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第一章 丰富的图形世界 单元自测卷
【新教材，北师大版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可．
【详解】解：将图A 绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意；
将图B 绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意；
将图C 绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意；
将图D 绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意．
2．“赣水欢腾 马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这
种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．两点定线
【答案】A
【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线．
3．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（ ）
.
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A．圆柱
B．圆锥
C．棱柱
D．棱锥
【答案】A
【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A 选项符合．
4．如图是某几何体放置在水平面上，则从正面看这个几何体的形状图应为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：从正面看的图形是一个正方形，在该正方形的左上角还有一个小正方形，即看到的图形如下：
5．如图，一个圆柱的侧面展开图是一个长为12 cm
，宽为8 cm
的长方形，则这个圆柱的底面积是（ ）
A．
2
36 cm
B．
2
16 cm
C．
2
36 cm
或
2
16 cm
D．
3
2
36
cm
【答案】C
【分析】本题主要考查圆的周长公式、面积公式及圆柱的展开图，理解题意，列出式子是解题关键．
分两种情况进行讨论：当以长12 cm
为底面圆的周长时；当以8 cm
为底面圆的周长时；根据圆的周长公式
和面积公式求解即可．
【详解】解：当以长12 cm
为底面圆的周长时，
底面圆的半径为：
12
2
6 cm
，
此时底面圆的面积为：
2
2
6
36
cm
；
当以长8 cm
为底面圆的周长时，
底面圆的半径为：
8
2
4 cm
，
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此时底面圆的面积为：
2
2
4
16
cm
；
综上，底面圆的面积为
2
36 cm
或
2
16 cm
．
故选：C．
6．如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据从左面应该看到有3 列，从左到右正方形的个数为2，1，1，即可解答．
【详解】解：选项A、C、D 从左面看都可以看到有3 列，且从左到右正方形的个数为2，1，1，故选项A、
C、D 不符合题意；
选项B 从左面看只能看到2 列，故B 选项符合题意．
7．传统文化 栾川豆腐是洛阳市传统特色美食，曾获非物质文化遗产，国家地理标志产品认证．其制作技
艺可追溯至汉代，兼具细腻爽滑与劲道松软特质、久煮不散（如图）．用刀截一个正方体栾川豆腐块，截
面不可能是（ ）
A．七边形
B．六边形
C．矩形
D．三角形
【答案】A
【分析】根据截面经过几个面来判断截面是几边形即可．
【详解】解：正方体最多有6 个面，截面最多也经过6 个面，所以得到的多边形的边数最多是六边形，所
以不可能是七边形．
8．如图，泗阳电视塔塔身高158 米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，
如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（ ）边形
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A．六
B．七
C．八
D．九
【答案】C
【分析】考查了截一个几何体；
截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平
面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形．
【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形，
所以边数最多的截面形状是八边形．
故选：C．
9．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：cm），
为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（ ）
3
cm
A．6
B．8
C．10
D．15
【答案】A
【详解】解：
3
3 1
5
3 1
1
2 3 1
6cm
，
∴这个盒子的容积为
3
6cm ．
10．把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形
图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可．
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【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“
”和“
”所在
的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有C 符合题意，正确．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学
原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）．
【答案】
点动成线
【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系，
根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线．
【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线．
故答案为：点动成线．
12．如图，将一个长是6cm、宽是2cm 的长方形，绕长所在的直线旋转一周，得到的立体图形的侧面积是
______
2
cm ．（结果保留π ）
【答案】24
【分析】本题主要考查了求圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是解题的关键；由题意可得以6cm
所在的边进行旋转，然后根据圆柱的侧面积公式进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：以6cm所在的边进行旋转，则形成的图形为圆柱，
此时圆柱的侧面积为
2
2
2 6
24
cm
．
故答案为：24．
13．用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______．
【答案】③
【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形．
【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆；
②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆；
③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆；
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④球，用任意平面去截，截面都是圆．
综上所述，截面不可能是圆的几何体是③．
14．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是
________．
【答案】
们
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，
所以“中”与“们”是对面．
15．如图是一个三棱柱从三个方向看所得到的形状图．若从正面看的高为4cm ，从上面看三角形的边长都
为3cm ，则这个几何体的侧面积为_________．
【答案】
2
36cm
【分析】根据图形可得侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可．
【详解】解：
2
3 4 3
36cm
，
∴这个几何体的侧面积为
2
36cm ．
16．如图，同一副七巧板分别拼成图1、图2 两种图案，图1是面积为16的正方形，图2 是小兔图案，则图2
中阴影部分面积为________．
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【答案】
6
【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图2 中阴影部分由哪些图形组成，
利用总面积计算各部分面积之和即可．
【详解】解：设图1大正方形的面积为S ，
∴
16
S
，
根据七巧板的性质，平行四边形的面积为1
8 S ，小正方形的面积为1
8 S ，小等腰直角三角形的面积为1
16 S
观察图2 可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成，
∴阴影部分的面积为：
1
1
1
16
16
16
2
8
8
16
2
2
2
6
．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．考考你的想象力
如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？
【答案】球、茶杯、葫芦
【分析】由平面图旋转得到立体图形，据此即可解答．
【详解】解：半圆旋转一周得到一个球；
半边茶杯旋转一周得到一个茶杯；
半边葫芦旋转一周得到一个葫芦．
18．如图是某种几何体表面的展开图．
(1)该几何体是：________（填写几何体名称）：
(2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积．
【答案】(1)长方体
(2)该几何体的体积为256 ，表面积为288
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【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算．
（1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体；
（2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体；
（2）长方体的长为：24
2 4
16
，
体积为
2
4
16
256
；
表面积为4 4 16
4 4 2
288
；
因此，该几何体的体积为256 ，表面积为288 ．
19．如图是用9 块完全相同的小正方体搭成的几何体，请在方格中画出这个几何体从三个方向看得到的形
状图．
【答案】图见解析
【详解】解：由题意，画出图形如下：
20．如图1 是两个几何体的表面展开图，图2 是一个正方体的表面展开图．
(1)写出图1 中对应几何体的名称：①__________，②__________；
(2)将图2 的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求x
y
z
的值．
【答案】(1)长方体（或四棱柱）； 三棱锥
(2)11
【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正
方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键．
（1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体；
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（2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出x 、y
z
的值，进而计算
x
y
z
．
【详解】（1）解：图1 中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥.
（2）解：由题图可知x 与1，2 与4，y 与z 相对．
∵相对的两个面上的数字之和均相等，2
4
6
，
1
6,
6
x
y
z
．
5
x
．
11
x
y
z
．
21．观察下列图形，解决相关问题：
(1)把左侧的平面图形绕直线MN 旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“ A ”或“ B ”）；
(2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留π ）
（已知：
2
π
V
r h
圆柱
，
2
1
3 π
圆锥
V
r h
，其中h 为对应几何体的高，r 为圆柱底面圆的半径，
1
3
V
Sh
棱锥
，S 为
棱锥底面的面积，h 为棱锥的高）
【答案】(1) A
(2)31.25π
【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形．
（2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为2.5cm，圆柱高为4cm ，圆锥高为
7
4
3 cm
，
代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解．
【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线MN 旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆
柱的图形，
故答案为：A ．
（2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为2.5cm，圆柱高为4cm ，圆锥高为
7
4
3 cm
，
∴圆锥的体积为
2
3
1 π
2.5
3
6.25π
3
V
cm
圆锥
，圆柱的体积为
2
3
π
2.5
4
25π
V
cm
圆柱
，
∴这个几何体的体积为
3
25π
6.25π
31.25π
V
V
cm
圆锥
圆柱
．
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22．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是
常见的一些多面体：
操作探究：
（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数
V 、面数
F 和棱数
E ，填写下表中空缺的部分：
多面体
顶点数
V
面数
F
棱数
E
四面体
4
4
六面体
8
6
八面体
8
12
十二面体
12
30
通过填表发现：顶点数
V 、面数
F 和棱数
E 之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学
家欧拉（.L Euler ，1707 1783
）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱；
（3）已知一个多面体有16 个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数．
多面体
顶点数
V
面数
F
棱数
E
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
【答案】（1）填表见解析，
2
V
F
E
；（2）五；（3）10
【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关
键．
（1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数2
；
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（2）根据棱柱的定义进行解答即可；
（3）由（1）得出的规律进行解答即可．
【详解】解：（1）填表如下：
多面体
顶点数
V
面数
F
棱数
E
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
顶点数
V 、面数
F 和棱数
E 之间的数量关系是
2
V
F
E
，
故答案为：
2
V
F
E
；
（2）∵一个棱柱只有七个面，必有2 个底面，
∴有7
2
5
个侧面，
∴这个棱柱是五棱柱，
故答案为：五；
（3）由题意得：棱的总条数为16 3
24
2
（条），
由
2
V
F
E
可得16
24
2
F
，
解得：
10
F
，
故该多面体的面数为10．
23．如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．
(1)两次旋转所形成的几何体都是______；
(2)若x
y
w
（w 是常数），分别记绕长度为x、y 的边旋转一周的几何体的体积为
x
V 、
y
V ，其中x、
x
V 、
y
V
的部分取值如下表所示：
x
1
2
3
4
5
x
V
32
m
y
V
n
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①通过表格中的数据计算：w _____，m _____，n _____；
②当x 逐渐增大时，
y
V 的变化情况：___________________；
③若把旋转一周所得的两个几何体叠放在一起，组成一个新的几何体，请直接写出这个新的几何体的体积
的最大值．
【答案】(1)圆柱
(2)①6，16，25
②先增大，后减小
③54
【分析】本题考查了点、线、面、体、因式分解、配方法求最值，熟练掌握圆柱的体积公式解题的关键．
（1）根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱；
（2）①根据
2
x
V
y x
，
2
y
V
x y
计算即可；
②列出表格分析数据的变化情况；
③表示出
x
y
V
V
V
，结合配方法解题即可．
【详解】（1）解：根据圆柱的定义可知，旋转所得的几何体是圆柱；
故答案为：圆柱；
（2）解：①当
2
x
时，
2
2
2
32
x
V
y x
y
，
解得
4
y
，
∴
2
4
6
w
x
y
；
当
4
x
时，
6
4
2
y
，
2
2
2
4
16
x
V
y x
，
∴
16
m
；
当
5
x
时，
6
5
1
y
，
2
25
1
25
y
V
x y
，
∴
25
n
；
故答案为：6，16，25；
②
2
2 6
y
V
x y
x
x
，
表格补全如下：
x
1
2
3
4
5
y
V
5
16
27
32
25
可以发现，当x 逐渐增大时，
y
V 先增大，后减小；
故答案为：先增大，后减小；
③
x
y
V
V
V
2
2
y x
x y
2
2
6
6
x
x
x
x
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6
6
x x
x
x
6
6
x x
2
6
6
x
x
2
6
3
9
x
则当
3
x
时，V 有最大值54．
24．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动．
(1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号）
(2)综合实践小组利用边长为12 厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1 方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4 厘米的小正方形，
再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米；
②如图2，将原正方形沿着MN 剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12 厘米，宽为8 厘米的长方形纸
片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然
后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．
甲：如图3，盒子底面的四边形ABCD 是正方形；
乙：如图4，盒子底面的四边形ABCD 是正方形；
丙：如图5，盒子底面的四边形ABCD 是长方形，
2
AB
AD
．
请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积
,
,
V V
V
甲
乙
丙的大小．
【答案】(1)④
(2)①16平方厘米；②V
V
V
乙
甲
丙．
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【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特
征及长方体容积公式是解题的关键．
（1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号．
（2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙
三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小．
【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体，
故答案为：④；
（2）解：①正方形纸板边长为12厘米，剪去的小正方形边长为4 厘米，
底面边长
12
2 4
4
厘米，
底面积
4 4
16
平方厘米；
②甲方案：底面四边形ABCD 是正方形，且12
4
3
，
底面边长
3
厘米，高
8
3
5
厘米，
V
3 3 5
45
甲
立方厘米；
乙方案：∵底面四边形ABCD 是正方形，且8
4
2
厘米，
∴底面边长
2
厘米，高
12
2
10
厘米，
∴V
2 2 10
40
乙
立方厘米；
丙方案：
2
AB
AD
，且
12
AD
AB
AB
AD
，
6
12
AD
，
解得
2
AD
厘米，
4
AB
厘米，
高
8
2
6
厘米，
2 4 6
48
V
丙
立方厘米，
40
45
48
，
V
V
V
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