第二章有理数的运算（暑假单元自测）（解析版）_26秋小学初中各机构教辅大合集（一本、教材帮、阳光同学、王朝霞、实验班、小典中点、上分卷、白欧、课堂笔记等等）_探索新知

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第二章有理数的运算单元自测卷
【新教材，人教版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．2026

的相反数的倒数是（
）
A．2026
B．2026

C．2026

D．
1
2026
【答案】D
【分析】按照定义先求出2026

的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果．
【详解】解：2026

的相反数为ʹʹ坐，
ʹʹ坐的倒数为
1
2026 ，
∴2026

的相反数的倒数是
1
2026 ．
2．《九章算术》中最早提出了正负数加减法的法则．计算6
3
=（
）
A．͵
B．3

C．9
D．9

【答案】B
【分析】根据有理数加法法则计算即可．有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并
用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【详解】解：∵
6
6


，3
3

，6
3

，
∴结果的符号为负，计算得6
3
3


，
∴6
3
3

．
3．自2025 年11 月1 日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超70.9 万人次．该近似
数70.9 万精确到（
）位．
A．十
B．百
C．千
D．万
【答案】C
【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位．
【详解】解：∵70.9 万
709000

∴原数中末位数字9 位于千位
∴70.9 万精确到千位．
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4．2026 年河南外贸开局良好，一季度我省进出口额2631.5 亿元，同比增长28.7%，继续稳居全国第一方阵．数
据“2631.5 亿”用科学记数法表示为（
）
A．ʹ坐͵ͳǤͷ ൈͳͺ
B．2.6315×1010
C．2.6315×1011
D．Ǥʹ坐͵ͳͷ ൈͳͳʹ
【答案】C
【详解】解：2631.5 亿ൌʹǤ坐͵ͳͷ ൈͳ͵ ൈͳͺ ൌʹǤ坐͵ͳͷ ൈͳͳͳ．
5．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(
)
A．14 C

B．22 C

C．22 C


D．14 C


【答案】B
【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答．
【详解】解：




4
18
22
C



，
答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为22 C
．
6．某种疫苗保存温度为

18
3

℃，最合适的温度范围是（
）
A．15
18
℃～℃
B．18
21
℃～
℃
C．15
21
℃～
℃
D．12
24
℃～
℃
【答案】C
【分析】根据标注

18
3

℃计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围．
【详解】解：


18
3

℃表示保存温度的最低值为


18
3
15


℃，
最高值为：


18
3
21


℃，
最合适的温度范围是15
21
℃～
℃．
7．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20 时，
根据程序计算，第一次输出的结果为ͳ，第二次输出的结果为ͷ……这样下去第ʹʹ坐次输出的结果为（
）
A．2

B．1

C．8

D．4

【答案】D
【分析】先根据程序框图计算出前ͳ个数，从而得出这列数除前4 个数外，每͵ 个数为一个周期，据此求
解可得．
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【详解】解：当
20
x 
时，第一次输出的结果为ͳ，
第二次输出的结果为ͷ，
第三次输出的结果为ʹ，
第四次输出的结果为ͳ，
第五次输出的结果为2
，
第六次输出的结果为1
，
第七次输出的结果为4
，
第八次输出的结果为2
，
第九次输出的结果为1
，
第十次输出的结果为4
，……
由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：2, 1, 4


，
∵

2026
4
3
674


，
∴第ʹʹ坐次计算输出的结果是4
，
故选：D．
8．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
A．a
b

B．
0
a
b


C．
3
a

D．
0
a
b


【答案】C
【分析】根据数轴确定a、b 的取值范围，结合绝对值、相反数及有理数运算法则进行判断．
【详解】由数轴可知：3
2
a

，1
2
b


，
∴2 |
| 3
a


，1 |
| 2
b


，即|
| |
|
a
b

，A 错误；
∵
0
a 
，
0
b 
，
∴
0
a
b


，B 错误；
∵
3
2
a

，不等式两边同乘1
得2
3
a



，
∴
3
a

，C 正确；
∵
0
a 
，
0
b 
且|
| |
|
a
b

，
∴
0
a
b


，D 错误．
9．安安想将7 个相同的正方体放入一个底面为15cm 10cm

，初始水位为4cm 的水箱中．水位最高可以达到
（
）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为5cm ）
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A．7.8cm
B．10.8cm
C．4.8cm
D．9.8cm
E．8.8cm
【答案】D
【分析】先计算得水箱底面积


2
15 10
150 cm
S



箱
，水的体积


3
150 4
600 cm
V



水
；正方体棱长5cm ，
水箱一层最多可放3 2
6


个正方体，底层6 个恰好填满0
5cm

的高度空间，剩余1 个放在第二层，此时
水的有效底面积为


2
150
25
125 cm


，可得水位再次上升的高度


4.8 cm
125
V
h


水
上
，即可得总水位高度．
【详解】解：由题意得，水箱底面积为


2
15 10
150 cm
S



箱
，
水的初始体积为


3
150 4
600 cm
V



水
，
单个正方体体积为


3
5 5 5
125 cm
V


正
，单个底面积


2
5 5
25 cm
S

正底
，
由题意得，水箱内长方向可放15 5
3


个，宽方向可放10
5
2


个，一层最多可放3 2
6


个正方体，
∵6 个正方体的总体积为


3
6 125
750 cm


，而水箱0
5cm

高度的总容积为


3
150 5
750 cm


，
∴底层6 个正方体刚好填满0
5cm

的空间，此高度内没有水，
∵第7 个正方体放在第二层，
∴水的底面积ൌ水箱底面积െ第7 个正方体的底面积为


2
150
25
125 cm


，
∵水的体积仍为
3
600cm ，
∴5cm 以上的水位高度为：


600
4.8 cm
125
125
V
h



水
上
，
∴总水位高度


5
4.8
9.8 cm
h 


．
10．2021年第十四届国际数学教育大会

14
ICME 
在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，
展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“
”是用我国古代的计数符号写出的
八进制数
8
3745
．八进制是以ͺ 作为进位基数的数字系统，有0 ~ 7 共ͺ 个基本数字．八进制数
8
3745
换
算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5
8
2021








，2021表示
14
ICME 
的举办年份．某同学设计了一个݊
进制数

501 n ，换算成十进制数是406 ，则݊
的值为（
）
A．6
B．7
C．ͺ
D．9
【答案】D
【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得
2
5
1
406
n 
，即可求得݊
的值．熟练掌握该运算
法则是解题的关键．
【详解】解：∵一个݊
进制数

501 n ，换算成十进制数是406 ，
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∴
2
0
5
1
6
0
40
n
n
n





，
∴
2
5
1
406
n 
，
∴
2
5
405
n 
，
∴
2
81
n 
，
∴
9
n 
或
9
n （负值不符合题意，舍去），
∴݊
的值为9．
故选：D．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．计算：

7
13 


______．
【答案】20

【分析】根据有理数的减法求解即可．
【详解】解：

 7
13
7 13
20




．
12．2026 年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000 人次，数据409000 用科学记数法表示
为______．
【答案】
5
4.09 10

【分析】根据科学记数法的定义，确定ܽ
和݊
的值即可，其中1
10
a


，݊
为整数．
【详解】解：将409000 的小数点向左移动ͷ 位，
4.09
a 
，
∴
5
409000
4.09 10


．
13．若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则



2024
2024
a
b
cd


_____．
【答案】1
【分析】根据相反数及倒数的定义得到
0,
1
a
b
cd


，进而代入



2024
2024
a
b
cd


计算即可．
【详解】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，
∴
0,
1
a
b
cd


，
∴



2024
2024
2024
2024
0
1
0
1
1
a
b
cd





．
14．《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指
糙米），其大意：“50 单位的粟，可换得30 单位的粝米……”问题：现有4 斗（1 斗=10 升）的粟，若按照
此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升．
【答案】24
【分析】本题主要考查了有理数乘法及除法的实际应用．按照题意列式并进行计算即可．
【详解】解：根据题意，得
30
4 10
24
50



（升）．
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15．如图，ܣ、B 两点在数轴上表示的数分别为ܽ
，ܾ，有下列结论：①
0
a
b


；②
0
a
b


；③


1
1
0
b
a



；
④
1
0
1
b
a



，其中正确的有_______．
【答案】①②④
【详解】解：由数轴图可知，1
0 1
a
b
＜＜＜＜，
对于①：∵a
b

，
∴
0
a
b


，故①正确；
对于②：∵a
b
，
∴
0
a
b


，故②正确；
对于③：∵1
0 1
a
b
＜＜＜＜，
∴ܾെͳ ㌳，
1
0
a 
，
∴


1
1
0
b
a



，故③错误；
对于④：∵ܾെͳ ㌳，
1
0
a 

，
∴
1
0
1
b
a



，故④正确．
16．2025 年5 月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特
定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22 化为二进制数：ʹʹ ൌͳ ൈʹͶ ൅ൈʹ͵ ൅ͳ ൈʹʹ ൅ͳ ൈʹͳ ൅ൈʹൌ
ͳͳͳʹ．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22 化为三进制数：ʹʹ ൌʹ ൈ͵ʹ ൅ͳ ൈ͵ͳ ൅ͳ ൈ͵ൌʹͳͳ͵．
将二进制数ͳͳͳʹ化为三进制数为______________
【答案】ͳʹ͵
【分析】根据有理数的乘方解题即可．
【详解】解：化为十进制数：ͳͳͳʹ ൌͳ ൈʹ͵ ൅ൈʹʹ ൅ͳ ൈʹͳ ൅ͳ ൈʹൌͳͳ，
化为三进制数：ͳͳ ൌͳ ൈ͵ʹ ൅ൈ͵ͳ ൅ʹ ൈ͵ൌͳʹ͵．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．计算：
(1)



2
8
7
5


；
(2)
2
( 1)
12
3
5 (
2)



．
【答案】(1)െʹ
(2)ͳͷ
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【详解】（1）解：



2
8
7
5



2
8
7
5



10
7
5



2
；
（2）解：
2
( 1)
12
3
5 (
2)





1 12
3 5
2



1 4 10


15

．
18．用简便方法进行计算：
(1)


7
5
7
1
3
36
9
6
12
3










；
(2)



11
5
48
0.125
48
48
8
4






；
(3)
1
9
19
19








．
【答案】(1)101
(2)
(3) 172

【详解】（1）解：原式








7
5
7
10
36
36
36
36
9
6
12
3








28
30
21 120




ൌͳͳ；
（2）解：原式






1
11
5
48
48
48
8
8
4














1
11
5
48
8
8
4












48
0


ൌ；
（3）解：原式
18
10
19
19









18
10 19
19
19




190
18


172

．
19．定义新运算“
”，根据运算规律完成作答：



4
6
10



，


7
2
9


，


5
8
13




，


6
3
9




，


0
5
5


，

9
0
9


．
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(1)归纳“
” 运算法则：两数进行
运算时，_________；任何数与进行
运算时，___________．
(2)计算：




4
3
2







；
(3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用．
【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值
(2)9
(3)交换律适用，结合律不适用
【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律；
（2）根据规律求解即可；
（3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解．
【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行
运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数
与进行
运算时，结果为这个数的绝对值；
（2）解：




4
3
2










7
2


9

；
（3）解：交换律适用，结合律不适用，
设,a b 同号时，
则a b
a
b


，b a
b
a


，故a b
b a

；
设,a b 异号时，
则


a b
a
b



，


b a
b
a



，故a b
b a

；
设,a b 中
0
b 
，则
0
a
a

，0 a
a

，故
0
0
a
a

，
∴交换律适用；
对于结合律，不成立，
举例子，设
0,
1,
2
a
b
c




，
则




0 1
2
1
2
3





，




0
1
2
0
3
3








，结果不同
故对于结合律不适用．
20．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：km ）：
3.2
4.8
4
5.5
4.3





，
，，
，
．
(1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？
(2)该车每千米耗油0.18L ，求总耗油量；
(3)计价规则：行驶路程不超3km 收费6 元，超过3km 的部分每千米收费1.3元，不足1km 按1km 算，求司机
本次一共收到车费多少元．
【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店5.2km
(2)总耗油量为3.924L
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(3)司机本次一共收到车费为41.7 元
【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案；
（2）根据总耗油量ൌ单位耗油量总路程，即可得到答案；
（3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案．
【详解】（1）解：






3.2
4.8
4
5.5
4.3
5.2 km





，
答：司机在门店东侧，距离门店5.2km ；
（2）解：总路程：


3.2
4.8
4
5.5
4.3
21.8 km





，
总耗油量：

21.8 0.18
3.924 L


；
（3）解：第1 单：行驶3.2km，超过3km 的部分为0.2km，按1km 计算，费用为6 1.3 1
7.3


（元）；
第2 单：行驶4.8km，超过3km 的部分为1.8km ，按2km计算，费用为6 1.3 2
8.6



（元）；
第3 单：行驶4km ，超过3km 的部分为1km ，费用为6 1.3 1
7.3


（元）；
第4 单：行驶5.5km ，超过3km 的部分为2.5km，按3km 计算，费用为6 1.3 3
9.9


（元）；
第5 单：行驶4.3km，超过3km 的部分为1.3km ，按2km计算，费用为6 1.3 2
8.6



（元）；
总车费：7.3 8.6
7.3
9.9
8.6
41.7





（元）．
21．已知A，B，C 三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且
1
a


．
(1)比较：ܾܽ
0，a
c

0；（填“㌳”或“”）
(2)在数轴上标出3
的相反数和
1
2 2

；
(3)点D 从点A 出发，先向右移动3 个单位长度，再向左移动5 个单位长度，此时点D 在数轴上表示的数
是
．
【答案】(1)，㌳
(2)见解析
(3) 3

【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的知识和相反数．
（1）利用有理数的大小比较解答；
（2）利用数轴知识，相反数的定义解答；
（3）利用数轴知识解答．
【详解】（1）解：由数轴知：
0
a
b
c



，a
b
c


，
∴
0
ab 
，
0
a
c


；
故答案为：，㌳；
（2）解：3
的相反数是3，
在数轴上表示如下；
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；
（3）解：∵
1
a


，
∴1 3 5
3

，
∴点D 在数轴上表示的数是3
．
故答案为：3
．
22．按要求解答下列各题：
(1)比较大小（用“ ”“㌳”或“＝”填空）
①൅ʹ ൅െ͵ _________ ൅ʹ ൅െ͵
②െʹ ൅െ͵ _________ െʹ ൅െ͵
③൅െ͵ __________ ൅െ͵
(2)在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整
①当ܽ
，ܾ
________（填“同号”或“异号”）时，有ܽ
൅ܾ
_______ܽ
൅ܾ
②当ܽ
，ܾ
________（填“同号”或“异号”）时，有ܽ
൅ܾ
_______ܽ
൅ܾ
③当ܽ
，ܾ
中至少有一个为0 时，ܽ
൅ܾ
_______ܽ
൅ܾ
(3)根据上述结论，请你直接写出当ݔ൅ʹʹͶ ൌݔ൅െʹʹͶ 时，x 的取值范围
【答案】(1)①㌳，②ൌ，③ൌ
(2)①异号，㌳；②同号，ൌ；③ൌ
(3)ݔ൑
【详解】（1）解：①׶ ൅ʹ ൅െ͵ ൌʹ ൅͵ ൌͷ，൅ʹ ൅െ͵
ൌെͳ ൌͳ，
∴൅ʹ ൅െ͵ ㌳
൅ʹ ൅െ͵ ；
②׶ െʹ ൅െ͵ ൌʹ ൅͵ ൌͷ，൅ʹ ൅െ͵
ൌെͷ ൌͷ，
∴െʹ ൅െ͵ ൌ
െʹ ൅െ͵ ；
③׶ ൅െ͵ ൌ൅͵ ൌ͵ ，൅െ͵
ൌെ͵ ൌ͵ ，
∴൅െ͵ ൌ൅െ͵ ．
（2）解：根据小问（1）的结果可得出：
①当ܽ
，ܾ
异号时，有ܽ
൅ܾ
㌳ܽ
൅ܾ
，
②当ܽ
，ܾ
同号时，有ܽ
൅ܾ
ൌܽ
൅ܾ
，
③当ܽ
，ܾ
中至少有一个为0 时，ܽ
൅ܾ
ൌܽ
൅ܾ
；
（3）解：ݔ൅ʹʹͶ ൌݔ൅െʹʹͶ 可整理成ݔ൅െʹʹͶ ൌݔ൅െʹʹͶ ，
由小问2 结论可得到，等式成立时，x 与െʹʹͶ 同号或者
0
x 
，
即
0
x 
．
23．阅读材料，求值：．
解：设
2
3
4
2024
1
2
2
2
2
2
S 





①，将等式两边同时乘以2 得：
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2
3
4
2024
2025
2
2
2
2
2
2
2
S 





②，

②
①，得：
2025
2
2
1
S
S


，
所以
2025
2
1
S 
，
即
2
3
4
2024
2025
1
2
2
2
2
2
2
1







，
请你仿照此法计算：
(1)
2
3
4
10
1
2
2
2
2
2






；
(2)
2
3
4
1
3
3
3
3
3n






（其中݊
为正整数）
【答案】(1)
11
2
1

(2)


1
1 3
1
2
n
【分析】（1）根据材料提示，设
2
3
4
10
1
2
2
2
2
2
M 





，结合题意的计算方法求解即可；
（2）设
2
3
4
1
3
3
3
3
3n
N 





，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可．
【详解】（1）解：设
2
3
4
10
1
2
2
2
2
2
M 





，
∴
2
3
4
5
11
2
2
2
2
2
2
2
M 






，
∴


2
3
4
5
11
2
3
4
10
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
M
M















，
11
2
1
M 
；
（2）解：设
2
3
4
1
3
3
3
3
3n
N 





，
∴
2
3
4
5
1
3
3
3
3
3
3
3n
N








，
∴


2
3
4
5
1
2
3
4
3
3
3
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
n
n
N
N
















，
1
2
3
1
n
N


，
∴


1
1 3
1
2
n
N



．
24．请完成以下数学活动：
活动目标
认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换
材料1
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一
就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，
几进制的基数就是几．
十进制数
3
2
1
1024
1 10
0 10
2 10
4





，记作1024；
八进制数

3
2
1
8
1024
1 8
0 8
2 8
4




，记作
8
1024
；
五进制数

3
2
1
5
1024
1 5
0 5
2 5
4




，记作
5
1024
；
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二进制数

3
2
1
2
1011
1 2
0 2
1 2
1



，记作
2
1011
；
十六进制数

3
2
1
16
1 2
1 16
10 16
2 16
15
A F





，记作
16
1 2
A F
．
（十六进制数使用0—9 和A—F 来表示，其中10，11，12，13，14，
15 这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F 表示）．
n（݊
൒ʹ，且n 为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要
将n 进制数的每个数字，依次乘n 的相应次幂相加，就可得到与它相
等的十进制数．如：八进制数
8
1024
转十进制数为：


3
2
1
8
1024
1 8
0 8
2 8
4
512
0 16
4
532









．
材料2
十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2 连续除十
进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取
余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如：
解决问题
任务1：
(1)将下列进制数转化为十进制数：
①
2
1101
______；②
16
1 3
B
______；
(2)现有三进制数

3
221
a 
，二进制数

2
10111
b 
，试比较a，b 的大小．
任务2：
(3)十进制数21 转化为二进制数得
2
_______
．
(4)如何将一个二进制数
2
101101
转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法：
第一步：先将二进制数
2
101101
转为十进制数；
第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数．
根据小勤的思路可以得出：



2
16
101101
_______

．
【答案】(1)①13 ，②435
(2)ܽ
㌳ܾ
(3)10101
(4)2D
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【分析】（1）根据݊
进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制．
（2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小．
（3）采用“除二余法”将十进制数反复除以ʹ，记录余数，倒序排列即为二进制结果．
(4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数．
【详解】（1）解：①
2
(1101)
3
2
1
0
1 2
1 2
0
2
1 2




8
4
0
1




13

．
②
16
(1 3)
B
2
1
0
1 16
11 16
3 16




256 176
3



435

．
（2）解：
2
1
0
3
(221)
2 3
2 3
1 3
18
6
1
25
a 








，
4
3
2
1
0
2
(10111)
1 2
0
2
1 2
1 2
1 2
16
0
4
2
1
23
b 










，
25
23

Q
，
a
b


．
（3）解：用除ʹ 取余法，
21
2
10
1


，
10
2
5
0


，
5
2
2
1


，
2
2
1
0


，
1
2
0
1


，
将余数从下往上倒序排列，得
2
21
(10101)

．
（4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数：
2
(101101)
5
4
3
2
1
0
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
1 2






32
0
8
4
0
1






45

．
第二步，用除16 取余法将45 转化为十六进制数：
45 16
2
13


，
2 16
0
2


，
将余数从下往上倒序排列，得
16
45
(2 )
D

，
2
16
(101101)
(2 )
D


．
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