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第12 讲点与圆、直线与圆的位置关系
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断点与圆的位置关系
题型2 利用点与圆的位置关系求半径
题型3 点与圆上一点的最值问题
题型4 判断直线和圆的位置关系
题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离
题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型9 有关切线的概念辨析
题型10 证明某直线是圆的切线
题型11 切线的性质定理
题型12 切线的性质和判定的综合应用
题型13 应用切线长定理求解
题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型15 三角形内心有关应用
题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型17 三角形内切圆与外接圆综合
题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
题型19 圆与三角形综合（压轴）
题型20 圆与四边形综合（压轴）
题型21 圆与函数综合（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
1. 掌握点与圆的三种位置关系及对应的数量判定方法。
2. 理解直线与圆的三种位置关系，熟记相关定义特征。
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切线长定理
三角形内心
3. 学会利用距离与半径的大小关系判定位置关系。
4. 能运用位置关系公式进行简单几何计算与判断证明。
5. 提升数形结合能力，熟练解决相关几何实际题型。
学习重点：掌握点、直线与圆的位置关系，会用数量关系准确判定位置关系。
学习难点：灵活运用数形结合思想，解决位置关系综合计算与推理问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点和圆的
点到圆心的距离与半径的关系
图示
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位置关系
文字语言
符号语言
点在圆内
圆内各点到圆心的距离都小于半径，
到圆心的距离小于半径的点都在圆内
点P 在圆内
<
d
r
点在圆上
圆内各点到圆心的距离都等于半径，
到圆心的距离等于半径的点都在圆上
点P 在圆上
=
d
r
点在圆外
圆内各点到圆心的距离都大于半径，
到圆心的距离大于半径的点都在圆外
点P 在圆外
>
d
r
注意：（1）利用d 与r 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定d 与r 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
即时即练
1．若
O 的半径为4cm ，点A 到圆心O的距离为5cm，那么点A 与
O 的位置关系是（
）
A．点A 在圆外
B．点A 在圆上
C．点A 在圆内
D．不能确定
【答案】A
【分析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d 与圆半径r 的大小关系，当d
r
>
时点在圆外，
当d
r
时点在圆上，当d
r
时点在圆内；
【详解】
O 的半径为4cm ，点A 到圆心O的距离为5cm，
5cm
4cm
d
r
，
点A 与
O 的位置关系是点A 在圆外．
2．线段
6
AB
，在以AB 为直径的
O 外有一点C ，则OC 的长的取值范围为______．
【答案】
3
OC
【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键．
通过直径
6
AB
得到该圆的半径为3，根据点C 在以AB 为直径的
O 外，即可得到OC 的长的取值范围．
【详解】解：∵线段
6
AB
，在以AB 为直径的
O 外有一点C ，
∴
1
2
OC
AB
，即
3
OC
，
故答案为：
3
OC
．
3．已知矩形ABCD的边
6
AB
cm
，
8
AD
cm
．
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(1)以点A 为圆心、8cm 为半径作
A，求点B，C，D 与
A的位置关系；
(2)若以点A 为圆心作
A，使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求
A的半径
r 的取值范围．
【答案】(1)点B 在
A内，点C 在
A外，点D 在
A上
(2)6cm
10cm
r
【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位
置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
（1）根据勾股定理求出AC 的长，进而得出点B，C，D 与
A的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r 的取值范围．
【详解】（1）解：如图所示，连接AC ，
∵在矩形ABCD中，
6
AB
cm
，
8
AD
cm
，
∴
6
AB
CD
cm
，
8cm
AD
BC
，
90
B
，
∴
2
2
6
8
10 cm
AC
，
∵
6cm
8cm
AB
，
∴点B 在
A内，
∵
8
AD
cm
，
∴点D 在
A上，
∵
10cm
8cm
AC
，
∴点C 在
A外；
（2）∵以点A 为圆心作
A，使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴
A的半径r 的取值范围是6cm
10cm
r
．
知识点02 直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系
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直线与圆有三种位置关系，如下所示：
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公共点
时，叫做直线与圆相交
直线和圆只有一个公共
点时，叫做直线与圆相切
直线和圆没有公共点时，
叫做直线与圆相离
图示
公共点个数
2
1
0
圆心到直径的距离d 与圆
半径r 之间的大小关系
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
交线/割线
切线
无
结论
直线与
相交
直线与
相切
直线与
相离
判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
即时即练
4．平面内，若
O 的半径为3，圆心O到直线l 的距离为2 ，则直线l 与
O 的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小来判断．
【详解】
O 的半径
3
r ，圆心O到直线l 的距离
2
d
，
2
3
d
，即d
r
，
直线l 与
O 相交．
故选A ．
5．已知在直角坐标系中，以点
0,3
A
为圆心，以3 为半径作
A，则直线
2
0
y
kx
k
与
A的位置关
系是__________（相切、相交或相离）．
【答案】相交
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据直线与y 轴的交点在
A内部，即可确定直线与圆的位置关
系是相交．
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【详解】解：当
0
x
时，
0
2
2
y
k
，
即直线
2
0
y
kx
k
与y 轴的交点为(0,2) ，而此点在
A内部，
∴直线
2
0
y
kx
k
与
A的位置关系是相交；
故答案是：相交．
6．如图坐标系中，
1 2
A ，，以A 为圆心，r 为半径画圆，
(1)当
A与坐标轴有一个公共点时，r 的取值范围是；
(2)当
A与坐标轴有两个公共点时，r 的取值范围是；
(3)当
A与坐标轴有三个公共点时，r 的取值范围是；
(4)当
A与坐标轴有四个公共点时，r 的取值范围是；
【答案】(1)
1
r
(2)1
2
r
(3)
2
r
或
5
r
(4)2
5
r
或
5
r
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出
A恰好与y 轴相切
时，当
A恰好与x 轴相切时，当
A恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可．
（1）求出当
A恰好与y 轴相切时的半径长即可得到答案；
（2）求出当
A恰好与x 轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案；
（3）求出当
A恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当
A恰好与x 轴相切时，
A恰好经过原点时，
此时
A与坐标轴有3 个交点；
（4）当半径大于
A与x 轴相切时的半径长时，
A与x 轴和y 轴都有两个不同的交点，出去
A经过原点
时的半径长，此时
A与坐标轴有4 个交点，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，当
A恰好与y 轴相切时，设切点为C，连接AC ，
∴AC
y
轴，
∵
1 2
A ，，
∴
1
r
AC
，
当
1
r 时，
A必定与y 轴有两个交点，当0
1
r
时，
A与x 轴和y 轴都无交点，
∴当
A与坐标轴有一个公共点时，r 的取值范围是
1
r ，
故答案为：
1
r ；
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（2）解：如图所示，当
A恰好与x 轴相切时，设切点为D，连接AD ，
∴AD
x
轴，
∵
1 2
A ，，
∴
2
AD
，
∴当1
2
r
时，
A与y 轴有两个交点，与x 轴无交点，
当
2
r
时，
A与x 轴和y 轴都有两个不同的交点，即此时
A与坐标轴最少有3 个交点，
∴当
A与坐标轴有两个公共点时，r 的取值范围是1
2
r
，
故答案为：1
2
r
；
（3）解：由（2）可知，当
2
r
时，
A与y 轴有两个交点，与x 轴有一个交点，且不是原点，
∴当
2
r
时，
A与坐标轴有3 个交点；
如图所示，当
A恰好经过原点时，此时
A与y 轴有两个交点，与x 轴有两个交点，但是其中有一个交点
是原点，即此时
A与坐标轴有三个交点，
∴此时
2
2
2
0
1 0
5
r
；
综上所述，当
2
r
或
5
r
时，
A与坐标轴有三个交点，
故答案为：
2
r
或
5
r
；
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（4）解：如图所示，当2
5
r
或
5
r
时，
A与y 轴有两个交点，与x 轴有两个交点，且不经过原点，
即此时
A与坐标轴有4 个交点，
故答案为：2
5
r
或
5
r
．
知识点03 切线的判定定理与性质定理
切线的判定定理与切线的性质定理
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图所示，OA 是
的一条半径，直线l 经过点A 且OA⊥l，则l 是
的切线.
判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：
（1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；
（2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
（3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图所示：直线l 是
的切线，切点为点A，则OA⊥l.
即时即练
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7．如图：等腰ABC ，以腰AB 为直径作
O 交底边BC 于P，PE
AC
，垂足为E．求证：PE 是
O 的切
线．
【答案】见详解
【分析】连接OP ，推出
90
BPA
，根据等腰三角形性质求出BP
PC
，根据三角形中位线定理求出
OP
AC ，推出OP
PE
，根据切线的判定推出即可．
【详解】证明：连接OP ，
∵AB 是
O 的直径，
90
APB
，
AB
AC
，
BP
CP
，
OB
OA
，
OP
为ABC 的中位线，
OP
AC
，
PE
AC
，
OP
PE
，
PO 是半径，
∴PE 是
O 的切线．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理
等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，
连接圆心和该点证垂直．
8．如图，AB 为
O 的直径，取OA的中点C，过点C 作CD
AB
交
O 于点D，D 在AB 的上方，连接AD 、
BD ，点E 在线段CA 的延长线上，且AD
AE
．
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(1)求
E
的度数；
(2)试判断ED 与
O 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
30
E
(2) ED 与
O 的位置关系是相切，
理由如下：
由（1）知
30
ADE
，
60
ADO
，
90
ODE
，
OD
DE
，
ED
是
O 的切线．
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅
助线是解题的关键．
（1）如图，连接OD ，根据等腰三角形的性质得到AD
OD
．推出OAD 是等边三角形．得到
60
OAD
，
再结合AD
AE
即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理得到
90
ODE
．由垂直的定义得到OD
DE
．推出DE 是
O 的切线．
【详解】（1）解：如图，连接OD ，
OA
OD
，
点C 为OA的中点，CD
AB
，
AD
OD
，
OA
OD
AD
，
OAD
是等边三角形，
60
OAD
，
AD
AE
，
1
30
2
E
ADE
OAD
；
（2）略
9．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，DC 与
O 相切于点C．连接BC ，AC ．
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(1)求证：
A
BCD
；
(2)若
45
D
，
O 的半径为2，求线段AD 的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)2 2
2
【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的
关键．
（1）连接OC ，根据切线的性质得到
90
BCD
OCB
，根据AB 是
O 的直径，得到
90
A
OBC
，
根据
OCB
OBC
，证明
A
BCD
；
（2）根据
45
D
，
O 的半径为2，求出OD ，进而求出AD ．
【详解】（1）证明：连接OC ，
DC 是
O 的切线，
90
OCD
，即
90
BCD
OCB
，
AB 是
O 的直径，
90
ACB
，
90
A
OBC
，
OC
OB
，
OCB
OBC
；
（2）解：在Rt OCD中，
45
D
，
2
OC
，
2
OC
CD
，
2
2 2
OD
OC
，
2
2 2.
AD
OA
OD
知识点04 三角形的内切圆
三角形的内切圆
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1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的
内部.
3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂
线段的长度就是内切圆的半径.
补充：三角形外心与内心对比：
图形
名称
性质
位置
角度关系
外心（三角形外接
圆的圆心，三角形
三边中垂线的交
点）
到三角形三个顶
点的距离相等
外心不一定在三
角形的内部
∠BOC＝2∠A
内心（三角形内切
圆的圆心，三角形
三条内角平分线
的交点）
到三角形三边距
离相等
内心一定在三角
形的内部
∠BOC＝90°＋
∠A
即时即练
10．如图，ABC 中，
80
A
，点O是ABC 的内心．则
BOC
的度数（
）
A．60
B．80
C．120
D．130
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先
根据三角形的内角和定理可得
100
ABC
ACB
，再根据三角形的内心可得BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，从而可得
50
OBC
OCB
，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵ABC 中，
80
A
，
∴
180
100
ABC
ACB
A
，
∵点O是ABC 的内心，
∴BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，
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∴
1
2
OBC
ABC
，
1
2
OCB
ACB
，
∴
1
1
1
50
2
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
ABC
ACB
，
∴
180
130
OB
OC
B
B
C
OC
，
故选：D．
11．如图，点I 和O分别是ABC 的内心和外心，若
125
AIB
，则
AOB
的度数为（
）
A．120
B．125
C．135
D．140
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用
C
表示出
AIB
和
AOB
，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．
【详解】解：∵点I 是ABC 的内心，
∴
1
2
IAB
CAB
，
1
2
IBA
CBA
，
∴
180
AIB
IAB
IBA
1
180
2
CAB
CBA
1
180
180
2
C
1
90
2
C
，
∵
125
AIB
，
∴
70
C
，
∵点O 是ABC 的外心，
∴
2
140
AOB
C
，
故选：D．
12．如图，圆O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°；
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【答案】125
【分析】根据三角形的内心的概念得到
1
1
30 ,
25 ,
2
2
ABC
OCB
ACB
OBC
然后根据三角形内角
和定理计算即可．
【详解】解：∵圆O 是△ABC 的内切圆，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴
1
1
30 ,
25 ,
2
2
ABC
OCB
ACB
OBC
∴∠BOC
180
180
30
25
125
OBC
OCB
．
故答案为：125．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角
角平分线的交点是解题的关键．
知识点05 切线长及切线长定理
切线长及切线长定理
1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；
2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角.
拓展：如图所示：过
外一点P 引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO 并延
长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌
△BCP；③弧相等：
.
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即时即练
13．如图，P 是
O 外一点，PA ，PB 分别和
O 切于A、B，C 是弧AB 上任意一点，过C 作
O 的切线分
别交PA ，PB 于D、E，若PDE 的周长为20cm ，则PA 长为_______．
【答案】10cm/10 厘米
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理和正确计算是解题的关键．
先根据切线长定理，得到PA
PB
，DA
DC
，EB
EC
，再根据线段之间的关系即可求解．
【详解】解：
PA ，PB 分别和
O 切于A、B，
PA
PB
，
过C 作
O 的切线分别交PA ，PB 于D、E，
DA
DC
，EB
EC
PDE 的周长为20cm ，
20
PD
DE
PE
cm ，
20
PD
DC
EC
PE
cm ，
20
PD
DA
EB
PE
cm ，
则
20
PA
PB
cm ，
2
20
PA
cm ，即
10
PA
cm ．
故答案为10cm．
14．如图，AC ，AB ，BD 是
O 的切线，切点分别为C，E，D 点，若
12
AB
，
3
BD
，则AC 的长为
________．
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【答案】9
【分析】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理．
根据切线长定理得到AC
AE
，
3
BE
BD
，然后求出AE ，进而得到
9
AC
AE
．
【详解】解：∵AC ，AB ，BD 是
O 的切线，
∴AC
AE
，
3
BE
BD
，
∵
12
3
9
AE
AB
BE
，
∴
9
AC
AE
．
故答案为：9．
15．如图，PA
PB
、
是
O 的切线，A
B
、为切点，
30
OAB
．
(1)求
APB
的度数；
(2)当
3
AP
时，求
O 的半径．
【答案】(1)
60
APB
；
(2)
O 的半径为3 ．
【分析】本题考查了切线长定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质．
（1）根据等腰三角形等边对等角可得
30
OAB
OBA
，根据圆切线的性质可得
90
PAO
PBO
，
从而得到
60
PAB
PBA
，求得PAB 是等边三角形，据此求解即可；
（2）根据切线长定理得到
30
APO
BPO
，根据含30 度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算即
可求解．
【详解】（1）解：∵OA
OB
，
∴
30
OAB
OBA
，
∵PA
PB
、
是
O 的切线，
∴
90
PAO
PBO
，
∴
60
PAB
PBA
，
∴PAB 是等边三角形，
∴
60
APB
；
（2）解：连接OP ，
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∵PA
PB
、
是
O 的切线，
∴OP 平分
APB
，
∴
30
APO
BPO
，
∴
2
OP
OA
，
∵
3
AP
，
2
2
2
OP
OA
AP
，
∴
2
2
2
2
3
OA
OA
，
∴
3
OA
，
∴
O 的半径为3 ．
题型1 判断点与圆的位置关系
1．已知
O 的半径为6，点A 到圆心O的距离为7，则点A 与圆的位置关系为（
）
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．不确定
【答案】C
【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系．
【详解】解：∵点A 到圆心O 的距离为7，
O 的半径为6，且7
6
，
∴点A 在
O 外．
2．已知
O 的半径是3，点P 在
O 上，则点P 到圆心O的距离d 满足（
）
A．
3
d
B．
3
d
C．
3
d
D．
6
d
【答案】B
【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离与半径相等，即可求解．
【详解】解：∵点P 在
O 上，
O 的半径为3，
∴
3
d
．
3．已知
O 的直径是10，点P 到圆心O 的距离d 为方程
2
4
5
0
x
x
的一个根，则点P 在
O 的_____．
（填
“内部”、“外部”、“上”）
【答案】上
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【分析】先解一元二次方程得到d 的值，再求出圆的半径，比较后判断即可．
【详解】解：
2
4
5
0
x
x
，
解得
5
x
或
1
x ，
∵点P 到圆心O的距离d 为方程
2
4
5
0
x
x
的一个根，
∴
5
d ，
∵
O 的直径是10，
∴
O 的半径
5
r
，
∴d
r
，
∴点P 在
O 上．
4．设
O 的半径为2，点P 到圆心O 的距离OP
m
，且m 使得关于x 的方程
2
2
2 2
1
0
x
x
m
没有实
数根，则点P 与
O 的位置关系为________．
【答案】点P 在圆外
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系．先根据一元二次方程无实数根的条件，
列不等式求出m 的取值范围；再确定点P 与
O 的位置关系．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
2
2 2
1
0
x
x
m
没有实数根，
∴
2
2
Δ
4
2 2
4 2
1
b
ac
m
8 8
1
m
8 8
8
m
16
8
0
m
，
解得
2
m
，
∵
O 的半径为2，
∴点P 到圆心O 的距离
2
OP
，
∴点P 与
O 的位置关系为点P 在圆外，
故答案为：点P 在圆外．
题型2 利用点与圆的位置关系求半径
5．平面上的一点和
O 的最近点距离为4cm ，最远距离为10cm，则这个圆的半径是（
）
A．7cm
B．3cm 或5cm
C．3cm 或7cm
D．5cm或7cm
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．
分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解
【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r，
当点在圆外时，
∵最近距离为
4
d
r
，最远距离为
10
d
r
，
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∴两式相加，2
14
d
，
即
7
d
，
代入
4
d
r
，
得
3
r ；
当点在圆内时，
∵最近距离为
4
r
d
，最远距离为
10
r
d
，
∴两式相加，2
14
r
，
解得：
7
r
；
∴圆的半径为3cm 或7cm．
故选：C．
6．已知矩形ABCD中，
4
3
AB
BC
，
，以点B 为圆心r 为半径作圆，且
B 与边CD有唯一公共点，则r
的取值范围为（
）
A．3
4
r
B．3
5
r
＜
C．3
4
r
D．3
5
r
【答案】D
【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于
,
BD
AB
BC
根据点与圆的位置
关系得到3
5
r
，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d
r
>
时，点在圆外；当d
r
时，点在
圆上，当d
x
时，点在圆内．
【详解】解：如图：连接AC
BD
、
,
∵矩形ABCD中，
4,
3,
AB
BC
2
2
5,
BD
AC
AB
BC
3,
4,
AD
BC
CD
AB
∵以点B 为圆心作圆，
B 与边CD有唯一公共点，
∴
B 的半径r 的取值范围是：3
5
r
，
故选：D．
7．如图，在矩形ABCD中，
3
AB
，
4
AD
．以点A 为圆心作
A，且使点B 、C 、D 中至少有一个点在
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A 内，同时至少有一个点在
A外，则
A的半径r 应满足的条件是________．
【答案】3
5
r
【分析】根据勾股定理求出AC 的长，进而得出点B ，C ，D 与
A的位置关系，即可得出半径r 的取值范
围．
【详解】如图，连接AC ，
3
AB ，
4
AD
，
5
AC
，
以点A 为圆心作
A，使点B 、C 、D 中至少有一个点在
A内，同时至少有一个点在
A外，
A
的半径r 的取值范围是：3
5
r
．
【点睛】当d
r
>
时，点在圆外；当d
r
时，点在圆上；当d
r
时，点在圆内．
8．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，
8
AC
，
6
BC
，点O为AB 的中点．现以点O为圆心，r 为半径
作圆．若
O 与三角形的三边（包括顶点）有3 个公共点，则r 的值为________．
【答案】3或5
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，斜边中线的性质．作OD
AC
，
OE
BC
，垂足分别为D ，E ，连接OC ，求得
3
OD
，
4
OE
，结合图形即可求解．
【详解】解：∵
90
ACB
，
8
AC
，
6
BC
，
∴
2
2
6
8
10
AB
，
作OD
AC
，OE
BC
，垂足分别为D ，E ，连接OC ，
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∵点O为AB 的中点，
90
ACB
，
∴
1
5
2
OC
OA
OB
AB
，
∴AD
CD
，BE
CE
，
∴
1
3
2
OD
BC
，
1
4
2
OE
AC
，
∴当
3
r 时，
O 与三角形的三边有3 个公共点；
当
5
r
时，
O 恰好经过三角形的三个顶点；
故答案为：3或5．
【易错警示】
利用点与圆的位置关系求半径时，容易混淆点在圆内、圆上、圆外的距离范围。解题时常忽略分类讨论，
混淆圆心到点的距离与半径的大小关系，错用对应公式，造成半径求解结果漏解或错解。
题型3 点与圆上一点的最值问题
9．如图，在正方形ABCD中，
4
AB
，
,
E F 分别是边CD和AD 上的动点，且AF
DE
，BE 与CF 交于点
G ，连接AG ，则AG 的最小值是（
）．
A．2 5
2
B．3
C．2 2
D．2 2
2
【答案】C
【分析】利用SAS 可证CDF
BCE
≌
，根据全等三角形对应角相等，可证
90
BGC
，确定点G 在以BC
为直径的圆弧上运动，然后利用勾股定理即可求出线段最小值．
【详解】解：如图所示，取线段BC 的中点O，以点O为圆心，1
2 BC 长为半径画圆，连接OA交
O 于点G，
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在正方形ABCD 中，
AF
DE
，
DF
CE
，
又
CD
BC
，
90
D
BCE
，
SAS
CDF
BCE
≌
，
DCF
CBE
,
90
DCF
BCG
90
CBE
BCG
，
90
BGC
，
∴点G 在以BC 为直径的圆弧上运动，
如下图所示，当点E 与点D 重合，点F 与点A 重合时，AG 最小，
四边形ABCD是正方形，
4
AB
，
2
2
2
2
1
1
1
1
4
4
4 2
2 2
2
2
2
2
AG
AC
AB
OB
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解决本题的
关键是根据
90
BGC
判断点G 在以BC 为直径的圆弧上运动．
10．如图，矩形ABCD中，
4
AB
，
6
AD
，点
,
E F 分别是
,
AB BC 边上的两动点，且
2
EF
，点G 为EF
的中点，点H 为AD 边上一动点，连接
,
CH GH ，则GH
CH
的最小值为（
）
A．4 5
B．9
C．
83
D．85
【答案】B
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【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于
将所求折线转化为两点之间的距离．
根据题意得到点G 在以B 为圆心，以1为半径的
B 上运动（在矩形ABCD内部），作点C 关于AD 的对称
点C，连接C B交AD 于点H ，交
B 于点G ，此时GH
CH
有最小值，最小值为C G
，根据勾股定理求
出BC，即可得到答案．
【详解】解：在矩形ABCD中，
4
AB
CD
，
6
AD
BC
，
90
ABC
BCD
，
如图，连接BG ，
点
,
E F 分别是AB
BC
，
边上的两动点，且
2
EF
，点G 为EF 的中点，
1
1
2
BG
EF
，
点G 在以B 为圆心，以1为半径的
B 上运动（在矩形ABCD内部），
如图，作点C 关于AD 的对称点C，连接C B交AD 于点H ，交
B 于点G ，
CH
C H
，
GH
CH
GH
C H
，
∴此时GH
CH
有最小值，最小值为C G
，
2
8
C C
CD
，
2
2
2
C B
BC
C C
，
2
2
6
8
10
C B
10 1
9
C G
C B
BG
，
GH
CH
的最小值为9，
故选：B．
11．如图，点A，B 的坐标分别为
8,0
A
，
0,8
B
，C 为
B 上一点，
4
BC
，M 为线段AC 的中点，连接
OM ，则OM 的最小值为______．
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【答案】4 2
2
【分析】先证点C 在半径为4 的
B 上，可知，C 在BD 与圆B 的交点时，OM 最小，根据三角形的中位线
定理可得结论．
【详解】解：∵
8,0
A
，
0,8
B
，
∴
8
OA
OB
，
∵点C 为坐标平面内一点，
4
BC
，
∴C 在
B 上，且半径为4，
如图，在x 轴上取
8
OD
OA
，连接CD，
∵M 为线段AC 的中点，OD
OA
，
∴OM 是ACD的中位线，
∴
1
2
OM
CD
，
当OM 最小时，即CD最小，而D，B，C 三点共线时，
当C 在线段DB 上时，OM 最小，
∵
8
OB
OD
，
90
BOD
，
∴
2
8 2
BD
OB
，
∴
4
8 2
4
CD
BD
，
∴
1
4 2
2
2
OM
CD
，
即OM 的最小值为4 2
2
．
12．如图，在长方形ABCD中，
4
6
AB
AD
，
，E 点是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF
沿EF 所在的直线翻折，得GEF ，则GC 长的最小值是___________________．
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【答案】2 10
2
【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G 的运动轨迹是解题
的关键．
由轴对称的性质可得EG 长度不变，因此点G 在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，进而可得当点G 在
线段CE 上时，GC 的长取最小值．
【详解】解：以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点G 在线段CE 上时，GC 的长取最小值，
如图所示：
长方形ABCD中，
4
6
AB
AD
，
，E 点是AB 的中点，
1
2
2
BE
AB
，
6
BC
AD
，
90
EBC
，
2
2
2
2
2
6
2 10
CE
BE
BC
，
2 10
2
CG
CE
EG
，
即GC 长的最小值是2 10
2
，
故答案为：2 10
2
．
题型4 判断直线和圆的位置关系
13．如图，Rt ABC 中
90 ,
5,
3
C
AB
AC
，以AB 边的中点O为圆心，2 为半径作
O ，下列判断错误
的是（
）
A．点C 在
O 外
B．点A 在
O 内
C．BC 与
O 相交
D．AC 与
O 相切
【答案】B
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【分析】如图，连接OC ，过点O 作OE
AC
于点E，过点O 作OF
BC
于点F，由勾股定理得
4
BC
，
再根据直角三角形斜边上中线的性质得
1
5
2
2
2
OC
AB
OA
OB
，即可判定A、B；根据等腰三角形三
线合一的性质得BF
CF
，AE
CE
，则OE 、OF 是ABC 的中位线，
1
2
2
OE
BC
，
1
3
2
2
2
OF
AC
，
即可判定C、D．
【详解】解：如图，连接OC ，过点O 作OE
AC
于点E，过点O 作OF
BC
于点F，
∵Rt ABC 中
90 ,
5,
3
C
AB
AC
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
BC
AB
AC
，
∵点O是AB 边的中点，
∴
1
5
2
2
2
OC
AB
OA
OB
，
∴点C 在
O 外，点A 在
O 外，
故选项A 正确；选项B 错误；
∵OF
BC
，OC
OB
，
∴BF
CF
，
∵OE
AC
，OC
OA
，
∴AE
CE
，
∴OE 、OF 是ABC 的中位线，
∴
1
2
2
OE
BC
，
1
3
2
2
2
OF
AC
，
∴AC 与
O 相切，BC 与
O 相交，
故选项C、D 正确．
故选：B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的
性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关
键．
14．Rt ABC 中，
90
ACB
，
5
AC
，
12
BC
，以C 为圆心，r 为半径作圆，此圆与直线AB 只有一个
公共点，则r （
）
A．6
B．65
12
C．60
13
D．30
13
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【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据圆与直线AB
相切时只有一个公共点，因此半径r 等于点C 到直线AB 的距离即可得到答案．
【详解】解：∵在Rt ABC 中，
90
ACB
，
5
AC
，
12
BC
，
∴由勾股定理，
2
2
25 144
13
AB
AC
BC
.
设点C 到直线AB 的距离为d，
∵
1
1
5 12
30
2
2
ABC
S
AC
BC
，且
1
1 13
2
2
ABC
S
AB
d
d
，
∴
1
30
13
2
d
，
∴
60
13
d
.
∵圆与直线AB 相切，
∴
60
13
r
d
.
故选：C.
15．已知
O 的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为4 ，若关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
rx
有两个不相等
的实数根，则直线l 与
O 的位置关系为______．
【答案】相交
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系，由一元二次方程有两个不相等
的实数根，得判别式大于零，求出半径
4
r
，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，得出直线与圆
相交，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
rx
有两个不相等的实数根，
∴
2
2
4 1 4
16
0
r
r
，即
2
16
r
，
∵
0
r
，
∴
4
r
，
∵圆心O到直线l 的距离为4 ，且
4
r
，
∴距离小于半径，直线l 与
O 相交，
故答案为：相交．
16．如图，已知ABC 中，BC
BA
，
30
CAB
，
O 经过点B 和点C，与AC 交于点D，且
O 的圆心
O 在CA 边上．
(1)尺规作图：请根据题意，作出
O 并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）．
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(2)判断直线AB 与
O 的位置关系：_____________．
(3)若
2
AD
，则
O 的面积_____________．
【答案】(1)见解析
(2)相切
(3)2
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30 度的直角三角形，直线与
圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）作线段BC 的垂直平分线交AC 于点O，以O为圆心，OB 为半径作
O 交AC 于点D 即可；
（2）证明OB
AB
即可判断；
（3）证明
2
BD
AD
，BOD是等边三角形可得结论．
【详解】（1）解：由题意作图如下：
（2）解：如图，连接OB ，
∵BA
BC
，
∴
30
C
A
，
∵OC
OB
，
∴
30
OBC
C
，
∴
60
BOD
OBC
C
，
∴
180
90
OBA
BOD
A
，
∴OB
AB
，
∵OB 是半径，
∴直线AB 与
O 相切．
故答案为：相切．
（3）解：如图，连接BD ，
∵OB
OD
，
60
BOD
，
∴ODB 是等边三角形，
∴
60
ODB
，OB
BD
，
∵
ODB
A
DBA
，
30
A
，
∴
30
DBA
A
，
∴
2
BD
AD
，
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∴
2
OB
BD
，
∴
O 的面积
2
2
2
．
故答案为：2．
题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
17．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
4
AC
，
3
BC ．以点C 为圆心，r 为半径作圆．若
C 与斜边AB
所在直线有且只有一个公共点，则r 的值为（
）
A．12
5
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】首先由勾股定理求AB ，再用面积法求出C 到AB 的距离CD，然后根据切线的判定定理回答即可．
【详解】解：在Rt ABC 中，
90
C
，
4
AC
，
3
BC ．
2
2
2
2
4
3
5
AB
AC
BC
，
过点C 作CD
AB
于点D ，
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
，
3 4
12
5
5
AC CB
CD
AB
，
C 与斜边AB 所在直线有且只有一个公共点，
C 与AB 相切，
12
5
r
CD
．
18．已知在ABC 中，
90
C
，
3
AC
，
4
BC
，以点C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与斜边AB 有两
个公共点，则r 的取值范围是（）
A．
12
5
r
B．12
3
5
r
C．12
4
5
r
D．
12
5
r
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点C 到AB
的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求AB 的长，再用面积法求点C 到AB 的距离，结
合直线与圆的位置关系及AC 的长度，确定r 的取值范围．
【详解】解：
90 ,
3,
4,
C
AC
BC
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2
2
2
2
3
4
5,
AB
AC
BC
1
1
3 4
6,
2
2
ABC
S
AC
BC
△
又
1
2
ABC
S
AB
d
△
（d 为C 到AB 的距离），
即1
5
6
2
d
，
12
5
d
，
当
12
5
r
d
时，圆与AB 相切，有一个公共点，
当
12
5
r
时，圆与AB 相交，
为保证两个交点在线段AB 上，需
3,
r
AC
12
3.
5
r
故选：B．
19．如图，Rt ABC 中，以点A 为圆心作
A，与BC ，AC 有交点（不经过点B ，C 两点），
90
B
，
30
C
．若
3
AB
，则
A的半径r 的取值范围是________．
【答案】3
6
r
【分析】分别求出
A 与BC 相切时，
A过点C 时两种情况半径r 的值，再结合图像分析即可．
【详解】
90
B
，
30
C
，
3
AB
，
2
6
AC
AB
，
如图，当
A 与BC 相切时，半径
3
r
AB
，
当
A过点C 时，半径
6
r
AC
，
由图像可得，当
A与BC ，AC 有交点（不经过点B ，C 两点）时，
A 的半径r 的取值范围是3
6
r
．
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20．“等弦”的探究．
(1)如图①，在
O 中，AB ，CD是弦，且AB
CD
．由此，你能发现什么？小明发现点O到AB ，CD的距
离相等．小红发现延长AB ，CD交于点P ，则PA
PC
．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一
个完成证明．
(2)如图②，已知ABC ，O 与ABC 各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若
3
AC
，
4
BC
，
5
AB
，
O 的半径为r ，则r 的取值范围是_____．
【答案】(1)见解析
(2)1
2
r
【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对
等边即可得证；
（2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作ABC 角平分线的交点即可；
②因为得满足
O 与三边相交，所以找临界值相切时r 值，再看OA
OB
OC
、
、
最短的，就作为另一个临界值．
【详解】（1）解：①选择小明．
理由：如图①，过点O 分别作OE
AB
，OF
CD
，垂足分别为E、F，连接OA、OC ，
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∵OE
AB
，且OE 过圆心O，
∴
1
2
AE
EB
AB
，
∵OF
CD
，且OF 经过点O，
∴
1
2
CF
DF
CD
，
∵AB
CD
，
∴AE
CF
，
∵
90
AEO
CFO
，OA
OC
，
∴
Rt
Rt
HL
OEA
OFC
≌
，
∴OE
OF
，
即O 到AB 、CD的距离相等；
②选择小红．
证明：如图①，连接AC ，
∵AB
CD
，
∴AB
CD
，
∴AB
BD
CD
BD
，
∴AB
CD
，
∴
C
A
，
∴PA
PC
；
（2）解：如图②中，
O 即为所求．
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∵
3
4
5
AC
BC
AB
，
，
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
，
∴
90
ACB
，
当
O 是ABC 的内切圆时，
则有
1
1
3
4
5
3 4
2
2
r
，
解得
1
r ，
当
O 过点C 时可得
2
2
OC
r
，
又因为
O 得满足与三边相交，
∴1
2
r
．
故答案为：1
2
r
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
21．如图，已知
O 的半径为6，点O到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是（
）
A．AD
B．AB
C．BC
D．CD
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆
心到直线的距离为d，若d
r
直线与圆相交；若d
r
．直线与圆相切；若d
r
直线与圆相离．过
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点作OE
AB
于E，作OF
BC
于F，作OG
CD
于G，作OH
AD
于H，由图可知：AB 、AD 与圆相
交，BC 与圆相离，CD与圆相切，则
6
OE
，
6
OF
，
6
OH
，
6
OG
，即可求解．
【详解】解：过点作OE
AB
于E，作OF
BC
于F，作OG
CD
于G，作OH
AD
于H，
由图可知：AB 、AD 与圆相交，BC 与圆相离，CD与圆相切，
又∵
O 的半径为6，
∴
6
OE
，
6
OF
，
6
OH
，
6
OG
，
∵点O到矩形某条边的距离为8，且8
6
，
∴点O到矩形某条边的距离为8，这条边可以是BC ，
故选：C．
22．如图，在梯形ABCD 中，AD
BC ，
90
B
，
16
CD
，
6
BC
AD
，如果以CD为直径的圆与梯
形ABCD各边共有3 个公共点（C，D 两点除外），那么AD 长的取值范围是（
）
A．5
16
AD
B．5
8
AD
C．5
8
AD
D．0
5
AD
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线AB 和圆
的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，
得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线AB 相交，设直线AB 和圆相切于点E，
连接OE ，则OE
AB
，OE
AD
BC ，
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又∵OC
OD
，
∴此时EA
EB
．
根据梯形的中位线定理，得
6
3
2
AD
AD
OE
AD
，
∴
3
8
AD
，
∴
5
AD
，
∴直线要和圆相交，则0
5
AD
．
故选D．
23．已知
O 的半径是5，点A 在
O 上．P 是
O 所在平面内一点，且
2
AP
，过点P 作直线l ，使l
PA
．
（1）点O到直线l 距离的最大值为______；
（2）若M ，N 是直线l 与
O 的公共点，则当线段MN 的长度最大时，OP 的长为______．
【答案】
7
21
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，
（1）如图1，当点P 在圆外且O，A ，P 三点共线时，点O到直线l 距离的最大，可得结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN 是
O 的直径，根据勾股定理即可得到结论；
正确作出图形是解题的关键．
【详解】解：（1）如图1，
∵l
PA
，
O 的半径是5，
2
AP
，
∴当点P 在圆外且O，A ，P 三点共线时，点O到直线l 距离的最大，
最大值为：
5
2
7
AO
AP
，
故答案为：7 ；
（2）如图2，
∵M ，N 是直线l 与
O 的公共点，线段MN 的长度最大，
∴线段MN 是
O 的直径，
∵l
PA
，
∴
90
APO
，
∵
2
AP
，
5
OA
，
∴
2
2
2
2
5
2
21
OP
OA
PA
，
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∴OP 的长为
21 ，
故答案为：
21 ．
24．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
3
BC ，
4
AC
，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且
3
DE
，
若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为______．
【答案】12
5
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问
题，属于中考常考题型．如图，连接OM ，作OH
AB
于H ，CK
AB
于K ．由题意
2
2
2
2
MN
MH
OM
OH
，
3
2
OM
，推出欲求MN 的最大值，只要求出OH 的最小值即可．
【详解】解：如图，连接OM ，作OH
AB
于H ，CK
AB
于K ．
OH
MN
，
MH
HN
，
2
2
2
2
MN
MH
OM
OH
，
90
DCE
，OD
OE
，
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3
2
OC
OD
OE
OM
，
欲求MN 的最大值，只要求出OH 的最小值即可，
3
2
OC
，
点O的运动轨迹是以C 为圆心3
2 为半径的圆，
在Rt ACB 中，
3
BC
，
4
AC
，
2
2
3
4
5
AB
，
1
1
2
2
AB CK
AC BC
，
12
5
CK
，
当C ，O，H 共线，且与CK 重合时，OH 的值最小，
OH
的最小值为12
3
9
5
2
10
，
MN
的最大值
2
2
3
9
12
2 ( )
(
)
2
10
5
，
故答案为12
5 ．
题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离
25．如图，
30
APB
，圆心在边PB 上的
O 的半径为3cm ，
8
OP
cm
．若
O 在BP 上向点P 移动，当
O
与PA 相切时，圆心O移动的距离为________cm ．
【答案】2
【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半等
知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
当
O 移动到与PA 相切时，设圆心为O，切点为C ，由
90
O CP
，
30
APB
，
3cm
O C
，得O P
，
最后求解OO即可．
【详解】解：当
O 移动到与PA 相切时，设圆心为O，切点为C ，则PA
O C
，
∴
90
O CP
，
∵
30
APB
，
3cm
O C
，
∴
2
6cm
O P
O C
，
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∵
8
OP
cm
，
∴
8
6
2cm
OO
OP
O P
，
∴圆心O移动的距离为2cm ．
故答案为：2 ．
26．如图，在直线l 上有相距5cm 的两点A 和O（点A 在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm 的圆，
过点A 作直线AB
l
．将
O 以2
/
cm s 的速度向右移动（点O始终在直线l 上），则
O 与直线AB 在______
秒时相切．
【答案】2 或3
【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性
质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点O到AB 的距离为1cm 时，
O 与AB 相切，然后计算出圆向
右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【详解】解：当点O到AB 的距离为1cm 时，
O 与AB 相切，
开始时O点到AB 的距离为5，
当圆向右移动5 1
或5 1
时，点O到AB 的距离为1cm ，此时
O 与AB 相切，
(5 1)
2
2(s)
t
或
(5 1)
2
3(s)
t
，
即
O 与直线AB 在2 秒或3 秒时相切．
故答案为：2 或3．
27．如图，直线AB 、CD相交于点O，
45
AOC
，
P 的半径为
2cm ，且
4cm
OP
，如果
P 以1
/
cm s
的速度沿由A 向B 的方向移动，则___________秒时
P 与直线CD相切．
【答案】2 或6
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【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切
线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点P 在O 点左侧，
P 与CD相切时，过P 作PE
CD
于E ，
根据切线的性质得到
2cm
PE
，再利用
45
AOC
得到
2
2cm
OP
PE
，则
P 的圆心在直线AB 上
向右移动了
4
2 cm
后与CD相切，即可得到
P 移动所用的时间；当点P 在O 点右侧，
P 与CD相切，
同前面一样易得到此时
P 移动所用的时间．
【详解】解：当点P 在O 点左侧，
P 与CD相切时，过P 作PE
CD
于E ，如图，
2cm
PE
，
45
AOC
，
2
2cm
OP
PE
，
P
的圆心在直线AB 上向右移动了
4
2
2 cm
后与CD相切，
P
移动所用的时间
2 1
2
（秒）；
当点P 在O 点右侧，
P 与CD相切，如图，
同理，得
P 的圆心在直线AB 上向右移动了
4
2
6 cm
后与CD相切，
P
移动所用的时间
6 1
6
（秒）．
故答案为：2 或6．
28．如图，半径
2 2
r
的⊙M 在x 轴上平移，且圆心M 在x 轴上，当⊙M 与直线
2
y
x
相切时，圆心M
的坐标为（）
A．(0，0)
B．(2，0)
C．（-6，0）
D．(2，0) 或（-6，0）
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【答案】D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切
两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵
2
y
x
∴
(0,2)
A
，
( 2,0)
B
，AOB 是等腰直角三角形，
45
ABO
∴
2 2
AB
∵
2 2
r
∴ABM 是等腰直角三角形，
90
BAM
∴⊙M 与直线AB 相切于点A
∵AO
BM
∴
2
OB
OM
∴圆心M 的坐标为(2,0) ；
②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M 作MC
AB
于点C，如下图所示：
∵⊙M 与直线AB 相切，MC
AB
∴
2 2
MC
r
根据直线AB 的解析式：
2
y
x
可知
45
ABO
MBC
∴BCM 是等腰直角三角形
∴
2
4
MB
MC
∵
( 2,0)
B
∴圆心M 的坐标为( 6,0)
，
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综上所述：圆心M 的坐标为(2,0) 或( 6,0)
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并
进行分类讨论是解决本题的关键．
题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离
29．已知：O 的半径为2cm ，圆心到直线l 的距离为1cm ，将直线l 沿垂直于l 的方向平移，使l 与
O 相切，
则平移的距离是（
）
A．1cm
B．1cm 或2cm
C．2cm 或3cm
D．1cm 或3cm
【答案】D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握．
根据直线和圆相切的数量关系，可得点O 到l 的距离为1cm ，可向上或向下平移，使l 与
O 相切，即可得
出答案．
【详解】解：如图，当直线l 经过点B 时，
1cm
OB
，
当直线l 平移至直线l，且切点为点A 时，此时
2 1 1cm
AB
；
当l 移动到l ，且切点为点C 时，则
2 1
3cm
BC
；
综上所述，l 与
O 相切时，平移的距离是1cm 或3cm ．
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故选D．
30．如图，在平面直角坐标系中，
P 与x 轴分别交于A、B 两点，点P 的坐标为(3, 1)
，
2 3
AB
．将
P
沿着与y 轴平行的方向平移，使得
P 与x 轴相切，则平移的距离为（
）
A．1
B．1 或2
C．3
D．1 或3
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问
题是关键．作PC
AB
于点C ，由垂径定理即可求得AC 的长，根据勾股定理即可求得PA 的长，再分点P
向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】解：连接PA ，作PC
AB
于点C ，由垂径定理得：
1
1
2 3
3
2
2
AC
AB
，
在直角PAC
中，由勾股定理得：
2
2
2
PA
PC
AC
，
即
2
2
2
1
( 3)
4
PA
，
2
PA
，
P
的半径是2．
将
P 向上平移，当
P 与x 轴相切时，平移的距离
1
2
3
；
将
P 向下平移，当
P 与x 轴相切时，平移的距离
2 1
1
．
故选：D
31．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 的⊙P 的圆心P 的坐标为（-3，0），将⊙P 沿x 轴正
方向平移，使⊙P 与y 轴相切，求平移的距离．
【答案】1 或5．
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【分析】平移分在y 轴的左侧和y 轴的右侧两种情况写出答案即可．
【详解】当⊙P 位于y 轴的左侧且与y 轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P 位于y 轴的右侧且与y 轴相切时，平移的距离为5．
故答案为：1 或5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的
半径．
32．已知：直线
0
y
kx k
经过点
3, 4
.
（1）求k 的值；
（2）将该直线向上平移
0
m m
个单位，若平移后得到的直线与半径为6 的
O 相离（点O为坐标原点），
试求m 的取值范围.
【答案】（1）
4
3
；（2）
10
m
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B 点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关
系的判定解答．
【详解】（1）因为直线
0
y
kx k
经过点
3, 4
，
所以4
3k
，
即
4
3
k
，
故答案为
4
3
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l 所对应的函数关系式为
4
0
3
y
x
m m
，设直线l 与x 轴、
y 轴分别交于点A 、B （如图所示），
当
0
x
时，y
m
；当
0
y
时，
3
4
x
m
.
所以
3
,0
4
A
m
，
0,
B
m ，即
3
4
OA
m
，OB
m
.
在Rt OAB
中，
2
2
2
2
9
5
16
4
AB
OA
OB
m
m
m
.
过点O作OD
AB
于D ，
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因为
1
1
2
2
ABO
S
OD AB
OA OB
，
所以1
5
1 3
2
4
2 4
OD
m
m m
，
因为
0
m
，解得
3
5
OD
m
.
依题意得：3
6
5 m
，
解得
10
m
，
即m 的取值范围为
10
m
.
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
题型9 有关切线的概念辨析
33．下列说法中，正确的是（
）
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等
C．三角形有且只有一个内切圆
D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的
定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分
线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D．
【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等；
C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个；
D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C 是正确的．
故选：C．
34．如图，与
O 相切的直线是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．1l 和3l
【答案】A
【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可．
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【详解】解：∵与
O 有唯一公共点的直线是1l ，
∴与
O 相切的直线是1l ，
故选：A．
35．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径
所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根
据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的
圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可．
【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确；
垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误；
直径所对的圆周角是直角，说法④正确；
垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误．
综上所述，正确的命题有①④，共计2 个．
故选：C．
36．当点P 在⊙O 上时, 经过点P 能作________条直线与⊙O 相切. 若过点P 能作⊙O 的两条切线,则点P
必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”)
【答案】
一
外
【分析】根据切线的定义求解即可.
【详解】如图，
当点P 在⊙O 上时, 经过点P 能作一条直线与⊙O 相切. 若过点P 能作⊙O 的两条切线,则点P 必在⊙O 外.
故答案为一；外.
【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定
义是解答本题的关键.
题型10 证明某直线是圆的切线
37．如图，在Rt AOB 中，
90
AOB
，OA
OB
，C 是AB 的中点，以OC 为半径作
O ．
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(1)求证：AB 是
O 的切线；
(2)若
2
OC
，求OA的长．
【答案】(1)见解析
(2)2 2
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得OC
AB
，再根据切线的判定定理证明即可；
（2）由直角三角形斜边中线的性质可得
1
2
2
OC
AC
BC
AB
，等腰三角形的性质可得OC
AB
，然
后再用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵OA
OB
，点C 是AB 的中点，
∴OC
AB
，
∵OC 为
O 的半径，
∴AB 是
O 的切线；
（2）解：∵
90
AOB
，OA
OB
，点C 是AB 的中点，
∴OC
AB
，
1
2
2
OC
AC
BC
AB
，
∴
2
2
2
2
2
2
2 2
OA
OC
AC
．
38．如图，ABC 中，AB
AC
，
30
B
C
，点A 在以CD为直径的
O 上．
(1)求
ADC
度数；
(2)求证：AB 是
O 的切线．
【答案】(1)60
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据“直径所对的圆周角是直角”得
90
DAC
，计算即可求解；
（2）连接OA，根据角之间的关系，易求
90
BAO
，根据切线的判定定理即可求证．
【详解】（1）解：
CD为
O 的直径，
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90
DAC
，即DAC 是直角三角形，
30
C
，
90
90
30
60
ADC
C
；
（2）证明：如图，连接OA，
AB
AC
，
30
B
C
，
180
120
BAC
C
B
，
OA
OC
，
30
OAC
C
，
120
30
90
BAO
BAC
OAC
，即OA
AB
，
又
OA是半径，
AB 是
O 的切线．
39．如图，在ABC 中，
B
C
，点D 是边BC 的中点，点O 是边AB 上的点，以O 为圆心，OA为半径
的
O 交
,
,
AB BC AD 于点F，E，G，且点E 是弧GF 的中点，连接OE ．
(1)求证：BC 是
O 的切线；
(2)若
4,
2
BE
BF
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：连接GF 交OE 于点M，
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∵
B
C
，
∴AB
AC
，
又∵点D 是BC 的中点，
∴AD
BC
，
∵AF 是
O 的直径，
∴
90
AGF
DGF
，
∵点E 是弧GF 的中点，
∴GF
OE
，
∴
90
GME
，
∴四边形GMED 是矩形，
∴
90
MED
，
∴OE
BC
，
∴BC 是
O 的切线；
(2)3
【分析】（1）连接GF 交OE 于点M，由等腰三角形的性质得出AD
BC
，由圆周角定理及垂径定理得出
90
DGM
GME
，得出四边形GMED 是矩形，即可得证；
（2）设OE
OF
x
，则
2
OB
x
，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：设OE
OF
x
，则
2
OB
x
，
∵
90
OEB
，
∴
2
2
2
OE
BE
OB
，
∴
2
2
2
4
2
x
x
，
解得
3
x
，
∴
O 的半径为3．
40．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是
O 上两点，
2
ABD
A
，过C 作CE
DB
交DB 的延长线于E ．
(1)求证：CE 是
O 的切线；
(2)若
6
DB
，
4
CE
，求
O 的半径长．
【答案】(1)证明：如图，连接OC ，则
2
COB
A
，
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2
ABD
A
，
COB
ABD
，
OC
DB
，
180
OCE
CED
，
CE
DB
，
90
CED
，
90
OCE
，
OC
CE
，
OC 为半径，
CE
是
O 的切线；
(2)5
【分析】（1）如图，连接OC ，则
2
COB
A
，易证OC
DB ，从而得到
180
OCE
CED
，进而求
得
90
OCE
，再根据切线定义即可证明结论；
（2）如图，连接OC ，过点O作OF
BD
于F ，易证四边形OFEC 是矩形，则OF
BD
，利用垂径定理可
得
4
CE
OF
，在Rt OFB 中，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：略．
（2）解：如图，连接OC ，过点O作OF
BD
于F ，
1
3
2
BF
DB
，
90
OCE
CED
OFE
，
∴四边形OFEC 是矩形，
∴OF
BD
，
4
CE
OF
，
在Rt OFB 中，
2
2
2
2
3
4
5
OB
BF
OF
，
O
的半径长为5．
【易错警示】
证明切线时易混淆两种判定方法，有公共点忘连半径证垂直，无公共点不作垂直证半径。常缺失关键推理
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步骤，仅凭图形直观判定，忽视严谨证明过程，导致切线证明逻辑不完整、答题失分。
题型11 切线的性质定理
41．如图，点A，B 在
O 上，
90
AOB
，点C 在OB 的延长线上，过C 作
O 的切线，切点为D，连接
AD 交OC 于点E．
(1)求证：CE
CD
；
(2)若
1
OE ，
2
BC
，求AE 的长．
【答案】(1)证明：连接OD ，如图所示．
OA
OD
，
OAE
ODE
．
CD 是
O 的切线，OD 是
O 的半径，
OD
CD
，
90
ODC
ODE
CDE
，
90
OAE
CDE
．
在OAE 中，
90
AOB
，即
90
AOE
，
90
OAE
OEA
．
又
OEA
CED
，
90
OAE
CED
．
CDE
CED
，
CE
CD
．
(2) 10
【分析】(1)连接OD ，利用半径相等得到
OAE
ODE
，结合切线性质得到OD
CD
，再通过直角三角
形两锐角互余和对顶角相等，证得
CDE
CED
，从而得到CE
CD
．
(2)设半径为R ，用R 表示OC 、CE 、CD，在Rt ODC 中利用勾股定理列方程求出半径R ，再在Rt AOE 中
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利用勾股定理求AE ．
【详解】（1）略
（2）解：设
O 的半径为R ，则
0
R
．
OA
OB
OD
R
．
2
BC
，
2
OC
OB
BC
R
．
1
OE ，
2 1
1
CE
OC
OE
R
R
．
由(1)的结论得CE
CD
，
1
CD
R
．
在ODC 中，
90
ODC
，
由勾股定理得
2
2
2
OC
OD
CD
，
2
2
2
(
2)
(
1) .
R
R
R
解得
1
3
R
，
2
1
R （不合题意，舍去）．
3
OA
R
．
在AOE 中，
90
AOE
AOB
，
3
OA ，
1
OE ，
由勾股定理得
2
2
2
2
3
1
10.
AE
OA
OE
答：AE 的长为10 ．
42．如图，在Rt ADE 中，
90
D
，点O在边AE 上，以点O为圆心，OA为半径作圆，与AE 交于点B ，
恰与DE 相切于点C ，连接AC ，
2
BE
，
4
CE
．
(1)求证：AC 平分
DAE
；
(2)求OA的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，
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DE 是
O 的切线，
90
OCE
，
90
D
，
OCE
D
，
//
AD OC
，
DAC
OCA
，
OA
OC
，
OAC
OCA
，
DAC
OAC
，
AC
平分
DAE
．
(2)3
【分析】（1）由切线的性质结合已知
90
D
可证明
//
AD OC ，再由平行线的性质结合等边对等角等量代
换证明
DAC
OAC
，即可得证；
（2）设OC
OB
r
，进而表示出OE ，在Rt OCE 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设OC
OB
r
，则
2
OE
BE
OB
r
，
在Rt OCE 中，
2
2
2
OC
CE
OE
，
即
2
2
2
4
2
r
r
，解得
3
r ．
即OA的长为3．
43．如图，在ABC 中，
90
ABC
，O 是ABC 外接圆，点D 是圆外一点，DB 是
O 的切线．连接DO ，
DO 与AB 交于点E ．
(1)求证：
DBA
ACB
；
(2)若DO
AB
，
2
BC
，
4
DE
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：连接OB ，如图所示，
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DB 是
O 的切线，
OB
DB
，
90
DBO
，
90
DBA
ABO
．
OB
OA
，
ABO
BAO
，
90
ABC
，
90
BAO
ACB
，
90
ABO
ACB
，
DBA
ACB
．
(2)
5
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质通过等量代换推出
90
ABO
ACB
，根据切
线的性质推出
90
DBA
ABO
，最后根据等量代换即可证明
DBA
ACB
．
（2）根据中位线定理求出OE 的长度，设半径参数r ，在Rt DBE 和Rt DBO 中用参数r 构造
2
DB ，利用线
段一样式子相等，即可列出关于r 的方程，解出即可．
【详解】（1）略
（2）解：
DO
AB
，且经过
O ，
BE
AB
，
OA
OC
，
1
1
2
1
2
2
OE
BC
．
DO
AB
，
90
BEO
BED
，
设
O 半径OB
r
，则在Rt BEO 中，
2
2
2
2
1
BE
BO
OE
r
，
在Rt DBE 中，
2
2
2
2
2
1 16
15
DB
BE
DE
r
r
．
由（1）问可知，
90
DBO
，
在Rt DBO 中，
2
2
2
2
2
2
4
1
25
DB
OD
OB
r
r
．
2
2
15
25
r
r
，
2
5
r
，
5
r
或
5
r
（舍去）．
O 半径为
5 ．
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【点睛】本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，中位线定理，是一道圆的综合题，解题的关键在于
通过勾股定理构造同样线段的式子，将其转化关于半径的方程．
44．如图，在
O 中，AB 是直径，BC 是弦，D 为BC 的中点，连接OD 并延长交
O 于点E，BF 为
O 的
切线交AE 的延长线于点F．记AE 与BC 的交点为H．
(1)求证：
BOE
CBF
．
(2)若H 为CD的中点，
O 的半径为4，求OD 的长．
【答案】(1)证明：如图，连接
,
AC OC ，
D 是BC 的中点，BC 是
O 的弦，
OD
BC
，BE
CE
，
1
2
BOE
BOC
，且
1
2
BAC
BOC
，
BOE
BAC
，
BF 是
O 的切线，
90
CBF
ABC
，
AB 为直径，
90
ACB
，
90
BAC
ABC
，
CBF
BAC
，
BOE
CBF
．
(2) 4
3
【分析】（1）利用垂径定理由D 为BC 中点得OD
BC
及BE
CE
，从而
1
2
BOE
BOC
；同时
1
2
BAC
BOC
，故
BOE
BAC
，再由BF 为切线得
90
CBF
ABC
，直径AB 所对圆周角
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90
ACB
得
90
BAC
ABC
，因此
CBF
BAC
，进而得
BOE
CBF
；
（2）由（1）知OD
BC
且
90
ACB
，结合H 为CD中点可证
ASA
ACH
EDH
≌
，得AC
DE
，再
利用O为AC 中点、D 为BC 中点得
1
1
2
2
OD
AC
DE
，设OD
x
，则
4
DE
x
，代入解得
4
3
x
．
【详解】（1）略
（2）如图，连接AC
由（1）得OD
BC
，
90
ACB
，且H 为CD的中点，
在ACH 和EDH 中，
90
ACH
EDH
CH
DH
CHA
DHE
，
ASA
ACH
EDH
≌
，
AC
DE
，
O是AC 中点，D 为BC 的中点，
1
2
OD
AC
，
1
2
OD
DE
，
O 的半径为4，即
4
OE
，
设OD
x
，则
4
DE
x
,
1 4
2
x
x
，解得
4
3
x
，
OD 的长为4
3 ．
题型12 切线的性质和判定的综合应用
45．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA为半径的圆交AB 于D，延长AO 交
O 于E，连
接CD，CE ，若CE 是
O 的切线．
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(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
4
5
CE
OC
，
，则DBC 的面积＝______．
【答案】(1)见解析
(2) 42
25
【分析】（1）首先连接OD ．根据平行四边形OABC 的性质，可知OC
AB ，从而得到内错角相等，即
EOC
OAD
，
DOC
ODA
．又因为OA和OD 都是圆的半径，所以OA
OD
，根据等边对等角，得
到
OAD
ODA
．通过等量代换，可得
EOC
DOC
．然后利用“边角边”证明EOC 和DOC 全等．根
据全等三角形对应角相等的性质，得到
ODC
OEC
．因为CE 是
O 的切线，所以OE
EC
，即
90
OEC
．因此，
90
ODC
，即OD
DC
．最后根据切线的判定定理，得出CD是
O 的切线．
（2）首先过点O作OF
AB
于点F ．在Rt OEC 中，已知斜边
5
OC
，直角边
4
CE
，根据勾股定理
2
2
2
a
b
c
求出另一直角边OE 的长度，即圆的半径．因为OA也是半径，所以OA
OE
．然后利用三角形
面积公式，通过面积相等法（
1
1
2
2
OAB
S
AB OF
OA CE
△
）求出高OF 的长度．接着在Rt OAF 中，利用
勾股定理求出AF 的长度．根据垂径定理，OF
AB
，得
2
AD
AF
．然后计算出BD 的长度，
BD
AB
AD
．最后利用三角形面积公式计算DBC 的面积．
【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：
四边形OABC 是平行四边形，
OC
AB
∥
，OC
AB
，
DOC
ODA ，
EOC
OAD
，
OD
OA
，
OAD
ODA
，
EOC
DOC
，
在EOC 和DOC 中，
OC
OC
EOC
DOC
OE
OD
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SAS
EOC
DOC
≌
，
OEC
ODC
，
CE 是
O 的切线，
OE
EC
，即
90
OEC
，
90
ODC
，即OD
DC
，
OD 是
O 的半径，
CD
是
O 的切线．
（2）解：过点O作OF
AB
于点F ，连接OB ，如图所示：
在Rt OEC 中，
5
OC
，
4
CE
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2
5
4
3
OE
OC
CE
，
3
OA
OE
，
四边形OABC 是平行四边形，
5
AB
OC
，
1
1
2
2
OAB
S
AB OF
OA CE
△
，
1
1
5
3 4
2
2
OF
，
解得
12
5
OF
，
在Rt OAF 中，根据勾股定理，得
2
2
2
2
12
9
3
5
5
AF
OA
OF
，
OF
AB
，
9
18
2
2
5
5
AD
AF
，
18
7
5
5
5
BD
AB
AD
，
1
1
7
12
42
2
2
5
5
25
DBC
S
BD OF
△
．
46．如图，AB 是
O 的直径，点C 是
O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点M ．作AD
MC
，垂
足为点D ，已知AC 平分
MAD
．
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(1)求证：MC 是
O 的切线；
(2)若AB
BM
，
2 6
MC
，求
O 的半径．
【答案】(1)
证明：如图，连接OC ，
OC
OA
，
OCA
OAC
，
AC 平分
MAD
，
OAC
DAC
，
OCA
DAC
，
AD
OC
，
OCM
ADC
，
AD
MC
，
90
ADC
OCM
，
OC
MC
，
OC 是
O 的半径，
MC
是
O 的切线；
(2)
3 ．
【分析】
（1）连接OC ，根据题意求得
OCA
DAC
，AD
OC ，从而求出
90
ADC
OCM
，OC
MC
，
结合切线的判定即可求解；
（2）设
O 的半径OC
r
，则
3
OM
r
，由勾股定理
2
2
2
OC
CM
OM
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：
AB
BM
，AB 是
O 的直径，
2
AB
BM
OC
，
设
O 的半径OC
r
，则
3
OM
r
，
OC
MC
，
2 6
MC
，
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由勾股定理得
2
2
2
3
2 6
r
r
，
解得：1
3
r
，2
3
r
（舍），
O
的半径为
3 ．
47．如图，圆内接四边形ABCD的边AB 过圆心O，过点C 的直线与边AD 所在直线垂直于点M．
(1)若CM 是
O 的切线，且
55
ABC
．求
ACD
的度数．
(2)试猜想
CAB
与
BAD
满足什么关系时，直线CM 与
O 相切？并说明理由．
【答案】(1)
20
ACD
(2)
1
2
CAB
BAD
时，CM 与
O 相切．理由见解析
【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；
熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
（1）连接OC ，由切线的性质得到OC
CM
，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出
35
BAC
，
根据OA
OC
，得到
35
OCA
，利用圆内接四边形的性质，求出
55
CDM
，即可解答；
（2）当
1
2
CAB
BAD
时，CM 与
O 相切，由
1
2
CAB
BAD
，得到
CAB
CAD
，根据等腰三
角形的性质推出
CAD
OCA
，易证OC
AM
∥
，推出AM
CM
，证明OC
CM
即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接OC ，
∵CM 是
O 的切线，
OC
CM
．
55
ABC
，AB 为
O 的直径，
35
BAC
．
OA
OC
，
35
OCA
．
∵四边形ABCD 为圆内接四边形，
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55
CDM
．
又
CM
DM
Q
，
35
MCD
，
20
ACD
．
（2）解：当
1
2
CAB
BAD
时，CM 与
O 相切．
理由：
1
2
CAB
BAD
Q
，
CAB
CAD
，
又
OA
OC
，
OAC
OCA
，
CAD
OCA
，
OC
AM
∥
．
AM
CM
，
OC
CM
．
又
OC 为
O 的半径，
CM
与
O 相切．
48．如图，AB 为
O 的直径，CB 是
O 的切线，切点为点B，点D 为
O 上一点，连接CD并延长交BA 的
延长线于点
,
E CD
CB
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
4,
8
AE
DE
，求
O 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质．
（1）连接OD ，由切线的性质得CB
AB
，则
90
B
，因为CD
CB
，OD
OB
，所以
2
2
2
2
2
CD
OD
CB
OB
OC
，则
90
ODC
，即可证明CD是
O 的切线；
（2）由
90
ODE
，得
2
2
2
DE
OD
OE
，而
4,
8
AE
DE
，OD
OA
，则
2
2
2
8
4
OA
OA
，求得
6
OA
，
所以
O 的半径长为6 ．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
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∵AB 为
O 的直径，CB 与
O 相切于点B，
∴CB
AB
，
∴
90
B
，
∵CD
CB
，OD
OB
，
∴
2
2
2
2
2
CD
OD
CB
OB
OC
，
∴ODC 是直角三角形，且
90
ODC
，
∵OD 是
O 的半径，且CD
OD
，
∴CD是
O 的切线；
（2）解：∵
90
ODE
B
，
∴
2
2
2
DE
OD
OE
，
∵
4,
8
AE
DE
，OD
OA
，
∴
2
2
2
8
4
OA
OA
，
解得
6
OA
，
∴
O 的半径长为6 ．
题型13 应用切线长定理求解
49．如图，圆O 是ABC 的内切圆，
2cm
AC
，DE 交AB 于点D，交BC 于点E，且DE 是O 的切线．若
BDE 的周长为5cm，则ABC 的周长为（
）
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
【答案】B
【分析】设ABC 与O 相切于点M，N，F，DE 与圆O 相切于点G．利用切线长定理得出
,
,
,
,
AM
AF CN
CF BM
BN DM
DG EG
EN
，结合三角形周长及等量代换求解即可
【详解】解：设ABC 与O 相切于点M，N，F，DE 与圆O 相切于点G．
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∴
,
,
,
,
AM
AF CN
CF BM
BN DM
DG EG
EN
．
∴
2
AM
CN
AF
CF
AC
cm
．
∵BDE 的周长是5cm，
∴
5
BD
DE
BE
cm
．
∴
5
BD
DG
EG
BE
BD
DM
EN
BE
BM
BN
cm
．
∴ABC 的周长为
5
2
2
9
AB
BC
AC
BM
AM
CN
BN
AC
cm
50．如图，EA ，ED 是
O 的切线，切点为A ，D ，点B ，C 在圆
O 上，若
235
ABC
CDE
，则
E
（
）
A．55°
B．65°
C．70°
D．78°
【答案】C
【分析】连接AD ，则
180
ABC
ADC
，而
235
ABC
CDE
，求得
55
ADE
，由切线长定理
得EA
ED
，则
55
EDA
EAD
，所以
180
70
E
EDA
EAD
，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，连接AD ，
∵四边形ABCD 是
O 的内接四边形，
∴
180
ABC
ADC
．
∵
235
ABC
CDE
，
55
EDA
．
EA，ED 是⊙O 的切线，
EA
ED
，
55
EDA
EAD
，
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180
180
55
55
70
E
EDA
EAD
．
故选：C．
51．如图，AB 为
O 的弦，PA ，PB 为
O 的切线，且AB
AP
，点C 为劣弧上一动点（点C 与点A ，B
不重合），则
ACB
的度数为______．
【答案】120/120度
【分析】连接OA、OB ，在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，根据切线的性质及切线长定理得出AP
BP
，
90
OAP
OBP
，进而得出ABP 是等边三角形，根据四边形内角和为360求出
120
AOB
，根据
圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接OA、OB ，在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，
∵PA ，PB 为
O 的切线，
∴AP
BP
，
90
OAP
OBP
，
∵AB
AP
，
∴AP
BP
AB
，
∴ABP 是等边三角形，
∴
60
P
，
∴
360
90
90
60
120
AOB
，
∵
ADB
和
AOB
是AB 所对的圆周角和圆心角，
∴
1
60
2
ADB
AOB
，
∵四边形DBCA是
O 的内接四边形，
∴
180
120
ACB
ADB
．
52．如图，EA ，ED 是
O 的切线，切点为A，D，点B，C 在
O 上，若
236
BAE
BCD
，则
E
_______________．
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【答案】68/68 度
【分析】连接AD ，由圆的内接四边形的性质可得
180
BAD
BCD
，进而可得
56
DAE
，再根据切
线长定理可得EA
ED
，即得
56
EDA
EAD
，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：连接AD ，
四边形ABCD是
O 的内接四边形，
180
BAD
BCD
，
236
BAE
BCD
，
236
180
BAE
BCD
BAD
BCD
，
56
BAE
BAD
，
即
56
DAE
，
EA，ED 是
O 的切线，切点为A ，D ，
EA
ED
，
56
EDA
EAD
，
180
56
2
68
E
．
【点睛】本题核心是圆内接四边形的对角互补、切线长定理，通过作辅助线AD 转化角度，利用等腰三角形
与内角和求解，关键是几何性质的综合应用．
题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
53．在ABC 中，
90
C
，
10
AB
，且
6
AC
，则这个三角形的内切圆半径为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】设ABC 的三边分别与
O 相切于点D 、E 、F ，连接OD ，OE ，OF ，OA，OB ，OC ，然后
利用等面积法进行计算即可解答．
【详解】解：∵
90
C
，
10
AB
，且
6
AC
，
∴
2
2
10
6
8
BC
，
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设ABC 的三边分别与
O 相切于点D、E、F，连接OD ，OE ，OF ，OA，OB ，OC ，
∴OD
BC
，OE
AB
，OF
AC
，
设
O 的半径为r ，
∴OD
OE
OF
r
，
∵ABC 的面积
BOC
的面积
AOB
的面积
AOC
的面积，
∴1
1
1
1
2
2
2
2
AC BC
BC OD
AB OE
AC OF
，
6 8
6
8
10
r
r
r
，
∴
2
r
．
54．如图，ABC 的内切圆
O 与边BC
CA
AB
，
，
分别相切于点D
E
F
，，
．已知
3
4
5
AB
BC
CA
，
，
，
则BD 的长为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相
关知识是解题的关键．
如图：连接OF
OD
OE
AO
BO
CO
、
、
、
、
、
，则
,
,
OD
BC OE
AC OF
AB
，由勾股定理逆定理可得
90
ABC
，易证四边形ODBF 是正方形，即BD
OD
；再根据三角形内切圆的性质可得OF
OD
DE
，
然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：如图：连接OF
OD
OE
AO
BO
CO
、
、
、
、
、
，则
,
,
OD
BC OE
AC OF
AB
，
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∵
3
4
5
AB
BC
CA
，
，
，
∴
2
2
2
9
16
25
AB
BC
CA
，
，
，
∴
2
2
2
AB
BC
CA
，
∴
90
ABC
，
∴四边形ODBF 是正方形，
∴BD
OD
，
∵ABC 的内切圆
O 与边BC
CA
AB
，
，
分别相切于点D
E
F
，，
．
∴OF
OD
DE
，
∵
ABC
AOB
AOC
BOC
S
S
S
S
，
∴1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
AB BC
AB OF
AC OE
BC OD
AB OD
AC OD
BC OD
，
∴1
1
1
1
3
4
3
5
4
2
2
2
2
OD
OD
OD
，解得：
1
OD ，
∴
1
BD ．
故选A．
55．如图，E，F，G，H 四点分别在正方形ABCD 的四条边上，AF
BG
CH
DE
．若
17,
13
AB
EF
，
则GCH 的内切圆半径为___________ ．
【答案】2
【分析】设GCH 的内切圆圆心为点I，
I 与CG
CH
GH
、
、
分别相切于点P、Q、R，由正方形的性质得
17,
90
AD
CD
CB
AB
A
BCD
，设AF
BG
CH
DE
m
，由勾股定理得，
2
2
17
169
m
m
，
解得
5
m
或
12
m
，连接IP
IQ
IR
IC
IG
IH
、
、
、
、
、
，设IP
IQ
IR
r
，令
5,
12
CH
CG
，由
1
1
1
1
12
5
13
5 12
2
2
2
2
r
r
r
，求得
2
r
，于是得到问题的答案．
【详解】解：设GCH 的内切圆圆心为点I，
I 与CG
CH
GH
、
、
分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD 是正方形，
17,
13
AB
EF
，
∴
17,
90
AD
CD
CB
AB
A
BCD
，
设AF
BG
CH
DE
m
，则
17
CG
AE
m
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
13
169
GH
CG
CH
AE
AF
EF
，
∴
2
2
17
169,
13
m
m
GH
EF
，
解得
5
m
或
12
m
，
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当
5
m
时，则
5,
12
CH
CG
，
当
12
m
时，则
12,
5
CH
CG
，
∴
5
m
及
12
m
时，GCH 的形状和大小相同，
连接IP
IQ
IR
IC
IG
IH
、
、
、
、
、
，
则
,
,
IP
CG IQ
CH IR
GH
，
设IP
IQ
IR
r
，令
5,
12
CH
CG
，
∵
CIG
CIH
GIH
GCH
S
S
S
S
，
∴1
1
1
1
12
5
13
5 12
2
2
2
2
r
r
r
，
解得
2
r
，
∴GCH 的内切圆半径为2，
【点睛】勾股定理求出GCH 三边的长，面积法求出GCH 内切圆的半径．
56．已知ABC ，按要求完成作答
(1)用直尺和圆规作如图ABC 的内切圆⊙O．
(2)若
110
AOC
，则
B
______；
(3)若ABC 面积为6，周长为10，则ABC 的内切圆半径为________．
【答案】(1)见解析
(2)40
(3)1.2
【分析】（1）先分别作
ABC
和
ACB
的角平分线，以B 为圆心，大于1
2 AB 长度为半径画弧，交AB
AC
、
于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与点B 的连接即为
ABC
的角平分线，同理得到
ACB
的角平分线，两条角平分线相交于点O，再过点O作OD
BC
于点D ，
以点O为圆心，OD 的长为半径画圆，即为所求；
（2）点O是ABC 内心，得到
1
1
,
2
2
OAC
BAC
OCA
ACB ，求出
180
110
70
OAC
OCA
，
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得到
2 70
140
BAC
ACB
，再根据
180
(
)
B
BAC
ACB
，即可求出答案；
（3）根据内切圆半径，周长，三角形面积的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：作图如下，
（2）解：
点O是ABC 内心，
OA
平分
BAC
，OC 平分
ACB
，
1
1
,
2
2
OAC
BAC
OCA
ACB
110
AOC
180
110
70
OAC
OCA
2 70
140
BAC
ACB
180
(
)
180
140
40
B
BAC
ACB
．
（3）解：根据内切圆的性质得到
,
,
OD
BC OE
AB OF
AC
，
且OD
OE
OF
r
，
ABC
OAB
OBC
OAC
S
S
S
S
，
1
1
1
1 (
)
2
2
2
2
ABC
S
AB OE
BC OD
AC OF
AB
BC
AC r ，
C
AB
BC
AC ，
1
2
S
Cr ，
2
1.2
S
r
C
．
题型15 三角形内心有关应用
57．如图，ABC 的内切圆
O 与
,
,
BC CA AB 分别相切于点D，E，F．
(1)点O 是ABC 的_______心；
(2)如图1，若
9
AB
，
14
BC
，
13
CA
．设AF
x
，求BF 的值；
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(3)如图2，若
90
B
，
,
,
AB BC CA 的长分别是a，b，c，则
O 半径是_______（用含a，b，c 的式子表
示）．
【答案】(1)内
(2)5
(3)
2
a
b
c
【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解
题关键．
（1）根据内心的定义，即可获得答案；
（2）根据切线长定理可得
,
,
AE
AF BF
BD CE
CD
，设AF
x
，则有
9
,
13
BD
BF
x CD
CE
x
，
进而可得
9
13
14
BC
x
x
，解得x 的值，然后计算BF 的值；
（3）连接
,
,
OD OE OF ，设
O 半径为r ，证明四边形ODBF 为正方形，易得BD
BF
r
，进而可得
AE
AF
a
r
，CE
CD
b
r
，结合AC
AE
CE
c
，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵
O 是ABC 的内切圆，
∴点O 是ABC 的内心．
故答案为：内；
（2）解：∵ABC 的内切圆
O 与
,
,
BC CA AB 分别相切于点D，E，F，
∴
,
,
AE
AF BF
BD CE
CD
，
∵
9
AB
，
14
BC
，
13
CA
，设AF
x
，
∴AE
AF
x
，
∴
9
,
13
BD
BF
AB
AF
x CD
CE
AC
AE
x
，
∴
9
13
14
BC
BD
CD
x
x
，解得
4
x
，
∴
9
5
BF
x
；
（3）解：如下图，连接
,
,
OD OE OF ，
∵ABC 的内切圆
O 与
,
,
BC CA AB 分别相切于点D，E，F，
∴
,
,
AE
AF BF
BD CE
CD
，
90
OFB
ODB
，
设
O 半径为r ，
∴OD
OF
r
，
∵
90
OF
O
B
B
DB
Ð
= Ð
=
°
Ð
=
，
∴四边形ODBF 为矩形，
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又∵OD
OF
，
∴四边形ODBF 为正方形，
∴BD
BF
r
，
∴AE
AF
a
r
，CE
CD
b
r
，
∴AC
AE
CE
a
r
b
r
c
，
∴
2
a
b
r
c
，
∴
2
a
b
c
r
．
故答案为：
2
a
b
c
．
58．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 为
O 的直径，点E 为ABC 的内心，连接AE 并延长交
O 于点D ，
连接BD 并延长至点F ，使得BD
DF
，连接CF
BE
、
．
(1)求证：DB
DE
；
(2)判断直线CF 与
O 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)直线CF 与
O 相切，理由见解析
【分析】（1）欲证明DB
DE
，只要证明
DBE
DEB
；
（2）欲证明直线CF 为
O 的切线，只要证明BC
CF
即可；
【详解】（1）证明：
E 是ABC 的内心，
BAE
CAE
，
EBA
EBC
，
BED
BAE
EBA
，
DBE
EBC
DBC
，
DBC
EAC
，
DBE
DEB
，
DB
DE
．
（2）直线CF 与
O 相切，理由如下：
连接CD．
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DA平分
BAC
，
DAB
DAC
，
BD
CD
，
BD
CD
，
BD
DF
，
CD
DB
DF
，
DBC
DCB
，
F
DCF
，
180
DBC
DCB
DCF
F
，
2
2
180
DBC
F
，
90
DBC
F
，
90
BCF
，
BC
CF
，
CF
是
O 的切线．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的
判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
59．如图，在ABC 中，
90
C
．
(1)实践与操作：在图1 中用尺规作图法作出ABC 的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)证明与应用：如图2，
I 与ABC 的三边分别相切于D
E
F
、、
，连接ID、IE，
①判断四边形IDCE 的形状并证明；
②若
60 ,
2
A
AC
，求
I 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①正方形，证明见解析；②
3
1
【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作
A
、
B
的角平分线，交点即为内心I．
（2）①由切线性质得ID
AC
，IE
BC
，结合
90
C
，先证四边形是矩形；再由I
I
D
E
（半径相等），
证得矩形为正方形．②先在Rt ABC 中求出
4
AB
，
2 3
BC
；设半径为r ，得
2
AD
r
，
2 3
BE
r
；
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根据切线长定理AF
BF
AB
，列方程求解得
3
1
r
．
【详解】（1）解：如图，点I 为所求，
（2）解：①四边形IDCE 是正方形，理由如下：
∵
I 是Rt ABC 的内切圆，即AB 、AC 、BC 都是
I 的切线，
∴
90
IDC
IEC
，
∵
90
C
，
∴四边形IDCE 是矩形，
∵I
I
D
E
，
∴四边形IDCE 是正方形；
②已知
60
A
，
2
AC
，
90
C
，
则
30
ABC
．
在Rt ABC 中，
2
4
AB
AC
，由勾股定理得：
2
2
2
2
4
2
2 3
BC
AB
AC
设
I 的半径为r ，
因为四边形IDCE 是正方形，
所以CD
CE
r
，则
2
AD
AC
CD
r
，
2 3
BE
BC
CE
r
．
由切线长定理，
2
AF
AD
r
，
2 3
BF
BE
r
．
因为AF
BF
AB
，
所以：(2
)
(2 3
)
4
r
r
2
2 3
2
4
r
2
2 3
2
r
3
1
r
；
所以，
I 的半径为
3
1
．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键
是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质．
60．已知，如图，AB 为
O 的直径，ABC 内接于
O ，BC
AC
，点P 是ABC 的内心，延长CP 交
O
于点D ，连接BP ．
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(1)求证：BD
PD
；
(2)已知
O 的半径是3 2 ，
8
CD
，求BC 的长．
【答案】(1)
证明：∵AB 为
O 的直径，
90
ACB
，
点P 是ABC 的内心，
45
ACD
BCP
，
CBP
ABP
，
45
ABD
ACD
，
45
DPB
BCP
CBP
CBP
，
45
DBP
ABD
ABP
ABP
，
DPB
DBP
，
BD
DP
．
(2)
4 2
2
BC
【分析】（1）由圆周角定理得出
90
ACB
，由内心得出
45
ACD
BCP
Ð
= Ð
=
°，
CBP
ABP
，
45
ABD
ACD
，由三角形的外角性质得出
DPB
DBP
，即可得出结论；
（2）连接AD ，过点B 作BH
CD
于H ，由圆周角定理得出
45
ABD
，证出ABD 是等腰直角三角形，
得出
6
BD
，由
45
BCD
，BH
CD
，推出BH
CH
，得到
2
BC
BH
=
，根据勾股定理可求BH 的长，
即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接AD ，过点B 作BH
CD
于H ，
AB 为
O 的直径，
O 的半径是3 2 ，
45
ABD
，
6 2
AB
，ABD 是等腰直角三角形，
2
2
6 2
6
2
2
BD
AB
，
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45
BCD
，BH
CD
，
45
BCH
CBH
，
BH
CH
，
2
BC
BH
，
2
2
2
BD
DH
BH
，
2
2
36
8
BH
BH
，
4
2
BH
，
4 2
2
BC
，
BC
AC
，
2
2
2
72
AC
BC
AB
，
∴
6
BC
，
∴
4 2
2
BC
．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰
直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
61．如图，ABC 的周长为22cm ，
6
AB
cm
，
O 是它的内切圆，直线DE 是位于
O 右侧的任意一条切
线，若沿着直线DE 剪下CDE ，则剪下的CDE 的周长为（
）
A．16cm
B．12cm
C．10cm
D．随直线DE 的变化而变化
【答案】C
【分析】设
O 与AB 、BC 、AC 、直线DE 分别相切于点N 、F 、M 、H ，由ABC 的周长为22cm ，
6
AB
cm
，
求得
16 cm
AC
BC
，由切线长定理可得BN
BF
，AN
AM
，求得
16
6
10 cm
CM
CF
，由
MD
DH
，HE
FE
，得
10 cm
CD
DE
EC
CM
CF
，于是得到问题的答案．
【详解】解：设
O 与AB 、BC 、AC 、直线DE 分别相切于点N 、F 、M 、H ，
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∵ABC 的周长为22cm ，
6
AB
cm
，
∴
22
6
16 cm
AC
BC
AM
MC
BF
FC
，
∵BN
BF
，AN
AM
，
∴
6cm
AM
BF
AN
BN
AB
，
∴
16
6
10 cm
CM
CF
AC
BC
AM
BF
，
∵MD
DH
，HE
FE
，
∴
10 cm
CD
DE
EC
CD
DH
HE
EC
CD
MD
FE
EC
CM
CF
，
∴剪下的CDE 的周长为10cm．
62．如图是一张四边形纸片ABCD，已知
3dm
6dm
90
AB
BC
AD
CD
A
C
，
，
，要在该纸片中
剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（
）
A．1dm
B．2dm
C．
3dm
D．2
5dm
5
【答案】B
【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）
分割四边形，利用面积和建立方程．
设内切圆圆心为O，半径为r ，利用
OAB
OBC
OCD
ODA
ABCD
S
S
S
S
S
四边形
，即
1
1
1
1
2
2
2
2
ABCD
S
AB r
BC r
CD r
DA r
四边形
；代入
3
AB
BC
，
6
AD
CD
，
18
ABCD
S
四边形
，解得
2
r
．
【详解】解：设内切圆圆心为O，半径为r ，连接
,
,
,
OA OB OC OD 及四个切点（如图）；
根据切线的性质定理可知，每条半径r 都与四边形ABCD 的各边垂直。
∵
1
1
1
1
2
2
2
2
ABCD
S
AB r
BC r
CD r
DA r
，
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1
1
3 6
3 6
18
2
2
ABCD
S
，
∴1 (3
3
6
6) =18
2
r
，
即18
9r
，
∴
2 dm
r
．
故选：B．
63．如图，
O 是ABC 的内切圆．
（1）若
80
A
，则
BOC
的度数为______．
（2）若
14,
5,
7
ABC
S
AB
BC
△
，则
O 的半径为______．
【答案】
130
3
2
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长
度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由
80
A
得
100
ABC
ACB
，因为O是ABC 的内心，所以
1
2
OBC
ABC
，
1
2
OCB
ACB
，
则
180
BOC
OBC
OCB
即可求得．
（2）作AH
BC
于点H ，利用
14
ABC
S
解得
4
AH
，再利用勾股定理解得
3
BH
，
4
CH
，故
4 2
AC
，
设ABC 的内切圆
O 的半径为r ，O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点E 、F 、D ，连接OE 、OF 、OD 、
OA，则利用
ABC
AOB
BOC
AOC
S
S
S
S
△
△
△
△
即可求出
O 的半径．
【详解】解：（1）
80
A
，
180
80
100
ABC
ACB
，
1
1
1
100
50
2
2
2
ABC
ACB
，
O 是ABC 的内心，
BO
平分
ABC
，CO平分
ACB
，
1
2
OBC
OBA
ABC
，
1
2
OCB
OCA
ACB
，
1
1
180
180
180
50
130
2
2
BOC
OBC
OCB
ABC
ACB
，
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答案为：130．
（2）作AH
BC
于点H ，则
90
AHB
AHC
，
14,
7
ABC
S
BC
，
1
14
2
ABC
S
BC
AH
，
即1
7
14
2
AH
，
解得
4
AH
，
2
2
2
2
5
4
3
BH
AB
AH
，
7
3
4
CH
，
在Rt AHC 中，
2
2
2
2
4
4
4 2
AC
AH
CH
．
设ABC 的内切圆
O 的半径为r ，O 与AB 、BC 、AC 分别相切于点E 、F 、D ，连接OE 、OF 、OD 、
OA，
OE
AB
，OF
BC
，OD
AC
，且
OF
OE
OD
r ，
ABC
AOB
BOC
AOC
S
S
S
S
，
1
1
1
2
2
2
AB
OE
BC
OF
AC
OD ，
1
1
1
5
7
4 2
14
2
2
2
r
r
r
，
解得：
3
2
r
．
故答案为：3
2
．
64．如图，ABC 的内切圆
O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D，E，F，且
5
AB
cm
，
7cm
BC
，
6cm
CA
．
如图，ABC 的内切圆
O 与BC
CA
AB
，
，
分别相切于点D，E，F，
(1)求AF 的长．
(2)已知
2
6 6cm
ABC
S
△
，求OD 的长．
【答案】(1)2cm
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(2) 2 6 cm
3
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是
解题的关键．
（1）由切线长定理可知：AF
AE
，BF
BD
，CD
CE
，设AF
AE
x
，则
5
BF
BD
x
，
6
EC
DC
x
，根据
7
BD
DC
BC
，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用
ABC
S
s r
，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可
求解出OD 的长．
【详解】（1）解：∵ABC 的内切圆
O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D，E，F，
AF
AE
，BF
BD
，CD
CE
，
设AF
AE
x
，则
5
BF
BD
x
，
6
EC
DC
x
，
根据题意得：5
6
7
x
x
解得：
2cm
x
2cm
AF
，
5
3cm
BD
x
，
6
4cm
EC
x
，
则AF 的长为2cm ；
（2）
5cm
AB
，
7cm
BC
，
6cm
CA
，
∴半周长
9
2
AB
BC
CA
s
，
又
2
6 6cm
ABC
S
△
，
6 6
9
r
，
2 6
3
r
，
则OD 的长为2 6 cm
3
．
题型17 三角形内切圆与外接圆综合
65．在ABC 中，
50
A
，
O 是ABC 的内切圆，连接OB 、OC ，则
BO
C 的度数为（
）
A．105
B．110
C．115
D．125
【答案】C
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【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出
ABC
ACB
的度数，再由
O 是ABC 的内切圆得到
1
1
,
2
2
BCO
ACB
CBO
ABC
，最后根据三角
形内角和定理即可求出
BOC
．
【详解】解：∵
180 ,
50
A
ABC
ACB
A
，
180
130
ABC
ACB
A
，
∵
O 是ABC 的内切圆，
,
ABO
CBO
ACO
BCO
，
1
1
,
2
2
BCO
ACB
CBO
ABC
，
180
BO
C
C
BO
BCO
1
1
180
2
2
ACB
ABC
1
180
(
)
2
ABC
ACB
1
180
130
115
2
，
故选：C．
66．如图，周长为15cm的三角形纸片ABC ，小刚想用剪刀剪出它的内切圆
O ，他先沿着与
O 相切的DE
剪下了一个三角形纸片BDE ，已知
4
AC
cm
，则三角形纸片BDE 的周长是（
）
A．10cm
B．9cm
C．8cm
D．7cm
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形ABC 与
O 相切于M 、N 、F ，DE 与
O 相切于G ，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
【详解】解：设三角形ABC 与
O 相切于M 、N 、F ，DE 与
O 相切于G ，如图所示：
由切线长定理可知：AM
AF
，CN
CF
，BM
BN
，DM
DG
，EG
EN
，
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15cm
AB
AC
BC
，
4
AC
cm
，
4cm
AM
CN
AC
，
11cm
AB
BC
，
BDE
C
7cm
DB
DE
BE
BD
DG
GE
BE
BM
BN
AB
BC
AC
，
故选：D．
67．如图，
O 为ABC 的外接圆，其中
50
B
，点I 为ABC 的内心，连接
I
A 并延长交
O 于点D，连
接IC
CD
，
，则
ICD
____．
【答案】65
【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和
定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I 是ABC 的内心，得到
1
2
BCD
BAD
CAD
BAC
，
1
2
ACI
BCI
ACB
，根据三角形内角和定理得到
115
AIC
，
又根据圆周角定理，可知
50
ADC
B
，最后由三角形外角的性质即可求出
ICD
∠
．
【详解】解：∵I 是ABC 的内心，
∴AI
CI
，
分别平分
,
BAC
BCA
，
∴
1
2
BCD
BAD
CAD
BAC
，
1
2
ACI
BCI
ACB
；
∵
50
B
，
∴
1 180
65
2
IAC
ICA
B
，
∴
180
1
115
AIC
AC
ICA
；
∵
50
ADC
B
，
∴
65
ICD
AIC
ADC
．
故答案为：65．
68．如图，在ABC 中，
90
ACB
．
(1)在图1 中作ABC 的外接圆
O ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
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(2)在（1）的条件下，点I 是ABC 内切圆的圆心，当
6
AC
，
8
BC 时，连接
I
O ，求
I
O 的长．（可在备
用图中画出图形）
【答案】(1)见解析
(2)
5
OI
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用：
（1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边AB 的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即
可；
（2）设
I 与ABC 各边的切点为D，E，F，连接
,
,
ID IE IF ，设
I 的半径为r，易得四边形IECF 为正方形，
切线长定理求出r ，在Rt
ODI
△
中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，
O 即为所求；
（2）如图，设
I 与ABC 各边的切点为D，E，F，连接
,
,
ID IE IF ，
则ID
AB
，IE
BC
，IF
AC
．
设
I 的半径为r，则ID
IE
IF
r
，
∵
90
ACB
，
∴AB 为
O 的直径，
∵
90
ACB
，
6
AC
，
8
BC ，
∴
2
2
6
8
10
AB
，
5
OA
OB
，
∵
90
C
IEC
IFC
，
∴四边形IECF 为矩形，
∵IE
IF
，
∴四边形IECF 为正方形，
∴CF
CE
r
，
∴
6
AF
AD
r
，
8
BE
BD
r
，
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∵
10
AD
BD
，
∴6
8
10
r
r
，
解得
2
r
，
∴
4
AD
，
∴
1
OD ，
在Rt
ODI
△
中，
2
2
1
2
5
OI
．
题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
69．已知：圆O及圆外一点P ，求作：过点P 作圆O的切线．
作法：①连接OP ，分别以O，P 为圆心，大于1
2 OP 的长为半径作弧，两弧分别交于点C 和E ，连接CE ，
交OP 于点D ；
②以D 为圆心，OD 长为半径作圆D ，交圆O于点A ，B 两点；
③作直线PA ，PB ．
所以直线PA ，PB 为
O 的切线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明推理的依据
证明：连接OA，OB ，
∵OP 为
D的直径，且点A 、B 在
D上，
∴OA
AP
，OB
BP
（①_______________），
∵OA，OB 为
O 的半径，
∴直线PA ，PB 为
O 的切线（②_______________）．
【答案】(1)图见解析
(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键．
（1）根据题干的步骤进行尺规作图即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
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（2）证明：连接OA，OB ，
∵OP 为
D的直径，且点A 、B 在
D上，
∴OA
AP
，
⊥
BO
BP （①直径所对的圆周角为直角），
∵OA、OB 为
O 的半径，
∴直线PA ，PB 为
O 的切线（②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
70．如图，由边长为1的小正方形组成的7 7
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且A
B
C
、、
是格点．仅
用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中先作直径CE ，再过点E 作
O 的切线；
(2)在图2 中，点D 是
O 与网格线的交点，先在AB 上方作
2
BF
AD
；再在AB 下方作弦DG
BC
．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了作图—应用设计作图，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理结合网格特
点作图是解题的关键．
（1）连接AB ，连接CE ，因为90角所对的弦是直径，再连接PQ ，与直线l 交于点D ，连接DE ，推出
SAS
DFE
EGE
，即
90
DEC
，即DE 为
O 的切线；
（2）连接AB ，连接CE ，因为90角所对的弦是直径，确定圆心O，①作点D 的对称点D，即D B
AD
，
连接BD与直线l 交于点K ，连接AK 交
O 于点F ，连接OD
FO
、
，因为O
D
、
为中点，所以OD
AK
，
1
2
FAB
DOB
FOB
，即
2
2
BF
BD
AD
；
②作点D 的对称点D，与直线a 交于点M ，连接DB 和MN ，DB 和MN 相交于点H ，作射线OH ，OH 是
DB 的垂直平分线，连接CD，OH 和CD相交于点T ，作射线BT 与
O 交于点G ，所以
BDC
DBG
，
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因为BC
BC
，那么
BDC
BGC
DBG
，所以DB CG ，即DG
BC
．
【详解】（1）解：如图为所求，
（2）解：如图为所求，
71．如图，
O 半径是3，点P 是
O 外一点，且
5
OP
．
(1)请用直尺和圆规作出过点P 的
O 的两条切线，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不写画法和证明）．
(2)若点C 是AB 上任意一点（点C 不与点A、B 重合），过点C 的切线交PA
PB
、
于点D、E．则PDE 的
周长是．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，切线长定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）连接OP ，作线段OP 的中垂线，再以OP 为直径画圆，与
O 交于点
,
A B ，根据圆周角定理可知
90
OAP
OBP
，即可得到
,
PA PB 为
O 的切线；
（2）根据切线的性质，勾股定理，切线长定理，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
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（2）解：如图，连接OA，
∵PA 是
O 的切线，
∴
90
OAP
，
∴
2
2
4
PA
OP
OA
，
根据切线长定理得：
,
,
4
AD
CD BE
CE PA
PB
，
则PDE 的周长
2
8
PD
DE
PE
PD
DC
CE
PE
PD
DA
BE
PE
PA
．
故答案为：8．
72．已知：如图，
O 及
O 外一点P，
(1)求作：过点P 的
O 的切线PA
PB
，
（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，
OP 是
M 的直径，
OAP
_______°（）（填依据）
OA
AP
．
又
OA为
O 的半径，
直线PA 是
O 的切线（）（填依据）
同理可证，直线PB 也是
O 的切线．
【答案】(1)见解析
(2)90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，关键是通过作图构造
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直径所对的圆周角．
（1）先作出OP 的中点M，然后以点M 为圆心作圆M，则圆M 与圆O 的交点即为点A，B，则
,
PA PB 即为
所求；
（2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）证明：
OP是
M 的直径，
90
OAP
（直径所对的圆周角是直角），
OA
PA
．
又
OA是
O 的半径，
PA
是
O 的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线），
同理，PB 是
O 的切线．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
题型19 圆与三角形综合（压轴）
73．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，AO 平分
BAC
交BC 于点O，以点O为圆心，OC 为半径的圆交BC
于点D ．
(1)求证：AB 为圆O的切线；
(2)若
6
AC
，
8
BC ，求圆O的半径R ．
【答案】(1)证明：如图，过点O作OE
AB
于点E ，
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90
ACB
，
OC
AC
，
AO 平分
BAC
交BC 于点O，OE
AB
，
OE
OC
，
点E 在
O 上，
又
OE
AB
，
AB
与
O 相切；
(2)
3
R
【分析】（1）过点O作OE
AB
于点E ，首先根据角平分线的性质证明OE
OC
，继而根据切线的判定定
理证明AB 与
O 相切．
（2）通过证明Rt
Rt
AEO
ACO
△
≌
△
，得到
6
AE
AC
，根据勾股定理得到
10
AB
，继而得到
4
BE
，
在Rt BOE 中根据勾股定理解得
3
R
．
【详解】（1）略；
（2）解：
OC
AC
，OE
AB
，
在Rt AEO 和Rt ACO 中，
EO
CO
AO
AO
，
Rt
Rt
HL
AEO
ACO
△
≌
△
，
6
AE
AC
，
在Rt ABC 中，
2
2
10
AB
AC
BC
，
10
6
4
BE
AB
AE
，
圆O的半径为R ，
8
BO
BC
OC
R
，
OE
AB
，
90
BEO
，
在Rt BOE 中，
2
2
2
BE
OE
BO
，即
2
2
2
4
8
R
R
，解得：
3
R
，
圆O的半径
3
R
．
74．如图，ABC 中，AB
AC
，以AB 为直径的
O 与AC ，BC 分别交于点D 和点E ，过点E 作EF
AC
，
垂足为F ，连接DE ．
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(1)求证：EF 是
O 的切线；
(2)若
6
CD
，
10
BC
，求
O 半径．
【答案】(1)见解析
(2) 25
6
【分析】（1）连接OE ，利用等腰三角形的性质，证明
//
OE AC 即可解答；
（2）连接AE ，利用等腰三角形的性质，得到
B
C
，
1
5
2
BE
CE
BC
，利用圆内接四边形的性质，
得到
B
CDE
，证明ABC
EDC
∽
，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OE ，
EF
AC
，
90
EFC
．
AB
AC
，
B
C
．
OB
OE
，
B
OEB
，
OEB
C
，
OE
AC
，
90
OEF
EFC
，
OE
EF
．
OE 是
O 的半径，
EF
是
O 的切线．
（2）解：如图，连接AE ，
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AB 是
O 的直径，
90
AEB
，
AE
CB
．
AB
AC
，
B
C
，
1
5
2
BE
CE
BC
．
四边形ABED 是
O 的内接四边形
180
B
ADE
，
180
CDE
ADE
，
B
CDE
．
C
C
，
ABC
EDC
∽
，
AC
BC
EC
CD
，
10
5
6
AC
，
25
3
AC
AB
，
O
半径为25
6 ．
75．AC 为圆O 直径，BC 切圆O 于点C，过点C 作CM
OB
交圆O 于点M，交OB 于点F，连接BM ．
(1)如图1，求证：BM 为圆O 切线；
(2)如图2，过点A 作AD
BM 交OB 于点D，求证BC
AD
；
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(3)在（2）的条件下，连接AM ，当AD
AC
时，
2 2
AM
，求BM 的长．
【答案】(1)
证明：连接OM ，
CM
OB
，
FM
CF
（垂径定理），
BM
BC
，
BMC
BCM
，
OM
OC
，
OCM
OMC
，
BC 切圆O 于点C，
90
OCB
OCM
BCM
，
90
OCM
BCM
OMC
BMC
OMB
，
OM 为半径，
BM
为圆O 切线；
(2)
证明：如图，连接AM ，
AC 为圆O 直径，
90
AMC
，
∵
90
MFD
° ，
AMC
MFD
,
∴AM
BD
∥
，
AD
BM
∴四边形ADBM 是平行四边形，
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∴AD
BM
，
∵BC
BM
，
BC
AD
．
(3) 2 10
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：如图，连接OM ，
∵O，F 分别是AC 和MC 的中点，
1
2
2
OF
AM
（三角形中位线定理）
设OM
r
，则
2
AC
AD
BM
r
，
在Rt BMO 中，
2
2
5
OB
BM
OM
r
，
1
1
2
2
OMB
S
OM BM
OB MF
△
，
2
2 5
5
5
OM BM
r r
r
MF
OB
r
，
在Rt
FMO中，
2
2
2
MF
OF
OM
，
2
2
2
2 5
2
5
r
r
，
10
r
，
2
2 10
BM
r
．
76．如图，
O 的半径为1，A，P，B，C 是
O 上的四个点，
60
APC
CPB
．
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(1)请判断ABC 的形状？说明理由；
(2)当点P 位于AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
【答案】(1) ABC 是等边三角形，理由见解析
(2)当点P 为AB 的中点时，四边形APBC 的面积最大，最大面积为
3
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用
圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值．
（1）由同弧所对的圆周角相等，结合
60
APC
CPB
，得
60
ABC
BAC
，判定ABC 为等边三
角形；
（2）将四边形面积拆分为APB 与ABC 的面积和，转化为1
(
)
2 AB
PE
CF
，当P 为AB 中点时，PE
CF
取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积．
【详解】（1）解：ABC 是等边三角形．理由如下：
在
O 中，∵
BAC
与
CPB
是BC 所对的圆周角，
ABC
与
APC
是AC 所对的圆周角，
∴
,
BAC
CPB
ABC
APC
，
又∵
60
APC
CPB
，
∴
60
ABC
BAC
，
∴ABC 为等边三角形；
（2）解：当点P 为AB 的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由如下：
如图，过点P 作PE
AB
，垂足为E．过点C 作CF
AB
，垂足为F．
∵S APB
1
2
AB •
,
PE S ABC
1
2
AB •CF ，
∴
APBC
S四边形
1
2
AB •
PE
CF
，
当点P 为AB 的中点时，
,
PE
CF
PC PC
为
O 的直径，
∴此时四边形APBC 的面积最大．
又∵
O 的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB
3
，
∴
APBC
S四边形
1
2
2
3
3
．
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题型20 圆与四边形综合（压轴）
77．[感知]如图①，
O 为等边ABC 的外接圆．AD 为
O 的直径，线段AD 与BC 交于点E，探究线段
AE
BD
DE
、
、
的数量关系．
小明同学的做法是：过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点F，连接CD．易证AD
BC
．进而得出
BCF
ACE
≌
，
CDE
CDF
≌
△
△
．则线段AE
BD
DE
、
、
的数量关系是：
BD
DE
______．
[探究]如图②，等腰三角形ABC 中．AC
BC
，O 为ABC 的外接圆，D 为弧BC 上一点，CE
AD
于E，
探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．
[应用]如图③，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，AC
BC
．点D 在
O 上，且点D 与点C 位于线段AB
两侧，过点C 作线段AD 的垂线，交线段AD 于点E，若点E 为AD 的三等分点，则DB
AC 的值为______．
【答案】[感知] AE ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用]
5
5
【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性
质，等边三角形的判定和性质：
[感知] 过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点F，连接CD，证明BCF
ACE
≌
，
CDE
CDF
≌
△
△
，即可求
解；
[探究] 过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点G，连接CD，证明BCG
ACE
≌
，
CDE
CDG
≌
△
△
，即可求
解；
[应用] 过点C 作DB 的垂线交DB 延长线于点H，可证明四边形CEDH 是矩形，再由四边形ACBD 是
O 的
内接四边形，可证明
CBH
CAD
，可证得
ACE
BCH
△
≌△
，从而得到CE
CH
，BH
AE
，可证明四
边形CEDH 是正方形，从而得到DH
DE
CH
，即可求解．
【详解】解：[感知]过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点F，连接CD，
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∵
O 为等边ABC 的外接圆，
∴AD
BC
，AC
BC
，
∴
90
AEC
CED
F
，
∵
CAD
CBF
，
∴BCF
ACE
≌
，
∴AE
BF
，CE
CF
，
∵CD
CD
，
∴
CDE
CDF
≌
△
△
，
∴DE
DF
，
∴BD
DE
BD
DF
BF
AE
；
故答案为：AE
[探究] 上述结论成立，证明如下：
如图，过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点G，连接CD，
∵CE
AD
，
∴
90
AEC
CED
G
，
∵AC
BC
，
CAD
CBD
，
∴BCG
ACE
≌
，
∴AE
BG
，CE
CG
，
∵CD
CD
，
∴
CDE
CDG
≌
△
△
，
∴DE
DG
，
∴BD
DE
BD
DG
BG
AE
；
[应用]如图，过点C 作DB 的垂线交DB 延长线于点H，
∵AB 是直径，CE
AD
，
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∴
90
AEC
CED
D
H
，
∴四边形CEDH 是矩形，
∵四边形ACBD 是
O 的内接四边形，
∴
180
CAD
CBD
，
∵
180
CBH
CBD
，
∴
CBH
CAD
，
∵AC
BC
，
∴
ACE
BCH
△
≌△
，
∴CE
CH
，BH
AE
，
∴四边形CEDH 是正方形，
∴DH
DE
CH
，
∵点E 为AD 的三等分点，点D 与点C 位于线段AB 两侧，
∴
3
AD
AE
，
设
2
BH
AE
y
，则
2
DH
DE
CH
x
，
∴
2
2
,
5
BD
x BC
CH
BH
x
，
∴
5
5
5
DB
x
AC
x
；
故答案为：
5
5
78．【感知】如图①点A
B
C
P
、、、
均在
O 上，
45
BAC
，则
BPC
的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC 上（点P 不与点A
C
、
重合），连接PA
PB
PC
、
、
．求证：PB
PA
PC
．小明发现，延长PA 至点E ，使AE
PC
，连接BE ，
通过证明PBC
EBA
≌
．可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA 至点E ，使AE
PC
，连接BE ．
四边形ABCP 是
O 的内接四边形，
180
BAP
BCP
，
180 ,
BAP
BAE
BCP
BAE
，
ABC 是等边三角形，
BA
BC
，
SAS
PBC
EBA
≌
．请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，
O 是ABC 的外接圆，
90 ,
ABC
AB
BC
，点P 在
O 上，且点P 与点B 在AC 的两
侧，连接PA
PB
PC
、
、
，若
3 2
PB
PA
，求PB
PC 的值．
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【答案】45；见解答；3 2
5
．
【分析】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，
作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）先构造出
(SAS)
PBC
EBA
≌
，得出PB
EB
，进而得出PBE 是等边三角形，即可得出结论；
（3）先构造出
(SAS)
PBC
GBA
≌
，进而判断出
90
PBG
，进而得出PBG 是等腰直角三角形，即可得
出结论；
【详解】（1）解：
45
BAC
，
45
BPC
BAC
（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
故答案为：45；
（2）证明：延长PA 至点E ，使AE
PC
，连接BE ．
四边形ABCP 是
O 的内接四边形，
180
BAP
BCP
，
180
BAP
BAE
，
BCP
BAE
，
ABC 是等边三角形，
BA
BC
，
(SAS)
PBC
EBA
≌
，
PB
EB
，
ABC 是等边三角形，
60
ACB
，
60
APB
，
PBE
为等边三角形，
PB
PE
AE
AP
PC
AP
；
（3）解：如图③，
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延长PA 至点G ，使AG
PC
，连接BE ．
四边形ABCP 是
O 的内接四边形，
180
BAP
BCP
，
180
BAP
BAG
，
BCP
BAG
，
BA
BC
，
(SAS)
PBC
GBA
≌
，
PB
GB
，
PBC
GBA
，
90
ABC
，
90
PBG
GBA
ABP
PBC
ABP
ABC
，
2
PG
BP
，
PG
PA
AG
PA
PC
，
2
3 2
5
PC
PG
PA
PA
PA
PA
，
5
3 2
3 2
5
PB
PA
PC
PA
，
79．如图，ABC 内接
O ，点A 为BC 的中点，D 为BC 边上一点，
DAC
ACE
，AE 是
O 的切线，
1
1
2
AF
BD
AB
，连接CF ．
(1)求证：CE
CF
；
(2)当点A 到弦BC 的距离为1 时，求AE 的值．
【答案】(1)
证明：如图，连接OA交BC 于点M，
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∵点A 为BC 的中点，
∴
,
OA
BC AB
AC
，
∵AE 与
O 相切，
∴AE
OA
，
∴
,
AE
BC
EAC
ACB
ABD
∥
，
又∵BD
AF
，
∴
SAS
ABD
CAF
≌
，
∴AD
CF
，
∵
DAC
ACE
，
∴CE
AD ，
∴四边形ADCE 为平行四边形，
∴AD
CE
，
∴CE
CF
；
(2) 2 3
1
【分析】（1）根据点A 为BC 的中点，AE 与
O 相切，证明
SAS
ABD
CAF
≌
，得到AD
CF
，由
DAC
ACE
，得到CE
AD ，证明四边形ADCE 为平行四边形，即可证明结论；
（2）由
1
1
2
AF
BD
AB
，得到
2
AB
AC
，在Rt ABM 中，
2
2
2
A
A
M
B
M
B
，求出BM ，进而求
出CD，根据四边形ADCE 为平行四边形，即可求解．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，
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∵
1
1
2
AF
BD
AB
，
∴
2
AB
AC
，
∴BM
CM
，
∵点A 到弦BC 的距离为1，即
1
AM ，
在Rt ABM 中，
2
2
2
A
A
M
B
M
B
，
∴
2
2
2
1
3
BM
，
∴|
3 1
DM
BM
BD
，
3 1
3
2 3 1
CD
DM
MC
，
由（1）可知四边形ADCE 为平行四边形，
∴
2 3
1
AE
CD
．
【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三
角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键．
80．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD 平分
BDF
，AE
CD
于点E．
(1)求证：AB
AC
．
(2)若
9
BD
，
1
DE ，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
7
CD
【分析】（1）根据AD 平分
BDF
，得
ADF
ADB
，根据圆内接四边形的性质，得
180
ABC
ADC
，
进而得
ABC
ADF
，根据同弧所对的圆周角相等，得
ACB
ADB
，再根据等角对等边，即可证明
AB
AC
；
（2）过点A 作AG
BD
于点G，得
90
AGD
，根据AD 平分
BDF
，得
ADF
ADB
，再根据AE
CD
，
AD 是公共边，得AGD
AED
≌
，得到GD
ED
，AG
AE
；又根据AB
AC
，得Rt
Rt
AEC
AGB
≌
，
得BG
CE
；最后根据BG
BD
GD
，CD
CE
DE
，即可求出CD的值．
【详解】（1）证明：∵AD 平分
BDF
，
ADF
ADB
，
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∵四边形ABCD 是
O 的内接四边形，
180
ABC
ADC
，
180
ADC
ADF
，
ABC
ADF
ADB
，
ACB
ADB
，
ACB
ABC
，
AB
AC
．
（2）解：过点A 作AG
BD
于点G，
90
AGD
，
∵AD 平分
BDF
，
ADF
ADB
，
AE
CD
，
90
AED
，
在AGD 和AED 中，
90
AGD
AED
ADF
ADB
AD
AD
，
AAS
AGD
AED
≌
，
1
GD
DE
，AG
AE
，
在Rt AEC 和Rt AGB 中，
AE
AG
AB
AC
，
Rt
Rt
HL
AEC
AGB
≌
，
CE
BG
，
又
9
BD ，
1
DE ，
9 1
8
BG
BD
GD
，
8
CE
，
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8 1
7
CD
CE
ED
，
7
CD
．
【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的
判定与性质等．
题型21 圆与函数综合（压轴）
81．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1 为半径作圆，点P（m，
3 m＋2
3 ），过点P 作该圆的
一条切线，切点为A，则PA 的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
3
D．
2
【答案】D
【分析】根据题意可知点P 在直线
3
2 3
y
x
上，再结合题意，画出图形．设该直线与y 轴交于点B，
与x 轴交于点C，并作OH
BC
于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C 两
点的坐标，即得出OB、OC、BC 的长．再根据面积法即可求出OH 的长．根据切线的性质可知OA
PA
，
即由勾股定理可推出
2
2
AP
OP
OA
．由OA 为圆O 半径，是定值，故可知当OP 最小时，PA 最小，此
时OP 最小值即为OH 的长，由此即可求出PA 的最小值．
【详解】解：根据题意可知点P 在直线
3
2 3
y
x
上，设该直线与y 轴交于点B，与x 轴交于点C，并
作OH
BC
于点H，如图．
令
0
y
，则
3
2 3
0
x
，
解得：
2
x
；
令
0
x
，则
2 3
y
．
故B 点坐标为(0，2 3 )，C 点坐标为(-2，0)．
∴
2 3
OB
，
2
OC
，
2
2
2
2
(
)
(
)
( 2
0)
(0
2 3)
4
C
B
C
B
BC
x
x
y
y
．
∵
1
1
2
2
OBC
S
BC OH
OB OC
，
∴4
2 3
2
OH
，即
3
OH
．
∵PA 为圆O 的切线，
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∴OA
PA
，
∴在Rt
OAP
△
中，
2
2
PA
OP
OA
．
∵OA 为圆O 半径，是定值，
∴当OP 最小时，PA 最小．
∵OP 最小时即为OH 的长，
∴
2
2
2
2
( 3)
1
2
PA
OH
OA
．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP 最小
时，PA 最小，且OP 最小值为OH 的长是解答本题的关键．
82．如图，点P 为函数
6
0
1
y
x
x
的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P 半径为2，
3,0
A
，
6,0
B
，
点Q 是
P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最大值是__________．
【答案】2
2 +1
【分析】易求点P(4，4)，连接OP 交
P 于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以
AC=
1
2 OQ，所以当OQ 最大时，AC 最大，Q 运动到Q'时，OQ 最大，由此即可解决问题.
【详解】点P 为函数
6
0
1
y
x
x
的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
∴可设P(x，x)( x>0)，则x=16
x
解得x=±4(负值舍去），
点P(4, 4)如图，连接OP 交
P 于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大，
∵
3,0
A
，
6,0
B
，点C 是QB 的中点，
∴OA=AB，CB=CQ，AC=
1
2 OQ，
当Q 动到Q'时，OQ 最大，此时AC 的最大值AC'=
1
2 OQ'=
1
2
(OP+P Q') =2
2 +1，
故答案为：2
2 +1.
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【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题
的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
83．如图，直线
2
y
x
与双曲线
(
0)
k
y
k
x
交于点A，B，C 为x 轴正半轴上一点，且
5
OC
，P 为半径为
1 的
C 上一点，E 为BP 的中点．若OE 的最小值为2，则此时k 的值为______．
【答案】8
【分析】连接AP，可得OE 是ABP 的中位线，当OE 的最小值为2 时，AP 的最小值为4，此时，点P 为
AC 与
C 的交点，进而即可求解．
【详解】解：连接AP，
∵直线
2
y
x
与双曲线
(
0)
k
y
k
x
交于点A，B，
∴点O 是AB 的中点，
∵E 为BP 的中点，
∴OE 是ABP 的中位线，
∴AP=2OE，
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∴当OE 的最小值为2 时，AP 的最小值为4，此时，点P 为AC 与
C 的交点，即：AC=4+1=5，
∵
5
OC
，即：C(5，0)，
∴设A(x，2x)，则
2
2
(
5)
(0
2 )
5
x
x
，解得：x1=2，x2=0（舍去），
∴A(2，4)，
∴k=2×4=8．
故答案是：8．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线，熟练掌握圆外一个点到圆上距离的最小的点为圆外一点与圆心的
连线与圆的交点，是解题的关键．
84．已知反比例函数
k
y
x
经过点
3,4
A
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以平面直角坐标系原点O为圆心，OA长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A 外的其余交
点的坐标；
(3)若该反比例函数与
O 在第一象限的另一个交点为点B ，求OAB 的面积．
【答案】(1)
12
y
x
(2)
3, 4
，
4,3 ，
4, 3
；
(3) 7
2
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式．
（1）将点A 的坐标代入反比例函数解析式即可求解；
（2）根据点A 的坐标求出OA的长，进而求出
O 的方程，联立O的方程和反比例函数的解析式即可求解；
（3）根据点A ，B 的坐标，求出直线AB 的解析式，进而求出直线AB 与x 轴的交点坐标，再根据三角形的
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面积公式即可求解．
【详解】（1）解：将点
(3,4)
A
代入反比例函数
k
y
x
中，得4
3
k
，
12
k
，
反比例函数的解析式为
12
y
x
；
（2）解：∵点O为圆心，，
3,4
A
，
2
2
3
0
4
0
5
OA
，
O
的方程为
2
2
25
x
y
，
联立
2
2
12
25
y
x
x
y
，
将
12
y
x
代入
2
2
25
x
y
得
2
2
12
25
x
x
，即
2
2
144
25
x
x
，
设
2x
t
0
t
，则
144
25
t
t
，
解得
9
t
或
16
t
．
当
9
t
时，
2
9
x
，
3
x ，
3
x
时
4
y
3
x
时
4
y
．
当
16
t
时，
2
16
x
，
4
x ，
4
x
时
3
y
，
4
x
时
3
y
．
除点A 外的其余交点的坐标为
3, 4
，
4,3 ，
4, 3
；
（3）由（2）可知，点B 的坐标为
4,3 ，
设直线AB 的解析式为y
mx
n
，
将点
3,4
A
，
4,3
B
代入y
mx
n
中，得
4
3
3
4
m
n
m
n
，
解得
1
7
m
n
，
直线AB 的解析式为
7
y
x
，
令
0
y
，则
7
x
，
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直线AB 与x 轴的交点坐标为
7,0 ，
1
1
7
7 4
7 3
2
2
2
OAB
S
．
1．如果
O 的半径为5cm，圆心O到直线l 的距离为d ，且
3cm
d
，那么
O 和直线l 的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定
【答案】C
【分析】比较圆的半径r 与圆心到直线的距离d 的大小，即可得到位置关系，规则为：d
r
时直线与圆相
交，d
r
时相切，d
r
>
时相离．
【详解】解：∵
O 的半径
5
r
cm
，圆心O到直线l 的距离
3cm
d
，
∴d
r
，
根据判定规则可得
O 和直线l 的位置关系是相交．
2．如图，
O 是ABC 的外接圆，AC 为
O 的直径，BD 与
O 相切于点B．若
35
CBD
，则
ACB
的
度数为（
）
A．25
B．35
C．45
D．55
【答案】D
【分析】连接OB ，根据切线的性质可得
90
OBC
CBD
，从而得到
55
OBC
，即可求解．
【详解】解：连接OB ，
∵BD 与
O 相切于点B，
∴OB
BD
，即
90
OBD
，
∴
90
OBC
CBD
，
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∵
35
CBD
，
∴
55
OBC
，
∵OB
OC
，
∴
55
ACB
OBC
．
3．如图，PA ，PB 是
O 的切线，A ，B 为切点，AC 是
O 的直径，
25
BAC
．则
P
的度数为（）
A．65
B．50
C．60
D．70
【答案】B
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，根据切线及
25
BAC
，得到
90
25
65
BAP
，根据切线长定理得到
65
ABP
，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵PA 是
O 的切线，
25
BAC
，
∴
90
25
65
BAP
，
∵PA ，PB 是
O 的切线，A ，B 为切点，
∴PA
PB
，
∴
65
ABP
，
∴
180
65
2
50
P
，
故选：B．
4．如图，PA 是
O 的切线，切点为A ，PO的延长线交
O 于点B ，连接
.
AB 若
40
P
，则
B
的度数
为（
）
A．20
B．25
C．40
D．50
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，结合切线的性质和
40
P
可求
AOP
的度数，然后根据
圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接OA，如图所示：
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∵PA 是⊙O的切线，
∴
90
OAP
，
又
40
P
，
∴
50
AOP
，
∴
1
25
2
B
AOP
，
故选：B．
5．如图，AB 是
O 的直径，点C 在
O 上，AE 是
O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ，
若
80
AOC
，则
ADB
的度数为（
）
A．80
B．60
C．50
D．40
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．根据切线的性质，
可以先得出
BAD
为直角；再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出
B
，从而得到
ADB
的度数．
【详解】解：∵AE 是
O 的切线，AB 是
O 的直径，
90
BAD
，
80
AOC
，
1
40
2
B
AOC
，
90
50
ADB
B
，
故选：C．
6．如图，
O 是ABC 的内切圆，切点分别为
,
,
D E F ．若
8,
10
CF
AB
，则ABC 的周长为（
）
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A．8
B．10
C．20
D．36
【答案】D
【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得AD
AE
BD
BF
CE
CF
，
，
，再根据三角形
周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵
O 是ABC 的内切圆，切点分别为
,
,
D E F ，
∴AD
AE
BD
BF
CE
CF
，
，
，
∵
8,
10
CF
AB
，
∴
10
8
AD
BD
CE
，
，
∴ABC 的周长
10
10
8
8
36
AD
BD
AE
BF
CE
CF
，
故选：D．
7．如图，PA
PB
、
是
O 的切线，A
B
、为切点，点C 是优弧ACB 上一点，连接BC
AC
、
，若
70
P
，
则
C
的度数为（
）
A．35
B．45
C．50
D．55
【答案】D
【分析】根据切线的性质，四边形的内角和以及圆周角定理，即可得出结果.
【详解】解：如图，连接
,
OA OB ，
∵PA
PB
、
是
O 的切线，
∴
90
OAP
OBP
，
∵
70
P
，
∴
360
90
90
70
110
AOB
，
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∵点C 是优弧ACB 上一点，
∴
1
55
2
C
AOB
.
8．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，
P 与x 轴相切于点A ，与y 轴的一个交点为B ．若
P
的半径为5，点A 的坐标是
3,0 ，则点B 的坐标是（
）
A．
0,7
B．
0,8
C．
0,9
D．
0,10
【答案】C
【分析】本题考查了圆的切线性质、勾股定理应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾
股定理求出相关线段的长度．
过点P 作PC
y
⊥
轴于点C ，连接PA 、PB ；由
P 与x 轴相切于点A ，得PA
x
轴，从而确定点P 的坐标；
在Rt PBC 中，利用勾股定理求出BC 的长度，再结合OC 的长度求出OB 的长度，进而得到点B 的坐标．
【详解】解：过点P 作PC
y
⊥
轴于点C ，连接PA 、PB ．
P 与x 轴相切于点
(3,0)
A
，且半径为5，
PA
OA
，
5
PA
，
3
OA ，
点P 的坐标为(3,5) ，
3
PC
，
5
OC
．
在Rt PBC 中，
5
PB
，
3
PC ，
由勾股定理得：
2
2
2
2
5
3
25
9
16
4
BC
PB
PC
，
5
4
9
OB
OC
BC
，
点B 的坐标为(0,9) ．
故选：C．
9．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
3
4
AC
cm
BC
cm
，
，以点C 为圆心，以3.5cm 为半径作圆，则
C
与边AB 的公共点个数为（
）
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A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定
理，面积法求三角形的高，是解本题的关键．
过点C 作CD
AB
于点D，设
C 的半径为r，求出
2
2
5
AB
AC
BC
，
2.4
CD
，比较CD
r
，AC
r
，
BC
r
，即得答案．
【详解】解：过点C 作CD
AB
于点D，设
C 的半径为r，
∵在Rt ABC 中，
90
C
，
3
4
AC
BC
，
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
，
由三角形面积公式得：1
1
3 4
5
2
2
CD
，
解得：
2.4
CD
，
∵
3.5
r
，
∴CD
r
，
∴点D 在
C 内，
∵AC
r
，
∴点A 在
C 内，
∴
C 与线段AD 无交点；
∵BC
r
，
∴点B 在
C 外，
∴
C 与线段BD 有一个交点．
综上，
C 与边AB 有一个交点．
故选：B．
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10．如图，在Rt ABC 中，
90
BAC
，AD 为中线，若
5
AB
，
12
AC
，设ABD 与ACD的内切圆半
径分别为1r ，2r ，那么
1
2
r
r 的值为（
）
A．1
B．25
18
C．6
5
D．5 2
6
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和
性质求出BC ，AD ，BD ，CD，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示
ABD
S
，
ACD
S
，由
ABD
ACD
S
S
=
可求出答案．
【详解】解：如图，连接OA，OB ，OD ，IA，IC ，ID ，过点O，点I 分别作BC 的垂线，垂足分别为M，
N，
在Rt ABC 中，
90
BAC
，
5
AB
，
12
AC
，
∴
2
2
2
2
12
5
13
BC
AC
AB
，
∵AD 为中线，
∴
1
13
2
2
AD
BD
CD
BC
，
∵
ABD
ACD
S
S
=
，即
1
1
2
2
AB
BD
AD
OM
AC
AD
CD
IN
，
∴
1
2
1
1
5 13
12
13
2
2
r
r
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∴
1
2
25
18
r
r
．
故选：B．
11．如图，四边形ABCD与
O 分别相切于点E ，F ，G ，H ，其中，四边形ABCD的周长为44 ，
12
AD
，
则BC 长度为______．
【答案】10
【分析】根据切线长定理DE
DH
，AE
AF
，BF
BG
，CG
CH
，根据
12
AD
即可得出
24
DE
AE
DH
AF
，进而得出
2
20
BG
CG
BF
CH
BC
，即可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD与
O 分别相切于点E ，F ，G ，H ，
∴DE
DH
，AE
AF
，BF
BG
，CG
CH
，
∵
12
AD
，
∴
2(
)
2
24
DE
AE
DH
AF
DE
AE
AD
，
∵ABCD的周长为44 ，
∴
2(
)
2
44
24
20
BG
CG
BF
CH
BG
CG
BC
，
∴
10
BC
．
12．如图，点O是ABC 外接圆的圆心，点I 是ABC 的内心，连接OB
IA
、
．若
40
CAI
，则
OBC
的
度数为___________．
【答案】10/10 度
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理；
连接OC ，由点I 是ABC 的内心可得
I
A 平分
BAC
，根据角平分线的定义可得
2
80
BAC
CAI
，根
据圆周角定理可得
2
160
BOC
BAC
，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答
案．
【详解】解：如图，连接OC ，
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∵点I 是ABC 的内心，
∴
I
A 平分
BAC
，
∵
40
CAI
，
∴
2
2
40
80
BAC
CAI
，
∵点O 是ABC 外接圆的圆心，
∴
2
2 80
160
BOC
BAC
，
∵OB
OC
，
∴
1
1
180
180
160
10
2
2
OBC
OCB
BOC
，
故答案为：10．
13．如图，PA 与
O 相切于点A ，PB 与
O 相切于点B ，M 为AB 上一点，过点M 与
O 相切的直线分
别交
,
PA PB 于点E
F
，
．若PEF 的周长为12，则PA 的长为___________．
【答案】6
【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△PEF
的周长转化为与PA 相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△PEF 的周长转化为与PA 、PB 有
关的线段长度，再结合PA 与PB 的关系求解PA 的长．
【详解】解：由题意可得：PA
PB
．EA
EM
．
同理，
FB ，FM 是
O 的切线，切点分别为B ，M ，
FB
FM
．
PEF
C
PE
EF
PF
．
(
)
(
)
PEF
C
PE
EM
FM
PF
PE
EA
PF
FB
PA
PB
．
又
PA
PB
，
2
PEF
C
PA
．
△PEF 的周长为12，即
12
PEF
C
，
2
PEF
C
PA
，可得2
12
PA =
，
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解得
6
PA
．
故答案为：6
14．如图，在平面直角坐标系中，
A与x 轴相切于点B ，CB 为
A的直径，点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，D 为y 轴上一点，若ACD的面积为1，则k ______．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数（解析式），切线的性质定理，解
题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先利用切线的性质说明BC
x
轴，从而可得出BC
y 轴，根据ACD的面积为1，得出
2
OB
AC
，进而
求得k ．
【详解】解：∵
A与x 轴相切于点B ，
∴BC
x
轴，
∴BC
y 轴，
∵ACD的面积为1，
∴1
1
2 OB
AC
，
∴
2
OB
AC
，
∵CB 为
A的直径，
∴
1
2
AC
BC
，
∵点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，
∴设
, k
C a a
，则OB
a
，
k
BC
a
，
∴
1
2
2
k
AC
BC
a
∴
2
2
k
a
a
，解得：
4
k
，
故答案为：4．
15．如图，AB 是
O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC
OA
，OC 交AB 于点D ；若
68
BDC
，则
ABC
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的度数为______．
【答案】68
【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题
的关键；连接OB ，则有
90
OBC
，然后可得
90
68
22
OAD
，则有
22
OBA
OAB
，进而
问题可求解．
【详解】解：连接OB ，
BC 为切线，
OB
BC
，
90
OBC
，
OC
OA
，
90
AOC
，
68
ODA
BDC
，
90
68
22
OAD
，
OA
OB
，
22
OBA
OAB
，
90
90
22
68
ABC
OBA
．
故答案为：68．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，
O 经过B ，C 两点，且与AD 相切，则
O 的半径为______．
【答案】2.5
【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得
4
EF
，垂径定理求FC ，勾股定理列方程求半径．
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【详解】解：设
O 与AD 相切于点E ，连接EO并延长交BC 于点F ，连接OC ．
O 与AD 相切于点E ，
OE
AD
．
四边形ABCD是正方形，
AD
BC
，AB
BC
，
4
AB
BC
，
EF
BC
，四边形ABFE 为矩形，
4
EF
AB
，
OF
BC
，
F
为BC 的中点，
1
2
2
FC
BC
．
设
O 的半径为r ，则OC
r
，OE
r
，
4
OF
EF
OE
r
．
在Rt OFC 中，由勾股定理得
2
2
2
OF
FC
OC
，
即
2
2
2
(4
)
2
r
r
，
整理得
2
2
16
8
4
r
r
r
，
解得
2.5
r
，
O
的半径为2.5．
17．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，
90
ADC
，DC
BC
，直线EA 与
O 相切于点A．若
128
BCD
，则
DAE
的度数为___________．
【答案】64/64 度
【分析】利用直径所对圆周角为90的性质得出AC 是圆的直径，再由圆内接四边形的性质得到对角之和为
180，从而求得
BAD
的度数，根据DC
BC
得出两弧相等，利用同弧所对圆周角相等的定理得到
CAD
BAC
的度数，最后利用切线的性质即可求得结果．
【详解】解：如图，连接AC ，
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∵
90
ADC
，
∴AC 是
O 的直径，
∵EA 与
O 相切于点A，
∴
90
EAC
，
∵四边形ABCD是
O 的内接四边形，
∴
180
52
BAD
BCD
，
∵DC
BC
，
∴DC
BC
，
∴
1
26
2
CAD
BAC
BAD
，
∴
90
26
64
DAE
EAC
CAD
．
18．如图，在平面直角坐标系中，点
0,6
A
，点
8,0
B
，I 是OAB的内心，则
（1）AB _______；
（2）点I 关于x 轴对称的点的坐标是____________．
【答案】
10
2, 2
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据I 是OAB的内心，利用OM
ON
，BM
BE
，AE
AN
，得出
6
8
10
AE
BE
x
x
，求
解即可．
【详解】解：（1）
点
0,6
A
，点
8,0
B
，
6
OA
，
8
OB
，
∴在Rt OAB 中，
AB
2
2
2
2
6
8
10
OA
OB
；
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（2）连接
I
O ，
I
B ，
I
A ，过I 作IM
OB
，IN
OA
，IE
AB
，垂足分别为M ，N ，E ，
I是OAB 的内心，
OM
ON
，BM
BE
，AE
AN
，
设OM
ON
x
，则
8
BM
BE
x
，
6
AN
AE
x
，
6
8
10
AE
BE
x
x
，
解得：
2
x
OM
ON
，
I
的坐标为
2,2 ，
点I 关于x 轴对称的点的坐标是
2, 2
．
19．如图，ABCD是一个梯形，AB
CD ，梯形的两腰与上底均与半圆O 相切，已知
3
4
AD
BC
，
，则
CD ______．
【答案】7
【分析】此题考查了切线的性质定理和梯形的面积等知识，熟练掌握切线的性质定理是关键．
连接
,
,
,
,
OE AO OF OB GO ，根据切线的性质得到
,
,
OE
AD OF
AB GO
BC
，利用梯形面积等于三个三角
形面积之和列式即可求出答案．
【详解】解：连接
,
,
,
,
OE AO OF OB GO ，
则OE
OF
OG
，
∵梯形的两腰与上底均与半圆O 相切，
∴
,
,
OE
AD OF
AB GO
BC
，
∵AB
CD ，
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∴OF 是梯形ABCD的高，
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
AD OE
AB OF
BC OG
AB
CD
OF
∴
1
1
3
4
2
2
AB
OF
AB
CD
OF
解得
7
CD
故答案为：7
20．如图，ABC 内接于
O ，CD
AB
于D 点，若O为BCD 的内心，则AD
BD ______．
【答案】
2
1
【分析】连接OA
OB
OC
、
、
，由CD
AB
得
90
DBC
DCB
，进而由内心的定义得
1
45
2
OBC
OCB
DBC
DCB
，即得到
135
BOC
，再根据等腰三角形的性质和三角形内角
和定理得
135
AOB
BOC
，得到
90
AOC
，即得到
1
45
2
ABC
AOC
，BDC 是等腰直角三
角形，得BD
CD
，设BD
CD
a
，则
2
2
2
2
2
CB
BD
CD
a
a
a
，由
SAS
ABO
CBO
≌
得
2
AB
CB
a
，得到
2
1
AD
AB
BD
a
，最后代入计算即可求解．
【详解】解：如图，连接OA
OB
OC
、
、
，
∵CD
AB
于D 点，
∴
90
BDC
，
∴
90
DBC
DCB
，
∵O为BCD 的内心，
∴
1
1
1
45
2
2
2
OBC
OCB
DBC
DCB
DBC
DCB
，
∴
135
BOC
，
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∵OA
OB
OC
，
OBA
OBC
，
∴
OBA
OAB
OBC
OCB
，
∴
135
AOB
BOC
，
∴
360
135
135
90
AOC
，
∴
1
45
2
ABC
AOC
，
∴BDC 是等腰直角三角形，
∴BD
CD
，
设BD
CD
a
，则
2
2
2
2
2
CB
BD
CD
a
a
a
，
在ABO 和CBO 中，
BO
BO
AOB
COB
OA
OC
，
∴
SAS
ABO
CBO
≌
，
∴
2
AB
CB
a
，
∴
2
2
1
AD
AB
BD
a
a
a
，
∴
2
1
2
1
a
AD
BD
a
．
21．如图，以点O为圆心，AB 为直径作圆，在
O 上取一点C ，连接AC ，BC ，延长AB 至点D ，连接DC ，
使得
DCB
DAC
，求证：CD是
O 的切线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关
键．
连接OC ，由圆的半径相等得OA
OC
，由等边对等角，直径对的圆周角是90和两角互余，证得
90
OCD
即可解答．
【详解】证明：如图，连接OC ．
OA
OC
，
OAC
OCA
．
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又
DCB
DAC
，
DCB
OCA
．
AB 是
O 的直径，
90
OCA
OCB
ACB
．
90
DCB
OCB
OCD
，
OC
CD
．
又
OC 是
O 的半径，
CD
是
O 的切线．
22．如图，已知AB 是
O 的直径，点C，D 在
O 上，
65
ABC
，BC
CD
．
(1)求证：BOC
DOC
≌
；
(2)求
ABD
的度数．
【答案】(1)
证明：
BC
CD
，
BOC
DOC
．
OC
OC
，OD
OB
，
在BOC 和DOC 中：
OC
OC
BOC
DOC
OB
OD
SAS
BOC
DOC
≌
；
(2)40
【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过SAS 证明三角形全等．
（2）先利用等腰三角形性质求出
COB
的度数，再结合弧的关系求出
AOD
的度数，最后根据圆周角定理
求出
ABD
的度数．
【详解】（1）略
（2）解：
OC
OB
，
65
ABC
OCB
，
180
50
COB
ABC
OCB
，
50
DOC
BOC
，
180
80
AOD
DOC
BOC
，
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1
40
2
ABD
AOD
．
【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角
形的性质是解题的关键．
23．如图，在ABC 中，
90
C
，AD 平分
CAB
，AD 交边BC 于点D ，点O为边AB 上一点，
O 经过
点A 、D 并且交AB 于另一点E ．
(1)作出
O 并标出点E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，
①证明：直线BC 是
O 的切线；
②若
O 与AC 交于点F ，且
26
AE
，
12
CD
，求AF 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②10．
【分析】
1 作AD 的中垂线，交AB 于点O，以点O为圆心、OA为半径作圆即可得
O ，交AB 于点E ；
2 ①连接OD ，证OD
AC ，由
90
C
得OD
BC
于点D ，据此即可得证；
②作OG
AC
于点G ，可得四边形ODCG 是矩形，据此知
12
OG
CD
，由
13
OA
知
5
AG
，再根据垂
径定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，
O 与点E 即为所求．
（2）解：①如图，连接OD ，
OD
OA
，
OAD
ODA
，
AD 平分
CAB
，
OAD
CAD
，
CAD
ODA
，
OD
AC
，
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90
C
，
90
ODB
，即OD
CB
，
D 是
O 上一点，
直线BC 是
O 的切线；
②过点O作OG
AC
于点G ，
则
90
OGC
C
ODC
，
2
AF
AG
，
四边形ODCG 是矩形，
12
OG
CD
，
26
AE
，
13
OA
，
则
2
2
5
AG
OA
OG
，
2
10
AF
AG
．
【点睛】本题主要考查作图- 复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切线的判定、垂径定
理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点．
24．在
O 中，直径BD 垂直于弦AC ，垂足为E，连接AB ，BC ，CD，
.
DA
(1)如图①，若
110
ABC
，求
BAE
和
CAD
的大小；
(2)如图②，过点C 作
O 的切线交AB 的延长线于点F．若AC
AD
，
2
BF
，求此圆半径的长．
【答案】(1)
35
BAE
；
55
CAD
(2)
O 半径为4
【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等
边三角形的判定与性质和含30角的直角三角形的性质．
（1）先利用垂径定理得到AD
CD
，再根据圆周角定理得到
1
55
2
ABD
CBD
ABC
所以
90
90
55
35
BAE
ABD
，然后利用BD 为直径得到
90
BAD
，则
90
90
35
55
CAD
BAE
；
（2）连接OC ，如图②，利用垂径定理得到AE
CE
，即BD 垂直平分AC ，所以DA
DC
，于是可判断ACD
是等边三角形得到
60
ADC
CAD
，根据圆周角定理得到
60
FBC
ADC
，
60
CBD
CAD
，
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接着证明BOC 是等边三角形得到BC
OC
，
60
BCO
，然后根据切线的性质得到
90
FCO
，所以
30
FCB
，则
90
F
，于是利用含30 度角的直角三角形三边的关系求出BC 即可．
【详解】（1）解：
直径BD
AC
于E，
AD
CD
，
1
55
2
ABD
CBD
ABC
，
90
90
55
35
BAE
ABD
，
BD 是直径，
90
BAD
，
90
90
35
55
CAD
BAE
．
（2）如图：连接OC ，
直径BD
AC
于E，
AE
CE
，即BD 垂直平分AC ，
DA
DC
．
又
AC
AD
，
ACD是等边三角形．
60
ADC
CAD
，
60
FBC
ADC
，
CD
CD
，
60
CBD
CAD
．
又
OB
OC
，
BOC
是等边三角形，
BC
OC
，
60
BCO
．
FC 切
O 于点C，
90
FCO
．
90
90
60
30
FCB
BCO
，
180
180
60
30
90
F
FBC
FCB
，
2
4
BC
BF
．
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4
OC
BC
，
即
O 半径为4．
25．如图，在ABC 中，
90
C
，以BC 为直径的
O 交AB 于D ，点E 在线段AC 上，且ED
EA
．
(1)求证：ED 是
O 的切线；
(2)若
3
ED
，
60
B
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关
键．
（1）连接OD ．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到ED
EC
，求得
3
ED
EC
EA
．根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD ．
ED
EA
，
A
ADE
，
OB
OD
，
OBD
BDO
，
90
ACB
，
90
A
ABC
．
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90
ADE
BDO
，
90
ODE
，
DE
是
O 的切线；
（2）解：
90
ACB
，BC 为直径，
AC
是
O 的切线．
DE 是
O 的切线，
ED
EC
，
3
ED
，
3
ED
EC
EA
．
2 3
AC
，
在Rt ABC 中，
60
B
，
30
A
，
2
BC
．
O
的半径为1．
26．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
4
AC
，
3
BC ，点E 为边AC 上一点，过点E 作EP
AC
交ABC
的角平分线AD 于点P．以点P 为圆心，PE 长为半径画圆．
(1)求证：AB 与
P 相切；
(2)若
5
2
AE
，求
P 的半径．
【答案】(1)证明：过点P 作PF
AB
交AB 于点F，
∵AD 平分
BAC
，PE
AC
，
∴PF
PE
∵PE 为
P 的半径
∴PF 为
P 的半径，
∴AB 与
P 相切；
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(2)
5
6
PE
【分析】（1）过点P 作PF
AB
交AB 于点F，由角平分线的性质得PF
PE
，结合PE 为
P 的半径可证
结论成立；
（2）连接PB ，利用勾股定理求出
5
AB
，然后根据
ABC
ABP
AEP
EPBC
S
S
S
S
梯形
求解即可．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，连接PB ，
在Rt ABC 中，
90
4
3
C
AC
BC
，
，
，
∴
2
2
3
4
5
AB
．
∵
5
2
AE
，
∴
5
3
4
2
2
CE
．
∵
ABC
ABP
AEP
EPBC
S
S
S
S
梯形
∴
1
1
1
1
2
2
2
2
AC BC
AB PF
AE PE
PE
BC
CE
，
∴
1
1
1
5
1
3
4 3
5
3
2
2
2
2
2
2
PF
PE
PE
，
由（1）知PF
PE
，
∴
5
5
3
9
6
2
4
4
4
PE
PE
PE
，
∴
5
6
PE
．
27．如图，
O 是ABC 的外接圆，CD是
O 的切线，且AC
BC
，连接AD 交
O 于点E．
(1)求证：CD
AB ；
(2)连接BE ，若BE 为直径，
3 10
BC
，
8
AE
，求
O 的半径．
【答案】(1)
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证明：连接CO并延长交AB 于点F，连接
,
OA OB ，如图：
CD 是
O 的切线，
90
OCD
，
AC
BC
，
点C 在AB 的垂直平分线上，
AO
BO
，
点O在AB 的垂直平分线上，
CF
是AB 的垂直平分线，
OF
AB
，
90
OFB
OCD
，
CD
AB
；
(2)5
【分析】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是
解题的关键．
（1）连接CO并延长交AB 于点F，连接
,
OA OB ，切线的性质得到，
90
OCD
，再得到CF 是AB 的垂
直平分线，再得出OF
AB
，即可得出结论；
（2）连接BE ，得到OF 是ABE 的中位线，求出
4
OF
，设OB
OC
r
，在Rt BCF 和Rt BOF 中，由
勾股定理得
2
2
2
BF
CF
BC
，即
2
2
2
(3 10)
(
4)
BF
r
，
2
2
2
BF
OF
OB
，即
2
2
24
BF
r
，从而得到
2
2
2
2
(3 10)
(
4)
4
r
r
，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接BE ，如图：
由（1）可得AF
BF
，
∵OB
OE
，
∴OF 是ABE 的中位线，
1
1
8
4
2
2
OF
AE
，
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设OB
OC
r
，在Rt BCF 和Rt BOF 中，由勾股定理得：
2
2
2
BF
CF
BC
，即
2
2
2
(3 10)
(
4)
BF
r
，
2
2
2
BF
OF
OB
，即
2
2
24
BF
r
，
2
2
2
2
(3 10)
(
4)
4
r
r
，
整理得：
2
4
45
0
r
r
，
解得：1
5
r
，
2
9
r （舍去），
∴
O 的半径为5．
28．如图，O为正方形ABCD对角线AC 上一点，以O为圆心，OA长为半径的
O 与BC 相切于点M ．
(1)求证∶CD与
O 相切；
(2)若正方形ABCD的边长为1，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
2
【分析】（1）过O作ON
CD
于N ，连接OM ，由正方形的性质结合已知条件可得出
45
NOC
NCO
MOC
MCO
，由三角形内角和可得出
90
ONC
，进一步即可证明CD与
O
相切；
（2）由（1）易知
MOC
△
为等腰直角三角形，OM 为半径，设OM
MC
r
，由勾股定理可得出OC ，进
而可得出AC ，再由勾股定理可得出
2
2
2
AC
AB
BC
，由正方形的性质可得出
2
2
2
2AB
AC
，求出
2
AC
，进而列出等式计算即可．
【详解】（1）证明∶过O作ON
CD
于N ，连接OM ，
O 与BC 相切于点M ，
OM
BC
，
四边形ABCD为正方形，
90 ,
B
AB CD，
AB
OM
DC
∥
∥
，
又
AC 为正方形ABCD对角线，
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45
NOC
NCO
MOC
MCO
，
∴
90
ONC
，
OM
ON
，
CD
与
O 相切；
（2）解∶由（1）易知
MOC
△
为等腰直角三角形，OM 为半径，
设OM
MC
r
，
∴
2
2
2
OC
OM
MC
r
2
AC
AO
OC
r
r
，
在Rt ABC 中，AB
BC
，
∴
2
2
2
AC
AB
BC
，
2
2
2
2
AC
AB
，
2
AC
．
2
2
r
r
，
2
2
r
，
O
的半径为2
2
.
【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及
性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
29．综合与探究
问题情境：如图，已知AB 为
O 的直径，点C 为
O 上异于A ，B 的一点，过点C 作
O 的切线CE ，过点
A 作AD
CE
于点D ，连接OC ．
(1)探究发现：证明：无论点C 在何处，将ADC 沿AC 折叠，点D 一定落在直径AB 上；
(2)探究引申：如图2 ，小明同学继续探究发现，若AOC 是等腰三角形且对称轴经过点D 时，CD与AB 存
在什么数量关系？请给予证明；
(3)探究规律：如图3，小亮同学继续探究发现，当AOC 为等边三角形时，CD与AB 存在什么数量关系？
请给予证明．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
1
2
CD
AB
，理由见解析
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(3)
3
4
CD
AB
，证明见解析
【分析】本题主要涉及圆的切线性质、等腰三角形和等边三角形的性质、矩形的判定与性质以及含特殊角
的直角三角形等知识，准确分析计算是解题的关键．
（1）通过证明角相等，利用折叠性质确定点的位置；
（2）根据等腰三角形对称的性质得到角的度数，进而证明四边形是矩形，得到线段关系；
（3）依据求出相关角度，再利用含30角的直角三角形的边的关系来推导线段关系．
【详解】（1）证明：
DE 为
O 的切线，
OC
DE
，
AD
DE
，
//
AD OC
，
DAC
OCA
，
OA
OC
，
OAC
OCA
，
DAC
OAC
，
无论点C 在何处，将ADC 沿AC 折叠，点D 一定落在直径AB 上；
（2）解：
1
2
CD
AB
．
理由如下：
AOC 是等腰三角形且对称轴经过点D ，
DA
DC
，
AD
CE
，
45
DCA
DE 为
O 的切线，
OC
DE
，
90
OCD
，
45
OCA
，
90
COA
，
90
ADC
AOC
OCD
，
四边形AOCD 为矩形，
CD
AO
，
1
2
CD
AB
；
（3）解：
3
4
CD
AB
．理由如下：
AOC 为正三角形，
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OA
AC
，
60
OCA
，
90
OCD
，
30
ACD
，
1
2
AD
AC
，
3
3
AD
CD
，
2
3
1
3 CD
AC
，
3
2
CD
AC
，
而
1
2
AC
OA
AB
，
3
4
CD
AB
．
30．在平面直角坐标系xOy 中，
O 的半径为1，对于点P 、点A 和
O ，给出下面定义：将点P 绕点A 顺
时针旋转90得到点P，若点P在
O 上或内部，则称点P 为
O 关于点A 的旋垂点．
(1)如图1，若点
2,2
A
．
①在点
1 4,0
P
、
2 4,1
P
中，为
O 关于点A 的旋垂点是_____；
②点P 是x 轴上的动点，且点P 为
O 关于点A 的旋垂点，求点P 横坐标的取值范围；
(2)如图2，若点
2,0
A
，直线
2
y
kx
k
0
k
上存在
O 关于点A 的旋垂点，直接写出
．．．．k 的取值范围．
【答案】(1)①
1 4,0
P
，
2 4,1
P
②3
5
m
(2)
2
2
4
4
k
，且
0
k
【分析】（1）①设
O 与x 轴的正半轴交点为点N ，过点A 作
1
AE
OP
于点E ，连接
2
AP ，
1
2
PP ，利用等
腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，结合新定义解答即可；
②过点A 作AD
OP
于点D ，AF
y
轴于点F ，设点P 的旋转对应点为S ，连接AP ，AS ，根据点P 为
O
关于点A 的旋垂点，点S在
O 内部或
O 上，设
,0
P m
，根据定义，建立不等式解答即可；
（2）先确定直线
2
y
kx
k
恒过定点
1,2
B
；再构造以
2,0
A
为中心、将
O 顺时针旋转90得到的辅
助圆
O，利用切线的性质求出直线与
O相切时的k 值，进而确定k 的取值范围．
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【详解】（1）解：①设
O 与x 轴的正半轴交点为点N ，过点A 作
1
AE
OP
于点E ，连接
2
AP ，
1
2
PP ，如
图1，
∵
O 的半径为1，
∴点
1,0
N
，
∴
1
ON ，
∵点
2,2
A
，
∴
2
OE
AE
，
∴
45
AOE
OAE
，
∵点
1 4,0
P
，
∴
1
4
OP
，
∴
1
2
EP
，
∴
1
EP
OE
，
∴直线AE 是线段
1
OP 的垂直平分线，
∴
1
OA
AP
，
1
1
45
EAP
APE
，
∴
1
90
OAP
，
∵点O在
O 的内部，
∴点
1 4,0
P
为
O 关于点A 的旋垂点；
在AON 和
1
2
APP 中，
1
1
2
1
2
45
1
AO
AP
AON
APP
ON
PP
，
∴
1
2 SAS
AON
APP
≌
，
∴
2
AN
AP
，
1
2
OAN
P AP
，
∵
1
90
NAP
OAN
，
∴
1
1
2
90
NAP
P AP
，
∴
2
90
NAP
，
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∵点N 在
O 上，
∴点
2 4,1
P
为
O 关于点A 的旋垂点；
故答案为：
1 4,0
P
，
2 4,1
P
；
②过点A 作AD
OP
于点D ，AF
y
轴于点F ，设点P 的旋转对应点为S ，连接AP ，AS ，如图2 ，
∵点P 为
O 关于点A 的旋垂点，点S 在
O 内部或
O 上，
设
,0
P m
，
则要想使m 取最大值，
2
m
；
∵点
2,2
A
，
∴
2
AD
AF
，
∴
2
PD
m
，
∵
90
FAS
SAD
，
90
DAP
SAD
，
∴
DAP
FAS
，
在FAS 和DAP 中，
AF
AD
FAS
DAP
AS
AP
，
∴
SAS
FAS
DAP
≌
，
∴
90
AFS
ADP
，
∴点S 一定在y 轴上，且在
O 上，
∴
2
FS
DP
m
，
∴
2
2
4
OS
m
m
，
∵
O 的半径为1，
∴1
4
1
m
，
解得3
5
m
；
（2）解：∵
2
1
2
y
kx
k
x
k
，
∴当
1
x 时，
1 1
2
2
y
k
，
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∴
2
y
kx
k
过定点
1,2
B
，
如图，取点
2,2
O
，连接O A
，以
2,2
O
为圆心，1为半径作
O，过点
1,2
B
作
O，切线BM 、BN ，
切点分别为M 、N ，连接O M
、O N
、O B
，过点M 作MH
O B
于点H ，当直线
2
y
kx
k
0
k
过
点M 时，k 取最小值，当直线
2
y
kx
k
0
k
过点N 时，k 取最大值，
∵
2,2
O
，
0,0
O
，
2,0
A
，
∴
2
OA
O A
，OA
O A
，
∴
90
O AO
，
∴
O绕点A 顺时针旋转90度得
O ，即P 在
O上，
∵
2,2
O
，
1,2
B
，
∴O B
x
轴，
3
O B
，
∵BM 切
O于M ，
∴O M
BM
，
∴
2
2
2
2
3
1
2 2
BM
O B
O M
，
∵
1
1
2
2
O BM
S
BM O M
O B MH
△
，即1
1
2 2 1
3
2
2
MH
，
∴
2 2
3
MH
，
∴点M 的纵坐标为
2 2
2
3
，
2
2
2
2
2 2
8
2 2
3
3
BH
BM
MH
，
M
横坐标：
8
5
1
3
3
，
∴
5
2 2
,2
3
3
M
，
同理可得
5
2 2
,2
3
3
N
，
当直线
2
y
kx
k
0
k
过点
5
2 2
,2
3
3
M
时，得
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5
2 2
2
2
3
3 k
k
，
解得
2
4
k
；
当直线
2
y
kx
k
0
k
过点
5
2 2
,2
3
3
N
时，得
5
2 2
2
2
3
3 k
k
，
解得
2
4
k
，
∴k 的取值范围为
2
2
4
4
k
，且
0
k
．
