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第04 讲 一元二次方程的概念
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一元二次方程的定义
题型2 化成一元二次方程的一般式
题型3 由一元二次方程的定义求参数
题型4 判断是否是一元二次方程的解
题型5 由一元二次方程的解求参数
题型6 由一元二次方程的解求代数式的值
题型7 整体代入求一元二次方程的解
题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解
题型9 一元二次方程的解的估算
题型10 一元二次方程的新定义问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般
式
一元二次方程的解
1. 理解一元二次方程的核心定义，准确把握方程的三大必备特征。
2. 掌握一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项和常数项。
3. 能准确识别各项系数，重点记住二次项系数不为零的条件。
4. 会将复杂方程整理为一般形式，提升式子变形整理能力。
5. 培养严谨数学思维，能够准确判断方程是否为一元二次方程。
学习重点：掌握一元二次方程定义与一般形式，准确区分各项及系数，熟练整理标准方程。
学习难点：准确辨析含参方程类型，依据二次项系数非零条件正确求解参数取值范围。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程.
判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：
①是整式方程，
②只含有一个未知数，
③未知数的最高次数是2 次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程.
常见误区
（1）不整理化简直接判断，被括号、平方原式表象误导；
（2）只看最高次数为2，忽略二次项系数不为0；
（3）把分式方程、带根号非整式方程当成一元二次方程；
（4）识别系数时忽略符号，漏看负号；
（5）含参题型只限定次数，忘记舍去二次项系数为0 的参数值。
即时即练
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，根
据定义逐一判断选项即可.
【详解】解：∵一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程，
对各选项逐一判断：
A.
，满足所有条件，是一元二次方程；
B.
，含有
和
两个未知数，不满足定义，不是一元二次方程；
知｜识｜精｜讲
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C.
，分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，不是一元二次方程；
D.
，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足定义，不是一元二次方程.
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，
未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：A.
中含有分式
，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
B.
含有
两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
C.
整理后，消去
得
，不是一元二次方程，不合题意；
D.
整理得
，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二
次方程的定义，符合题意．
3．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是
；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是
___________．（写出一个即可）
【答案】
（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
由题意设这个一元二次方程为：
，由一元二次方程的解可得
，可得进而得
出答案．
【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：
，
代入
得，
，
即
，
可取
，
∴这个一元二次方程可以是
，
故答案为：
（答案不唯一）．
知识点
02
一元二次方程的一般形式
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一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理后都可以化成
的形式，这种
形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，
是二次项，是二次项系数；
是一次项，b 是一次项系
数，c 是常数项.
1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“
，b 和c
均可以为0”；
2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘
，使二次项系数变为
正数；
3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符
号.
即时即练
4．一元二次方程
的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．
，
【答案】C
【分析】一元二次方程的一般形式为
，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是
常数项．
【详解】解：一元二次方程
的二次项系数和一次项系数分别为5 和
．
5．将一元二次方程
化成一般形式后，一次项系数为____．
【答案】
【详解】解：
，
，
；
故一次项系数为
.
6．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程
一般形
式
二次项系数
一次项系数
常数项
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
（a，b，
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c 是常数且
）．在一般形式中
叫二次项，
叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系
数，一次项系数，常数项．
先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可．
【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程
一般形式
二次项系
数
一次项系数
常数项
9
4
1
2
知识点
0 3 一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解）
①可能有两个不相等的实数根；
②可能有两个相等的实数根；
③可能没有实数根.
2.关于一元二次方程根的结论：
①若
，则
必有一个根
，反之也成立；
②若
，则
必有一个根
，反之也成立；
③若一元二次方程
有一个根
，则
，反之也成立.
即时即练
7．下列方程中，有一根为2 的一元二次方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A、
未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
B、
未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
C、
符合一元二次方程的定义，将
代入方程左边得：左边
右边，
是
的根，符合题意；
D、
即
，不是一元二次方程，不符合题意．
8．已知一元二次方程
，
，
，满足
，
，则一元二次方程
的根为（ ）
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当
时，
；当
时，
作答即可．
【详解】解：∵一元二次方程
，
，
，满足
，
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴方程的根是
，
．
故选：D．
9．关于
的方程
（
均为常数，
）的解是
，则方程
的解是___________．
【答案】
或
【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程
看作关于
的一元二次方程，从而
得到
或
，解之即可得出结论．
【详解】解：可把方程
看作关于
的一元二次方程，
∵关于x 的方程
的解是
，
∴关于
的方程
的解是
或
，
∴
或
．
故答案为：
或
．
题型1 一元二次方程的定义
1．下列关于x 的方程：
①
；②
；③
；④
；⑤
，⑥
，其中一元二次方程的是（ ）
A．①②④
B．②④⑥
C．①③④
D．①④⑥
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知
数，未知数最高次数为2 且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果．
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【详解】解：①
，由于题目未规定
，当
时方程不是二次方程，则①不是一元二次
方程；
②
展开整理得：
，则②是一元二次方程；
③
是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程；
④
，由于
，则
，则④是一元二次方程；
⑤
是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程；
⑥
，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程；
综上所述，②④⑥是一元二次方程．
2．下列各方程一定是关于
的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知
数
；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可
【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A 中
是分式，该方程是分式方程， A 不符合要求；
选项B 中未规定
，当
时方程不是一元二次方程， B 不符合要求；
对选项C，
，可得
，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数
的整式方程，
且
最高次数为2，一定是一元二次方程， C 符合要求；
整理选项D 的方程得
，当
时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D 不符
合要求
3．下列方程中：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，是一元二次方程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可．
【详解】解：①
是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
的整式方程，它是一元二次
方程，
②
中当
时，它不是一元二次方程，
③
整理得
，它不是一元二次方程，
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④
不是一元二次方程，
⑤
是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
的整式方程，它是一元二次方程，
⑥
不是一元二次方程，
综上，一元二次方程有2 个．
4．下列方程中，①7x2+6＝3x；②
＝7；③x2﹣x＝0；④2x2
5
﹣y＝0；⑤﹣x2＝0 中是一元二次方程的
有_____．
【答案】①③⑤．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）
是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程，
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看
是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（
为常数）
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程，
叫做一元二次方程”，熟记一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、
化简后是
，是一元一次方程，则此项不符合题意；
B、
是一元二次方程，则此项符合题意；
C、
中
是分式，则不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、当
时，方程
是一元一次方程；当
时，方程
是一元二次方程，则
此项不符合题意；
故选：B．
【易错警示】
判断一元二次方程切勿直接观察原式表象，必须先化简整理。做题常只关注未知数最高次数为2，忽略二
次项系数不为0 的关键条件。易误将分式、无理整式方程判定为一元二次方程，识别系数漏看负号，含参
求解时常遗漏舍去二次项系数为0 的错误解。
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题型2 化成一元二次方程的一般式
6．方程
化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．，
，
B．，
，
C．
，
，
D．，
，
【答案】B
【分析】由一元二次方程的一般形式为
（
），其中
为二次项系数，
为一次项系数，
为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数．
【详解】解：∵原方程为
，
∴整理为一般形式得
，
∴二次项系数为，一次项系数为
，常数项为
．
7．一元二次方程
的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1，3
B．1，
C．1，
D．
，
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般
形式的定义确定二次项系数和一次项系数由此求解即可．
【详解】解：将方程展开得：
，
∴该方程的二次项系数为1，一次项系数为
．
故选：C．
8．一元二次方程
化为一般式
后，a，b，c 的值分别为________．
【答案】2，
，
【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，即可确定出
，
，的值．
【详解】解：
，
整理得：
∴
，
，
．
9．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
，二次项系数为，一次项系数为
，常数项；
(2)
，二次项系数为，一次项系数为，常数项
；
(3)
，二次项系数为，一次项系数为，常数项
；
(4)
，二次项系数为，一次项系数为
，常数项．
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【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（
）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（
）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可．
【详解】（1）解：
，
，
∴二次项系数为，一次项系数为
，常数项；
（2）解：
，
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项
；
（3）解：
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项
；
（4）解：
，
∴二次项系数为，一次项系数为
，常数项．
10．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
．
(2)
．
(3)
．
【答案】(1)
，二次项系数为3，一次项系数为
，常数项为1
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(2)
，二次项系数为1，一次项系数为
，常数项为6
(3)
，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为
【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
【详解】（1）解：整理，得
，
故二次项系数为3，一次项系数为
，常数项为1．
（2）整理，得
，
故二次项系数为1，一次项系数为
，常数项为6．
（3）整理，得
，
故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为
．
【易错警示】
将方程化为一般式时，常忽略移项变号、漏写负号，导致各项系数符号出错。化简后易遗漏常数项、误丢
一次项。未合并同类项就判定方程类型，含参化简时常忽略二次项系数不为0 的条件，最终造成方程整理
不标准、判断失误。
题型3 由一元二次方程的定义求参数
11．已知
是关于x 的一元二次方程，则a 的值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得
，解之即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知，
，
解得：
12．若关于x 的方程
是一元二次方程，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵关于x 的方程
是一元二次方程，
∴
，
解得
．
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13．已知关于
的方程
是一元二次方程，则
的值应为____________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：∵关于
的方程
是一元二次方程，
∴
且
．
解得
．
故答案为：
．
14．已知关于x 的方程
．
(1)当m 为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m 为何值时，此方程为一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）由题意，得
解得
．
（2）由题意，得
，∴
．
15．已知关于x 的方程
．
(1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
且
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题；
（2）根据一元二次方程的定义可以解答本题
【详解】（1）解：
，
如果此方程是一元一次方程，
则
，
解得：
，
即
时，此方程是一元一次方程；
（2）解：
，
如果此方程是一元二次方程，
则
，
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解得，
且
，
即
且
，方程是一元二次方程．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和
一元一次方程的定义．
【易错警示】
利用一元二次方程定义求参数时，仅根据未知数最高次数为2 求值，极易忽略二次项系数不为0 的核心条
件。常出现求出参数后不检验，保留使方程退化为一次方程或无解的错解，未联立双重条件解题，是高频
丢分点。
题型4 判断是否是一元二次方程的解
16．下表是随着
的不同取值，代数式
的值的情况，根据表格中的数据，可知方程
的根是（ ）
．．．
-1
4
5
6
．．．
．．．
8
0
0
8
．．．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程
等价于
，从表格中直接找出
时对应的
值即可．
【详解】解：∵
等价于
，
从表格中，当
时，
；当
时，
，
∴方程的根为
，
．
故选：C．
17．若一元二次方程有一个根是
，则这个方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
根据一元二次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、把
代入，可得
，所以
不是方程
的根，
不符合题意；
B、把
代入，可得
，所以
不是方程
的根，不符合题意；
C、把
代入，可得
，所以
不是方程
的根，不符合题意；
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D、把
代入，可得
，所以
是方程
的根，符合题意；
故选：D．
18．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来
帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程
的两根之和为______．
x
0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当
取特定值时，表达式
的值等于
6，这些x 值即为方程
的根，再计算两根之和，即可作答．
【详解】解：由表格可知，当
时，
；
当
时，
，
∵
，
∴
故一元二次方程
的两根为
，
则
，
故答案为：1
19．下表是某同学求代数式
的值的情况，根据表中的数据，可知方程
的根是（ ）．
x
0
1
2
3
…
6
2
0
0
2
6
…
A．
B．
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式
的值等于2 的
值，
这些值即为方程的根．
【详解】由表格可知，当
时，
；当
时，
．
∴方程
的根是
，
．
故选：D．
20．如表是小钰同学求代数式
（
，
为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于
的一元
二次方程
的实数根是（ ）
…
0
1
2
…
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…
6
2
0
0
2
…
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式
的值为2
的
值，这些值即为方程
的实数根，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，方程
可化为
，
由表格可知，当
或
时，
，
∴方程
的实数根为
，
，
故选：B
题型5 由一元二次方程的解求参数
21．若
是方程
的一个解，则m 的值为（ ）
A．
B．6
C．
D．3
【答案】A
【分析】将
代入方程得到关于m 的方程求解即可．
【详解】解：∵
是方程
的根，
∴ 将
代入方程得
，
解得：
．
22．关于x 的一元二次方程
的一个根是0，则a 的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．0
【答案】A
【分析】先利用一元二次方程二次项系数不为0 得到a 的限制条件，再将根
代入方程求出a 的可能值，
最后筛选出符合条件的结果．
【详解】解：∵原方程
是关于x 的一元二次方程，
∴二次项系数满足
，即
∵
是原方程的一个根，
∴将
代入原方程得：
，
解得
或
，
结合
的限制条件，可得
．
23．若一元二次方程
的一个解为
，则
的值为______．
【答案】
【分析】将
代入原方程求解
，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果．
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【详解】解：把
代入一元二次方程
，
得
，解得
．
又∵
是关于
的一元二次方程，
∴
，即
，
∴
符合条件．
24．若关于
的一元二次方程
有一个根为
，则
的值为________．
【答案】
【分析】将已知根代入方程即可求解．
【详解】解：把
代入方程
得，
，
，
解得
．
25．已知关于x 的一元二次方程
有一个根为
，则a 的值为__________.
【答案】
【分析】根据题意得到
且
，即可求出a 的值．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
有一个根为
，
∴
且
，
解得
．
题型6 由一元二次方程的解求代数式的值
26．若
是一元二次方程
的根，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简原方程，将
代入方程得到关于
的等式，变形求出
，最后代入代数式计算结果．
【详解】解：
，整理得：
．
∵
是该一元二次方程的根，
∴
，移项得：
，
∴
．
27．已知
为方程
的根，那么
的值为（ ）
A．-2022
B．2022
C．0
D．4044
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得
，将代数式
变形，整体代入求值即可．
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【详解】解：∵
为方程
的根，
∴
，
∴
，
∴原式
．
故选：C．
28．若
是方程
的根，则代数式
的值是____．
【答案】2029
【分析】利用方程的根的定义，得到
；两边同除以
，构造出
的形式；对
平
方，求出
的值；代入代数式，直接算出最终结果．
【详解】解：∵
是方程
的根，
∴
，
，
方程两边同时除以
，得：
整理得：
∴
化简得：
移项得：
将其代入代数式
得：
．
29．如果m 是方程
的一个根，那么代数式
的值为______．
【答案】36
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【分析】利用m 是方程
的一个根，求得
，将原式整理得到
，再整体代
入求解即可．
【详解】解：∵m 是方程
的一个根，
∴
，即
，
∴
．
30．已知
是方程
的一个根，试求
的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等
的未知数的值，据此可得
，则
，
，则原式可变形为
，进一步变形得到
，即
，据此可得答案．
【详解】解：∵a 是方程
一个根，
∴
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
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题型7 整体代入求一元二次方程的解
31．设a 是方程
的一个根，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键．
利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可．
【详解】解：∵a 是方程
的根，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
．
由方程两边除以a 得
，
∴
．
故选A．
32．已知
是方程
的一个根，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先理解题意，则把
代入
，得
，整理得
，再把
整理得
，然后代数进行计算，即可作答．
【详解】解：
是方程
的一个根，
，
即
，
∴
，
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则
．
故选：C．
33．已知
是方程
的一个根，则
______．
【答案】
【分析】
是方程
的一个根，推出
．推出
，
，整体代入求
解即可．
【详解】解：∵
是方程
的一个根，
∴
．
∴
，
，
，
．
34．已知a 是一元二次方程
的一个根，则
_____．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其
代入方程去推理、判断．
将a 代入
可得
，则
，
，代入要求的代数式，整理化简即可
求解．
【详解】解：∵a 是一元二次方程
的一个根，
∴
，
∴
，
，
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∴
．
故答案为：2．
35．已知m 是关于x 的一元二次方程
的一个根，求代数式
的值．
【答案】
【分析】由m 是方程
的一个根可得
，
，
，
然后逐步代入求解即可．
【详解】解：m 是方程
的一个根，
∴
．
∴
，
，
∵
时，方程左边等于1，不等于右边，
∴
，
把
的两边都除以
得，
．
∴
．
题型8 由一元二次方程的解求另一个方程的解
36．若关于
的一元二次方程
有一解为
，则一元二次方程
必有一解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可.
【详解】解：∵关于
的一元二次方程
有一解为
∴
整理所求方程
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移项得
提取公因式得
令
，则方程变为
，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为
即
解得
因此所求方程必有一解为
37．如果
，则方程
必有一解为
________．
【答案】1
【分析】根据
，若
，则
，可判断当
时满足条件，于是判断出方程
的根．
【详解】解：∵
，若
，则
，
∴当
时，
，
∴此方程必有一个根为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好
的条件，此题比较
简单．
38．关于x 的方程
的解是
．
（1）关于x 的方程
的根是_______________．
（2）关于x 的方程
的根是_______________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解为方程成立的未知数的值以及整体思想成为解
题的关键．
（1）由方程的解可得
或
，然后求解即可；
（2）由方程的解可得
或
，然后求解即可；
【详解】解：（1）
方程
的解是
，
在方程
中，
或
，解得：
．
∴方程
的根为
．
故答案为：
．
（2）
方程
的解是
，
在方程
中，
或
，解得
．
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∴方程
的根为
．
故答案为：
．
39．关于
的方程
的解是
，
（
，
，
均为常数，
），则方程
的解是________．
【答案】
，
【分析】此题考查了方程解的定义，把方程
变为
，进而根据方程
解的定义可得
或
，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：方程
可变为
，
∵方程
的解是
，
，
∴
或
，
∴
，
，
故答案为：
，
．
40．若关于
的方程
（
）有一个实数根为
，则方程
（
）必
有实数根为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根
代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根.
【详解】解：∵ 关于
的方程
有一个实数根为
，
∴ 将
代入方程得：
，
整理得：
，
将上式两边同时除以
，得：
，
变形为：
，
对比方程
，可知当
时，方程成立，
∴ 方程
必有实数根为
．
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故答案选：B．
题型9 一元二次方程的解的估算
41．根据下列表格x 与
的对应值，对一元二次方程
的根，下列说法错误的是（）
x
0
1
0
A．方程有一根为1
B．方程有一根的取值范围是
C．方程有一根为
D．方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【详解】解：∵当
时，
，
∴方程
有一根为，故A 正确，不符合题意．
∵当
时，
，当
时，
，
∴在
之间存在
使
，即方程有一根的取值范围是
，故B 正确，
不符合题意．
由上述推导仅能得到根在
范围内，无法确定根一定是
，故C 错误，符合题意．
∵方程已有一根为
，另一根在
，两根不相等，
∴方程有两个不相等的实数根，故D 正确，不符合题意．
42．根据下表：
x
…
4
5
6
13
5
…
5
13
确定方程
的解的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中
的函数值符号
变化，确定方程
的解所在的区间．
直接读取表格中对应
的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合
选项得出正确答案．
【详解】解：由表格可知当
时，
；
当
时，
；
∴ 在
区间内，函数值由正变负，存在一个解．
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当
时，
；
当
时，
；
∴ 在
区间内，函数值由负变正，存在一个解．
因此方程
的解的取值范围是
或
．
故选：D．
43．根据表格中的数据，判断一元二次方程
（a，b，c 为常数，
）一个解x 的范围为（
）
x
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.16
0.59
A．
B．
C．
D．0.6＜x＜0.7
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子
的值在0 附近时的x 值，是解决此
题的关键．
利用表中的对应值得到
时，
；
时，
，从而得到x 在
之间
取一数值时，
，于是得到一元二次方程
（a，b，c 为常数，
）一个解x
的范围．
【详解】解：∵
时，
；
时，
，
∴当x 在
之间取一数值时，
，
∴一元二次方程
（a，b，c 为常数，
）一个解x 的范围为
．
故选：C．
44．根据下列表格的对应值：
x
1
1.1
1.2
0.84
由此可判断方程
必有一个解x 的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．利用表中数据得到
时，
，
时，
，则可判断
有一个根满足
．
【详解】解：∵
时，
，
时，
，
∴
，在
内有一个解，
即方程
必有一个解x 满足
，
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故答案为：
．
45．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为
，列
出的方程为
，整理，得
小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的
探索过程：
第一步：
所以
第二步：
所以
．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
【答案】(1)见解析
(2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤．
（1）分别计算当
、
、
、
时代数式
的值，即可补充表格；
（2）根据（1）中得出的x 的取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
∴补充表格如下：
第一步：
3
所以
第二步：
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所以
．
（2）解：由（1）可得：
，
∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3．
【易错警示】
估算一元二次方程的解时，易仅凭单次函数值符号判定根的位置，忽略取值区间的连续性。常盲目取值估
算，未精准锁定根的范围，混淆正负解区间。同时容易忽略估算值仅为近似解，误将估算数值当作方程准
确解，导致答题出错。
题型10 一元二次方程的新定义问题
46．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：
，若关于x 的方程
的一
个实数根为4，则
_____．
【答案】3
【分析】先关键新的运算法则列出方程，然后根据方程的解的定义代入即可求出k 的值．
【详解】解：由题意得，
，
∵其一个实数根为4，
∴
，
解得
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的运算，一元二次方程的解的定义，根据题意列出方程，熟练掌握方程的解的定
义是解题的关键．
47．数学家笛卡尔为了解决一元二次方程
在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定
．
形如
（
，
为实数）的数统称为复数，当
时，称
为虚数；当
时，称
为实数．
（1）化简
________；
（2）关于
的一元二次方程
有一个根是
，其中
，
是实数，则
________．
【答案】 5 4
【分析】（1）利用乘法公式计算，结合规定
化简求值
（2）将
代入原方程，可得出
，进而可得出
，
，解之
可得出
，
的值，再将其代入
中，即可求出结论．
【详解】解：（1）
；
（2）将
代入
得：
，
整理得：
，
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，
，
，
，
．
48．定义：方程
是一元二次方程
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且
，
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
的“倒方程”是 ；
(2)若
是一元二次方程
的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若
是一元二次方程
的“倒方程”的一个实数根，则
的值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)2025
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念
以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程
的倒方程为
，把
代入即可得到c 的值；
（3）根据题意得到方程
的倒方程为
，再结合方程根的定义得到
，
得到
，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程
的倒方程是：
；
（2）解： 由题知，方程
的倒方程为
，
将
代入此方程得，
，
解得
；
（3）解：由题知，一元二次方程
的倒方程是
，
∵
是此方程的一个实数根，
∴
，
∴
，
∴
．
49．定义：方程
是一元二次方程
的“倒方程”，其中a，b，c 为常数，且
a≠0，c≠0．若x= -1 是一元二次方程
的“倒方程”的解，则c 的值为________．
【答案】
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念
是解题的关键．
根据倒方程的定义，方程
的倒方程为
，把
代入即可得到c 的值；
【详解】解：由题知，原方程
中，
，
，
，其倒方程为
，即
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，
将
代入倒方程：
，
解得
验证
，
，符合条件
故答案为：
．
50．新定义：关于
的一元二次方程：
与
（
均为常数）称为“同
类方程”．如
与
是“同类方程”．若关于
的一元二次方程：
与
是“同类方程”，那么
___________．
【答案】7
【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键．
根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程
应能表示为
的形式，通过比较系数，可求解
和
，进而计算
．
【详解】解：根据题意，将第二个方程与
展开式比较：
，令其等
于
，
可得方程组：
，解得
，
故
．
故答案为：7．
51．定义：如果关于x 的一元二次方程
满足
，那么我们称这个方程为“黄
金方程”．
(1)下列方程中：①
；②
；③
，是黄金方程的为 （填序号）．
(2)已知关于x 的一元二次方程
）是“黄金方程”，求代数式
的最小值．
【答案】(1)①③
(2)4
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，
的最值，解题关
键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）根据黄金方程的意义，对3 个方程逐一验证即可；
（2）先根据黄金方程的意义，得出
，代入
后，配方求出最小值．
【详解】（1）解：
，
移项，得
，
，
，
，
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所以
，
所以
是黄金方程；
，可化为
，
，
，
，
所以
，
所以
不是黄金方程；
，
，
，
，
所以
，
所以
是黄金方程，
综上所述，①③是黄金方程，
故答案为：①③；
（2）解：∵关于x 的一元二次方程
满足
，那么我们称这个方程为“黄金
方程”，
∴由黄金方程的定义
， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根，
∵关于x 的一元二次方程
是“黄金方程”，
∴
是方程
的根，
∴
，
∴
，
∴
当
时，
有最小值4．
此时
，符合题意．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【详解】解：A、
含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、
不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、
只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意；
D、
未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意.
2．若
是方程
的解，则
的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出
的值．
【详解】解：∵
是方程
的解，
∴ 将
代入原方程得
计算得
．
3．已知
是一元二次方程
的一个根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含
的关系式，再整体代入所求代数式求值
即可．
【详解】解：∵
是一元二次方程
的一个根，
∴将
代入方程得
，
整理得
，
∴
．
4．把一元二次方程
化成一般式，则a，b，c 的值分别是（ ）
A．4，1，3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形
式
，即可对应得到
，
，的值．
【详解】解：把一元二次方程
化成一般式：
，
对比一般式
，可得
，
，
．
5．若
是关于
的方程
的一个实根，则代数式
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值．
【详解】解：
是方程
的一个实根，
∴
，
∴
，
∴
．
6．已知关于
的一元二次方程
有实数根，则
的值可以是（ ）
A．
B．0
C．1
D．5
【答案】D
【分析】首先将方程变形为
，然后根据题意得到
，然后求解即可．
【详解】解：
∴
∵该方程有实数根
∴
∴
∴
的值可以为5．
7．把一元二次方程
化成一般形式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式
（
，
，
，为常数），先展开多项式乘法，
再移项合并同类项即可得到结果．
【详解】解：原方程为
，
展开左边得
，
整理得
，
移项合并同类项得
．
8．若关于
的一元二次方程
的一个根为
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】将已知根代入原方程，得到关于
的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除
，即可得到答案．
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，
得
，解得
，
∵已知方程是一元二次方程，
∴
，即
，
∴
．
9．已知关于
的一元二次方程
．
①若
，则该方程一定有一个根为
；
②若方程的两个根为
和2，则
和的数量关系为
．
下列判断正确的是（ ）
A．①②的说法都正确
B．①②的说法都错误
C．①的说法错误，②的说法正确
D．①的说法正确，②的说法错误
【答案】A
【详解】解：①．∵将
代入
，可得
，
又∵
，
∴
满足方程，即方程一定有一个根为
，故①说法正确．
②．∵方程的两个根为
和
，两根都满足方程，代入得：
，
，得
，
∴
，故②说法正确．
综上①②都正确．
10．已知代数式
，
，
，若
，且z 为方程
的一个实根，
则
的值为（ ）
A．2026
B．2028
C．4052
D．4054
【答案】D
【分析】根据题意可求出
，由方程的解的定义得到
，进而得到
，据此可得答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
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∴
，
∵z 为方程
的一个实根，
∴
，
当
时，
，不符合题意，
∴
，
∴
，
∴
∴
．
11．下列方程，是一元二次方程的有_________________________
①
，②
，③
，④
．
【答案】①④/④①
【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为
的整式方程是一元二次方程．
①
，只含有一个未知数，未知数最高次数为
，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
②
，含有
和
两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
③
，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义；
④
，只含有一个未知数，未知数最高次数为
，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
综上所述，是一元二次方程的有①④．
12．把一元二次方程
化为一般形式为______________________
【答案】
【详解】解：
，
∴
，
∴
.
13．若关于x 的一元二次方程
的一个根是
，则m 的值为__________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根
代入原方程，得到关于
的一元一次方程，求解即可
得到
的值．
【详解】解：
关于
的一元二次方程
的一个根是
，
将
代入方程得：
，
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整理得：
，
解得：
．
14．已知关于
的一元二次方程
的一个根为
，则
的值为____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解
的值．
【详解】把
代入原方程
得：
，
整理得
，
即
，
解得
．
15．若
是关于
的一元二次方程
（
）的解，则代数式
的值是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将
代入原方程，求出
的值，再整体代入所求代数式计
算即可．
【详解】解：∵
是关于
的一元二次方程
（
）的解，
，
整理得
，
．
16．若关于x 的一元二次方程
有一个根为0，则m 的值是 _____ ．
【答案】1
【分析】先将根
代入方程得到
的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除
不符合条件的解，即可得到
的值
【详解】解：
关于
的一元二次方程
有一个根为
，
将
代入方程得
，
解得
或
，
又
一元二次方程的二次项系数不能为
，即
，
得
，
17．已知
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为
，且二次项系数不为
，据此列方程即可求
解．
【详解】解：
方程
是关于
的一元二次方程；
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∴{
m
2+1=2
m−1≠0)
解
得
，即
；
由
得
．
．
18．若a 是方程
的根，则代数式
值是_________．
【答案】
【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值．
【详解】解：
是方程
的根，且
，
，
变形可得
，
方程两边同时除以
得
，
即
，
∴
．
19．若实数x 满足
，则
______．
【答案】
【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算
即可得到结果．
【详解】
，
∴
20．已知
是关于x 的一元二次方程
的一个根．
（1）若
，且
，则b 的取值范围是______；
（2）若
，则c 的值为______．
【答案】
5
【分析】（1）根据方程的解得到
，结合
，得到
，利用不等式的性质求
解即可；
（2）易得
，
，根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可.
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【详解】解：（1）∵
是关于x 的一元二次方程
的一个根，
∴
①
∵
，
∴
，
，得
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
且
，
∴
，
∴
，而
，
∴
，
∴
.
21．已知m 是方程
的一个根，求代数式
的值．
【答案】
【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，得
，再代入
进行计算，即可作答．
【详解】解：∵m 是方程
的一个根，
∴
，
∴
，
则
．
22．已知
是关于x 的一元二次方程
的一个根，求代数式
的值．
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【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题
的关键；由题意易得
，然后根据整体代入进行求解即可．
【详解】解：原式
∵
是方程
的一个根，
∴
，即
，
∴原式
．
23．已知
是方程
的一个解，求代数式
的值．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是
解题关键．
先由一元二次方程根的定义得到
，然后化简
，再整体代入求值．
【详解】解：∵
是方程
的一个解，
∴
，
∴
，
．
24．已知
是方程
的一个根，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的定义可得
，
，再两
边同时除以
，即可求解．
【详解】解：∵
是方程
的一个根，
∴
，且
∴
，
∴
．
25．当
为何值时，方程
是关于
的一元二次方程？
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式
下，注意二次项系
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数不等于零是解题的关键．
直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得
且
．
解
，得
，
解
，得
，
所以
．
所以当
时，原方程是关于
的一元二次方程．
26．已知关于x 的方程
是一元二次方程，求 m 的值．
【答案】
．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到
，求解即可，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：
．
27．已知关于x 的一元二次方程
，如果a，b，c 满足
，我们就称这个一元二次
方程为波浪方程．
(1)判断方程
是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x 的波浪方程
的一个根是
，求a，b 的值．
【答案】(1)是
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟
知波浪方程的定义是解题的关键：
（1）直接根据波浪方程的定义判断即可；
（2）先根据波浪方程的定义得到
，再由一元二次方程的解的定义得到
，据
此联立①②求解即可；
【详解】（1）解：方程
为波浪方程，理由如下：
由题意得，
，
∴
，
∴方程
为波浪方程，
（2）解：∵关于x 的方程
为波浪方程，
∴
，且
，
∴
，
∵
是关于x 的方程
的一个根，
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∴
，
联立①②解得
；
28．已知a 是一元二次方程
的一个根：
(1)求
的值
(2)求
的值．
【答案】(1)2
(2)2025
【分析】（1）根据a 是一元二次方程
的一个根，得到
，整体代入法求值即可；
（2）利用降幂和整体代入法进行计算即可.
【详解】（1）解：∵a 是一元二次方程
的一个根，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
.
29．已知m 是关于x 的一元二次方程
的一个根，求代数式
的值．
【答案】
【分析】由m 是方程
的一个根可得
，
，
，
然后逐步代入求解即可．
【详解】解：m 是方程
的一个根，
∴
．
∴
，
，
∵
时，方程左边等于1，不等于右边，
∴
，
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把
的两边都除以
得，
．
∴
．
30．定义：方程
是一元二次方程
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且
，
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
的“倒方程”是 ；
(2)若
是一元二次方程
的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若
是一元二次方程
的“倒方程”的一个实数根，则
的值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)2025
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念
以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程
的倒方程为
，把
代入即可得到c 的值；
（3）根据题意得到方程
的倒方程为
，再结合方程根的定义得到
，
得到
，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程
的倒方程是：
；
（2）解： 由题知，方程
的倒方程为
，
将
代入此方程得，
，
解得
；
（3）解：由题知，一元二次方程
的倒方程是
，
∵
是此方程的一个实数根，
∴
，
∴
，
∴
．
