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第21 讲 一元一次方程的应用
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 一元一次方程的应用之古代问题
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
实际问题、一元一次方
程、等量关系、建模、
行程问题、配套问题、
检验。
1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世
界的有效模型。
2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。
3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。
4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，
培养分析问题、解决问题的能力。
学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。
学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问
题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。
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知识点01 一元一次方程的应用
1.列一元一次方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
【易错提醒】
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如
人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。
即时即练1．列方程解决问题：
我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十
四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6 竿，
多14 竿；每人8 竿，少2 竿．”求共有多少个牧童？
2．某超市第一次用3100 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的
1
3多15 件，甲、乙两
种商品的进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
12
20
售价（元/件）
19
30
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次
的4 倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的
50%）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850 元，则以五折售出的乙商品有多少件？
3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G 套餐”，计费方式如下：
套餐类别
套餐一
套餐二
通话不超时且流量不
超量
通话120 分钟及以下，
流量10GB 及以下，各
种费用月费共计60元．
通话200 分钟及以下，
流量18GB 及以下，各
种费用月费共计100
元．
通话超时或上网超量
通话超时部分加收
0.2 元/分；流量超量部
分加收2.5 元/GB ．
通话超时部分加收
0.18元/分：流量超量
部分加收2 元/GB ．
(1)若10 月小宁通话时间为200 分钟，上网流量为20GB ，则按“套餐一”计费需要多少费用？
(2)若11 月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为23GB 且费用共计128 元，则该月小宁通话时间为多
少分钟？
(3)若12 月小宁的通话时间为250 分钟，上网流量超过18GB ，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？
若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由．
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题型1 一元一次方程的应用之古代问题
【例1】（用一元一次方程解应用题）
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马
先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马
先走12天，求快马几天可以追上慢马．
【例2】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，
即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是1.9斗），店务经四处，没了壶中
酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？
【技巧归纳】
用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三
三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否
符合题意。通常为一次方程。
【变式1-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十
一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那
么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你
列一元一次方程解决这个问题．
【变式1-2】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给
你2 头羊，余下的
1
9给你妻子；老二，再给你3 头羊，再余下的
1
9给你妻子；……”说完，老人就去世了．已
知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1 头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小
家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？
题型2 一元一次方程的应用之销售问题
【例3】某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1 元，数量少了5 本．设
第一批单价为x 元．
(1)用含x 的代数式表示两批进货数量；
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(2)若第一批单价为4 元，求两次一共购进笔记本多少本．
【例4】某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45 名工人，
平均每人每天生产100 个镜框或160 个镜腿．
(1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
(2)某眼镜商店以每副80 元的价格购进了100 副镜架，提高50%后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出
了90 副，若想在销售完这100 副镜架后总获利8%，则剩余的镜架应打几折出售？
【技巧归纳】
关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根
据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解
后检验合理性。
【变式2-1】为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用6000 元购进本地特色的甲、乙两
种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的1
2 倍多15件，两种农产品的进价和售
价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设）
农产品
甲（特色果蔬）
乙（手工杂粮）
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
(1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？
(2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？
(3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数
是第一次的3倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次
全部售完后获得的总利润比第一次多180元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？
【变式2-2】某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90 个，每个篮球售价为160
元，比每个足球的售价多60%．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为5 4
∶．
(1)每个足球的售价是多少元？
(2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个
价格销售商城还有20%的利润．每个篮球的进价是多少元？
(3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下：
方案一：按原价购买，购物总费用打九折；
方案二：按原价购买，每买4 个足球赠送1 个篮球，不足4 个足球不赠送；
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方案三：按原价购买，购物超过2000 元的部分每满300 元减30 元．
通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？
题型3 一元一次方程的应用之方案问题
【例5】学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200 名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台
山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600 元，票价信息如下表：
地点
学生票价
磁山“红色革命纪念馆
20 元/人
烟台山“人民纪念碑”
15 元/人
(1)参观两个景点的学生各有多少名？
(2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？
【例6】商店A 型号笔记本电脑的售价是1000 元/台，最近，该商店对A 型号笔记本电脑举行促销活动，
有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5 台，每台按售价销售；若
购买量超过5 台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A 型号笔记本电脑x
台．
(1)当𝑥= 8时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
(2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？
【技巧归纳】
将两种方案费用表示为含x 的一次式，令相等得临界值。根据x 的范围选择最优方案。若比较大小，列不
等式。注意分类讨论：如x 为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅
助决策。解后验证端点值。
【变式3-1】某商店有A、B 两种型号的节能灯，店主统计了3 天的产品销售情况，如表：
统计日期
售出A 型节能灯个数
售出B 型节能灯个数
总售价
6 月15 日
0
1
50
6 月16 日
1
2
200
6 月17 日
5
5
750
(1)根据上表数据可得B 型节能灯的单价 ．
(2)根据上表数据，求A 型节能灯的单价．
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(3)若商家A、B 两种型号的节能灯共售出15 个，总售价为1300 元．那么售出的两种型号的节能灯各多少
个？
【变式3-2】刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为60 千瓦时．目前有两种充电方案可
供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为2700 元，每千瓦时电费为0.5元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为1.5元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加1千瓦时的电量，需充入1.2千瓦时的电．假设电池
的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电60 千瓦时行驶至30千瓦时时，对应的行驶里程为300千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从30千瓦时充至满电60 千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
题型4 一元一次方程的应用之配套问题
【例7】某眼镜厂家的一个车间共有22 名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12 个镜架或20 片镜片，一
副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套．
(1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？
(2)若每副眼镜的成本为150 元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？
【例8】某车间每天能生产甲种零件180 个或乙种零件60 个，若2 个甲种零件与1 个乙种零件配成一套，
那么要使50 天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
【思路分析】：
(1)设安排生产甲种零件x 天，则安排生产乙种零件
50
x
天，那么x 天共生产甲种零件 个，
50
x
天共
生产乙种零件 个；（用含x 的代数式表示）
(2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2 倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程．
【技巧归纳】
设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2 配套，设生产螺栓x 个，则螺母2x 个。
注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，
解出后验证是否符合题中比例。
【变式4-1】六年级一班共有学生52人，其中男生人数比女生人数多4人，劳动课上，老师组织同学们自己
动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22 个．
(1)六年级一班有男生和女生各多少人？
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(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
【变式4-2】完成如下项目式学习表
情境挖掘
眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用
品．
素材整合
某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而
成．工厂现共有45 名工人，平均每人每天生产100 个镜框或160 个镜腿．
任务解决：
(1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？
(2)任务二：某店家以每副80 元的价格购进一批镜架，提高50%后标价．求每一副镜架的标价是多少？
(3)任务三：该店家购进了100 副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60 副后打折销售，结果销售完这100
副镜架后仍获利2560 元，求剩余的镜架打几折出售？
题型5 一元一次方程的应用之工程问题
【例9】解答下列问题：
(1)师徒两人检修一条长180m 的自来水管道，师傅每小时检修15m，徒弟每小时检修10m．现两人合作，多
少时间可以完成整条管道的检修？
(2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要10h，徒弟单独完成需要15h ．现两人合作，需要多少小
时完成？
【例10】师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8 小时，徒弟单独完成需要12 小时．现在先由
徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5 小
时．
(1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？
(2)完成任务后共得劳动报酬1200 元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少
元？
【技巧归纳】
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将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲
单独x 天，乙单独y 天，合作t 天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否
为正。
【变式5-1】某市新区现有一段长为180 米的河堤整治任务由A、B 两个工程队先后接力完成，已知A 工程
队每天整治12 米，B 工程队每天整治8 米，此工程共用时20 天．求A，B 两个工程队各工作了多少天？
(1)若设A 工程队工作了x 天，则B 工程队工作了 天（用含x 的代数式表示）；
(2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题．
【变式5-2】某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000 平方米路面改
造．其中甲队每天完成200 平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，甲队施工一天需付工程款0.8
万元，乙队施工一天需付工程款1.1万元．
(1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5 天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数；
(2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？
题型6 一元一次方程的应用之行程问题
【例11】小明、小杰两人在400 米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280 米，小杰每分钟跑220 米．若
小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
【例12】A、B 两地间相距30km ，甲从A 地出发匀速前往B 地，甲的速度为4 千米/时，乙的速度为3 千米
/时，甲出发30 分钟后，乙从B 地出发，沿同一条公路匀速前往A 地，问：乙出发多长时间两人相遇？
【技巧归纳】
基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速
度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检
验是否满足实际。
【变式6-1】甲站和乙站相距1500km ，一列慢车从甲站开出，速度为60km / h ，一列快车从乙站开出，速度
为90km / h ．
(1)若两车相向而行，慢车先开30min ，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km ？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km （快车在慢车的后面）？
【变式6-2】已知在数轴上点A 表示的数为8，B 在A 点左侧，且A，B 两点间的距离为14．动点P 从点A
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出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从B 点向右运动，速度为每秒2 个单位，PQ
同时出发，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)数轴上点B 表示的数是______；当点P 运动到AB 的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P 和点Q 运动多少秒时，点P 和点Q 第一次相遇？
②当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为6 个单位长度？
题型7 一元一次方程的应用之数字问题
【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是
99，原两位数是 ．
【例14】一个三位数，已知十位数字是0，个位数字是百位数字的3倍．现将这个三位数的个位数字与百位
数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是1212．设原三位数的百位数字是𝑥．
(1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x 的代数式表示）
(2)列方程求解原三位数．
【技巧归纳】
设个位或十位数字为x，用10a+b 表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限
制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。方
程组思想。
【变式7-1】将奇数1至2025 按照顺序排成下表：
记
mn
P 表示第m 行第n 个数，如
23
P 表示第2 行第3个数是17 ．
(1)
43
P ；
(2)将表格中的4 个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4 个数之和能否等于100．若能，求出4 个数中
的最大数；若不能，请说明理由；
(3)用m 、n 的式子表示
mn
P
；
(4)若
2021
mn
P
，求m 、n 的值．
【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1 个至第4 个台阶上依次标着5
，
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2
，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．
(1)前4 个台阶上的数的和是多少？
(2)第5 个台阶上的数x 是多少？
(3)试用含k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
题型8 一元一次方程的应用之比赛问题
【例15】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分：
球队
比赛场数
胜场
负场
积分
敬业
9
5
4
14
诚信
9
4
5
13
(1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？
(2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？
【例16】某电视台组织知识竞赛，共20 道选择题，每题必答，如表记录了3 个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64
(1)由表中的数据可知：答对1 题得________分，答错1 题得________分；
(2)小婷得76 分，她分别答对了几道题、答错了几道题？
(3)小明说他得了80 分，你认为可能吗？为什么？
【技巧归纳】
积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x 场，平y 场，负z 场，根据总场数列x+y+z=N，
再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。
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常见于循环赛。
【变式8-1】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根
据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为：
奖项
获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖）
金奖
两个项目得分之和不低于110 分，且至少一个项目得分达到65 分
银奖
两个项目得分之和不低于110 分
参与奖
完成全部两个项目的活动
在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为4:3；正式计分中，“编
程挑战”得分比体验时提高了9 分，“手工创作”得分比体验时增加了20%，最终两项共得123 分．请利用所
学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由．
【变式8-2】2025 湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动精
神在城市血脉中流淌．截止到12 月1 日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了12 场比赛，下表是第12
轮比赛结束后部分球队积分榜：
序号
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
1
潜江
12
11
1
23
2
汉川
12
10
2
22
3
枣阳
12
6
6
18
5
大冶
12
4
8
16
6
枝江
12
2
10
14
根据上表信息，解决下列问题：
(1)若某市球队12 场比赛全胜，可得24 分，则联赛胜一场得____分，负一场得____分；
(2)第12 轮比赛结束后，天门队得了19 分，求天门队胜场数和负场数；
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3 倍吗？请通过计算说明理由．
题型9 一元一次方程的应用之几何问题
【例17】学校建花坛余下24m 长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空
地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃．已知墙面长10m，若要使花圃的长比宽多3
m，求花圃的面积．（提示：注意题目中的条件“已知墙面长10m”的用意，应考虑有两种情形）
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【例18】如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形ABCD ，已知
7cm
EF
，较小正方形的边长为xcm ．
(1)填空：FG ______cm，DG ______cm（用含有x 的代数式分别示）．
(2)先用含有x 的代数式表示出长方形ABCD 的面积．并求当
2cm
DG
时，求长方形ABCD 的面积．
【技巧归纳】
利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建
立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t 表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。
画图标量。
【变式9-1】已知线段𝐴𝐵= 15，点C 在线段𝐴𝐵上，且
:
3: 2
AC CB
(1)求线段AC ，𝐶𝐵的长；
(2)点P 是线段𝐴𝐵上的动点，线段AP 的中点为M，设AP
m
．
①请用含有m 的代数式表示线段𝑃𝐶，MC 的长；
②若三个点M，P，C 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C 三点为“共谐点”，请直接写
出使得M，P，C 三点为“共谐点”的m 的值．
【变式9-2】如图：长方形ABCD 中，
10
AB
cm
，
4
BC
cm
，点𝑃从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿𝐴→𝐵→𝐶
方向运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒1cm 的速度沿射线𝐶𝐵方向运动，当点𝑃到达终点C 时，点Q 也随之
停止运动．设点𝑃的运动时间为𝑡秒．
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(1)当点𝑃在𝐴𝐵上运动时，BP ______cm ．
(2)当点𝑃在BC 上运动时，
2
BP
cm
时，求线段PQ 的长．
(3)当
2
BP
QB
时，求出𝑡的值．
(4)当点𝑃在BC 上运动时，连接AP 、AQ ，直接写出APQ
的面积是
2
5cm 时，𝑡的值．
题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题
【例19】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第
二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400 立方米，前360 立方米按2.53 元计算，后40 立方米按
2.78 元计算．
用气量（立方米）
单价（元）
第一档
0
360
（含）
2.53
第二档
360
600
（含）
2.78
第三档
600 以上
3.54
(1)李强家年用气量为440 立方米，李强家需交燃气费多少元？
(2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60 元，赵刚家年用气量是多少立方米？
【例20】为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下：
类别
每户每月用水量
3
/m
阶梯价格/（元
3
/m ）
第一阶梯
小于或等于
3
9m
a
第二阶梯
大于
3
9m 且小于或等于
3
15m
4
第三阶梯
大于
3
15m
5
该市某户居民2025 年12 月份的用水量为
3
6m ，缴纳水费18 元．
(1)表格中a 的值为________．
(2)若该户居民2026 年1 月份的用水量为
3
12m ，应缴纳水费多少元？
(3)若该户居民2026 年2 月份缴纳水费56 元，求该户居民2 月份的用水量．
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【技巧归纳】
阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。
列方程时，若已知总费用，先假设x 在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单
价。可用分段函数思想。
【变式10-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180 度时，
按每度0.5元计费；每月用电量超过180 度但又不超过280 度时，超过部分按每度0.6 元计费，每月用电超
过280 度的部分按每度0.8元计费．收费标准如下表：
月用量
不超过180 度
超过180 度不超过
280 度的部分
超过280 度的部分
收费标准（元/度）
0.5
0.6
0.8
(1)如果小李家每月交电费y 元，每月用电量为x 度，用含x 的代数式表示电费y 为：
当0
180
x
时，𝑦= ；
当180
280
x
＜
时，𝑦= ；
当
280
x＞
时，𝑦= ．
(2)小李家6 月份交电费138 元，求小李家6 月份用多少度电？
【变式10-2】小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、
谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公
司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择：
计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依
次类推，总电费等于各挡电费的总和；
计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段
减少的电费的总和．
居民用电分档
用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第一档
不超过230
0.5
第二档
超过230 且不超过420
0.55
第三档
超过420
0.8
表1
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
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峰时段（8:00
22:00
－
）
0.03
（每度电在各挡电价基础上加价0.03元）
谷时段（22:00－次日8:00 ）
0.2
（每度电在各挡电价基础上降低0.2 元）
表2
(1)若小阳同学家选择计费方式一，1 月份用电量为330 度，求1 月份应缴电费；
(2)设小阳同学家某月的用电量为x 度，
230
x
，且峰时段用电量是谷时段用电量的4 倍，请用含x 的式子
表示两种计费方式应缴电费；
(3)小阳同学家在2025 年某月的电费为251.5 元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰
时段的用电量是谷时段的几倍？
一、单选题
1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20 道题，答对一题得7 分，答错一题倒扣4 分，王刚答完了
全部20 道题，得了63 分，他答对了（ ）道题．
A．7
B．9
C．11
D．13
2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：
有若干人乘车，若每3 人同乘一车，最终剩余2 辆空车；若每2 人同乘一车，最终剩下9 人因无车可乘而
步行．问有多少辆车？设共有x 辆车，则可以列出的方程为（ ）
A．3(𝑥+ 2) = 2𝑥−9
B．3(𝑥−2) = 2𝑥+ 9
C．3(𝑥+ 2) = 2𝑥+ 9
D．3(𝑥−2) = 2𝑥−9
3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做8个，那么可比计划多做5个；
如果每人做6 个，那么将比计划少做4 个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做x 个“绣
球”，则可列方程为（ ）
A．
5
4
8
6
x
x
B．
5
4
8
6
x
x
C．8
5
6
4
x
x
D．8
5
6
4
x
x
4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七
客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7 人，那么有7 人无房可住；如果每一间房
住9 人，那么恰好空出一间房．设共有客人x 人，根据题意可列出的方程是（ ）
A．
7
1
7
9
x
x
B．
7
1
7
9
x
x
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C．7x+7＝9（x﹣1）
D．7x﹣7＝9（x+1）
5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美
矩形” ABCD ，其周长为26，则正方形d 的边长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题
6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是2 ∶7 ．学校给每个班级发放10根红色跳绳和42
根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下48根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______
根．
7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是3:0或3:1，则胜
队得3 分，负队得0 分；如果比分是3:2，则胜队得2 分，负队得1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连
续的自然数，则第一名的得分是______分．
8．把9 个数放置到3 3
方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了
一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m 的值为
_________．
2
3
5
8
m
9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究
这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3 3
表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相
等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x
y
的值为___________．
10．如图，在长方形ABCD 中，
6
AB
DC
cm
，
12cm
AD
BC
．有一动点𝑃从点A 出发以3cm/s 的速度
沿A
B
C
运动到点C 时停止．动点𝑄从点C 出发以2cm/s的速度在线段𝐶𝐵上沿C
B
方向向点𝐵运动，𝑃，
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𝑄两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是st ．当t ________时，能使
2
PQ
CQ
cm
．
三、解答题
11．2025 年是新中国成立76 周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛
分单人独唱和双人合唱，共有18 组，30 名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？
12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146 米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负
责施工．甲工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工
作多少天？
13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50 人，其中男生人数比女生人数的2 倍还少19 人，劳技课
上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11 个或盒底22 个．
(1)七年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能
完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配
套．
14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400 元，因天气原因水果涨价，第二批所用资
金是2700 元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10 元，以致购买的数量比第一批少25%．
(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40 元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批
水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降𝑎%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完
后仍赚了1716 元，求a 的值．
15．如图，是某月的月历．
(1)带阴影的十字框中的5 个数的和与十字框中间的数有什么关系？
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由．
(3)在该月的月历上用十字框框出5 个数，能使这5 个数的和为100 吗？
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16．列方程解应用题：
某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28 元，利润率为40%；花肥进价每包2 元，一包花肥
的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720 元，其中花肥的进货数量是金桔盆
栽的2 倍．
(1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？
(2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆
金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于
金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m 元，进货数量增加了8 盆，售价不变；
花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m 包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4
元，求m 的值．
17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：
用水量
单价
不超过
3
6m 的部分
2 元/m3
超过
3
6m 不超过
3
10m 的部分
4 元/m3
超出
3
10m 的部分
8 元/m3
譬如：某用户2 月份用水
3
8m ，则应缴水费：
2 6
4
8
6
20
(元)．
(1)某用户3 月用水
3
15m 应缴水费多少元？
(2)已知某用户4 月份缴水费24 元，求该用户4 月份的用水量；
(3)如果该用户5、6 月份共用水
3
20m (6 月份用水量超过5 月份用水量)，共交水费68元，则该户居民5、6
月份各用水多少立方米？
18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，
点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 两点之间的距离为：AB
a
b
．
【问题解决】如图，在数轴上，点A 表示−10，点B 表示11，点C 表示18．动点P 从点A 出发沿数轴正
方向以每秒3 个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1 个单位长度
的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
(1)当
2
t
时，线段OP 的长为 ；线段BQ 的长为 ；
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相遇？相遇点M 所对应的数是多少？
(3)在点Q 出发后到达点B 之前，求t 为何值时OP
BQ
；
(4)当t 为何值时，P、Q 两点间的距离
4
PQ
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