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第06 讲 一元二次方程根与系数的关系
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1、利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型2、利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型3、利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型4、利用根与系数的关系求参数的值
题型5、构造一元二次方程求代数式的值
题型6、利用根与系数的关系判断根的情况
题型7、根的代入与根与系数的关系结合问题
题型8、根与系数的关系中新定义问题
题型9、根与系数关系的多结论判断
题型10、根与系数关系与几何图形结合
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
两根之和
两根之积
1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程与核心
公式。
2.能熟练运用两根之和、两根之积公式进行简单代数式求值与变形计算。
3.学会利用根与系数的关系，不解方程判断根的符号、关系及相关特征。
4.掌握根据方程根的条件逆向求解参数取值，养成结合判别式检验的解题习
惯。
5.体会数形结合与整体代换的数学思想，提升综合分析与运算推理能力。
学习重点：熟记韦达定理公式，不解方程，利用两根关系完成代数式求值计算。
学习难点：灵活变形代数式，同时结合判别式，综合求解字母参数取值范围。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程
的两个根分别为
、
，则方程的两个根与各系数a、b、c 之间
具有以下关系：
.
1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；
2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即
；
3.当一元二次方程的二次项系数为1 时，如
，其两根关系为
.
即时即练
1．若一元二次方程
的两个实数根为
，
，则
的值是（ ）
A．7
B．4
C．3
D．
2．若
是方程
的两个实数根．则代数式
的值等于___________．
3．已知
，
是方程
的两个根．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
知识点
02
一元二次方程根与系数关系的应用
知｜识｜精｜讲
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1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数
2.求与两个根有关的代数式的值
3.不解方程，判定根的符号
除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于
、
的对称式的值，涉及到的变形如下：
1、x1
2+ x2
2=( x1+ x2)
2−2 x1 x2
2、( x1−x2)
2=( x1+ x2)
2−4 x1 x2
3、| x1−x2|=
❑√( x1+ x2)
2−4 x1 x2
4、1
x1
+ 1
x2
= x1+ x2
x1 x2
5、1
x1
2 + 1
x2
2 = ( x1+ x2)
2−2 x1 x2
( x1 x2)
2
6、x1
3+ x2
3=( x1+ x2)
3−3 x1 x2( x1+ x2)
7、( x1+m)( x2+m)= x1 x2+m( x1+ x2)+m
2
即时即练
4．若方程
的两个根是
和
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5．已知m，n 是方程
的两个实数根，则
的值是______．
6．已知关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若方程的两个实数根
，
满足
，求
的值．
题型1、利用根与系数的关系直接求代数式的值
1．已知
，
是一元二次方程
的两个实数根，则
（ ）
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A．3
B．
C．10
D．
2．若
是一元二次方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
3．已知
、
是一元二次方程
的两个实数根，则
______．
4．若
，
是一元二次方程
的两根，则
__________．
5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
题型2、利用根与系数的关系间接求代数式的值
6．已知
、
是一元二次方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．-3
B．1
C．
D．
7．已知a，b 是一元二次方程
的两个根，则
的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．9
8．若
，
是一元二次方程
的两根，则
的值为________．
9．已知关于
的方程
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为
，
，求代数式
的值．
10．已知关于
的一元二次方程
的两个实数根为
，
，其中
为实数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
题型3、利用根与系数的关系降次求代数式的值
11．若
，
是一元二次方程
的两个实数根，则代数式
的值为（ ）
A．0
B．2027
C．2026
D．
12．已知
，
是方程
的两个实数根，则代数式
的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．2025
13．一元二次方程
的两个实数根分别是
、
，则
（ ）
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A．
B．
C．7
D．10
14．若a，b 是一元二次方程
的两个实数根，则
_______．
15．设
为一元二次方程
的两个实数根，则
的值为_____．
【易错警示】
运用根的定义进行降次求值时，容易代换出错，不会把高次代数式逐步降为一次式。解题时常忘记结合韦
达定理整体代入两根之和与积。部分学生反复代入原方程，运算繁琐，出现计算错误，缺少逐步化简的解
题逻辑。
题型4、利用根与系数的关系求参数的值
16．关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
17．关于
的方程
的两个实数根分别为
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
18．关于x 的方程
的两根分别为
和
，若
，则
_______．
19．已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
，则
__________．
20．已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x₁，x₂ 满足
求k 的值．
题型5、构造一元二次方程求代数式的值
21．实数
、
满足
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
22．已知实数
、
分别满足
，
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．6 或2
23．两个非零实数
，
（
）满足
，
，则
的值为_________．
24．已知
，且
，
，则
的值为___________．
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25．阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程
的两个根为
，
，则
，
．材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：
一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，
，
，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为
，
，则
________，
________．
(2)类比应用：已知一元二次方程
的两根分别为m、n，求
的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t 满足
，
，且
，求
的值．
【易错警示】
构造一元二次方程求值时，容易整理等式出错，无法准确搭建方程。常常忽略二次项系数不为零的条件，
也不检验判别式。不会灵活使用整体代换，强行求出未知数再计算，大幅增加运算量，极易出现计算失
误。
题型6、利用根与系数的关系判断根的情况
26．已知方程
的一根为
，则方程的另一根为（ ）
A．
B．
C．
D．3
27．已知
，
是方程
的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
，
28．如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根
，
，且满足
，
，
则该方程的解为（）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
29．一元二次方程：
与
的所有实数根的和为________
30．已知关于
的方程
．
(1)求证：无论
取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若等腰
的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求
的周长．
【易错警示】
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仅凭两根之和与积判断根的正负时，容易忽略判别式，默认方程一定有实数根。不会综合分析两根同号、
异号的条件，缺少分类讨论。还容易记错两根和的符号，条件考虑不全面，造成根的符号判断失误。
题型7、根的代入与根与系数的关系结合问题
31．已知
和
是方程
的两个解，则
的值为（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
32．已知α，β 是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
33．已知
，
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
34．已知
是方程
的两个实数根，则
的值为
__________．
35．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，
从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于
的方程
是一元二次方程，则
的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
用配方法解：
①
；
用公式法解：
②
；
用因式分解法解：
③
．
(3)【综合应用】已知
，
是一元二次方程
的两根，请尝试计算
的
值．
题型8、根与系数的关系中新定义问题
36．对于任意实数
，
，定义一种新运算“ ”：
⊙
，若关于x 的方程
，已知该方程的两个根为
、
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
37．对于任意实数a，b，定义新运算“
”：
，例如：
．
若m，n 是方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
38．定义：我们把关于
的一元二次方程
与
称作一对“友好方
程”．如
的“友好方程”是
．那么一元二次方程
的“友好
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方程”的两根之和为__________．
39．对于任意实数
，
，我们定义新运算“ ”：
，例如
．若
，
是方程
的两根，则
的值为____________．
40．我们定义：如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的
倍，
则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请说明方程
是倍根方程；
(2)若
是倍根方程，则
，
具有怎样的关系？
(3)若一元二次方程
有两个实数根且是倍根方程，则
，的等量关系是______（直接写出结
果）．
题型9、根与系数关系的多结论判断
41．关于x 的方程
，有下面5 个说法：
存在实数
①
k，使得方程无实数根；
存在实数
②
k，使得方程恰有1 个实数根；
存在实数
③
k，使得方程恰有2 个不同实数根；
存在实数
④
k，使得方程恰有3 个不同实数根；
存在实数
⑤
k，使得方程恰有4 个不同实数根；
其中正确的说法有（ ）个
A．0
B．2
C．3
D．5
42．若点
与点
关于y 轴对称，则下面关于x 的一元二次方程
根的说法正确
的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．
是原方程的一个根C．两根之和为
D．两根
之积为
43．关于
的一元二次方程
的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．方程必定有两个不相等的实数根
B．若方程有解，则两个解必定异号
C．若
，则两根之和为
D．若方程有解，则两个解的和为负数
44．已知
，
为关于x 的一元二次方程
的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．
嘉嘉：当
时，
；
淇淇：当
时，
．
则关于两人的判断说法正确的是（）
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A．嘉嘉正确，淇淇错误
B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉、淇淇都正确
D．嘉嘉、淇淇都错误
45．如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样
的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：
方程
①
是倍根方程；
若
②
是倍根方程，则
；
若
③
，则关于x 的方程
是倍
根方程；
若方程
④
是倍根方程，且
，则方程
的一个根为1．其中正
确的是_______．（写出所有正确说法的序号）
题型10、根与系数关系与几何图形结合
46．已知a，b，4 分别是三角形三边的长，且a，b 是一元二次方程
的两个根，则该三角形的
周长等于（ ）
A．16
B．11
C．9
D．7
47．若方程
的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为
______．
48．已知3 是关于x 的方程
的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形
的两条对
角线的长，则菱形
的面积为______．
49．现有一个面积为
的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为______．
50．已知关于x 的一元二次方程：
．
(1)设
，
是方程的两个根，求
（用含m 的式子表示）；
(2)当
时，此方程的两个根分别是菱形
两条对角线长，求菱形
的面积．
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1．一元二次方程
的两根为
、
，则
的值是（ ）
A．2
B．
C．1
D．
2．关于x 的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个相等的实数根且两根同号
C．有两个不相等的实数根且两根异号
D．没有实数根
3．若
是方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．2022
B．
C．2023
D．2027
4．方程
的两个根为
、
，若
，则
的值是（ ）
A．
B．3
C．6
D．
5．已知
，且
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．5
D．
6．已知一元二次方程
的两根分别为
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若m，n 为方程
的两根，则
的值（ ）
A．1
B．
C．
D．4049
8．已知
是一元二次方程
的两个实数根，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
是方程
的两个根，则代数式
的值等于（ ）
A．
B．4
C．
D．12
10．若关于
的一元二次方程
有一根小于1，一根大于1，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
11．方程
的两个根为
，则
_________．
12．已知
、
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，其中
，则
的值为______．
13．设
，
是关于
的方程
的两个根，且
，则
的值是____________．
14．已知
，
是关于x 的一元二次方程
的两根，且
，则k 的值为______．
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15．若
，
是关于
的方程
的两个根，且
，则
的值为________．
16．已知m，n 满足
，
（m，n 是实数，且
），则
的值为______．
17．已知不相等的实数
，
满足
，
，则代数式
的值等于______．
18．已知菱形
的两条对角线的长分别是方程
的两个根，则该菱形的面积为_____．
19．设关于x 的方程
的两根分别是
、
，则代数式
的值为______．
20．已知m、n 是一元二次方程
的两个根，计算
_____
．
21．已知关于
的一元二次方程
的一个根是1，求它的另一个根及
的值．
22．已知关于
的方程
有实数根．
(1)求
的取值范围；
(2)若该方程有一个根为0，求另一个根．
23．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)若
是方程的一个根，求m 的值及方程的另一根
；
(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24．已知一元二次方程
．
(1)若方程有两个实数根，求
的范围；
(2)若方程的两个实数根为
，且
，求
的值．
25．已知
，
是关于x 的方程
的两个根，求下列各式的值．
(1)
；
(2)
．
26．已知关于x 的方程
．
(1)当m 和n 符合以下哪些情况时，方程有两个解．选取你认为正确的序号_____．
①
，
②
，
③
，
④
，
(2)若
时方程的两根
，
满足
，且
，求m 的取值范围．
27．定义：已知
，
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，若
，则称
这个方程为“差1 方程”．比如，一元二次方程
的两根为
，
，因为
，
所以一元二次方程
为“差1 方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程
“差1 方程”（填“是”或“不是”）；
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(2)若关于x 的一元二次方程
是“差1 方程”，求k 的值．
28．如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根是另一个根的
倍（n
为正整数），则称这样的方程为“n 倍根方程”，例如：方程
的两个根分别是2 和4，则这个
方程就是“2 倍根方程”：方程
的两个根分别是1 和3，则这个方程就是“3 倍根方程”．
(1)根据上述定义，
是“__________倍根方程”；（填数字）
(2)若关于
的方程
是“4 倍根方程”，求t 的值；
29．如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则
称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2 和4，则方程
就是“倍根
方程”．
(1)若一元二次方程
是“倍根方程”，求的值；
(2)若
是“倍根方程”，求代数式
的值；
(3)若关于
的一元二次方程
是“倍根方程”，请说明：
．
30．阅读材料：
材料1：关于x 的一元二次方程
的两个实数根
，
和系数a，b，c 有如下关系：
，
．
材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：
，n 是一元二次方程
的两个实数根，
，
．
则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程
的两个实数根为
，
，则
______，
______；
(2)类比：已知一元二次方程
的两个实数根为m，n 且
，求
的值；
(3)提升：已知实数s，t 满足
，
且
，求
的值．
