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暑假收心卷
01
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
训练范围：新教材，人教版七年级上册第一~六章。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．某人转动转盘，如果用3
圈表示沿逆时针方向转了3 圈，那么沿顺时针方向转了5 圈记作（
）
A．5
圈
B．2
圈
C．5
圈
D．8
圈
【答案】A
【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反，
∴如果用3
圈表示沿逆时针方向转了3 圈，那么沿顺时针方向转了5 圈记作5
圈．
2．下列各式运算正确的是（
）
A．( 3)
( 7)
4
B．( 2)
( 2)
4
C．( 6)
( 11)
5
D．( 5)
( 3)
8
【答案】C
【详解】解：选项A：
3
7
4
4
，
A 错误；
选项B：
2
2
0
4
，
B 错误；
选项C：
6
11
5
，
C 正确；
选项D：
5
3
2
8
，
D 错误．
3．
4
x
是下面（
）方程的解．
A．2
2
4
x
B．10
6
x
x
C．1
4
x
D．5
5
25
x
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可判断．
【详解】解：A、当
4
x
时，2
2
2 4
2
6
4
x
，故选项不符合题意；
B、当
4
x
时，10
10
4
6
x
，6
6
4
10
x
，6
10
，故选项不符合题意；
C．当
4
x
时，
1
1
1
4
4
4
x
，故选项不符合题意；
D．当
4
x
时，5
5
5 4
5
25
x
，故选项符合题意．
4．唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一
句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是
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（
）
A．“更”
B．“带”
C．“朝”
D．“烟”
【答案】D
【分析】正方体的平面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，利用这一特点即可判断．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
∴在中间一行中，“柳”与“带”相隔一个“更”，故“柳”与“带”是相对面；“更”与“朝”相隔一个“带”，故“更”
与“朝”是相对面．
∴剩余的“绿”与“烟”是相对面．
5．为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄m 元存入学校合作银行，定期t 年，年利率为2.8%．到期
后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（
）
A．
2.8%
m
t
B．
(1
2.8% )
m
t
C．
2.8%
m
m
t
D．
(2.8%
)
m
t
【答案】B
【分析】利用利息ൌ本金利率期数，进而可得到本息表示为
2.8%
m
m
t
，化简即可．
【详解】解：由题意可知，利息表示为
2.8%
m
t
，
则本息表示为
2.8%
1 2.8%
m
m
t
m
t
，
即投入金额表示为
(1
2.8% )
m
t
．
6．国家数据局将2026 年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1 个词元（Token ，大模型处理信息的
最小单元）需执行1400 亿次浮点运算，则处理2000 个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（
）
A．
14
0.28 10
B．
13
2.8 10
C．
15
0.28 10
D．
14
2.8 10
【答案】D
【分析】科学记数法的表现形式为
10n
a
，其中1
10
a
，n 为整数，确定a 和n 的值即可得到答案．
【详解】解：1400亿
11
140000000000
1.4 10
，
11
14
2000 1.4 10
2.8 10
．
7．如图，在同一平面内，
90
AOB
COD
，
AOF
DOF
，点E 为OF 反向延长线上一点（图中所有
角均指小于180的角）．下列结论：①
COE
BOE
；②
180
AOD
BOC
；③
90
BOC
AOD
；
④
180
COE
BOF
．其中正确结论的个数有（
）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由
90
AOB
COD
，根据等角的余角相等得到
AOC
BOD
，结合
AOF
DOF
即可判断
①正确；由
AOC
AOD
D
AOD
B
A
O
OD
B
OC
，结合
90
AOB
COD
即可判断②正确；
由
90
COB
AOD
AOC
AOD
，而不能判断
AOD
AOC
，即可判断③不正确；由E、O、F 三点
共线得
180
BOE
BOF
，而
COE
BOE
，从而可判断④正确．
【详解】解：∵
90
AOB
COD
，
∴
AOC
BOD
，
而
AOF
DOF
，
∴180
180
AOC
AOF
BOD
DOF
，
即
COE
BOE
，
∴①正确；
180
AOD
BOC
AOD
AOC
AOB
COD
AOB
，
∴②正确；
90
COB
AOD
AOC
AOD
，
而
AOC
AOD
，
∴③不正确；
∵E、O、F 三点共线，
∴
180
BOE
BOF
，
∵
COE
BOE
，
∴
180
COE
BOF
，
∴④正确．
∴正确的结论的个数有①②④共3 个．
8．在等式
2
1 3
5
2
3
a
b
a
b
a
a
的括号内依次填入的代数式是（
）
A．
1
b，5
b
B．1 b
，5
b
C．
1
b，
5
b
D．1 b
，
5
b
【答案】B
【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，
括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变．
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【详解】解：对第一个因式变形：
2
1
2
1
2
1
a
b
a
b
a
b
，
第一个括号内应填1 b
；
对第二个因式变形：
3
5
3
5
a
b
a
b
，
第二个括号内应填5
b
；
综上所述，括号内依次填入1 b
和5
b
．
9．嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是400m ，嘉嘉跑一圈需要100s ，淇淇跑一圈需要120s ，
若两人同时同向出发，xs 后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（
）
A．1
1
1
100
120
x
x
B．1
1
400
100
120
x
x
C．120
100
1
x
x
D．120
100
400
x
x
【答案】A
【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减
去淇淇的路程等于1 圈”列方程即可．
【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1，
∴嘉嘉的速度为1
100 ，淇淇的速度为1
120 ，
∵x s 后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1，
∴嘉嘉路程为1
100 x ，淇淇路程为1
120 x ，可得方程1
1
1
100
120
x
x
，
因此正确选项为A．
10．有理数a，b，c 均不为0，且
0
a
b
c
，设
a
b
c
x
b
c
c
a
a
b
，则代数式
2025
2025
x
的值为（
）．
A．2024
B．0 或1
C．2026
D．2024
或2026
【答案】D
【分析】利用已知条件
0
a
b
c
变形x 的表达式，再根据, ,
a b c 的符号分类讨论得到x 的两种可能值，最
后代入计算即可．
【详解】解：∵
0
a
b
c
，且a ，b ，c 均不为0 ，
∴b
c
a
，c
a
b
，a
b
c
，
代入x 的表达式得：
a
b
c
a
b
c
x
a
b
c
a
b
c
，
∵
0
a
b
c
，a ，b ，c 均不为0 ，
∴a ，b ，c 不可能全为正，也不可能全为负，只有两种情况：
①当a，b ，c 为两正一负时，a
a
，b
b
，c
c
的结果为两个1，一个1
，和为1，
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∴
1
x
，
代入得
2025
2025
2025
( 1)
2025
1 2025
2026
x
；
②当a，b ，c 为两负一正时，a
a
，b
b
，c
c
的结果为两个1
，一个1，和为1
，
∴ݔൌ〶，
代入得
2025
2025
2025
1
2025
1
2025
2024
x
；
∴代数式的值为2024
或2026
．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．计算：
3
5
___________．
【答案】2
【详解】解：原式
3
5
2
．
12．若
2
3
3
0
a
a
，则
2
2
6
3
a
a
的值为________．
【答案】3
【分析】本题考查了代数式的整体代入求，解题关键是将
2
2
6
3
a
a
变形为含有
2
a
3a
的形式，再利用已
知条件整体代入计算．
先将代数式
2
2
6
3
a
a
变形为
2
2
3
3
a
a
，再根据已知条件求出
2
3
3
a
a
，最后整体代入变形后的式子
计算．
【详解】
2
3
3
0
a
a
，
2
3
3
a
a
，
2
2
6
3
a
a
2
2
3
3
2 3
3
3
a
a
．
故答案为3．
13．忻州五台山台蘑种植基地种植100 公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑kg
a
，后因暴雨使总产量减产
〶
ͷ，
则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含a的代数式表示）
【答案】80a
【分析】先求出原计划的台蘑总产量，再根据减产比例得到实际总产量占原计划的比例，化简代数式得到
最终结果．
【详解】解：由题意可得，原计划收获台蘑的总产量为100 kg
a
，
因为总产量减产
〶
ͷ，所以实际总产量为原计划总产量的
1
1
5
，
计算最终收获台蘑的总质量：
1
4
100
1
100
80
5
5
a
a
a
．
14．如图，数轴上A 、B 两点分别位于原点两侧，且OA
OB
，若点A 表示的数是〶Ͳ，则ܱ
ܤ的中点C 表
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示的数是________．
【答案】5
【分析】先计算出OC 的长，再根据数轴写出对应的数．
【详解】解：∵点A 表示的数为〶Ͳ，
∴
10
OA
，
∵OA
OB
，
∴
10
OB
，
∵点C 为OB 的中点，
∴
1
5
2
OC
OB
，
∵点C 在原点的左侧，
∴点C 表示的数为5
．
15．定义运算“☆”，其规则为
a
b
a
b
a
☆
，则方程
3
5
6
x
☆
☆
的解为______．
【答案】
40
3
x
【分析】根据题中新定义的运算规则，先计算括号内的3
5
☆，再将所得结果与x 按照运算规则转化为一元
一次方程，解一元一次方程即可得到结果.
【详解】解：根据新定义运算规则，先计算括号内的3
5
☆：
3
5
8
3
5
3
3
☆
原方程可化为8
6
3
x
☆
，再根据新定义化简得：
8
3
6
8
3
x
整理得：8
3
6
8
x
去分母得：8
3
48
x
移项合并同类项得：3
40
x
系数化为1得：
40
3
x
.
16．如图，直线ܣܤ，ܥܦ相交于点O，OF 平分
,
15 ,
:
4:5
AOD
AOC
AOF
DOE
DOB
，则
EOF
的度数为__________．
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【答案】105
【分析】根据
:
4:5
DOE
DOB
，设未知数，利用对顶角相等和邻补角定义表示出
AOC
和
AOD
，
结合角平分线定义表示出
AOF
，根据
15
AOC
AOF
列出方程求解，最后计算
EOF
的度数．
【详解】解：
:
4:5
DOE
DOB
，设
4
DOE
x
，则
5
DOB
x
，
5
AOC
DOB
x
，
180
AOC
AOD
，
180
180
5
AOD
AOC
x
，
OF 平分
AOD
，
1
1 180
5
90
2.5
2
2
AOF
DOF
AOD
x
x
，
15
AOC
AOF
，
5
90
2.5
15
x
x
，
解得：
10
x
，
4 10
40
DOE
，
90
2.5 10
65
DOF
，
65
40
105
EOF
DOF
DOE
．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
9
5
12
3
；
(2)
2
3
2
( 2)
5
28
4
．
【答案】(1)5
(2) 37
【详解】（1）解：
9
5
12
3
9
5 12
3
5
．
（2）解：
2
3
2
( 2)
5
28
4
4
8
5
7
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4
40
7
37
．
18．解决下列问题：
(1)解方程：5
12
2
6
x
x
；
(2)先化简、再求值：
2
2
4
1
2 2
1
x
x
x
，其中
1
2
x
．
【答案】(1)
6
x
(2)
化简结果为2
1
x ，值为2
【详解】（1）解：5
12
2
6
x
x
5
2
12
6
x
x
3
18
x
6
x
．
（2）解：
2
2
4
1
2 2
1
x
x
x
2
2
4
1
4
2
2
x
x
x
2
2
4
1
4
2
2
x
x
x
2
1
x
，
将
1
2
x
代入，得，
原式
1
2
1
2
1
2
2
x
．
19．如图所示，直线ܣܤ与直线ܦܨ相交于点O，OC 是
AOD
的平分线，OE 在
BOD
内，且
DOE
AOD
，
78
COE
．
(1)求
EOB
的度数；
(2)写出
DOE
的所有补角．
【答案】(1)76
(2)
EOF
，
BOD
，
AOF
.
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可；
（2）根据补角的定义，进行求解即可.
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【详解】（1）解：∵OC 是
AOD
的平分线，
∴
2
AOD
COD
∵
DOE
AOD
，
∴
2
DOE
COD
，
∵
2
3
78
COE
COD
DOE
COD
COD
COD
，
∴
26
COD
，
∴
2
2 26
52
DOE
AOD
COD
，
∴
180
180
52
52
76
BOE
AOD
DOE
；
（2）解：∵
,
180 ,
180
DOE
AOD
AOD
AOF
AOD
BOD
，
∴
180 ,
180
DOE
AOF
DOE
BOD
，
又∵
180
DOE
EOF
，
∴
DOE
的补角为
EOF
，
BOD
，
AOF
.
20．如图，已知三点
, ,
A B C ，请按要求画图．
(1)画直线ܣܥ；
(2)连接ܣܤ；
(3)过点B 画直线ܤܦ交线段ܣܥ的延长线于点D，再画射线DE 交线段ܣܤ于点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查线段、直线、射线的作图，根据题目要求作图即可．
（1）画直线ܣܥ；
（2）连接ܣܤ；
（3）过点B 画直线ܤܦ交线段ܣܥ的延长线于点D，再画射线DE 交线段ܣܤ于点E．
【详解】（1）解：直线ܣܥ如图所示：
（2）解：线段ܣܤ如图所示．
（3）解：直线ܤܦ、射线DE 如图所示．
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21．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，
如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：km）如下：3
，7
，4
，
1
，5
，2
，8
，6
．
(1)若汽车消耗天然气量为
3
0.2
/ km
m
，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(2)若出租车起步价为5元，起步里程为3km （包括3km ，超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费
多少元？
【答案】(1)7.2 立方米；
(2)58元．
【分析】（1）先将8 个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可；
（2）分别求出8位乘客的车费，再求和即可．
【详解】（1）解：总行车里程为
3
7
4
1
5
2
8
6
36 km
，
共消耗天然气36 0.2
7.2
（立方米），
答：共消耗天然气7.2 立方米；
（2）解：行车里程为3km的乘客的车费为：5元；
行车里程为7km 的乘客的车费为：
5
7
3
1.2
9.8
（元）；
行车里程为4km 的乘客的车费为：
5
4
3
1.2
6.2
（元）；
行车里程为1km 的乘客的车费为：5元；
行车里程为5km的乘客的车费为：
5
5
3
1.2
7.4
（元）；
行车里程为2km 的乘客的车费为：5元；
行车里程为8km 的乘客的车费为：
5
8
3
1.2
11
（元）；
行车里程为6km 的乘客的车费为：
5
6
3
1.2
8.6
（元）；
5
9.8
6.2
5
7.4
5 11 8.6
58
（元），
答：小李这天上午共得车费58元．
22．如图，长方形的长为a ，宽为b ．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出
四分之一圆．
(1)用含a ，b 的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当
10cm
a
，
4cm
b
时，求图中阴影部分的面积．（取3）
【答案】(1)
2
π
4
ab
b
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(2)
2
28cm
【分析】（1）长方形的面积减去四个1
4 圆的面积即可求解，四个1
4 圆的面积的和是一个整圆的面积；
（2）把a ，b 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为
2
2
1
π
4
π
4
2
4
b
ab
ab
b
；
（2）解：当
10cm
a
，
4cm
b
时，
阴影部分的面积为
2
2
3
10
4
4
40
12
28cm
4
．
23．综合与探究
线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探
究过程．
【探究发现】
(1)课上，老师提出问题：如图1，点O 是线段ܣܤ上一点，点C ，ܦ分别是线段OA，ܱܤ的中点．若
16
AB
，
求线段ܥܦ的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全．
未知线段
已知线段
……
因为点C ，ܦ分别是线段OA，ܱܤ的中点．
所以
1
2
OC
OA
，
1
2
OD
________．
所以
1
1
2
2
CD
OC
OD
OA
________
1
2
________．
因为
16
AB
．
所以CD ________．
【知识迁移】
(2)小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知
80
AOC
，ܱܤ是
AOC
内部的一条射线，ܱܦ、OE 分别是
AOB
，
BOC
的平分线，求
DOE
的度数．请尝试解决该问题．
【拓展延伸】
(3)有一种面积为
2
acm 的正方形餐垫．
①如图3，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是
2
500cm ，那么这两张餐垫
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重叠部分的面积是________
2
cm （用含a的代数式表示）；
②如图4，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是
2
bcm ，图中两个阴影部分
的面积的和是
2
ccm ，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是________
2
cm （用含a ，b ，c 的代数式表示）．
【答案】(1)ܱܤ，ܱܤ，ܣܤ，8
(2)
40
DOE
(3)①
2
500
a
；②
1 3
2
a
b
c
【分析】（1）根据中点的意义，结合推理即可完成填空；
（2）根据角平分线的定义及角的和差关系，即可完成求解；
（3）①根据覆盖的面积为两张餐垫面积的和减去两张餐垫重叠部分的面积即可计算；
②设从上往下三张餐垫分别记为A
B
C
、、
，上下两个阴影部分的面积分别为
2
2
1
2
S cm
S cm
、
，三张餐垫的共
同部分面积为
2
Scm ，求出餐垫A、B 的盖住桌面的面积
2
kcm ，求出加上C 餐垫后增加的面积
2
ncm ，两式相
加即可求解．
【详解】（1）解：因为点C ，ܦ分别是线段OA，ܱܤ的中点．
所以
1
2
OC
OA
，
1
2
OD
OB
．
所以
1
1
1
2
2
2
CD
OC
OD
OA
OB
AB
．
因为
16
AB
．
所以ܥܦൌͺ．
（2）解：∵ܱܦ、OE 分别是
AOB
，
BOC
的平分线，
∴
1
1
2
2
BOD
AOB
BOE
BOC
，
，
∴
1
1
1
2
2
2
DOE
BOD
BOE
AOB
BOC
AOC
，
∵
80
AOC
，
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∴
1
80
40
2
DOE
；
（3）解：①
2
2
500
S
a
cm
阴影
；
②如图，设从上往下三张餐垫分别记为A
B
C
、、
，上下两个阴影部分的面积分别为
2
2
1
2
S cm
S cm
、
，三张餐
垫的共同部分面积为
2
Scm ，则
2
1
2
S
S
ccm
，
餐垫A、B 的盖住桌面的面积为
2
kcm ，则
1
2
k
a
S
S
，
加上C 餐垫后增加的面积为
2
n
a
S
S
，
两式相加得
1
2
3
2
k
n
a
S
S
S
b
，
∴
2
1 3
2
S
a
b
c cm
．
24．如图1，点O 在直线ܣܤ上，过点O 引一条射线OC ，使
40
AOC
，将一个直角三角尺的直角顶点放
在点O 处，直角边OM 在射线ܱ
ܤ上，另一边ON 在直线ܣܤ的下方．
【操作一】：将图1 中的三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，
设旋转的时间为t 秒．
(1)
BOC
的度数是__________．
(2)三角尺的边OM 旋转的度数可表示为__________（用含t 的代数式表示）；当t __________时，
90
COM
．
【操作二】：如图2，射线OE 与射线OC 重合．如图3，在三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向
旋转的同时，射线OE 绕点O 以每秒5的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线OE
也停止旋转，设旋转的时间为t 秒．
(3)当t 为何值时，
90
EOM
，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线OE 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得
3
COE
COM
？若存在，请求
出所有满足题意的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)〶1Ͳι
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(2)15t；10
3 s 或46 s
3
(3)5s 或23s 理由如下：根据题意，得
15
BOM
t
，
5
EOC
t
，
90
BOC
BOM
COE
，
140 15
5
90
t
t
，
解得
5 s
t
；
根据题意，得
15
BOM
t
，
5
EOC
t
，
90
BOM
BOC
COE
15
5
140
90
t
t
，
解得
23
t
s
；
(4)存在；42 s
5
或21s
2
【分析】（1）根据
180
BOC
AOC
，解答即可．
（2）分
90
COM
且OM 在ܣܤ的上方，
90
COM
且OM 在ܣܤ的下方，两种情况求解．
（3）根据题意，得140 15
5
90
t
t
，或15
5
140
90
t
t
，求解即可；
（4）当OM 在OC 的左侧时，此时
COM
AOC
BOM
，根据题意，得
3 140 15
5
t
t
，当OM 在OC
的右侧时，此时
COM
BOM
BOC
，根据题意，得
3 15
140
5
t
t
，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
180
BOC
AOC
，且
40
AOC
，
故
180
140
BOC
AOC
;
（2）解：三角尺绕着点O 以每秒15的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为t 秒，
故旋转角
15
BOM
t
．
当
90
COM
且OM 在ܣܤ的上方时，
根据题意，得
180
BOM
COM
AOC
，
40
AOC
，
180
50
BOM
COM
AOC
，
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15
50
t
，
解得
10 s
3
t
；
当
90
COM
且OM 在ܣܤ的下方时，
根据题意，得
90
AOM
AOC
COM
，
40
AOC
，
90
50
AOM
AOC
，
15
180
50
t
，
解得
46
3
t
s
；
（3）略
（4）解：根据题意，当OM 在OC 的左侧时，
此时
COM
BOC
BOM
，
根据题意，得
3 140 15
5
t
t
，
整理，得420
45
5
t
t
，
解得
42
5
t
s
；
当OM 在OC 的右侧时，
此时
COM
BOM
BOC
，
根据题意，得
3 15
140
5
t
t
，
整理，得45
420
5
t
t
，
解得
21
2
t
s
；
故当t 为42 s
5
或21s
2
时，
3
COE
COM
;
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