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第五章 一元一次方程 单元自测卷
【新教材，北师大版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．
2
4
0
x
B．4
6
x
C．4
3
7
x
y
D．
0
x
2．方程3
6
0
x
的解是（ ）
A．
2
x
B．
2
x
C．
1
2
x
D．
1
2
x
3．解方程
1
2
3
1
2
3
x
x
时，去分母正确的是（ ）
A．
3
1
2 2
3
1
x
x
B．
3
1
2 2
3
6
x
x
C．3
1 4
3
1
x
x
D．3
1 4
3
6
x
x
4．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25 元，而按原售价的九
折出售，将盈利20 元，则该商品的进价为（ ）
A．240 元
B．270 元
C．250 元
D．230 元
5．整式2
5
ax
b
的值随x 的取值不同而不同，下表是当x 取不同数值时对应的整式的值。则关于x 的方程
2
5
4
ax
b
的解为（ ）
x
4
3
2
1
0
2
5
ax
b
12
8
4
0
4
A．0
B．2
C．12
D．无法计算
6．当2
1
x
y
的值为 25 时，代数式4
2
3
x
y
的值是（
）
A．51
B．15
C．51 或45
D．15 或
9
7．对于任意有理数x ，定义它的“对称差”为：
Δ x
x
x
，例如：
Δ 3
3
3
0,Δ
2
2
2
4
．若
Δ
8
a
，则a 的值为（ ）
A．4
B．2
C．6
D．1
.
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8．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若
2
2
a
b
，则a
b
B．若4
4
a
b
，则a
b
C．若a
b
，则
2
2
2
2
a
b
m
m
D．若ac
bc
，则a
b
9．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选
自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2 人一组，每组5
个杏，则少10 个杏；若4 人一组，每组8 个杏，则多2 个杏．设杏有x 个，则所列方程正确的是（ ）
A．
10
2
2
4
5
8
x
x
B．
10
2
2
4
5
8
x
x
C．
10
2
5
8
2
4
x
x
D．
10
2
5
8
2
4
x
x
10．记
1
2
n
n
S
a
a
a
，
1
2
1
n
n
T
S
S
S
n
，称
nT 为
1a ，
2a ，…，
na 这列数的“理想数”．已知
1a ，
2a ，…，
1012
a
的“理想数”为2026，若在
1a 前面添加一个数m ，得到新的一列数m ，
1a ，
2a ，…，
1012
a
的“理
想数”仍为2026，则m 的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．若
2
x
是关于x 的方程3
2
2
x
k
的解，则k 的值为__________．
12．若
1
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m ______．
13．若关于x 的一元一次方程3
4
x
a
的解为
2
x
，则关于y 的一元一次方程
3
1
4
y
a
的解为
________．
14．已知代数式
2
mx
m
，当x 取一个值时，代数式
2
mx
m
对应的值如上表所示，则关于x 的方程
2
4
5
mx
m
的解为_____．
x
1
0
0.5
1
2
mx
m
1
2
2.5
3
15．2026 年4 月26 日，我国首艘18万立方米液化天然气（LNG ）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被
称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用40 天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产4 个，
结果提前16天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型．
16．已知关于x 的一元一次方程
2024
2025
2023
x
a
x
的解为
2026
x
，那么关于y 的一元一次方程
2022
2024
2025 2022
2023
y
a
y
解为_____．
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三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．解一元一次方程．
(1)
4 3
2
3
1
x
x
(2) 5
1
7
2
1
2
4
x
x
18．小芳同学在解关于x 的一元一次方程
1
1
2
3
x
a
x
时，误将x
a
抄成x
a
，求得方程的解为
2
x
，
请帮小芳求出原方程正确的解．
(1)求a 的值；
(2)求方程正确的解．
19．已知a ，b 为定值，关于x 的方程
2
1
3
2
kx
a
x
bk ，无论k 为何值，它的解总是2 ．求ab ．
20．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成
此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2 倍少5 天，并且甲工程队单独完成此项
工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25 天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲先单独修5 天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？
21．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程3
6
x
的解为
2
x
，2
4
0
x
的解为
2
x ，其中2 和2
互为相反数，我们就称方程3
6
x
和2
4
0
x
为“相反
方程”．
(1)请说明方程
11
5
x
x
和7
6
4
3
x
x
是“相反方程”；
(2)若关于x 的方程5
1
7
6
3
x
和8
1
2
2
x
x
m
是“相反方程”，求m 的值；
(3)若关于y 的方程
1
3
7
3
5
y
y
y
的“相反方程”的解，也是关于y 的方程8
1
4.5
2
5
y
y
n
的解，求n
的值．
22．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1 号检查水表读数，水费按月计费）
月份
1
2
3
4
5
6
7
月初水表读
数为（吨）
185
190
196
203
210
219
233
(1)二月份小晶家用水多少吨？
(2)若一月份比六月份用水少9
14 ．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3 元，若超过标准范围
超标部分每吨收取水费4.5 元，小晶家六月份共交水费54 元，求每月标准用水量．
(3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比
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下半年少4
9 ，求小晶家下半年用水量多少吨？
23．“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各
个数之和都相等．
表1
表2
表3
4
3
2
3
x
1
x
1
1
8
1
？
3
x
2
x
16
n
1
4
0
5
2
1
x
3
x
1
2
m
4
根据题意回答：
(1)表1 三阶幻方中间的数字是_____；
(2)设表2 三阶幻方中间的数字是x ，
①用含x 的代数式表示幻方中9 个数的和；
②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍；
③求第一行中间的代数式；
(3)类比于“幻方”，表3 是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表
格信息求
n
m ．
24．【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：2
( 1)
表示2 与1
差的绝对值，实际上也可以理解
为2 与1
在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，
2
x
表示x 与2
在数轴上所对应的两个点之间的
距离．进一步地，数轴上两个点A ，B ，所对应的数分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离表示为
AB
a
b
=
-
．
【简单应用】利用此结论，回答下列问题：
(1)根据绝对值的几何意义，当
4
5
x
时，x __________；
(2)当
1
3
x
x
取得最小值时，x 的取值范围是（ ）
A．
1
x B．
3
x
C．1
3
x
D．
1
x 或
3
x
(3)【变式应用】已知
8
5
1
3
7
6
12
a
a
b
b
c
c
，求a
b
c
的最小值；
(4)【实际应用】如图，一条笔直的公路边有四个居民区A 、B 、C 、D 和市民广场O ，居民区A 、B 、C 、
D 分别位于市民广场左侧3km ，右侧1km ，右侧4km，右侧9km ．现需要在该公路上建一个便民服务点P ，
直接写出这个便民服务点P 建在何处，才能使其到四个居民区A 、B 、C 、D 总路程最短？最短路程是多
少？
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