文档文本内容
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第04 讲 一元二次方程的概念
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一元二次方程的定义
题型2 化成一元二次方程的一般式
题型3 由一元二次方程的定义求参数
题型4 判断是否是一元二次方程的解
题型5 由一元二次方程的解求参数
题型6 由一元二次方程的解求代数式的值
题型7 整体代入求一元二次方程的解
题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解
题型9 一元二次方程的解的估算
题型10 一元二次方程的新定义问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般
式
一元二次方程的解
1. 理解一元二次方程的核心定义，准确把握方程的三大必备特征。
2. 掌握一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项和常数项。
3. 能准确识别各项系数，重点记住二次项系数不为零的条件。
4. 会将复杂方程整理为一般形式，提升式子变形整理能力。
5. 培养严谨数学思维，能够准确判断方程是否为一元二次方程。
学习重点：掌握一元二次方程定义与一般形式，准确区分各项及系数，熟练整理标准方程。
学习难点：准确辨析含参方程类型，依据二次项系数非零条件正确求解参数取值范围。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程.
判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：
①是整式方程，
②只含有一个未知数，
③未知数的最高次数是2 次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程.
常见误区
（1）不整理化简直接判断，被括号、平方原式表象误导；
（2）只看最高次数为2，忽略二次项系数不为0；
（3）把分式方程、带根号非整式方程当成一元二次方程；
（4）识别系数时忽略符号，漏看负号；
（5）含参题型只限定次数，忘记舍去二次项系数为0 的参数值。
即时即练
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是
；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是
___________．（写出一个即可）
知｜识｜精｜讲
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知识点
02
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理后都可以化成
的形式，这种
形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，
是二次项，是二次项系数；
是一次项，b 是一次项系
数，c 是常数项.
1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“
，b 和c
均可以为0”；
2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘
，使二次项系数变为
正数；
3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符
号.
即时即练
4．一元二次方程
的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．
，
5．将一元二次方程
化成一般形式后，一次项系数为____．
6．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程
一般形
式
二次项系数
一次项系数
常数项
知识点
0 3 一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解）
①可能有两个不相等的实数根；
②可能有两个相等的实数根；
③可能没有实数根.
2.关于一元二次方程根的结论：
①若
，则
必有一个根
，反之也成立；
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②若
，则
必有一个根
，反之也成立；
③若一元二次方程
有一个根
，则
，反之也成立.
即时即练
7．下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知一元二次方程
，
，
，满足
，
，则一元二次方程
的根为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
9．关于
的方程
（
均为常数，
）的解是
，则方程
的解是___________．
题型1 一元二次方程的定义
1．下列关于x 的方程：
①
；②
；③
；④
；⑤
，⑥
，其中一元二次方程的是（ ）
A．①②④
B．②④⑥
C．①③④
D．①④⑥
2．下列各方程一定是关于
的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列方程中：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，是一元二次方程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．下列方程中，①7x2+6＝3x；②
＝7；③x2﹣x＝0；④2x2
5
﹣y＝0；⑤﹣x2＝0 中是一元二次方程的
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有_____．
5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（
为常数）
【易错警示】
判断一元二次方程切勿直接观察原式表象，必须先化简整理。做题常只关注未知数最高次数为2，忽略二
次项系数不为0 的关键条件。易误将分式、无理整式方程判定为一元二次方程，识别系数漏看负号，含参
求解时常遗漏舍去二次项系数为0 的错误解。
题型2 化成一元二次方程的一般式
6．方程
化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，
，
B．，
，
C．
，
，
D．，
，
7．一元二次方程
的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1，3
B．1，
C．1，
D．
，
8．一元二次方程
化为一般式
后，a，b，c 的值分别为________．
9．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
．
(2)
．
(3)
．
【易错警示】
将方程化为一般式时，常忽略移项变号、漏写负号，导致各项系数符号出错。化简后易遗漏常数项、误丢
一次项。未合并同类项就判定方程类型，含参化简时常忽略二次项系数不为0 的条件，最终造成方程整理
不标准、判断失误。
题型3 由一元二次方程的定义求参数
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11．已知
是关于x 的一元二次方程，则a 的值为( )
A．
B．
C．
D．
12．若关于x 的方程
是一元二次方程，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知关于
的方程
是一元二次方程，则
的值应为____________．
14．已知关于x 的方程
．
(1)当m 为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m 为何值时，此方程为一元二次方程？
15．已知关于x 的方程
．
(1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？
【易错警示】
利用一元二次方程定义求参数时，仅根据未知数最高次数为2 求值，极易忽略二次项系数不为0 的核心条
件。常出现求出参数后不检验，保留使方程退化为一次方程或无解的错解，未联立双重条件解题，是高频
丢分点。
题型4 判断是否是一元二次方程的解
16．下表是随着
的不同取值，代数式
的值的情况，根据表格中的数据，可知方程
的根是（ ）
．．．
-1
4
5
6
．．．
．．．
8
0
0
8
．．．
A．
B．
C．
D．
17．若一元二次方程有一个根是
，则这个方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来
帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程
的两根之和为______．
x
0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
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19．下表是某同学求代数式
的值的情况，根据表中的数据，可知方程
的根是（ ）．
x
0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
…
A．
B．
C．
，
D．
，
20．如表是小钰同学求代数式
（
，
为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于
的一元
二次方程
的实数根是（ ）
…
0
1
2
…
…
6
2
0
0
2
…
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
题型5 由一元二次方程的解求参数
21．若
是方程
的一个解，则m 的值为（ ）
A．
B．6
C．
D．3
22．关于x 的一元二次方程
的一个根是0，则a 的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．0
23．若一元二次方程
的一个解为
，则
的值为______．
24．若关于
的一元二次方程
有一个根为
，则
的值为________．
25．已知关于x 的一元二次方程
有一个根为
，则a 的值为__________.
题型6 由一元二次方程的解求代数式的值
26．若
是一元二次方程
的根，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．已知
为方程
的根，那么
的值为（ ）
A．-2022
B．2022
C．0
D．4044
28．若
是方程
的根，则代数式
的值是____．
29．如果m 是方程
的一个根，那么代数式
的值为______．
30．已知
是方程
的一个根，试求
的值．
题型7 整体代入求一元二次方程的解
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31．设a 是方程
的一个根，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．无法确定
32．已知
是方程
的一个根，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
33．已知
是方程
的一个根，则
______．
34．已知a 是一元二次方程
的一个根，则
_____．
35．已知m 是关于x 的一元二次方程
的一个根，求代数式
的值．
题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解
36．若关于
的一元二次方程
有一解为
，则一元二次方程
必有一解为（ ）
A．
B．
C．
D．
37．如果
，则方程
必有一解为
________．
38．关于x 的方程
的解是
．
（1）关于x 的方程
的根是_______________．
（2）关于x 的方程
的根是_______________．
39．关于
的方程
的解是
，
（
，
，
均为常数，
），则方程
的解是________．
40．若关于
的方程
（
）有一个实数根为
，则方程
（
）必
有实数根为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 一元二次方程的解的估算
41．根据下列表格x 与
的对应值，对一元二次方程
的根，下列说法错误的是（）
x
0
1
0
A．方程有一根为1
B．方程有一根的取值范围是
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C．方程有一根为
D．方程有两个不相等的实数根
42．根据下表：
x
…
4
5
6
13
5
…
5
13
确定方程
的解的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
43．根据表格中的数据，判断一元二次方程
（a，b，c 为常数，
）一个解x 的范围为（
）
x
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.16
0.59
A．
B．
C．
D．0.6＜x＜0.7
44．根据下列表格的对应值：
x
1
1.1
1.2
0.84
由此可判断方程
必有一个解x 的取值范围是________．
45．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为
，列
出的方程为
，整理，得
小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的
探索过程：
第一步：
所以
第二步：
所以
．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
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(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
【易错警示】
估算一元二次方程的解时，易仅凭单次函数值符号判定根的位置，忽略取值区间的连续性。常盲目取值估
算，未精准锁定根的范围，混淆正负解区间。同时容易忽略估算值仅为近似解，误将估算数值当作方程准
确解，导致答题出错。
题型10 一元二次方程的新定义问题
46．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：
，若关于x 的方程
的一
个实数根为4，则
_____．
47．数学家笛卡尔为了解决一元二次方程
在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定
．
形如
（
，
为实数）的数统称为复数，当
时，称
为虚数；当
时，称
为实数．
（1）化简
________；
（2）关于
的一元二次方程
有一个根是
，其中
，
是实数，则
________．
48．定义：方程
是一元二次方程
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且
，
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
的“倒方程”是 ；
(2)若
是一元二次方程
的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若
是一元二次方程
的“倒方程”的一个实数根，则
的值为 ．
49．定义：方程
是一元二次方程
的“倒方程”，其中a，b，c 为常数，且
a≠0，c≠0．若x= -1 是一元二次方程
的“倒方程”的解，则c 的值为________．
50．新定义：关于
的一元二次方程：
与
（
均为常数）称为“同
类方程”．如
与
是“同类方程”．若关于
的一元二次方程：
与
是“同类方程”，那么
___________．
51．定义：如果关于x 的一元二次方程
满足
，那么我们称这个方程为“黄
金方程”．
(1)下列方程中：①
；②
；③
，是黄金方程的为 （填序号）．
(2)已知关于x 的一元二次方程
）是“黄金方程”，求代数式
的最小值．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．若
是方程
的解，则
的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．1
3．已知
是一元二次方程
的一个根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．把一元二次方程
化成一般式，则a，b，c 的值分别是（ ）
A．4，1，3
B．
C．
D．
5．若
是关于
的方程
的一个实根，则代数式
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知关于
的一元二次方程
有实数根，则
的值可以是（ ）
A．
B．0
C．1
D．5
7．把一元二次方程
化成一般形式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若关于
的一元二次方程
的一个根为
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
或
D．
或
9．已知关于
的一元二次方程
．
①若
，则该方程一定有一个根为
；
②若方程的两个根为
和2，则
和的数量关系为
．
下列判断正确的是（ ）
A．①②的说法都正确
B．①②的说法都错误
C．①的说法错误，②的说法正确
D．①的说法正确，②的说法错误
10．已知代数式
，
，
，若
，且z 为方程
的一个实根，
则
的值为（ ）
A．2026
B．2028
C．4052
D．4054
11．下列方程，是一元二次方程的有_________________________
①
，②
，③
，④
．
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12．把一元二次方程
化为一般形式为______________________
13．若关于x 的一元二次方程
的一个根是
，则m 的值为__________．
14．已知关于
的一元二次方程
的一个根为
，则
的值为____．
15．若
是关于
的一元二次方程
（
）的解，则代数式
的值是_____．
16．若关于x 的一元二次方程
有一个根为0，则m 的值是 _____ ．
17．已知
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．
18．若a 是方程
的根，则代数式
值是_________．
19．若实数x 满足
，则
______．
20．已知
是关于x 的一元二次方程
的一个根．
（1）若
，且
，则b 的取值范围是______；
（2）若
，则c 的值为______．
21．已知m 是方程
的一个根，求代数式
的值．
22．已知
是关于x 的一元二次方程
的一个根，求代数式
的值．
23．已知
是方程
的一个解，求代数式
的值．
24．已知
是方程
的一个根，求
的值．
25．当
为何值时，方程
是关于
的一元二次方程？
26．已知关于x 的方程
是一元二次方程，求 m 的值．
27．已知关于x 的一元二次方程
，如果a，b，c 满足
，我们就称这个一元二次
方程为波浪方程．
(1)判断方程
是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x 的波浪方程
的一个根是
，求a，b 的值．
28．已知a 是一元二次方程
的一个根：
(1)求
的值
(2)求
的值．
29．已知m 是关于x 的一元二次方程
的一个根，求代数式
的值．
30．定义：方程
是一元二次方程
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且
，
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
的“倒方程”是 ；
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(2)若
是一元二次方程
的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若
是一元二次方程
的“倒方程”的一个实数根，则
的值为 ．
