文档文本内容
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第20 讲 一元一次方程的解法
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
题型2 解一元一次方程--去括号
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
题型5 一元一次方程的错解复原问题
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
题型7 一元一次方程整数解问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元一次方程、解方程、
移项、去分母、去括号、
化归、x=a。
1. 理解一元一次方程的概念（含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。
2. 掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1。
3. 能熟练运用各步骤解一元一次方程，并检验方程的解是否正确。
4. 体会化归思想（将方程逐步转化为x=a 的形式），培养运算能力与严谨性。
学习重点：解一元一次方程的五个基本步骤及其顺序，特别是移项和去分母的规则。
学习难点：去分母时各项都要乘以公分母（特别是常数项易漏乘），去括号时符号的处理（括号前为
负号），以及移项时变号的正确性。
知｜识｜框｜架
.
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知识点01 一元一次方程的解法
◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含
有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
（2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
【易错提醒】
解一元一次方程易错警示：去分母时每项都乘公倍数（勿漏常数项）；去括号注意符号（负号变号）；移
项要变号；系数化1 时，若系数为负，勿忘两边同除以或乘。检验代入原方程。
即时即练1．解一元一次方程．
(1)
4 3
2
3
1
x
x
(2) 5
1
7
2
1
2
4
x
x
2．解下列方程：
(1) 3
1
2
3
4
4
x
x
；
(2) 1
1 2
1
3 x
x
；
知｜识｜精｜讲
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(3) 1
1
3
5
2
4
x
x
；
(4)0.3
1.2
2
1.2
2.7
x
x
x
．
知识点02 一元一次方程的同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得
到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
【易错提醒】
同解方程易错警示：两个方程解相同。对方程变形（如两边同乘非零数、去括号、移项）所得方程与原方
程同解。注意：若两边同乘含未知数的式子可能产生增根或失根，需检验。勿随意放大缩小系数。
即时即练1．若方程
3
6
2 a
x
与方程
3
2
x
x
同解，则a 的值是_____．
2．已知关于x 的方程
2
1
1
x
x
与
3
1
x
m
m
有相同的解x
n
．
(1)求m
n
，的值；
(2)求关于y 的方程3
3
3
2
my
m
n
的解．
3．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程2
4
x
与方
程5
10
0
x
的解都为
2
x
，所以它们为同解方程．
(1)若方程
1
2
1
2
3
x
x
与关于x 的方程
1
5
3
1
4
3
7
k
x
x
是同解方程，求k 的值．
(2)若关于x 的方程
2
1
5
x
a
x
与
1
3
4
x
a
a
x
＋
是同解方程，求a 的值．
(3)若关于x 的两个方程
3
6
m
x
x
mn
与
2
4
m
n
mn
x
x
是同解方程，试求
18
3
3 4
3
18 1
2
n
mn
m
mn
mn
的值．
题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项
【例1】解方程：
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(1)7
2
20
x
x
；
(2)6
3
4
8
x
x
．
【例2】解下列方程：
(1)8
2
7
x
x
；
(2)6
8
2x
；
(3)
1
1
2
3
2
2
y
y
．
【技巧归纳】
移项：将含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。合并同类项：将方程两边分别合并（ax=b
形式）。系数化为1：两边同除以未知数系数。步骤：去括号（如有）→移项→合并→系数化1。注意符号，
避免漏乘。检验代入原方程。
【变式1-1】解方程：
(1)3
2
4
2
x
x
；
(2)9
7
6
8
x
x
；
(3)3
7
32
2
x
x
；
(4)12
4
2.4
x
．
【变式1-2】解下列方程：
(1)18
5
x
；
(2) 2
1
5
7
x
x
；
(3)3
7
4
6
2
x
x
x
；
(4) 2
3
11 6
y
y
；
(5)
1
5
2
x
x
；
(6)10
5
11
5
2
y
y
y
．
题型2 解一元一次方程--去括号
【例3】解下列方程：
(1)
3
1
2 4
x
；
(2)
3 2
5
2 4
3
1
x
x
．
【例4】解方程
(1)4
3(20
)
6
7(11
)
y
y
y
y
；
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(2)2(2
1)
2(
1)
3(
3)
x
x
x
．
【技巧归纳】
去括号法则：括号前“+”直接去；括号前“-”各项变号；系数乘括号内每项。注意分配律，防止漏乘。
去括号后，移项合并。如3(x-2)=5→3x-6=5。多层括号从内向外去。去括号后检查符号和系数是否正确，可
代入验证。
【变式2-1】解下列方程：
(1)
5
2
2 5
1
x
x
；
(2)
1
2
1
1
3
x
x
x
；
(3)
2
2
4
1
3 1
x
x
x
．
【变式2-2】解方程：
(1)
2
1
2
5
2
x
x
；
(2) 3
2
4
3
2
3
3
x
．
题型3 解一元一次方程--去分母（整数）
【例5】解方程：
(1)
3
2
1
1
2
3
x
x
(2)
4
3
10
0.2
0.5
x
x
【例6】解下列方程：
(1) 5
1
7
8
4
x
；
(2) 4
3
1
3
5
x
x
．
【技巧归纳】
去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数（LCM）。注意每一项都要乘，包括不含分母的项。分子是
多项式时加括号。去分母后去括号、移项、合并。如 (x+1)/2 - x/3 = 1，乘以6 得3(x+1)-2x=6。检验分母不
为0。注意整数项同样乘LCM。
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【变式3-1】解方程：
(1) 7
3
2
1.5
0.5
x
x
；
(2)
2
1
2
1
2
6
3
x
x
【变式3-2】解方程：
(1)
7
3
3
10
1
8
4
x
x
x
；
(2) 1
1
2
(
1)
(
1)
2
2
3
x
x
x
【变式3-3】解方程：
(1)
15
7
1
5
3
x
x
(2) 1
9
2
7
2
6
x
x
(3)
1
1 3
2
1
5
2
x
x
(4) 2
1
5
1
1
3
6
x
x
题型4 解一元一次方程--去分母（小数）
【例7】解方程：
1.2
0.3
1
0.3
0.2
x
x
【例8】解方程：
0 6
3
1
0 2
0 4
x
.
x
.
.
．
【技巧归纳】
先将小数化分数（如0.5=1/2）或把分子分母同乘10、100 变为整数。也可直接给方程两边乘适当的10 的幂，
使所有系数变为整数，再去分母。注意每一项都要乘，不漏项。如0.2x-0.3=0.5→乘以10 得2x-3=5。解后
检验。
【变式4-1】解方程：0.2
0.1
0.3
0.1
1
0.3
0.6
x
x
；
【变式4-2】解方程
(1) 5 3
:
6 4
0.4
x
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(2) 2
65
14
3
0
0.03
0.3
0.02
x
x
题型5 一元一次方程的错解复原问题
【例9】阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题：
2
3
5
2
3
4
x
x
解：
4 2
3
3
5
24
x
x
（第一步）
8
12
3
15
24
x
x
（第二步）
8
3
24 12 15
x
x
（第三步）
5
27
x
（第四步）
27
5
x
（第五步）
(1)第一步的步骤是______，依据是______．
(2)从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(3)请写出正确的解方程的过程．
(4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条
建议．
【例10】下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务．
2
1
2
1
3
4
x
x
解：去分母得：4(2
1)
1
3(
2)
x
x
，……第一步
去括号得：8
4
1
3
6
x
x
，……第二步
_______得：8
3
1
6
4
x
x
，……第三步
合并同类项得：11
1
x ，……第四步
系数化为1 得：
1
11
x
……第五步
(1)以上解方程步骤中第三步进行的是________，这一步的依据是________；
(2)以上解题过程中，小马从第________步开始出错，错误的原因是________；
(3)请直接写出该方程正确的解________；
(4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议．
【技巧归纳】
从错误结果反推：将错解代入原方程（或错误变形后的方程），找到运算错误点（符号、漏乘、去分母漏
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项）。再按正确步骤重解。常见错因：移项不变号、去分母漏乘、括号前负号。验证正解是否满足原方程。
分析差异。
【变式5-1】下面是小陈同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
1
2
2
2
5
y
y
．
解：去分母，得
5
1
20
2
2
y
y
．……………………………………第一步
去括号，得5
5
20
2
4
y
y
．………………………………………………第二步
移项，得5
2
20
4
5
y
y
．…………………………………………………第三步
合并同类项，得7
29
y
．………………………………………………………第四步
方程两边都除以7，得
29
7
y
．…………………………………………………第五步
任务：
(1)以上求解过程中，第一步变形的依据是____________．
(2)以上求解过程中，第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．
(3)请你写出该方程的正确解答过程．
【变式5-2】复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：
解方程3
1
5
1
4
3
x
x
解：去分母，得
3 3
1
1
4
5
x
x
第①步
去括号，得12
3 1
4
20
x
x
第②步
移项，得12
4
20
3 1
x
x
第③步
合并同类项，得8
24
x
第④步
系数化为1，得
3
x
第⑤步
习题2：
解方程：
2 3
1
3
8
x
x
解：去括号，得6
2
3
8
x
x
第①步
移项，得6
8
3
2
x
x
第②步
合并同类项，得5
3
x
第③步
系数化为1，得：
3
5
x
第④步
(1)习题1 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(2)习题2 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(3)从中任选一题，写出它的正确解答过程．
题型6 利用一元一次方程同解问题求解
【例11】已知方程
1
7
ax
与方程2
6
10
x
的解相同，则a 的值为 ．
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【例12】若方程4
1
7
x
与2
0
3
a
x
的解相同，则a 的值为
．
【技巧归纳】
两个方程同解：先解不含参数的方程，得到x 的值。再将x 代入含参数方程，求参数。或先将两个方程均
用参数表示解，令其相等。注意参数方程可能需分类讨论（如分母为0）。如ax+1=0 与2x+3=0 同解，先
解后者x=-1.5，代入前者求a。
【变式6-1】若关于x 的方程2
1
0
mx
和3
1
2
1
x
x
有相同的解，则m
．
【变式6-2】若方程
4
2
8
3
2
x
x
的解与关于x 的方程4
(3
1)
6
2
1
x
a
x
a
的解相同，则a 的值
为
．
题型7 一元一次方程整数解问题
【例13】若关于x 的方程2
(
1)
6
ax
a
x
的解为正整数，整数a 的值是
．
【例14】若关于x 的方程
3
2
1
ax
x
的解为正整数，则所有满足条件的整数a 的值为
．
【技巧归纳】
方程ax=b 有整数解，需a 整除b。若含参数，将解表示为x=b/a，再根据整除性求参数值。注意参数需使a
≠0。常利用因数分解，列出a 的因数。如(m-2)x=6 有整数解，则m-2 为6 的因数，可求m。检验解的正负。
【变式7-1】关于x 的一元一次方程
1
3
2
kx
x
的解为整数，则所有整数k 的和为
．
【变式7-2】已知关于x 的方程
4
2
2
3
mx
x
的解是非负整数，则符合条件的所有整数m 的和
是
．
一、单选题
1．解方程
2
1
3
4
x
x
，去括号正确的是（ ）
A．2
1
3
4
x
x
B．2
2
3
4
x
x
C．2
1
3
4
x
x
D．2
2
3
4
x
x
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2．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
m x
x
m
的解是
2
x
，则m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．0
3．解方程
1
2
3
1
2
3
x
x
时，去分母正确的是（ ）
A．
3
1
2 2
3
1
x
x
B．
3
1
2 2
3
6
x
x
C．3
1 4
3
1
x
x
D．3
1 4
3
6
x
x
4．小明解方程2
1
1
5
2
x
x
a
时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的1
没有乘以10，由此求得的
解为
4
x
，则方程2
1
1
5
2
x
x
a
正确的解是（ ）
A．
4
x
B．
7
x
C．
10
x
D．𝑥= 13
5．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
2026 x
x
b
的解为
3
x ，那么关于y 的一元一次方程
1
1
3
2
1
2026 y
y
b
的解为y （ ）
A．1
B．1
C．3
D．4
二、填空题
6．若𝑥+ 2与
8
x 互为相反数，则x ________．
7．已知关于x 的方程4
2
5
1
x
m
x
的解与方程3
6
1
x
x
的解相同，则m 的值为________．
8．小明解方程2
1
1
3
2
x
x
a
时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
2
x
，则方程正确的解x
_____．
9．对于任意实数m ，𝑛，定义一种运算：
1
m
n
mn
m
n
※
，例如3 ( 2)
3 ( 2)
3
( 2) 1
0
※
．请
根据上述定义解决问题：若
( 3)
2
x
※
，则x 的值为________．
10．若关于x 的方程
2
1
1
3
2
kx
x
的解是负整数，且k 也是整数，则满足条件的所有k 的值为
_________．
三、解答题
11．解方程：
(1)2
5
3
1
x
x
；
(2)
2
4
3
5
x
x
；
(3) 2
1
2
3
1
3
4
x
x
．
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12．解下列方程．
(1) 3
1
5
7
1
4
6
y
y
；
(2) 5
4
1
5
5
2
3
4
12
y
y
y
；
(3) 4
11
8
3
3
2
x
x
；
(4)1 2
3
1
3
3
7
x
x
．
13．在解方程
1
5
0.3
0.4
x
x
时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法：
淇淇的解法：
利用分数的性质，
得10
5
5
5
3
2
x
x
，
……
利用等式的性质，
得
1
1
3
4
2
x
x
，
……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将
1
0.4
x 的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等
式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
14．已知代数式
4
7
A
x
，
3 2
B
x
m
，解答下列问题：
(1)若
3
m
，则x 为何值时，代数式A 与B 相等？
(2)若关于x 的方程
1
1
3
1
5
2
x
x
的解使得A ，B 两个代数式的值互为相反数，求m 的值．
15．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程2𝑥= 4和3
6
0
x
为“互逆方程”．
(1)方程2
4
1
x
x
与2
10
x
（填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x 的方程3
3
0
x
与6
0
x
c
为“互逆方程”，求c 的值；
(3)若关于x 的方程2
3
2
0
x
m
和3
5
4
0
x
m
为“互逆方程”，求m 的值．
16．定义：若
1x ，
2x 分别是关于x 的方程P、方程Q 的解，且
1
2
x
x
n
（n 为非零常数），则称方程P 是
方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程
1
2
x
的解是
1
3
x
，方程
2
0
x
的解是
2
2
x
，且
1
2
3
2
1
x
x
，
则称方程
1
2
x
是方程
2
0
x
的“1 阶伴生方程”．
(1)下列方程中是
3
1
x
的“2 阶伴生方程”的是________（填写序号即可）；
①2
4
0
x
；②1
4
3
3
x
x
；③3
15
0
x
；
(2)若方程
2
5
x
是关于x 的方程3
6
x
k
的“4 阶伴生方程”，求k 的值；
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(3)对任意满足4
1
0
k
的k 值，关于x 的方程2
2
3
6
kx
a
x
bk
都是方程
2
1
6
2
x
x
的“n 阶伴生方程”，
试判断8a
b
的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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