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第2 章 一元二次方程 单元自测卷
【新教材，苏科版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
考前须知：
1．本卷试题共26 题，单选8 题，填空8 题，解答10 题，满分100 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．某商品原来每件售价为
元，经过两次降价后，每件售价调整为
元，设平均每次降价的百分率是
，则可列出的方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．用配方法解一元二次方程
时，下列变形正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．若关于
的一元二次方程的根为
，则这个方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．关于
的方程
没有实数根，若
为整数，则
的最大值是（ ）
A．1
B．0
C．
D．
6．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x 的方程
进行了讨论：甲说：这一
定是关于x 的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x 的一元一次方程；丙说：只有当
且
时，
该方程有实数根；丁说：当
时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对
B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对
D．乙和丙说的对
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7．将关于x 的一元二次方程
变形为
，就可以将
表示为关于x 的一次多项式，从
而达到“降次”的目的，又如
…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法
可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，且
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
8．对于一元二次方程
，下列说法：
①若
，则
；
②若方程
有两个不相等的实根，则方程
必有两个不相等的实根；
③若是方程
的一个根，则一定有
成立；
④若
是一元二次方程
的根，则
．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
二、填空题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分）
9．如果关于x 的一元二次方程
的一个解是
，则代数式
的值为______．
10．若关于
的一元二次方程
没有实数根，则的取值范围是__________．
11．设
，
是一元二次方程
的两个根，若
，
，则
______，
______．
12．在一元二次方程
中，实数a，b，c 满足
，则此方程必有一根为
________．
13．已知
，
是二次方程
的两个根，则
的值为________．
14．已知实数x 满足
，则代数式
的值为________．
15．关于
的方程
的解是
，
(a，m，b 均为常数，
)，则方程
的解是___________．
16．通过学习，我们知道：若关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
，则
，
．已知
，
，且
，则代数式
的值等于________．
三、解答题（共68 分）
17．解方程：
(1)
(2)
．
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18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
．
解：方程两边同除以
，得
．…第一步
移项，合并同类项，得
．…第二步
系数化为1，得
．…第三步
任务：
(1)小昊的解法从第_______步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是_______．
(3)用因式分解法解方程：
．
19．关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为负数，求m 的取值范围．
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20．已知关于x 的一元二次方程
（b、c 为常数）
(1)若
，求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
，
是该方程的两个根，且
，求证：
．
21．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程
．
解：原方程可变形得
．
，
，
．
直接开平方并整理，得
，
．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
请用“平均数法”解方程：
．
22．对于二次三项式
，可以直接用公式法分解为
的形式，但对于二次三项式
，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式
中先加上一项
，使
中的前两项与
构成完全平方式，再减去
这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公
式进一步分解．于是
．像上面这样
把二次三项式分解因式的方法叫做配方法．
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(1)如果
（ ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ；
(2)用“配方法”分解因式：
；
(3)用“配方法”分解因式：
．
23．某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023 年
生产总量有20 万件，2025 年生产总量达到45 万件．
(1)求2023 年到2025 年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
(2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40 件，每件盈利40 元，为扩大销售，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商品平均每天可多售出4 件．
若商场平均每天要盈利2400 元，每件衬衫应降价多少元？
24．对于关于x 的代数式
（a，b，c 是常数，且
），若存在实数m，使得当
时，代数
式的值也等于m，则称m 为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x 的代数式
，当
时，代数式
的值等于0；当
时，代数式的值等于1，我们就称0 和1 都是这个代数式的“不动值”．
(1)下列x 的取值：①
，②
，③
，④
；其中是关于x 的代数式
的“不动值”是
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______（填序号）；
(2)判断关于x 的代数式
是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，
请说明理由；
(3)若关于x 的代数式
有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3 倍，求c 的
值．
25．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于
的一元二次方程
的两根为
，
，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于
的代数式的值．
问题解决：
（1）已知
、
为方程
的两根，则：
；
；那么
．（请你完成
以上的填空）
阅读材料II：已知
，且
．求
的值．
解：由
可知
．
又
，且
，
即
，
是方程
的两根．
问题解决：
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（2）若
，且
，则
___________；
（3）已知
，
，且
．求
的值．
26．如图，在矩形
中，
，
，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动；
同时，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间
为秒．
(1)在运动过程中，
的长度能否为
？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，
的面积能否为
？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
(3)取
的中点
，运动过程中，当
时，直接写出的值为________．
