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暑假收心卷
02
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
训练范围：新教材，人教版七年级上册第一~六章。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．浪费用电͵ 千瓦记作3
千瓦，则节约用电2 千瓦记作（
）
A．2
千瓦
B．3
千瓦
C．3
千瓦
D．2
千瓦
【答案】D
【详解】解：∵浪费用电͵ 千瓦记作3
千瓦，
∴节约用电2 千瓦记作2
千瓦．
2．第57 次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026 年2 月5 日发布．报告显示，截至2025 年12 月，
我国网民规模达11.25 亿人，互联网普及率达80.1% ．数据“11.25 亿”用科学记数法表示为（
）．
A．
10
1.125 10
B．
10
0.1125 10
C．
9
1.125 10
D．
8
11.25 10
【答案】C
【详解】解：11.25亿
9
1125000000
1.125 10
．
3．若2
2
a
b
，则2
4
1
b
a
的值为（
）
A．3
B．5
C．5
D．3
【答案】C
【分析】利用整体代入的方法计算，先根据已知等式得到
2
b
a
的值，再将所求代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵2
2
a
b
∴移项得
2
2
b
a
∴
2
4
1
2
2
1
2 2 1
5
b
a
b
a
．
4．如图，点ܱ
为直线AB 上一点，过点ܱ
作射线OC ，OM ，ON ，且ON 始终在OM 的右侧，若OM 平分
BOC
，
112
BOC
，
70
MON
，则
BON
的度数为（
）
A．14
B．16
C．24
D．28
【答案】A
【分析】利用角平分线定义求出
BOM
，再通过角的和差计算
BON
即可．
【详解】解：∵
112
BOC
，OM 平分
BOC
，
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∴
1
56
2
BOM
BOC
．
∵
70
MON
，
∴
14
BON
MON
BOM
．
5．智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升2 C
或下降1 C
．若初始温度
为10 C
，经过ݐ小时后的温度可能表示为（
）C
A．
10
2t
B．
10
t
C．
10
2t
或
10
t
D．
10
2
1
t
【答案】C
【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升2 C
，②若某日棚内温度变化规律为：每
小时下降1 C
，分别列出代数式即可得．
【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升2 C
，
则经过ݐ小时后的温度可能表示为
10
2t
C
；
②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降1 C
，
则经过ݐ小时后的温度可能表示为
10
t
C
；
综上，经过ݐ小时后的温度可能表示为
10
2t
C
或
10
t
C
．
6．点ܣ在数轴上的位置如图所示，若点ܣ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数可能是（
）
A．0.5
B．1.5
C．2
D．2.5
【答案】B
【分析】本题考查的是相反数与数轴的相关知识，理解相反数的几何意义（互为相反数的两个数在数轴上
对应的点到原点的距离相等，符号相反）是解题的关键．先根据数轴确定点ܣ表示的数的范围，再利用相
反数的定义，得到点B 表示的数的范围，进而选出符合条件的选项．
【详解】解：由图得，点ܣ在2
1
~
之间，若点ܣ，B 表示的数互为相反数，则点B 应在1 ~ 2 之间，符合
的选项为1.5．
故选：B ．
7．已知关于ݔ的一元一次方程
3
2025
2026
x
x
m
的解是
20
x
，那么关于y 的一元一次方程
4
3
2025 4
2026
y
y
m
的解是（
）
A．21
B．20
C．16
D．24
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程解的应用，运用整体代换思想是解题关键，将关于y 的方程中的4
y
看作
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整体，与已知方程中的x 建立对应关系，进而求解y 的值．
【详解】解：∵关于x 的一元一次方程
3
2025
2026
x
x
m
的解是
20
x
，
设
4
z
y
，则关于y 的方程
4
3
2025 4
2026
y
y
m
可化为
3
2025
2026
z
z
m
，
∴
20
z
，
又
4
z
y
，
∴4
20
y
，
∴
16
y
，
故选：C．
8．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20 小时，16 小时．丙水管单独开，排一池水要10 小时，
若水池没水，同时打开甲乙两水管，5 小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（
）个小时．
A．15
B．20
C．35
D．40
【答案】C
【分析】将一池水总水量看作单位ͳ，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要ݔ小时，根据题意，列出
方程，求解即可．
【详解】解：把一池水总水量看作单位ͳ，
甲单独注满需20 小时，乙单独注满需16小时，丙单独排完整池水需10小时
甲进水效率为1
20 ，乙进水效率为1
16 ，丙排水效率为1
10 ，
设水池注满还要ݔ小时，
根据题意可得，
1
1
1
1
1
5
1
20
16
20
16
10
x
，
解得
35
x
，
即水池注满还要35小时．
9．下列说法中正确的是（
）
A．单项式1
3 x
的次数为ͳ，系数是1
3
B．单项式
2
2m n和
2
3nm 是同类项
C．多项式
2
2
3
4
x y
xy
是二次三项式
D．多项式
2
2
1
x
x
的项是
2x
，2x 和ͳ
【答案】B
【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：A，单项式1 π
3 x 的系数为1 π
3
，次数为ͳ，选项说法错误；
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B，
2
2m n和
2
3nm 所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正
确；
C，多项式
2
2
3
4
x y
xy
的最高次项次数为2
1
3
，共͵ 项，该多项式是三次三项式，选项说法错误；
D，多项式
2
2
1
x
x
的项是
2x
，2x 和1
，选项说法错误．
10．如图，长为
y cm
，宽为
x cm
的大长方形被分割为7 小块，除阴影ܣ，B 外，其余5块是形状、大
小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（
）
①小长方形的较长边为
15
y
；②阴影ܣ的较短边和阴影B 的较短边之和为
5
x
y
；③阴影ܣ和阴影B 的
周长之和与y 值无关．
A．①③
B．①②③
C．①②
D．②③
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长，即可判断①；
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影
,
A B 的较短边长，将其相加可得出阴影ܣ的较短边和
阴影B 的较短边之和，即可判断②；
③利用长方形的周长计算公式可得出阴影ܣ和阴影B 的周长之和，即可判断③；
结合图形逐一分析说法的正误是解题的关键．
【详解】解：
其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，
①小长方形的较长边为
15
y
，说法正确；
②阴影ܣ的较短边为：
10
x
，
阴影B 的较短边为：
15
15
x
y
x
y
，
阴影ܣ的较短边和阴影B 的较短边之和为：
10
15
2
5
x
x
y
x
y
，
故②说法错误；
③阴影ܣ的周长为：
2
15
10
2
2
50
y
x
x
y
，
阴影B 的周长为：
2 15
15
2
2
60
x
y
x
y
，
阴影ܣ和阴影B 的周长之和为：2
2
50
2
2
60
4
10
x
y
x
y
x
，
阴影ܣ和阴影B 的周长之和与y 值无关，说法正确；
综上所述，说法中正确的是①③．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
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11．
3
6
___________．
【答案】9
【详解】解：
3
6
3
6
9
．
12．计算：3
5
ab
ab
___________．
【答案】2ab
/ 2ba
【分析】利用合并同类项法则求解即可．
【详解】解：
3
5
3 5
2
ab
ab
ab
ab
．
13．如图，画射线PQ ，在射线PQ 上依次截取
3cm
PA
AB
，再以点B 为圆心，4cm 长为半径画弧，弧
与射线PQ 相交于点C，则线段PC 的长为_____cm ．
【答案】2
【分析】根据线段的和差求解．
【详解】解：由作图得：
4
BC
cm
，
(
)
3 3
4
2 cm
PC
PA
AB
BC
\
=
+
-
=
+ -
=
．
14．若
2
1
0
m
m
，则
3
2
2
2023
m
m
_____________．
【答案】2024
【分析】利用已知条件得到
2
1
m
m
，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和
整体代入的思想求解．
【详解】解：∵
2
1
0
m
m
，
∴
2
1
m
m
，
∴
3
2
2
2023
m
m
3
2
2
2023
m
m
m
2
2
2023
m m
m
m
2
2023
m
m
2023 1
2024
．
15．将一副三角板按照如图方式摆放，则
ABC
的度数为_____．
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【答案】75/75 度
【分析】先根据邻补角定义求出
135
BAF
，再根据三角形内角和求出
15
ABF
，然后利用角的和差
计算即可．
【详解】解：∵
45
BAC
，
∴
180
45
135
BAF
，
∴
180
30
135
15
ABF
，
∴
90
15
75
ABC
．
16．一个商人把一件连衣裙标价为640 元，经工商人员核价，降至60 元出售，仍可获利20% ，若按原标价
出售，则一条裙子可获利_______元．
【答案】590
【分析】先根据降价后的售价与利润率，计算出连衣裙的成本，再用原标价减去成本，得到按原标价出售
可获得的利润．
【详解】解：设该连衣裙的成本为ݔ元，
根据题意，得
1 20%
60
x
，
解得
50
x
，
则按原标价出售可获利为640
50
590
（元）．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．解下列方程：
(1)3(2
3 )
1
x
x
；
(2)
3
2
1
1
2
3
x
x
．
【答案】(1)
1
2
x
(2)
17
x
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1 得到结果；
（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1 得到结果．
【详解】（1）解：
3 2
3
1
x
x
去括号，得6
9
1
x
x
移项、合并同类项，得10
5
x
系数化为1，得
1
2
x
（2）解：
3
2
1
1
2
3
x
x
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去分母，得
3
3
2 2
1
6
x
x
去括号，得3
9
4
2
6
x
x
移项、合并同类项，得
17
x
系数化为1，得
17
x
18．如图，已知点C 在线段ܣܤ上，点
,
M N 分别在线段AC 与线段BC 上，且
3
AM
MC
=
，
3
BN
NC
．
(1)若
8,
4
AC
BC
，求线段ܯܰ
的长；
(2)若
5
MN
，求线段ܣܤ的长．
【答案】(1)3
(2)20
【分析】（1）将
3
AM
MC
=
，
3
BN
NC
，转化为
1
1
2,
1
4
4
MC
AC
NC
BC
，进而根据MN
MC
NC
进行计算即可；
（2）根据（1）可推出
4
4
AB
MC
NC
MN
，再代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
3
AM
MC
=
，
3
BN
NC
，
∴
4
4
AC
MC
BC
NC
，
，
∵
8,
4
AC
BC
，
∴
1
1
2,
1
4
4
MC
AC
NC
BC
，
∴
2 1
3
MN
MC
NC
；
（2）解：由（1）可知
4
,
4
AC
MC BC
NC
，
∴
4
4
AC
BC
MC
NC
，
即
4
4
AB
MC
NC
MN
，
∵
5
MN
，
∴
4 5
20
AB
．
19．化简求值
(1)
2
2
2
2
5
3
2 2
6
a b
ab
a b
ab
，其中
1 ,
3
2
a
b
(2)
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
，其中
3,
4
x
y
xy
【答案】(1)
2
2
3
a b
ab
，57
4
(2)
8
x
y
xy
，35
【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a 和b 的值代入求值即可；
（2）先去括号，再合并同类项后，把x
y
和xy 的值代入求值即可．
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【详解】（1）解：
2
2
2
2
5
3
2 2
6
a b
ab
a b
ab
2
2
2
2
5
15
4
12
a b
ab
a b
ab
2
2
3
a b
ab
，
当
1 ,
3
2
a
b
时，
原式
2
2
1
1
3 3
3
2
2
1
1
3 3
9
4
2
3
27
4
2
57
4
；
（2）解：
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
8
x
y
xy
，
当
3,
4
x
y
xy
时，
原式
3
8
4
3 32
35
．
20．小明同学在黑板上计算“
1
1
5
4
4
8
8
”时，他的解答过程如下：
解：
1
1
5
4
4
8
8
1
1
5
2
2
……………………第一步
5 1
………………………………第二步
4
…………………………………第三步
解答下列问题：
(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；
(2)计算：
2
2
4
2
4
6
3
．
【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为：
1
1
5
4
4
8
8
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1
1
5
4
2
8
1
5
8 4
2
5
16
11
；
(2) 4
【分析】（1）小明在第一步中先计算了1
4
8 ，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：
2
2
4
2
4
6
3
16
2
4
8
4
4
．
21．新定义：如果两个角的和为120，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知
15
45
AOB
，
AOB
与
AOC
互为“兄弟角”，
AOB
与
AOD
互余．如图，当点B 在
AOC
的内部，且点B ，点D 在OA的同
侧时．
(1)若
60
BOC
，则______ ．
(2)若
1
3
AOE
AOD
，射线OM 在
AOC
内部，且满足
3
COM
AOM
，求
EOM
的度数（用含的
式子表示）．
【答案】(1)30
(2)
1
12
EOM
．
【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得
120
AOC
，再根据角的和差可得
60
AOB
，然后得到方
程60
即可解答；
（2）由已知可得
90
AOD
，
1
30
3
AOE
，根据题意列方程求解即可．
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【详解】（1）解：∵
AOB
与
AOC
互为“兄弟角”，
15
45
AOB
，
∴
120
AOB
AOC
，即
120
AOC
，
∵
AOC
BOC
AOB
，
∴
120
60
60
AOB
AOC
BOC
，
∵
15
45
AOB
，
∴60
，
∴
30
．
（2）解：∵
AOB
与
AOD
互余，
∴
90
90
AOD
AOB
，
∵
1
3
AOE
AOD
，
∴
1
30
3
AOE
，
∵
3
COM
AOM
，
120
AOC
，
∴
1
1
30
4
4
AOM
AOC
AOE
，
如图：
∴
AOM
AOE
EOM
，
120
AOC
，
1
30
3
AOE
，
∴
1
30
3
AOM
EOM
，
1
2
120
30
90
3
3
COM
EOM
EOM
，
∵
3
COM
AOM
，
∴
2
1
90
3 30
3
3
EOM
EOM
，
∴
1
12
EOM
．
22．某超市第一次用3100 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的1
3 多15 件，甲、乙两
种商品的进价和售价如表：
甲
乙
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进价（元/件）
12
20
售价（元/件）
19
30
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次
的4 倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的50%）
促销，若在本次销售过程中超市共获利1850 元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】(1)超市第一次购进甲商品150 件，乙商品65 件
(2)以五折售出的乙商品有120 件
【分析】（1）设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品1
15
3 x
件，根据单价数量ൌ总价，即可得出
关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设五折的乙商品m 件，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品1
15
3 x
件，
由题意得：
1
12
20
15
3100
3
x
x
，
解得
150
x
，
则1
1
15
150
15
65
3
3
x
（件），
答：超市第一次购进甲商品150 件，乙商品65 件；
（2）解：设五折售出的乙商品有m 件，则原价销售的乙商品的数量为
65 4
m
件，
由题意得
19 12
150
30
20
65 4
30 0.5
20
1850
m
m
，
解得
120
m
，
答：以五折售出的乙商品有120 件．
23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问
题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，则
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
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综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，求
abc
abc 的值．
【答案】(1) 3
或1
(2)ͳ
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情
况讨论；
（2）由题意得，a，b，c 中有2 个负数，1 个正数，则
0
abc
，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c 都是负数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，
1
1
1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则
1
1 1 1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3
或1；
（2）解：∵a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，
∴a，b，c 有2 个负数，1 个正数，
∴
0
abc
，
∴
1
abc
abc
abc
abc
．
24．如图1，点ܱ
在直线ܣܤ上，过点ܱ
引一条射线OC ，使
40
AOC
，将一个直角三角尺的直角顶点
放在点ܱ
处，直角边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线ܣܤ的下方．
【操作一】：将图1 中的三角尺绕着点ܱ
以每秒15的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，
设旋转的时间为ݐ秒．
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(1)
BOC
的度数是__________．
(2)三角尺的边OM 旋转的度数可表示为__________（用含ݐ的代数式表示）；当t __________时，
90
COM
．
【操作二】：如图2，射线OE 与射线OC 重合．如图3，在三角尺绕着点ܱ
以每秒15的速度按顺时针方向
旋转的同时，射线OE 绕点ܱ
以每秒5的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线OE
也停止旋转，设旋转的时间为ݐ秒．
(3)当ݐ为何值时，
90
EOM
，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线OE 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得
3
COE
COM
？若存在，请求
出所有满足题意的ݐ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)140
(2)15t；10
3 s 或46 s
3
(3)5s 或23s 理由如下：根据题意，得
15
BOM
t
，
5
EOC
t
，
90
BOC
BOM
COE
，
140 15
5
90
t
t
，
解得
5 s
t
；
根据题意，得
15
BOM
t
，
5
EOC
t
，
90
BOM
BOC
COE
15
5
140
90
t
t
，
解得
23
t
s
；
(4)存在；42 s
5
或21s
2
【分析】（1）根据
180
BOC
AOC
，解答即可．
（2）分
90
COM
且OM 在ܣܤ的上方，
90
COM
且OM 在ܣܤ的下方，两种情况求解．
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（3）根据题意，得140 15
5
90
t
t
，或15
5
140
90
t
t
，求解即可；
（4）当OM 在OC 的左侧时，此时
COM
AOC
BOM
，根据题意，得
3 140 15
5
t
t
，当OM 在OC
的右侧时，此时
COM
BOM
BOC
，根据题意，得
3 15
140
5
t
t
，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
180
BOC
AOC
，且
40
AOC
，
故
180
140
BOC
AOC
;
（2）解：三角尺绕着点ܱ
以每秒15的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为ݐ秒，
故旋转角
15
BOM
t
．
当
90
COM
且OM 在ܣܤ的上方时，
根据题意，得
180
BOM
COM
AOC
，
40
AOC
，
180
50
BOM
COM
AOC
，
15
50
t
，
解得
10 s
3
t
；
当
90
COM
且OM 在ܣܤ的下方时，
根据题意，得
90
AOM
AOC
COM
，
40
AOC
，
90
50
AOM
AOC
，
15
180
50
t
，
解得
46
3
t
s
；
（3）略
（4）解：根据题意，当OM 在OC 的左侧时，
此时
COM
BOC
BOM
，
根据题意，得
3 140 15
5
t
t
，
整理，得420
45
5
t
t
，
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解得
42
5
t
s
；
当OM 在OC 的右侧时，
此时
COM
BOM
BOC
，
根据题意，得
3 15
140
5
t
t
，
整理，得45
420
5
t
t
，
解得
21
2
t
s
；
故当t 为42 s
5
或21s
2
时，
3
COE
COM
;
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群
满
或
未
通
过
：
请
至
左
侧
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库
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最
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二
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