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专题 21.8 利用一元二次方程解决几何动态问题【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】.......................................................................................1
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】.............................................................................2
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】.........................................................................................4
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】.........................................................................................5
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】.....................................................................................7
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】.........................................................................................8
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】.....................................................................9
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】
【例1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从
点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀
速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当△PCQ的面积等于300m2时，运动时间为
（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【变式1-1】（23-24九年级·广东汕头·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点
P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一
点停止运动．设运动时间为t秒．当t= s时，PQ平分△ABC的面积．【变式1-2】（2024九年级·上海·专题练习）等腰Rt△ABC中，AB=BC=8cm，动点P从点A出发，沿
AB向点B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米
时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2．
【变式1-3】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始
沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动．若P，Q分
别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒△BPQ的面积等于
10❑√3cm2？
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】
【例2】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=4，CD=12，
BD⊥AD，∠A=60°，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线
A−D−C先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点
到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)两平行线DC与AB之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与△BCD的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)AP，以AP，AQ为一组邻边构造平行四边形APMQ，若 ▱APMQ的面积为7❑√3，求t的值．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等腰直角三角形ABC，∠B=90°，AB=4，D，
E是AB，BC边上的动点，且AD=BE，以DE，CE为边作平行四边形DECF，连接CD，AF，当
CD∥AF时，则△ADC的面积为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边BC，AD上，
且BE=DF，AD=10，CD=8，动点P从点A出发沿着线段AE向终点E运动，同时点Q从点C出发沿着
折线段C−F−A向终点A运动，且它们同时到达终点，设Q点运动的路程为x，PE的长度为y，且
y=kx+8（k为常数，k≠0）．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）求AE的长．4
（3）当k=− 时，
5
①求AF的值；
②连结PQ，QE，当△PQE为直角三角形时，求所有满足条件的x的值．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝
3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿
A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求 AEF的面积；
△ 1
(3)当 AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值．
3
△
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】
【例3】（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形ABCD中，ABOB)的长（单位：米）是一元二次方程x2−7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形
ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速
度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面
1
积为 m2？
4
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
AC=16cm,BD=12cm,动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿
BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．(1)出发1秒钟时，△MON的面积= cm2；
(2)出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2
【变式4-3】（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC=8cm，BD=6cm，动
点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运
1
动到D，若M，N同时出发，问出发后 s时，△MON的面积为菱形ABCD面积的 ？
12
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】
【例5】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，
再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离
A A′等于（ ）
1 2+❑√2 1 3 2±❑√2
A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm
2 4 4 4 2
【变式5-1】（2024九年级全国·竞赛）如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且
AE=6.4厘米，P、Q两点分别从B、C两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点P移到
点D时，P、Q两点同时停止移动，设移动时间为t秒，当S =S 时，t= ．
△AEP △CPQ【变式5-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把
△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；
移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大．
【变式5-3】（2024·河南·二模）如图1，正方形ABCD的边长和等腰直角△FGH的边AD与FG重合，边
AB与FH在一条直线上，△FGH以1cm/s的速度向右移动，直到点H与点B重合才停止移动，两个图形
重叠部分的面积为S（cm2），图2所示的是△FGH向右移动时，面积S（cm2）与随时间t（s）的变化的
关系图象，则a的值是（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】
【例6】（23-24九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，
BC=8cm，AB=AD=10cm，点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线A−B−C方向运动，点Q从点
D出发，以每秒2cm速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，
P，Q运动停止，设运动时间为t．（1）当t= 秒时，四边形PBQD为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当t= 秒时，△BPQ的面积为15cm2？
【变式6-1】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏
ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
【变式6-2】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝
16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q
从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当
点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的
三角形为等腰三角形？
【变式6-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，
AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，
以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了
t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；
若不存在，请说明理由．
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】
【例7】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(10,0)，点B(0,8)，过点B
作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP．
(1)求出S =__________；
ΔAOP
(2)若OP平分∠APB，求点P的坐标；
8
(3)已知点C是直线y= x上一点，若ΔAPC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标.
5
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，
0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒❑√2个单位长度的速度沿射线
OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当t为何值时，△PQB为直角三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点A(2,0)和点B(0,2)．点C的
3
横坐标为 ，点D为线段OB的中点．
2(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段OA上的一个动点，当PC+PD的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段AB上，若△DPQ是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，
并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【变式7-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线
y=kx+8(k<0)分别交x轴，y轴于点C，B，点A在第一象限，连接AB，AC，四边形ABOC是正方形．
（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图2，点D,E分别在AB,OC上，点E关于y轴的对称点为点F，点G在EF上，且EG=2FG，连
接DE，DG，设点G的横坐标为t，△DEG的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的
取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，点在上，且，点在上，连接交于点，，且，若，求的值．
