文档文本内容
1 / 37
学科网（北京）股份有限公司
第01 讲 反比例函数的概念
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 反比例函数的定义
题型2 根据反比例函数的定义求参数
题型3 求反比例函数值
题型4 由反比例函数值求自变量
题型5 用反比例函数描述数量关系
题型6 反比例函数的简单应用
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数的定义
反比例函数的自变量
反比例函数值
反比例函数的简单应
用
1. 知识目标：理解反比例函数的核心定义，掌握三种等价表达式，明确参数
k≠0 及自变量的取值范围。
2. 能力目标：能依据定义准确判定反比例函数，熟练解决含参取值问题，辨
析易混淆函数解析式。
3. 素养目标：区分正比例与反比例函数差异，建立变量乘积定值思维，提升
函数建模核心素养。
学习重点：理解反比例函数的定义本质，熟记三种解析式形式，会依据定义判断反比例函数。
学习难点：掌握含参反比例函数的求解方法，辨析易混函数，深刻理解变量积为定值的特征。
知｜识｜框｜架
2 / 37
学科网（北京）股份有限公司
知识点
01
反比例函数的定义
定义：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成y = k
x （k 为常数，且 k ≠0）的形式，
那么称 y 是 x 的反比例函数。
三种等价表达形式
（1）分式标准型：y = k
x (k ≠0)
（2）乘积型（最常用求k）：xy =k(k ≠0)
含义：自变量与函数值的乘积恒为定值k
（3）负指数幂型：y =k x
−1(k ≠0)
说明：x 的次数必须是 −1，系数不能为 0
即时即练
1．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如
（
为常数且
）的函数是y关于
的反比例函数．
【详解】解：∵选项A 中
是正比例函数，不符合反比例函数定义；
选项C 中
是一次函数，不符合反比例函数定义；
选项D 中
是二次函数，不符合反比例函数定义；
知｜识｜精｜讲
3 / 37
学科网（北京）股份有限公司
选项B 中
符合反比例函数
的定义．
2．下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
，y
是
的反比例函数的有 ________ ．（填序号）
【答案】②④⑥
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如
（
为常数，
），
或可转化为
（
）、
（
）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．
【详解】解：①
是一次函数，不是反比例函数，
②
可变形为
，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
③
中自变量
的次数为
，不符合反比例函数定义，不是反比例函数，
④
可变形为
，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
⑤
是二次函数，不是反比例函数，
⑥
可变形为
，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
⑦
是正比例函数，不是反比例函数，
综上所述，反比例函数有②④⑥．
故答案为：②④⑥．
3．下列函数关系式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
，其中表示y 是
的反比例函数的是______（填入序号）．
【答案】（2）、（3）
【分析】根据反比例函数的定义，形如
（
为常数，
）的函数是反比例函数，逐一判断各关
系式即可得到结果．
【详解】解：
是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式；
，可化为
的形式，其中
，故（2）是反比例函数；
，可化为
的形式，其中
，故（3）是反比例函数；
整理得
，不符合
的形式，故（4）不符合反比例函数形式；
4 / 37
学科网（北京）股份有限公司
，分母为
，不是
，故（5）不符合反比例函数形式．
综上，只有（2）和（3）是反比例函数．
知识点
02
自变量与函数值取值范围
自变量与函数值取值范围
1.分母不能为 0，因此 x≠0；
2.由 xy =k、k ≠0 可知 y 也不可能等于 0，即 y ≠0；
3.实际应用题中，通常根据场景附加限制：如长度、数量、速度等，x>0。
即时即练
4．已知点
在反比例函数
的图象上，则m 的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键．
将点(m，2)代入反比例函数解析式，解方程求m．
【详解】解：∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
解得
．
故选：B．
5．若一个反比例函数的图象经过
两点，则
的值为（ ）
A．4
B．
C．5
D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解
即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得
，
故选：A．
5 / 37
学科网（北京）股份有限公司
6．已知反比例函数
．
(1)说出比例系数．
(2)求当
时函数的值．
(3)求当
时自变量x 的值．
【答案】(1)比例系数是
(2)
(3)
【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解；
（2）把
代入函数解析式进行求解即可；
（3）把
代入函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由反比例函数
可知比例系数为
；
（2）解：把
代入
得：
；
（3）解：把
代入
得：
，
解得：
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
知识点
0 3 含参的反比例函数
含参反比例函数（江苏地区中考高频考点）
题目形式：已知 y =(m−2)x
m
2−5 是反比例函数，求m的值
解题双重条件：
1、x 的指数 = −1：m
2−5=−1
2、系数≠0：m−2≠0
两个条件联立求解，缺一不可，只算指数忽略系数会丢分。
6 / 37
学科网（北京）股份有限公司
即时即练
7．若函数
为y 关于x 的反比例函数，则m 的值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为
且
，因此指数需为
，系数非零，
由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数
为y 关于x 的反比例函数，
∴
，
，
由
得
，
解得：
，
，
∵
，
∴
，
综上所述，
的值为
，
故选：A．
8．若
是反比例函数，则m 的值为_______．
【答案】3
【分析】反比例函数的一般形式为
(
,
为常数)，可得分母中
的次数为，据此列方程计算即
可得到
的值．
【详解】解：根据反比例函数的定义，可得
，
解得
．
9．已知
若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即
，只需令
且
即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得
，
的值为
．
知识点
0 4 常见易错点总结
7 / 37
学科网（北京）股份有限公司
定义相关常见易错点总结
（1）漏掉 k ≠0 这个关键限制条件；
（2）分母含多项式（如x−2）误认为是反比例函数；
（3）含参题型只列指数方程，忘记系数不能为 0；
（4）混淆正比例、反比例的判定条件，分不清积定还是商定；
（5）认为x、y可以取 0，忽略分母不为 0 的隐藏条件。
题型1 反比例函数的定义
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为
，
或
，其中k 为常数且
，根据反比例函数的定义分别进行分析即可．
【详解】解：A、
，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、
，即
，是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、
，即
，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、
，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；
8 / 37
学科网（北京）股份有限公司
反比例函数的形式为
，
或
，其中
为常数且
，根据反比例函数的定义分别进行分
析即可．
【详解】A、
，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意；
B、
，是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、
，即
，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、
，是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．在下列函数的表达式中，
均表示自变量：①
；②
；③
；④
；⑤
；
⑥
，其中
是
的反比例函数的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如
（k 为常数，
）的函数叫做反比例函数．
需逐一判断各函数是否符合此形式．．
【详解】①
，符合反比例函数的定义；
②
，为正比例函数，不符合反比例函数的定义；
③
，符合反比例函数的定义；
④由
得
，符合反比例函数的定义；
⑤
，分母为 x+1 而非 x，不符合反比例函数的定义；
⑥
，含常数项
，不符合反比例函数的定义；
反比例函数有①、③、④，共3 个．
故选C．
4．有下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，
是
的反
比例函数的有（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
9 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的识别，根据形如
（
为常数，且
）的函数是反比例函数进行
判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：①
是反比例函数；
②
，是反比例函数；
③
，是反比例函数；
④
，即
，是反比例函数；
⑤
不是反比例函数；
⑥
不是反比例函数；
∴
是
的反比例函数的有①②③④，共
个，
故选：
．
5．下列函数关系式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
（5）
，其
中表示
是
的反比例函数的是___________（填入序号）．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如
（
为常数，
）的函数
是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式．
【详解】解：
，是正比例函数，故
不符合反比例函数形式；
，可化为
形式，其中
，故
是反比例函数；
，可化为
形式，其中
，故
是反比例函数；
，即
，含有常数项，故
不符合反比例函数形式；
，分母是
而非
，故
不符合反比例函数形式．
故答案为：
．
10 / 37
学科网（北京）股份有限公司
题型2 根据反比例函数的定义求参数
6．如果函数
是反比例函数，那么m 的值是（ ）
A．2
B．
C．1
D．0
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如
（k 为常数，
）的函数叫做反比例函数．
根据次数等于1 且系数不等于0 列式求解即可．
【详解】解：∵函数
是反比例函数，
∴
且
，
解得
．
故选B．
7．函数
是反比例函数，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键．根据定义，得到
，计算即可．
【详解】∵函数
是反比例函数，
∴
，
解得
，
故选C．
8．若函数
是反比例函数，则
的值为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如
（其中k 为常数，且
）的函数叫
做反比例函数，据此求解即可．
【详解】解：∵函数
是反比例函数，
∴
，
解得
，
故答案为：
．
9．已知
是反比例函数，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即
，只需令
，
11 / 37
学科网（北京）股份有限公司
即可．
【详解】解：由题意得：
且
；
解得
，又
；
．
10．已知函数
．
(1)当
为何值时，该函数是一次函数？
(2)当
为何值时，该函数是正比例函数？
(3)当
为何值时，该函数是反比例函数？
【答案】(1)当
时，该函数是一次函数
(2)当
时，该函数是正比例函数
(3)当
时，该函数是反比例函数
【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解
题的关键：
（1）根据一次函数的定义，得到
，进行求解即可；
（2）根据正比例函数的定义，得到
，进行求解即可；
（3）根据反比例函数的定义，得到
，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
，解得
，
即当
时，该函数是一次函数．
（2）由题意，得
，解得
，
即当
时，该函数是正比例函数．
（3）由题意，得
，解得
，
即当
时，该函数是反比例函数．
【易错警示】
依据反比例函数定义求参数，需同时满足指数为 - 1、系数不为零两个条件。很多同学只列指数方程求
12 / 37
学科网（北京）股份有限公司
解，忽略系数不能为 0 的限制，出现多余错误解。算出参数后一定要代入系数检验，舍去使系数为 0 的
取值，避免步骤遗漏导致失分。
题型3 求反比例函数值
11．下列各点在反比例函数
的图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键．
反比例函数
图象上的点满足
，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否
等于
即可求解．
【详解】解：由
得
，
A.
，故不符合题意；
B.
，故不符合题意；
C.
，故符合题意；
D.
，故不符合题意．
12．下列四个点，在反比例函数
的图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】验证各选项中点的横纵坐标乘积是否为
即可．
【详解】解：∵反比例函数为
，
∴
；
A、∵
，符合
，
∴该点在函数图象上；
B、∵
，不符合
，
∴该点不在函数图象上；
C、∵
，不符合
，
∴该点不在函数图象上；
D、∵
，不符合
，
13 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴该点不在函数图象上；
【点睛】注意掌握点的坐标与函数解析式的关系．
13．已知点
、
均在反比例函数
的图象上，则
的值为______．
【答案】
/
【分析】分别把点
和点
的坐标代入反比例函数的解析式，求出
和
的值，进而代入计算即可求解．
【详解】解：∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
解得
，
又∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
．
14．已知反比例函数的图象
经过点
，则m 的值为______．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解题的关键．
把点
代入反比例函数的解析式，求出
的值即可．
【详解】解：∵反比例函数
的图象经过点
，
∴将点坐标代入解析式，得
，
计算得
，
故答案为：
．
15．已知
，
与
成正比例，
与
成反比例，当
时，
，当
时，
．
(1)求y 的表达式；
(2)求当
时
的值．
【答案】(1)
(2)
14 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）先根据题意得出
，
，根据
，当
时，
，当
时，
得出
、
的函数关系式即可；
（2）把
代入（1）中的函数关系式，求出
的值即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出
与
的函数关系式是解答此题的关键．
【详解】（1）解：
与
成正比例，
与
成反比例，
，
，
，当
时，
，当
时，
．
，
，
，
；
（2）解：当
，
．
题型4 由反比例函数值求自变量
16．点
在反比例函数
的图象上，则a 的值是（ ）
A．4
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象上的点需满足函数解析式的特征，要求
的值，只需将点坐标
代入函
数解析式求解即可．
【详解】解：
点
在反比例函数
的图象上，
，
．
故选：B．
17．函数
，当
时，y 的范围是________；
时，x 的范围是________．
【答案】
或
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．数形结合是解题的关键．
对于第一部分，根据反比例函数的性质，当
时，x 为负数，因此y 为负数，求出y 的范围；对于第二
15 / 37
学科网（北京）股份有限公司
部分，解不等式由
，得
，再求解即可．
【详解】解：函数为
，
当
时，x 为负数，因此y 为负数，
当
时，
，⁻
所以y 的取值范围是
，
由
，得
，
解得：
或
，
故答案为：
；
或
．
18．已知反比例函数
，当
时，
___________．
【答案】2
【分析】此题考查了反比例函数的性质，将已知的
值代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】解：当
时，代入
得，
，
解得
．
故答案为：2．
19．已知
(1)化简Q．
(2)若点
在反比例函数
的图象上，求Q 的值．
【答案】(1)
(2)当
时，
，当
时，
．
【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可；
（2）根据反比例函数的性质先求解a 的值，再代入
进行计算即可．
【详解】（1）解：
16 / 37
学科网（北京）股份有限公司
；
（2）∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
解得：
，
当
时，原式
，
当
时，原式
．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函
数的性质是解本题的关键．
20．已知y 与x 的函数解析式是y＝
，
（1）求当x＝4 时，函数y 的值；
（2）求当y＝﹣2 时，函数自变量x 的值．
【答案】（1）－3；（2）x＝5
【分析】（1）把x＝4 代入解析式，即可求得y 的值；
（2）y＝−2 代入解析式，即可求得自变量x 的值．
【详解】解：（1）当x＝4 时，函数y＝
；
（2）当y＝﹣2 时，则﹣2＝
，
解得x＝5．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象上点的坐标适合解析式是解题的关
键．
【易错警示】
由函数值求自变量时，部分学生直接代入解析式求解，忽略反比例函数自变量不能为 0 的隐含条件。同时
容易漏解、重解，未检验求出的自变量是否符合题意。解题必须先列式求解，再逐一检验根的有效性，剔
除无效取值，保证答案完整准确。
题型5 用反比例函数描述数量关系
21．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以
的平均速度用了
到达目的地．当他按原路匀速返回
17 / 37
学科网（北京）股份有限公司
时，汽车的速度v（单位：
）与时间t（单位：
）之间的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键．
根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可．
【详解】解：∵ 去程速度
，时间
，
∴ 路程
，
返回时，路程不变，且匀速返回，
∴
，
∴
，
即函数关系式为
．
故选：A．
22．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y 元，若该厂生产x 只（x 取正整数）玩
具熊猫的总成本为5000 元，则y 与x 之间满足的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等
量关系”是解题的关键．
根据“总成本
每只成本数量”的等量关系，列出
与
的关系式．
【详解】解：∵总成本为5000 元，每只成本为
元，数量为
只，
∴
，
∴
，
故选：C．
23．如图，在矩形
中，
，
，
为边
上一动点，
于点
，
，
则
关于
的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）．
18 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】连接
，利用
的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围．
【详解】解：连接
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
．
当点
与点
重合时，
，此时
最短；
当点
与点
重合时，
，此时
最长；
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系．
24．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为
），现打算沿墙围一个面积为
的矩形花圃．设
花圃的长
为
，宽为
，则
关于
的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________．
【答案】
，
【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方
形的面积
长宽，可得
，进而得出y 关于x 的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为
求得x 的取值范围．
【详解】解：解：由题意得
，即
．
∵围墙可利用的最大长度为
，
∴
，
19 / 37
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
，
．
25．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表：
每天运输的吨
数
500
25
0
100
50
……
运输的天数
1
2
5
……
(1)这批货物共有多少吨？
(2)用
表示运输天数，用
表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系．
(3)
与
成反比例关系吗？如果成，请求出表格中
的值．
【答案】(1)
500 吨
(2)
(3)
成反比例关系，
【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量
每天运输吨数运输天数”
确定总量，并分析变量间的关系．
（1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量；
（2）根据总量公式变形得到
与
的关系式；
（3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求
的值．
【详解】（1）解：
（吨）．
答：这批货物共有500 吨．
（2）解：由
，得
.
（3）解：∵
（定值），
∴
与
成反比例关系．
当
时，
．
题型6 反比例函数的简单应用
26．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ）
20 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．当压力F 一定时，压强P 与受力面积S 之间的函数关系
B．当物体的质量m 一定时，物体的密度
与体积V 之间的函数关系
C．当行驶的路程s 一定时，时间t 与速度v 的函数关系
D．当三角形的一条边长a 一定时，它的面积S 与这条边上的高h 之间的函数关系
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．由
，则当压力F 一定时，压强P 与受力面积S 之间成反函数关系，即A 选项不符
合题意；
B．由
，则当物体的质量m 一定时，物体的密度
与体积V 之间成反函数关系，即B 选项不符合题
意；
C．由
，则当行驶的路程s 一定时，时间t 与速度v 成反函数关系，即C 选项不符合题意；
D．由
，则当三角形的一条边长a 一定时，它的面积S 与这条边上的高h 之间成正比例函数，即选
项D 符合题意．
27．如图，边长为7 的正方形
放置在平面直角坐标系中，动点P 从点C 出发，以每秒1 个单位的速
度向O 运动，点Q 从点O 同时出发，以每秒1 个单位的速度向点A 运动，到达端点即停止运动，运动时间
为t 秒，连
．
(1)写出B 点的坐标；
(2)填写下表：
时间t（单位：秒）
1
2
3
4
5
6
的长度
的长度
的长度
四边形
的面积
①根据你所填数据，请描述线段
的长度的变化规律？并猜测
长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形
的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
21 / 37
学科网（北京）股份有限公司
(3)设点M、N 分别是
的中点，写出点M，N 的坐标，是否存在经过M，N 两点的反比例函数？如
果存在，求出t 的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)填写表格见解析，①
长度的最小值是
；②四边形
的面积不会发生变化
(3)
存在经过M，N 两点的反比例函数
【分析】（1）利用正方形的性质求解即可；
（2）①通过写点的坐标，填表，弄清楚本题的基本数量关系，由勾股定理计算出
，然后每个量的变化
规律，然后进行猜想；②用运动时间，表示线段
的长度，运用割补法求四边形
的
面积，
（3）由中位线定理得点
，反比例函数图象上点的坐标特点是
，利
用该等式求值．
【详解】（1）
；
（2）填表如下：
时间t（单位：秒）
1
2
3
4
5
6
的长度
6
5
4
3
2
1
的长度
1
2
3
4
5
6
的长度
5
5
四边形
的面积
24.5
24.5
24.5
24.5
24.5
24.5
①线段
的长度的变化规律是先减小再增大，
长度的最小值是
．
②根据所填数据，四边形
的面积不会发生变化；
∵
，
∴四边形
的面积不会发生变化．
（3）点
，
当
时，则
，
∴当
存在经过
两点的反比例函数．
【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表
22 / 37
学科网（北京）股份有限公司
示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点：
(定值)等，
可有助于提高解题速度和准确率．
28．已知，视力表上视力值
和字母
的宽度
（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字
母
的宽度
如图1 所示，经整理，视力表上部分视力值
和字母
的宽度
（mm）的对应数据如表所示：
位置
视力值
的值（mm）
第1 行
0.1
70
第5 行
0.25
28
第8 行
0.5
14
第14 行
2.0
3.5
(1)请你根据表格数据判断并求出视力值
和字母
的宽度
（mm）之间的函数表达式，并说明理由；
(2)经过测量，第4 行和第7 行两行首个字母E 的宽度a（mm）的值分别是35mm 和17.5mm，求第4 行、
第7 行的视力值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据表格数据可知，视力值
和随着宽度
减小而增大，且视力值
和宽度
的积为定值，
即可判定视力值
和宽度
成反比例函数关系，待定系数法求解即可；
（2）将
，
，分别代入
，求解即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值
和随着宽度
减小而增大，且视力值
和宽度
的积为定
值，故视力值
和宽度
成反比例函数关系，
设视力值
和宽度
的函数解析式为：
，
将点
，
代入求得
，
故视力值
和宽度
的函数解析式为：
．
（2）解：∵第4 行首个字母E 的宽度a（mm）的值是35mm，
23 / 37
学科网（北京）股份有限公司
即
，将
代入
，求得
；
∵第7 行首个字母E 的宽度a（mm）的值是17.5mm，
即
，将
代入
，求得
；
故求第4 行、第7 行的视力值分别是
，
．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键．
29．如图，某养鸡场利用一面长为11m 的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为
，设与墙垂直的边
长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y 与x 的函数关系式为______；
(2)现有两种方案
或
，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5 和x = 6 时的y 值，结合墙长11m 即可得出应选
x = 6 的设计方案，再将其代入2x + y 中即可求出此栅栏的总长．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∴y 与x 的函数关系式为：
，
故答案为：
；
（2）解：当x= 5 时，
，
∵
，
∴不符合题意，舍去；
当x=6 时，
，
∵
，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6 的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y 与x 的函数
24 / 37
学科网（北京）股份有限公司
关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5 和x=6 时的y 值．
30．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数．
(1)火车从石家庄驶往相距约
的北京，若火车的平均速度为
，求火车距石家庄的距离
与行驶的时间
之间的函数关系式．
(2)某中学现有存煤
，如果平均每天烧煤
，共烧了y 天，求y 与x 之间的函数关系式．
(3)一个游泳池容积为
，注满游泳池所用的时间
随注水速度x
的变化而变化，求y 与
x 之间的函数关系式．
【答案】(1)
，是正比例函数，比例系数为
(2)
，是反比例函数，比例系数为
(3)
，是反比例函数，比例系数为
【分析】(1)根据题意即可写出函数关系式；
(2)根据题意即可写出函数关系式；
(3)根据题意即可写出函数关系式；
【详解】（1）解：由题意可得：
，是正比例函数，比例系数为
；
（2）解：由题意可得：
，是反比例函数，比例系数为
；
（3）解：由题意可得：
，是反比例函数，比例系数为
．
【点睛】本题考查了根据题意写函数解析式，理解题意，正确写出函数关系式是解决本题的关键．
1．下列函数是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案．即反比例函数的定义为：形如
（
是不为
的常数）的函数是反比例函数．
【详解】解： A、
是正比例函数，不符合反比例函数定义；
25 / 37
学科网（北京）股份有限公司
B、
是一次函数，不符合反比例函数定义；
C、
中
，符合反比例函数定义；
D、
是正比例函数，不符合反比例函数定义．
2．物体匀速下落过程中，下落高度
与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的
是（ ）．
A．路程一定，速度与时间
B．圆的面积与半径
C．正方形周长与边长
D．匀速行驶路程与时间
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出各选项变量的函数关系式，结合反比例函数定义
（
为常数，
）判断即可．
【详解】首先明确反比例函数定义，形如
（
为常数，
）的函数是反比例函数，
选项A 中，设路程为，为定值且
，速度为，时间为，由
变形得
，符合反比例函数定
义，是反比例函数，A 符合题意；
选项B 中，圆面积
，是二次函数，不是反比例函数，B 不符合题意；
选项C 中，正方形周长
，是正比例函数，不是反比例函数，C 不符合题意；
选项D 中，匀速行驶时，设速度为定值，路程
，是正比例函数，不是反比例函数D 不符合题意．
3．若x 和y 成反比例关系，则
的值是（ ）
x
2
a
y
6
b
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】根据反比例关系得到
求解即可；
【详解】
x 和y 成反比例关系，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．若
是反比例函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
26 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键．
反比例函数的标准形式为
或
，其中
为常数且
，据此对选项进行判断．
【详解】解：反比例函数的标准形式为
或
，其中
为常数且
，
∵
是反比例函数，
，
∴
．
故选：
．
5．若函数
是反比例函数，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为
，其中
是解题的关键．
根据反比例函数的定义列式方程计算即可．
【详解】解：∵函数
是反比例函数，
∴
且
，
解得：
．
故选B．
6．在反比例函数
中，当
时，
，则k 的值为（ ）
A．5
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握
反比例函数的定义并能运用求解．
将给定的x 和y 值代入反比例函数解析式，得到关于k 的一元一次方程求解．
【详解】解：∵当
时，
，
∴代入
，得：
，
两边同时乘以
，得：
，
∴
，
故选：C．
7．下列函数：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，其中y 是x 的反比
例函数的有（ ）
27 / 37
学科网（北京）股份有限公司
A．②③⑥
B．①③⑥
C．①③⑤
D．④⑤⑥
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如
（其中
且k 为常数）的函数是反比例函数，据此
定义判断即可．
【详解】解：由
得
，
，故反比例函数有：①③⑥；
故选：B．
8．已知反比例函数的解析式为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．a 为任意实数
【答案】C
【分析】本题考核知识点：反比例函数定义，解题关键点：理解反比例函数定义，根据反比例函数的定义
可得
，可解得．
【详解】解：根据反比例函数的定义可得
，
解得
．
故选C．
9．对于实数
，我们用
表示不超过
的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数
的最大值为1，最小值为0
C．函数
不存在对称轴
D．随着
的增大，函数
和函数
越来越接近
【答案】B
【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解
的含义，通过取特殊值法来进行判断．
【详解】解：A．
正确，不符合题意；
B．函数
没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意；
C．当
时，
，当
时，
，故函数
不存在对称轴，正确，不符合题意；
D．随着
的增大，函数
和函数
的函数值越来越接近0，正确，不符合题意；
故选：B．
28 / 37
学科网（北京）股份有限公司
10．若点
都在反比例函数
的图像上，则m 与n 之间的数量关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
将
代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：将
代入反比例函数
，
得到：
，
∴
，
故选：B．
11．下列函数：①
：②
；③
；④
；⑤
．其中y是
的反比例函数
的有______（填序号）．
【答案】②⑤
【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量y与
的关系可以表示为
（
为常数，
）的形式，
则y是
的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可．
【详解】解：①
是一次函数，不是反比例函数．
②
符合反比例函数定义，是反比例函数．
③
是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数．
④
分母为
，不符合
的形式，不是反比例函数．
⑤
，符合反比例函数定义，是反比例函数．
符合题意的有②⑤．
12．已知点
在反比例函数
的图像上，则
_______．
【答案】
【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点
的坐标代入反比例函数解析式即可求出
的值．
【详解】解：点
在反比例函数
的图象上，
29 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴
，
解得
．
13．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是
和
，则动力
（单位：
）与动力臂
（单位：
）之间的函数表达式是______．
【答案】
【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂
动力动力臂”即可得到函数表达式．
【详解】解：∵阻力阻力臂
动力动力臂，阻力和阻力臂分别是
和
，
∴
，
即
．
故答案为：
．
14．已知
是同一个反比例函数图像上的两个点，则
的值为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，
根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解．
【详解】解：∵点
和点
在同一个反比例函数图象上，
∴
，
解得
．
故答案为：
．
15．点
在反比例函数
的图像上，则
的值是_______．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点
代入反比例函数解析式，求解m 的值．
【详解】解：∵点
在反比例函数
的图像上，
30 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴代入解析式得：
．
故答案为：
．
16．若函数
是反比例函数，则
________．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答．
【详解】解：∵函数
是反比例函数，
∴
，
解得：
，
故答案为：
．
17．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为
），现打算沿墙围一个面积为
的矩形花圃．设
花圃的长
为
，宽为
，则y关于
的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________．
【答案】
，
【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方
形的面积
长宽，可得
，进而得出y 关于x 的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为
求得x 的取值范围．
【详解】解：解：由题意得
，即
．
∵围墙可利用的最大长度为
，
∴
，
故答案为：
，
．
18．在平面直角坐标系xOy中，若函数
的图象经过点
和
．则
______．
【答案】0
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的
表达式是解决问题的关键．将点
和
代入
之中得
，
，由此可得
的值．
【详解】
31 / 37
学科网（北京）股份有限公司
解：
函数
的图象经过点
和
，
，
，
，
，
．
故答案为：0．
19．已知函数
是关于
的反比例函数，则
的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得
，然后
求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如
的函数叫做反比例函数．
【详解】∵函数
是关于
的反比例函数，
∴
，解得：
，
故答案为：
．
20．下列函数，①
②.
③
.
④
⑤
⑥
；其中是y 关于x 的
反比例函数的有：_________________．
【答案】④⑥．
【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.
【详解】①x（y+2）=1，可化为y=
，不是反比例函数；
②
，y 与（x+1）成反比例关系；
③
是y 关于x2的反比例函数；
④
符合反比例函数的定义，是反比例函数；
⑤
是正比例函数；
⑥
符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为④⑥．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.
21．若函数
是反比例函数，试求
的值．
32 / 37
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的两种形式：
和
，
由此需同时满足两个条件：自变量
的指数为
，且系数不为
，据此列式求出
的值，再代入代数式计
算即可．
【详解】解：∵函数
是反比例函数，
∴
，
解
，得
；
当
时，
，满足系数不为
的条件；
当
时，
；
故答案为：．
22．下列函数是否是反比例函数？为什么？
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析
【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：
(
为常数，
，
)，
，
．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足
、自变量
的次数为
(或分母为单独的
)．
（1）分析函数中
的次数，判断是否符合反比例函数对
次数的要求；
（2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义；
（3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断；
（4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数
是否不为0；
（5）观察分母是否为单独的自变量
，判断是否符合定义；
（6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式．
【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量
的次数为
，而
中
的次数是
，不符合反比
例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（2）解：∵
，符合反比例函数
的形式，
∴是反比例函数；
（3）解：∵
，是形如
的正比例函数，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
33 / 37
学科网（北京）股份有限公司
（4）解：∵
符合反比例函数
的标准形式，
∴是反比例函数；
（5）解：∵该函数的分母是
，不是单独的自变量
，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数；
（6）解：∵
是
与常数
的和，不是纯粹的
的形式，不符合反比例函数的定义，
∴不是反比例函数．
23．若函数
是反比例函数，求m 的值．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义列式计算即可求出答案．
【详解】解：∵反比例函数可表示为
（
），函数
是反比例函数，
∴
．
解得
．
24．已知
．
(1)当
为何值时，y是
的正比例函数？
(2)当
为何值时，y是
的反比例函数？当
时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
；
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：
（1）根据正比例函数的定义可得
且
，即可求解；
（2）根据反比例函数的定义可得
且
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
是正比例函数，
∴
且
，
解得：
；
（2）解：∵
是反比例函数，
∴
且
，
解得：
；
∴该反比例函数的解析式为
，
34 / 37
学科网（北京）股份有限公司
当
时，
，
解得：
．
25．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表：
每本的页数
16
20
25
30
60
可以装订的
本数
225
180
60
(1)将表格补充完整．
(2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由．
(3)如果现在需要用这批纸装订
本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？
【答案】(1)见解析
(2)成反比例，理由见解析
(3)
页
【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以
对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以
本，
即可得到每本的页数.
【详解】（1）解：总页数为：
（页）；
当页数为
页时，本数为：
（本）；
当页数为
页时，本数为：
（本）；
故表格如下：
每本的页数
16
20
25
30
60
可以装订的本数
225
180
144
120
60
（2）解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下：
根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的
积一定，所以成反比例.
（3）解：
（页）．
故每本练习本有
页．
26．已知函数
(1)若y 是x 的正比例函数，求m 的值．
(2)若y 是x 的反比例函数，求m 的值．
【答案】(1)
35 / 37
学科网（北京）股份有限公司
(2)
【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义求解即可；
（2）根据反比例函数的定义求解即可；
【详解】（1）解：由题意得，
，
解得，
；
答：当
时，y是
的正比例函数；
（2）解：由题意得，
，
解得，
；
答：当
时，y是
的反比例函数．
27．已知反比例函数
，求：
(1)自变量
的取值范围．
(2)当
时，函数y的值．
(3)当
时，自变量
的值．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图
象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答．
【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，
．
（2）将
代入
中，得
．
（3）将
代入
中，得
，解得
．
28．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：
(1)在
的匀速运动中，运动路程
是时间
的函数；
(2)某学校要在校园中辟出一块面积为
的长方形土地做花圃，这个花圃的长
是宽
的函数．
【答案】(1)
36 / 37
学科网（北京）股份有限公司
，是正比例函数，自变量取值范围为
(2)
，是反比例函数，自变量取值范围为
【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程
是时间
的函数关系式，再根据正比
例函数的定义解答即可；
（2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长
是宽
的函数关系式，再根据反比例函数的定义
解答即可．
【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得
，该式符合正比例函数
的形式，
因此是的正比例函数，
运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是
．
（2）解：∵长方形面积=长×宽，可得
，
变形得
，该式符合反比例函数
的形式，
因此y是
的反比例函数，
长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是
．
29．已知：
．
(1)化简
；
(2)若函数
为反比例函数，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的定义和分式的化简求值，正确计算是解答本题的关键．
（1）根据分式的除法法则进行计算即可；
（2）由反比例函数的定义求出
，再代入（1）化简的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵函数
为反比例函数，
∴
，
37 / 37
学科网（北京）股份有限公司
∴
．
30．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下．
每块地砖的面积
0.2
0.3
0.6
0.8
…
所需地砖数量/块
300
20
0
100
75
…
(1)从表格中得到：
①这间教室有_____
；
②分别用
（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示y与
的关系为_____，y与
成_____比例关系；
(2)如果采用边长为5 分米的方砖铺这间教室，需要多少块？
【答案】(1)
60
①
；②
，反
(2)240 块
【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得y与
成反比例关系，再根
据表格中的数据可得对应的关系式；
（2）根据正方形面积计算公式可求出
的值，再将其代入解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，
∴这间教室有
；
②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，
∴y与
成反比例关系，由表格中的数据可得
，即
，y与
成反比例关系．
（2）解：
5 分米
米，
每块方砖面积
．
又
，
当
时，
．
答：需要240 块．
