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第21 讲 一元一次方程的应用
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一元一次方程的应用之古代问题
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
实际问题、一元一次方
程、等量关系、建模、
行程问题、配套问题、
检验。
1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世
界的有效模型。
2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。
3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。
4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，
培养分析问题、解决问题的能力。
学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。
学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问
题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。
.
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知识点01 一元一次方程的应用
1.列一元一次方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
【易错提醒】
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如
人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。
即时即练1．列方程解决问题：
我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十
四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6 竿，
多14 竿；每人8 竿，少2 竿．”求共有多少个牧童？
【答案】8 个
【详解】解：设有x 个牧童，
依题意得：6
14
8
2
x
x
，
解得
8
x
．
经检验，符合题意．
答：共有8 个牧童．
2．某超市第一次用3100 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的
1
3多15 件，甲、乙两
种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
12
20
售价（元/件）
19
30
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次
的4 倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的
50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850 元，则以五折售出的乙商品有多少件？
【答案】(1)超市第一次购进甲商品150 件，乙商品65 件
(2)以五折售出的乙商品有120 件
【分析】（1）设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品1
15
3 x
件，根据单价数量总价，即可得
出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设五折的乙商品m 件，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品1
15
3 x
件，
由题意得：
1
12
20
15
3100
3
x
x
，
解得
150
x
，
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则1
1
15
150 15
65
3
3
x
（件），
答：超市第一次购进甲商品150 件，乙商品65 件；
（2）解：设五折售出的乙商品有m 件，则原价销售的乙商品的数量为
65 4
m
件，
由题意得
19 12
150
30
20
65 4
30 0.5
20
1850
m
m
，
解得
120
m
，
答：以五折售出的乙商品有120 件．
3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G 套餐”，计费方式如下：
套餐类别
套餐一
套餐二
通话不超时且流量不
超量
通话120 分钟及以下，
流量10GB 及以下，各
种费用月费共计60元．
通话200 分钟及以下，
流量18GB 及以下，各
种费用月费共计100
元．
通话超时或上网超量
通话超时部分加收
0.2 元/分；流量超量部
分加收2.5 元/GB ．
通话超时部分加收
0.18元/分：流量超量
部分加收2 元/GB ．
(1)若10 月小宁通话时间为200 分钟，上网流量为20GB ，则按“套餐一”计费需要多少费用？
(2)若11 月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为23GB 且费用共计128 元，则该月小宁通话时间为多
少分钟？
(3)若12 月小宁的通话时间为250 分钟，上网流量超过18GB ，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？
若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)按“套餐一”计费需要101 元
(2)该月小宁通话时间为300 分钟
(3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24GB
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用按“套餐一”计费所需费用
60
0.2
（通话时间120
）2.5
（上网流量10
），即可求出结论；
（2）设该月小宁通话时间为x 分钟，根据11 月小宁按“套餐二”计费需付128 元，可列出关于x 的一元一次
方程，解之即可得出结论；
（3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为
GB
y
，根据按套餐一和套餐二计费相等，
可列出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
60
0.2
200 120
2.5
20 10
60
0.2 80
2.5 10
60 16
25
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= 101（元）；
答：按“套餐一”计费需要101 元；
（2）解：设该月小宁通话时间为x 分钟，
根据题意得：100
0.18(
200)
2 (23 18)
128
x
，
解得：
300
x
；
答：该月小宁通话时间为300 分钟；
（3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为GB
y
，
根据题意得：60
0.2 (250 120)
2.5(
10)
100
0.18 (250
200)
2(
18)
y
y
，
解得：
24
y
．
答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24GB ．
题型1 一元一次方程的应用之古代问题
【例1】（用一元一次方程解应用题）
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马
先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马
先走12天，求快马几天可以追上慢马．
【答案】快马20天追上慢马
【分析】设快马x 天追上慢马，根据慢马先走12天，追及时快马所行路程等于慢马所行总路程列出方程，
解方程求出x 的值即可．
【详解】解：设快马x 天追上慢马，
∵跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，
∴240
150(
12)
x
x
，
∴8
5(
12)
x
x
解得：𝑥= 20
答：快马20 天追上慢马．
【例2】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，
即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是1.9斗），店务经四处，没了壶中
酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？
【答案】原来有酒57
32 斗．
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【分析】设原来有酒x 斗，再根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设原来有酒x 斗，则
2 2 2 2
1.9
1.9
1.9
1.9
0
x
，
解得：
57
32
x
．
答：原来有酒57
32 斗．
【技巧归纳】
用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三
三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否
符合题意。通常为一次方程。
【变式1-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十
一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那
么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你
列一元一次方程解决这个问题．
【答案】
共有9 个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70 钱
【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，
通过两种不同的出钱方式列出方程．
设人数为未知数，根据“每人出9 钱多11 钱”和“每人出6 钱少16 钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；
再将人数代入表达式求出鸡价．
【详解】解：设共有x 人共同出钱买鸡．9
11
6
16
x
x
，
9
6
16 11
x
x
，
3
27
x
，
𝑥= 9．
鸡的价钱为：9 9 11
70
．
答：有9 个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70 钱．
【变式1-2】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给
你2 头羊，余下的
1
9给你妻子；老二，再给你3 头羊，再余下的
1
9给你妻子；……”说完，老人就去世了．已
知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1 头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小
家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？
【答案】老人一共有56 头羊
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【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有x 只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比
他的前一个哥哥多分1 只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的
1
9，每个小家庭却分到相同多的羊，列
出方程进行求解即可．
【详解】解：设老人一共有x 只羊，根据题意得
1
1
1
2
2
3
2
2
3
9
9
9
x
x
x
解得
56
x
，
答：老人一共有56 头羊．
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
【例3】某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1 元，数量少了5 本．设
第一批单价为x 元．
(1)用含x 的代数式表示两批进货数量；
(2)若第一批单价为4 元，求两次一共购进笔记本多少本．
【答案】(1)第一批：
5
5
x
本；第二批：5x 本
(2)一共45 本
【分析】（1）设第一批单价为x 元，则第二批单价为
1
x
元，设第一批购进了m 本，则第二批购进了
5
m
本，进一步即可得到答案；
（2）设第一批购进了m 本，则第二批购进了
5
m
本，可得
4
5
5
m
m
，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：设第一批单价为x 元，则第二批单价为
1
x
元，设第一批购进了m 本，则第二批购进
了
5
m
本，
∴
5
1
mx
m
x
，
解得：
5
5
m
x
，
∴
5
5
m
x
，
∴第一批进货数量为
5
5
x
（本），则第二批进货数量为5x （本）.
（2）解：∵第一批单价为4 元，
∴第二批单价为5 元，
设第一批购进了m 本，则第二批购进了
5
m
本，
∴
4
5
5
m
m
，
解得：𝑚= 25，
∴
5
25
25
5
45
m
m
，
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∴两次一共购进笔记本45本.
【例4】某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45 名工人，
平均每人每天生产100 个镜框或160 个镜腿．
(1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
(2)某眼镜商店以每副80 元的价格购进了100 副镜架，提高50%后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出
了90 副，若想在销售完这100 副镜架后总获利8%，则剩余的镜架应打几折出售？
【答案】(1)安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿
(2)剩余的镜架应打九折出售
【分析】（1）设安排x 名工人生产镜框，则安排
45
x
名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一
个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可；
（2）设剩余的镜架应打y 折出售，再根据“销售完这100 副镜架后总获利8%”进行列方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排x 名工人生产镜框，则安排
45
x
名工人生产镜腿，
2 100
160 45
x
x
200
7200 160
x
x
360
7200
x
解得𝑥= 20，
45
45
20
25
x
（名），
答：安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
（2）解：设剩余的镜架应打y 折出售，
根据题意得：
80
1 50%
70% 90 10 80
1 50%
80 100
80 100 8%
10
y
7560 120
8000
640
y
解得：
9
y
，
答：剩余的镜架应打九折出售．
【技巧归纳】
关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根
据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解
后检验合理性。
【变式2-1】为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用6000 元购进本地特色的甲、乙两
种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的1
2 倍多15件，两种农产品的进价和售
价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设）
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农产品
甲（特色果蔬）
乙（手工杂粮）
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
(1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？
(2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？
(3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数
是第一次的3倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次
全部售完后获得的总利润比第一次多180元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？
【答案】(1)甲种农产品150件、乙种农产品90件
(2)1950元
(3)8.5折
【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量；
（2）根据“每件利润× 数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润；
（3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品x 件，则购进乙种农产品1
15
2 x
件，
可得
1
22
30
15
6000
2
x
x
，
解得𝑥= 150，则1
15
90
2 x
，
故该助农驿站第一次购进甲种农产品150件、乙种农产品90件．
（2）解：(29
22) 150
(40
30) 90
1950
（元）．
故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润1950元．
（3）解：设第二次乙种农产品是按原价打y 折销售，
可得(29
22) 150
40
30
90 3
1950 180
10
y
，
解得
8.5
y
，
故第二次乙农产品是按原价打8.5折销售．
【变式2-2】某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90 个，每个篮球售价为160
元，比每个足球的售价多60%．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为5 4
∶．
(1)每个足球的售价是多少元？
(2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个
价格销售商城还有20%的利润．每个篮球的进价是多少元？
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(3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下：
方案一：按原价购买，购物总费用打九折；
方案二：按原价购买，每买4 个足球赠送1 个篮球，不足4 个足球不赠送；
方案三：按原价购买，购物超过2000 元的部分每满300 元减30 元．
通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？
【答案】(1)100 元
(2)90 元
(3)学校应该选择方案二购买
【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价；
（2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价；
（3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小后
得到最省钱的方案．
【详解】（1）解：设每个足球的售价是x 元，
依题意，
1 60%
160
x
，
解得
100
x
，
即每个足球的售价是100元；
（2）解：设每个篮球的进价是y 元，
则两次打折后篮球的实际售价：160 0.75 0.9
108
（元）；
根据题意得
1
20%
108
y
，
解得
90
y
，
∴每个篮球的进价是90 元．
（3）解：∵总数量共90 个，篮球与足球个数比为5: 4 ，
因此篮球个数为
5
90
50
5
4
（个）；
足球个数为90
50
40
（个）；
原价总费用为50 160
40 100
12000
（元），
方案一：总费用打九折，总费用为12000 0.9
10800
（元）；
方案二：40 个足球可赠送篮球个数为40 ÷ 4 = 10（个）；
需要付费的篮球个数为 50 10
40
（个）
总费用为 40 100
40 160
10400
（元）
方案三：超过2000 元的部分为12000
2000
10000
（元）
10000
300
33
100
，
∴可满减33 次，即满减总金额为33 30
990
（元）
∴总费用为 12000
990
11010
（元）
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∵10400
10800
11010
，
∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买．
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
【例5】学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200 名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台
山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600 元，票价信息如下表：
地点
学生票价
磁山“红色革命纪念馆
20 元/人
烟台山“人民纪念碑”
15 元/人
(1)参观两个景点的学生各有多少名？
(2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？
【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120 名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80 名.
(2)能节省票款600 元.
【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为x ，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总
票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数；
（2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款．
【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有x 名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有(200
)
x
名，
根据题意列方程得：
20
15(200
)
3600
x
x
解得：𝑥= 120，
200
200 120
80
x
（名）
答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120 名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80 名；
（2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为
200 15
3000
（元），
节省票款为3600
3000
600
（元），
答：能节省票款600 元．
【例6】商店A 型号笔记本电脑的售价是1000 元/台，最近，该商店对A 型号笔记本电脑举行促销活动，
有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5 台，每台按售价销售；若
购买量超过5 台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A 型号笔记本电脑x
台．
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(1)当𝑥= 8时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【答案】(1)选方案一，最少费用为7200 元
(2)10 台
【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8 台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买x 台时，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：设购买A 型号笔记本电脑x 台时的费用为𝑤元，
当𝑥= 8时，
方案一：
90% 1000 8
7200
w
，
方案二：
5 1000
(8
5) 1000 80%
7400
w
，
∵7400
7200
，
当𝑥= 8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200 元；
（2）解：①若0
5
x
时：
方案一：1000
0.9
900
x
x
；方案二：1000x ；
此时不相等；
②若
5
x
时：
方案一：1000
0.9
900
x
x
；方案二：
5000
5
0.8 1000
800
1000
x
x
令900
800
1000
x
x
解得
10
x
答：该公司买了10 台．
【技巧归纳】
将两种方案费用表示为含x 的一次式，令相等得临界值。根据x 的范围选择最优方案。若比较大小，列不
等式。注意分类讨论：如x 为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅
助决策。解后验证端点值。
【变式3-1】某商店有A、B 两种型号的节能灯，店主统计了3 天的产品销售情况，如表：
统计日期
售出A 型节能灯个数
售出B 型节能灯个数
总售价
6 月15 日
0
1
50
6 月16 日
1
2
200
6 月17 日
5
5
750
(1)根据上表数据可得B 型节能灯的单价 ．
(2)根据上表数据，求A 型节能灯的单价．
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(3)若商家A、B 两种型号的节能灯共售出15 个，总售价为1300 元．那么售出的两种型号的节能灯各多少
个？
【答案】(1)50 元/个
(2)A 型节能灯的单价为100 元/个
(3)售出的A 型号的节能灯有11 件，B 型号的节能灯有4 件
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B 型节能灯单价，设A 型节能灯的单
价x ，根据6 月16 销售情况列关于x 的方程，解出即可求出A 型节能灯单价；设A 和B 型节能灯的件数y
和15
y
，根据题意，列关于y 的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数．
【详解】（1）解：6 月15 日的销售情况可知，售出0 个A 型节能灯，1 个B 型节能灯，总售价为50 元，
B 型节能灯的单价为50 元/个．
（2）解：设A 型节能灯的单价为x 元/个，根据6 月16 日的销售情况，售出1 个A 型节能灯，2 个B 型节
能灯，总售价为200 元，
可列方程得，
2 50
200
x
解得
100
x
，
A 型节能灯的单价为100 元/个．
（3）解：设售出A 型节能灯y 个，则售出B 型节能灯
15
y
个，根据题意，可列方程得
100
50(15
)
1300
y
y
，
解得
11
y
，
15
15 11
4
y
．
售出的A 型号的节能灯有11 个，B 型号的节能灯有4 个．
【变式3-2】刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为60 千瓦时．目前有两种充电方案可
供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为2700 元，每千瓦时电费为0.5元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为1.5元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加1千瓦时的电量，需充入1.2千瓦时的电．假设电池
的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电60 千瓦时行驶至30千瓦时时，对应的行驶里程为300千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从30千瓦时充至满电60 千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
【答案】(1)
使用方案一单次电费为18元，使用方案二单次电费为54元.
(2)
累计行驶里程为22500 千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用；
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（2）设该汽车的累计行驶里程为x 千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解．
【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为
0.5
60
30
1.2
18
元，
使用方案二，单次电费为
1.5
60
30
1.2
54
元；
（2）解：设该汽车的累计行驶里程为x 千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多，
根据题意可得：
60
30
1.2 0.5
2700
60
30
1.2 1.5
300
300
x
x
，
解得：
22500
x
，
答：累计行驶里程为22500 千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
【例7】某眼镜厂家的一个车间共有22 名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12 个镜架或20 片镜片，一
副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套．
(1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？
(2)若每副眼镜的成本为150 元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？
【答案】(1)生产镜架10 人，生产镜片12 人
(2)18000 元
【分析】（1）设分配x 名工人生产镜片，
22
x
名工人生产镜架，根据“一副镜架要配两个镜片”列方程求
解；
（2）根据题意列式求解即可．
【详解】（1）解：设分配x 名工人生产镜片，
22
x
名工人生产镜架，
根据题意得：
20
2 12
22
x
x
，
解得：𝑥= 12，
∴22
10
x
，
答：生产镜架10 人，生产镜片12 人．
（2）解：由（1）可知，每天生产的镜架数量为10 12
120
（个），
即每天生产120 副眼镜，
故总成本为150 120
18000
（元）
答：该车间每天生产的眼镜的总成本为18000 元．
【例8】某车间每天能生产甲种零件180 个或乙种零件60 个，若2 个甲种零件与1 个乙种零件配成一套，
那么要使50 天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
【思路分析】：
(1)设安排生产甲种零件x 天，则安排生产乙种零件
50
x
天，那么x 天共生产甲种零件 个，
50
x
天共
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生产乙种零件 个；（用含x 的代数式表示）
(2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2 倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程．
【答案】(1)180x ；
60 50
x
(2)安排生产甲种零件20 天，则安排生产乙种零件30 天．
【详解】（1）解：安排生产甲种零件x 天，则安排生产乙种零件
50
x
天，
那么x 天共生产甲种零件180x 个，
50
x
天共生产乙种零件
60 50
x
个；
（2）解：根据题意得
180
2 60 50
x
x
，
解得𝑥= 20，
50
30
x
，
答：安排生产甲种零件20 天，则安排生产乙种零件30 天．
【技巧归纳】
设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2 配套，设生产螺栓x 个，则螺母2x 个。
注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，
解出后验证是否符合题中比例。
【变式4-1】六年级一班共有学生52人，其中男生人数比女生人数多4人，劳动课上，老师组织同学们自己
动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22 个．
(1)六年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
【答案】(1)
男生28 人，女生24 人
(2)
2 名
【分析】（1）设出女生人数，则可表示出男生人数，根据“全班总人数为52人”列出一元一次方程，求解即
可得到男女生人数；
（2）设出去支援女生的男生人数，则可表示出做盒身和做盒底的人数，根据配套要求“盒底总数量是盒身
总数量的2 倍”列出一元一次方程，求解即可得到去支援的男生人数．
【详解】（1）解：设六年级一班有女生x 人，则男生有(
4)
x
人，
根据题意得
4
52
x
x
，
解得
24
x
，
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4
24
4
28
x
．
答：六年级一班有男生28 人，女生24 人；
（2）解：设有y 名男生去支援女生，才能使盒身和盒底刚好配套，此时做盒身的总人数为
24
y
人，做
盒底的总人数为
28
y
人，
根据题意得
22 28
2 11 24
y
y
，
化简得616
22
528
22
y
y
，
整理得44
88
y
，
解得
2
y
．
答：有2 名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【变式4-2】完成如下项目式学习表
情境挖掘
眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用
品．
素材整合
某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而
成．工厂现共有45 名工人，平均每人每天生产100 个镜框或160 个镜腿．
任务解决：
(1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
(2)任务二：某店家以每副80 元的价格购进一批镜架，提高50%后标价．求每一副镜架的标价是多少？
(3)任务三：该店家购进了100 副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60 副后打折销售，结果销售完这100
副镜架后仍获利2560 元，求剩余的镜架打几折出售？
【答案】(1)安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿，
(2)120 元
(3)七
【分析】（1）设安排x 名工人生产镜框，则安排
45
x
名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一
个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可；
（2）根据“提高50%后标价”进行列式求解即可；
（3）设剩余的镜架应打y 折出售，再根据“销售完这100 副镜架后仍获利2560 元”进行列方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排x 名工人生产镜框，则安排
45
x
名工人生产镜腿，
2 100
160 45
x
x
200
7200 160
x
x
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360
7200
x
解得𝑥= 20，
45
45
20
25
x
（名），
答：安排20 名工人生产镜框，25 名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
（2）解：根据题意得：
80
1 50%
120
（元）
答：每一副镜架的标价是120 元；
（3）解：设剩余的镜架应打y 折出售，
根据题意得：
80
1 50%
60
100
60
80
1 50%
80 100
2560
10
y
7200
480
8000
2560
y
解得：𝑦= 7，
答：剩余的镜架应打七折出售．
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
【例9】解答下列问题：
(1)师徒两人检修一条长180m 的自来水管道，师傅每小时检修15m，徒弟每小时检修10m．现两人合作，多
少时间可以完成整条管道的检修？
(2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要10h，徒弟单独完成需要15h ．现两人合作，需要多少小
时完成？
【答案】(1)7.2 小时
(2)6 小时
【分析】（1）已知管道具体总长度和两人每小时检修长度，直接列方程计算；
（2）把总工作量看作单位1，先得到两人的工作效率，再列方程求解．
【详解】（1）解：设两人合作x 小时可以完成整条管道的检修．
根据题意，师傅x 小时检修15x (m)，徒弟x 小时检修10x (m)，总管道长180m ，
列方程得15
10
180
x
x
解得𝑥= 7.2
答：两人合作7.2 （小时）可以完成整条管道的检修．
（2）设两人合作需要x 小时完成，根据题意得
1
1
1
10
15 x
解得𝑥= 6
答：两人合作需要6（小时）完成．
【例10】师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8 小时，徒弟单独完成需要12 小时．现在先由
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徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时．
(1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？
(2)完成任务后共得劳动报酬1200 元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少
元？
【答案】(1)师徒两人合作检修的时间为3 小时
(2)师傅应分得的报酬为450元；徒弟应分得报酬为750 元
【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间x 小时，则徒弟单独检修的时间为
1.5
x
小时，根据题意列出
关于x 的一元一次方程求解即可得出答案．
（2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可．
【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为x 小时，则徒弟单独检修的时间为
1.5
x
小时，
依题意，得
1.5
1
1
1
12
8
12
x
x
，
解这个方程，得
3
x
，
当
3
x
时，
1.5
4.5
x
，
答：师徒两人合作检修的时间为3 小时．
（2）解：师傅应分得的报酬为：1
3 1200
450
8
（元）
徒弟应分得报酬为：
1
4.5
3
1200
750
12
（元）
【技巧归纳】
将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲
单独x 天，乙单独y 天，合作t 天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否
为正。
【变式5-1】某市新区现有一段长为180 米的河堤整治任务由A、B 两个工程队先后接力完成，已知A 工程
队每天整治12 米，B 工程队每天整治8 米，此工程共用时20 天．求A，B 两个工程队各工作了多少天？
(1)若设A 工程队工作了x 天，则B 工程队工作了 天（用含x 的代数式表示）；
(2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题．
【答案】(1)
20
x
(2)见解析
【分析】（1）由工程共用时20 天，列出代数式即可；
（2）根据180 米的河堤整治任务由A、B 两个工程队先后接力完成，已知A 工程队每天整治12 米，B 工程
队每天整治8 米，结合（1）所设的未知数与结果，列出一元一次方程求解即可．
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【详解】（1）解：∵A 工程队工作了x 天，工程共用时20 天，
∴B 工程队工作了
20
x
天．
（2）解：由题意得：
12
8 20
180
x
x
，
12
160
8
180
x
x
，
12
8
180 160
x
x
，
4𝑥= 20，
𝑥= 5，
∴20
20
5
15
x
．
答：A 工程队工作了5 天，B 工程队工作了15 天．
【变式5-2】某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000 平方米路面改
造．其中甲队每天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，甲队施工一天需付工程款0.8
万元，乙队施工一天需付工程款1.1万元．
(1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5 天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数；
(2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？
【答案】(1)20 天
(2)34.2万
【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x 天，可知甲队完成此项工程的天数为
5
x
天，根据“甲队每
天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍”列方程求解即可；
（2）设甲，乙两队合作y 天，根据“甲队每天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍”列方
程求出y 的值，根据“甲队施工一天需付工程款0.8万元，乙队施工一天需付工程款1.1万元”计算即可．
【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x 天，
由题意可得：
200
5
1.5 200
9000
x
x
，
解得𝑥= 20，
答：乙队完成此项工程的天数为20 天；
（2）解：设甲，乙两队合作y 天，
由题意可得：
200 1.5 200
9000
y
，
解得
18
y
，
∴
0.8 1.1
18
34.2
（万），
答：完成该工程需付工程款34.2万．
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
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【例11】小明、小杰两人在400 米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280 米，小杰每分钟跑220 米．若
小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
【答案】经过0.8分钟以后小明，小杰第一次相遇
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设x 分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求
出x ，即可求解．
【详解】解：设x 分钟以后小明，小杰第一次相遇，
由题意可得，
220
280
400
x
，
解得
0.8
x
，
答：经过0.8分钟以后小明，小杰第一次相遇．
【例12】A、B 两地间相距30km ，甲从A 地出发匀速前往B 地，甲的速度为4 千米/时，乙的速度为3 千米
/时，甲出发30 分钟后，乙从B 地出发，沿同一条公路匀速前往A 地，问：乙出发多长时间两人相遇？
【答案】4 小时
【详解】解：设乙出发x 小时后两人相遇，由题意得：
1
3
4
30
4
2
x
，
解得：
4
x
；
答：乙出发4 小时后两人相遇．
【技巧归纳】
基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速
度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检
验是否满足实际。
【变式6-1】甲站和乙站相距1500km ，一列慢车从甲站开出，速度为60km / h ，一列快车从乙站开出，速度
为90km / h ．
(1)若两车相向而行，慢车先开30min ，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km ？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km （快车在慢车的后面）？
【答案】(1)快车开出9.8h 后两车相遇
(2) 2h 后两车相距1800km
(3)10h 后两车相距1200km
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
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【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题
的关键．
（1）设快车开出h
x 后两车相遇，根据两车行驶路程和为1500km ，列出方程式即可解题；
（2）设h
y 后两车相距1800km ，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为1800km ，列出方程式即可解
题；
（3）设h
z 后两车相距1200km ，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多1500 1200
300km
，即可列出
方程式，即可解题．
【详解】（1）解：设快车开出h
x 后两车相遇．
30min
0.5h
．
由题意，得60(
0.5)
90
1500
x
x
，
解得
9.8
x
．
答：快车开出9.8h 后两车相遇．
（2）解：设h
y 后两车相距1800km ．
由题意，得60
90
1500
1800
y
y
，
解得
2
y
．
答：2h 后两车相距1800km ．
（3）解：设h
z 后两车相距1200km ．
由题意，得90
60
1500 1200
z
x
，
解得
10
z
．
答：10h 后两车相距1200km ．
【变式6-2】已知在数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．动点P 从点A
出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从B 点向右运动，速度为每秒2 个单位，PQ
同时出发，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)数轴上点B 表示的数是______；当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P 和点Q 运动多少秒时，点P 和点Q 第一次相遇？
②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度？
【答案】(1) 6
，1
(2)①7
3 秒；②4
3 秒或10
3 秒
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB 表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可；
（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P 的运动距离加上动点Q 的运动距离等于A，B 两点间的距
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离，列方程即可求解；
②根据点P 与点Q 相遇前和相遇后之间的距离为6 个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．
∴点B 表示的数为8 14
6
，
当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是6
8
1
2
，
故答案为∶6
，1；
（2）解∶①点P 和点Q 运动t 秒时，点P 和点Q 第一次相遇，
则2
4
14
t
t
，
解得
7
3
t
，
即点P 和点Q 运动7
3 秒时，点P 和点Q 第一次相遇；
②设点P 运动t 秒
根据题意得：
当点P 与点Q 相遇前，点P 与点Q 距离6 个单位长度时，则
8
4
6
2
6
t
t
，
解得
4
3
t
；
当点P 与点Q 相遇后，点P 与点Q 距离6 个单位长度时，则
6
2
8
4
6
t
t
，
解得
10
3
t
，
∴当点P 运动4
3 秒或10
3 秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度．
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是
99，原两位数是 ．
【答案】63
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两
位数的个位数字为x ，则十位数字为2x ，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列
出关于x 的一元一次方程，解之可求出x 的值，再将其代入10 2x
x
中，即可求出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为x ，则十位数字为2x ，
根据题意得：10
2
10
2
99
x
x
x
x
，
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解得：
3
x
，
10
2
10
2
3
3
63
x
x
，
原两位数是63．
故答案为：63．
【例14】一个三位数，已知十位数字是0，个位数字是百位数字的3倍．现将这个三位数的个位数字与百位
数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是1212．设原三位数的百位数字是𝑥．
(1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x 的代数式表示）
(2)列方程求解原三位数．
【答案】(1)103x；301x
(2)309
【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位100
十位10
个位），结合已知的个位与百位数字的
倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式；
（2）根据“两数之和为1212”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字𝑥的值，再代入原数的代数式计算
出原三位数即可．
【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是𝑥，则原三位数的个位数字是3𝑥，新三位数的百位数字是3𝑥，
个位数字是𝑥，
∴原三位数为100
10 0 1 3
103
x
x
x
；
调换位置后的三位数为100 3
10 0 1
301
x
x
x
；
（2）解：根据题意，得103
301
1212
x
x
，
解得
3
x
，
∴103
309
x
，
答：原三位数是309．
【技巧归纳】
设个位或十位数字为x，用10a+b 表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限
制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。方
程组思想。
【变式7-1】将奇数1至2025 按照顺序排成下表：
记
mn
P 表示第m 行第n 个数，如
23
P 表示第2 行第3个数是17 ．
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(1)
43
P ；
(2)将表格中的4 个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4 个数之和能否等于100．若能，求出4 个数中
的最大数；若不能，请说明理由；
(3)用m 、n 的式子表示
mn
P
；
(4)若
2021
mn
P
，求m 、n 的值．
【答案】(1) 41
(2)不能，理由见解析
(3)12
2
13
m
n
(4)
169
m
，
3
n
【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，
（1）根据题意可知
43
P 表示第4 行第3个数，每行都有6 个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应
的值；
（2）先判断，然后设4 个阴影格子中的数分别为2
3
n 、2
1
n 、2
1
n + 、2
11
n
，即可列出相应的方程，
然后求解即可说明理由；
（3）根据表格中的数据和发现，可以用含m 、n 的代数式表示出
mn
P ．
（4）根据题意，可以得到2
2
13
2021
m
n
1
，然后m 、n 为整数，1
6
n
，即可得到m 、n 的值；
解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
43
2
6 3
3
1
41
P
，
故答案为：41；
（2）所覆盖的4 个数之和不能等于100．
理由：设4 个阴影格子中的数分别为2
3
n 、2
1
n 、2
1
n + 、2
11
n
，
由题意得：
2
3
2
1
2
1
2
11
100
n
n
n
n
，
解得：
11.5
n
，
∵n 为整数，
∴所覆盖的4 个数之和不能等于100；
（3）由题意可得，
2 6
1
1
12
2
13
mn
P
m
n
m
n
，
故答案为：12
2
13
m
n
；
（4）∵
2021
mn
P
，
∴12
2
13
2021
m
n
，
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∴
1017
3
169
6
6
n
n
m
，
∵m 、n 为整数，1
6
n
，
∴
169
m
，
3
n
．
【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1 个至第4 个台阶上依次标着5
，
2
，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．
(1)前4 个台阶上的数的和是多少？
(2)第5 个台阶上的数x 是多少？
(3)试用含k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】(1)3
(2) 5
(3) 4
1
k
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的
应用)
【分析】本题考查了图形的变换规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数
字每4 个一循环．
（1）将前4 个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可；
（3）根据“台阶上的数是每4 个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为
4
1
k ．
【详解】（1）解：由题意，得5
2 1 9
3
．
故前4 个台阶上的数的和是3．
（2）由题意，得2 1 9
3
x
，
所以
5
x ，
故第5 个台阶上的数x 是5
．
（3）由题意知，台阶上的数每4 个一循环，5
，−2，1，9，5
，−2，1，9，…
数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .，
所以数“1”所在的台阶数为4
1
k ．
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题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
【例15】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分：
球队
比赛场数
胜场
负场
积分
敬业
9
5
4
14
诚信
9
4
5
13
(1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？
(2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？
【答案】(1)
胜一场积2 分，负一场积1分
(2)
这支球队胜了3场
【分析】（1）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积𝑥分，负一场
积y 分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解；
（2 ）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为9场，所以这支球队胜
了m 场，则负了(9
)
m
场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解．
【详解】（1）解：设胜一场积𝑥分，负一场积y 分，
根据表格积分信息列二元一次方程组：
5
4
14
{4
5
13
x
y
x
y
，
两式相加化简得
3
x
y
，即
3
y
x
，
代入第一个方程：5
4(3
)
14
x
x
，
解得
2
x
，
∴
3
2
1
y
，
∴胜一场积2 分，负一场积1分；
（2）解：设这支球队胜了m 场，总场数为9场，则负了(9
)
m
场，
根据胜场总积分等于负场总积分列方程：2
1 (9
)
m
m
，
整理得3
9
m
，
解得𝑚= 3．
【例16】某电视台组织知识竞赛，共20 道选择题，每题必答，如表记录了3 个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
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乙
19
1
94
丙
14
6
64
(1)由表中的数据可知：答对1 题得________分，答错1 题得________分；
(2)小婷得76 分，她分别答对了几道题、答错了几道题？
(3)小明说他得了80 分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)5，−1
(2)参赛者小婷得76 分，她答对了16 道题，答错了4 道题；
(3)不可能，见解析
【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1 题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可
以得出答错1 题的得分；
（2）设参赛者小婷答对了x 道题，则答错了
20
x
道题，根据“答对的得分+ 加上答错的得分76 分”建
立方程求出其解即可；
（3）假设他得80 分可能，设答对了y 道题，答错了
20
y
道题，根据“答对的得分+ 加上答错的得分80
分”建立方程求出其解即可判断．
【详解】（1）解：由题意，可得，答对1 题的得分是：100
20
5
分，
答错1 题的得分为：94 19 5
1
分；
（2）解：设参赛者小婷答对了x 道题，则答错了
20
x
道题，
由题意，得
5
20
1
76
x
x
，
解得
16
x
，
20
4
x
，
答：参赛者小婷得76 分，她答对了16 道题，答错了4 道题；
（3）解：不可能．理由如下：
假设他得80 分可能，设答对了y 道题，答错了
20
y
道题，
由题意，得
5
20
1
80
y
y
，
解得
50
3
y
，
∵y 为整数，而50
3 不是整数，
∴参赛者小明说他得80 分，是不可能的．
【技巧归纳】
积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x 场，平y 场，负z 场，根据总场数列x+y+z=N，
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再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。
常见于循环赛。
【变式8-1】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根
据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为：
奖项
获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖）
金奖
两个项目得分之和不低于110 分，且至少一个项目得分达到65 分
银奖
两个项目得分之和不低于110 分
参与奖
完成全部两个项目的活动
在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为4:3；正式计分中，“编
程挑战”得分比体验时提高了9 分，“手工创作”得分比体验时增加了20%，最终两项共得123 分．请利用所
学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由．
【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下：
设体验时编程挑战得4x 分，手工创作得3𝑥分，则正式计分时编程挑战得
4
9
x
分，手工创作得
3 1
20% x
分．
根据题意可列方程为：
4
9
3
1
20%
123
x
x
．
解得
15
x
，
∴编程得4 15
9
69
（分），
手工创作得123
69
54
（分），
123
110
，69
65
∴给这个同学颁发金奖，
答：给这个同学颁发金奖．
【分析】先设出体验时编程挑战得4x 分，手工创作得3𝑥分，利用两项共得123 分求出x 的值，即可计算得
出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解．
【变式8-2】2025 湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动精
神在城市血脉中流淌．截止到12 月1 日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了12 场比赛，下表是第12
轮比赛结束后部分球队积分榜：
序号
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
1
潜江
12
11
1
23
2
汉川
12
10
2
22
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3
枣阳
12
6
6
18
5
大冶
12
4
8
16
6
枝江
12
2
10
14
根据上表信息，解决下列问题：
(1)若某市球队12 场比赛全胜，可得24 分，则联赛胜一场得____分，负一场得____分；
(2)第12 轮比赛结束后，天门队得了19 分，求天门队胜场数和负场数；
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3 倍吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)2，1
(2)胜7 场，负5 场
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（1）由题意即可求解；
（2）设天门队胜了x 场，则负了
12
x
场，根据题意得
2
1
12
19
x
x
，然后解方程即可；
（3）假设某队胜场数为x，则负场数为
12
x
，根据题意得
2
1
12
3
x
x
，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：由题意得，胜一场得 24 12
2
分；根据潜江队积分可得，负一场得 23 11 2
1
分
故答案为：2， 1；
（2）解：设天门队胜了x 场，则负了
12
x
场，则
2
1
12
19
x
x
，
解得：
7
x
∴天门队负了12
7
5
（场）
（3）解：假设某队胜场数为x，则负场数为
12
x
，则
2
1
12
3
x
x
2
36
3
x
x
5
36
x
36
5
x
∵场数为整数，
∴
36
5
x
不合实际．
∴某队胜场总积分不能等于它的负场总积分的3 倍．
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
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【例17】学校建花坛余下24m 长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空
地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃．已知墙面长10m，若要使花圃的长比宽多3
m，求花圃的面积．（提示：注意题目中的条件“已知墙面长10m”的用意，应考虑有两种情形）
【答案】
2
70m 或
2
54m
【分析】设花圃的宽为x 米，则长为
3
x
米，分类讨论：①当较长边（长）平行于墙面时，②当较短边
（宽）平行于墙面时，逐项分析求解即可．
【详解】解：设花圃的宽为x 米，则长为
3
x
米，
①当较长边（长）平行于墙面时，
此时围栏长度为
2
3
24
x
x
，
解得3
21,
7
x
x
，
∵长为7 + 3 = 10米，符合墙面长度限制，
∴花圃的面积：
2
10 7
70m
；
②当较短边（宽）平行于墙面时，
此时围栏长度为：
2
3
24
x
x
，
解得：𝑥= 6，
∵长为6
3
9
米，符合墙面长度限制，
∴花圃的面积：
2
9 6
54 m
综上，花圃的面积是
2
70m 或
2
54m ．
【例18】如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形ABCD ，已知
7cm
EF
，较小正方形的边长为xcm ．
(1)填空：FG ______cm，DG ______cm（用含有x 的代数式分别示）．
(2)先用含有x 的代数式表示出长方形ABCD 的面积．并求当
2cm
DG
时，求长方形ABCD 的面积．
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【答案】(1)
7
x
，
3
7
x
(2)
2
2
16
28
cm
x
x
，
2
228cm
【分析】（1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式；
（2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形ABCD 的长和宽，进而表示出长方形ABCD 的面积，
然后求出x 的值，再把x 的值代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
7 cm
FG
x
，
3
7 cm
DG
x
；
（2）解：由题意可得：长方形ABCD 的长为
3
7
4
7 cm
x
x
x
，宽为
3
4 cm
x
x
x
，
长方形ABCD 的面积
2
2
4
4
7
16
28
cm
x
x
x
x
，
∵
3
7 cm
DG
x
，
2cm
DG
，
∴3
7
2
x
，
∴
3
x
当
3
x
时，
长方形ABCD 的面积
2
2
2
16 3
28 3 cm
228cm
．
【技巧归纳】
利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建
立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t 表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。
画图标量。
【变式9-1】已知线段𝐴𝐵= 15，点C 在线段𝐴𝐵上，且
:
3: 2
AC CB
(1)求线段AC ，𝐶𝐵的长；
(2)点P 是线段𝐴𝐵上的动点，线段AP 的中点为M，设AP
m
．
①请用含有m 的代数式表示线段𝑃𝐶，MC 的长；
②若三个点M，P，C 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C 三点为“共谐点”，请直接写
出使得M，P，C 三点为“共谐点”的m 的值．
【答案】(1)
9cm
AC
，
6
CB
cm
(2)①当点P 在线段AC 上时，
9
cm
PC
m
，
1
9
cm
2
MC
m
；当点P 在线段BC 上时，
9 cm
PC
m
，
1
9
cm
2
MC
m
；②m 的值为6 或12
【分析】（1）根据线段的和差关系并结合
:
3: 2
AC CB
求解即可；
（2）①分当点P 在线段AC 上时和当点P 在线段BC 上两种情况分别计算即可；
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②分情况列方程可得m 的值．
【详解】（1）解：∵
15
AB
，
:
3: 2
AC CB
，
∴
3
9cm
5
AC
AB
，
2
6cm
5
CB
AB
；
（2）解：①当点P 在线段AC 上时，
9
cm
PC
AC
AP
m
，
1
1
9
cm
2
2
MC
AC
AM
AC
AP
m
；
当点P 在线段BC 上时，如图，
9 cm
PC
AP
AC
m
，
1
9
cm
2
MC
AC
AM
m
；
②当点P 在线段AC 上时，则MP
PC
，
∴1
9
2 m
m
，
解得：
6
m
，
当点P 在线段BC 上时，则MC
PC
，
∴
1
9
9
2 m
m
，
解得：𝑚= 12，
综上，m 的值为6 或12．
【变式9-2】如图：长方形ABCD 中，
10
AB
cm
，
4
BC
cm
，点𝑃从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿𝐴→𝐵→𝐶
方向运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒1cm 的速度沿射线𝐶𝐵方向运动，当点𝑃到达终点C 时，点Q 也随之
停止运动．设点𝑃的运动时间为𝑡秒．
(1)当点𝑃在𝐴𝐵上运动时，BP ______cm ．
(2)当点𝑃在BC 上运动时，
2
BP
cm
时，求线段PQ 的长．
(3)当
2
BP
QB
时，求出𝑡的值．
(4)当点𝑃在BC 上运动时，连接AP 、AQ ，直接写出APQ
的面积是
2
5cm 时，𝑡的值．
【答案】(1)10
3t
(2)2cm
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(3) 2 或18
5
(4)15
4
【分析】（1）根据题意，
3
AP
tcm
，则
10
3
BP
t cm
；
（2）计算得𝑡= 4，此时点Q 与点B 重合，因此
2
PQ
BP
cm
；
（3）分类讨论，点𝑃在𝐴𝐵边上时，
10
3
BP
t cm
，
4
QB
t
cm
，根据题意可列方程10
3
2
4
t
t
，
解得
2
t
或
18
5
t
；当点𝑃在BC 边上时，同样的方法计算出𝑡的值，并删去不符合题意的值即可；
（4）先利用三角形面积计算出
1
PQ
cm
，再分类讨论，当点𝑃在点Q 上方时，
15
3
CQ
CP
PQ
t cm
，
可列方程
15
3
t
t
，解得
15
4
t
；当点𝑃在点Q 下方时，
13
3
CQ
CP
PQ
t cm
，列方程
13
3
t
t
，解
得
13
4
t
，舍去不符合题意的情况即可．
【详解】（1）解：∵长方形ABCD 中，
10
AB
cm
，点𝑃从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿𝐴→𝐵→𝐶方向运
动，当点𝑃在𝐴𝐵上运动时，
∴
3
AP
tcm
，
∴
10
3
BP
AB
AP
t cm
；
（2）解：∵长方形ABCD 中，
10
AB
cm
，点𝑃从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿𝐴→𝐵→𝐶方向运动，当点𝑃
在BC 上运动时，
2
BP
cm
，
∴点𝑃的运动路程为
12
AB
BP
cm
，
12
3
4
t
（秒），
∵同时点Q 从点C 出发，以每秒1cm 的速度沿射线𝐶𝐵方向运动，
∴
1 4
4
CQ
cm
，
∵
4
CQ
cm
BC
，
∴点Q 与点B 重合，
∴
2
PQ
BP
cm
；
（3）解：∵长方形ABCD 中，
10
AB
cm
，
4
BC
cm
，点𝑃从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿𝐴→𝐵→𝐶方向
运动，
∴𝑃点走完AB 需要的时间为：
10
10
3
3
（秒）；𝑃点走完AB
BC
需要的时间为：
14
10
4
3
3
（秒），
①当
10
0
3
t
时，点𝑃在𝐴𝐵边上，
∴
10
3
BP
AB
AP
t cm
，
4
QB
CQ
BC
t
cm
，
∵
2
BP
QB
，
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∴10
3
2
4
t
t
，即
10
3
2
4
t
t
，
解得
2
t
或
18
5
t
（与题设矛盾，舍去）；
②当10
14
3
3
t
时，点𝑃在BC 边上，
∴
3
10
BP
t
cm
，
同理可得，3
10
2
4
t
t
，即
3
10
2
4
t
t
，
解得𝑡=
18
5 或
2
t
（与题设矛盾，舍去）；
综上所述，𝑡的值为2 或18
5 ；
（4）解：∵点𝑃在BC 上运动，
∴10
14
3
3
t
，
∴
14
3
CP
t cm
，
∵
1
5
2
APQ
S
PQ AB
，
∴
5 2
5 2
1
10
PQ
cm
AB
，
①当点𝑃在点Q 上方时，如图，
∴
15
3
CQ
CP
PQ
t cm
，
∵CQ
tcm
，
∴
15
3
t
t
，
解得
15
4
t
；
②当点𝑃在点Q 下方时，如图，
∴
13
3
CQ
CP
PQ
t cm
，
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同理，
13
3
t
t
，
解得
13
4
t
，
∵13
10
4
3
，
∴不符合题意；
综上所述，
15
4
t
．
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
【例19】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第
二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400 立方米，前360 立方米按2.53 元计算，后40 立方米按
2.78 元计算．
用气量（立方米）
单价（元）
第一档
0
360
（含）
2.53
第二档
360
600
（含）
2.78
第三档
600 以上
3.54
(1)李强家年用气量为440 立方米，李强家需交燃气费多少元？
(2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60 元，赵刚家年用气量是多少立方米？
【答案】(1)1133.20 元
(2)500 立方米
【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可．
（2）先计算600 立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600 立方
米，设赵刚家用气量为x 立方米，根据题意列出关于x 的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：
360 2.53
440
360
2.78
910.8 80 2.78
910.8
222.4
1133.20
＋
（元）
答：李强家需交燃气费1133.20 元．
（2）解：600 立方米用气量的总费用：360 2.53
240 2.78
910.8
667.2
1578
（元）
平均每立方米的费用：1578
600
2.63
（元）
2.60
2.63
，因此用气量不足600 立方米．
设赵刚家用气量为x 立方米．
360 2.53
360
2.78
2.6
x
x
910.8
2.78
1000.8
2.6
x
x
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2.78
2.6
1000.8
910.8
x
x
0.18
90
x
500
x
答：赵刚家年用气量是500 立方米．
【例20】为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下：
类别
每户每月用水量
3
/m
阶梯价格/（元
3
/m ）
第一阶梯
小于或等于
3
9m
a
第二阶梯
大于
3
9m 且小于或等于
3
15m
4
第三阶梯
大于
3
15m
5
该市某户居民2025 年12 月份的用水量为
3
6m ，缴纳水费18 元．
(1)表格中a 的值为________．
(2)若该户居民2026 年1 月份的用水量为
3
12m ，应缴纳水费多少元？
(3)若该户居民2026 年2 月份缴纳水费56 元，求该户居民2 月份的用水量．
【答案】(1)3
(2)39
(3)该户居民2 月份的用水量为
3
16m ．
【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据分段计算即可；
（3）先判断得出用水量超过
3
15m ，进入第三阶梯，设该户居民2 月份的用水量为
3
m
x
，由三段缴水费和为
56 元即可列方程求解．
【详解】（1）解：
18
6
3
a
（元
3
/m ）；
（2）解：用水量
3
12m 属于第二阶梯(大于
3
9m 且小于或等于
3
15m )，需分段计算：
第一阶梯
3
9m
：9 3
27
元，
第二阶梯
3
12
9
3m
：3 4
12
元，
总水费：27 12
39
元；
（3）解：第一阶梯
3
9m
水费：9 3
27
元，
第二阶梯
3
15
9
6m
水费：6 4
24
元，
前两阶梯总水费：27
24
51
元，
因为56
51
，所以用水量超过
3
15m ，进入第三阶梯，
设该户居民2 月份的用水量为
3
m
x
，
根据题意，得
27
24
15
5
56
x
，
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解得
16
x
．
答：该户居民2 月份的用水量为
3
16m ．
【技巧归纳】
阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。
列方程时，若已知总费用，先假设x 在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单
价。可用分段函数思想。
【变式10-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180 度时，
按每度0.5元计费；每月用电量超过180 度但又不超过280 度时，超过部分按每度0.6 元计费，每月用电超
过280 度的部分按每度0.8元计费．收费标准如下表：
月用量
不超过180 度
超过180 度不超过
280 度的部分
超过280 度的部分
收费标准（元/度）
0.5
0.6
0.8
(1)如果小李家每月交电费y 元，每月用电量为x 度，用含x 的代数式表示电费y 为：
当0
180
x
时，𝑦= ；
当180
280
x
＜
时，𝑦= ；
当
280
x＞
时，𝑦= ．
(2)小李家6 月份交电费138 元，求小李家6 月份用多少度电？
【答案】(1)0.5 0.6
18 0.8
74
x
x
x
；
-
；
-
(2)260 度
【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的函数关系式即可；
（2）根据（1）的结论；由交电费138 元可知在第二段，代入解析式可得用电量．
【详解】（1）解：当0
180
x
时，
0.5
y
x
；
当180
280
x
＜
时，
180 0.5
0.6
180
0.6
18
y
x
x
；
当
280
x＞
时，
180 0.5
0.6
280 180
0.8
280
0.8
74
y
x
x
．
（2）解：当
180
x
时，
0.5
90
y
x
（元）；
当
280
x
时，
0.6 280 18
150
y
（元）；
90 138 150
＜
＜
，
故用电量处于第二段，
由
138
y
时，得到0.6
18
138
x
，
解得：
260
x
．
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小李家6 月份用电260 度．
【变式10-2】小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、
谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公
司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择：
计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依
次类推，总电费等于各挡电费的总和；
计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段
减少的电费的总和．
居民用电分档
用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第一档
不超过230
0.5
第二档
超过230 且不超过420
0.55
第三档
超过420
0.8
表1
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
峰时段（8:00
22:00
－
）
0.03
（每度电在各挡电价基础上加价0.03元）
谷时段（22:00－次日8:00 ）
0.2
（每度电在各挡电价基础上降低0.2 元）
表2
(1)若小阳同学家选择计费方式一，1 月份用电量为330 度，求1 月份应缴电费；
(2)设小阳同学家某月的用电量为x 度，
230
x
，且峰时段用电量是谷时段用电量的4 倍，请用含x 的式子
表示两种计费方式应缴电费；
(3)小阳同学家在2025 年某月的电费为251.5 元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰
时段的用电量是谷时段的几倍？
【答案】(1)170 元
(2)“分档”计算电费：
0.55
11.5 230
420
0.8
116.5
420
x
x
x
x
，“分档+分时”计算电费：
0.534
11.5 230
420
0.784
116.5
420
x
x
x
x
(3)
20
3 倍
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意
230
x
，分420
230
x
和
420
x
两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段
用电量是谷时段用电量的4 倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可；
（3）根据电费为251.5 元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方
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式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y 的值，进而求出该月峰时段
的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
230 0.5
0.55
330
230
115
55
170
（元），
答：1 月份应缴电费170 元；
（2）解：
230
x
，
当420
230
x
时，则“分档”计算电费：
230 0.5
0.55
230
0.55
11.5
x
x
；
当
420
x
时，则“分档”计算电费：
230 0.5
0.55
420
230
0.8
420
0.8
116.5
x
x
，
“分档”计算电费：
0.55
11.5 230
420
0.8
116.5
420
x
x
x
x
，
峰时段用电量是谷时段用电量的4 倍，则峰时段用电量是4
5 x ，谷时段用电量是1
5 x ，
当420
230
x
时，则“分档+分时”计算电费：
4
1
0.55
11.5
0.03
0.2
0.534
11.5
5
5
x
x
x
x
；
当
420
x
时，则“分档+分时”计算电费：
4
1
0.8
116.5
0.03
0.2
0.784
116.5
5
5
x
x
x
x
，
“分档+分时”计算电费：
0.534
11.5 230
420
0.784
116.5
420
x
x
x
x
；
（3）解：
230 0.5
115
（元），
420
230
0.55
104.5
（元），115 104.5
219.5
（元），
219.5
251.5
，
251.5
219.5
0.8
40
（度），
小阳同学家在这个月的用电量为：230 190
40
460
（度），
设峰时段用电量为y 度，则谷时段的用电量为
460
y
度，
由题意得：
0.03
0.2 460
y
y
，
解得：
400
y
，
则460
400
60
（度），
20
400
60
3
，
答：该月峰时段的用电量是谷时段的
20
3 倍．
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一、单选题
1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20 道题，答对一题得7 分，答错一题倒扣4 分，王刚答完了
全部20 道题，得了63 分，他答对了（ ）道题．
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】D
【分析】先设王刚答对了x 道题，再根据题意列方程，即可解答．
【详解】解：设王刚答对了x 道题，则答错了(20−𝑥)道题，
由题意得，
7
4 20
63
x
x
，
解得，𝑥= 13，
即他答对了13道题．
2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：
有若干人乘车，若每3 人同乘一车，最终剩余2 辆空车；若每2 人同乘一车，最终剩下9 人因无车可乘而
步行．问有多少辆车？设共有x 辆车，则可以列出的方程为（ ）
A．3(𝑥+ 2) = 2𝑥−9
B．3(𝑥−2) = 2𝑥+ 9
C．3(𝑥+ 2) = 2𝑥+ 9
D．3(𝑥−2) = 2𝑥−9
【答案】B
【分析】分别用含x 的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程．
【详解】解：∵设共有x 辆车，总人数保持不变，且每3人乘一车，剩余2 辆空车，
∴实际使用(𝑥−2)辆车，
∴总人数可表示为3(𝑥−2)，
∵每2 人乘一车，剩余9人步行，
∴总人数可表示为2𝑥+ 9，
∴3(𝑥−2) = 2𝑥+ 9．
3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做8个，那么可比计划多做5个；
如果每人做6 个，那么将比计划少做4 个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做x 个“绣
球”，则可列方程为（ ）
A．
5
4
8
6
x
x
B．
5
4
8
6
x
x
C．8
5
6
4
x
x
D．8
5
6
4
x
x
【答案】A
【分析】文化小组的人数不变，根据两种制作情况，用计划做的绣球总数x 表示出小组人数，即可列出方
程．
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【详解】解：设该文化小组计划做x 个“绣球”，小组人数固定不变，
根据题意得
5
4
8
6
x
x
，
故选：A．
4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七
客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7 人，那么有7 人无房可住；如果每一间房
住9 人，那么恰好空出一间房．设共有客人x 人，根据题意可列出的方程是（ ）
A．
7
1
7
9
x
x
B．
7
1
7
9
x
x
C．7x+7＝9（x﹣1）
D．7x﹣7＝9（x+1）
【答案】A
【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数x 表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程．
【详解】解：设共有客人x 人，两种情况下房间总数不变．
∵ 每间房住7 人时，有7 人无房可住，
∴此住满房间的人数为𝑥−7，可得房间总数为
7
7
x
，
∵每间房住9 人时，空出1 间房，
∴实际使用房间数为
𝑥
9，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为
1
9
x ．
∵ 房间总数不变，
∴
7
1
7
9
x
x
．
5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美
矩形” ABCD ，其周长为26，则正方形d 的边长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】设正方形a、b、c、d 的边长分别为a、b、c、d，分别求得
1
3
b
c
，
3
5
c
d
，由“完美矩形” ABCD
的周长得4
2
26
d
c
，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d 的边长分别为a、b、c、d，
∵“完美矩形” ABCD 的周长为26，
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∴4
2
26
d
c
，
∵
2
a
b c
a
b d
a
c
,
,
，
∴
3
c
b
，则
1
3
b
c
，
∴
5
2
3
d
b
c
c
，则
3
5
c
d
，
∴
6
4
26
5
d
d
，
∴
5
d
，
∴正方形d 的边长为5．
二、填空题
6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是2 ∶7 ．学校给每个班级发放10根红色跳绳和42
根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下48根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______
根．
【答案】
288
1008
【分析】设学校共有x 个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳的
数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量．
【详解】设学校共有x 个班级．
由题意得 红色跳绳总数量为10
48
x
，蓝色跳绳总数量为42x ．
已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为2:7，可得方程
10
48 : 42
2:7
x
x
，
解得𝑥= 24，
∴红色跳绳数量为10 24
48
288
根，蓝色跳绳数量为42 24
1008
根．
7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3:0或3:1，则胜
队得3 分，负队得0 分；如果比分是3:2，则胜队得2 分，负队得1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连
续的自然数，则第一名的得分是______分．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为x ，
利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出x ，即可知道第一名的分数.
【详解】解：四支球队进行单循环比赛，
总比赛场为3 + 2 + 1 = 6（场）．
一场比赛的比分是3:0或3:1，则胜队得3 分，负队得0 分；比分是3:2，则胜队得2 分，负队得1 分,
每场比赛无论比分如何总得分均为3 分，
所有比赛总得分为18 分.
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比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为𝑥+ 1，𝑥+ 2，𝑥+ 3，
∴𝑥+ 𝑥+ 1 + 𝑥+ 2 + 𝑥+ 3 = 18，
∴𝑥= 3，
第一名得分是𝑥+ 3 = 3 + 3 = 6.
8．把9 个数放置到3 3
方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了
一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m 的值为
_________．
2
3
5
8
m
【答案】6
【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相
等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解m ．
【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为2 ，5，8，可得任意行、列、
对角线的和为：2
5
8
15
，
设第一行第一列的数为a ，
∵第一列三个数的和为15，
∴
3 8
15
a
，
解得𝑎= 4，
左上到右下的对角线三个数为a ，5，m ，和为15，
∴4
5
15
m
，
解得
6
m
．
9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究
这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3 3
表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相
等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x
y
的值为___________．
【答案】4
【分析】首先求出3 + (−2) + (−7) = −6，然后根据题意求出𝑥= −6−(−7)−4 = −3，𝑦= −6−(−2)−(−6)
= 2，然后代数求解即可．
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【详解】解：3 + (−2) + (−7) = −6
∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
∴𝑥= −6−(−7)−4 = −3
∴3 和x 中间的数为−6−3−(−3) = −6
∴𝑦= −6−(−2)−(−6) = 2
∴2𝑥+ 𝑦= 2 × (−3) +2 = −4．
故答案为：4
．
10．如图，在长方形ABCD 中，
6
AB
DC
cm
，
12cm
AD
BC
．有一动点𝑃从点A 出发以3cm/s 的速度
沿A
B
C
运动到点C 时停止．动点𝑄从点C 出发以2cm/s的速度在线段𝐶𝐵上沿C
B
方向向点𝐵运动，𝑃，
𝑄两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是st ．当t ________时，能使
2
PQ
CQ
cm
．
【答案】
16
7 或20
7 或16
3
【分析】分两种情况讨论：①当点𝑃在AB 上时，利用直角三角形斜边大于直角边的性质判断无解；②当点
𝑃在BC 上时，用含t 的代数式表示PQ 和𝐶𝑄的长，根据
2
PQ
CQ
列出绝对值方程求解，并检验t 的取值
范围．
【详解】解：由题意得，点𝑃运动的总时间为
(6 12)
3
6 s
，点𝑄运动的总时间为
12
2
6 s
，
所以0
6
t
．
当0
2
t
时，点𝑃在AB 上，点𝑄在BC 上，
在Rt PBQ
中，PQ
BQ
．
因为𝐶𝑄= 2𝑡，
12
2
BQ
BC
CQ
t
，
所以
12
2
2
12
4
PQ
CQ
BQ
CQ
t
t
t
．
因为0
2
t
，
所以12
4
4
t
．
所以
4
PQ
CQ
，即
4
PQ
CQ
，不符合题意．
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当2
6
t
时，点𝑃在BC 上，点𝑄在BC 上．
此时𝑃，𝑄两点都在线段BC 上运动，
点𝑃运动的路程为3t ，则
3
6
BP
t
，点𝑄运动的路程为2t ，则𝐶𝑄= 2𝑡．
因为𝐵𝐶= 12，
所以
12
(3
6)
18
3
PC
BC
BP
t
t
．
所以
18
3
2
18
5
PQ
PC
CQ
t
t
t
．
由
2
PQ
CQ
，得18
5
2
2
t
t
．
所以18
5
2
2
t
t
或18
5
2
2
t
t
．
即18
5
2
2
t
t
或18
5
2
2
t
t
．
①当18
5
2
2
t
t
时，18
5
2
2
t
t
或18
5
(2
2)
t
t
．
解得
16
7
t
或
20
3
t
．
因为2
6
t
，
所以
20
3
t
舍去，
16
7
t
符合题意．
②当18
5
2
2
t
t
时，18
5
2
2
t
t
或18
5
(2
2)
t
t
．
解得
20
7
t
或
16
3
t
．
因为2
6
t
，
所以
20
7
t
和
16
3
t
均符合题意．
综上所述，t 的值为16
7 或20
7 或16
3 ．
三、解答题
11．2025 年是新中国成立76 周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛
分单人独唱和双人合唱，共有18 组，30 名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？
【答案】单人独唱6 组；双人合唱12 组
【详解】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x 组，因为总组数是18 组，所以单人独唱的组数就是
(18－𝑥)组，再根据单人独唱每组1 人，双人合唱每组2 人，以及总共有30 名学生参加比赛这一条件，列
出方程2 × 𝑥+ 1 × (18−𝑥) = 30求解．
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【分析】解：设双人合唱有x 组，则单人独唱有(18－𝑥)组，根据人数关系可列方程：
2 × 𝑥+ 1 × (18−𝑥) = 30，
2𝑥+ 18−𝑥= 30，
𝑥+ 18−18 = 30−18
𝑥= 12，
将𝑥= 12代入18−𝑥，可得单人独唱的组数为18−12 = 6（组）
答：单人独唱有6 组，双人合唱有12 组．
12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146 米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负
责施工．甲工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工
作多少天？
【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10 天．
【分析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(𝑥−2)米，利用甲、乙两工程队3 天共掘进26 米
列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可．
【详解】解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(𝑥−2)米，
由题意得
2
2
26
x
x
x
，
解得
7
x
，
𝑥−2 = 5，
146
26 =10
7
5
（天），
答：甲乙两个工程队还需联合工作10 天．
13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50 人，其中男生人数比女生人数的2 倍还少19 人，劳技课
上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11 个或盒底22 个．
(1)七年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
【答案】(1)男生27 人，女生23 人
(2)2 名
【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可；
（2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2 倍，列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为x 人，则男生人数为
2
19
x
人，
根据题意，得
2
19
50
x
x
，
解得𝑥= 23，
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则2
19
2 23 19
27
x
，
答：七年级一班有男生27 人，女生23 人；
（2）解：设有m 名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为
23
m
人，做盒底的人数为
27
m
人，
盒身总数为
11 23
m
个，盒底总数为
22 27
m
个，
根据配套关系，得
22 27
2 11 23
m
m
，
解得
2
m
，
答：有2 名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400 元，因天气原因水果涨价，第二批所用资
金是2700 元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10 元，以致购买的数量比第一批少25%．
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40 元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批
水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降𝑎%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完
后仍赚了1716 元，求a 的值．
【答案】(1)第一批水果的单价是20 元，第二批水果的单价是30 元．
(2)30
【分析】（1）设第一批购进每箱单价为x 元，则第二批每箱单价为(𝑥+ 10)元，根据第二批数量比第一批
少25%，列方程求解．
（2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120 箱，且第一批无损耗则收入是4800 元；第二批的数量
90 箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的(1−20%)，则只能卖出72 箱．售价下降𝑎%，即
售价为40 × (1−𝑎%)元．总收入减去总成本(2400 + 2700)等于利润1716 元，列方程求解a ．
【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为x 元，则第二批每箱单价为(𝑥+ 10)元，
根据题意可得：2700:(𝑥+ 10) = 2400 × (1−25%):𝑥，即2700𝑥= 2400 × 0.75 × (𝑥+ 10)，
解得：
20
x
，
第二批单价：20 + 10 = 30（元），
答：第一批水果的单价是20 元，第二批水果的单价是30 元．
（2）解：第一批水果的购买数量：2400 ÷ 20 = 120（箱），
第一批水果的无损耗收入：40 × 120 = 4800（元），
第二批水果的购买数量：2700 ÷ 30 = 90（箱），
第二批水果的售出数量：90 × (1−20%) = 90 × 0.8 = 72（箱），
成本：2400 + 2700 = 5100（元），
根据题意可得：4800 + 72 × 40 × (1−𝑎%)−5100 = 1716，
解得：𝑎= 30，
答：a 的值是30．
15．如图，是某月的月历．
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(1)带阴影的十字框中的5 个数的和与十字框中间的数有什么关系？
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由．
(3)在该月的月历上用十字框框出5 个数，能使这5 个数的和为100 吗？
【答案】(1)带阴影的十字框中的5 个数的和是十字框中间的数的5 倍
(2)成立；理由如下：
假设中间数为x ，则上面的数是
1
x ，下面的数是𝑥+ 1，前面一个是𝑥−7，后面一个是𝑥+ 7，
(𝑥−1) + 𝑥+ (𝑥+ 1) + (𝑥−7) + (𝑥+ 7)
= 𝑥−1 + 𝑥+ 𝑥+ 1 + 𝑥−7 + 𝑥+ 7
= 5𝑥
5𝑥÷ 𝑥= 5
(3)不能
【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案；
（2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为𝑥,上面的数是
1
x ，下面的数是𝑥+ 1，前面一个是𝑥−7，
后面一个是𝑥+ 7，然后再计算这五个数的和即可；
（3）根据题意用未知数表示出框出5个数，根据这5个数的和为100列出方程解答即可．
【详解】（1）解：9 + 15 + 16 + 17 + 23 = 80
80 ÷ 16 = 5
答：带阴影的十字框中的5 个数的和是十字框中间的数的5 倍．
（2）略
（3）解：设中间数为x ．
5𝑥= 100
5𝑥÷ 5 = 100 ÷ 5
𝑥= 20
答：在该月历上，20 是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数．
16．列方程解应用题：
某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28 元，利润率为40%；花肥进价每包2 元，一包花肥
的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720 元，其中花肥的进货数量是金桔盆
栽的2 倍．
(1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？
(2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆
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金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于
金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m 元，进货数量增加了8 盆，售价不变；
花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m 包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4
元，求m 的值．
【答案】(1)30
(2)3
【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货
花费列方程求解；
（2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多
76.4 元列方程求解，验证条件后得到m 的值．
【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x 元，
由题意得
1
40%
28
(
)
x
，
解得
20
x
，
设花店第一次进货购进金桔盆栽y 盆，则购进花肥2y 包，
由题意得20
2 2
720
y
y
，
解得𝑦= 30．
答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30 盆．
（2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为2 30
60
（包），花肥售价为2
1
40
8
(
)
%
2.
（元），
第一次总利润为
30
28
20
60
2.8
2
240
48
288
（元），
第二次金桔盆栽进货数量为30
8
38
（盆），进价为(20−𝑚)元，第二次花肥进货数量为
60
2m
包，进
价为2 元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38 包，单独售卖的花肥数量为
60
2
38
22
2
m
m
（包），
由题意得：
38
28
20
2.8 22
2
2 60
2
288
76.4
m
m
m
，
整理得 245.6
39.6
364.4
m
，
解得
3
m
，
此时第二次花肥进货数量为60
2 3
66
38
，符合题意．
答：m 的值为3．
17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：
用水量
单价
不超过
3
6m 的部分
2 元/m3
超过
3
6m 不超过
3
10m 的部分
4 元/m3
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超出
3
10m 的部分
8 元/m3
譬如：某用户2 月份用水
3
8m ，则应缴水费：
2 6
4
8
6
20
(元)．
(1)某用户3 月用水
3
15m 应缴水费多少元？
(2)已知某用户4 月份缴水费24 元，求该用户4 月份的用水量；
(3)如果该用户5、6 月份共用水
3
20m (6 月份用水量超过5 月份用水量)，共交水费68元，则该户居民5、6
月份各用水多少立方米？
【答案】(1)68元；
(2)9m3；
(3)5 月份用水7m3，6 月份用水13m3
【分析】（1）用水量
3
15m 超过
3
10m ，需分三段计算水费：不超过
3
6m 的部分、
3
6m 到
3
10m 的部分、超过
3
10m
的部分，将各段费用相加得到总水费．
（2）先计算不同阶梯的费用上限，判断24 元对应的用水量区间，再设用水量为x ，根据阶梯计费规则列方
程求解．
（3）设5 月份用水量为x ，则6 月份为
20
x
，结合6 月份用水量超过5 月份得
10
x
，分三种情况讨论：
①5 月份用水量不超过
3
6m ；②5 月份用水量在
3
6m 到
3
10m 之间；③5 月份用水量超过
3
10m ，分别列方程
求解后验证是否符合假设条件，舍去矛盾解．
【详解】（1）解：∵用户3 月用水
3
15m ，根据阶梯收费标准分三段计算：
不超过
3
6m 的部分费用为2 × 6 = 12(元)，
3
6m 到
3
10m 的部分费用为
4
10
6
16
(元)，
超过
3
10m 的部分费用为
8
15 10
40
(元)，
∴总水费为12 16
40
68
(元)．
答：该用户3 月应缴水费68元．
（2）解：当用水量为
3
6m 时，水费为2 × 6 = 12(元)；
当用水量为
3
10m 时，水费为
2 6
4
10
6
12 16
28
(元)．
∵用户4 月缴水费24 元，12
24
28
，
∴该用户4 月用水量在
3
6m 到
3
10m 之间．
设该用户4 月用水量为
3
m
x
，根据题意列方程：
2 6
4
6
24
x
，
解得：
9
x
．
答：该用户4 月份的用水量为
3
9m ．
（3）解：设5 月份用水
3
m
x
，则6 月份用水
3
20
m
x
，
分三种情况讨论：
①若0 < 𝑥≤6，则20
14
x
，
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5 月份水费为2x 元，
6 月份水费为
2 6
4
10
6
8
20
10
108
8
x
x
元，
根据总水费列方程：
2
108
8
68
x
x
，解得
20
3
x
，
20
6
3
，与假设0 < 𝑥≤6矛盾，故该情况不成立．
②若6
10
x
，则10
20
14
x
，
5 月份水费为
2 6
4
6
4
12
x
x
元，
6 月份水费为
108
8x
元，
根据总水费列方程：
4
12
108
8
68
x
x
，解得
7
x
．
此时6 月份用水量为
3
20
7
13(m )
，满足题意，符合条件．
③若
10
x
，则20
10
x
，不满足6 月份用水量超过5 月份用水量．
答：该户居民5 月份用水
3
7m ，6 月份用水
3
13m ．
18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，
点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 两点之间的距离为：AB
a
b
．
【问题解决】如图，在数轴上，点A 表示−10，点B 表示11，点C 表示18．动点P 从点A 出发沿数轴正
方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度
的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
(1)当
2
t
时，线段OP 的长为 ；线段BQ 的长为 ；
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相遇？相遇点M 所对应的数是多少？
(3)在点Q 出发后到达点B 之前，求t 为何值时OP
BQ
；
(4)当t 为何值时，P、Q 两点间的距离
4
PQ
【答案】(1)4，5
(2)当
7
t
时，𝑃、𝑄两点相遇，相遇点M 所对应的数为11
(3)
3
2
t
或
17
4
t
(4)
6
t
或
8
t
【分析】（1）根据题意表示出点𝑃和点𝑄表示的数，进而求出
2
t
时点𝑃和点𝑄表示的数，再根据两点距离
计算公式即可；
（2）根据题意表示出点𝑃和点𝑄表示的数，然后当𝑃、𝑄两点相遇时列出方程求解即可；
（3）根据题意表示出OP ，BQ 的长度，然后根据OP
BQ
列方程求解即可；
（4）首先表示出𝑃𝑄的长度，然后根据
4
PQ
列方程求解即可．
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【详解】（1）解：动点𝑃从点A 出发沿数轴正方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点𝑄从
点C 出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，
点𝑃表示的数为10
3t
，点𝑄表示的数为18
t
，
当
2
t
时，点𝑃表示的数为10
3 2
4
，点𝑄表示的数为18
2
16
，
0
4
4
OP
，
11 16
5
BQ
．
（2）解：动点𝑃从点A 出发沿数轴正方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点𝑄从点C 出发，
沿数轴负方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，
点𝑃表示的数为10
3t
，点𝑄表示的数为18
t
，
当𝑃、𝑄两点相遇时，10
3
18
t
t
，
解得
7
t
，
相遇点M 所对应的数为10
3
10
3 7
11
t
，
当
7
t
时，𝑃、𝑄两点相遇，相遇点M 所对应的数为11．
（3）解：点𝑃表示的数为10
3t
，点𝑄表示的数为18
t
，
10
3
OP
t
，
18
11
7
BQ
t
t
，
当OP
BQ
时，
10
3
7
t
t
，
解得
3
2
t
或
17
4
t
，
当点Q 到达点B 时，18
11
t
，
解得
7
t
，
∴
3
2
t
或
17
4
t
都符合题意，
综上，
3
2
t
或
17
4
t
；
（4）解：点𝑃表示的数为10
3t
，点𝑄表示的数为18
t
，
18
( 10
3 )
18
10
3
28
4
PQ
t
t
t
t
t
，
当
4
PQ
时，则28
4
4
t
，
解得
6
t
或
8
t
．
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