文档文本内容
1 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第3 章 圆 单元自测卷
【新教材，苏科版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
考前须知：
1．本卷试题共26 题，单选8 题，填空8 题，解答10 题，满分100 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1．已知
的半径是2，如果点P 到圆心O 的距离为3，那么点P 与
的位置关系是（ ）
A．点P 在
外
B．点P 在
上
C．点P 在
内
D．不能确定
【答案】A
【分析】设
的半径为，点
到圆心的距离为
，当
时，点P 在圆外，
时，点P 在圆上，
当
时，点P 在圆内，据此可得答案．
【详解】解：设
的半径为，点
到圆心
的距离为
，
由题意得
，
，
∵
，即
，
∴点
在
外．
2．已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件得到底面半径，再分别计算底面积和侧面积，求和后即可得到结果．
【详解】解：由圆锥底面直径为
可得底面半径
，则底面积为
，
圆锥侧面积公式为
，则
，
则圆锥的全面积为
，
A 选项符合题意．
3．如图，
为
的直径，点C，D 是
上的两点，
，则
的大小为（ ）
2 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
，利用圆周角定理得到
，再根据直径所对的圆周角是直角得到
，
最后利用直角三角形两锐角互余计算即可．
【详解】解：连接
，
，
，
为
的直径，
，
．
4．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心
，点
，
，
均在圆弧上，
经测量得
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】补全整个圆，进而根据圆周角定理作答即可．
【详解】解：如图，
3 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
．
5．如图，已知四边形
是平行四边形，
经过点
，与
相交于点
，连接
．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得
，再根据圆内接四边形的性质得
，然后根
据三角形外角的性质得
，则此题可解．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，
，
∴
．
∵四边形
是
的内接四边形，
∴
，
∴
．
∵
是
的外角，
∴
，
即
，
4 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
．
6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，截面如图所示，已知
，则球的半径长是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过球心
作
于
，延长
交
于
，设球的半径为
，根据垂径定理求出
的
长，根据平行线间的距离处处相等和切线的性质表示出
的长，在
中利用勾股定理列方程求解
即可．
【详解】解：过点
作
于点
，延长
交
于点
，设球的半径为
，
，
，
由题意，四边形
是长方形，
，
，
又
，
∴
，
，
球放在长方体纸盒内，
球与
相切，
∵
，
∴
，
，
在
中，
，
，解得
，
5 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
即球的半径长是
．
7．如图，
内接于
，
．下列说法错误的是（ ）
A．劣弧
的度数为
B．优弧
与劣弧
的度数之差为
C．弦
所对的圆周角有2 个，小者与大者的度数之比为
D．若弧
的度数为
，则弧
的度数为
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得
，再根据劣弧、优弧的定义逐项判断．
【详解】解：A、∵
，
∴
，
即劣弧
的度数为
，
故A 选项正确；
B、∵劣弧
的度数为
，
∴优弧
的度数为
，
，
即优弧
与劣弧
的度数之差为
，
故B 选项正确；
C、弦
所对的圆周角有2 个，一个为
，另一个为
，
∴小者与大者的度数之比为
，
故C 选项正确；
D、∵弧
的度数为
，劣弧
的度数为
，
∴劣弧
的度数为
，
故D 选项错误．
故选：D．
8．如图，在正方形
中，
，点E，F 分别在
上，
相交于点G，连
结
．当点E 从点C 运动到点D 的过程中，
的最小值为（ ）
6 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合
证明
，进而推出
，从而确定点G 的运动轨迹是以
为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到
圆上一点的最短距离问题，当O，G，D 共线时，
有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点G 的运动轨迹是以
为直径的圆弧，当O，G，D 共线时，
有最小值，
如图，以
为直径作
，连接
，
在正方形
中，
，
∴
，
∴
，
7 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
即
的最小值为
．
【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心．
二、填空题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分）
9．
的半径是
，同一平面内，若点P 到点O 的距离是
，则点P 与
的位置关系为________．
【答案】点P 在
外
【详解】解：已知
的半径
，点
到圆心
的距离
，
可得
，
因此点
与
的位置关系是点
在圆外．
10．如图，四边形
内接于
，若
，则
的度数为_________ ．
【答案】
/100 度
【详解】解：∵四边形
内接于
，
，
∴
，
∴
．
11．如图，A，B，C，D 为一个正多边形的顶点，点O 为该正多边形外接圆的圆心，连接
、
，
，则这个正多边形是边数为____________．
【答案】9/九
【分析】连接
，圆周角定理求出
，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即
可.
【详解】解：连接
，则
，
8 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∵A，B，C，D 为一个正多边形的顶点，点O 为该正多边形外接圆的圆心，
∴这个正多边形是边数为
.
12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：
广几何？用数学语言可表述为：如图，
的直径为
寸，矩形
内接于
，若
寸，则
______寸．
【答案】
【分析】连接
，由矩形的性质得
，即得
是
的直径，再利用勾股定理解答即可求解．
【详解】解：如图，连接
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
是
的直径，
∴
寸，
∵
寸，
9 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
(寸)．
13．如图，在等边
中，
，
是边
的中点，以点
为圆心，
的长为半径作圆，交边
于点
，交边
于点
，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和
）．
【答案】
【分析】连接
，根据阴影面积等于
求解即可．
【详解】解：连接
，
因为在等边
中，
，
是边
的中点，
所以
，
，
，
，
所以
，
阴影部分的面积为：
．
14．如图，在
中，
是
的弦，
与
相切于点
，连接
交
于点
，连接
并延长交
于点
．若
，
，则
_________ ．
10 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】连接
，由切线的性质可得
，由圆周角定理可得
，从而证明
，
根据平行线的性质结合三角形外角的性质求解
的度数即可．
【详解】解：如图，连接
，
是
的切线，
，
，
，
，
，
．
15．在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，过点
作直线
（
为任意实数）的垂线，垂足
为点
，则线段
长度的最小值是________．
【答案】
/
【分析】容易判断直线
过定点
，结合
可得点
在以
为直径的圆上．以
11 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
为直径作圆
，连接
、
，由中点公式可得
，由勾股定理可得
，
，则
，由
可得
的最小值为
．
【详解】解：将
代入
，得
，
∴点
的坐标为
，
∵
，
∴
，
∴点
在以
为直径的圆上，且点
不在
轴上，
如图，以
为直径作圆
，连接
、
，
∵
，
，
∴点
的坐标为
，
由勾股定理可得，
，
，
∴
，
∵
，
∴当点
在
的延长线上时，
取得最小值
．
16．如图，
内接于
，
于
点，若
为
的内心，则
______．
【答案】
【分析】连接
，由
得
，进而由内心的定义得
12 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，即得到
，再根据等腰三角形的性质和三角形内角
和定理得
，得到
，即得到
，
是等腰直角三
角形，得
，设
，则
，由
得
，得到
，最后代入计算即可求解．
【详解】解：如图，连接
，
∵
于
点，
∴
，
∴
，
∵
为
的内心，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
设
，则
，
在
和
中，
，
13 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
三、解答题（共68 分）
17．如图，在
中，
于
于E，求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相等的弧对的圆心角相等，全等三角形的判定与性质；由相等的弧对的圆心角相等，
得
，进而可证明
，即可证明结论．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
18．
中，
，点
在
上，以
为半径的圆交
于点
，交
于点
，且
．求证：
是
的切线．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法（证明直
14 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
线与圆的半径垂直）是解题的关键．
要证明
是
的切线，需证明圆心
到
的距离等于半径（或证明
）．通过连接
，利用
已知条件
、
，结合公共边
，证明
，从而得到
，
即可得证．
【详解】证明：连接
，
，
，
，
，
；
为
的半径，
是
的切线；
19．如图，在
中，
是直径，
是弦，
于点E，连接
，
．
(1)证明：
；
(2)当
，
时，求
的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂径定理可得
，再由圆周角定理即可得证；
（2）连接
，设的半径为r，由垂径定理可得
，从而得出
，再由勾股定理计算即
可．
【详解】（1）解：
在
中，
是直径，
是弦，
15 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：由(1)可知
连接
，
设半径r，则
在
中，
，
解得
20．如图，在平面直角坐标系
中，点
，
，
．
(1)以点C 为旋转中心，把
逆时针旋转
，画出旋转后的
；
(2)在（1）的条件下，
①点A 经过路径的长度为 （结果保留
）；
②点
的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①
；②
【分析】本题考查旋转变换作图，关键在于先找到旋转后对应的点，也需要牢记弧长公式．
（1）利用网格和旋转的性质画出点A、B 对应的点
和
，相连得到所求三角形．
（2）①先根据勾股定理求出
的长，然后根据弧长公式求解即可；②根据所画图形写出
的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，
即为所求；
16 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：①
，
所以点A 经过的路径为
；
②由图形可得∶ 点
的坐标为∶
．
故答案为：
21．如图，
内接于
，
为
的直径，点
在
的延长线上，连接
，使
．
(1)求证：
是
的切线．
(2)若
，
，求
的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
的半径为
【分析】本题考查了圆的切线判定以及含
角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形
边角关系是解题关键．
（1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推
导出半径与直线垂直，从而证明切线；
（2）在直角三角形中，根据
角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求
解．
【详解】（1）证明：连接
是
的直径，
，
17 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
，
，
，即
，
，
为
的半径，
是
的切线；
（2）解：
，
，
，
即
，
，
又
，
，
的半径为．
22．如图，
为
的直径．
(1)使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在
上方的
上求作一点
，使得
为等边三角形；
②在①的基础上作
的内接矩形
；
(2)说明（1）中所作四边形
是矩形的理由．
【答案】(1)①如图所示，
即为所求；
18 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
②矩形
即为所求；
(2)解：理由如下：
点
，
都在
上，
，
，
四边形
是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
又
是
的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
四边形
是矩形．
【分析】1）以点
为圆心，
长为半径作弧．交
上方的
于点
；连接
，则
为等边三角
形；
②延长
交
于点
；顺次连接
、
、
和
，四边形
就是所求作的矩形．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
23．如图，
为
的直径，在
中，
，
交
于点
，过点
作
，垂足
为点
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：如图：连接
，
19 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∵
为
的直径，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
是
的切线．
(2)
【分析】（1）如图：连接
，利用垂直的定义、圆周角定理可证明、等腰三角形三线合一的性质可
证明
，易得
，再利用切线的判定定理即可证明结论；
（2）如图：连接
，过
作
与F，则
，利用含30 度直角三角形的性质、勾股定理可
得
、
，进而得到
；再说明
，最后根据
求解即
可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
为
的直径，
，
∴
，
如图：连接
，过
作
与F，则
，
20 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
24．如图，在
中，
，
是
的内切圆，切点分别是
、
、
．
(1)连接
、
，则
______．
(2)若
，
，求
的半径．
(3)在（2）的条件下，
的外心和内心的距离等于______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1） 内心
是三角形三条角平分线的交点，故
平分
，
平分
．在
中，
，因此
，再由三角形内角和定理得
．
（2）设半径为r，由切线长定理得
，
，
．于是三边可表示为
21 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
，
．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案．
（3）由（2）知
，
，
．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边
的中点为
，
则
到切点
的距离为，而
且
，在
中利用勾股定理可求得外心与内心的距
离．
【详解】（1）解：
是
的内切圆，
平分
，
平分
，
在
中，
，
，
，
．
（2）解：设半径为r，连接
、
，
是
的内切圆，切点分别为
、
、
，
由切线长定理得：
，
，
，
，
，
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
在
中，由勾股定理得：
，
解得：
或
（舍去负值），
的半径
．
（3）解：由（2）知
，
，
，
设斜边
的中点为
，则
是
的外心，
分别连接
，
，
，
，
，
是内切圆半径，
，
，
在
中，由勾股定理得：
22 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
，
的外心和内心的距离为
．
25．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机
（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图
（2）的画法如下：画一个边长为a 的正三角形
，分别以A，B，C 为圆心，以a 为半径画
，
，
．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形
．
(1)圆弧三角形
的周长为______，面积为______．（都用含a 的代数式表示）
(2)圆弧三角形
运动时有何特性呢？
①如图（3），圆弧三角形
沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高
点形成的图形大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
②数学家发现：圆弧三角形
能在边长为a 的正方形
中转动，且始终保持与正方形的每一边都有
且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C 分别在边
，
上，
与边
有且
23 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
只有一个公共点M）．求证：
与
有且只有一个公共点．
(3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a 的正方形中转动时，也能始终保
持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法．
【答案】(1)
；
(2)
A
①；
②证明：过点
作
，垂足为
，
∴
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
是
的半径，
∴
与
相切，即
与
有且只有一个公共点．
(3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形：
【分析】（1）圆弧三角形
的周长由
，
，
三段弧长构成，由
，
，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形
的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中
间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出；
（2）①圆弧三角形
沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无
论切点
的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高
24 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点
作
，垂足为
，利用正方形的
性质可得
，得出
是
的半径，结论即可得证；
（3）先画出使其对角线长为
的正五边形
，分别以
为圆心，以
为半径画
、
、
、
、
，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形
．
【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形
是由三段圆弧围成的，
∴圆弧三角形
的周长为
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴圆弧三角形
的周长为
，
过点
作
，垂足为
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴圆弧三角形
的面积为
．
（2）解：①圆弧三角形
沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，
如图所示：
25 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
，
∴无论切点
的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，
∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，
∴最高点形成的图形是一条直线；
②略
（3）解：如图，画正五边形
，使其对角线
，分别以
为圆心，以
为半径画
、
、
、
、
，这五段圆弧组成圆弧五边形，
连接
，分别过点
、点
作
的垂线，过点
作
的平行线，与过点
、点
作的
的垂线分别
交于点
，过点
作
的垂线交
于点
，过点
作
的平行线，与过点
、点
作
的垂线
分别交于点
，
∴
，
，
，
∴四边形
是边长为
的正方形，
∴圆弧五边形可以在正方形
中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作
图形符合题意．
26．如图①，在半径为10 的
中，弦
，点P 在优弧
上，过点P 作
分别交
、弦
于点C、D．连接
，过点A 作
分别交
、弦
、
于点E、F、G．
26 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图②，当
为
的直径时，求
的长；
(2)求证：
；
(3)当点P 运动时，
的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出
的长；若改变，请说明
的长
的变化情况．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)当点P 运动时，
的长不改变；
的长为16
【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可；
（2）连接
，证明
，可得
，即可求证；
（3）作直径
，连接
，根据题意可得
，再证明四边形
为平行四边形，
可得
，即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接
，
∵
为
的直径，
，
，
∴
，
∵
的半径为10，
∴
，
27 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
在
中，
，
∴
；
（2）证明：如图，连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）解：当点P 运动时，
的长不改变，
作直径
，连接
，
在
中，
，
∴点G 为
的垂心，
∴
，
28 / 28
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
为
的直径，
∴
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴当点P 运动时，
的长不改变，
的长为16．
