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专题21.8 公式法（分层练习）
一、单选题
1．方程 的两个根是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于 的方程 有实数根，则 的值不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．对于两个不相等的实数a，b，我们规定 表示a，b中较小的数，如 ，若已知
，则 的值为（ ）
A．2或 B． 或 C．2或 D． 或
6．已知一元二次方程式 的两根为 、 ，且 ，求 之值为何？（ ）
A．9 B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程 ，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程
的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
8．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程 的两个根，则k的值为（ ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
9．关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 （ ）
A． 且 B． 且 C． D．
10．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 （ ）
A． B． C． D．
11．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x=-3，x=2，则方程m（x+h-3）2+k=0
1 2
的解是（ ）
A．x=-6，x=-1 B．x=0，x=5 C．x=-3，x=5 D．x=-6，x=2
1 2 1 2 1 2 1 2
12．使得关于x的不等式组 有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程
有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
13．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+ 上，点Q( a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，直线 与坐标轴交于 两点， ， ．若将直线 绕点 逆时针旋转 后交
轴于点 ，则点 到直线 的距离是（ ）
A． B．4 C． D．
15．如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形 ， ， ，点 在 边上的中
点，连接 ，将 沿 所在直线翻折得到 ， 交 于 点，若 ，点 到 的距
离是( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．方程 的解是_________．
17．已知关于x的方程 无实数解，则m取到的最小正整数值是_______．
18．若一元二次方程 有两个相同的解，则 _________．19．用公式法解关于x的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是_______．
20．如果关于 的二次三项式 在实数范围内不能因式分解，那么 的取值范围是________．
21．在平面直角坐标系 中，直线 分别与 的正半轴、 的负半轴相交于 两点，已知
的面积等于 ，则 的值为______．
22．若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为_____．
23．关于 的方程 有两个不同的实数根，则 的取值范围是________．
24．已知等腰 的底边长为 ，两腰长恰好是关于 的一元二次方程 的两根，则
的周长为______．
25．某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价a元，工商局限价b元 ，以及定价
系数 来确定定价c，a、b、c满足关系式 ，经验表明，最佳定价系数k恰好使得
，据此可得，最佳定价系数k的值等于_______．
26．等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为
___________．
27．若关于x的方程 无解，则m的取值范围是______．
28．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a
（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为_____．
29．如图是一张菱形纸片， ， ，点 在边 上，且 ，点 在 边上，把
沿直线 对折，点 的对应点为点 ，当点 落在菱形对角线上时，则 _____．30．已知平行四边形 ， ， ，点 在边 上，将平行四边形沿 翻折，使点
落在边 的 处，且满足 ，则 ______．
三、解答题
31．解下列方程：
(1) ； (2) ．
32．关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根小于0，求 的取值范围．
33．解方程：
(1) ； (2)34．已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ， 为 的三边．
(1)若 是方程的根，判断 的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断 的形状，并说明理由．
35．解下列关于 的方程．
(1) ； (2) ．
36．若关于x的方程 有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
参考答案
1．D
【分析】根据直接开平方法求解即可．【详解】解： ，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．
【详解】解：A． ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B． ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 没有实数根，选项B不符合题意；
C． ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D． ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 ：若
，则原方程有两个不相等的实数根；若 ，则原方程有两个相等的实数根；若
，则原方程没有实数根；是解本题的关键．
3．D
【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令 ，即可求出 的取值范围，要注意，
．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】解：当方程 为一元二次方程时，方程有解，
则 且 ，
解得： 且 ，
当方程 为一元一次方程时，
方程有解，则只需 ，
综上：当 时，方程有实数根．
∴四个数中 的值不可能是2，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握分类讨论思想是关键．
4．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断A；根据二次根式有意义的条件，即可判断B；根据分
式有意义的条件，即可判断C；根据立方根的定义，即可判断D．
【详解】解：A、∵ ，∴该方程无实数根，不符合题意；
B、移项，得： ，∵ ，∴该方程无实数根，不符合题意；
C、去分母，得： ，当 时， ，∴该方程无实数根，不符合题意；D、移项，得： ，解得： ，∴该方程有实数根，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；立方根
的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．
5．D
【分析】分 和 两种情况，分别计算即可．
【详解】解：当 ，即 时，
，
解得 ，
当 ，即 时，
，
解得 ，
综上， 的值为 或 ，
故选D．
【点拨】本题考查新定义运算，解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键．
6．C
【分析】用直接开平方法求出一元二次方程的两根，进而可知a，b的值，即可求解．
【详解】解： ，
或 ，
所以 ， ，
，
∴ ， ，
所以 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，还涉及二次根式的加减运算，正确掌握解题方法
是解题关键．7．A
【分析】根据根的判别式Δ=(m+n)²-4mn=(m-n)²＞0，判定根的情况有两个不相等实数根.
【详解】由图看出 ，
∴m+n≠0，m-n≠0，
∵ 是关于x的一元二次方程，
∴Δ=(m+n)²-4mn=(m-n)²＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键.
8．B
【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．
【详解】解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．
方程x2﹣10x+k＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k≥0，得k≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
∴k＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，
则32﹣10×3+k＝0
解得k＝21
解方程x2﹣10x＋21＝0
解得另一根为：x＝7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴k的值为25．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不
相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的
关系以及等腰三角形的性质．
9．D
【分析】分两种情况讨论：① =0，为一元一次方程；② ≠0，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．
【详解】①当 =0时 ，此时方程为 ，有实数根；
②当 ≠0时 ，此时方程为为一元二次方程，
∵方程有实数根
∴ ，解得：
综上所述：
故选：D
【点拨】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相
等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关
键．
10．C
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为 ，右图是一个长方形，长宽分别为 、
，并且它们的面积相等，由此即可列出等式 ，解方程即可求出 ．
【详解】解：依题意得 ，
整理得： ，
则 ，
方程两边同时除以 ，
，
（负值已经舍去），
故选：C．
【点拨】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目
隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
11．B
【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h± ，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x=-3，x=2，
1 2
所以-h- =-3，-h+ =2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h± ，
所以x=3-3=0，x=3+2=5．
1 2
故选：B．
【点拨】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．
12．B
【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定
a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．
【详解】解：整理不等式组得：
由①得： ，
由②得：x<4
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，
∴ ，
解得： ，
∵ 有实数根，
∴
解得：a≤9，
∵方程 是一元二次方程，
∴a≠5
∴ ，且a≠5，
满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不
等式解集的写法是解题发关键．
13．A
【分析】先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或
（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（ a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（ a，b）在直线y＝﹣x+ 的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝ ，OF＝ ，
∴EF＝ ，
∴PQ的最小值为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式△与根的关系：当
△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根是解答本题的关键.
14．C
【分析】过点C作 于点D， 为等腰直角三角形， ， ,BC边用面积法
推导，最后在 中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作 于点D，如下图：
∵
∴
∵直线 绕点 逆时针旋转
∴
∴
∴
在 中， ，
∴
又∵
∴
在 中：
设 ，则 ，
∴
化简得：解得: （舍），
即：
故选：C
【点拨】本题考查勾股定理，等角对等边、一元二次方程的解法等知识点，根据相关内容列出等量关系是
解题关键．
15．D
【分析】连接 ， ，过点 作 于点 ，由折叠的性质可求 由
可证 ，可得 ，可证 ，在 中，由勾股定
理可求 的长．
【详解】解：连接 ， ，过点 作 于点 ，
，
， ，
点 是 中点， ， ，
， ， ， ，
是等边三角形， ，
折叠，
， ，
，
垂直平分 ' ，
，
在 和 中，，
，
，
，
设 长为 ，则 长为 ，
在 中
，
解得 ， (舍去)，
∴点 到BC边的距离为 ．
故选∶D．
【点拨】此题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判
定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点 ， 关于直线 对称是解题关键．
16．
【分析】先将原方程变形为 ，再降次求解即可．
【详解】解：方程 即为 ，
∴ 或 （此方程无解，舍去），
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解高次方程，掌握降次解答的方法是关键．
17．【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程 无实数解，
当 时，原方程为一元一次方程，有解，
当 时，原方程为一元二次方程，
∴ ，
解得： ，
∴则m取到的最小正整数值是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式
的意义是解题的关键．
18．16
【分析】根据根的判别式的意义得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：根据题意可得： ，
解得： ，
故答案为：16．
【点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程无实数根．
19．
【分析】根据公式法的公式 ，可得方程的各项系数，即可解答．
【详解】解：根据 与 ，可得 ，
从而得到一元二次方程为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．
20．
【分析】关于 的二次三项式 在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，由此可解．
【详解】关于 的二次三项式 在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程
无实数根，
，
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次三项式的因式分解问题，解题的关键是转化为对应的二次方程的实数根的情况．
21．
【分析】依据题目求出 ， ，再根据 的面积等于 ，即可得出答案．
【详解】当 时，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∵直线 分别与 的正半轴、 的负半轴相交于 两点，
∴ ，
∵ 的面积等于16，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了一次函数与 轴、 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握
一次函数与 轴、 轴的交点的求法是解题的关键．
22．3
【分析】设a2﹣2a＝x，可得x＝±3，然后分情况讨论，注意运用根的判别式进行验证．
【详解】解：（a2﹣2a）2﹣9＝0，
设a2﹣2a＝x，则原方程化为：x2﹣9＝0，解得：x＝±3，
当x＝3时，a2﹣2a＝3，解得：a＝2或﹣1；
当x＝﹣3时，a2﹣2a＝﹣3，
a2﹣2a+3＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，此方程无解；
所以a2﹣2a的值是3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法以及根的
判别式是解本题的关键．
23．
【分析】根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得 且 ，再利用 解不等式
即可．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得： ，
的取值范围是 ．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系，二次根式的性质，解不等
式，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．7
【分析】由题意知方程 有两个相等的实数根，据此得出 的值，再利用三角形的周
长公式可得答案．
【详解】解：由题意知方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，
原方程为： ，
解得： ，则三角形的三边长度为 、 、 ，
则 的周长为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程
无实数根．
25．
【分析】根据 ，得到 ，代入 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
经检验， 是原方程的解；
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查解分式方程．解题的关键是得到 ．
26．
【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该
方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形
的面积公式即可解答．
【详解】解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根∴关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根
∴ ，
解得
∴原方程可化为 ，
解得
∴等边三角形的三边边长都为3
∴等边三角形的高为：
∴等边三角形的面积为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握当一元
二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键．
27．
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：① 时，有 此时方程无解，可求
出m的值；② 时，由根的判别式 ，即可求出m的取值范围．
【详解】解：根据题意，
∵关于x的方程 无解，
①当 时，则原方程是一元一次方程，即 ；
则有： ，
解得： ；
②当 时，则原方程为一元二次方程，
∴ ， ，
∴ ，解得： ；
综合上述，m的取值范围是 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是
熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题．
28．3,0
【分析】方法一：根据方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，代入进行转化，
即可得到c的值，再进行代入方程a（x+c﹣2）2+b＝0，得到其两根；方法二：将x+c看成一个整体，由方
程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，可以得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两
根．
【详解】解：方法一：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，
∴（﹣2+c）2＝﹣ 或（1+c）2＝﹣ ，
∴﹣2+c+1+c＝0，
解得，c＝0.5，
∴（﹣2+0.5）2＝﹣ ，
∴ ＝ ，
∵a（x+c﹣2）2+b＝0，
∴（x+0.5﹣2）2＝ ，
解得，x＝3，x＝0，
1 2
故答案为：3，0．
方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，
故答案为：3，0．
【点拨】考查含有参数的一元二次方程的解法，学生根据已知条件既可以直接求出参数的值，继而求出另
一个含有相同参数的方程的根或者将含参整式看成一个整体，由此得到另一个方程的根．
29． 或 ．【分析】分情况讨论∶①当点 落在菱形对角线 上时，根据菱形的性质和折叠的性质先证明
，根据折叠的性质可得 ，进一步求解即可；②当点 落在菱
形对角线 上时，根据菱形的性质和折叠的性质可知 是等边三角形，可得 ．
【详解】解∶分情况讨论∶①当点 '落在菱形对角线 上时，如图所示∶
在菱形 中， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
根据折叠，可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ．
②当点 '落在菱形对角线 ．上时，如图所示∶ ．在菱形 中， ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为∶ 或 ．
【点拨】本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质， 等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键，注意分情况讨论．
30． /
【分析】过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，得出 是等腰直角三角形，设
，则 ，在 中， ，求得 ，在 中，
，得出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，
设 ，
则 ，∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
即
解得： 或 （舍去）
在 中， ，
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确的作出图形是解
题的关键．31．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）直接开平方法求解可得；
（2）整理成一般式后，公式法求解可得．
【详解】（1）解： ，
或 ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解：整理成一般式得： ，
， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出判别式，利用配方法 变为完全平方式即可，
（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可．
【详解】（1）解： ，
，
，方程总有两个实数根；
（2）解： ，
，
，
方程有一根小于0，
，
．
【点拨】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决
方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．
33．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
【点拨】此题考查一元二次方程的解法，正确掌握解一元二次方程的解法并根据每个方程的特点选择恰当
的解法是解题的关键．
34．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据方程的解把x=1代入方程得到c﹣b=0，即c=b，于是由等腰三角形的判定即可得到
ABC是等腰三角形；
（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．
（1）
解：把x=1代入方程得，
，
化简得 ，
则该三角形 的形状为等腰三角形．
（2）
解：由题意可得方程有两个相等的实数根
则 的判别式：
化简可得
则该三角形 的形状为直角三角形．
【点拨】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二
次方程根的判别式是解题的关键．
35．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：移项，得 ．开方得： ，
解得 ， ．
（2）解：∵
∴ ， ， ．
∴ ．
∴方程有两个不等的实数根
∴ ，
解得 ， ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
36． 或 或 或
【分析】先去分母，将该分式方程化为整式方程，再分为方程是一次方程、方程为有两个相等的实数根的
二次方程、方程有两个不相等的实数根但其中一个为增根三种情况进行讨论即可．
【详解】解：左右两边同时乘以 得： ，
整理得： ，
①当 ，即 时，
原方程为： ，解得： ，
∴ 时，方程有且只有一个实数根；
②当 且 时，
，
解得： ，当 时， ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
∴ ，方程有且只有一个实数根；
③当 且 时，
∵ ，
∴ 或 ；
把 代入 得 ，
解得： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
∴ 时，方程有且只有一个实数根；
把 代入 得 ，
解得： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，当 时， ，∴ 是原分式方程的解，
∴ 时，方程有且只有一个实数根；
综上：k的值为 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程，分式方程，解题的关键是掌握根的一元二次方
程判别式和分式方程有增根的情况．参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求得 的值．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 ，常数项为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ,
∴ ，
∴ ；
故选 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识．根据一元二次方程的一般形式：
是常数且 中， 叫二次项， 叫一次项， 是常数项，其中 ， ， 分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程 ，
则该方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．D
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到 ，再由 进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
4．C
【分析】利用表中数据得到 ，于是可判断x在
范围内取某一个值时， ，所以得到一元二次方程 的一解的取值范围．
【详解】解：∵当 时 ，当 时 ，
∴当x在 中取一个值时， ，
∴一元二次方程 的某一个解的取值范围是 ．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
5．D
【分析】根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出 ，代入化
简结果即可求解．
【详解】解：
，
∵ 是方程 的根．
∴ ，∴原式 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
6．B
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方
程，由这四个条件判断即可．
【详解】解：A、 分母中有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、 是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、 化简为： ，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、 含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
7．C
【分析】首先把方程化成一般形式 ，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解： ，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 ．其中 叫做二次项系数； 叫做
一次项系数； 叫做常数项．
8．A【分析】将 带入 ，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次
方程的定义，排除不符合题意的m的值。
【详解】解：将 带入 得： ，
解得： 或 ；
∵原方程为一元二次方程，
∴ ，即 ，
∴
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并
灵活运用．
9．B
【分析】利用a是关于x的一元二次方程 的根得到 ，进
而判断出 ，同理判断出 ，即可得出结论．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的根，
，
，
，
，
同理： ，
，
,
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出 是解题的关键．
10．B
【分析】根据方程根的定义，把 代入方程 中得到 ，即
，整体代入 即可得到答案．【详解】解：根据题意，把 代入方程 中，
，即 ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，将 代入方程 中得到
是解决问题的关键．
11．C
【分析】根据一元二次方程的定义可得 =2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】解：由题意得 =2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，
因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，
即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
12．C
【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可．
【详解】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，
∴a+b=k，ab=18，
∵a，b，k均为整数，
∴a=±1，b=±18，k=±19；
a=±2，b=±9，k=±11；
a=±3，b=±6，k=±9；
故k的值共有6个，
故选C．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
13．C
【分析】当 时，方程无解，可知 ，方程两边都除以x，得 ，根据 可得 的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据 ，再得到缩小的 的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将 代入方程得 ，
∴x≠0，
∴原方程可化为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
14．C
【分析】先化简 ，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b
的值，再代入计算即可．
【详解】解： = = 1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是 ，
∴ + +b=0．
∴ ．
∴ ．
∵ 、 是整数，∴
解得
∴ = = ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程
组是解题关键．
15．D
【分析】先解分式方程，求得a的值，再由方程 有解得a的取值范围，则可求得a的值，可
求得答案．
【详解】解分式方程 可得x=4- ，x≠2，
∵a使得关于x的分式方程 有正整数解，
∴a的值为0、2、6，
方程 ，
当a=0时，方程有实数解，满足条件，
当a≠0时，则有 ≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0，
∴满足条件的a的△值为-2，0、2、6，共4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键．
16．
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且 ）特别要注意
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，bx叫一次项， 是常数
项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
17．
【分析】将 代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得 的值．
【详解】解：根据题意，将 代入方程可得 ，
解得： 或 ，
，即 ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不
能为 ，难度不大．
18．
【分析】根据一元二次方程的定义得出 且 ，再求出 即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出 且 是
解此题的关键．
19．
【分析】由 得 ，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入是解题的关键．
20．
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得 ， ，然后代入式子求值即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
21．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可设： ，
将 代入 ，得
，
∴ ，
故该方程为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．22．-3
【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二
次项系数不等于零，即可确定m的值．
【详解】解：∵该方程为一元二次方程，
∴m2−7＝2，
解得m＝±3；
当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；
∴m＝-3，
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键
是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
23．3
【分析】将 代入 求得x的值即可．
【详解】解：将 代入 可得：
所以 ，解得 或
由 ，则 ．
故答案为3．
【点拨】本题主要考查了方程的根，使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根．
24．4
【分析】根据方程的解的定义把 代入一元二次方程 ，得到 ，然后将其整体代
入所求的代数式进行求值．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．
25．1【分析】根据一个根是 ，代入方程，得到 ， 等式，再由 ， 是整数，即可求出
的值．
【详解】∵ ，
∴把 代入方程有 ，
整理得 ，
∵ ， 是整数，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：1
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由 ， 是整数就可以求出 ， 的值．
26．-1
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0
代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．
【详解】解：把x=0代入(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0中得：
m2－1＝0
解得：m=1或m=-1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1，
故答案为：-1．
【点拨】此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一元二次方程的系数
不能等于0．
27．0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【详解】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t ）2 0，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
28．
【分析】由方程根的定义可得 ，变形为 ．再将 等号两边同
时乘 并变形得 ，代入 逐步化简即可．
【详解】∵ 是方程 的一个根．
∴ ，即 ．
将 等号两边同时乘 得：
，即 ．
∴ ．
故答案为：-2021．
【点拨】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
29． ； ；
【分析】将 因式分解求得 ，则 可化简得 ，根据 ，
为有理数，可得 ， 也为有理数，故当 时候，只有 ， ，
据此求解即可．
【详解】解：∵∴
∴
∴
∴
∴
∵ ， 为有理数，
∴ ， 也为有理数，
故当 时候，只有 ， ，
∴ ， ，
故答案是： ， ；
【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数
的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
30．x =3，x =-8
1 2
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解
之可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x =5，x =-6，
1 2
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x =3，x =-8，
1 2
故答案为：x =3，x =-8
1 2
【点拨】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行
简便计算．
31．【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解： 是一元二次方程，
， ，
解得： ， ，
，
原不等式变为： ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定
义求出m的值．
32． 二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得 ，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的
定义求解．
【详解】去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 ，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程一般式： ，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫
常数项．
33． ，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，∵a是方程 的一个根，
∴ ，
即 ．
∴原式 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关
键．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 代入方程即可得出答案；
（2）把 代入方程即可得出答案；
（3）把 代入方程即可得出答案．
【详解】（1）解：把 代入方程 得： ，
∴ ， ， 之间的关系是： ；
（2）把 代入方程 得： ，
∴ ， ， 之间的关系是： ；
（3）把 代入方程 得： ，
∴常数项 ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．
35．(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或 ，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
36．（1） ；（2） ，
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程
即可.
【详解】解： 化简，得
．
方程 是关于 的一元二次方程，得
，解得 ，
当 时，方程 是关于 的一元二次方程；
由一次项系数为零，得 ．
则原方程是 ，即 ．
因式分解得 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
