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暑假收心卷 02
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
训练范围：新教材，北师大版七年级上册第一~六章。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．2026 的倒数是（ ）
A．
1
2026
B．
1
2026
C．2026
D．2026
【答案】A
【分析】乘积为1的两个数互为倒数.
【详解】解：∵2026 ×
1
2026 = 1，
2026
的倒数是
1
2026 .
2．下列计算正确的是（ ）
A．
2
2
2
2
3
x y
xy
xy
B．3
3
a
b
ab
C．
2
3
3
a
a
a
D．3
3
0
ab
ab
【答案】D
【详解】解：选项A 中，
2x y 与
2
2xy 相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A 计算错误，不符
合题意；
选项B 中，3𝑎与𝑏所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B 计算错误，不符合题意；
选项C 中，𝑎2与𝑎3相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C 计算错误，不符合题意；
选项D 中，3ab
与3ab是同类项，合并得
3
3
3
3
0
ab
ab
ab
，计算正确，D 符合题意．
3．某初中为了解全校720 名八年级学生的睡眠时间，从16 个班级中随机抽取100 名学生进行调查，下列
说法正确的是（ ）
A．720 名学生是总体
B．720 是样本容量
C．16 个班级是抽取的一个样本
D．每名八年级学生的睡眠时间是个体
【答案】D
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项即可．
【详解】解：A．总体是720 名八年级学生的睡眠时间，不是720 名学生，故A 选项错误；
B．样本容量是样本中包含的个体数目，为100，不是720，故B 选项错误；
C．样本是抽取的100 名学生的睡眠时间，不是16 个班级，故C 选项错误；
D．每名八年级学生的睡眠时间是个体，符合定义，故D 选项正确．
4．若𝑥= 2是方程
3
10
0
mx
nx
的解，则
3
m
n
的值等于（ ）
A．−5
B．5
C．1
D．1
.
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【答案】B
【分析】本题考查方程的解，把𝑥= 2代入方程进行求解即可．
【详解】解：把𝑥= 2代入
3
10
0
mx
nx
，得2
6
10
0
m
n
，
∴2
6
10
m
n
，
∴
3
5
m
n
；
故选B．
5．如图，点C，D 在线段𝐴𝐵上，
16cm
AB
，
10cm
AD
BC
，则线段𝐶𝐷的长等于（ ）
A．10cm
B．6cm
C．4cm
D．3cm
【答案】C
【分析】根据题意和图形，可以求得线段𝐵𝐷的长，再根据𝐶𝐷= 𝐵𝐶−𝐵𝐷解答即可．
【详解】解：∵
16cm
AB
，
10cm
AD
，
∴
6 cm
BD
AB
AD
，
∵
10cm
BC
，
∴
10
6
4 cm
CD
BC
BD
．
6．甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4 小时相
遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1 千米，5 小时相遇．那么A、B 两地的距离是（ ）
A．40 千米
B．30 千米
C．20 千米
D．10 千米
【答案】A
【分析】A、B 两地总路程不变，根据两种情况的速度和关系列方程求解即可．
【详解】解：设𝐴、𝐵两地的距离是𝑥千米，
∵ 原来两人4小时相遇，
∴ 原来两人的速度和为4
x 千米/小时，
∵ 每人各自都比原计划每小时少走1千米，
∴ 减速后两人的速度和比原来少2千米/小时，即减速后速度和为
2
4
x 千米/小时，
又∵ 减速后两人5小时相遇，减速后速度和也可表示为5
x 千米/小时，
∴ 列方程得
2
4
5
x
x
，
解得
40
x
，
即𝐴、𝐵两地距离为40千米．
7．“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉
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字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的
汉字是（ ）
A．复
B．兴
C．有
D．我
【答案】D
【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行𝑍字
形，进行判断即可．
【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”；
“复”字所在面相对的面上的汉字是“有”；
“强”字所在面相对的面上的汉字是“我”．
8．当𝑥= 1时，代数式
3
3
mx
nx
的值为2026，当𝑥= −1时，这个代数式的值为（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2019
【答案】B
【分析】先将𝑥= 1代入代数式求出m
n
的值，再将𝑥= −1代入代数式，利用整体代入法计算求值．
【详解】解：当𝑥= 1时，代数式
3
3
mx
nx
的值为2026 ，
∴
2023
m
n
，
当𝑥= −1时，
3
3
3
3
mx
nx
m
n
m
n
，
把
2023
m
n
代入
3
m
n
，则
3
2023
3
2020
m
n
，
∴当𝑥= −1时，这个代数式的值为2020
．
9．将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若𝐴𝑀平分∠𝐵𝐴𝐷，AN 平分
CAD
，则∠𝑀𝐴𝑁
的度数是（ ）
A．5
B．15
C．22.5°
D．30°
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝑀平分∠𝐵𝐴𝐷，AN 平分
CAD
，
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∴
1
2
MAD
BAD
，
1
2
NAD
CAD
，
∴
1
1
1
30
15
2
2
2
MAN
MAD
NAD
BAD
CAD
BAC
.
10．按一定规律排列的代数式：2a
b
，4𝑎2 +𝑏，6𝑎3−𝑏，8𝑎4 +𝑏，10𝑎5−𝑏，…，则第n 个代数式是（）
A．2𝑛𝑎𝑛± 𝑏
B．2𝑛𝑎𝑛+ (−1)𝑛𝑏
C．2𝑛𝑎+ (−1)𝑛𝑏
D．2𝑛𝑎𝑛+ (−1)𝑛+1𝑏
【答案】B
【分析】分别分析第n 个代数式的系数，a 的次数，b 的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。
【详解】解：按顺序拆分观察规律：
∵第1 个代数式：2𝑎−𝑏= 2 × 1𝑎1 +(−1)1𝑏
第2 个代数式：4𝑎2 +𝑏= 2 × 2𝑎2 +(−1)2𝑏
第3 个代数式：6𝑎3−𝑏= 2 × 3𝑎3 +(−1)3𝑏
第4 个代数式：8𝑎4 +𝑏= 2 × 4𝑎4 +(−1)4𝑏
……
∴归纳可得，第𝑛个代数式中，系数为2𝑛，𝑎的次数为𝑛，𝑏的系数为(−1)𝑛，整理得第𝑛个代数式是2𝑛𝑎𝑛+
(−1)𝑛𝑏．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．如图所示的四个图形，分别绕直线𝑙旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)．
【答案】④
【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持
一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底
面和曲面侧面．
【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线𝑙旋转一周后得到圆锥；
图形②是半圆，绕直线𝑙旋转一周后得到球；
图形③是一边与直线𝑙重合的长方形，绕直线𝑙旋转一周后得到实心圆柱；
图形④是与直线𝑙平行且有一定距离的长方形，绕直线𝑙旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，
即空心圆柱；
综上，能得到空心圆柱的是图形④．
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12．直线上点𝐴表示的数是______，点𝐵表示的数写成分数是______，点𝐶表示的数写成小数是______．
【答案】
−2
2
5
1.8
【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点𝐴表示的数是−2，再列式计算得出点𝐵,𝐶表示的
数，即可作答．
【详解】解：观察数轴得出直线上点𝐴表示的数是−2，
依题意，得1 ÷ 5 × 2 =
2
5，1 + 1 ÷ 5 × 4 = 1.8
∴点𝐵表示的数是2
5 ，点𝐶表示的数是1.8．
13．如图是一个运算程序示意图，如果第1 次输入的x 的值是4，则第2 次输出的y 的值为______．
【答案】6
【详解】解：第1 次输出结果为：
4
10
10
4
6
；
第2 次输出结果为：
6
12
6 12
6
．
14．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D 在𝐵𝐶上，连接𝐵𝐸、𝐴𝐷，且𝐴𝐷的延长线交𝐵𝐸于点F．若
𝐵𝐷= 3，
13
AE
，𝐴𝐶的长为__________．
【答案】8
【分析】根据线段的和差和等量代换，即可进行解答．
【详解】解：
13
AE
，
13
EC
AC
，即
13
EC
AC
，
3
DB
，
3
BC
DC
．
BC
AC
，EC
DC
，
3
AC
EC
，即
3
EC
AC
，
∴
3
13
AC
AC
，
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∴
8
AC
．
15．在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14 名工人，每名工人每天可以加
工10 只茶壶或30 只茶杯，1 只茶壶需要配4 只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排
______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种）
【答案】6
【分析】设安排𝑥名工人加工茶壶，根据总工人数量表示出加工茶杯的工人数，根据配套要求得到茶杯总数
量与茶壶总数量的等量关系，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设该车间应安排𝑥名工人加工茶壶，则安排
14
x
名工人加工茶杯，
根据题意列方程得：
4 10
30 14
x
x
，
解得𝑥= 6，
∴应安排6名工人加工茶壶．
16．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1 个图案中有4
个等边三角形，第2 个图案中有6 个等边三角形，第3 个图案中有8 个等边三角形，…依此规律，第2026
个图案中有____个等边三角形．
【答案】4054
【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2026 个图案中三角形的个数．
【详解】解：第①个图案有4 个三角形，即4
2 1 2
第②个图案有6 个三角形，即6
2
2
2
第③个图案有8 个三角形，即8
2
3
2
…
第𝑛个图案三角形个数为2
2
n
，
所以第2026 个图案有三角形的个数为2 2026
2
4054
．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
1
4
3
1
0.4
5
5
；
(2)
25
2 16
8
1 3
．
【答案】(1)
9
5
（或1.8
或
4
15
）
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(2) 46
【详解】（1）解：
1
4
16
9
2
3
1
0.4
5
5
5
5
5
16
9
2
5
9
5
，
（2）解：
25
2 16
8
1 3
25 2
2
2
50
4
46
．
18．如图，点C 为线段𝐴𝐵的中点，点E 为线段𝐴𝐵上的点，点D 为线段𝐴𝐸的中点．
(1)若
:
5: 2
AE BE
，且
14
AB
，求𝐶𝐷的长；
(2)若线段𝐴𝐵= 16，𝐶𝐸= 4，求𝐴𝐷的长．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）已知
:
5: 2,
14
AE BE
AB
，可得AE
BE
、
的长，因为点C 为线段𝐴𝐵的中点，点D 为线段𝐴𝐸
的中点，可得AC
AD
、
的长，因为CD
AC
AD
，可得𝐶𝐷的长；
（2）因为点C 为线段𝐴𝐵的中点，可得𝐴𝐶、𝐵𝐶的长，因为𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸，求得𝐵𝐸的长，可得𝐴𝐸的长，因为
点D 为线段𝐴𝐸的中点，可得𝐴𝐷的长．
【详解】（1）解：
:
5: 2,
14
AE BE
AB
，
10,
4
AE
BE
，
∵点C 为线段𝐴𝐵的中点，点D 为线段𝐴𝐸的中点，
7,
5
AC
AD
，
2
CD
AC
AD
；
（2）解：
16
AB
，点C 为线段𝐴𝐵的中点，
8
AC
BC
，
∵𝐶𝐸= 4，
4
BE
BC
CE
，
12
AE
AB
BE
，
∵点D 为线段𝐴𝐸的中点，
6
AD
．
19．先化简，再求值：
2
2
2
2
3
4
2
5
x
xy
x
xy
x
xy
，其中𝑥= −1，𝑦= 2．
【答案】
2
6
4
x
xy
，−2
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可．
【详解】解：
2
2
2
2
3
4
2
5
x
xy
x
xy
x
xy
2
2
2
2
3
4
2
10
x
xy
x
xy
x
xy
2
6
4
x
xy
，
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当𝑥= −1，𝑦= 2时，原式
2
6
1
4
1
2
6
8
2
．
20．我校“五育并举”课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在需了解学生最喜欢的“五
育并举”课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成
如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)𝑚= ____________，𝑛= ____________；
(2)在扇形统计图中，“E．劳育实践”所对应的扇形的圆心角度数是____________度；
(3)请根据以上信息补全条形统计图；
(4)我校共有3000 名学生，试估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数．
【答案】(1)25%，15%；
(2)36；
(3)
；
(4)450人．
【分析】（1）先用选A 的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比= 其所对应
的人数÷ 总人数分别求出𝑚、𝑛的值；
（2）用360乘以E 所占的百分比即可求解；
（3）用总人数乘以D 类别所占百分比即可求出对应人数，进而补全条形统计图；
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（4）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数．
【详解】（1）解：观察条形统计图与扇形统计图知：选A 的有12人，占20%，
故总人数有12 ÷ 20% = 60（人），
𝑚= 15 ÷ 60 × 100% = 25%，
𝑛= 9 ÷ 60 × 100% = 15%；
（2）解：360° ×
6
60 = 36°；
（3）解：D 类别人数为60 × 30% = 18（人），
条形统计图略；
（4）解：3000 ×
9
60 = 450（人），
答：估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数有450人．
21．A、B 两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌
的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60 元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场
优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80 套，则购买的篮球打
八折．
(1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元．
(2)若联合购买120 套队服和
12
a a
个篮球，请用含𝑎的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费
用；
(3)在（2）的条件下，若
45
a
，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？
【答案】(1)180，120
(2)甲商场费用为
120
20160
a
元，乙商场费用为
96
21600
a
元
(3)到甲商场购买比较合算
【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解；
（2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含𝑎的代数式；
（3）将
45
a
代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算．
【详解】（1）解：设每个篮球的价格是𝑥元，则每套队服的价格是
60
x
元，
根据题意得
2
60
3
x
x
，
解得𝑥= 120，
则
60
180
x
，
答：每套队服180 元，每个篮球120 元；
（2）解：到甲商场购买，购买120 套队服赠送120
12
10
个篮球，
总费用为：
180 120 120
12
a
21600 120
1440
a
120
20160
a
元；
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到乙商场购买，队服超过80 套，篮球打八折，
总费用为： 180 120 120 0.8a
96
21600
a
元；
（3）解：将
45
a
代入两个代数式，
甲商场费用：120 45
20160
25560
(元)，
乙商场费用：96 45
21600
25920
(元)，
25560
25920
，
∴到甲商场购买比较合算．
22．某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的路上连续接送5 批客人，行驶路程记录分别为：1, 2, 4, 3, 12
（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
(1)接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？
(2)出租车在行驶的过程中，离公司最远的距离是多少？
(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3 千米收费10 元，超过3 千米的部分按每千米2 元收费．在
这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？
【答案】(1)
在公司的东方，距离公司8 千米
(2)
最远的距离是8 千米
(3)
车费70 元
【分析】（1）将5 次行驶路程相加，根据结果的正负判断方向，结果的绝对值就是距离公司的距离；
（2）依次计算每次接送完客人后驾驶员离公司的距离，比较大小即可得到最远的距离；
（3）先得到每批客人的行驶路程，根据计价标准分别计算每批的车费，求和得到总车费即可．
【详解】（1）解：5 次行驶路程相加得1
2
( 4)
( 3) 12
8
千米，
∵规定向东为正，向西为负，且8
0
，
∴接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司的东方，距离公司8 千米；
答： 接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司的东方，距离公司8 千米；
（2）解：接送完第1 批客人后，离公司距离为| 1| 1
千米，
接送完第2 批客人后，离公司距离为| 1
2 | 3
千米，
接送完第3 批客人后，离公司距离为| 1
2
( 4) | | 1| 1
千米，
接送完第4 批客人后，离公司距离为| 1
2
( 4)
( 3) | | 4 | 4
千米，
接送完第5 批客人后，离公司距离为|8| 8
千米，
比较大小得 1
3
4
8
，
∴离公司最远的距离是8 千米；
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答： 出租车离公司最远的距离是8 千米；
（3）解：由题意，5 批客人行驶路程的绝对值分别为1 千米，2 千米，4 千米，3 千米，12 千米，
路程不超过3 千米的共3 批，每批收费10 元，共3 10
30
元，
第三批路程4 千米，超过3 千米4
3
1
千米，收费10 1 2
12
元，
第五批路程12 千米，超过3 千米12
3
9
千米，收费10
9 2
28
元，
总车费为30 12
28
70
元．
答： 在这个过程中该驾驶员共收到车费70 元．
23．【规律探究】“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图
1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三
阶”幻方（图2）．
【观察发现】图2 “三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”
幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中
心数”的3倍．
【猜想验证】猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍．
说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒、𝑓、𝑔、𝑚、𝑛表示，其中“中心数”
为𝑒，将“幻方和”用字母𝑠表示．
由题意可知：
3
a
b
c
d
e
f
g
m
n
s
：
又因为
4
a
e
n
d
e
f
g
e
c
b
e
m
s
；
即
3
4
a
b
c
d
e
f
g
m
n
e
s
；
所以3
3
4
s
e
s
，所以3e
s
，即“幻方和”是“中心数”的3倍．
【解决问题】利用上述结论解决问题：
(1)如图3，已知𝑏= 3，
4
g
，幻方的“中心数”
1
e ，则𝑛的值为________；
(2)如图4，𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸、𝐹是含有字母𝑡的整式，E
t
，
3
2
C
t
．
①若幻方的“中心数”
2
2
D
t
，求整式𝐹（用含𝑡的式子表示）：
②若幻方的“中心数” D
m
，B
at
m
，且𝑎、𝑚均为常数，求𝑎、𝑚的值．
【答案】(1)−2
(2)①
2
4
F
t
；②
4
3
m
，
7
a
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【分析】（1）根据题意可得方程
3
g
e
c
，据此可求出𝑐，进而建立方程求出𝑎，最后建立方程求出𝑛即
可；
（2）①根据题意可得
3
C
E
F
D
，据此根据整式的加减计算法则求解即可；②根据题意得出
3
2
2
(
3)
A
D
B
C
m
a
t
，
3
4
3
2
F
D
C
E
t
m
，再根据
3
A
D
F
D
，得到
2
2
(
3)
4
3
2
2
m
a
t
t
m
m
，化简得3
4
(
7)
0
m
a
t
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
e ，
∴ “幻方和”为−3，
∴
3
g
e
c
，
∴
3
3
4
1
6
c
g
e
，
∵
3
a
b
c
，
∴
3
3
3
6
0
a
b
c
，
∵
3
a
e
n
，
∴
3
3
0
1
2
n
a
e
，
故答案为：−2；
（2）解：①由题意得：
3
C
E
F
D
，
∴
3
F
D
C
E
3(2
2)
(3
2)
t
t
t
6
6
3
2
t
t
t
=
+
-
-
-
2
4
t
；
②由题意得：
3
3
(
)
(3
2)
2
2
(
3)
A
D
B
C
m
at
m
t
m
a
t
，
3
3
(3
2)
4
3
2
F
D
C
E
m
t
t
t
m
，
3
A
D
F
D
，
2
A
F
D
，
即2
2
(
3)
4
3
2
2
m
a
t
t
m
m
，
化简得3
4
(
7)
0
m
a
t
，
3
4
0
m
，且
7
0
a
，
解得
4
3
m
，
7
a ．
24．特例感知：
（1）如图1，已知线段
14
AB
，点𝐶为线段𝐴𝐵上的一个动点，点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶和𝐵𝐶的中点．
①若𝐴𝐶= 4，则线段𝐷𝐸= _________；
②若
14
AC
a a
，则线段𝐷𝐸= _________；
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知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若
130
AOB
，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内部的一条射线，射线𝑂𝑀
平分∠𝐴𝑂𝐶，射线𝑂𝑁平分∠𝐵𝑂𝐶，
MON
_________；
拓展探究：
（3）如图3，已知
COD
在∠𝐴𝑂𝐵内部，
180
AOB
，
28
COD
∠
，且
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，求∠𝑀𝑂𝑁（用含𝛼的式子表示）．
综合提升：
（4）如图4，若
126
AOB
，∠𝐶𝑂𝐷= 60°，射线𝑂𝐸、𝑂𝐹分别在∠𝐴𝑂𝐶和∠𝐵𝑂𝐷内部，且
1
3
EOC
AOC
，
1
3
DOF
BOD
，
EOF
_________．（直接写出答案）
【答案】（1）①7；②7；（2）65°；（3）3
7
4；（4）82
【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义．
（1）①已知
14
AB
，𝐴𝐶= 4，可得𝐵𝐶的长，因为点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶和𝐵𝐶的中点，可得𝐶𝐷、𝐶𝐸的长，因为
DE
CD
CE
，可得𝐷𝐸的长；
②同①法求解即可；
（2）因为𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内部的一条射线，射线𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐶，射线𝑂𝑁平分∠𝐵𝑂𝐶，所以
1
2
CON
BOC
，
1
2
COM
AOC
，已知
130
AOB
，
MON
CON
COM
可得∠𝑀𝑂𝑁的度数；
（3）已知
AOB
，
28
COD
∠
，可得
BOC
AOD
的度数，因为
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，可得
DOM
CON
的度数，因为
MON
COD
CON
DOM
，可得∠𝑀𝑂𝑁的度数；
（4）设
BOC
x
，可得
126
AOC
x
，
60
BOD
x
，从而得到
1
42
3
EOC
x
，
1
40
3
COF
x
，
即可求解．
【详解】解：（1）①
14
AB
，𝐴𝐶= 4，
10
BC
，
∵点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶和𝐵𝐶的中点，
2
CD
，𝐶𝐸= 5，
2
5
7
DE
CD
CE
；
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②
14
AB
，
14
AC
a a
，
14
BC
a
，
∵点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶和𝐵𝐶的中点，
2
a
CD
，
7
2
a
CE
，
7
7
2
2
a
a
DE
CD
CE
；
（2）∵𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内部的一条射线，射线𝑂𝑀平分∠𝐴𝑂𝐶，射线𝑂𝑁平分∠𝐵𝑂𝐶，
1
2
CON
BOC
，
1
2
COM
AOC
，
130
AOB
，
1
1
65
2
2
MON
CON
COM
BOC
AOC
AOB
；
（3）
AOB
Q
，
28
COD
∠
，
28
BOC
AOD
，
3
DOM
AOM
，
3
CON
BON
，
(
)
21
4
4
3
3
DOM
CON
AOD
BOC
，
21
2
3
8
7
4
3
4
MON
COD
CON
DOM
；
（4）设
BOC
x
，
∵
126
AOB
，∠𝐶𝑂𝐷= 60°，
∴
126
AOC
AOB
BOC
x
，
60
BOD
COD
BOC
x
，
∵
1
3
EOC
AOC
，
1
3
DOF
BOD
，
∴
1
1
126
42
3
3
EOC
x
x
，
2
2
2
60
40
3
3
3
BOF
BOD
x
x
，
∴
1
40
3
COF
BOF
BOC
x
，
∴
1
1
42
40
82
3
3
C
x
x
EOF
OE
COF
．
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