第20讲一元一次方程的解法（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026秋《暑假自学课》7上数学（北师版）_第五章一元一次方程

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第20 讲 一元一次方程的解法
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
              
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
题型2 解一元一次方程--去括号
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
题型5 一元一次方程的错解复原问题
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
题型7 一元一次方程整数解问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元一次方程、解方程、
移项、去分母、去括号、
化归、x=a。
1. 理解一元一次方程的概念（含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。
2. 掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1。
3. 能熟练运用各步骤解一元一次方程，并检验方程的解是否正确。
4. 体会化归思想（将方程逐步转化为x=a 的形式），培养运算能力与严谨性。
学习重点：解一元一次方程的五个基本步骤及其顺序，特别是移项和去分母的规则。
学习难点：去分母时各项都要乘以公分母（特别是常数项易漏乘），去括号时符号的处理（括号前为
负号），以及移项时变号的正确性。
 
知｜识｜框｜架
.
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知识点01 一元一次方程的解法
◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含
有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
 （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
【易错提醒】
解一元一次方程易错警示：去分母时每项都乘公倍数（勿漏常数项）；去括号注意符号（负号变号）；移
项要变号；系数化1 时，若系数为负，勿忘两边同除以或乘。检验代入原方程。
 即时即练1．解一元一次方程．
(1) 



4 3
2
3
1
x
x



(2) 5
1
7
2
1
2
4
x
x




【答案】(1)
11
9
x 
(2)
4
3
x 
【详解】（1）解：



4 3
2
3
1
x
x



知｜识｜精｜讲
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去括号得：12
8
3
3
x
x


，
移项，合并同类项得：9
11
x 
，
系数化为1 得：
11
9
x 
；
（2）解：5
1
7
2
1
2
4
x
x




去分母得：


2 5
1
7
2
4
x
x




，
去括号得：10
2
7
2
4
x
x




，
移项，合并同类项得：3
4
x 
，
系数化为1 得：
4
3
x 
．
2．解下列方程：
(1) 3
1
2
3
4
4
x
x



；
(2) 1
1 2
1
3 x
x

；
(3) 1
1
3
5
2
4
x
x



；
(4)0.3
1.2
2
1.2
2.7
x
x
x




．
【答案】(1)𝑥= 1
(2)
0
x 
(3)
13
18
x 
(4)
0
x 
【详解】（1）解：3
1
2
3
4
4
x
x



，
移项得：3
1
3
2
4
4
x
x



，
合并得：𝑥= 1．
（2）解：1
1 2
1
3 x
x

，
移项得：1
2
1 1
3 x
x

，
合并得：
5
0
3 x


，
解得：
0
x 
．
（3）解：1
1
3
5
2
4
x
x



，
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去分母得：2
12
20
1
x
x


，
移项得：2
20
12 1
x
x


，
合并得：18
13
x


，
解得：
13
18
x 
．
（4）解：0.3
1.2
2
1.2
2.7
x
x
x




，
移项得：0.3
2.7
2
1.2 1.2
x
x
x




，
合并得：
0
x 
．
知识点02 一元一次方程的同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得
到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
【易错提醒】
同解方程易错警示：两个方程解相同。对方程变形（如两边同乘非零数、去括号、移项）所得方程与原方
程同解。注意：若两边同乘含未知数的式子可能产生增根或失根，需检验。勿随意放大缩小系数。
 即时即练1．若方程

3
6
2 a
x


与方程
3
2
x
x


同解，则a 的值是_____．
【答案】3
【分析】先求出第二个方程的解，把求出的
1
x 代入第一个方程得出

3
6
2 a
x


，再求出a 即可．
【详解】解：解方程
3
2
x
x


得：
1
x ，
即方程

3
6
2 a
x


的解也是
1
x ，
代入得：

3
1
6
2 a 

，
解得：𝑎= 3，
故答案为：3．
2．已知关于x 的方程

2
1
1
x
x


与

3
1
x
m
m


有相同的解x
n

．
(1)求m
n
，的值；
(2)求关于y 的方程3
3
3
2
my
m
n



的解．
【答案】(1)𝑚= −2，
1
n ；
(2)
21
4
y 
．
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【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未
知数的值是解题的关键．
（1）先求出方程

2
1
1
x
x


的解，得到
1
x
n

，再把这个解代入到方程

3
1
x
m
m


中得到关于m
的方程，据此求解即可；
（2）把𝑚= −2，
1
n 代入方程3
3
3
2
my
m
n



，解方程即可求解．
【详解】（1）解：

2
1
1
x
x


去括号得：2
2 1
x
x

，
移项得：2
2 1
x
x


，
合并得：
1
x
n

，
把𝑥= 1代入到方程

3
1
x
m
m


中得：

3 1
1
m
m


，
去括号得： 3
3
1
m
m


，
移项得：3
1
3
m
m

，
合并得：2
4
m ，
系数化为1 得：𝑚= −2；
（2）解：∵𝑚= −2，
1
n ，
∴关于y 的方程为3
2
2
3
3
2
y



，
整理得6
4
15
y


，
解得
21
4
y 
．
3．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程2
4

x
与方
程5
10
0
x 

的解都为
2
x 
，所以它们为同解方程．
(1)若方程
1
2
1
2
3
x
x



与关于x 的方程 


1
5
3
1
4
3
7
k
x
x



是同解方程，求k 的值．
(2)若关于x 的方程

2
1
5
x
a
x


与
1
3
4
x
a
a
x



＋
是同解方程，求a 的值．
(3)若关于x 的两个方程
3
6
m
x
x
mn



与
2
4
m
n
mn
x
x




是同解方程，试求






18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn





的值．
【答案】(1)
3
k 
(2)
2
a 
(3) 18

【分析】本题考查了同解方程，整体代入的数学思想，解决本题的关键是理解题意进行准确计算．
（1）根据方程
1
2
1
2
3
x
x



与 


1
5
3
1
4
3
7
k
x
x



是同解方程，即可求出k 的值；
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（2）根据方程

2
1
5
x
a
x


与
1
3
4
x
a
a
x



是同解方程，用含a 的式子表示x，即可求a 的值；
（3）根据方程
3
6
m
x
x
mn



与
2
4
m
n
mn
x
x




是同解方程，利用整体思想将得出的33
4
6
mn
m
n


，代
入






18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn





化简后的式子即可求值．
【详解】（1）解：解方程
1
2
1
2
3
x
x



，得
2
x ，
把
2
x 代入

1
5
3
1
4
3
7
k
x
x



，得




5
3
2
1
1 4
2
3
7
k 







，
解得：
3
k 
；
（2）解：由方程

2
1
5
x
a
x


，得
6
2
x
a


，
解方程
1
3
4
x
a
a
x



，得
7
12
x
a


，
由题意，得6
2
7
12
a
a



，
解得
2
a 
；
（3）解：由
3
6
m
x
x
mn



，得
2
6
3
m
mn
x


，
解
2
4
m
n
mn
x
x




，得
2
2
5
mn
m
n
x



，
由题意，得2
6
2
2
3
5
m
mn
mn
m
n




，
整理，得：33
4
6
mn
m
n


，






18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn





18
54
12
9
18
36
n
mn
m
mn
mn






99
18
12
18
mn
n
m




，
因为33
4
6
mn
m
n


，
所以


99
3 4
6
12
18
mn
m
n
m
n




，
所以99
18
12
18
12
18
18
12
18
18
mn
n
m
m
n
n
m









，
所以






18
3
3 4
3
18 1
2
18
n
mn
m
mn
mn






．
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
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【例1】解方程：
(1)7
2
20
x
x


；
(2)6
3
4
8
x
x


．
【答案】(1)
4
x 
(2)
2.5
x 
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
（1）按照解一元一次方程的一般步骤，先合并同类项，再把未知数的系数化为1 即可； 
（2）按照解一元一次方程的一般步骤，先移项，再合并同类项，然后把未知数的系数化为1 即可．
【详解】（1）解：7
2
20
x
x


，
合并同类项得：5
20
x 
，
系数化为1 得：
4
x 
．
（2）解：6
3
4
8
x
x


，
移项得：6
4
8
3
x
x

，
合并同类项得：2
5
x ，
系数化为1 得：
2.5
x 
．
【例2】解下列方程：
(1)8
2
7
x
x


；
(2)6
8
2x


；
(3)
1
1
2
3
2
2
y
y



．
【答案】(1)
7
6
x 
(2)
1
x


(3)
5
3
y 
【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1 即可；
（2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1 即可；
（3）先移项，再合并同类项，最后系数化为1 即可．
【详解】（1）解：移项得8
2
7
x
x

，
合并同类项得6
7
x ，
系数化为1 得
7
6
x 
；
（2）解：移项得2
8
6
x


，
合并同类项得2
2
x


，
系数化为1 得
1
x


；
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（3）解：移项得
1
1
2
3
2
2
y
y


，
合并同类项得3
5
2
2
y 
，
系数化为1 得
5
3
y 
．
【技巧归纳】
移项：将含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。合并同类项：将方程两边分别合并（ax=b
形式）。系数化为1：两边同除以未知数系数。步骤：去括号（如有）→移项→合并→系数化1。注意符号，
避免漏乘。检验代入原方程。
【变式1-1】解方程：
(1)3
2
4
2
x
x



；
(2)9
7
6
8
x
x


；
(3)3
7
32
2
x
x



；
(4)12
4
2.4
x


．
【答案】(1)𝑥= 6
(2)𝑥= 5
(3)𝑥= 5
(4)
2.4
x 
【分析】移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
【详解】（1）解：3
2
4
2
x
x



，
6
x 
；
（2）解：9
6
7
8
x
x


，
3
15
x 
，
𝑥= 5；
（3）解：3
2
32
7
x
x



，
5
25
x 
，
𝑥= 5；
（4）解：4
2.4
12
x



，
4
9.6
x


，
2.4
x 
．
【变式1-2】解下列方程：
(1)18
5
x


；
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(2) 2
1
5
7
x
x


；
(3)3
7
4
6
2
x
x
x



；
(4) 2
3
11 6
y
y



；
(5)
1
5
2
x
x


；
(6)10
5
11
5
2
y
y
y



．
【答案】(1)
13
x 
(2)
8
3
x 
(3)𝑥= 5
(4)𝑦= 1
(5)
6
x


(6)
10
y


【详解】（1）解：18
5
x


，
移项，得：
5 18
x 

，
解得：
13
x 
；
（2）解：2
1
5
7
x
x


，
移项，得：2
5
7 1
x
x


，
合并同类项，得：3
8
x


，
系数化为1，得：
8
3
x 
；
（3）解：3
7
4
6
2
x
x
x



，
移项，得：3
4
6
2
7
x
x
x



，
合并同类项得：𝑥= 5；
（4）解：2
3
11 6
y
y



，
移项，得：2
6
11 3
y
y


，
合并同类项，得：8
8

y
，
系数化为1，得：𝑦= 1；
（5）解：
1
5
2
x
x


，
移项，得：
2
5 1
x
x


，
合并同类项，得：
6
x

，
系数化为1，得：
6
x


；
（6）解：10
5
11
5
2
y
y
y



，
移项，得：10
11
2
5
5
y
y
y


，
合并同类项，得：
10
y


.
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题型2 解一元一次方程--去括号
【例3】解下列方程：
(1)


3
1
2 4
x


；
(2) 



3 2
5
2 4
3
1
x
x



．
【答案】(1)
5
x


(2)𝑥= 4
【详解】（1）解：去括号，得
3
1
8
2

x
移项及合并，得
2
10
x 
，
系数化为1，得
5
x


；
（2）解：



3 2
5
2 4
3
1
x
x




去括号，得
6
15
8
6 1
x
x



，
移项及合并，得
2
8
x 
系数化为1，得
𝑥= 4．
【例4】解方程
(1)4
3(20
)
6
7(11
)
y
y
y
y





；
(2)2(2
1)
2(
1)
3(
3)
x
x
x





．
【答案】(1)
17
6
y 
(2)
13
x 
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤求解即可；
（2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解：4
3(20
)
6
7(11
)
y
y
y
y





，
去括号，得4
60
3
6
77
7
y
y
y
y





，
移项，得4
3
6
7
77
60
y
y
y
y





，
合并同类项，得6
17
y


，
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系数化为1，得
17
6
y 
；
（2）解：2(2
1)
2(
1)
3(
3)
x
x
x





，
去括号，得4
2
2
2
3
9
x
x
x





，
移项，得4
2
3
9
2
2
x
x
x





，
合并同类项，得
13
x

，
系数化为1，得
13
x 
．
【技巧归纳】
去括号法则：括号前“+”直接去；括号前“-”各项变号；系数乘括号内每项。注意分配律，防止漏乘。
去括号后，移项合并。如3(x-2)=5→3x-6=5。多层括号从内向外去。去括号后检查符号和系数是否正确，可
代入验证。
【变式2-1】解下列方程：
(1) 



5
2
2 5
1
x
x



；
(2)



1
2
1
1
3
x
x
x




；
(3) 




2
2
4
1
3 1
x
x
x





．
【答案】(1)
12
5
x 
(2)
1
x


(3)𝑥= 6
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果；
（2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果；
（3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果．
【详解】（1）解：去括号得5
10
10
2
x
x


，
移项得5
10
2 10
x
x


，
合并同类项得5
12
x


，
系数化为1 得
12
5
x 
；
（2）解：去括号得
1
2
2
1 3
x
x
x



，
移项得
2
3
1 1 2
x
x
x



，
合并同类项得2
2
x ，
系数化为1 得
1
x


；
（3）解：去括号得2
4
4
1
3
3
x
x
x




，
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移项得2
4
3
3
4 1
x
x
x




，
合并同类项得𝑥= 6．
【变式2-2】解方程：
(1) 



2
1
2
5
2
x
x




；
(2) 3
2
4
3
2
3
3















x
．
【答案】(1)
6
7
x 
(2)
4
3
x 
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，
熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：



2
1
2
5
2
x
x




去括号得，2
2
2
5
10
x
x




移项得，2
5
2 10
2
x
x




合并同类项得，7
6
x 
系数化为1 得，
6
7
x 
；
（2）解：3
2
4
3
2
3
3















x
去括号得，3
1
2
3
2 x 
，
移项得，3
2
2 x 
，
系数化为1 得，
4
3
x 
．
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
【例5】解方程：
(1)
3
2
1
1
2
3
x
x




(2)
4
3
10
0.2
0.5
x
x




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【答案】(1)
17
x 
(2)
12
x 
【详解】（1）解：去分母得



3
3
2 2
1
6
x
x




，
去括号得3
9
4
2
6
x
x



，
移项合并得
17
x

，
解得
17
x 
；
（2）解：整理得


5
20
2
6
10
x
x




，
去括号得5
20
2
6
10
x
x




，
移项合并得3
36
x 
，
解得
12
x 
．
【例6】解下列方程：
(1) 5
1
7
8
4
x 
；
(2) 4
3
1
3
5
x
x



．
【答案】(1)
3
x 
(2)
11
2
x 
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】（1）解：去分母得5
1
2 7
x 
，
移项并合并同类项得5
15
x 
，
系数化为1 得
3
x 
；
（2）解：去分母得



5 4
3
3
15
x
x




，
去括号得20
5
3
9 15
x
x
-
=
-
-
，
移项并合并同类项得8
44
x 
，
系数化为1 得
11
2
x 
．
【技巧归纳】
去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数（LCM）。注意每一项都要乘，包括不含分母的项。分子是
多项式时加括号。去分母后去括号、移项、合并。如 (x+1)/2 - x/3 = 1，乘以6 得3(x+1)-2x=6。检验分母不
为0。注意整数项同样乘LCM。
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【变式3-1】解方程：
(1) 7
3
2
1.5
0.5
x
x


；
(2)
2
1
2
1
2
6
3
x
x




【答案】(1)
0
x 
(2)𝑥=
11
6
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：去分母，得：
7
3
3
3
x
x

，
移项，得：
7
3
3
3
x
x


，
合并同类项，得：
10
0
x 
，
系数化为1，得：
0
x 
；
（2）去分母，得：




12
2
1
2 2
1
x
x




，
去括号，得：
12
2
1
4
2
x
x



，
移项，得：
2
4
2 12 1
x
x




，
合并同类项，得：
6
11
x


，
系数化为1，得：
𝑥=
11
6 ．
【变式3-2】解方程：
(1)
7
3
3
10
1
8
4
x
x
x





；
(2) 1
1
2
(
1)
(
1)
2
2
3
x
x
x










【答案】(1)
21
x 
(2)
1
x 
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【详解】（1）解：
7
3
3
10
1
8
4
x
x
x





，
去分母得，8
(7
3 )
2(3
10)
8
x
x
x





，
去括号得，8
7
3
6
20
8
x
x
x





，
移项、合并同类项得，
21

x
，
系数化为1 得，
21
x 
．
（2）解：1
1
2
[
(
1)]
(
1)
2
2
3
x
x
x




，
去括号得，1
1
1
2
2
[
]
2
2
2
3
3
x
x
x




，
合并同类项得，1 1
1
2
2
[
]
2 2
2
3
3
x
x



，
去括号得，1
1
2
2
4
4
3
3
x
x



，
去分母得，3
3
8
8
x
x


，
移项、合并同类项得，5
5
x



，
系数化为1 得，
1
x ．
【变式3-3】解方程：
(1)
15
7
1
5
3
x
x



(2) 1
9
2
7
2
6
x
x



(3)


1
1 3
2
1
5
2
x
x



(4) 2
1
5
1
1
3
6
x
x




【答案】(1)
5
8
x 
(2)
20
3
x 
(3)
25
12
x 
(4)𝑥= −3
【详解】（1）解：去分母，得



3
15
15
5
7
x
x




．
去括号，得3
45
15
5
35
x
x




．
移项，得3
5
15
35
45
x
x




．
合并同类项，得8
5
x 
．
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方程的两边都除以8，得
5
8
x 
．
（2）解：去分母，得3
42
9
2
x
x



，
移项、合并同类项，得6
40
x


，
方程的两边都除以6
，得
20
3
x 
．
（3）解：去分母，得


2
5 3
2
10
x
x



，
去括号，得2
15 10
10
x
x



，
移项、合并同类项，得12
25
x 
，
方程的两边都除以12，得
25
12
x 
．
（4）解：去分母，得


2 2
1
5
1
6
x
x




，
去括号，得4
2
5
1
6
x
x



，
移项、合并同类项，得
3
x

，
方程的两边都除以－1，得𝑥= −3．
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
【例7】解方程：
1.2
0.3
1
0.3
0.2
x
x


 
【答案】
42
29
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括
号，移项、合并同类项即可解决．
【详解】解：
1.2
0.3
1
0.3
0.2
x
x


，
原方程化为：10
12
3
1
3
2
x
x


，
去分母，得：


20
6
3 12
3
x
x



，
去括号得：20
6
36
9
x
x



，
移项，得：20
9
6
36
x
x



，
合并同类项，得：29
42
x 
，
系数化为1，得
42
29
x 
．
【例8】解方程：
0 6
3
1
0 2
0 4
x
.
x
.
.


．
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【答案】
0.2
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一
元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x
a

形式转化．先化
整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】解：
0 6
3
1
0 2
0 4
x
.
x
.
.


，
方程整理得：
3 15
5
1
2
x
x


，
去分母得：10
2
3 15
x
x



，
移项合并得：25
5
x 
，
解得：
0.2
x 
．
【技巧归纳】
先将小数化分数（如0.5=1/2）或把分子分母同乘10、100 变为整数。也可直接给方程两边乘适当的10 的幂，
使所有系数变为整数，再去分母。注意每一项都要乘，不漏项。如0.2x-0.3=0.5→乘以10 得2x-3=5。解后
检验。
【变式4-1】解方程：0.2
0.1
0.3
0.1
1
0.3
0.6
x
x



；
【答案】
9
x 
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的
关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可；
【详解】解：0.2
0.1
0.3
0.1
1
0.3
0.6
x
x



，
整理得：2
1
3
1
1
3
6
x
x



，
去分母得：


2 2
1
3
1
6
x
x




，
去括号得：4
2
3
1
6
x
x



，
∴4
3
6
2 1
x
x



，
解得：
9
x 
；
【变式4-2】解方程
(1) 5 3
:
6 4
0.4
x

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(2) 2
65
14
3
0
0.03
0.3
0.02
x
x




【答案】(1)
4
9
x 
；
(2)
29
13
x 
．
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据比例的基本性质可得3
5
0.4
4
6
x 

，即可求解；
（2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1 即可．
【详解】（1）解：5 3
:
6 4
0.4
x

，
∴3
5
0.4
4
6
x 

，
∴3
4
1
3
x 
，
解得：
4
9
x 
；
（2）解：2
65
14
3
0
0.03
0.3
0.02
x
x




，
∴200
650
1400
300
0
3
3
2
x
x




，
∴


400
1300
3 1400
300
0
x
x




，
∴1300
2900
x 
，
解得：
29
13
x 
．
题型5 一元一次方程的错解复原问题
【例9】阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题：
2
3
5
2
3
4
x
x




解：



4 2
3
3
5
24
x
x




        （第一步）
8
12
3
15
24
x
x




                （第二步）
8
3
24 12 15
x
x




                （第三步）
5
27
x 
                            （第四步）
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27
5
x 
                            （第五步）
(1)第一步的步骤是______，依据是______．
(2)从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(3)请写出正确的解方程的过程．
(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条
建议．
【答案】(1)去分母，等式的基本性质；
(2)二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．
（1）根据一元一次方程的解法以及等式的基本性质作答即可；
（2）根据去括号法则作答即可；
（3）根据一元一次方程的解法和步骤计算即可；
（4）根据一元一次方程的解法和步骤作答即可．
【详解】（1）解：第一步的步骤是去分母，依据是等式的基本性质，
故答案为：去分母，等式的基本性质；
（2）解：从第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（3）解：2
3
5
2
3
4
x
x








4 2
3
3
5
24
x
x




8
12
3
15
24
x
x




8
3
24 12 15
x
x




5
3
x 
3
5
x 
；
（4）解：移项要注意变号（答案不唯一）．
【例10】下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务．
2
1
2
1
3
4
x
x



解：去分母得：4(2
1)
1
3(
2)
x
x



，……第一步
去括号得：8
4
1
3
6
x
x



，……第二步
_______得：8
3
1
6
4
x
x



，……第三步
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合并同类项得：11
1
x ，……第四步
系数化为1 得：
1
11
x 
……第五步
(1)以上解方程步骤中第三步进行的是________，这一步的依据是________；
(2)以上解题过程中，小马从第________步开始出错，错误的原因是________；
(3)请直接写出该方程正确的解________；
(4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议．
【答案】(1)移项，等式的基本性质1
(2)一，去分母时，1 漏乘12
(3)
10
11
x 
(4)去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
根据解一元一次方程的步骤，结合等式的基本性质进行解答即可．
【详解】（1）解：根据解方程的步骤，第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质1；
（2）解：根据解方程的步骤，小马从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，1 没有乘12；
（3）解：2
1
2
1
3
4
x
x



去分母得：4(2
1)
12
3(
2)
x
x




，
去括号得：8
4
12
3
6
x
x




，
移项得：8
3
12
6
4
x
x




， 
合并同类项得：11
10
x 
， 
系数化为1 得：
10
11
x 
；
（4）解：建议：去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号．
【技巧归纳】
从错误结果反推：将错解代入原方程（或错误变形后的方程），找到运算错误点（符号、漏乘、去分母漏
项）。再按正确步骤重解。常见错因：移项不变号、去分母漏乘、括号前负号。验证正解是否满足原方程。
分析差异。
【变式5-1】下面是小陈同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
1
2
2
2
5
y
y




．
解：去分母，得



5
1
20
2
2
y
y




．……………………………………第一步
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去括号，得5
5
20
2
4
y
y




．………………………………………………第二步
移项，得5
2
20
4
5
y
y




．…………………………………………………第三步
合并同类项，得7
29
y 
．………………………………………………………第四步
方程两边都除以7，得
29
7
y 
．…………………………………………………第五步
任务：
(1)以上求解过程中，第一步变形的依据是____________．
(2)以上求解过程中，第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
(3)请你写出该方程的正确解答过程．
【答案】(1)等式的性质2（或等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0 的数），所得结果仍是等式）
(2)二；去括号时，括号内的第二项没有变号
(3)过程见解析
【分析】本题考查解一元一次方程．
（1）根据等式的性质2 即可求解；
（2）根据去括号的法则即可求解；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解．
【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的性质2．
故答案为：等式的性质2．
（2）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号内的第二项没有变号．
故答案为：二；去括号时，括号内的第二项没有变号．
（3）解：
1
2
2
2
5
y
y




，
去分母得



5
1
20
2
2
y
y




，
去括号得5
5
20
2
4
y
y




移项得5
2
20
4
5
y
y




，
合并同类项得7
21
y 
，
方程两边都除以7，得𝑦= 3．
【变式5-2】复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：
解方程3
1
5
1
4
3
x
x



解：去分母，得



3 3
1
1
4
5
x
x



第①步
去括号，得12
3 1
4
20
x
x



第②步
习题2：
解方程：


2 3
1
3
8
x
x




解：去括号，得6
2
3
8
x
x




第①步
移项，得6
8
3
2
x
x



第②步
合并同类项，得5
3
x 
第③步
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移项，得12
4
20
3 1
x
x



第③步
合并同类项，得8
24
x 
第④步
系数化为1，得
3
x 
第⑤步
系数化为1，得：
3
5
x 
第④步
(1)习题1 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(2)习题2 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(3)从中任选一题，写出它的正确解答过程．
【答案】(1)①，去分母时常数项−1未乘分母的最小公倍数12
(2)②，移项时3
未变号
(3)选习题1 时，
7
x 
；选习题2 时，
9
5
x 
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
（1）去分母漏乘；
（2）移项时，部分数据未变号；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解：习题1 的解题过程从第①步开始出现错误，理由：去分母时常数项−1未乘分母的最小
公倍数12，
故答案为：①，去分母时常数项−1未乘分母的最小公倍数12
（2）解：习题2 的解题过程从第②步开始出现错误，理由：移项时3
未变号，
故答案为：②，移项时3
未变号；
（3）解：选习题1：3
1
5
1
4
3
x
x







3 3
1
12
4
5
x
x




9
3 12
4
20
x
x



9
4
20
3 12
x
x



5
35
x 
解得
7
x 
；
选习题2：


2 3
1
3
8
x
x




6
2
3
8
x
x




6
8
2
3
x
x




5
9
x 
，
解得
9
5
x 
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
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【例11】已知方程
1
7
ax 
与方程2
6
10
x 

的解相同，则a 的值为     ．
【答案】4
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一
元一次方程的一般步骤，可得2
6
10
x 

的解，把解代入方程
1
7
ax 
，解方程可得答案．
【详解】解：2
6
10
x 

解得：
2
x 
，
∵方程
1
7
ax 
与方程2
6
10
x 

的解相同，
∴把
2
x 
代入
1
7
ax 
得：2
1= 7
a 
，
解得：
4
a 
．
故答案为：4
【例12】若方程4
1
7
x 
与2
0
3
a
x



的解相同，则a 的值为        
．
【答案】8
【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查同解方程，先求出方程4
1
7
x 
的解，将其代入2
0
3
a
x



中，求出a 的值即可．
【详解】解：∵4
1
7
x 
，
∴
2
x 
，
把
2
x 
代入2
0
3
a
x



，得：
2
2
0
3
a 


，
解得：
8
a 
；
故答案为：8．
【技巧归纳】
两个方程同解：先解不含参数的方程，得到x 的值。再将x 代入含参数方程，求参数。或先将两个方程均
用参数表示解，令其相等。注意参数方程可能需分类讨论（如分母为0）。如ax+1=0 与2x+3=0 同解，先
解后者x=-1.5，代入前者求a。
【变式6-1】若关于x 的方程2
1
0
mx 
和3
1
2
1
x
x

有相同的解，则m         
．
【答案】
1
4

/ 0.25

【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于
字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程3
1
2
1
x
x

，把方程的解代入2
1
0
mx 
即
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可得到一个关于m 的方程，从而求得m 的值．
【详解】解：解方程3
1
2
1
x
x

得：
2
x 
，
把
2
x 
代入方程2
1
0
mx 
得：4
1
0
m 
，
解得：
1
4
m 
．
故答案为：
1
4

．
【变式6-2】若方程
4
2
8
3
2
x
x




的解与关于x 的方程4
(3
1)
6
2
1
x
a
x
a




的解相同，则a 的值
为         
．
【答案】4

【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可
求得a 的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
【详解】解：
4
2
8
3
2
x
x




，
去分母得



2
4
48
3
2
x
x




，
去括号2
8
48
3
6
x
x



，
移项合并得5
50
x 
，
解得得
10
x 
，
解4
(3
1)
6
2
1
x
a
x
a




，
移项合并得：2
5
x
a


，
解得
5
2
x
a

，
由题意得：
5 =10
2 a

，
解得
4
a ．
故答案为：4
．
题型7 一元一次方程整数解问题
【例13】若关于x 的方程2
(
1)
6
ax
a
x


的解为正整数，整数a 的值是      
．
【答案】2 或3 或4 或7
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】首先解方程表示出x 的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方
程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
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【详解】解：2
(
1)
6
ax
a
x


，
移项得：2
(
1)
6
ax
a
x


，
合并同类项得：(
1)
6
a
x


，
系数化为1 得：
6
1
x
a

，
关于x 的方程2
(
1)
6
ax
a
x


的解为正整数，

6
1
x
a

为正整数，
1
1
a
或
1
2
a 
或
1
3
a 
或
1
6
a 
2
a


或
3
a 
或
4
a 
或
7
a 
．
故答案为：2 或3 或4 或7
【例14】若关于x 的方程
3
2
1
ax
x


的解为正整数，则所有满足条件的整数a 的值为          
．
【答案】2
，0 和1
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于x 的一元一
次方程，然后根据
0
x 
，即可得到答案．
【详解】解：
3
2
1
ax
x


，
4
2
x
a



，
0
x

>
，
4
0
2
x
a




，
4
要为2
a

的倍数，
2
a

或0 或1．
故答案为：2
，0 和1．
【技巧归纳】
方程ax=b 有整数解，需a 整除b。若含参数，将解表示为x=b/a，再根据整除性求参数值。注意参数需使a
≠0。常利用因数分解，列出a 的因数。如(m-2)x=6 有整数解，则m-2 为6 的因数，可求m。检验解的正负。
【变式7-1】关于x 的一元一次方程
1
3
2
kx
x


的解为整数，则所有整数k 的和为      
．
【答案】8
【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把x 的系数化为1，表示出方程
的解，由方程的解为整数，确定出整数k 的值即可．
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【详解】解：
1
3
2
kx
x


kx
x



1
6
2
kx
x


2
5


k
x


2
5
x
k


5
2
解为整数，

3
k 
或
7
k 
或
3
k 或
1
k ，
则所有整数k 的和为




3
7
1
3
8，
故答案为：8 ．
【变式7-2】已知关于x 的方程
4
2
2
3
mx
x



的解是非负整数，则符合条件的所有整数m 的和
是          
．
【答案】6

【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m
的值，进而得出答案．
【详解】解：
4
2
2
3
mx
x



，
∴6
4
6
x
mx



，
∴6
4
6
x
mx



，
∴
10
6
x
m


，
方程
4
2
2
3
mx
x



的解是非负整数，
∴6
m

为1 或2 或5 或10，
m

的值为5
或4
或1
或4，
∴5
4 1
4
6


，
故答案为：6
．
一、单选题
1．解方程

2
1
3
4
x
x



，去括号正确的是（     ）
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A．2
1
3
4
x
x


B．2
2
3
4
x
x



C．2
1
3
4
x
x


D．2
2
3
4
x
x



【答案】B
【详解】解：

2
1
3
4
x
x



，
去括号得：2
2
3
4
x
x



．
2．已知关于x 的一元一次方程


1
3
2
m x
x
m



的解是
2
x 
，则m 的值为（     ）
A．2
B．3
C．6

D．0
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义，将已知解
2
x 
代入原方程，得到关于m 的一元一次方程，求解即可得到m
的值．
【详解】解：∵一元一次方程


1
3
2
m x
x
m



的解为
2
x 
，
∴将
2
x 
代入原方程，得


2 1
3 2
2
m
m


，
化简得
6
2
m
m


，
移项合并同类项得3𝑚= 6，
解得
2
m 
．
3．解方程
1
2
3
1
2
3
x
x



时，去分母正确的是（    ）
A．



3
1
2 2
3
1
x
x




B．



3
1
2 2
3
6
x
x




C．3
1 4
3
1
x
x



D．3
1 4
3
6
x
x



【答案】B
【分析】去分母时需要给方程每一项都乘以分母的最小公倍数，分子是多项式时要添加括号．
【详解】解：∵方程
1
2
3
1
2
3
x
x



的分母为2 和3，最小公倍数是6 ，
∴给方程两边同时乘6 去分母，得：



3
1
2 2
3
6
x
x




．
4．小明解方程2
1
1
5
2
x
x
a



时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的1
没有乘以10，由此求得的
解为
4
x 
，则方程2
1
1
5
2
x
x
a



正确的解是（   ）
A．
4
x 
B．
7
x 
C．
10
x 
D．𝑥= 13
【答案】D
【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数a 的值，再将参数a 的值代入原方程
求解，即可解题．
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【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的1
没有乘以10，
∴错误去分母得到的方程为：



2 2
1
5
1
x
x
a



，
将
4
x 
代入错误方程，得



2 2 4 1
5 4
1
a



，
解得
1
a ，
将
1
a 代入原方程，得2
1
1 1
5
2
x
x



，
两边同乘10 正确去分母，得



2 2
1
5
1
10
x
x




，
展开得4
2
5
5 10
x
x



，
移项合并得
13
x

，
解得𝑥= 13，
∴方程正确的解为𝑥= 13．
5．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
2026 x
x
b



的解为
3
x ，那么关于y 的一元一次方程




1
1
3
2
1
2026 y
y
b





的解为y （   ）
A．1
B．1

C．3

D．4

【答案】D
【分析】通过变量代换，将关于y 的方程转化为关于x 的方程的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设
1
z
y

，
则方程




1
1
3
2
1
2026 y
y
b





化为
1
3
2
2026 z
z
b


，
此方程与已知方程
1
3
2
2026 x
x
b



同解，
已知解为
3
x ，
故
3
z ，
即
1
3
y ，
解得𝑦= −4．
二、填空题
6．若𝑥+ 2与
8
x 互为相反数，则x ________．
【答案】3
【详解】解：
2
x 

与
8
x 互为相反数，
2
8
0
x
x




，
解得
3
x 
．
7．已知关于x 的方程4
2
5
1
x
m
x


的解与方程3
6
1
x
x

的解相同，则m 的值为________．
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【答案】
2
3
【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x 的值，再将x 代入含参数的方
程，即可求出参数m 的值．
【详解】解：解方程3
6
1
x
x

，
解得 
1
3
x 
．
解方程4
2
5
1
x
m
x


，
解得 
2
1
x
m

．
两个方程的解相同，
1
2
1
3
m



，解得 
2
3
m 
．
8．小明解方程2
1
1
3
2
x
x
a



时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
2
x 
，则方程正确的解x 
_____．
【答案】7
【分析】先根据小明错误的解法求出
1
a ，从而可得原方程为2
1
1
1
3
2
x
x



，再解一元一次方程即可得
出结果．
【详解】解：∵小明解方程2
1
1
3
2
x
x
a



时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
2
x 
，
∴



2 2
1
3
1
x
x
a



，
∴将
2
x 
代入



2 2
1
3
1
x
x
a



可得




2
2 2 1
3 2
1
a




，
解得：
1
a ，
∴原方程为2
1
1
1
3
2
x
x



，
去分母可得：



2 2
1
3
1
6
x
x




，
解得：
7
x 
．
9．对于任意实数m ，𝑛，定义一种运算：
1
m
n
mn
m
n




※
，例如3 ( 2)
3 ( 2)
3
( 2) 1
0




※
．请
根据上述定义解决问题：若
( 3)
2
x


※
，则x 的值为________．
【答案】1
【分析】根据新定义的运算规则列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：由


3
2
x


※
，可得：


3
3
1
2
x
x




，
整理得：2
4
2
x



，
移项合并同类项得：2
2
x

，
系数化为1得：
1
x ．
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10．若关于x 的方程
2
1
1
3
2
kx
x



的解是负整数，且k 也是整数，则满足条件的所有k 的值为
_________．
【答案】1
，1
【分析】先解关于x 的一元一次方程，用含k 的代数式表示出x ，根据方程的解是负整数，k 为整数，可知
2
3
k 是5的负因数，进而求出所有满足条件的k 的值．
【详解】解：
2
1
1
3
2
kx
x




去分母，得



2
2
3
1
6
kx
x




去括号，得2
4
3
3
6
kx
x




移项合并同类项，得

2
3
5
k
x


解得
5
2
3
x
k


方程的解x 是负整数，k 是整数
2
3
k


是5的负因数，即2
3
1
k 
或2
3
5
k 

当2
3
1
k 
时，
解得𝑘= 1，符合题意
当2
3
5
k 
时，
解得𝑘= −1，符合题意
故满足条件的所有k 的值为1
，1．
三、解答题
11．解方程：
(1)2
5
3
1
x
x


；
(2) 



2
4
3
5
x
x



；
(3) 2
1
2
3
1
3
4
x
x



．
【答案】(1)
6
x 
(2)
23
x 
(3)
7
2
x 
【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可．
（3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．
【详解】（1）解：2
5
3
1
x
x


，
移项得：2
3
1 5
x
x


，
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合并同类项得：
6
x
，
系数化为1得：
6
x 
；
（2）解：



2
4
3
5
x
x



，
去括号得：2
8
3
15
x
x



，
移项得：2
3
15
8
x
x



，
合并同类项得：
23
x

，
系数化为1得：
23
x 
；
（3）解：2
1
2
3
1
3
4
x
x



，
去分母得：



4 2
1
3 2
3
12
x
x




，
去括号得：8
4
6
9
12
x
x




，
合并同类项得：2
5
12
x 

，
移项得：2
7
x 
，
系数化为1得：
7
2
x 
．
12．解下列方程．
(1) 3
1
5
7
1
4
6
y
y



；
(2) 5
4
1
5
5
2
3
4
12
y
y
y






；
(3) 4
11
8
3
3
2
x
x



；
(4)1 2
3
1
3
3
7
x
x



．
【答案】(1)
1
y


(2)
4
7
y 
(3)
2
3
x


(4)
67
23
x 
【详解】（1）解：3(3
1) 12
2(5
7)
y
y




9
3 12
10
14
y
y



9
10
14
3 12
y
y



1
y


1
y


（2）解：4(5
4)
3(
1)
24
(5
5)
y
y
y






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20
16
3
3
24
5
5
y
y
y






23
13
29
5
y
y



28
16
y 
4
7
y 
（3）解：8
48
18
33
x
x



48
33
18
8
x
x




15
10
x
-
=
2
3
x


（4）解：7(1
2 )
3(3
1)
63
x
x




7 14
9
3
63



x
x
14
9
3
63
7





x
x
23
67
x


67
23
x 
13．在解方程
1
5
0.3
0.4
x
x 


时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法：
淇淇的解法：
利用分数的性质，
得10
5
5
5
3
2
x
x 


，
……
利用等式的性质，
得
1
1
3
4
2
x
x 


，
……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将
1
0.4
x 的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等
式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
【答案】(1)
5；
1
10；10
(2)
3
x 
【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果．
（2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解： 
1
0.4
x变形为5
5
2
x
，是将分子分母同时扩大为原来的5倍．
原方程
1
5
0.3
0.4
x
x


变形为
1
1
3
4
2
x
x


，是将等式两边同时乘
1
10或0.1，也可同时除以10得到，
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因此对应结果为5，
1
10或0.1，10．
（2）解：选择嘉嘉的解法进行计算
原方程变形得：10
5
5
5
3
2
x
x


 
两边同乘6 去分母得：20
3(5
5)
30
x
x



 
去括号得：20
15
15
30
x
x



 
移项合并同类项得：5
15
x 
 
系数化为1 得：
3
x 
若选择淇淇的解法，过程如下： 
原方程变形得：
1
1
3
4
2
x
x


 
两边同乘12 去分母得：4
3(
1)
6
x
x



 
去括号得：4
3
3
6
x
x



 
移项合并同类项得：
3
x 
．
14．已知代数式
4
7
A
x


，


3 2
B
x
m


，解答下列问题：
(1)若
3
m 
，则x 为何值时，代数式A 与B 相等？
(2)若关于x 的方程

1
1
3
1
5
2
x
x


的解使得A ，B 两个代数式的值互为相反数，求m 的值．
【答案】(1) x 的值为8 时，这两个代数式的值相等
(2)m 的值为9
【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解；
（2）先解出关于x 的方程，再根据关于x 的方程的解使得A ，B 两个代数式的值互为相反数，可得到关于
m 的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得



4
7
3 2
3
x
x



．
解这个方程，得𝑥= 8．            
答：x 的值为8 时，这两个代数式的值相等．
（2）解：解方程

1
1
3
1
5
2
x
x


，得
2
x 
．            
由代数式4
7
x 
和

3 2x
m

的值互为相反数，得：



4
7
3 2
0
x
x
m




．   
将
2
x 
代入上式中，得



8
7
3 4
0
m




 ．        
解这个方程，得
9
m 
．            
答：m 的值为9．
15．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程2𝑥= 4和3
6
0
x 

为“互逆方程”．
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(1)方程2
4
1
x
x


与2
10
x


  （填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x 的方程3
3
0
x 

与6
0
x
c


为“互逆方程”，求c 的值；
(3)若关于x 的方程2
3
2
0
x
m



和3
5
4
0
x
m



为“互逆方程”，求m 的值．
【答案】(1)是
(2)𝑐= 6
(3)
2
m 
【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断；
（2）求出方程3
3
0
x 

的解，然后根据定义得出方程6
0
x
c


的解，即可求出参数；
（3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解．
【详解】（1）解：方程2
4
1
x
x


与2
10
x


是“互逆方程”，理由如下：
解方程2
4
1
x
x


得，
5
x 
；
解方程2
10
x


得，
5
x


；
∵5和5
互为相反数，
∴方程2
4
1
x
x


与2
10
x


是“互逆方程”；
（2）解：3
3
0
x 

，
解得：𝑥= −1；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴6
0
x
c


的解为
1
x ，代入方程可得6
0
c


，
∴𝑐= 6；
（3）解：2
3
2
0
x
m



，
解得
3
2
2
m
x



；
3
5
4
0
x
m



，
解得
5
4
3
m
x


；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴3
2
5
4
0
2
3
m
m





， 
解得
2
m 
．
16．定义：若
1x ，
2x 分别是关于x 的方程P、方程Q 的解，且
1
2
x
x
n


（n 为非零常数），则称方程P 是
方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程
1
2
x 
的解是
1
3
x 
，方程
2
0
x 
的解是
2
2
x


，且


1
2
3
2
1
x
x



，
则称方程
1
2
x 
是方程
2
0
x 
的“1 阶伴生方程”．
(1)下列方程中是
3
1
x 
的“2 阶伴生方程”的是________（填写序号即可）；
①2
4
0
x 

；②1
4
3
3
x
x


；③3
15
0
x 

；
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(2)若方程
2
5
x 

是关于x 的方程3
6
x
k


的“4 阶伴生方程”，求k 的值；
(3)对任意满足4
1
0
k 
的k 值，关于x 的方程2
2
3
6
kx
a
x
bk




都是方程
2
1
6
2
x
x 

的“n 阶伴生方程”，
试判断8a
b

的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)①
(2)𝑘= −3
(3)8a
b

的值是定值，定值为48
【分析】（1）先求出方程
3
1
x 
的解，再根据“2 阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证；
（2）分别求出两个方程的解，再根据“4 阶伴生方程”的定义列方程求k 的值；
（3）分别求出两个方程的解，根据“n 阶伴生方程”的定义得到关于a 、b 的等式，进而判断8a
b

是否为定
值．
【详解】（1）解：∵
3
1
x 
，
∴
4
x 
．
由“2 阶伴生方程”定义，得𝑥1 + 𝑥2 = 2，则
2
2
4
2
x 

．
①解2
4
0
x 

2
4
x ，
2
x


，符合；
②1
4
3
3
x
x


2
4
3
3
x


，
2
x 
，不符合；
③3
15
0
x 

3
15
x 
，
5
x


，不符合．
故答案为：①；
（2）解：∵
2
5
x 

，
∴
3
x 
．
∵3
6
x
k


，3
6
x
k


，
∴
6
3
k
x


．
由“4 阶伴生方程”定义，得
6
3
4
3
k



，
解得𝑘= −3；
（3）解：
2
1
6
2
x
x 

，
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去分母：
3(
2)
6
x
x



，
∴
3
x 
．
2
2
3
6
kx
a
x
bk




， 
2(2
)
12
kx
a
x
bk




，
4
2
12
kx
a
x
bk




，
(4
1)
12
2
k
x
bk
a




，
∵4
1
0
k 
，
∴
12
2
4
1
bk
a
x
k




．
由题意，
12
2
3
4
1
bk
a
n
k





（𝑛为定值）
3(4
1) 12
2
(4
1)
k
bk
a
n
k






，
12
3 12
2
4
k
bk
a
nk
n





，
(12
)
(9
2 )
4
b k
a
nk
n





，
则
12
4
9
2
b
n
a
n






．
由9
2a
n

，得
2
9
n
a


，代入12
4
b
n


，
12
4(2
9)
b
a



，
12
8
36
b
a



，
8
48
a
b


，
故当任意满足4
1
0
k 
的k 值，8a
b

的值是定值，定值为48．
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