去错误解。
（3）找不准整体换元对象，拆分整体结构，导致无法转化为标准二次方程。
（4）换元变形过程运算出错，化简不规范，造成最终求解结果错误。
即时即练
13．当
时，
的值为（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．0
14．关于
的方程
的解是
，
（
、
、
均为常数，
），则方程
的解是______．
15．解方程：
．
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题型1 直接开方法解一元二次方程
1．方程
的解是（ ）
A．
B．
，
C．
D．
2．方程
的解正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．若
，则
的值为__________．
4．用直接开方法解下列方程：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
5．直接写出下列方程的根：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型2 配方法解一元二次方程
6．用配方法解一元二次方程
，配方正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．用配方法将一元二次方程
化为
的形式为______．
8．用配方法解方程
时，通过配方后可得
的形式，则
的值为___________．
9．用配方法解方程：
．
10．解方程：（用配方法）；
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(1)
(2)
．
【易错警示】
用配方法解方程，容易跳过化二次项系数为 1 这一步。配方只在等式一侧添加常数，违反等式性质。计
算一次项系数一半的平方时常出现计算错误。开平方时丢掉负根，同时不化简结果，很多学生因步骤疏漏
与运算马虎丢分。
题型3 配方法的应用
11．把方程
配方成
的形式，则m，n 的值是（ ）
A．
，28
B．5，
C．5，
D．
，25
12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能
表示成
（a，b 为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”，理由：因为
，所以5 是“完美数”．若
（x，y 是整数，k 是常数），且为“完美
数”，则k 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
13．对于多项式
，由于
，所以
有最小值3，则代数式
的最小值是__________ ．
14．【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题
方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．
例1：用配方法因式分解：
．
原式
例2：求
的最小值．
解：
；
由于
，所以
，
即
的最小值为5．
(1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：
______；
(2)仿照例2 的步骤，求
的最小值；
15．利用完全平方公式，可以将多项式
变形为
的形式．例如：
．
根据上述过程，解答下列问题：
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(1)将多项式
变形为
的形式，并判断
与0 的大小关系．
(2)图①中矩形的长和宽分别是
，
，面积为
；图②中矩形的长和宽分别是
，
，面积为
．请比较
与
的大小，并说明理由．
题型4 公式法解一元二次方程
16．下列一元二次方程的根可以根据
计算得出的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．用公式法解一个一元二次方程的根为
，则此方程的二次项系数、一次项系数、常
数项分别为（ ）
A．，，
B．
，
，
C．，
，
D．
，，
18．若
是一元二次方程
的根，则
的值为___________．
19．解方程：
．
20．解下列方程：
（用公式法）；
题型5 因式分解法解一元二次方程
21．一元二次方程
的两个实数根为
和
，则代数式
的值为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．
22．方程
的根是__________．
23．已知
，且
，则
的值___________．
24．解方程：
．
25．解方程
(1)
(2)
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题型6 换元法解一元二次方程
26．若关于
的一元二次方程
有一根为
，则一元二次方程
有一个根为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．已知
，则
的值是（ ）
A．4
B．2
C．4 或
D．
或2
28．若
是关于x 的方程
的一个根，则关于x 的方程
必有一个
根为________．
29．阅读材料，解答问题．
解方程：
．
解：把
视为一个整体，设
，
则原方程可化为
．
解得
，
．
或
．
，
．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
．
30．请阅读下列材料：
已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍．
解：设所求方程的根为y，则
，所以
，
把
代入已知方程，得
．
化简，得
，故所求方程为
，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程
，求一个关于y 一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方
程为： ；
(2)已知方程
，求一个关于y 一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于x 的一元二次方程
的两个实数根分别为3，
，求关于y 一元二次方程
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的两根．
【易错警示】
利用换元法解方程，常常解出新未知数后忘记回代求原未知数。不能准确找出整体替换的代数式，导致转
化失败。不考虑新元的取值范围，产生增根却不检验。部分学生化简变形出错，解题半途而废，步骤残缺
造成扣分。
题型7 选用合适的解法解一元二次方程
31．按照指定方法解下列方程：
(1)
（配方法）
(2)
（公式法）
32．按指定方法解一元二次方程
(1)
（配方法）
(2)
（公式法）
33．用指定方法解下列方程：
(1)
（直接开平方法）．
(2)
（配方法）．
(3)
（公式法）．
(4)
（因式分解法）．
34．用指定方法解方程：
(1)
（直接开平方法）
(2)
（配方法）；
(3)
（公式法）．
35．请用指定方法解下列方程：
(1)
（直接开平方法）；
(2)
（配方法）；
(3)
（因式分解法）；
(4)
（公式法）．
【易错警示】
学生解方程时常盲目套用公式法，不会根据方程结构灵活选择解法。遇到完全平方式不用直接开方法，可
因式分解却强行配方，浪费时间。审题不细致，运算步骤繁琐极易计算出错，因解法选择不当，大幅提升
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失误概率。
题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况
36．一元二次方程
根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．无实数根
37．关于x 的一元二次方程
根的情况为_____________．
38．关于
的方程
，无论实数
取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数
的取
值范围为______．
39．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：不论
为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为3，求
的值和方程的另一个根．
40．已知关于x 的方程
．
(1)求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求
的值．
题型9 根据一元二次方程的两个相等实数根求参数
41．方程
有两个相等的实数根，则m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
42．已知关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
43．若一元二次方程
有两个相等的实数根，则k 的值为________．
44．已知关于x 的一元二次方程
有两个实数根，求
的取值范围．
45．已知关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根，求
的值．
题型10 根据一元二次方程的两个不相等实数根求参数
46．如果关于
的方程
有两个不相等的实数根，那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
47．若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
48．若关于x 的方程
有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．
49．如果关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，那么
的取值范围是________．
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50．已知：关于x 的方程
．
(1)试说明无论x 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)如果方程有一个根为3，试求
的值．
【易错警示】
利用方程有两个不相等实数根求参数，只记得判别式大于零，常常忽略一元二次方程二次项系数不能为
零。部分同学求出范围后不检验，容易产生不符合题意的取值，遗漏限制条件，最终导致答案出错。
题型11 根据一元二次方程无实数根的情况求参数
51．若关于x 的一元二次方程
没有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
52．若一元二次方程
无实数根，则实数的取值范围为________．
53．
为何值时，关于
的一元二次方程
；
(1)有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)无实数根？
54．已知关于
的一元二次方程
．
(1)当
时，求方程的解；
(2)当方程无实数根时，求
的取值范围．
55．已知关于x 的方程
无实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)判断方程
的根的情况．
题型12 一元二次方程解法的新定义问题
56．定义运算：
．例如：
，则方程
的根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
57．定义新运算：
．如：
．则关于
的方程
的根的情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
58．对于实数a，b，定义运算“ ”如下：
※
，例如，
．若
，则
x 的值为_____________．
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59．对于实数m、n，我们定义一种运算“
”为：
，例如：
．
(1)化简：
；
(2)解关于x 的方程：
．
60．新定义：方程
是一元二次方程
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
的倒方程是_______．
(2)若
是一元二次方程
的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根．
1．关于x 的一元二次方程
根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
2．若将一元二次方程
转化为
的形式，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．关于
的方程
有两个相等的实数根，则
的值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．解一元二次方程
时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为
，则
另一个方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根，则实数
的值为（ ）
A．4
B．1
C．
D．
6．若关于x 的方程
有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则a 的值可能是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
8．若实数
，
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．或
D．
或
9．对于任意4 个实数
，
，，
定义一种新的运算：
．例如：
．
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则关于
的方程
的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
10．已知关于
的一元二次方程
，若方程只有一个实数根小于2，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
a＜0
D．
11．用配方法解方程
时，将原方程转化为
的形式可得____．
12．已知关于
的方程
有实数根，则
的取值范围是______．
13．已知：一元二次方程
（d 为常数）有一个根为3，则另一根为________．
14．若关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根，其中
为实数，则
__________．
15．关于x 的方程
．
（1）若该方程有一个根为
，则
_____；
（2）若该方程有两个实数根，则k 的取值范围是 _____．
16．设方程
的正根介于整数m 与
之间，则
________．
17．对于实数m、n 定义运算“*”为
，例如：
，若关于x 的方程
有两个相等的实数根，则k 的值为________．
18．若x、y 为实数，且
，则
_____
19．若关于x 的一元二次方程
的根为
．则一元二次方程
的根为_________
20．我国古代数学家赵爽在其著作《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程
即
为例：如图1，用四个全等的矩形围成一个大正方形，其中每一个矩形的较
短边的长为
，面积为14，则大正方形的面积表示为
，因为大正方形的面积也等于四个矩形的
面积加上中间小正方形的面积，即
，所以
，解此方程可得正根
．根据以
上活动经验，可知图2 是一元二次方程___________的几何解法．
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21．解方程：
(1)
；
(2)
．
22．解方程
(1)
；
(2)
．
23．解方程：
(1)
；
(2)
．
24．阅读与思考
小明同学解一元二次方程
的过程如下：
解：移项，得
①
两边同除以2，得
②
配方，得
③
即
④
∴
或
⑤
∴
，
⑥
小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法．
他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程．
25．定义：如果关于x 的一元二次方程
（
），有一个根是a，那么我们称这个方程为
“A 方程”，如一元二次方程
有一根为
，所以此方程为“A 方程”．
(1)若关于x 的一元二次方程
是“A 方程”，求k 的值；
(2)已知关于x 的一元二次方程
（
）是“A 方程”，求代数式
的最小值．
26．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是2，求代数式
的值．
27．已知：关于
的方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果
为正整数，且方程的两个根均为整数，求
的值．
28．关于
的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有实数根；
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(2)若该方程有两个负实数根，求
的取值范围．
29．【材料阅读】
数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程．
如：一元三次方程
，通过因式分解转化为
，解方程
和
，可
得方程
的根．
再如：方程
，两边同时平方转化为
，解得：
，
．因为
，且
，所以
不是原方程的根，
是原方程的解．
【学以致用】
(1)求方程
的根；
(2)求方程
的根．
30．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二
次方程来解．例如：解方程：
．
解：设
，则原方程可化为：
．
解得：
，
．
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
．
原方程的解是：
∴
，
，
，
．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：
；
(2)解方程：
．
