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第三章代数式单元自测卷
【新教材，人教版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．某文具店笔记本单价为a 元，圆珠笔单价为b 元，购买3 本笔记本、5 支圆珠笔总费用为（
）
A．3
5
a
b
B．5
3
a
b
C．8ab
D．
3
5
a
b
【答案】A
【分析】本题考查列代数式，能够熟练掌握数学中常见的数量关系为解题的关键．
本题根据“总价=单价×数量”的关系，分别计算两种商品的总价，再求和得到总费用即可．
【详解】解：∵笔记本单价为a 元，购买3本，
∴购买笔记本的总费用为3a 元，
∵圆珠笔单价为b 元，购买ͷ 支，
∴购买圆珠笔的总费用为5b 元，
∴购买两种商品的总费用为
3
5
a
b
（元）．
2．下列各式中：①1
3 2 a ；②
a
b
c
；③
3
n 人；④2 5
；⑤
2
2.5a b ．其中符合代数式书写要求的个数有
(
)
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】C
【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此1
3 2 a 不符合要求；
②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此
a
b
c
不符合要求；
③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此
3
n
人不符合要求；
④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此2 5
不符合要求；
⑤
2
2.5a b 符合代数式的书写要求．
∴符合书写要求的式子共1 个，故选C．
3．根据流程图中的程序，若输入ݔ的值为1
，则输出y 的值为（
）
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A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】解题思路是按照流程图的步骤，依次代入ݔ的值计算，直到结果大于0，再输出对应的y 值．本题
考查流程图的逻辑运算，涉及的知识点是有理数的混合运算．解题中用到的方法是逐步代入法，按照流程
步骤依次计算并判断．解题关键是准确执行每一步运算，注意循环代入的条件．易错点是遗漏循环步骤，
直接输出第一次计算的结果．
【详解】输入ݔൌെͳ：
平方：
2
1
1
；
乘3：1 3
3
；
减5：3 5
2
2
0
，
，返回输入
2
x
；
输入
2
x
：
平方：Ͷ；
乘3：ͳʹ；
减5：7 7
0
，
，输出
7
y
．
故选A．
4．若
2
3
1
a
b
，则
2
3
9
2
a
b
的值是（
）
A．5
B．1
C．െͷ
D．1
【答案】D
【详解】解：∵
2
3
1
a
b
，
∴
2
2
3
9
2
3
3
2
a
b
a
b
3 1 2
1
．
5．已知ݔൌͳ 时，代数式
3
2
ax
bx
的值为14，则ݔൌെͳ 时，代数式
3
5
ax
bx
的值为（
）
A．17
B．15
C．12
D．7
【答案】A
【分析】将ݔൌͳ 代入
3
2
ax
bx
，得到a 与b 的关系式，再将ݔൌെͳ 代入
3
5
ax
bx
并利用a 与b 的关
系式求值即可．
【详解】解：当ݔൌͳ 时，
2
14
a
b
，
解得
12
a
b
，
则当ݔൌെͳ 时，
3
5
ax
bx
3
1
1
5
a
b
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5
a
b
12
5
17
．
6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点
阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10 幅图中的点数为（
）
A．37
B．33
C．20
D．29
【答案】A
【分析】先列举前三幅图中点的个数，以此类推即可解答．
【详解】解：第1 幅图中的点数为1；
第2 幅图中的点数为ͳ 图Ͷ ൈͳ；
第3 幅图中的点数为ͳ 图Ͷ ൈʹ；
……
第10 幅图中的点数为ͳ 图Ͷ ൈͻ ൌ䁨．
7．已知
3
y
ax
bx
c
，当ݔൌ䁪时，
2
y
；当ݔൌͳ 时，
8
y
；当ݔൌെͳ 时，y 的值是（
）
A．1
B．െʹ
C．െ䁨
D．4
【答案】D
【分析】先代入
0,
2
x
y
求得
2
c
，再代入
1,
8
x
y
得到
6
a
b
，最后将ݔൌെͳ 代入并整体代入
6
2
a
b
c
、
，算出ݕൌെͶ．
【详解】解：把ݔൌ䁪，
2
y
代入
3
y
ax
bx
c
，
得：2
0
0
a
b
c
，
∴
2
c
，
把ݔൌͳ，
8
y
代入
3
y
ax
bx
c
，
得：
3
8
1
1
2
a
b
c
a
b
，
整理得
6
a
b
，
把ݔൌെͳ 代入
3
y
ax
bx
c
，
得：
3
( 1)
( 1)
(
)
y
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
代入
6,
2
a
b
c
，
得：
6
2
4
y
．
8．已知a，b 互为倒数，x、y 互为相反数，n 的绝对值是2，m 是最大的负整数，则代数式
2
6
4
2
x
y
mn
ab
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的值为（
）．
A．7
B．1
C．1
D．7
【答案】C
【分析】先求出
1
ab ，
0
x
y
，
2
4
n
，
1
m ，再代入计算即可．
【详解】解：∵,a b 互为倒数，,x y 互为相反数，
∴
1
ab ，
0
x
y
，
∵݊
的绝对值是2，
∴
2
n
，
∴
2
4
n
，
∵݉
是最大的负整数，
∴
1
m ，
∴
2
6
6
0
1
4
1
4
2
4 1
2
x
y
mn
ab
．
9．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃ܣܤܥܦ．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够
长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3 个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长
为24 米．设BC 的长度为ݔ米，则长方形花圃ܣܤܥܦ的面积为（
）
A．
24
4
x
x
B．
12
x
x
C．
1
24
4
x
x
D．
1
6
4
x
x
【答案】D
【详解】解：设BC 的长度为ݔ米，则AB 的长度为24
1
6
4
4
x
x
米，
则长方形花圃ܣܤܥܦ的面积为
1
6
4
x
x
．
10．观察下列等式：
2
1
1
1
x
x
x
；
2
3
1
1
1
x
x
x
x
；
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
；
根据以上规律计算
2025
2024
2023
2022
3
2
3
3
3
3
3
3
3 1
的值是（
）
A．
2026
3
1
2
B．
2026
3
1
C．
2026
3
2
D．
2026
3
1
【答案】A
【分析】根据已知等式总结规律，再将所求式子变形，计算即可．
【详解】解：由已知等式可归纳出规律：
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1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
Q
令
3,
2025
x
n
，代入得：
2025
2024
2026
3 1
3
3
3 1
3
1
2025
2024
2026
2
3
3
3 1
3
1
2026
2025
2024
3
1
3
3
3 1
2
．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．一种商品的标价为a 元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是__________元．
【答案】0.7a
【分析】明确打折的含义，七折出售即按标价的0.7 倍出售，据此列出代数式即可.
【详解】解：已知商品标价为a 元，按标价的七折出售，
因此售价为
0.7
0.7
a
a
元.
12．呼和浩特市某景点的成人票价是每张30元，儿童票价是每张ͳͺ 元．某旅行团有ݔ名成人和y 名儿童，
则该旅行团应付门票费用总和为________元．
【答案】
30
18
x
y
【分析】利用“总价单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用．
【详解】解：成人票单价30 元，一共ݔ名成人，
成人门票费用：30x 元；
儿童票单价18 元，一共y 名儿童，
儿童门票费用：18y 元；
总费用成人费用儿童费用，
应付门票费用总和为：
30
18
x
y
元．
13．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4 个小等边三角形围成1 个小菱形，第②个图案由6 个小
等边三角形围成2 个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第26 个图案需要火柴棍的根数为______．
【答案】162
【分析】观察图形，得出规律第݊
个图案需要火柴棍的根数为
3
2
2
n
根，再代入
26
n
，计算即可得出
结果．
【详解】解：第①个图案需要火柴棍的根数为
3
2 1
2
12
根，
第②个图案需要火柴棍的根数为
3
2
2
2
18
根，
第③个图案需要火柴棍的根数为
3
2 3
2
24
根，
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…，
∴第݊
个图案需要火柴棍的根数为
3
2
2
n
根，
故第26 个图案需要火柴棍的根数为
3
2
26
2
162
根．
14．代数式
2
3
x
x
的值为7，则代数式
2
2
2
2026
x
x
的值为______．
【答案】2018
【分析】由已知条件可得
2x
x
的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果．
【详解】解：
2
3
7
x
x
，
2
4
x
x
，
2
2
2
2026
x
x
2
2
2026
x
x
2 4
2026
8
2026
2018
．
15．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入ݔൌͳ
时，输出的结果为__________．
【答案】1
【分析】利用程序图中的程序将ݔൌͳ 代入计算即可．
【详解】解：当输入ݔൌͳ 时，原式
21
3
2
0
，
将
2
x
代入得：
2
2
3
1
0
．
故输出结果为1．
16．将边长为1 的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1 次对折后得到的图形面积为
1S ，第2 次对折
后得到的图形面积为
2
S ，…，第n 次对折后得到的图形面积为
n
S ，则
1
2
3
2026
S
S
S
S
________．
【答案】ͳ െ
ͳ
ʹʹ䁪ʹ坐
【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下
部分的面积进行计算即可得解．
【详解】解：由题意知，
1
1
2
S
，
2
2
1
2
S
，
3
3
1
2
S
，…，ܵʹ䁪ʹ坐ൌ
ͳ
ʹʹ䁪ʹ坐，
剩下部分面积为ܵʹ䁪ʹ坐ൌ
ͳ
ʹʹ䁪ʹ坐，
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∴ܵͳ 图ܵ
ʹ 图ܵ
䁨图ڮ 图ܵ
ʹ䁪ʹ坐ൌͳ െ
ͳ
ʹʹ䁪ʹ坐．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．（1）计算：
5
1
8
2
（2）当ܽ
ൌ
ͳ
ʹ时，求
2
3
2
a
a
a
的值．
【答案】（1）1
（2）
1
2
【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，代数式的代入求值．
（1）先算乘除，再算加减即可求解；
（2）代入求值即可．
【详解】解：（1）
5
1
8
2
5
4
ൌͳ；
（2）ܽ
ൌ
ͳ
ʹ，
∴
2
3
2
a
a
a
2
3
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
4
2
8
1
2
18．已知a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的绝对值是2，求式子a
b
cd
m
m
的值．
【答案】ͳ 或െ䁨
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求一个数的绝对值，求代数式的值．
根据互为相反数的两个数和为零，倒数的定义，绝对值的定义，推出
0,
1,
2
a
b
cd
m
，进而分当݉
ൌʹ
时或当
2
m 时，代入代数式求解，即可解题．
【详解】解： a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的绝对值是2，
0,
1,
2
a
b
cd
m
，
当݉
ൌʹ 时，
0 1 2
1
a
b
cd
m
m
；
当
2
m 时，
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0 1 2
3
a
b
cd
m
m
．
19．已知x，y 为有理数，现规定一种新运算※，满足
1
x
y
xy
※
．
(1)求2
4
※ 的值；
(2)求(1 4)
( 2)
※ ※
的值；
(3)探究：※
和
※ 的关系；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入
和
中，在运算
后，你有什么发现？
【答案】(1)9
(2) 9
(3)见解析
【分析】本题考查定义新运算和有理数的混合运算，正确掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键．
（1）根据
1
x
y
xy
※
，代入计算即可；
（2）根据
1
x
y
xy
※
，代入计算即可；
（3）选择两个满足题意的有理数代入计算，观察结果即可．
【详解】（1）解：2
4
2
4
1
8 1
9
※
；
（2）1 4
1 4 1
5
※
，
5
( 2)
5 ( 2)
1
10
1
9
※
，
则原式
9
；
（3）选择2 和െʹ，
则2
( 2)
2 ( 2)
1
4
1
3
※
，( 2)
2
( 2) 2 1
3
※
，
2
( 2)
( 2)
2
※
※ ；
我发现在运算后，它们的值相等．
补充一般性结论，即x
y
y
x
※
※ 的证明：
设这两个有理数分别为x
y
，，
则
1
x
y
xy
※
，
1
1
y
x
yx
xy
※
，
∴x
y
y
x
※
※ ．
20．学校图书馆计划将一批图书搬运到新馆存放，每小时搬运的本数v 与搬运所需的小时数݄
之间的关系如
下表．
每小时搬运
的本数v
30
20
15
6
搬运所需的
小时数݄
4
6
8
20
(1)用式子表示݄
与v 的关系，并说明݄
与v 成什么比例关系；
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(2)若
24
v
，求݄
的值．
【答案】(1)
120
h
v
，反比例关系
(2)
5
h
【分析】此题考查了反比例关系解实际问题，
（1）根据题意得到
120
hv
，求出
120
h
v
，进而得到݄
与v 成反比例关系；
（2）将
24
v
代入
120
h
v
求解即可．
【详解】（1）解：∵30 4
20 6
15 8
6 20
120
∴
120
hv
，
∴
120
h
v
，݄
与v 成反比例关系；
（2）解：当
24
v
时，
120
5
24
h
．
21．七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案：
方案一：每人收费60 元；
方案二：固定基础费用500 元，然后再每人收费40 元．
(1)若学生人数为x，请分别用含x 的代数式表示方案一和方案二的费用；
(2)当学生人数为30 时，哪种方案的费用更优惠？
【答案】(1)方案一的费用为60x 元；方案二的费用为
500
40x
元；
(2)方案二更优惠
【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意，结合学生人数为x，以及方案一和方案二的收费方式进行列式，即可作答．
（2）分别算出当学生人数为30 时，方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答．
【详解】（1）解：∵学生人数为x，
∴方案一的费用为60x 元；方案二的费用为
500
40x
元；
（2）解：由（1）得方案一的费用为60x 元；方案二的费用为
500
40x
元；
当
30
x
时，则60
30
1800
（元），
500
40 30
1700
（元），
∵1800
1700
，
∴当学生人数为30 时，方案二的费用更优惠．
22．如图是一种数值转换的运算程序：
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(1)若第1 次输入的数为
7
x
，则第2 次输出的数为________；
(2)若第1 次输入的数为ݔൌͶ，则第5 次输出的数为________；
(3)若第1 次输入的数为8，求第2019 次输出的数是多少？
【答案】(1)5
(2)1
(3)1
【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序；
（1）根据
7
x
是奇数，然后代入数值转换运算即可；
（2）根据ݔൌͶ 是偶数，然后代入数值转换运算即可；
（3）由题意易得第1 次输出的数为1
1
8
4
2
2
x
，第2 次输出的数为1
1
4
2
2
2
x
；第3 次输出的数为
1
1
2
1
2
2
x
；第4 次输出的数为
3
1 3
4
x
；第5 次输出的数为1
1
4
2
2
2
x
；….；由上可知：规律
为按照4、2、1 每3 次一循环出现，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把
7
x
代入x
3
7
3
10
，
∴第2 次输出的数为1
1 10
5
2
2
x
；
故答案为：5；
（2）解：由数值转换运算程序可知：把ݔൌͶ 代入1
1
4
2
2
2
x
，
∴第2 次输出的数为1
1
2
1
2
2
x
；第3 次输出的数为
3
1 3
4
x
；第4 次输出的数为1
1
4
2
2
2
x
；
第5 次输出的数为1
1
2
1
2
2
x
；
故答案为：1；
（3）解：由题意得：
第1 次输入的数为8，则第1 次输出的数为1
1
8
4
2
2
x
，
∴第2 次输出的数为1
1
4
2
2
2
x
；第3 次输出的数为1
1
2
1
2
2
x
；第4 次输出的数为
3
1 3
4
x
；
第5 次输出的数为1
1
4
2
2
2
x
；….；
由上可知：规律为按照4、2、1 每3 次一循环出现，
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∵2019
3
673
，
∴第2019 次输出的数为1．
23．综合与实践：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了
区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数．
材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7 表示7 个百，2 表示2 个十，ͳ 表示ͳ 个一，于是我们得到了下
面的式子（规定当
0
a
时，
0
1
a ）：
3
2
1
0
3721
3 10
7 10
2 10
1 10
．
例如，二进制数
2
1011
，转换为十进制数为：
3
2
1
0
1 2
0
2
1 2
1 2
11
．
材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2 取余法，
例如，将十进制数25 转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得
2
25
11001
．
此方法可推广为把十进制数转换为݇
进制数的算法（除݇
取余法）．
根据上述材料解答下列问题：
(1)【任务一】二进制数
2
1101
对应的十进制数是________，十进制数17 对应的二进制数为________．
(2)【任务二】中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0 ，ͳ，
2 ，3，Ͷ，ͷ，6 ，7 ，8，9，X ，Y 来记数，其中X 代表10，Y 代表11．请结合以上材料计算十进制数478
对应的十二进制数为________．
(3)【任务三】有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数ݔ后，再按以下规则获得密码：当ݔ
为奇数时，破解公式为3
2
x
，当ݔ为偶数时，破解公式为2
3
x ．求出二进制明码
2
1001101
破解后的密
码．
【答案】(1)13，
2
10001
(2)
12
33X
(3)37
【分析】（1）根据二进制和十进制数的转换关系，即可获得答案；
（2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答；
（3）先将
2
1001101
转换成十进制数，再根据题意求解即可．
【详解】（1）解：∵
3
2
1
0
1 2
1 2
0
2
1 2
13
，
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∴二进制数
2
1101
对应的十进制数是13；
4
3
2
1
0
17
1 2
0
2
0
2
0
2
1 2
，
∴十进制数17 对应的二进制数为
2
10001
；
（2）依题意，478 12
39
10
（最低位为10），
39 12
3
3
（次低位为3），
3 12
0
3
（最高位为3），
∴
2
1
0
12
478
3 12 +3 12
12
33
X
X
，
即十进制数478 对应的十二进制数为
12
33X
；
（3）
6
5
4
3
2
1
0
2
1001101
1 2
0 2
0 2
1 2
1 2
0 2
1 2
64
0
0
8
4
0 1
77
，
∵77 是奇数，
∴破解公式为3
3
77
74
37
2
2
2
x
，
即二进制明码
2
1001101
破解后的密码为37．
24．综合与实践．
【问题情境】
在小学我们学习过用图示法求1 2
3
n
的方法：如图①，从第ͳ 层至第݊
层，分别有ͳ，2 ，3，
，݊
个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②．
【问题呈现】
(1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个；
(2)1 2
3
n
______；
(3)数学思考∶如何求
2
2
2
2
1
2
3
n
？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型：
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第ͳ 行圆圈中的数为ͳ，即
21 ；第2 行两个圆圈中数的和为2
2
，即
2
2 ；
；第݊
行݊
个圆圈中数的和为
n
n
n
(݊
个݊
)，即
2
n ．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为
2
2
2
2
1
2
3
n
．为了求这
个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形
数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______；
(4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
2
2
2
2
3
1
2
3
n
______；
(5)求
2
2
2
2
21
22
23
30
的值．
【答案】(1)
1
n
；
1
n n
(2)݊݊
图ͳ
ʹ
(3)
2
1
n
；
(4)
1
2
1
2
n n
n
(5)6585
【分析】
1 根据图形解答即可求解；
ʹ 根据
1 的结果即可求解；
3 根据图形解答即可求解；
4 根据
3 的结果即可求解；
5 把原式转化为
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
30
1
2
3
20
，再利用
4 的结果解答即可求解．
【详解】（1）解：图②中，每层有小圆圈
1
n
个；
∵每层有小圆圈
1
n
个，共有݊
层,
∴共有小圆圈
1
n n
个；
（2）解：∵图②中共有小圆圈
1
n n
个，
∴图①中共有小圆圈݊݊
图ͳ
ʹ
个，
即
1
1 2
3
2
n n
n
；
（3）解：由图可得，同一位置上三个圆圈里面的数的和均为
2
1
n
；
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（4）解：∵每个位置上三个圆圈中数的和均为
2
1
n
，
∴图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
2
2
2
2
1
2
1
3
1
2
3
2
1
1
2
3
2
n n
n
n
n
n
；
（5）解：∵
2
2
2
2
1 2
1
3
1
2
3
2
n n
n
n
，
∴
2
2
2
2
1
2
1
1
2
3
6
n n
n
n
，
2
2
2
2
21
22
23
30
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
30
1
2
3
20
30
30 1
2 30 1
20
20 1
2 20 1
6
6
9455
2870
6585
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