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第2 章
一元二次方程单元自测卷
【新教材，苏科版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：100 分）
考前须知：
1．本卷试题共26 题，单选8 题，填空8 题，解答10 题，满分100 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（
）
A．2
3
4
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．
2
1
0
x
mx
D．
2024
x
y
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高
次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可．
【详解】解：∵选项A：2
3
4
x
中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A 不符合要求；
∵选项B：
2
0
ax
bx
c
未说明
0
a
，当
0
a
时，方程不是一元二次方程，∴B 不符合要求；
∵选项C：
2
1
0
x
mx
只含一个未知数x ，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的
定义，∴C 符合要求；
∵选项D：
2024
x
y
含有两个未知数，是二元一次方程，∴D 不符合要求．
2．某商品原来每件售价为750 元，经过两次降价后，每件售价调整为480 元，设平均每次降价的百分率是x ，
则可列出的方程为（
）．
A．
2
480 1
750
x
B．
2
750 1
480
x
C．
480 1 2
750
x
D．
750 1 2
480
x
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用，根据降价率的计算规则，逐步推导两次降价后的
售价，结合已知最终售价即可列出方程．
【详解】解：∵商品原价为750 元，平均每次降价的百分率为x ，
∴第一次降价后售价为
750 1
x
元，
∵第二次降价在第一次降价后的售价基础上再次降价，
∴第二次降价后售价为
2
750 1
1
750 1
x
x
x
元，
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又∵两次降价后最终售价为480 元，
∴可得方程
2
750 1
480
x
．
3．用配方法解一元二次方程
2
2
4
0
x
x
时，下列变形正确的是（
）．
A．
2
1
5
x
B．
2
1
5
x
C．
2
1
6
x
D．
2
2
8
x
【答案】B
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再给方程两边加一次项系数一半
的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案．
【详解】解：对原方程移项得
2
2
4
x
x
，
方程两边同时加1得
2
2
1
4
1
x
x
，
整理得
2
1
5
x
，
∴变形正确的是选项B．
4．若关于x 的一元二次方程的根为
2
1
1
4 3
5
2 3
x
，则这个方程是（
）
A．
2
3
5
0
x
x
B．
2
3
5
0
x
x
C．
2
3
5
0
x
x
D．
2
3
5
0
x
x
【答案】B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c
的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
2
2
1
1
4 3
5
4
2
2 3
b
b
ac
x
a
，
∴
1
b
，2
6
a
，
解得
1
b
，
3
a ，
∵
2
2
4
1
4 3
5
b
ac
，
∴
5
c
，
∴原方程为
2
3
5
0
x
x
，
故选：B．
5．关于x 的方程
2
2
0
x
x
k
没有实数根，若k 为整数，则k 的最大值是（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路是根据方程无实数根得到判别式小于0，求出
k 的取值范围，再确定k 的最大整数值．
【详解】解：对于一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
，方程无实数根时判别式
2
Δ
4
0
b
ac
．
∵原方程为
2
2
0
x
x
k
∴
1
a ，
2
b
，c
k
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代入得
2
Δ
2
4 1
4
4
k
k
∵方程没有实数根
∴4
4
0
k
解不等式得
1
k
又∵k 为整数
∴k 的最大值为2
6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程
2
1
2
0
4
kx
k
x
k
进行了讨论：甲说：这一定
是关于x 的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x 的一元一次方程；丙说：只有当
1
k 且
0
k
时，该
方程有实数根；丁说：当
1
k 时，该方程有实数根（
）
A．甲和丙说的对
B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对
D．乙和丙说的对
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当
0
k
时，此时方程一定有实数根，
当
0
k
时，根据根的判别式，可以得到k 的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，k 的取
值范围．
【详解】解：当
0
k
时，
2
1
(
2)
0
4
kx
k
x
k
为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确；
①当
0
k
时，方程为2
0
x
，此时方程的根为
0
x
，即k 可以取0；
②当
0
k
时，方程为一元二次方程，当Δ
0
时，方程有实数根，即
2
2
2
1
2
4
2
0
4
k
k
k
k
k
，
解得
1
k ，
1
k
且
0
k
，
综上所述：当
1
k 时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误，
综上，乙和丁说的对．
7．将关于x 的一元二次方程
2
0
x
px
q
变形为
2x
px
q
，就可以将
2
x 表示为关于x 的一次多项式，从
而达到“降次”的目的，又如
3
2
•
x
x x
x px
q
…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化
简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
2
2
1
0
x
x
，且
0
x
，则
3
1
x 的值为（）
A．
2
3
B．8 5 2
C．3
5 2
D．8
2
【答案】B
【分析】本题考查求代数式的值，解一元二次方程．
利用已知方程
2
2
1
0
x
x
得到
2
2
1
x
x
，通过降次法将
3
1
x 化简为5
3
x ，再结合
0
x
求得x 的值，代
入计算即可．
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【详解】解：∵
2
2
1
0
x
x
，
∴
2
2
1
x
x
，
∴
3
2
2
2
1
2
x
x x
x
x
x
x
，
∴
3
2
1
2
1
2 2
1
1
5
3
x
x
x
x
x
x
．
解方程
2
2
1
0
x
x
得
1
2
x
，
∵
0
x
，
∴
1
2
x
，
∴
3
1
5
3
5 1
2
3
8
5 2
x
x
．
故选：B．
8．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，下列说法：
①若
0
a
b
c
，则
2
4
0
b
ac
；
②若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；
③若c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
④若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
．其中正确的是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，①当
0
a
b
c
时，
方程有根
1
x ，但判别式可能等于0；②由
2
0
ax
c
有两个不等实根得出
4
0
ac
，从而原方程判别式
大于0；③当c 是根时，
1
0
c ac
b
，但
0
c
时
1
ac
b
不一定为0；④由求根公式直接推导成立．
【详解】解：①∵当
0
a
b
c
时，
1
x 是方程根，
∴
²
4
0
b
ac
，但不一定大于0，故①错误；
②∵方程
2
0
ax
c
有两个不等实根，
∴
4
0
ac
，
对于方程
2
0
ax
bx
c
，
2
Δ
4
4
0
b
ac
ac
，
∴有两个不等实根，故②正确；
③∵c 是方程
2
0
ax
bx
c
的根，
∴
2
0
ac
bc
c
，即
1
0
c ac
b
；
当
0
c
时，
1
1
ac
b
b
不一定为0，故③错误；
④∵
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，
∴
2
0
4
2
b
b
ac
x
a
；
∴
2
0
2
4
ax
b
b
ac
；
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∴
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
，故④正确．
∴正确的是②④．
故选：D．
二、填空题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分）
9．如果关于x 的一元二次方程
2
3
0
ax
bx
的一个解是
3
x
，则代数式3
2
a
b
的值为______．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到a 与b 的关系式，整理得出3a
b
的值，再利用整体代入的方法
计算代数式的值．
【详解】解：把
3
x
代入方程
2
3
0
ax
bx
得
2
3
3
3
0
a
b
，
整理得9
3
3
0
a
b
，
等式两边同时除以3得3
1
0
a
b
，
可得3
1
a
b
，
所以3
2
1 2
3
a
b
．
10．若关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
c
没有实数根，则c 的取值范围是__________．
【答案】
1
4
c
【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，得到根的判别式小于零，解不等式即可得到c 的取值范围．
【详解】解：关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
c
没有实数根，
2
Δ
2
4 1 4
4 16
0
c
c
，
解不等式得
1
4
c
11．设
1x ，
2x 是一元二次方程
2
0
x
bx
c
的两个根，若
1
2
5
x
x
，
1
2
4
x x
，则b ______，c ______．
【答案】
5
4
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积与方程系数b ,c 的关系，代入已知条
件求解即可．
【详解】解：对于一元二次方程
2
0
x
bx
c
，由根与系数的关系可得
1
2
x
x
b
，
1
2
x x
c
，
1
2
5
x
x
，
1
2
4
x x
，
1
2
5
b
x
x
，解得
5
b
；
1
2
4
c
x x
．
12．在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，则此方程必有一根为________．
【答案】2
【分析】将
2
x
代入方程求解判断即可．
【详解】解：将
2
x
代入
2
0
ax
bx
c
得，4
2
0
a
b
c
，
此方程必有一根为2
．
13．已知m ，n 是二次方程
2
2024
7
0
x
x
的两个根，则
2
2
(
2023
6)(
2025
8)
m
m
n
n
的值为________．
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【答案】2016
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得到m
n
和mn 的值，并
将原表达式中的
2
m 和
2
n 用方程关系代换，化简后代入求值．
【详解】
m
，n 是方程
2
2024
7
0
x
x
的根，
根据根与系数的关系，有
2024
m
n
，
7
mn
，
由原方程得
2
2024
7
m
m
，
2
2024
7
n
n
，
2
2023
6
2024
7
2023
6
1
m
m
m
m
m
，
2
2025
8
2024
7
2025
8
1
n
n
n
n
n
，
原式
1
1
1
1
1
7
2024 1
2016
m
n
m
n
mn
m
n
．
故答案为2016 ．
14．已知实数x 满足
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
，则代数式
2
1
x
x
的值为________．
【答案】7
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．
通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入
求值．
【详解】解：设
2
y
x
x
，
则原方程化为
2
4
12
0
y
y
，
因式分解得(
6)(
2)
0
y
y
，
所以
6
y
或
2
y
，
即
2
6
x
x
或
2
2
x
x
．
当
2
2
x
x
时，方程
2
2
0
x
x
的判别式
2
Δ
( 1)
4 1 2
7
0
，无实数解，故舍去；
当
2
6
x
x
时，方程
2
6
0
x
x
的判别式
2
Δ
( 1)
4 1
6
1 24
25
0
；
∴
2
1
6
1
7
x
x
．
故答案为：7．
15．关于x 的方程
2
0
a x
m
b
的解是
1
5
x
，
2
3
x
(a，m，b 均为常数，
0
a
)，则方程
2
2
1
0
a
x
m
b
的解是___________．
【答案】
1
2
x
，
2
2
x
【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是
掌握上述知识点并能熟练运用求解．
通过已知方程的解求出参数m 的值及a 与b 的关系，然后代入新方程求解．
【详解】解：由方程
2
0
a x
m
b
的解为
1
5
x
，
2
3
x
，
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代入得
2
5
0
a
m
b
和
2
3
0
a
m
b
．
两式相减可得
2
2
5
3
m
m
，
开方，得：
5
3
m
m
或5
3
m
m
(不成立)，
即5
3
m
m
，
整理得2
2
m
，
所以
1
m ．
将
1
m 代入
2
3 1
0
a
b
，得16
0
a
b
，
即
16
b
a
．
将
1
m 和
16
b
a
代入方程
2
2
1
0
a
x
m
b
，
得
2
2
1 1
16
0
a
x
a
，
即
2
2
16
0
a
x
a
，
整理得
2
4
16
0
ax
a
．
由于
0
a
，
两边除以a 得
2
4
16
0
x
，
即
2
4
x
，
解得∶
1
2
x
，
2
2
x
．
故答案为：
1
2
x
，
2
2
x
．
16．通过学习，我们知道：若关于x 的一元二次方程
2
0
x
px
q
有两个实数根
1x ，
2x ，则
1
2
x
x
p
，
1
2
x
x
q
．已知
2
3
7
0
a
a
，
4
2
3
7
0
b
b
，且
2
0
a
b
，则代数式
2
2
4
3
ab
b
a
的值等于________．
【答案】
1
3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通
过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立a 与
2
b 的关系，再代入代数式化简求值．
由方程
2
3
7
0
a
a
和
4
2
3
7
0
b
b
，设
2
c
b
，则
2
3
7
0
c
c
，令
2
d
c
b
，代入得
2
3
7
0
d
d
，
与第一个方程同解，故a 和
2
d
b
是方程
2
3
7
0
x
x
的两个根，根据根与系数的关系，得
2
3
a
b
和
2
7
a
b
，即
2
3
a
b
和
2
7
ab
．代入代数式
2
2
4
3
ab
b
a
，化简后利用
2
3
7
a
a
计算．
【详解】解：
2
3
7
0
a
a
和
4
2
3
7
0
b
b
，
设
2
c
b
，则
2
3
7
0
c
c
．
令
2
d
c
b
，代入得
2
3
7
0
d
d
，与
2
3
7
0
a
a
形式相同，
故a 和
2
b
是方程
2
3
7
0
x
x
的两个根．
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根据根与系数的关系，得：
2
2
3,
7
a
b
a
b
即：
2
2
3,
7
a
b
ab
代入代数式：
2
2
2
1
4
4
3
3
b
a
ab
b
a
a
由
2
3
a
b
，得
2
3
b
a
，
代入分子：
2
2
1
3
4
2
3
4
2
7
a
a
a
a
a
a
，
∴
2
2
7
3
a
a
a
，
由
2
3
7
0
a
a
，得
2
3
7
a
a
，代入分子：
3
7
2
7
a
a
a
，
∴
1
3
3
a
a
．
三、解答题（共68 分）
17．解方程：
(1)
2
6
4
0
x
x
(2)
(
)
3
2
4
2
x x
x
．
【答案】(1)
1
3
13
x
，
2
3
13
x
(2)
1
2
3
x
，
2
2
x
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
2
6
4
0
x
x
，
1
a ，
6
b ，
4
c
，
2
2
Δ
4
6
4 1
4
52
0
b
ac
，
6
52
3
13
2
x
，
1
3
13
x
，
2
3
13
x
；
（2）解：
3
2
2
2
x x
x
，
3
2
2
2
0
x x
x
，
3
2
2
0
x
x
，
3
2
0
x
或
2
0
x
，
1
2
3
x
，
2
2
x
．
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18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
2
2
1
3 2
1
x
x
．
解：方程两边同除以
2
1
x
，得2
1
3
x
．…第一步
移项，合并同类项，得2
4
x
．…第二步
系数化为1，得
2
x
．…第三步
任务：
(1)小昊的解法从第_______步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是_______．
(3)用因式分解法解方程：
2
2
3
6
x x
x
．
【答案】(1)一
(2)
1
1
2
x
，
2
2
x
(3)
1
2
x
，
2
3
2
x
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据解题过程结合等式的性质即可解答；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误；
（2）解：
2
2
1
3 2
1
x
x
2
2
1
3 2
1
0
x
x
2
1 2
1 3
0
x
x
2
1 2
4
0
x
x
∴2
1
0
x
或2
4
0
x
∴
1
1
2
x
，
2
2
x
；
（3）解：
2
2
3
6
x x
x
2
2
3
2
x x
x
2
2
3
2
0
x x
x
2
2
3
0
x
x
∴
2
0
x
或2
3
0
x
∴
1
2
x
，
2
3
2
x
．
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19．关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
m
x
m
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为负数，求m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
1
m
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．
（1）将
1,
2 ,
1
a
b
m
c
m
代入根的判别式计算求证即可；
（2）先利用因式分解法解方程得到
1
2
1,
1
x
m
x
，再根据题意可得
1
0
m
，再解不等式即可．
【详解】（1）证明：方程
2
2
1
0
x
m
x
m
中，
1,
2 ,
1
a
b
m
c
m
∴
2
2
2
4
2
4 1
1
0
b
ac
m
m
m
∴方程总有两个实数根；
（2）解：
2
2
1
0
x
m
x
m
1
1
0
x
m
x
1
0
x
m
或
1
0
x
∴
1
2
1,
1
x
m
x
∵方程有一根为负数
∴
1
0
m
，
∴
1
m
．
20．已知关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
（b、c 为常数）
(1)若
3
b
c
，求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x ，
2x 是该方程的两个根，且
1
2
2
x
x
，求证：
2
2
9
b
c
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据判别式，结合
3
b
c
，进行证明即可；
（2）根据根与系数的关系得
1
2
x
x
b
，
1
2
x x
c
，再结合
1
2
2
x
x
，进行证明即可．
【详解】（1）证明：
3
b
c
2
4
b
c
2
3
4
c
c
2
2
9
c
c
2
1
8
0
c
因此，该方程总有两个不相等的实数根；
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（2）证明：根据根与系数的关系得
1
2
x
x
b
，
1
2
x x
c
1
2
2
x
x
2
2
2x
x
b
解得
2
3
b
x
则
1
2
2
3
3
b
b
x
2
3
3
b
b
c
即
2
2
9
b
c
．
21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程
4
6
x x
．
解：原方程可变形得
2
2
2
2
6
x
x
．
2
2
2
2
6
x
，
2
2
2
6
2
x
，
2
2
10
x
．
直接开平方并整理，得
1
2
10
x
，
2
2
10
x
．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
请用“平均数法”解方程：
5
3
6
x
x
．
【答案】
1
2
1
22,
1
22
x
x
【分析】将原方程整理为
1
4
1
4
6
x
x
，依据平方差公式可得
2
2
(
1)
4
6
x
，再整理，并开
方可得答案．
【详解】解：(
5)(
3)
6
x
x
，
原方程变形，得
1
4
1
4
6
x
x
由平方差公式，得
2
2
(
1)
4
6
x
，
即
2
(
1)
22
x
，
开方，得
1
22
x
，
∴
1
2
1
22,
1
22
x
x
．
22．对于二次三项式
2
2
2
x
ax
a
，可以直接用公式法分解为
2
x
a
的形式，但对于二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
，
就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
中先加上一项
2
a ，使
2
2
2
3
x
ax
a
中的前两项
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与
2
a 构成完全平方式，再减去
2
a 这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
x
ax
a
x
ax
a
a
a
2
2
2
3
x
a
a
x
a
x
a
．像上面这样把二次三项式分解因式
的方法叫做配方法．
(1)如果
2
4
a
a
（
）是一个完全平方式，则括号内的常数应为；
(2)用“配方法”分解因式：
2
6
7
x
x
；
(3)用“配方法”分解因式：
2
3
6
12
x
x
．
【答案】(1)4
(2)
7
1
x
x
(3)
3
1
5
1
5
x
x
【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项；
（2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式；
（3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可．
【详解】（1）解：设括号内的常数为
2
k ，
由于
2
2
4
a
a
k
是完全平方式，
则2
4
ka
a
，
解得：
2
k
，
因此，括号内的常数应为
2
2
2
4
k
；
（2）解：
2
6
7
x
x
2
2
2 3
3
9
7
x
x
2
3
16
x
2
2
3
4
x
3
4
3
4
x
x
7
1
x
x
；
（3）解：
2
3
6
12
x
x
2
3
2
4
x
x
2
3
2
1 5
x
x
2
3
1
5
x
2
2
3
1
5
x
3
1
5
1
5
x
x
．
23．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023 年
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生产总量有20 万件，2025 年生产总量达到45 万件．
(1)求2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
(2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40 件，每件盈利40 元，为扩大销售，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商品平均每天可多售出4 件．若
商场平均每天要盈利2400 元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】(1)2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率50%；
(2)每件衬衫应降价20 元；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键；
（1）设2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于x 的一元二次方程，解
之取其正值即可得出结论；
（2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬
衫应降价m 元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果．
【详解】（1）解：设2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率x
由题意得：
2
20 1
45
x
解得：
1
0.5
50%
x
或
2
2.5
x
（不合题意，舍去）
答：2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率50%；
（2）解：设每件衬衫应降价m 元
由题意得：
40
4
40
2400
m
m
整理得：
2
30
200
0
m
m
，即
10
20
0
m
m
解得：
10
m
或
20
m
因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存
所以
20
m
答：每件衬衫应降价20 元．
24．对于关于x 的代数式
2
ax
bx
c
（a，b，c 是常数，且
0
a
），若存在实数m，使得当x
m
时，代数
式的值也等于m，则称m 为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x 的代数式
2
x ，当
0
x
时，代数式的
值等于0；当
1
x 时，代数式的值等于1，我们就称0 和1 都是这个代数式的“不动值”．
(1)下列x 的取值：①
1
x ，②
0
x
，③
1
x ，④
2
x
；其中是关于x 的代数式
2
2
x
的“不动值”是______
（填序号）；
(2)判断关于x 的代数式
2
3
1
x
x
是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说
明理由；
(3)若关于x 的代数式
2
3
x
x
c
有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3 倍，求c 的值．
【答案】(1)①④
(2)不存在，理由见解析
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(3)3
【分析】（1）根据定义求解即可；
（2）由题意得方程
2
3
1
x
x
x
，再由根的判别式求解即可；
（3）由题意得，
2
3
x
x
c
x
有两个实数根，且一个根是另一个根的3 倍，再根据一元二次方程根与系数
的关系求解即可．
【详解】（1）解：①当
1
x 时，
2
2
2
1
2
1
x
，符合题意；
②当
0
x
时，
2
2
2
0
2
2
0
x
，不符合题意；
③当
1
x 时，
2
2
2
1
2
1
1
x
，不符合题意；
④当
2
x
时，
2
2
2
2
2
2
x
，符合题意，
∴其中是关于x 的代数式
2
2
x
的“不动值”是①④；
（2）解：不存在，理由如下：
若关于x 的代数式
2
3
1
x
x
存在“不动值”，
则
2
3
1
x
x
x
，
整理得，
2
3
2
1
0
x
x
，
此时
2
2
4 3 1
8
0
，
∴此方程无实数根，
故关于x 的代数式
2
3
1
x
x
不存在“不动值”；
（3）解：由题意得，
2
3
x
x
c
x
有两个实数根，且一个根是另一个根的3 倍，
整理得，
2
4
0
x
x
c
，
设两个实数根为,3
m
m ，
则由一元二次方程根与系数的关系得到，
3
4
m
m
，
2
3
3
c
m
m
m
解得
1
m
∴
2
3 1
3
c
．
25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的两根为
1
2
x
x
、
，
1
2
1
2
b
c
a
x
x
x x
a
，
，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于
1
2
x
x
、
的代数式的值．
问题解决：
（1）已知
1x 、
2x 为方程
2
3
1
0
x
x
的两根，则：
1
2
3
x
x
；
1
2
1
x x
；那么
2
2
1
2
x
x
．（请你完成以
上的填空）
阅读材料II：已知
2
2
1
0
1
0
m
m
n
n
，
，且
1
mn ．求m
n
mn
，
的值．
解：由
2
1
0
n
n
可知
0
n
2
1
1
1
0
n
n
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1
1
1
0
n
n
．
又
2
1
0
m
m
，且
1
mn ，
即
1
m
n
，
1
m n
，是方程
2
1
0
x
x
的两根．
1
1
1
1
m
m
n
n
，
问题解决：
（2）若
1
ab ，且
2
2
2
2018
3
0 3
2018
2
0
a
a
b
b
，
，则a
b ___________；
（3）已知
2
2
3
1
0
m
m
，
2
3
2
0
n
n
，且
1
mn ．求
2
2
1
m
n
的值．
【答案】（1）11；（2）3
2 ；（3）13
4 ．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的
关系是解答此题的关键．
（1）根据根与系数的关系可求出
1
2
x
x
和
1
2
x x 的值，然后利用完全平方公式将
2
2
1
2
x
x
变形为
2
1
2
1
2
2
x
x
x x
，再代值求解即可；
（2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、1
b 看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据
此即可求解；
（3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m 和1
n 看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据
此即可求解．
【详解】解：（1）∵
1
2
x
x
、
为方程
2
3
1
0
x
x
的两根，
∴
1
2
3
b
x
x
a
，
1
2
1
c
x x
a
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2
1
11
x
x
x
x
x x
故答案为：11；
（2）
2
2
2
2018
3
0 3
2018
2
0
a
a
b
b
，
，
由
2
3
2018
2
0
b
b
可知
0
b
；
∴
2
2018
2
3
0
b
b
，
∴
2
2
2018
3
0
b
b
16 / 18
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又
2
2
2018
3
0
a
a
，且
1
ab ，即
1
a
b
；
∴a、1
b 是方程
2
2
2018
3
0
x
x
的两根，
∴
1
3
2
a b
，即
3
2
a
b
；
故答案为：3
2 ；
（3）由
2
3
2
0
n
n
可知
0
n
；
∴
2
3
2
1
0
n
n
，
∴
2
2
3
1
0
n
n
，
又
2
2
3
1
0
m
m
，且
1
mn ，即
1
m
n
；
∴m、1
n 是方程
2
2
3
1
0
x
x
的两根，
∴
1
3
1
1
2
2
m
m
n
n
，
；
∴
2
2
2
2
1
1
1
3
1
13
2
2
2
2
4
m
m
m
n
n
n
．
26．如图，在矩形ABCD中，
8
AB
cm
，
16
BC
cm
，点P 从点A 出发沿AB 以1
/
cm s 的速度向点B 移动；
同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2
/
cm s 的速度向点C 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为
t 秒．
(1)在运动过程中，PQ 的长度能否为2 13cm ？若能，求出t 的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，PDQ
的面积能否为
2
32cm ？若能，求出t 的值，若不能，请说明理由；
(3)取PQ 的中点M ，运动过程中，当
90
AMD
时，直接写出t 的值为________．
【答案】(1) PQ 的长度能为2 13cm ，
6
5
t
或
2
t
(2)不能，理由见解析
(3)8 或8
5
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【分析】（1）根据题意可知：
cm
AP
t
，
8
cm
BP
AB
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，根据勾股定理及一元二
次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动x 秒钟后PDQ
的面积为
2
32cm ，则AP
xcm
，
8
cm
BP
x
，
2 cm
BQ
x
，
16
2
cm
CQ
x
，
利用分割图形求面积法结合PDQ
的面积为
2
32cm ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）以B 点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设
(0,8
)
P
t
，
(2 ,0)
Q
t
，根据两点间
的距离公式，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：PQ 的长度能为2 13cm，理由如下：
∵点P 从点A 出发沿AB 以1
/
cm s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2
/
cm s 的速度向点C 移
动，当其中一点到达终点运动即停止，
∴0
8
t
，
cm
AP
t
，
8
cm
BP
AB
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
四边形ABCD是矩形，
90
B
，
在Rt BPQ
中，
2
2
2
BP
BQ
PQ
，
2
2
2
(8
)
(2 )
(2 13)
t
t
，
解得：
6
5
t
或
2
t
，
∴PQ 的长度能为2 13 ；
（2）解：不能；理由如下：
设运动x 秒钟后PDQ
的面积为
2
32cm ，则AP
xcm
，
8
cm
BP
x
，
2 cm
BQ
x
，
16
2
cm
CQ
x
，
DPQ
ADP
CDQ
BPQ
ABCD
S
S
S
S
S
矩形
△
△
△
△
1
1
1
2
2
2
AB BC
AD AP
CD CQ
BP BQ
1
1
1
8 16
16
8(16
2 )
(8
) 2
2
2
2
x
x
x
x
2
8
64
x
x
32
，
即
2
8
64
32
x
x
，
2
8
32
0
x
x
，
2
4
64
4 32
0
b
ac
，
方程无实数根，
PDQ
的面积不能为
2
32cm ；
（3）解：如图，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
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∴
(0,8
)
P
t
，
(2 ,0)
Q
t
，
0,8
A
，
(16,8)
D
，
M
是PQ 的中点，
8
, 2
t
M t
，
2
2
2
2
8
5
8
4
16
2
4
t
AM
t
t
t
，
2
2
2
2
8
5
16
8
28
272
2
4
t
DM
t
t
t
，
，
90
AMD
，
16
AD
，
2
2
2
AM
DM
AD
，
2
2
2
5
5
4
16
28
272
16
4
4
t
t
t
t
，
整理得：
2
5
48
64
0
t
t
，
解得：1
8
t
，2
8
5
t
．
t
的值为8 或8
5 ．
故答案为：8 或8
5 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，
坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并
灵活运用．
