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第四章整式的加减单元自测卷
【新教材，人教版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．多项式
2
1
x y
xy
的次数是（
）
A．5
B．͵
C．2
D．ͳ
【答案】B
【详解】解：∵多项式
2
1
x y
xy
共有三项，分别为ݔʹݕ，xy ，ͳ，各项次数依次为2 1
3
，1 1
2
，Ͳ
∴该多项式最高次项的次数为͵，即多项式的次数是͵．
2．以下各组多项式按字母ܽ
降幂排列的是（
）
A．
2
3
3
7
2
a
a
a
B．
3
2
7
3
2
a
a
a
C．
3
2
3
2
7
a
a
a
D．
2
3
7
3
2
a
a
a
【答案】B
【详解】解：选项A：各项ܽ
的指数依次为1,2,0,3 ，不是从大到小排列，错误；
选项B：各项ܽ
的指数依次为3,2,1,0，符合降幂排列的要求，正确；
选项C：各项ܽ
的指数依次为3,1,0,2，不是从大到小排列，错误；
选项D：各项ܽ
的指数依次为2,1,0,3，不是从大到小排列，错误．
3．若单项式
2
2
a b
x y 与
2
4
1
3
a b
x
y 是同类项，则,a b 的值分别为（
）
A．
2,
2
a
b
B．
2,
2
a
b
C．
2,
2
a
b
D．
2,
2
a
b
【答案】C
【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相同，列出关于a、b 的方程组，解方程组即可得到结果．
【详解】解：∵单项式
2
2
a b
x y 与
2
4
1
3
a b
x
y 是同类项，
∴相同字母的指数相等，可得
2
2
4
a
b
a
b
将两个方程相加，得3
6
a
，解得
2
a
．
把
2
a
代入
4
a
b
，得2
4
b
，解得
2
b
．
因此
2,
2
a
b
．
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4．已知
2
3
a
b
，则代数式
3
6
2
2
4
a
b
a
b
的值是（
）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】A
【分析】本题考查代数式化简求值，利用整体代入法求解，先将原式整理为含
2
a
b
的形式，再代入已知条
件计算即可.
【详解】解：
2
3
a
b
Q
∴3
6
2(
2 )
4
a
b
a
b
3(
2 )
2(
2 )
4
a
b
a
b
5(
2 )
4
a
b
5 3
4
19
5．下列运算正确的是（
）
A．
2
x
x
x
B．3
2
5
a
b
ab
C．
2
2
2
3
2
5
a b
a b
a b
D．
2
3
2
a
a
a
【答案】C
【详解】解：∵
2
2
x
x
x
x
∴A 选项错误．
∵3a 与2b 不是同类项，不能合并
∴B 选项错误．
∵
2
3a b 与
2
2a b 是同类项，合并得
2
2
2
2
3
2
3
2
5
a b
a b
a b
a b
∴C 选项正确．
∵
2
3
2
2
a
a
a
a
∴D 选项错误．
6．下列说法错误的是（
）
A．
2
2
3
1
a
ab
是二次三项式
B．
2
2
3 abc
的次数是6
C．
2
1
2
x y
的系数是
1
2
D．
1
x
常数项是1
【答案】B
【详解】解：A、
2
2
3
1
a
ab
是二次三项式，原说法正确，不符合要求；
B、
2
2
3 abc
的次数是4，原说法错误，符合要求；
C、
2
1
2
x y
的系数是
1
2
，原说法正确，不符合要求；
D、
1
x
的常数项是1
，原说法正确，不符合要求．
7．如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（
）
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A．7
3
10
n
n
B．7
3
n
n
C．7
3
10
n
n
n
D．7
3
10n
【答案】C
【分析】根据长方形的面积等于两个小长方形的面积和求解即可.
【详解】解：根据题意，得
7
3
7
3
10
n
n
n
n
.
8．若
2
2
1
5
1
n
n
n
x
x
是关于x 的三次多项式，则代数式
2
2
n
n
的值是（
）
A．1
B．1
C．1
或3
D．3
【答案】D
【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n 的值，再
计算代数式的值即可
【详解】解：∵多项式是关于x 的三次多项式，
∴各项次数为非负整数，且最高次数为3.
∴
2
3
n
时，解得
1
n ，此时多项式为5
1
x
不符合题意；
2
3
n
-
=
时，解得
1
n
，此时多项式为
3
2
5
1
x
x
符合题意；
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
3
n
n
，
故选D．
9．一列单项式按以下规律排列：
2
3
4
5
6
7
,
,
, 3
5
7
9
11
13
x
x
x
x
x
x
x
,-
,-
,
，…，则第n 个单项式是（
）
A．
1
2
1
n
n
n
x
B．
1
2
1
n
n
n
x
C．
1
1
2
1
n
n
n
x
D．
1
1
2
1
n
n
n
x
【答案】C
【详解】解：符号规律：观察可知，第1 个为正，第2 个为负，第3 个为正，第4 个为负…，
即奇数项为正，偶数项为负，因此符号可表示为
1
( 1)n
；
系数绝对值规律：系数绝对值依次为1,3,5,7,9,11,L ，
∵ͳ 㘠ʹ ൈͳ െͳ，͵ 㘠ʹ ൈʹ െͳ，5
2 3 1,
，
∴第n 个单项式的系数绝对值为2
1
n ；
x 的次数规律：x 的次数依次为1,2,3,4,5,6
，因此第n 个单项式中x 的次数为݊
，
整合三部分规律，可得第n 个单项式是
1
1
2
1
n
n
n
x
．
10．有理数a，b，c 均不为0，且
0
a
b
c
，设
a
b
c
x
b
c
c
a
a
b
，则代数式
2025
2025
x
的值为（
）．
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A．2024
B．0 或1
C．2026
D．2024
或2026
【答案】D
【分析】利用已知条件
0
a
b
c
变形ݔ的表达式，再根据ܽ
ǡܾǡܿ的符号分类讨论得到ݔ的两种可能值，最
后代入计算即可．
【详解】解：∵
0
a
b
c
，且ܽ
，ܾ，c 均不为Ͳ，
∴b
c
a
，c
a
b
，a
b
c
，
代入ݔ的表达式得：
a
b
c
a
b
c
x
a
b
c
a
b
c
，
∵
0
a
b
c
，ܽ，ܾ，c 均不为Ͳ，
∴ܽ，ܾ，c 不可能全为正，也不可能全为负，只有两种情况：
①当ܽ
，ܾ，c 为两正一负时，a
a
，b
b
，c
c
的结果为两个ͳ，一个1
，和为ͳ，
∴
1
x ，
代入得
2025
2025
2025
( 1)
2025
1 2025
2026
x
；
②当ܽ
，ܾ，c 为两负一正时，a
a
，b
b
，c
c
的结果为两个1
，一个ͳ，和为1
，
∴
1
x ，
代入得
2025
2025
2025
1
2025
1
2025
2024
x
；
∴代数式的值为2024
或2026
．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．单项式
2
6xy 的系数是_______．
【答案】6
【详解】解：单项式
2
6xy 的数字因数为6 ，即系数是6 ．
12．化简：
2
3
2
a
b
a
b
-
______．
【答案】
ͷܾ
【详解】解：原式
2
3
2
2
a
b
a
b
，
2
2
3
2
a
a
b
b
，
5b
．
13．下列式子中：
3
2
m
，ܽ，abc，x
y
，
3
2
8
7
2
x
x
，整式有______个．
【答案】Ͷ/四
【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．根据整式的定义，
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判断所给式子是否为整式，从而确定整式的个数．
【详解】解：
3
2
m
：分母含有字母，是分式，不是整式；ܽ
：单独的一个字母，是单项式，属于整式；
abc：字母的乘积，是单项式，属于整式；
ݔെݕ：两个单项式的和，是多项式，属于整式；
3
2
8
7
2
x
x
：三个单项式的和，是多项式，属于整式；
故答案为：Ͷ．
14．已知
2
3
a
b
，则
2 2
10
4
a
b
b
_____．
【答案】16
【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将
2
3
a
b
整体代入计算即可．
【详解】解：∵
2
3
a
b
，
∴
2 2
10
4
a
b
b
4
2
10
4
a
b
b
4
8
4
a
b
4
2
4
a
b
4 3
4
16
．
15．若关于ݔ的多项式
2
1
4
9
n
n
x
x
有三项且次数是3，则݊
的值为_____．
【答案】1
【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得
2
3
n
，根据多项式
的项数的定义可得
1
0
n
，据此求解即可．
【详解】解：∵关于ݔ的多项式
2
1
4
9
n
n
x
x
有三项且次数是3，
∴
2
3
1
0
n
n
，
∴
1
n ，
故答案为：1．
16．有理数ܽ
、ܾ、c 在数轴上的位置如图，则a
b
b
c
c
a
的化简结果为___________．
【答案】2c
【分析】由数轴可知
0
b
c
a
，c
a
，进而可得
0
a
b
，
0
b
c
，
0
c
a
，再根据绝对值的性质
化简即可．
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【详解】解：由图可知，
0
b
c
a
，c
a
，
∴
0
a
b
，
0
b
c
，
0
c
a
，
∴a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
a
2c
．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．化简：
(1) 3
2
4
a
a
a
(2)
2
2
3
4
5
3 2
x
x
x
x
【答案】(1) a
(2) 10
5
x
【分析】（1）按照合并同类项法则：把系数相加减，字母和字母的指数不变进行合并即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
3
2
4
3
2
4
a
a
a
a
a
；
（2）解：
2
2
3
4
5
3 2
x
x
x
x
2
2
3
4
5
6
3
x
x
x
x
10
5
x
．
18．先化简，再求值：
2
2
2
7
3
2
2
5
6
x
x
x
x
x
，其中
2
x
．
【答案】
2
2
4
5
x
x
，5
【分析】将原式化简后代入求值即可．
【详解】解：
2
2
2
7
3
2
2
5
6
x
x
x
x
x
2
2
2
7
3
2
2
6
5
x
x
x
x
x
2
7
3
2
2
6
5
x
x
2
2
4
5
x
x
将
2
x
代入得：
2
2
2
4
2
5
2 4
8
5
5
．
19．观察下列各单项式：
2
3
4
5
6
,4
,9
,16
,25
,
a
a
a
a
a
根据你发现的规律：
(1)请你写出第9 个单项式为，第n 个单项式为．
(2)请你求出当ܽ
㘠െͳ 时，第9 个单项式与第10 个单项式和的值．
【答案】(1)
10
81a ，
2
1
n
n a
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(2) 19
【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．
（1）根据题意得到所给单项式的系数，字母ܽ
的指数的规律，即可求解；
（2）由（1）中规律解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为1,4,9,16,25,
，即
2
2
2
2
2
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,
，
∴第݊
个单项式的系数为
2
n ，
∵单项式中字母ܽ
的指数依次为2,3,4,5,6,L ，
∴第݊
个单项式中字母ܽ
的指数为݊
指ͳ，
∴第݊
个单项式为
2
1
n
n a ，
当݊
㘠㘶时，
2
9 1
10
9
81
a
a
，
∴第9 个单项式为
10
81a ，
故答案为：
10
81a ，
2
1
n
n a ；
（2）解：由（1）得：第9 个单项式为
2
9 1
10
9
81
a
a
，
∴第10 个单项式为
11
100a ，
当ܽ
㘠െͳ 时：
第9 个单项式：
10
81
1
81
，
第10 个单项式：
11
100
1
100
，
∴第9 个单项式与第10 个单项式和的值为
81
100
19
．
20．已知多项式
1
3
3
2
2
3
2
4
m
x y
xy
n
x y
是六次三项式，求代数式
2
1
3
n
m
的值．
【答案】78
【分析】首先根据多项式是六次三项式确定
1
m
n
、的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵
1
3
3
2
2
3
2
4
m
x y
xy
n
x y
是六次三项式，
∴
1
3
m
，且
2
0
n
，
即
1
3
m
，且݊
㘠ʹ，
当
1
3,
2
m
n
时，
2
2 2
4
1
3
3
3
3
3
78
n
m
；
当
1
3,
2
m
n
时，
2
2 2
4
1
3
3
3
3
3
78
n
m
；
综上，代数式
2
1
3
n
m
的值为78．
21．定义新运算：a
b
a
b
a
b
．
(1)计算
4
1
的值；
(2)已知有理数a
b
、在数轴上满足
0,
0,
a
b
a
b
，化简a
b
．
【答案】(1)
4
1
2
；
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(2)
2
a
b
b
【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）先判断a
b
的范围，再根据新定义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
4
1
4
1
4
1
4 1 3
2
；
（2）解：∵
0,
0,
a
b
a
b
，
∴
0
a b
+
<
，
∴a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
2b
．
22．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为ݎ，
中间小圆的半径为1
2 r ，4 个半径为1
6 r 的高清圆形镜头分布在两圆之间．
(1)请用含ݎ的式子表示图中阴影部分的面积；
(2)当
2
r
cm
时，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)
2
23
36
r
(2)
2
23
9
cm
【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积即可；
（2）将
2
r
cm
代入（1）中求出的代数式即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
23
π
π
4
π
π
2
6
4
9
36
S
r
r
r
r
r
r
r
阴影
；
（2）解：当
2
r
cm
时，
2
2
23
23
π
2
36
9
S
cm
阴影
．
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∴图中阴影部分的面积为
2
23
9
cm
．
23．有这样一类题：代数式
2
3
5
kx
y
x
y
的值与x 的取值无关，求k 的值；通常的解题方法：把x，y
看作字母，k 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式
3
6
2
k
x
y
，所以
3
0
k
，即
3
k
．
(1)若关于x 的多项式
2
3
2
4
1
mx
m
m
x
的值与x 的取值无关，求m 的值；
(2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7 张图1 中的纸片按照图2 方式不重叠地放在大长方形ABCD
内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为
1S ，左下角的面积为
2
S ，当AB
的长变化时，
1
2
S
S
的值始终保持不变，求a 与b 之间的数量关系．
【答案】(1) 4
3
(2)
2
a
b
【分析】（1）合并同类项：将多项式
2
3
2
4
1
mx
m
m
x
合并为
2
3
4
2
1
m
x
m
m
，再由多项式与
x 无关，可得3
4
0
m
，即可求解；
（2）设AB
DC
x
，表示面积
1
2
3
,
2
2
S
a x
b
S
b x
a
，计算面积差：
1
2
S
S
，系数为0：因面积差
与x 无关，含x 项系数为0，即可求出a、b 关系．
【详解】（1）解：关于x 的多项式
2
3
2
4
1
mx
m
m
x
的值与x 的取值无关，
2
2
3
2
4
1
3
4
2
1
mx
m
m
x
m
x
m
m
，
3
4
0
m
，
解得：
4
3
m
．
（2）解：设AB
DC
x
，
由图可知：
1
2
3
,
2
2
S
a x
b
S
b x
a
，
1
2
3
2
2
3
2
4
2
S
S
a x
b
b x
a
ax
ab
bx
ab
a
b x
ab
，
当AB 的长变化时，
1
2
S
S
的值始终保持不变，
含x 项的系数为0，
即
2
0
a
b
，
2
a
b
．
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24．【阅读理解】我们知道：
4
2
4
2 1
5
x
x
x
x
x
，类似的，若我们把
a
b
看成一个整体，则有
4
2
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思
想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．
【方法运用】
(1)把
a
b
看成一个整体，则
2
2
2
3
7
2
a
b
a
b
a
b
__________；
(2)已知
2
2
5
x
y
，求代数式
2
3
6
21
x
y
的值；
(3)当
2025
x
时，代数式
2
1
ax
x
的值是m ，则当
2025
x
时，求
2
1
ax
x
的值（结果用含m 的代数式
表示）．
【拓展应用】
(4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4 个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为
ݔ，②号正方形的边长为y ，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长．
【答案】(1)
2
2 a
b
(2)36
(3)
4050
m
(4)20
【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可；
（2）把
2
3
6
21
x
y
用
2
2
x
y
表示，然后整体代入即可；
（3）由题意得
2
2025
1
2025
a
m
，再把
2025
x
代入，最后整体代入
2
2025
1
2025
a
m
即可求解；
（4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据
⑤号长方形的周长为20，可求得x
y
的值，从而求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
3
7
2
3
7
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
；
（2）解：
2
2
3
6
21
3
2
21
3 5
21
36
x
y
x
y
；
（3）解：当
2025
x
时，代数式
2
1
ax
x
的值是m ，
即
2
2025
2025 1
a
m
，
∴
2
2025
1
2025
a
m
；
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当
2025
x
时，
2
2
2
1
2025
2025 1
2025
1
2025
2025
2025
4050
ax
x
a
a
m
m
；
（4）解：∵①号正方形的边长为ݔ，②号正方形的边长为y ，
∴③号正方形的边长为x
y
，
∴④号正方形的边长为
2
x
y
x
x
y
，
∴⑤号长方形的长为2
3
x
y
x
x
y
，宽为y
x
，
由题意得
2 3
20
x
y
y
x
，
∴
5
x
y
，
则③号正方形的周长为4 5
20
．
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