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第07 讲 用一元二次方程解决问题
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型一、传播问题
题型二、增长率问题
题型三、与图形有关的问题
题型四、数字问题
题型五、营销问题
题型六、动态几何问题
题型七、工程问题
题型八、行程问题
题型九、图表信息题
题型十、其他问题
题型十一、握手循环问题
题型十二、一元二次方程的生活实际问题
题型十三、一元二次方程中的最值问题
题型十四、一元二次方程的新定义问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
传播问题
增长率问题
营销问题
几何图形问题
工程问题
1.掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤与解题思路。
2.能准确提取题干等量关系，正确建立方程模型求解。
3.能结合实际情境检验并取舍方程的解，排除不合理解。
4.熟练解决增长率、面积、利润等常见一元二次方程实际题型。
5.提升数学建模能力，培养严谨规范的解题数学思维。
学习重点：找准题目中的等量关系，列出一元二次方程并规范求解应用题。
学习难点：结合现实条件对方程的根进行取舍，处理面积、利润类综合问题。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
列一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题的步骤如下：
1.
审
(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
2.
设
(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
3.
列
(根据题目中的等量关系，列出方程)；
4.
解
(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
5.
验
（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
6.
答
(写出答案，切忌答非所问).
易错点：
1、审题建模错误：不能准确找出题目等量关系，列错方程，导致整体解题偏差。
2、忽略实际意义：解得的根未取舍，保留负数、超范围、不符合生活情境的解。
3、单位与题意不符：审题不仔细，数量、增长率、数量关系理解偏差，列式失误。
4、漏检验步骤：解方程后不检验根是否符合题意，直接作答，造成扣分。
5、书写不规范：缺少设未知数、作答、单位、完整解题过程，步骤残缺失分。
即时即练
1．电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3 亿元，前三天票房累计约15 亿
元．若每天票房的增长率都为
，依题意可列方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依次求出三天的票房，再根据前三日票房累计为15 亿元列出方程即可．
知｜识｜精｜讲
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【详解】解：∵第一天票房为3 亿元，每天票房的增长率为x，
∴第二天票房为
亿元
第三天票房为
亿元
∵前三日票房累计约为15 亿元
∴将三天票房相加，可列方程得
．
2．如图，学校计划用长
的篱笆围成一个面积为
的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直
于墙的一边长为
，可列方程是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为
，根据长方形菜
地的面积为
，即可得出关于x 的一元二次方程．
【详解】解：∵要用
长的篱笆围成一个面积为
的长方形菜地，垂直于墙的边长为
，
∴平行于墙的边长为
，
根据题意，可得
．
故答案为：
．
3．2025 年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级
为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x 支，预计常规赛共进
行15 场比赛，则根据题意可列方程为______
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15 场比赛，列出
方程即可．
【详解】解：由题意，可列方程为
；
故答案为：
．
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知识点
02
一元二次方程解决问题的类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千
位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、
2、……、9 之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数
位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为
a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a；
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为
(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)；
(2)降低率问题：
平均降低率公式为
(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量).
3.利息问题与销售问题
（1）利息有关概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（2）利息相关公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
（3）销售问题中的常用等量关系
利润＝售价－进价（成本）
总利润＝每件的利润×总件数
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利润率＝
利润
进价（成本）×100%
售价＝打折数
10
×标价
进价×（1＋利润率）＝标价×打折数
10
即时即练
4．
年月日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进.某超市
于今年八月初购进一批商品，八月份销售
件.常泰长江大桥通车后，九、十月该商品十分畅销，销售量
持续走高，十月底的销售量达到
件.求九、十这两个月的月平均增长率．
【答案】九、十这两个月的月平均增长率为
【分析】本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），解题思路是设月平均增长率为
，根据八月和十
月销售量列方程求解；考查的知识点是一元二次方程应用，用到方程思想，方法是增长率建模，技巧是准
确列方程，解题关键是建立方程，易错点是解的取舍错误．
【详解】解：设九、十这两个月的月平均增长率为
，
根据题意可得：
，
解得：
，
（不合题意舍去）.
答：九、十这两个月的月平均增长率为
；
5．《疯狂动物城2》于2025 年11 月26 日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24
元，当售价定为每个36 元时，平均每天售出60 个．经市场调研，每降1 元出售，平均每天多售出10 个．
根据以上信息，解决问题：
(1)每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100 个；
(2)影院当天想获得650 元利润，则每个玩偶应降价多少元．
【答案】(1)4
(2)7 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．
（1）根据“每降1 元出售，平均每天多售出10 个．”即可求解；
（2）设每个玩偶应降价x 元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：
元，
即每个玩偶降价4 元时，影院每天销量可达到100 个；
故答案为：4
（2）解：设每个玩偶应降价x 元，根据题意得：
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，
整理得：
，
解得：
（舍去），
答：每个玩偶应降价7 元．
6．如图，
中，
，
，动点
从点
出发以
速度向点
移动，同
时动点
从
出发以
的速度向点
移动，设它们的运动时间为
．
(1)根据题意知：
____________，
____________；（用含t 的代数式表示）
(2) 为何值时，
的面积等于四边形
的面积的
？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用．
（1）根据路程
速度时间，即可求解；
（2）根据题意可得
面积等于
面积的
，根据
的面积等于三角形
的面积的
列方程
求解即可．
【详解】（1）解：根据路程
速度时间得：
，
，
则
；
故答案为：
．
（2）解：∵
的面积等于四边形
的面积的
∴
面积等于
面积的
∴
即
解得
．
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答：当
时，
的面积等于四边形
的面积的
．
题型一、传播问题
1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干
分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x 支支干，则根据题意可
以列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设主干长出
支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21 列方程即可．
【详解】解：∵主干只有1 根，设主干长出
支支干，
∴支干的总数量为
，
∵每根支干又分出
支小分支，
∴小分支的总数量为
，
∵主干、支干和小分支总数是21，
∴可列方程为
．
2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81 个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x 个人，则第三
轮传染后共有（ ）个人患流感．
A．8
B．9
C．648
D．729
【答案】D
【分析】先列方程求出每轮平均传染人数
，那么第一轮后患病总人数为
，第二轮新增患病人数为
，根据“经过两轮传染后共有81 个人患流感”，列出方程解得
后再计算第三轮传染后的总患病
人数．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染
个人，
，
整理得
，
解得
或
，
∵传染人数不能为负数，
∴
不符合题意，舍去，
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则第三轮传染后总患病人数为
（人）．
3．疫情期间，若有1 人染上“新冠”不及时治疗，经过两轮传染后总共有361 人染上新冠，平均一个人传
染给多少人，设平均一个人传染
个人，可列方程为_____．
【答案】
【分析】分别表示出第一轮传染后和第二轮传染后的染病人数，根据两轮传染后的总染病人数列方程．
【详解】解：初始有个感染者，平均一个人传染
个人，
则第一轮传染后，染病人数为
，
第二轮传染中，这些已感染的每个人又传染
个人，因此第二轮新增染病人数为
，
则第二轮传染后总染病人数为：
，
已知两轮传染后共有
人感染，
因此可列方程为
．
4．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要
再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有
人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
【答案】(1) 人
(2)
人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设这种宣讲活动，一个人会给
人宣讲，根据题意列方程求解即可；
（2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数．
【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给
人宣讲，
依题意，得
即
，
解得
，
舍去，
故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲；
（2）解：
（人），
故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有
人．
5．感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活
动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就
会有100 人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同．
(1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？
(2)若传播得不到有效的控制，3 轮传播后，被感染的人数会不会超过800 人？
【答案】(1)每轮传播中平均一个人传播个人；
(2)被感染的人数会超过800 人．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
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（1）设每轮传播中平均一个人传播x 个人，根据经过两轮感染后就会有100 人被感染即可得出关于x 的一
元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传播后被感染的人数
经过两轮传播后被感染的人数
经过两轮传播后被感染的人数
，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x 个人，
根据题意得：
，
整理，得：
，
解得：
，
（不合题意，舍去）．
答：每轮传播中平均一个人传播个人；
（2）三轮感染后，患病的人数为
（人）．
∵
，
被感染的人数会超过800 人．
答：被感染的人数会超过800 人．
题型二、增长率问题
6．某智能无人机前年售价为每台5000 元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200 元，则该智能无人
机每台的售价在这两年的年平均下降率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出年平均下降率，根据价格变化关系列方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果．
【详解】解：设该智能无人机每台售价的年平均下降率为
，
∵初始售价为
元，经过两年下降后最终售价为
元，
∴可列方程：
，
整理得
，
开方得
，
解得
，
，
∵下降率不可能大于，
∴舍去不符合题意的
，
因此年平均下降率为
．
7．某科技公司在2024 年投入研发资金为300 万元，2026 年投入研发资金363 万元，若这两年投入研发资
金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程
【详解】解：∵设年平均增长率为
，2024 年投入研发资金为
万元，
2025
∴
年投入研发资金为
万元，
2026
∴
年投入研发资金为
万元，
又∵2026 年投入研发资金为
万元，
∴列方程得
8．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16 元降为9 元，
则两次降价平均每次的降价率是_______．
【答案】
【分析】设平均每次降价的百分率为
，根据原价经过两次降价后零售价为9 元，找出等量关系列出一元
二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到结果．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为
，
根据题意得：
，
解得：
或
由于降价率大于
且小于，
则两次降价平均每次的降价率是
．
9．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，
年出口量为
万辆，
年出口量为
万辆．则新
能源汽车出口量的年平均增长率为多少？
【答案】
【分析】初始量
年平均增长率
增长n 年后的量，本题间隔为2 年，据此列出一元二次方程，舍去
不符合题意的负根后即可得到结果．
【详解】解：设年平均增长率为
，
由题意，得
，
整理，得
，
开平方，得
，
增长率
，
，
，
新能源汽车出口量的年平均增长率为
．
10．第九届亚冬会于2025 年2 月7 日至2 月14 日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特
许商品早于2024 年2 月4 日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45 元的价格购进某款亚冬会徽章，
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以每枚68 元的价格出售，经统计，2024 年2 月份的销售量为256 枚，2024 年4 月份的销售量为400 枚．
(1)求该款徽章2024 年2 月份到4 月份销售量的月平均增长率；
(2)从5 月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1 元，月销售量就会增加20 枚，
当该款徽章降价多少元时，5 月销售利润达8400 元？
【答案】(1)
(2) 元
【分析】（1）设该款徽章2024 年2 月份到4 月份销售量的月平均增长率为x，根据题干条件列出一元二次
方程，取符合题意的值即可；
（2）设该款徽章降价
元，根据5 月销售利润达8400 元，列出一元二次方程，取符合题意的值即可．
【详解】（1）设该款徽章2024 年2 月份到4 月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，可得
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
答：该款徽章2024 年2 月份到4 月份销售量的月平均增长率为
．
（2）设该款徽章降价
元，则每枚的利润为
元，月销售量为
枚，
根据题意，可得
，
整理得
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8 元时，5 月销售利润达8400 元．
题型三、与图形有关的问题
11．小明把一张长
、宽
的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长
方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为
，设剪去的正方形边长为
，那么
x 满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x 的正方形，所
以底面长为
．
确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为
，上下各剪去一个边长为x 的正方形，所以底面宽
为
．
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利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为24 cm²，所以可列关于x 的方程．
【详解】设剪去的正方形边长为
，由题意，得
．
12．如图，在宽为
，长为
的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，
要使草坪的面积为
．设道路的宽为
，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为
，宽为
，据此列出方程
即可．
【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为
，宽为
，
则可列方程为
．
13．如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为
平方米的矩形苗圃园，其中一边靠
米的墙，
另外三边是周长为
米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．
依题意可列方程为：___________________；其中x 的取值范围为：______________________
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用长方形的面积公式，依据已知条件，找出平行于墙的一边
的长度，列出方程即可，再根据长方形的长度范围即可求出
取值范围．
【详解】解：
这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米，根据题意得，
，
，
，
，
，
．
14．某校开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22 米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，
该矩形菜地的另外三边用一根长49 米的绳子围成，并留1 米宽的门，若想开辟成面积为300 平方米的菜地，
则该矩形菜地垂直于墙的一边长为_____米．
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【答案】
15
【分析】设菜地垂直于墙的一边的长为x 米，则根据图并利用长宽
面积，建立方程并求解即可．
【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边的长为
米，
由题意列方程可得：
，
解得
，
，
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，符合题意，
所以菜地垂直于墙的一边的长为15 米．
15．为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16 米，宽为12 米的长方形区域（阴影部分）改
造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行
跑道的宽度为x 米．
(1)新场地的长为______米，宽为______米；（用含x 的代数式表示）
(2)若新场地的总面积为320 平方米，求步行跑道的宽度．
【答案】(1)
，
(2)2 米
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，结合物业准备将一个长为16 米，宽为12 米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区
域，且设步行跑道的宽度为x 米．进行列式，即可作答．
（2）根据新场地的总面积为320 平方米，进行列方程，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵物业准备将一个长为16 米，宽为12 米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区
域，且设步行跑道的宽度为x 米．
∴新场地的长为
米，宽为
米，
（2）解：依题意，新场地的长为
米，宽为
米
∵新场地的总面积为320 平方米，
∴
，
整理得
，
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解得
（舍去）
∴步行跑道的宽度为2 米．
【易错警示】
解一元二次方程图形问题时，容易弄错边长等量关系，列式出现错误。算出方程的根后，常常忽略线段长
度必须为正数，没有舍去不符合图形尺寸的解。部分同学不结合图形取舍取值，最终答案违背几何实际条
件。
题型四、数字问题
16．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168 即可列出方
程．
【详解】解：∵较大的偶数为
，则较小的连续偶数为
，
∴根据题意，可得方程
．
17．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立
之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周
瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于
该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为
，根据题意列方程即可．
【详解】解：设个位数字为
，则十位数字为
，
根据题意可得
．
故选：A．
18．如图是2025 年4 月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2 个位置上相邻的数（如2，
3，9，10）．若圈出的4 个数中最大数与最小数的积为128，设这4 个数中最小数为x，则可列方程为
______．
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【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小
数的积为128 得出等式求出答案．
【详解】解：设这4 个数中最小数是x，则最大数为：
，
根据题意得：
，
故答案为：
．
19．【阅读与理解】已知整数a 与b 的平方之和可以表示为
，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【答案】(1)
(2)这两个正整数分别是4 和5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可；
（2）设较小的整数是
，则较大的整数是
，根据题意列出方程
，然后解方程即可．
【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3，
∴较大的数是4，
∴它们的平方之和为
；
（2）设较小的整数是
，则较大的整数是
，
由题可得：
，
方程可化为：
，
把方程左边因式分解，得：
，
解得：
，
（舍去），
答：这两个正整数分别是4 和5．
20．如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2，
3，9，10）．
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(1)如图，若圈出的4 个数
、
、、
中，最小的数
，则
，
________，
________．
（用含
的代数式表示）
(2)在小组活动中，小轩通过计算，发现
的差恒为常数，请你证明．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
【答案】(1)
，
；
(2)证明如下：
∵
，
∴
的差恒为常数；
(3)7．
【分析】（1）直接根据日历表作答即可；
（2）直接计算
的值即可；
（3）由（1）知最小的数
，最大的数
，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x 的值
即可．
【详解】（1）解：根据日历表可知，
，
；
（2）略；
（3）解：由题意得：
，
变形整理得：
，
解得：
，
（舍去），
即这个最小的数是7．
题型五、营销问题
21．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12 元，平均每天可售出80 枚．市场调研发现：
若每枚徽章降价1 元，则平均每天可多售出10 枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间
后发现，平均日盈利为910 元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x 元，依题意可列方程
（）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售
量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程．
【详解】解：∵设每件商品降价
元，
∴降价后每枚徽章的盈利为
元，
∵每降价元平均每天可多售出
枚，
∴降价
元后，每天的销售量为
枚，
又∵平均日盈利为
元，
∴可列方程为
．
22．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5 元．当售价为15 元/杯时，平均每天能售出300 杯．市场
调查发现，售价每降价1 元，平均每天就能多售出50 杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销
售利润仍保持在3000 元，则每杯奶茶应降价____________元．
【答案】
【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润
每杯利润
销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可.
【详解】解：设每杯奶茶应降价
元，
由题意得：
，
解得
，
；
∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高，
∴舍去
，取
，
答：每杯奶茶应降价
元.
23．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5 元/个，在销售中发现，当这
种手办的价格定为7 元/个时，每天可卖出160 个，在此基础上，单价每提高1 元，每天就少卖20 个，若该
网店一天销售这种手办所获得的利润是420 元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
【答案】8
【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润
乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可．
【详解】解：设每个手办的单价提高
元，则定价为
元/个，单个手办的利润为
元，
每天的销售量为
个，
根据题意，可得：
，
整理得：
，
因式分解得：
，
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解得：
，
，
当
时，定价为
元/个，
当
时，定价为
元/个，
因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个．
24．某商店用
元购买一批新款书包进行销售．
(1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用
元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是
多少元？
(2)根据（1）中的进价，把每个书包按
元的定价销售，平均每天可售出
个．调查发现，若每个书包每
降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为
元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包
的定价应为多少元？
【答案】(1)
该书包原来每个的进价是
元
(2)
每个书包的定价应为
元
【分析】（1）利用两次购买书包数量相同的等量关系列分式方程求解，解分式方程后需要检验；
（2）利用总利润
单个利润销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合要让顾客得到实惠的条件，选
择降价更多的定价即可；
【详解】（1） 解：设该书包原来每个的进价是
元，
根据题意，可得
，
解得
，
检验：当
时，
，因此
是原方程的解，
答：该书包原来每个的进价是20 元；
（2）解：设每个书包降价
元，
由（1）可知每个书包进价为20 元，此时单个书包利润为
元，销售量为
个，
根据题意得
，
解得：
，
，
因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即
，此时定价为
（元），
答：每个书包的定价应为30 元．
25．西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A 品
牌头盔，该头盔的进价为60 元/个．经测算，当售价为89 元/个时，平均日销售量为20 个．该经销商为了
响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1 元，平均日销售量
增加2 个．
(1)若该头盔每个降价
元，平均日销量为
，写出
与
的函数关系式．
(2)为使日销售利润达到756 元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
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【答案】(1)
(2)
该品牌头盔的实际售价应定为
元/个
【分析】（1）根据降价和日销量的变化关系，直接写出
与
的函数关系式；
（2）根据“总利润=单个头盔利润×日销售量”列一元二次方程求解，结合“尽可能让顾客得到实惠”的
要求，选择降价更多的解，再计算出实际售价．
【详解】（1）已知售价为89 元/个时，日销售量为20 个，每降价1 元，日销售量增加2 个，
当降价
元时，增加的日销售量为
个，
因此可得
，
结合实际意义，降价
，
∴
与
的函数关系式为
；
（2）设该头盔每个降价
元，
由题意可知，单个头盔的利润为
元，日销售量为
个，日总利润为756 元，
因此列方程得：
整理得：
解得
要尽可能让顾客得到实惠，因此选择降价更多的
，
实际售价为
(元/个)
答：该品牌头盔的实际售价应定为
元/个．
【易错警示】
解决利润营销问题，容易混淆单价、销量的增减对应关系，等量关系列错。计算总利润时常忘记用单件利
润乘以销售量，解方程后不检验取值。忽视商品售价的合理范围，保留超出实际条件的解，造成答案错
误。
题型六、动态几何问题
26．如图，在
中，
，
，
，点
从点
出发，以
的速度沿
边
向点
匀速运动，同时另一点
从点
出发，以
的速度沿射线
匀速运动，当
的面积为
时，运动时间为（ ）
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A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】设运动时间为
，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为
，其中
，则
，
,
，
的面积为
，
，
解得：
或
，
即当
的面积为
时，运动时间为
或
．
27．如图，在
中，
，
，
，点P 从点A 开始，沿
边向点B 以
的速度移动，点Q 从点B 开始，沿
边向点C 以
的速度移动．如果点P，Q 同时出发，当
一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形
的面积为
，则点P 运动的时间是（ ）
A．3
B．3 或5
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
设点P 运动的时间为
，则
，
，根据题意易得
，
，
根据
可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得
答案．
【详解】解：设点P 运动的时间为
，
则
，
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∵四边形
的面积为
，
∴
，
即
，整理可得
，
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解得
，
又∵点P，Q 同时出发，点P 从点A 出发运动到点B 用时
，点Q 从点B 运动到点C 用时
，且
当一个点到达目的地时，所有运动停止，
∴
，
∴点P 运动的时间是
．
故选：A．
28．如下图，正方形
的边长为
，
为
的中点，点
以
的速度从点
出发，沿
向点
运动，同时点
以
的速度从点
出发，沿
向点
运动，当点
运动到点
时，
、
两点同时停止运动，若在运动过程中，当
时，
的长度为________．
【答案】
或
【分析】分两种情况讨论，当
时和当
时，分别求解即可；
【详解】解：如图所示，当
时，点
在线段
上，
在
上，
由条件可知
，
依题意，
，
，则
；
，
，
，
，
解得：
，
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∴
，
，
∴
；
如图所示，当
时，点
在线段
上，
在
上，
依题意，
，
，则
，
，
，
解得：
或
（舍去），
∴
，
，
∴
．
综上所述，
或
．
29．如图，在矩形
中，
，
，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动，
同时，点
从点
出发沿
以
的速度向点
移动，则_________后
的面积为
？
【答案】2 秒或4 秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动
秒钟后
的面积为
，则
，
，
，
，利用分割
图形求面积法结合
的面积为
，即可得出关于
的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动
秒钟后
的面积为
，则
，
，
，
，
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，
，
，
，
∴
，
解得：
，
．
答：运动2 秒或4 秒后
的面积为
．
故答案为：2 秒或4 秒
30．如图，在长方形
中，
，
，点
从点
开始沿边
向终点
以
的速
度移动，与此同时，点
从点
开始沿边
向终点
以
的速度移动．如果
、
分别从
、
同
时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．
(1)填空：
，
．（用含的代数式表示）
(2)当五边形
的面积等于
时，求此时的值．
(3)是否存在的值，使线段
的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当五边形
的面积等于104cm2时，此时的值为1
(3)存在，当
时，线段
的长度最小，最小值为
【分析】（1）根据P、Q 两点的运动速度可得
、
的长度；
（2）根据五边形
的面积等于
，代入相应数据解方程即可；
（3）根据勾股定理求得
，再根据配方法，求得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：∵点Q 从点B 开始沿边
向终点C 以
的速度移动，
∴
；
∵P 从点A 开始沿边
向终点B 以
的速度移动，
∴
，
∵
，
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∴
，
（2）解：
，
，
，
，
，
整理得：
，
解得：
，
当
时，
，不合题意，舍去；
当
时，
，符合题意；
∴当五边形
的面积等于104cm2时，此时的值为1．
（3）解：
，
∵
，
∴
，
∴当
时，线段
的长度最小，此时
．
【易错警示】
动态几何动点问题中，容易搞错线段长度的代数式，等量关系建立出错。忽略动点的运动时间取值范围，
求出方程的根后不进行取舍。同时容易遗漏分类讨论，只考虑一种位置情况，导致答案不完整而丢分。
题型七、工程问题
31．学校图书馆需将4800 本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计
划每天比乙计划每天多整理100 本图书，且甲整理1200 本图书与乙整理1000 本图书的时间相等
(1)求甲计划每天整理多少本图书？
(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多
本，最
终完成所用的时间比甲计划所需的时间少
天，求a 的值
【答案】(1)600
(2)50
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设乙计划每天整理x 本图书，则甲计划每天整理
本图书，结合甲整理1200 本图书与乙整理
1000 本图书的时间相等，列分式方程求解；
（2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答．
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【详解】（1）解：设乙计划每天整理x 本图书，则甲计划每天整理
本图书，
依题意，
，
解得
，
经检验：当
时，
，
∴
是原分式方程的解，
∴甲计划每天整理
（本）
（2）解：由（1）得甲计划每天整理600 本，
∵总图书4800 本，
则计划时间
天，
依题意，甲实际每天整理
本，实际完成时间
天
根据工作量关系，得方程
，
展开得
，
化简得
，
即
解得
或
，
由于
不符合实际意义，故
．
32．列方程解下列问题：
甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10 个，甲生产120 个该种零件的时间与乙生产100 个
该种零件的时间相同．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了
，乙每小时比原来多生产
个零件，甲、乙两人同时工作
小时共可以生产1500 个零件，求
的值．
【答案】(1)甲每小时生产60 个零件， 则乙每小时生产50 个零件
(2)10
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解
题的关键．
（1）设甲每小时生产x 个零件， 则乙每小时生产
个零件，根据“甲生产120 个该种零件的时间与
乙生产100 个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解；
（2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为
，乙每小时生产
个
零件，根据“甲、乙两人同时工作
小时共可以生产1500 个零件，” 列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时生产x 个零件， 则乙每小时生产
个零件，根据题意得：
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，
解得：
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，此时
，
答：甲每小时生产60 个零件， 则乙每小时生产50 个零件；
（2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为
，乙每小时生产
个零
件，根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
（舍去），
即m 的值为10．
33．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有
，
两条不同的粽子生产
线，
生产线每小时加工粽子
个，
生产线每小时加工粽子
个．
(1)若生产线
，
一共加工
小时，且生产粽子总数量不少于
个，则B 生产线至少加工多少小时？
(2)原计划
，
生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，
生产线每小时比
原计划多生产
个（
），
生产线每小时比原计划多生产
个．若
生产线每天比原计划少工作
小时，
生产线每天比原计划少工作
小时，这样一天恰好生产粽子
个，求
的值．
【答案】(1)B 生产线至少加工6 小时
(2)a 的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所
给的数量关系列出不等式和方程求解．
设
生产线加工
小时，则
生产线加工
小时，根据生产线
，
一共加工
小时，且生产粽子
总数量不少于
个，列不等式求解即可；
根据一天恰好生产了
个粽子，可列关于
的一元二次方程，解方程即可求出
的值．
【详解】（1）解：设
生产线加工
小时，则
生产线加工
小时，
根据题意可得：
，
解得：
答：
生产线至少加工
小时；
（2）解：由题意可得：
，
整理得：
，
解得
，
（不符合题意，舍去），
答：
的值为
．
34．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从5 月份到7
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月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900 个/天，但如
果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900 个，应该
增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)增加4 条或
条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x 条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：
，
解得：
，
（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为
．
（2）解：设增加x 条生产线．
，
解得
，
，
答：增加4 条或
条生产线．
35．某工程队采用A，B 两种设备同时对长度为3600 米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设
路面比B 型设备的2 倍多30 米，则30 小时恰好完成改造任务．
(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600 米多了750 米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了
小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，
而使用时间增加了m 小时，求m 的值．
【答案】(1)
型设备每小时铺设的路面长度为90 米
(2)
的值为10
【分析】（1）设
型设备每小时铺设路面
米，则
型设备每小时铺设路面
米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“
型设备铺设的路面长度
型设备铺设的路面长度
”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设
型设备每小时铺设路面
米，则
型设备每小时铺设路面
米，
根据题意得，
，
解得：
，
则
，
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答：
型设备每小时铺设的路面长度为90 米；
（2）根据题意得，
，
整理得，
，
解得：
，
（舍去），
∴
的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
题型八、行程问题
36．2026 年4 月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最
终用时50 分26 秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为
，经过两次速
度调整后，速度提升至
．设这两次调整中，速度的平均增长率为
．根据题意列出方程，正确
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为
即可列
出正确方程．
【详解】解：∵初始速度为
，两次调整的平均增长率为
，
∴第一次调整后速度为
，
第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长，
因此第二次调整后速度为
，
又∵调整后最终速度为
，
∴可列方程
．
37．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：
）与滑行时间t（单位：）之间满足一
次函数关系
．而滑行距离
，
，其中
是初始速度，
是t 秒时的速度，当飞机
在跑道起点处着陆后滑行了
，则此时飞机的滑行速度（ ）
．
A．10
B．20
C．30
D．10 或30
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得
，令
得到关于t
的方程，求出t 的值，即可求解．
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【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
整理得：
，
解得：
（舍去），
此时
，
即此时飞机的滑行速度
．
故选：C
38．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：
m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是
．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是
176m，他需要______s 能到达终点．
【答案】
8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元
二次方程求时间．
【详解】解：由题意，滑行距离S 与时间t 的关系为
．
当
时，有
．
整理得
．
为方便计算，方程两边同乘2，得
．
．
因为
，
所以
．
解得
，
．
由于时间不能为负数，故
．
故答案为8．
39．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，
甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一
地点同时出发，在单位时间内甲的速度为
步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走
步，然后
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向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了
__________步．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路
线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了
步，则甲斜向北偏东方向走了
步，乙向东走了
步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
设甲走了
步，则甲斜向北偏东方向走了
步，乙向东走了
步，
即：
，
，
，
根据题意可得：
，
即：
，
解得：
，
（舍去），
答：甲走了
步．
故答案为：
．
40．如图，小岛
在码头
正东方向的80 海里处．已知当轮船甲从码头
出发以
海里小时的速度向
正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛
出发以
海里小时的速度向码头
行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为
海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛
运送物质，当轮船甲到达小岛
后，发现运送物质不足，此时行驶到
处
的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿
方向前往小岛
进行物质补充．若两艘轮船在上午
时
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出发，轮船乙在上午时到达小岛
，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
【答案】(1) 或
小时；
(2)上午时．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为
海里，则轮船甲与码头
的距离为
海里，轮
船乙与码头
的距离为
海里，根据题意得可
，然后解方程即可；
（
）设轮船甲出发
小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则
海里，
海里，
海里，
海里，根据勾股定理得得
，则有
，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为
海里，则轮船甲与码头
的距离为
海里，轮船乙与码头
的距离为
海里，
根据题意得可
，
解得：
，
，
答：两艘轮船出发或
小时后，两艘轮船之间的直线距离为
海里；
（2）解：设轮船甲出发
小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则
海里，
海里，
海里，
海里，
在
中，由勾股定理，得
，
即
，
整理，得
，
解得，
（不符合题意．舍去）．
∴
，
答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令．
题型九、图表信息题
41．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 度，那么这居民这个月只需缴30 元电
费；如果超过a 度，那么这个月除了仍要缴30 元的用电费以外，超过的部分还要每度按
元缴费．
(1)若该厂某户居民2 月份用电
度，超过了规定的a 度，则超过的部分应缴电费多少元（用a 表示）；
(2)如表是这户居民3 月、4 月用电情况和缴费情况：
月份
用电量
缴电费总数（元）
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（度）
3
120
62
4
65
30
请根据如表数据，求出电厂规定的a 的值．
【答案】(1)
元
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
（1）由题意列出代数式即可得出结论；
（2）由3 月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，超过a 度的电费为
元；
（2）由表格可知3 月份的用电量超过a 度，故：
，
整理得：
，
解得：
，
4
∵月份用电量
度，交费
元，
∴
，
∴
不符合题意，舍去，
∴
，
答：电厂规定的a 的值为
．
42．某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数
收费标准
不超过30 人
人均收费800 元
超过30 人
每增加1 人，人均收费降低10 元，但人均收费不低于550 元．
(1)一个25 人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元；
(2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250 元．请求出参加这次旅游的人数．
【答案】(1)20000
(2)45 人
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标
准，列方程并检验解的合理性．
（1）判断25 人在“不超过30 人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用；
（2）先判断人数超过30 人，根据“人数×（原人均收费
降低的费用）
总费用”列方程，求解后检验人
均收费是否符合“不低于550 元”的条件，确定最终人数．
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【详解】（1）解：由题意得
（元）
应该支付20000 元．
故答案为：20000
（2）设参加这次旅游的人数是
人，
（元），
，
．
根据题意得：
．
解得：
，
，
当
时，人均旅游费用为
，符合题意，
当
时，人均旅游费用为
，不符合题意，舍去．
答：参加这次旅游的有45 人．
43．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担
起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位
大白检测人数是
人时，每位同学人均检测时间是
秒，而检测人数每提高
人，人均就少耗时秒（若
每位大白的检测人数不超过
人，设人均少耗时
秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数
（人）
人均检测时
间（秒）
(2)某位大白一节课（
）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
【答案】(1)40，
，29，26
(2)他今日检测总人数为
人
【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t 与x 之间的函数关系式，即
可补全表格；
（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设检测人数为
，人均检测时间为
秒，
由题意得：
、
，
补全表格如下：
检测人
数人
人均检
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测时间
秒
（2）解：由题意得，
，
解得
，
，
当
时，检测总人数为
人，
每位大白的检测人数不超过
人，
不符合题意，舍去，
当
时，检测总人数为
人，
答：他今日检测总人数为
人．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．
44．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a 吨时，每吨按
元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按
元缴纳水费．
(1)若
，某户居民3 月份用水量为22 吨，则该用户应缴纳水费多少元？
(2)若如表是某户居民4 月份和5 月份的用水量和缴费情况：
月
份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求规定用水量a 的值
【答案】(1)该用户应缴纳水费
元
(2)10
【分析】（1）根据题意得：该用户3 月份用水量超过a 吨，然后根据“用水量每月不超过a 吨时，每吨按
元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按
元缴纳水费”，即可求解；
（2）当
时，根据4 月份的用水量和水费总额建立方程求出a 的值，再根据5 月份的用水量和水
费总额验证a 的值即可；当
时，根据4 月份的用水量和水费总额建立方程求出a 的值即可．
【详解】（1）解：
元，
答：该用户应缴纳水费
元；
（2）解：当
时，
由题意得，
，
整理得
，
解得
或
（舍去），
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当
时，
，
∴
符合题意；
当
时，则
，
解得
（舍去）；
综上所述，
．
45．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古
巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元
二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程
即
得方法.首先构造了如图1 所
示得图形，图中的大正方形面积是
，其中四个全等的小矩形面积分别为
，中间的小
正方形面积为
，所以大正方形的面积又可表示为
，据此易得
．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程
的正确构图
是 （从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2 的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程
（写出
必要的思考过程）．
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【答案】（1）②；（2）
．
【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图；
（2）仿照案例构造图形即可求得x 的值．
【详解】解：（1）应构造面积是
的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为
，
中间的小正方形的面积为
，所以大正方形的面积又可表示为
，进一步可知大正方形的边
长为8，所以
，得
．故正确构图的是②．
故答案为：②；
（2）首先构造了如图2 所示的图形．
图中的大正方形面积是
，其中四个全等的小矩形面积分别为
，中间的小正方形面积
为
，所以大正方形的面积又可表示为
，进一步可知大正方形的边长为8，所以
，
得
．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能
正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想．
题型十、其他问题
46．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6 米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇
移动的水平距离为1.6 米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为
米，则所列方程正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握从实际问题中抽象出直角三角形模型并运用勾股
定理是解题的关键．先根据题意构建直角三角形模型，再利用勾股定理列出方程．
【详解】解：∵ 设这根芦苇的长度为
米，
∴ 水深为
米，
∵ 芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角三角形，其中芦苇长度为斜边，
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∴ 根据勾股定理得：
，
故选：B．
47．徐老师购买了576 张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了
一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生．
【答案】24
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有
名学生，根据题意列出方程
即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键．
【详解】解：设班级有
名学生，
根据题意得：
，
解得：
，
（舍去），
∴班级共有24 名学生．
故答案为：24．
48．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群
人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1 个石榴，第二个人摘了2 个石榴，第三个人摘了3 个石榴，以此类
推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，
每个人可以得到10 个石榴，问这群人共有多少_________人？”
【答案】19
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这群人共有x 人，则共摘了
个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10 个石榴”，可列
出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这群人共有x 人，则共摘了
个石榴，
根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
（不符合题意，舍去），
，
∴这群人共有19 人．
故答案为：19．
49．数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒．开展有关“形数”的探
究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案：
奋进组的同学按照图①所示的方式摆放
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探究组的同学按照图②所示的方式摆放
【观察与思考】
(1)先研究特殊情况，若两组都摆放6 层，则奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量
为____枚；
(2)再探究一般情况，若摆放
层，奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚；
（用含有
的式子表示）
【拓展探究】
(3)若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图
②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8 枚棋子，且比奋进组多摆了4 层，
请计算一盒棋子的数量为多少枚？
【答案】(1)36，21
(2)
，
(3)144 枚
【分析】（1）摆放6 层，奋进组共用去棋子的数量为
；探究组共用去棋子的数量为
，再计算即可；
（2）令奋进组共用去棋子的数量为：
，则
，两式子相
加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：
；
（3）设奋进组共摆放了
层，则探究组摆放了
层，由题意，得
，再解一元
二次方程即可．
【详解】（1）解：奋进组共用去棋子的数量为
（枚）
探究组共用去棋子的数量为
（枚）.
（2）解：令奋进组共用去棋子的数量为：
，
则
，
两式子相加得：
，
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∴
；
探究组共用去棋子的数量为：
，
（3）解：设奋进组共摆放了
层，则探究组摆放了
层，
由题意，得
，
解得
，
（舍去），
一盒棋子的数量为
（枚），
答：一盒棋子的数量为144 枚．
50．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如
图，将四个长为m，宽为n 的长方形纸片和一个小正方形
拼成一个大正方形
．
(1)求解方程
的正根，可令
，
，则图中每个长方形的面积为6．
①小正方形
，大正方形
的面积各是多少？
②利用大正方形
的边长，请你求出方程
的正根．
(2)小明用此方法求关于
的方程
（t 为常数，且
）的正根，构造了同样的图形，已知小正
方形的面积为25，求t 的值．
【答案】(1)①49；②
(2)
【分析】（1）①先求出小正方形
的边长，即可求出小正方形
的面积，进而可求出大正方形
的面积．
②求出大正方形
的边长，进而得出
，进而可求出x 的值．
（2）同（1）可得出小正方形的边长为
，大正方形的边长为
，解方程组求
解即可．
【详解】（1）解：①∵
，
，
∴小正方形
的边长为：
，
∴小正方形
的面积：25．
∴大正方形
的面积：
．
②由大正方形
的面积为49，则边长为7，
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∴
，解得
．
即方程
的正根为
．
（2）解：如下图：
设
，
，则长方形的面积为14，
∵小正方形的面积为25，即边长为5，
小正方形的边长为：
，
大正方形的面积为：
，
大正方形的边长为：
，
联立方程组
，
解得
．
题型十一、握手循环问题
51．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28 场比赛，若邀请
个球队参加比
赛，则可列的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程．
【详解】解：设邀请
个球队参加比赛，
∵每个球队需要与除自身外的
个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一
场比赛，
∴总比赛场数为
，
已知计划安排28 场比赛，
因此可列方程
．
52．2025 年9 月13 日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积
分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55 场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与
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赛区内其他所有队伍各进行1 场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（ ）支
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是
支，根据单循环赛制可得一共会举办
场
比赛，据此建立方程，解方程即可．
【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是
支，
由题意得：
，
解得
或
（不符合题意，舍去），
所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11 支．
53．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一
共进行了
场比赛，参加比赛的足球队有_____支．
【答案】
【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，
求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键．
【详解】解：设参加比赛的足球队有
支.
根据题意得：
，
整理得：
，
因式分解得：
，
解得：
，
（不符合实际意义，舍去），
参加比赛的足球队有
支．
54．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）．
(1)设有
个球队参加比赛，比赛的场次数为
，则
与
的关系是 ；（用含
的代数式表示
）
(2)若学校计划安排
场比赛，求应有多少个球队参加比赛？
【答案】(1)
；
(2)学校应安排
个球队参加比赛．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
（1）利用比赛的总场数
参赛球队支数（参赛球队支数
）
，即可得
与
的关系；
（2）根据题意可得
，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得
，
故答案为：
；
（2）解：∵根据题意可得
，
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∴根据题意列一元二次方程得，
，
解得
，
（舍）．
答：学校应安排
个球队参加比赛．
55．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1 场）．乐乐
和淇淇针对这次比赛有如下对话：
(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 人身体不适，
只参加了4 场比赛后就中途退赛．请直接写出此时
的值．
【答案】(1)
，淇淇的说法正确
(2)10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设有x 人报名参赛，根据题意列方程
，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（2）结合设有x 人报名参赛，有一人比赛了4 场后退出比赛，由题意
，整理并求解即
可．
【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：
，
∴
，
整理得
，
解得
，不为整数，
∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40 场，
故淇淇的说法正确；
故答案为：
；
（2）解：∵有一人比赛了4 场后退出比赛，
由题意得
，
解得
，
（舍去），
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∴x 的值为10．
题型十二、一元二次方程的生活实际问题
56．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和
销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下：
信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完．
信息2：该店这款“梨膏糖”日产量
（千克）的范围是
．
信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本
（元）与日产量
（千克）之间的关系如下表所示．
信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价
（元）与日产量
（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标
系中的线段
所示．
日产量
（千
克）
30
60
90
120
每千克的成本
（元）
55
50
45
40
问题解决：
(1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本
（元）与日产量
（千克）之间的变化规律可用学
习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）；
(2)①该“梨膏糖”每千克的售价
（元）与日产量
（千克）之间的函数关系式为 ；
②该款“梨膏糖”每千克的售价
最高是 元，理由是 ；
(3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200 元，如果你是生产部经理，当日该产品
的产量应该定为多少比较合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
；②
；
随
的增大而减小，因此当
时，
取得最大值
(3)当日该产品的产量应该定为
千克比较合理，理由如下：
根据题意可列方程：
，
∴
，
整理，得
，
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解得
，
，
当
时，总成本为
（元）；当
时，总成本为
（元），
∴当日该产品的产量应该定为
千克，总成本更低，更合理．
【分析】（1）容易判断
与
成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可；
（2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合
的取值范围求出
的最大值；
（3）根据题意列出方程，求解出
的值，对比两种方案的总成本即可得出结论．
【详解】（1）解：由表格可知，日产量
每增加
千克，每千克的成本
会下降元，
∴
与
成一次函数关系，
设
，
将
，
；
，
，代入
，得，
，
解得
，
∴
；
（2）解：①设
，
将
，
；
，
，代入
，得，
，
解得
，
∴
；
②∵
，
∴
随
的增大而减小，
又∵
，
∴当
时，
取得最大值
（元）．
（3）略
57．综合与实践
主题：如何制作收纳盒，收纳玩具．
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素材：闲置的一张长为
，宽为
的长方形硬纸板（如图①）．
实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，
并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）．
问题解决：
(1)若剪去的小正方形的边长为
，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为
；
(2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为
时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放
入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④．
【答案】(1)520
(2)冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里
【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可；
（2）设剪去的小正方形的边长为
，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后
比较即可．
【详解】（1）解：
（
），
（
），
（
），
则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520
；
（2）解：设剪去的小正方形的边长为
，
由题意得，
，
，
（不合题意，舍去），
即剪去的小正方形的边长为12cm，
此时收纳盒的长为
（
），宽为
（
），高为12
．
，
，
，
冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里．
58．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8 米的篱笆在两面互相垂直且足够长
的围墙边围出一块面积为15 平方米的矩形菜地，如图所示．
(1)求矩形菜地的长和宽．
(2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买
、
两种化肥共20 千克．已知
种化肥每千克8 元，每千克
可给1 平方米的菜地施肥；
种化肥每千克6 元，每千克可给0.6 平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施
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种化肥，另一部分施B 种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最
少？
【答案】(1)矩形菜地的长为5 米，宽为3 米
(2)购买
种化肥7.5 千克，
种化肥12.5 千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少
【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15 平方米，列一元二次方程进行求解．
（2）设购买
种化肥
千克，根据“要给15 平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定
的取值范围，再
根据“总花费=
种化肥的花费+
种化肥的花费”，列出总花费
与
的函数关系式，最后确定购买方案．
【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为
米
，则长为
米，
由题意，得
，
解得
，
（舍去），
（米）．
答：矩形菜地的长为5 米，宽为3 米．
（2）解：设购买
种化肥
千克，则购买
种化肥
千克，总花费为
元，
由题意，得
，
解得
．
由题意，得
，
∵
，
随
的增大而增大，
当
取最小值，即
时，
取最小值，
此时
．
答：购买
种化肥7.5 千克，
种化肥12.5 千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少．
59．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进
A，B 两种冰箱贴，已知每个A 款冰箱贴的售价是每个B 款冰箱贴售价的
倍，顾客用150 元购买A 款冰箱
贴的数量比用150 元购买B 款冰箱贴的数量少1 个．
(1)求每个B 款冰箱贴的售价为多少元？
(2)经过统计，该超市每月卖出A 款冰箱贴100 个，每个A 款冰箱贴的利润为16 元．为了尽快减少库存，
该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A 款冰箱贴的售价每降低2 元，则平均每月可以多售出
20 个，如果该超市想要每月卖出A 款冰箱贴的利润达到1200 元，每个A 款冰箱贴应降价多少元？
【答案】(1)每个B 款冰箱贴的售价为25 元
(2)每个A 款冰箱贴应降价10 元
【分析】（1）设每个B 款冰箱贴的售价为x 元，则每个A 款冰箱贴的售价为
元，根据“用150 元购买
A 款冰箱贴的数量比用150 元购买B 款冰箱贴的数量少1 个”列分式方程求解；
（2）设每个A 款冰箱贴应降价y 元，根据“每月卖出A 款冰箱贴的利润达到1200 元”列出一元二次方程
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求解．
【详解】（1）解：设每个B 款冰箱贴的售价为x 元，则每个A 款冰箱贴的售价为
元，
根据题意得
，
解得
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
∴每个B 款冰箱贴的售价为25 元；
（2）解：设每个A 款冰箱贴应降价y 元，
根据题意得
，
整理得
，
解得
，
（舍去），
∴每个A 款冰箱贴应降价10 元．
60．依据下面的素材，完成表格中的任务．
提出问题
柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次
性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影
响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？
调研项目
调查：“柑橘完好率”调查
采购的总质量
m（
）
完好柑橘的质
量n（
）
柑橘完好的频
率
调查
：①柑橘在生产地的采购价为元/
；②在市场进行一次性批量
销售时，柑橘的售价
（元/
）与采购的总质量
（
）之间的关系
满足
．
(1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到
）；
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(2)在（1）的条件下，用
元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不
得销售）
(3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得
元的总利润，则应采购多少
的柑橘？售价应定
为多少元/
？
【答案】(1)
(2)
元
(3)要获得
元的利润，应采购
的柑橘，售价应定为
元/
【分析】（1）由橘子完好的频率估计概率即可，注意精确到
；
（2）先求出采购总质量，根据柑橘完好率求出实际销售柑橘质量，再根据：利润
总售价－成本；
（3）由
之间的关系及柑橘完好率列出一元二次方程，解方程即可，注意
．
【详解】（1）解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在
附近，
柑橘完好的概率
；
（2）解：依题意得
元采购的柑橘的总质量
（
），
∴
，即售价
，
又实际销售柑橘质量为
（
），
∴可获得的利润是
元
（3）
根据题意得
将
代入上式得：
即
解得
，
把
代入
∵
在
范围内
∴符合题意
∴要获得
元的利润，应采购
的柑橘，售价应定为
元/
．
题型十三、一元二次方程中的最值问题
61．某市是全国旅游胜地，2020 年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从
2019 年的2.25 万下降到2021 年的1.44 万．
(1)求2019 年到2021 年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
(2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20 米），
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围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在
上用其他材料做了宽为1
米的两扇小门（如图），
①设花圃垂直于墙的边
长为x 米，则
________（用含x 的代数式表示）；
②当
为多少米时，所围成花圃面积为105 平方米？
③当
________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米．
【答案】(1)
(2)①
米；②
米；③
，
【分析】（1）设平均每年降低的百分率为
，根据“游客人数从2019 年的2.25 万下降到2021 年的1.44
万”列方程求解即可；
（2）①由题意可知垂直于墙的边总长为
，
上有两个宽1 米的门，根据总篱笆长列方程求解即可；
②根据花圃面积
列方程求出x 的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可；
③先求出x 的取值范围，根据花圃面积
求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可．
【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为
，
根据题意可知
，
整理得
，
即
，
解得：
（负值舍去）；
（2）解：①垂直于墙的边共3 段，总长为
米，
上有两个宽1 米的门，门不用篱笆，
∵总篱笆长为34 米，
∴
，
解得：
米；
②由①知
米，
米，
∵所围成花圃面积为105 平方米，
∴
，
解得
，
．
根据墙的最大可用长度可知：
，
解得
，
即
；
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③由题意可知
，
解得：
，
花圃面积
平方米，
∵
，
∴
，
∴当
时，取得最大值108 平方米．
62．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃
，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为
），
另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留
宽的门（门不用木栏）．
已知建成后所用木栏总长为
，当
的长是多少时，矩形苗圃
的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当
的长为
时，矩形苗圃
的面积最大，最大面积为
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S 与x 的关系成为解题的关键．
设矩形苗圃
的面积为
，它的一边
的长为
，则
的长为
，若它
的面积为
，然后利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】解：设矩形苗圃
的面积为
，它的一边
的长为
，则
的长为
，
．
，
当
时，S 随x 的增大而减小，
，
．
，
当
时，S 有最大值，
．
答：当AB 的长为
时，矩形苗圃ABCD 的面积最大，最大面积为
．
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63．阅读理解并解答：
我们把多项式
及
叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是
判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的
最大（或最小）值问题．
例如：
∵
是非负数，即
∴
则这个代数式
的最小值是
，这时相应的x 的值是2．
(1)仿照上述方法求代数式
的最大（或最小）值，并写出相应的x 的值；
(2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角
的内部作一个矩形
，其中
和
分别在两直
角边上，
．如果设矩形的一边
，
①请问矩形
的面积能否达到
？为什么，请说明理由；
②求出当x 取何值时，矩形
的面积最大，最大值是多少？
【答案】(1)最大值为59，相应的x 的值为
(2)①不能，理由见解析；②当
时，矩形
面积最大值为
【分析】（1）将代数式
化为
，即可求解；
（2）①证明
为等腰直角三角形，则
，得
，由
即可判
定；②
，再根据（1）的方法，即可求解．
【详解】（1）解：
，
∵
是非负数，
∴
，
∴
，
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则代数式
的最大值为59，这时相应的x 的值为
；
（2）解：①∵
为等腰直角三角形，
∴
，
∵四边形
为矩形，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
当矩形
的面积达到
时，
，
整理得：
，
，
∴方程没有实数根，
∴矩形
的面积不能达到
．
②
，
∵
是非负数，
∴
，
∴
，
∴当
时，矩形
面积最大值为
．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角
形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键．
64．如图，用长为
的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为
），围成中间隔有一道篱笆的矩形
花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在
上用其他材料做了宽为
的两扇小门．
(1)设花圃的一边
长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边
的长为__________
．
(2)若此时花圃的面积刚好为
，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到
．请说明理由．猜想一下，这个花圃面
积最大可以做到多少？
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【答案】(1)
(2)此时花圃的长为9 米，宽为5 米
(3)这个花圃的面积不能达到
；这个花圃面积最大可以做到
．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：
（1）用篱笆的总长减去三个
的长，然后加上两个门的长即可表示出
；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；
（3）长方形的面积公式列方程
，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到
，再由偶次方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：设花圃的宽
为x 米，
则
米，
故答案为：
；
（2）解：由题意可得：
，
∴
解得：
，
，
当
时，
，不符合题意，故舍去；
当
时，
，符合题意；
答：此时花圃的长为9 米，宽为5 米；
（3）解：当
时，则
，
∴
，
∴此时原方程无解，
∴这个花圃的面积不能达到
，
∵
，
∴
，
∴这个花圃面积最大可以做到
．
65．如图，在
中，
，
，
，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以
的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以
的速度移动，如果P，Q 两点分别从A，B 两点同
时出发，设运动时间为xs．
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(1)用含x 的式子表示：
______cm，
______
，
______
；
(2)当
的面积为
时，求运动时间；
(3)四边形APQC 的面积能否等于
？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
(4)①阅读材料：求代数式
的最小值．解：
．因为
，所以
，所以
的最小值是2．
②解决问题：运动时间x 为何值时，四边形APQC 的面积最小？
【答案】(1)
；
；
(2)
或
(3)四边形
的面积不能等于
，理由见解析
(4)运动时间
时，四边形APQC 的面积最小
【分析】（1）根据
从点
开始沿边
向点
以
的速度移动，则
，根据
，
则
；根据动点
从点
开始沿边
向点
以
的速度移动，则
；再根据
，得
，
，即可；
（2）根据
，求出
，即可；
（3）根据
，求出
；再根据
，即可；
（4）将四边形面积变形得
，根据
即可求解．
【详解】（1）解：∵
从点
开始沿边
向点
以
的速度移动，
∴
，
∵
，
∴
，
∵动点
从点
开始沿边
向点
以
的速度移动，
∴
，
∵
，
∴
．
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∵
，
∴
；
（2）解：由（1）得，
∴当
的面积为
时，
∴
，
∴
，
，
∴当
的面积为
时，求运动时间为：
或
．
（3）解：由（1）得，
，
当四边形
的面积等于
，
，
∴
，
（舍），
∵
，
∴
，
∴四边形
的面积不能等于
；
（4）解：②
，
∵
，
∴
，
∴运动时间
时，四边形APQC 的面积最小．
题型十四、一元二次方程的新定义问题
66．定义：
表示这三个数的中位数，用
表示这三个数的最小数．例如：
，
．如果
，则x 的值为（ ）
A．2 或
B．1 或
C．2 或
D．1 或
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，理解题意，分类讨论列方程，即可解答，正确列出方程是解
题的关键．结合题意，分
为最大数，
为最大数，
为最大数三种情况，分别求解即可．
【详解】解：由
可得，
三个数中，最小数和中位数相等，
当
为最大数时，可得
，解得
，
此时
，
，符合题意；
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当
为最大数时，可得
，解得
，
此时
，符合题意；
当
为最大数时，可得
，解得
，
当
时，
，不符合前提条件，
当
时，
，不符合前提条件，
综上，x 的值为1 或
．
故选：B．
67．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的
倍（
），则称这个矩形是给定矩形的“
倍”矩形．现有一个长为3，宽为2 的矩形，若它的“
倍”矩
形存在，则
的最小值为________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x 的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k 的不
等式，进而求出k 的范围，于是得到结论．
【详解】解：∵现有一个长为3，宽为2 的矩形，
∴它的周长
，面积
，
∴它的“k 倍”矩形的面积
，周长
，
设它的“k 倍”矩形的长为x，则宽为
，
由题意得：
，
整理得：
，
∴
，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k 倍，
∴
即：
，
∵
，
∴
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
68．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的
平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在
中，
于点E，
，
，
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，点D 是
边上的“好点”，则线段
的长为_____．
【答案】
或5
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定
义是解题关键．先求出
，设
，则
，
，再分三种情况：①点
在
上；②点
与点
重合，③点
在
上，利用勾股定理求出
的值，再根据“好点”的定义
求出
的值，两者建立方程，解方程即可得．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
，
①如图，当点
在
上时，则
，
∴
，
在
中，
，
∵点
是
边上的“好点”，
∴
，
∴
，
解得
或
（不符合题设，舍去），
∴此时
；
②如图，当点
与点
重合时，则
，
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∴
，
，
∴
，这与点
是
边上的“好点”矛盾，则
的情形不存在；
③如图，当点
在
上时，则
，
∴
，
在
中，
，
∵点
是
边上的“好点”，
∴
，
∴
，
解得
或
（不符合题设，舍去），
∴此时
；
综上，线段
的长为
或5，
故答案为：
或5．
69．定义：若关于x 的一元二次方程
满足
，则称这样的方程 为“归零方
程”．
(1)一元二次方程
“ 归零方程”；一元二次方程
“归零方程”．（填
“是”或“不是”）
(2)已知关于x 的一元二次方程
是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求
m 的值．
【答案】(1)是，不是
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键．
（1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可；
（2）根据“归零方程”的定义可得
，则
，方程可变形为
，因为m
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是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解．
m 是这个“归零方程”的一 个根，
【详解】（1）解：
，
∵
，
∴此方程是“归零方程”；
，
∵
，
∴此方程不是“归零方程”；
故答案为：是，不是；
（2）解：
是“归零方程”，
，
，
．
是这个“归零方程”的一个根，
，
解得
．
70．定义：如果关于x 的一元二次方程
（a，b，c 均为常数，且
）有两个实数根，且其
中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程
的根为
，则方程
是“邻根方程”．
(1)方程
是“邻根方程”吗？请说明理由；
(2)若
是直角三角形，斜边
的长为
，
的两边
，
的长是一个“邻根方程”的两个
实数根，求
的面积．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、二次根式的乘法等知识，熟练掌握一元二次方程的
解法是解题关键．
（1）先利用因式分解法解方程可得
，再根据“邻根方程”的定义即可得；
（2）设
，
，利用勾股定理建立方程，解方程可得
的值，再利用三角形的面积公
式求解即可得．
【详解】（1）解：方程
是“邻根方程”，理由如下：
，
因式分解，得
，
解得
，
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所以
，
所以方程
是“邻根方程”．
（2）解：∵
的两直角边
，
的长是一个“邻根方程”的两个实数根，
∴可设
，
，
∵
是直角三角形，斜边
的长为
，
∴
，即
，
解得
或
（不符合题意，舍去），
∴直角边
，
，
∴
的面积为
．
1．某商品原来每件售价为
元，经过两次降价后，每件售价调整为
元，设平均每次降价的百分率是
，则可列出的方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用，根据降价率的计算规则，逐步推导两次降价后的
售价，结合已知最终售价即可列出方程．
【详解】解：∵商品原价为
元，平均每次降价的百分率为
，
∴第一次降价后售价为
元，
∵第二次降价在第一次降价后的售价基础上再次降价，
∴第二次降价后售价为
元，
又∵两次降价后最终售价为
元，
∴可得方程
．
2．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几
何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6 尺8 寸，门的对角线长1 丈，那么门的高和宽各是多少？
（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1 丈
尺，1 尺
寸）设门高x 尺，根据题意
可列方程为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高
尺，则宽为
尺，而对角线长为10
尺，利用勾股定理可得关于x 的一元二次方程．
【详解】解：设门高
尺，则宽为
尺，而对角线长为10 尺，
∴由勾股定理得，
故选：D．
3．如图，在一块长
，宽
的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的
蔬菜，使种植蔬菜的面积为
．设道路的宽为
，可列方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．
设道路的宽度为
，则六块菜地可合成长为
，宽为
的矩形，根据矩形的面积公式结
合种植蔬菜的面积为
，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽度为
，则六块菜地可合成长为
，宽为
的矩形，
根据题意得：
．
故选：C．
4．如图利用一面墙（墙长22 米），三面用
长的篱笆围成面积为
的花圃，平行于墙的一边有一
扇2 米宽的门，若设垂直于墙的一边为
，则可列方程为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确表示出长和宽．设垂直于墙的一边为
，
则平行于墙的一边为
，再根据长方形面积公式建立方程．
【详解】解：设垂直于墙的一边为
，则平行于墙的一边为
，
则由题意得，
，
故选：C．
5．某特色美食街的商户二月份的营业额为300 万元，四月份的营业额为432 万元，若月均增长率为x，则
根据题意可列方程为_________．
【答案】
【分析】根据 二月份的营业额为
万元，月均增长率为
，得到 三月份的营业额为
万元，四
月份的营业额为
万元，结合 四月份的营业额为
万元，即可列得方程．
【详解】解：根据题意， 可列方程为
．
6．如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20
，宽15
的矩形
荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为
，设步道的宽度为
，则可列方程___________．
【答案】
【详解】解：改造后种植区的长为
，宽为
，
根据改造后种植区的面积为
，可列方程
．
7．如图，在一块长为25 米、宽为20 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各
与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 平方米．若设道路宽为
米，则根据题意
可列出方程为_____．
【答案】
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【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长
为
米，宽为
米，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，草坪的长为
米，宽为
米，
∴
，
故答案为：
．
8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，
问长多阔几何．”其大意是：“一块矩形田地的面积为864 平方步，只知道它的长与宽共60 步，问它的长
比宽多多少步？”，设这个矩形的宽为x 步，根据题意可列方程为_____．（结果化为一般式，不需要解方
程）
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是关键．已知宽为x 步，则长为
步，根据
矩形面积公式列出方程，并化为一般式即可．
【详解】解：已知宽为x 步，则长为
步，
根据题意得
，
去括号，并整理得
．
故答案为：
．
9．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实
施，建设校园农场．如图，该矩形农场长
，宽
，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部
分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为
．设道路的宽为
，可列方程为________．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩
形的面积公式列方程即可．
【详解】解：原图经过平移转化为图1．
根据题意，得
．
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故答案为：
．
10．在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3 行4 列，后又加入了30 人，使得方阵增加
的行数、列数相同，则增加了_______行．
【答案】3
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据“增加的人数
变化后的方阵人数-原方阵
人数”列出方程求解．
设增加了
行，根据人数变化关系列方程，求解符合实际意义的解．
【详解】解：设增加了
行，因为增加的行数．列数相同，所以增加后方阵为
行
列．
原方阵人数为
人，加入30 人后总人数为
人，
因此列方程：
，
解得
或
（行数不能为负，舍去），
故增加了3 行．
故答案为：3．
11．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在
“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感
染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人．
【答案】14
【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意
义的根即可得到结果．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了
人，
根据题意，得
，
整理得：
，
解得
，
，
因为传染人数不能为负数，所以舍去，
．
∴每轮传染中平均一个人传染了
人．
12．如图，若线段
将边长为6、8、
的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则
__________．
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【答案】2 或6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形的面积等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
延长
相交于点
，则
是直角三角形，根据线段
将边长为6、8、
的三个正方形组成的
图形分成面积相等的两部分，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：如图，延长
相交于点
，
则
是直角三角形，
由题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
∴m 为2 或6，
故答案为：2 或6．
13．某技术公司2023 年缴税40 万元，2025 年缴税48.4 万元，平均每年缴税增长的百分率是多少？
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设平均每年缴税增长的百分率是
，根据增长率公式“增
长后的量
增长前的量
年平均增长率
”列一元二次方程求解，即可解题．
【详解】解：设平均每年缴税增长的百分率是
，
根据题意得：
，
解得
，
（不合题意，舍去），
答：平均每年缴税增长的百分率是
．
14．如图，将长
、宽
的矩形花坛（阴影部分）向外扩建相同的距离，若扩建后的矩形花坛的面积
为
，求扩建后矩形花坛的长度与宽度．
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【答案】扩建后的矩形花坛长
，宽
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据将长
、宽
的矩形花坛（阴影部分）向外扩建相同
的距离，若扩建后的矩形花坛的面积为
，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设矩形花坛向外扩建
．
由题意，得
．
解得
（舍）
则
答：扩建后的矩形花坛长
，宽
．
15．今年一月某大型冰雪游乐场开业，吸引众多游客前往，游乐场分日场和夜场2 个时间段，票价相同，
统计表明，当票价为
元/人时，每天的日场和夜场平均人数分别为
万和
万人．票价每降低10
元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加
万人和
万人．
(1)若票价降了
元/人，则平均每天的日场和夜场的游玩人数共增加______万人（用含
的代数式表示）；
(2)已知票价不低于
元/人，那么怎样定价可使平均每天的门票总收入达到1500 万元？
【答案】(1)
(2)票价定为
元/人
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，审清题意列出方程是解题的关键．
（1）根据题意，计算出平均每天的日场和夜场人数增加的人数，计算即可求解；
（2）根据“票价不低于
元/人”，列出不等式，求出x 的取值范围，再根据“总收入达到1500 万元”
列出方程，解方程计算即可．
【详解】（1）解：
票价每降低10 元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加
万人和
万人，
当票价每降低1 元/人时，则平均每天的日场和夜场人数分别增加
万人和
万人，
票价降了
元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加
万人和
万人，
；
故答案为：
；
（2）解：设降价
元/人，
票价不低于
元/人，
，解得
，
由题意得
，
解得：
，
（舍）．
（元），
答：票价定为300 元/人．
16．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白
处统称为边，已知原作品的长为
，宽为
，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相
等，且右边宽与天头长的比为
，设右边宽为
．
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(1)天头长为
；（用含x 的代数式表示）
(2)若装裱后作品总面积为
，则右边宽为多少厘米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据右边宽与天头长的比为
，即可求解；
（2）根据“装裱后作品总面积为
”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是
，右边宽与天头长的比为
，
∴天头长和地头长分别是
；
故答案为：
（2）解：由题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
（不符合题意，舍去），
答：装裱后右边宽是
．
17．某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：每降价1 元，每星期可多卖出
20 件．已知商品的进价为每件40 元．
(1)若每件商品降价5 元，那么每件商品的利润是______元，每星期的销售量是______件，每周的利润是
______元；
(2)为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080 元的利润，应将每件的销售价降低多少元？
【答案】(1)
，
，
(2)应将每件的销售价降低4 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意，结合每件商品降价5 元，售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，每降价1 元，每星
期可多卖出20 件，得出每件商品的利润是15 元，每星期的销售量是
件，故每周的利润是
元，即
可作答．
（2）理解题意，设将每件的销售价降低
元，则每星期的销售量是
件，结合获得6080 元的利
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润，列方程，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵每件商品降价5 元，
∴
（元），
∴每件商品的利润是15 元，
则每星期的销售量是
（件），
每周的利润是
（元），
故答案为：
，
，
；
（2）解：设将每件的销售价降低
元，则每星期的销售量是
件，
根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
∵为了让顾客得到更多的实惠
∴
答：应将每件的销售价降低4 元．
18．某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售
袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续
增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到
袋．
(1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率．
(2)已知该农产品每袋进价
元，原售价为每袋
元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销
售量的基础上，若该农产品每袋降价4 元，销售量可增加
袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售
这种农产品在五月份可获利
元？
【答案】(1)该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为
(2)当农产品每袋降价5 元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利
元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用增长率问题表示出四月的销量，列出方程，进而求出答
案；
（2）设当每袋降价m 元时，表示出销量与每袋的利润，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，进而
解方程求出答案．
【详解】（1）解：设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x，
由题意得：
，
解得：
，
（不合题意，舍去），
答：该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为
；
（2）设当农产品每袋降价m 元时，该网店五月份获利3250 元，
由题意得：
，
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解得：
，
（不合题意，舍去），
答：当农产品每袋降价5 元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利
元．
19．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为
，宽为
的长方形纸板，如图，在其四
角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得
长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4 倍时，该长方体礼品盒的体积为 ；
(2)当礼盒的侧面
的面积为
，求剪去的小正方形的边长．
【答案】(1)
(2)剪去的小正方形的边长为
【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，矩形性质
理解，正方形性质理解等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键．
（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长为
（
），宽为
，高为
，根据礼盒底面的长是宽的4 倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题；
（2）设剪去的小正方形的边长为
，则礼盒的侧面
的长为
，宽为
，根据
礼盒的侧面
的面积为
，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小正方形的边长为
，
则礼盒底面的长为
（
），宽为
，高为
，
由题意得：
，
解得：
，
∴
，
，
∴
（
），
即该长方体礼品盒的体积为
，
故答案为：
；
（2）设小正方形的边长为
，则礼盒的侧面
的长为
，宽为
，
由题意得：
，
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整理得：
，
解得：
，
（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
．
20．列方程解决实际问题：
某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地：一面利用墙（墙的长度足够长），用长为46 米的篱笆，
围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1 米的小门，供同学们进行劳动实践，
若设菜地的宽为x 米．
(1)
______米（用含x 的代数式表示）；
(2)若围成的菜地面积为180 平方米，求此时的宽
．
【答案】(1)
(2)6 米或10 米
【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2 个小门；
（2）根据长宽之积为180 平方米，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
米，
故答案为：
；
（2）解：由题意得
，
整理得
，
解得
或
，
故宽
为6 米或10 米．
21．如图是某校数学兴趣小组设计的一个矩形花圃
，花圃的一边
由长为8 米的围墙
和部分篱
笆
组成，另外三边由剩余的篱笆围成，已知篱笆总长为24 米．
(1)若
米，则矩形花圃
的面积为________平方米．
(2)若矩形花圃
的面积为60 平方米，求此时
的长；
(3)矩形花圃
的面积能否达到65 平方米，请通过计算说明．
【答案】(1)48
(2)6 米
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(3)不能达到65 平方米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算，正确理解题意是解题的关键．
（1）求出线段
的长，进而求出线段
的长，再根据矩形面积计算公式求解即可；
（2）用含x 的式子表示出
的长，再根据矩形面积计算公式建立方程求解即可；
（3）同（2）根据矩形面积公式建立方程，看方程是否有正实数根即可得到结论．
【详解】（1）解：当
米时，
米，
∴
米，
∴矩形花圃
的面积为
平方米；
（2）解：设
米，则
米，
由题意得，
，
解得
，
，
，
答：此时
的长为6 米；
（3）解：当面积为65 平方米时，由（2）可得
，
∴
，
∵
，
∴原方程无实数根，
∴故矩形花圃
的面积不能达到65 平方米．
22．某草莓采摘园收费信息如下表：
成人票
儿童票
草莓价
格
不超过8 人，30 元/人；超过8 人每增加1 人，人均票价下降2 元，但不低于儿童票
价．
20
元/人
30 元/斤
采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买．
(1)周末，5 个成人带领4 个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8 斤草莓，则该
团需支付的总费用 元；
(2)某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252 元，求这次参加活动的共多少人？
【答案】(1)470
(2)这次参加活动的共9 人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
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对于（1），用成人总票价加上儿童总票价，再加上草莓的总价即可；
对于（2），先判断总人数超过了8 人，再设超出的人数为x 人，根据总票价相等列出方程，求出解，再根
据题意得出答案．
【详解】（1）解：因为
，
所以
（元）.
故答案为：470；
（2）解：
（元），
，总人数超过了8 人
设超出的人数为x 人，根据题意，得
解得：
，
当
时，单价：
（元），
，所以舍去，
则
，
所以总人数为9 人．
23．某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70 元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价
为每件110 元时，可售出20 件，而每件定价每降低1 元，销售量就增加2 件．
(1)当童装销售定价为每件100 元时，销售量为________件；
(2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________；
(3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200 元？
【答案】(1)40
(2)
(3)每件
元
【分析】（1）根据当童装的销售定价为每件
元时，可售出
件，而每件定价每降低元，销售量就增
加
件，列出算式，即可求解；
（2）根据题意列出函数关系式，即可求解；
（3）根据利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：
（件）
故答案为：
．
（2）解：依题意，
故答案为：
．
（3）解：设童装的销售定价为每件
元时，商场销售该品牌童装可盈利
元，则，
解得：
，
由于要尽可能让利于顾客，故取童装的销售定价为每件
元．
答：童装的销售定价为每件
元时，商场销售该品牌童装可盈利
元．
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【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关
键．
24．如图为某年10 月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3 个数．
(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ；
(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为
112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．
【答案】(1)123
(2)小亮说法正确，理由见解析
【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3 个数，
求和即可；
（2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可．
【详解】（1）解：当小明框出3 个数为
，小亮框出3 个数为
，此时他俩框出数的总和最
大，
∴最大值为
；
（2）解：小亮的说法是正确的．
理由：设两人框的中间相同的数为x，
则可得方程
，
即
，
解得
（负数舍去），
，
但是15 在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去，
因此小亮说法正确．
25．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形
），两面靠墙（
位置的墙最大可用长度为
，
位置的墙最大可用长度为
），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏
隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的
三处各留
宽的门（不用栅
栏）．建成后栅栏总长
．
(1)若活动区域（长方形
）的一边
长为
，则另一边
．
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(2)若活动区域（长方形
）的面积为
，求边
的长．
【答案】(1)
(2)边
的长为
．
【分析】（1）由栅栏总长为
，即可求出
的长；
（2）设
，则
，根据活动区域的面积为
，即可得出关于x 的一元
二次方程，解之即可得出x 的值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设
，则
，依题意得：
，
解得：
，
∵
，
∴
，
∴
，
当
时，
，符合题意．
答：边
的长为
．
26．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个
元，以每个不低于成本价且不超过
元的
价格销售，售价
（元/个）与每天销售量
（个）的对应值表格如下：
（元/个）
（个）
(1)求
与
的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到
元？
【答案】(1)
(2)
元
【分析】（）由表格数据可判断
是
的一次函数，利用待定系数法求函数表达式，再根据题意确定自变
量的取值范围即可；
（
）根据总利润
单个利润销售量列出一元二次方程，求解后结合自变量取值范围即可得到结果；
本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由表格数据的变化规律可知，
是
的一次函数，
设
与
的函数表达式为
，把
，
分别代入得，
，
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解得
，
∴
，
∵成本价为每个
元，以每个不低于成本价且不超过
元的价格销售，
∴自变量
的取值范围为
，
综上，
与
的函数表达式为
；
（2）解：由题意得，
，
解得
，
，
，
不符合要求，舍去，
∴
，
答：当售价定为
元时，每天的利润可达到
元．
27．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩
天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025 年3 月的销售量是3 万件，2025 年5 月的销售量达到4.32 万件．若月平均增
长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65 元，若售价定为每件75 元，每天可售出
20 件，市场调研发现，售价每降低1 元，每天销量可增加5 件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降
价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240 元，售价应降低多少元?
【答案】(1)月平均增长率为
；
(2)售价应降低4 元．
【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符
合题意的负根，即可得到结果．
（2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一
元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
根据题意得，
解得：
，
（舍去）
答：月均增长率为
．
（2）解：设售价应降低x 元，则每件盈利为
元，即
元，销量为：
件，
由题意得，
，
解得，
，
尽量减少库存，
，即售价应降低4 元．
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答：若使每天销售后获利240 元，售价应降低4 元．
28．某农场拟用总长为
的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为
）的矩形养殖区
（如图
1），篱笆全部用于养殖区围挡．
(1)若养殖区的面积计划为
，请给出设计方案；
(2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形
区域（如图2），且
．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到
？若能，请给出设计方案；若不能，
请说明理由．
【答案】(1)
，
，围成这样的矩形养殖区符合题意
(2)面积不能达到
，理由
设
，则
，
，
由题意得：
，
整理得
，
，
方程无解，
∴面积不能达到
．
【分析】（1）设
，则
，根据“养殖区的面积计划为
”列方程求解即可；
（2）设
，则
，
，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可．
【详解】（1）解：设
，则
．
由题意得：
．
解得
，
．
，即
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，围成这样的矩形养殖区符合题意；
（2）略
29．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，
植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
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(1)根据图中所提供的信息，填空：2023 年比2022 年增加了__________公顷，在2023 年，2024 年，2025
年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2027 年使绿地总面积达到
公顷，试求这两年（
）绿地
面积的年平均增长率；
(3)根据发展计划，在图中画出
年绿地变化折线图．
【答案】(1)3；2024
(2)
(3)
公顷，
画图如下：
【分析】（1）用2023 年的绿地面积减去2022 年的绿地面积可得第一空的答案；求出2024 年和2025 年这
两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案；
（2）设这两年（
）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025 年和2027 年这两年的绿地面积
建立方程求解即可；
（3）根据（2）所求求出2026 年的绿地面积，再画图即可．
【详解】（1）解：
公顷，
2023
∴
年比2022 年增加了3 公顷；
∵
公顷，
公顷，且
，
∴在2023 年，2024 年，2025 年这三年中，绿地面积增加最多的是2024 年；
（2）解：设这两年（
）绿地面积的年平均增长率为x，
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由题意得，
，
解得
或
（舍去），
答：这两年（
）绿地面积的年平均增长率为
；
（3）略
30．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
为例，构造方法如下：
首先将方程
变形为
，然后画四个长为
，宽为
的矩形，按如图1 所示的方
式拼成一个“空心”大正方形，则图1 中大正方形的面积可表示为
，还可表示为四个矩形与一
个边长为2 的小正方形面积之和，即
．因此，可得新方程
．因为
表示边长，所以
，即
．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
(1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程
的正确构图是 ．(从序号①②③中选择)
(2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程
，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为
，即
( )
；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ．
(3)【拓展应用】一般地，对于形如
的一元二次方程可以构造图2 来解．已知图2 是由四个面积
为3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数
，
，求得方程的正根为 ．
【答案】(1)③
(2)
，
，
(3)
，3，1 或3
【分析】（1）根据题意，
变形为
，根据图示分别算出每个图形中
长方形的面积，进行比较即可解答；
（2）根据材料提示，进行计算即可解答；
（3）先根据材料提示分解为
，图形结合分析，即可得
，分类讨论，由此即可解答．
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【详解】（1）解：
，
，
将
看作一个长为
，宽为
，面积为21 的矩形，
很容易观察出构图是③．
（2）解：
，
第一步：将原方程变为
，即
；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：
，解得原方程的一个根为
；
故答案为：
，
，
．
（3）解：由条件可知
，
，
四个小矩形的面积各为
，大正方形的面积是
，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正
方形的面积，即
，
由条件可知
，解得
，
当
时，
，
，
，方程的一个正根为1；
当
时，
，
，
，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1 或3，
故答案为
，3，1 或3．
