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第2 章
一元二次方程单元自测卷
【新教材，苏科版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：100 分）
考前须知：
1．本卷试题共26 题，单选8 题，填空8 题，解答10 题，满分100 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（
）
A．2
3
4
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．
2
1
0
x
mx
D．
2024
x
y
2．某商品原来每件售价为750 元，经过两次降价后，每件售价调整为480 元，设平均每次降价的百分率是x ，
则可列出的方程为（
）．
A．
2
480 1
750
x
B．
2
750 1
480
x
C．
480 1 2
750
x
D．
750 1 2
480
x
3．用配方法解一元二次方程
2
2
4
0
x
x
时，下列变形正确的是（
）．
A．
2
1
5
x
B．
2
1
5
x
C．
2
1
6
x
D．
2
2
8
x
4．若关于x 的一元二次方程的根为
2
1
1
4 3
5
2 3
x
，则这个方程是（
）
A．
2
3
5
0
x
x
B．
2
3
5
0
x
x
C．
2
3
5
0
x
x
D．
2
3
5
0
x
x
5．关于x 的方程
2
2
0
x
x
k
没有实数根，若k 为整数，则k 的最大值是（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程
2
1
2
0
4
kx
k
x
k
进行了讨论：甲说：这一定
是关于x 的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x 的一元一次方程；丙说：只有当
1
k 且
0
k
时，该
方程有实数根；丁说：当
1
k 时，该方程有实数根（
）
A．甲和丙说的对
B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对
D．乙和丙说的对
7．将关于x 的一元二次方程
2
0
x
px
q
变形为
2x
px
q
，就可以将
2
x 表示为关于x 的一次多项式，从
而达到“降次”的目的，又如
3
2
•
x
x x
x px
q
…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化
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简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
2
2
1
0
x
x
，且
0
x
，则
3
1
x 的值为（）
A．
2
3
B．8 5 2
C．3
5 2
D．8
2
8．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，下列说法：
①若
0
a
b
c
，则
2
4
0
b
ac
；
②若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；
③若c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
④若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
．其中正确的是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
二、填空题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分）
9．如果关于x 的一元二次方程
2
3
0
ax
bx
的一个解是
3
x
，则代数式3
2
a
b
的值为______．
10．若关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
c
没有实数根，则c 的取值范围是__________．
11．设
1x ，
2x 是一元二次方程
2
0
x
bx
c
的两个根，若
1
2
5
x
x
，
1
2
4
x x
，则b ______，c ______．
12．在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，则此方程必有一根为________．
13．已知m ，n 是二次方程
2
2024
7
0
x
x
的两个根，则
2
2
(
2023
6)(
2025
8)
m
m
n
n
的值为________．
14．已知实数x 满足
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
，则代数式
2
1
x
x
的值为________．
15．关于x 的方程
2
0
a x
m
b
的解是
1
5
x
，
2
3
x
(a，m，b 均为常数，
0
a
)，则方程
2
2
1
0
a
x
m
b
的解是___________．
16．通过学习，我们知道：若关于x 的一元二次方程
2
0
x
px
q
有两个实数根
1x ，
2x ，则
1
2
x
x
p
，
1
2
x
x
q
．已知
2
3
7
0
a
a
，
4
2
3
7
0
b
b
，且
2
0
a
b
，则代数式
2
2
4
3
ab
b
a
的值等于________．
三、解答题（共68 分）
17．解方程：
(1)
2
6
4
0
x
x
(2)
(
)
3
2
4
2
x x
x
．
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18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
2
2
1
3 2
1
x
x
．
解：方程两边同除以
2
1
x
，得2
1
3
x
．…第一步
移项，合并同类项，得2
4
x
．…第二步
系数化为1，得
2
x
．…第三步
任务：
(1)小昊的解法从第_______步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是_______．
(3)用因式分解法解方程：
2
2
3
6
x x
x
．
19．关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
m
x
m
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为负数，求m 的取值范围．
20．已知关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
（b、c 为常数）
(1)若
3
b
c
，求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
1x ，
2x 是该方程的两个根，且
1
2
2
x
x
，求证：
2
2
9
b
c
．
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21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程
4
6
x x
．
解：原方程可变形得
2
2
2
2
6
x
x
．
2
2
2
2
6
x
，
2
2
2
6
2
x
，
2
2
10
x
．
直接开平方并整理，得
1
2
10
x
，
2
2
10
x
．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
请用“平均数法”解方程：
5
3
6
x
x
．
22．对于二次三项式
2
2
2
x
ax
a
，可以直接用公式法分解为
2
x
a
的形式，但对于二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
，
就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
中先加上一项
2
a ，使
2
2
2
3
x
ax
a
中的前两项
与
2
a 构成完全平方式，再减去
2
a 这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
x
ax
a
x
ax
a
a
a
2
2
2
3
x
a
a
x
a
x
a
．像上面这样把二次三项式分解因式
的方法叫做配方法．
(1)如果
2
4
a
a
（
）是一个完全平方式，则括号内的常数应为；
(2)用“配方法”分解因式：
2
6
7
x
x
；
(3)用“配方法”分解因式：
2
3
6
12
x
x
．
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23．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023 年
生产总量有20 万件，2025 年生产总量达到45 万件．
(1)求2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
(2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40 件，每件盈利40 元，为扩大销售，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商品平均每天可多售出4 件．若
商场平均每天要盈利2400 元，每件衬衫应降价多少元？
24．对于关于x 的代数式
2
ax
bx
c
（a，b，c 是常数，且
0
a
），若存在实数m，使得当x
m
时，代数
式的值也等于m，则称m 为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x 的代数式
2
x ，当
0
x
时，代数式的
值等于0；当
1
x 时，代数式的值等于1，我们就称0 和1 都是这个代数式的“不动值”．
(1)下列x 的取值：①
1
x ，②
0
x
，③
1
x ，④
2
x
；其中是关于x 的代数式
2
2
x
的“不动值”是______
（填序号）；
(2)判断关于x 的代数式
2
3
1
x
x
是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说
明理由；
(3)若关于x 的代数式
2
3
x
x
c
有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3 倍，求c 的值．
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25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的两根为
1
2
x
x
、
，
1
2
1
2
b
c
a
x
x
x x
a
，
，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于
1
2
x
x
、
的代数式的值．
问题解决：
（1）已知
1x 、
2x 为方程
2
3
1
0
x
x
的两根，则：
1
2
3
x
x
；
1
2
1
x x
；那么
2
2
1
2
x
x
．（请你完成以
上的填空）
阅读材料II：已知
2
2
1
0
1
0
m
m
n
n
，
，且
1
mn ．求m
n
mn
，
的值．
解：由
2
1
0
n
n
可知
0
n
2
1
1
1
0
n
n
2
1
1
1
0
n
n
．
又
2
1
0
m
m
，且
1
mn ，
即
1
m
n
，
1
m n
，是方程
2
1
0
x
x
的两根．
1
1
1
1
m
m
n
n
，
问题解决：
（2）若
1
ab ，且
2
2
2
2018
3
0 3
2018
2
0
a
a
b
b
，
，则a
b ___________；
（3）已知
2
2
3
1
0
m
m
，
2
3
2
0
n
n
，且
1
mn ．求
2
2
1
m
n
的值．
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26．如图，在矩形ABCD中，
8
AB
cm
，
16
BC
cm
，点P 从点A 出发沿AB 以1
/
cm s 的速度向点B 移动；
同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2
/
cm s 的速度向点C 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为
t 秒．
(1)在运动过程中，PQ 的长度能否为2 13cm ？若能，求出t 的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，PDQ
的面积能否为
2
32cm ？若能，求出t 的值，若不能，请说明理由；
(3)取PQ 的中点M ，运动过程中，当
90
AMD
时，直接写出t 的值为________．
