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第2 章 一元二次方程 单元自测卷
【新教材，苏科版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
考前须知：
1．本卷试题共26 题，单选8 题，填空8 题，解答10 题，满分100 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高
次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可．
【详解】解：选项
∵
A：
中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A 不符合要求；
选项
∵
B：
未说明
，当
时，方程不是一元二次方程，∴B 不符合要求；
选项
∵
C：
只含一个未知数
，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的
定义，∴C 符合要求；
选项
∵
D：
含有两个未知数，是二元一次方程，∴D 不符合要求．
2．某商品原来每件售价为
元，经过两次降价后，每件售价调整为
元，设平均每次降价的百分率是
，则可列出的方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用，根据降价率的计算规则，逐步推导两次降价后的
售价，结合已知最终售价即可列出方程．
【详解】解：商品原价为
∵
元，平均每次降价的百分率为
，
第一次降价后售价为
∴
元，
第二次降价在第一次降价后的售价基础上再次降价，
∵
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第二次降价后售价为
∴
元，
又两次降价后最终售价为
∵
元，
可得方程
∴
．
3．用配方法解一元二次方程
时，下列变形正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再给方程两边加一次项系数一半
的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案．
【详解】解：对原方程移项得
，
方程两边同时加得
，
整理得
，
变形正确的是选项
∴
B．
4．若关于
的一元二次方程的根为
，则这个方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、
c 的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
∴
，
，
解得
，
，
∵
，
∴
，
原方程为
∴
，
故选：B．
5．关于
的方程
没有实数根，若
为整数，则
的最大值是（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路是根据方程无实数根得到判别式小于0，求
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出k 的取值范围，再确定k 的最大整数值．
【详解】解：对于一元二次方程
，方程无实数根时判别式
．
原方程为
∵
∴
，
，
代入得
方程没有实数根
∵
∴
解不等式得
又∵k 为整数
∴k 的最大值为
6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程
进行了讨论：甲说：这一
定是关于x 的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x 的一元一次方程；丙说：只有当
且
时，
该方程有实数根；丁说：当
时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对
B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对
D．乙和丙说的对
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当
时，此时方程一定有实数根，
当
时，根据根的判别式，可以得到
的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，
的取
值范围．
【详解】解：当
时，
为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确；
当
①
时，方程为
，此时方程的根为
，即k 可以取0；
当
②
时，方程为一元二次方程，当
时，方程有实数根，即
，
解得
，
且
，
综上所述：当
时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误，
综上，乙和丁说的对．
7．将关于x 的一元二次方程
变形为
，就可以将
表示为关于x 的一次多项式，从
而达到
降次
的目的，又如
“
”
，我们将这种方法称为
降次法
，通过这种方法
…
“
”
可以化简次数较高的代数式．根据
降次法
，已知：
“
”
，且
，则
的值为（）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查求代数式的值，解一元二次方程．
利用已知方程
得到
，通过降次法将
化简为
，再结合
求得
的值，代
入计算即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
解方程
得
，
∵
，
∴
，
∴
．
故选：B．
8．对于一元二次方程
，下列说法：
若
①
，则
；
若方程
②
有两个不相等的实根，则方程
必有两个不相等的实根；
若
③
是方程
的一个根，则一定有
成立；
若
④
是一元二次方程
的根，则
．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，
当
①
时，
方程有根
，但判别式可能等于0；
由
②
有两个不等实根得出
，从而原方程判别式
大于0；
当
③
c 是根时，
，但
时
不一定为0；
由求根公式直接推导成立．
④
【详解】解：
当
①∵
时，
是方程根，
∴
，但不一定大于0，故
错误；
①
方程
②∵
有两个不等实根，
∴
，
对于方程
，
，
有两个不等实根，故
正确；
∴
②
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③∵c 是方程
的根，
∴
，即
；
当
时，
不一定为0，故
错误；
③
④∵
是一元二次方程
的根，
∴
；
∴
；
∴
，故
正确．
④
正确的是
．
∴
②④
故选：D．
二、填空题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分）
9．如果关于x 的一元二次方程
的一个解是
，则代数式
的值为______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到
与
的关系式，整理得出
的值，再利用整体代入的方法
计算代数式的值．
【详解】解：把
代入方程
得
，
整理得
，
等式两边同时除以得
，
可得
，
所以
．
10．若关于
的一元二次方程
没有实数根，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，得到根的判别式小于零，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：
关于
的一元二次方程
没有实数根，
，
解不等式得
11．设
，
是一元二次方程
的两个根，若
，
，则
______，
______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积与方程系数
, 的关系，代入已知
条件求解即可．
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【详解】解：对于一元二次方程
，由根与系数的关系可得
，
，
，
，
，解得
；
．
12．在一元二次方程
中，实数a，b，c 满足
，则此方程必有一根为
________．
【答案】
【分析】将
代入方程求解判断即可．
【详解】解：将
代入
得，
，
此方程必有一根为
．
13．已知
，
是二次方程
的两个根，则
的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得到
和
的值，并
将原表达式中的
和
用方程关系代换，化简后代入求值．
【详解】
，
是方程
的根，
根据根与系数的关系，有
，
，
由原方程得
，
，
，
，
原式
．
故答案为
．
14．已知实数x 满足
，则代数式
的值为________．
【答案】7
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．
通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入
求值．
【详解】解：设
，
则原方程化为
，
因式分解得
，
所以
或
，
即
或
．
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当
时，方程
的判别式
，无实数解，故舍去；
当
时，方程
的判别式
；
∴
．
故答案为：7．
15．关于
的方程
的解是
，
(a，m，b 均为常数，
)，则方程
的解是___________．
【答案】
，
【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程
直接开平方法等知识，解题关键是
——
掌握上述知识点并能熟练运用求解．
通过已知方程的解求出参数m 的值及a 与b 的关系，然后代入新方程求解．
【详解】解：由方程
的解为
，
，
代入得
和
．
两式相减可得
，
开方，得：
或
(不成立)，
即
，
整理得
，
所以
．
将
代入
，得
，
即
．
将
和
代入方程
，
得
，
即
，
整理得
．
由于
，
两边除以
得
，
即
，
解得∶
，
．
故答案为：
，
．
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16．通过学习，我们知道：若关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
，则
，
．已知
，
，且
，则代数式
的值等于________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通
过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立
与
的关系，再代入代数式化简求值．
由方程
和
，设
，则
，令
，代入得
，
与第一个方程同解，故
和
是方程
的两个根，根据根与系数的关系，得
和
，即
和
．代入代数式
，化简后利用
计算．
【详解】解：
和
，
设
，则
．
令
，代入得
，与
形式相同，
故
和
是方程
的两个根．
根据根与系数的关系，得：
即：
代入代数式：
由
，得
，
代入分子：
，
∴
，
由
，得
，代入分子：
，
∴
．
三、解答题（共68 分）
17．解方程：
(1)
(2)
．
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【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
或
，
，
．
18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
．
解：方程两边同除以
，得
．
第一步
…
移项，合并同类项，得
．
第二步
…
系数化为1，得
．
第三步
…
任务：
(1)小昊的解法从第_______步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是_______．
(3)用因式分解法解方程：
．
【答案】(1)一
(2)
，
(3)
，
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【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据解题过程结合等式的性质即可解答；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误；
（2）解：
∴
或
∴
，
；
（3）解：
∴
或
∴
，
．
19．关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为负数，求m 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．
（1）将
代入根的判别式计算求证即可；
（2）先利用因式分解法解方程得到
，再根据题意可得
，再解不等式即可．
【详解】（1）证明：方程
中，
∴
方程总有两个实数根；
∴
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（2）解：
或
∴
方程有一根为负数
∵
∴
，
∴
．
20．已知关于x 的一元二次方程
（b、c 为常数）
(1)若
，求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
，
是该方程的两个根，且
，求证：
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据判别式，结合
，进行证明即可；
（2）根据根与系数的关系得
，
，再结合
，进行证明即可．
【详解】（1）证明：
因此，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）证明：根据根与系数的关系得
，
解得
则
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即
．
21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程
．
解：原方程可变形得
．
，
，
．
直接开平方并整理，得
，
．
我们称小明这种解法为
平均数法
．
“
”
请用
平均数法
解方程：
“
”
．
【答案】
【分析】将原方程整理为
，依据平方差公式可得
，再整理，并开
方可得答案．
【详解】解：
，
原方程变形，得
由平方差公式，得
，
即
，
开方，得
，
∴
．
22．对于二次三项式
，可以直接用公式法分解为
的形式，但对于二次三项式
，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式
中先加上一项
，使
中的前两项与
构成完全平方式，再减去
这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公
式进一步分解．于是
．像上面这样
把二次三项式分解因式的方法叫做配方法．
(1)如果
（ ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ；
(2)用
配方法
分解因式：
“
”
；
(3)用
配方法
分解因式：
“
”
．
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【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项；
（2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式；
（3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可．
【详解】（1）解：设括号内的常数为
，
由于
是完全平方式，
则
，
解得：
，
因此，括号内的常数应为
；
（2）解：
；
（3）解：
．
23．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023 年
生产总量有20 万件，2025 年生产总量达到45 万件．
(1)求2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
(2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40 件，每件盈利40 元，为扩大销售，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商品平均每天可多售出4 件．
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若商场平均每天要盈利2400 元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】(1)2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率
；
(2)每件衬衫应降价20 元；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键；
（1）设2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于
的一元二次方程，解
之取其正值即可得出结论；
（2）根据商场平均每天盈利额
每件的盈利售出件数；每件的盈利
原来每件的盈利
降价数．设每件
衬衫应降价
元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果．
【详解】（1）解：设2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率x
由题意得：
解得：
或
（不合题意，舍去）
答：2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率
；
（2）解：设每件衬衫应降价m 元
由题意得：
整理得：
，即
解得：
或
因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存
所以
答：每件衬衫应降价20 元．
24．对于关于x 的代数式
（a，b，c 是常数，且
），若存在实数m，使得当
时，代数
式的值也等于m，则称m 为这个代数式的
不动值
．例如：对于关于
“
”
x 的代数式
，当
时，代数式
的值等于0；当
时，代数式的值等于1，我们就称0 和1 都是这个代数式的
不动值
．
“
”
(1)下列x 的取值：①
，②
，③
，④
；其中是关于x 的代数式
的
不动值
是
“
”
______（填序号）；
(2)判断关于x 的代数式
是否存在
不动值
，若存在，请求出代数式的
不动值
；若不存在，
“
”
“
”
请说明理由；
(3)若关于x 的代数式
有两个
不动值
，且一个
不动值
是另一个
不动值
的
“
”
“
”
“
”
3 倍，求c 的
值．
【答案】(1)①④
(2)不存在，理由见解析
(3)3
【分析】（1）根据定义求解即可；
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（2）由题意得方程
，再由根的判别式求解即可；
（3）由题意得，
有两个实数根，且一个根是另一个根的3 倍，再根据一元二次方程根与系数
的关系求解即可．
【详解】（1）解：
当
①
时，
，符合题意；
当
②
时，
，不符合题意；
当
③
时，
，不符合题意；
当
④
时，
，符合题意，
其中是关于
∴
x 的代数式
的
不动值
是
；
“
”
①④
（2）解：不存在，理由如下：
若关于x 的代数式
存在
不动值
，
“
”
则
，
整理得，
，
此时
，
此方程无实数根，
∴
故关于x 的代数式
不存在
不动值
；
“
”
（3）解：由题意得，
有两个实数根，且一个根是另一个根的3 倍，
整理得，
，
设两个实数根为
，
则由一元二次方程根与系数的关系得到，
，
解得
∴
．
25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于
的一元二次方程
的两根为
，
，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于
的代数式的值．
问题解决：
（1）已知
、
为方程
的两根，则：
；
；那么
．（请你完成
以上的填空）
阅读材料II：已知
，且
．求
的值．
解：由
可知
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．
又
，且
，
即
，
是方程
的两根．
问题解决：
（2）若
，且
，则
___________；
（3）已知
，
，且
．求
的值．
【答案】（1）11；（2）
；（3）
．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的
关系是解答此题的关键．
（1）根据根与系数的关系可求出
和
的值，然后利用完全平方公式将
变形为
，再代值求解即可；
（2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、
看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据
此即可求解；
（3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m 和
看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，
据此即可求解．
【详解】解：（1）∵
为方程
的两根，
∴
，
，
故答案为：11；
（2）
，
由
可知
；
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，
∴
又
，且
，即
；
∴a、
是方程
的两根，
∴
，即
；
故答案为：
；
（3）由
可知
；
∴
，
∴
，
又
，且
，即
；
∴m、
是方程
的两根，
∴
；
∴
．
26．如图，在矩形
中，
，
，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动；
同时，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间
为秒．
(1)在运动过程中，
的长度能否为
？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
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(2)在运动过程中，
的面积能否为
？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(3)取
的中点
，运动过程中，当
时，直接写出的值为________．
【答案】(1)
的长度能为
，
或
(2)不能，理由见解析
(3)8 或
【分析】（1）根据题意可知：
，
，
，根据勾股定理及一元二
次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动
秒钟后
的面积为
，则
，
，
，
，利用分割图形求面积法结合
的面积为
，即可得出关于
的一元二次方程，
解之即可得出结论；
（3）以
点为坐标原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，设
，
，根据两点
间的距离公式，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：
的长度能为
，理由如下：
点
∵
从点
出发沿
以
的速度向点
移动；同时，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动，当其中一点到达终点运动即停止，
∴
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
在
中，
，
，
解得：
或
，
∴
的长度能为
；
（2）解：不能；理由如下：
设运动
秒钟后
的面积为
，则
，
，
，
，
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，
即
，
，
，
方程无实数根，
的面积不能为
；
（3）解：如图，以
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
∴
，
，
，
，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：
，
解得：
，
．
的值为8 或
．
故答案为：8 或
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，
坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并
灵活运用．
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