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第14 讲扇形
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求弧长
题型2 求扇形半径
题型3 求圆心角
题型4 求某点的弧形运动路径长度
题型5 求扇形面积
题型6 求图形旋转后扫过的面积
题型7 求弓形面积
题型8 求其他不规则图形的面积
题型9 求圆锥的侧面积
题型10 求圆锥底面半径
题型11 求圆锥的高
题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角
题型13 圆锥的实际问题
题型14 圆锥侧面上最短路径问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
弧长
扇形面积
圆锥侧面积
1. 理解弧长与扇形面积公式的推导过程及几何意义。
2. 熟记弧长、扇形面积公式，能进行基础数值计算。
3. 掌握圆锥母线、侧面积、全面积的概念及计算公式。
4. 理清圆锥侧面展开图与扇形之间的对应关系。
5. 能运用公式解决相关实际问题与几何综合题型。
学习重点：熟记弧长、扇形及圆锥侧面积公式，熟练完成各类基础计算。
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学习难点：厘清圆锥与展开扇形的对应关系，解决公式综合应用问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 弧长公式
弧长公式
半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：
(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
即时即练
1．如图，在扇形纸扇中，若
30 cm
OC
，
108
COD
，则CD的长为（
）
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360
1
A．18 cm
B．30 cm
C．100 cm
D．270 cm
2．如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，点A，B，C 均在格点上，则经过点B 的AC 的长度是______．
3．如图，已知CD是
O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA，若
4,
25
CD
C
．
(1)求
D
的度数；
(2)CE 的长度为__________．
知识点02 扇形面积公式
扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的
即
360
360
1
2
2
R
R
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(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式
lR
S
2
1
扇形
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
ah
S
2
1
有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
lR
R
R
n
R
n
S
2
1
180
2
1
360
2
扇形
.
4．如图，正五边形ABCDE 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
__________．
5．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA，OB 的夹角为150，OA的长为3dm ，扇面AC 的长为2dm ，
则扇面的面积是__________
2
dm ．
6．如图，AB 是
O 的直径，点C 在
O 上，AC
OD ，OD 与
O 相交于点E，与BC 相交于点F，CE 平
分
BCD
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
2
CE
DE
，求图中阴影部分的面积．
知识点03 圆锥的侧面积与全面积
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圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积
2
360
l
S
rl
扇
n
=
，
圆锥的全面积
）
（
底
扇
全
r
l
r
r
rl
S
S
S
2
.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
即时即练
7．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长是8cm ，则圆锥的侧面积是_____
2
cm （结果保留π）．
8．妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这
个圆锥的底面半径为_____________cm ．
9．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径OA为6cm．
(1)求扇形AOB 的弧长；（结果保留π）
(2)如图所示，若把扇形纸片AOB 卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH ．（结果保留根号）
题型1 求弧长
1．如图，扇形AOB 是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径
15cm
OA
，
120
AOB
，则AB 的长为（
）
A．8π
B．10π
C．12π
D．14π
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2．如图，点A，B，C 均在
O 上，若
140
ABC
，
3
OA ，则AC 的长是（
）
A．2 π
3
B．4 π
3
C．π
D．2π
3．在半径为5 的
O 中，弦AB 所对的圆心角为60，则弦AB 所对的弧长为___________．
4．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为AB （小球的大小不计），若绳长
3 cm
OB
，
60
AOB
，则AB 的长是_________cm ．
5．如图，点A ，B ，C ，D 在
O 中，若BC
AD
，
(1)求证：AC
BD
；
(2)若
30
ACB
，
O 半径为1，则»
AB
______．
【易错警示】
计算弧长时易混淆弧长与扇形面积公式，记错公式系数。忽略公式中圆心角为度数且不带单位，误用半径
平方计算。未看清题目圆心角、半径条件，随意代值，同时容易遗漏整圆等分的特殊情况导致计算错误。
题型2 求扇形半径
6．在
O 中，如果108的圆心角所对的弧长是3πcm ，那么
O 的半径是（
）
A．4cm
B．5cm
C．8cm
D．10cm
7．如图，PA ，PB 分别切
O 于点A，B，若
60
P
，AB 的长为10π ，则
O 的半径为（
）
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A．10
B．15
C．20
D．30
8．一条弧所对的圆心角为135，弧长等于半径为3cm 的圆的周长的5 倍，则这条弧的半径为________．
9．图1 是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2 所示，PA ，PB 分别与
O 相切于点A，B，“不倒翁”
与水平面的接触点C 是ACB 的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B 的对应点B刚好与水平面接触，
如图3．若
30
P
，水平线上点C 与点B的距离为7
cm
4
，则ACB 所在圆的半径是_____cm ．
10．如图，AB 是
O 的直径，C 是
O 上一点，CD
AB
于点D ，延长AB 至点F ，使得
BCF
BCD
．
(1)求证：CF 与
O 相切；
(2)若
30
F
，BC 的长为2 π
3
，求
O 的半径．
题型3 求圆心角
11．如图1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2 所示，它是以O
为圆心，OA
OB
，
长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为
2
16 πm
3
，若
5m
3m
OA
OB
，
，则扇面宣传
板所对的圆心角的度数为（
）
A．60
B．90
C．120
D．150
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12．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm 时滑轮的一条半径OA绕轴心O按
逆时针方向旋转的角度约为______．
13．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2 ，弧长为4
3
，则其圆心角为______．
14．半径为6cm 的圆，一圆心角所对的弧长为6.28cm ，这个圆心角多少度？
15．物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径
12
OA
cm
，
当重物上升了6πcm ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则OA绕点O 按逆时针方向旋转的度数为（
）
A．60
B．80
C．90
D．100
题型4 求某点的弧形运动路径长度
16．如图，Rt ABC 中，
90
C
，
3
AC
，
4
BC
，若以A 为旋转中心，将其按顺时针方向旋转60到AB C
位置，则B 点经过的路线长为（
）
A．π
B．
4
3
C．5
3
D．3
2
17．如图①，是风力发电场的外景，我国早在上世纪50 年代就开始了风力发电的尝试．记者从山西省农业
农村厅获悉，为进一步壮大农村集体经济、助力乡村振兴、山西省首批确定33 个风电项目作为“驭风行动”
助力乡村振兴工程试点项目，总规模151.74 万千瓦．如图②是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，点A
所在的旋转叶片与塔架垂直，当有风吹过，点A 所在的旋转叶片顺时针缓缓转动，已知旋转叶片的长度为
60 米，当点A 所在的旋转叶片第一次转动到与塔架重合时，所经过的路程是（
）
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A．30π 米
B．60π 米
C．90π 米
D．120π 米
18．图1为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图2 为其几何示意图．已知该盾构机前端的
刀盘直径16.6米，匀速旋转一周用时约45 秒，刀盘上的滚刀从A 开始，匀速旋转9秒后到达B 处，则此过
程中该滚刀所经过的路径AB 的长度为___ m ．（结果保留π）
19．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕点O旋转到A B
的位置，已知
3 m
AO
，若栏
杆的旋转角
50
AOA
，则点A 扫过的弧长为_____ m ．（结果保留）
20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1 个单位长度，ABC 的三个顶点坐标分别为
( 1,1),
( 2,3),
( 5,2)
A
B
C
．
(1)画出ABC 关于原点对称的图形
1
1
1
A B C ；
(2)画出ABC 绕点O顺时针旋转90后得到的
2
2
2
A B C ；
(3)求点C 旋转到点
1
C 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
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题型5 求扇形面积
21．如图，正方形ABCD的边长为4，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（
）
A．
B．2
C．4
D．8
22．如图，点A，B，C 是
O 上的三个点，
3
OB
OC
，
70
A
，则扇形BOC 的面积为（
）
A．7 π
9
B．4 π
3
C．7 π
2
D．2π
23．如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2 所示，
45cm
AO
BO
，
20cm
CO
DO
，
72
AOB
，窗户能透光（阴影部分）的面积为________
2
cm ．（结果保留π）
24．如图，
O 是ABC 的外接圆，BC 是
O 的直径，
=
B
CAD
．
(1)求证：AD 是
O 的切线；
(2)连接OA，若
30
B
，
3
AC
，求扇形OAC 的面积．
25．如图，在ABC 中，
90 ,
20
ACB
B
，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，连接CD，
且
4
AC
．
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(1)求AD 的长；
(2)求扇形ACD 的面积．
【易错警示】
计算扇形面积时，常混淆扇形面积与弧长公式，遗漏半径平方项。容易记错分母数值，误用圆心角公式。
未区分弧度与角度条件，盲目代入数据，忽视图形拆分拼接，导致面积计算出错、答案偏差。
题型6 求图形旋转后扫过的面积
26．一根长10cm的木棒，如果绕着它的一端旋转180，木棒扫过的面积是（
）
2
cm
A．100
B．50
C．25
D．12.5
27．如图，在ABC 中，
90 ,
1,
3
ACB
BC
AC
，将ABC 绕着点A 逆时针旋转90得到ADE ，则图
中阴影部分的面积是（
）
A．π
2
B．π
3
2
2
C．π
4
D．π
3
4
2
28．如图，ABC 中，
50
ABC
，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到
A CB
V
，边A B
恰好经过点B ．若线
段BC 扫过的图形面积为2π，则BC 的长为______．
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29．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转120得到A B C
，已知
3
AC
，
2
BC
，则线段AB 扫过的图形（阴
影部分）的面积为_______．
30．如图，C 为半圆内一点，O为圆心，直径AB 长为2cm ，
60
BOC
，
90
BCO
，将BOC 绕圆心
O逆时针旋转至
B OC
△
，点C在OA上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为______
2
cm ．
题型7 求弓形面积
31．如图，在扇形MON 中，
105
MON
，P 为OM 边上一点且
2
OP
，连接PN ，将OPN 沿PN 折叠，
点O恰好落在MN 上的点Q 处，则阴影部分的面积为（
）
A．2 π
2 3
3
B．2 π
3
3
C．4 π
2 3
3
D．4 π
3
3
32．如图，矩形ABCD中，
4 2
AB
，
2
AD
，以AB 为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（
）
A．4π
8
B．2π
4
C．4
8
3
3
D．2
4
3
3
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33．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为2 dm
的圆形纸片剪出如图所示的图案，
其内部4 个小圆的半径都为1dm
，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____
2
dm ．
34．如图，ABC 内接于
O ，CD为
O 的切线，且CD
AB ，若
O 的半径为2，
60
CAB
，则图中
阴影部分的面积为______．
35．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆
叫做这个三角形的“等弦圆”．
【问题解决】如图，
O 是ABC 的“等弦圆”，AD
AE
FG
，
，
是
O 截得的三条弦．
(1)求证：AO 平分
BAC
．
(2)若
90
BAC
，
4
FG
，求图中阴影部分的面积．
题型8 求其他不规则图形的面积
36．如图，在菱形ABCD中，
4
AB
，
60
A
，点E 是AB 上一点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，该弧
与AD ，CD相切，切点分别为G 和H ，且与边BC 相交于点F ，则阴影部分的面积为（
）
A．2 3
π
B．4 3
2π
C．6 3
3π
D．12 3
4π
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37．如图是以AB 为直径的半圆O，分别以A ，B 为圆心，以AB 的长为半径作弧，两弧交于点C ，若
2
AB
，
则图中阴影部分的面积为________．
38．在如图所示的4
4
网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D 均在小正方形的顶点上，连
接AC 和BD 交于点E，分别过点A，E，B 和点B，E，C 作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________．
39．如图，Rt ABC 中，
90
ACB
，
2
BC
，
3
AC
，以A 为圆心，AB 的长为半径的弧交AC 的延
长线于点E，以B 为圆心，AB 的长为半径的弧交BC 的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______．
40．如图，在
O 中，CA
CB
，以AB 、BC 为边作平行四边形ABCD，AD 与
O 交于点E ．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
O 的半径为1，且
45
ACB
，求图中阴影部分面积．
【易错警示】
求解圆相关不规则图形面积时，常用割补、和差法，易错直接套用基础公式。常看错组合图形构成，重复
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或遗漏重叠区域面积，变换图形思路混乱，计算步骤出错，最终导致不规则阴影面积求解结果偏差。
题型9 求圆锥的侧面积
41．某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（
）
A．4 10 π
B．60π
C．15π
D．8π
42．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为_____．
43．草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、
结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴
素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为50cm、高
为40cm 的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小
涵计算所需扇形卡纸的面积为_______cm²．(结果含π)
44．某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．
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(1)根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、
“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）；
(2)请根据图中所给数据（单位：dm ）求每顶帐篷的表面积．
45．图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为__________
2
cm ．（结果保留π）
【易错警示】
计算圆锥侧面积时，极易混淆底面半径与母线长，错用底面半径代入公式。无法对应圆锥与侧面扇形的关
系，记错扇形弧长与底面周长的等量关系，常混淆侧面积与全面积公式，多加底面积，造成解题失误。
题型10 求圆锥底面半径
46．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为60的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为
__________．
47．如图，从一块直径是1m 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆
锥，圆锥的底面圆的半径是______．
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48．小刚用一张半径为15cm 的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥
形小丑帽子的底面半径为6cm ，那么这张扇形纸板的面积是________
2
cm ．
49．如图在半径为3 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60的扇形（图中的阴影部分）．
(1)求这个扇形的半径；
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
50．如图，用一个半径为30cm，面积为
2
300πcm 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径r ．
题型11 求圆锥的高
51．用一个圆心角为120，半径为3 的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（
）
A．4
3
B．1
C．2 2
D．2 3
52．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6 ，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一
个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（）
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A．2
B．4 2
C．8
D．8 2
53．如图，如果从半径为10cm的圆形纸片上剪去1
5 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处
不重叠），那么这个圆锥的高是_____cm ．
54．如图，扇形的圆心角为60，其弧长是4πcm．
(1)求此弧所在圆的半径长；
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高OD 是_______cm ．
55．已知一个扇形的圆心角是216，半径l 是10cm．
(1)求这个扇形的面积：
(2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h 是多少?
题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角
56．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（
）度
A．90
B．100
C．120
D．105
57．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为32cm，
母线长为30cm，则扇形纸片的圆心角为（
）
A．86
B．144
C．150
D．192
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58．一个圆锥的底面圆半径是1，高为2 2 ，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（
）
A．60
B．90
C．120
D．150
59．如图，ABC 是一个圆锥的主视图，若
3
AB
AC
，
2
BC
，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角
．．．是
_______．
60．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级
学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，
底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ．
题型13 圆锥的实际问题
61．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（）
A．
1
2
B．1
3
C．π
12
D．π
6
62．如图，矩形纸片ABCD中，
12
AD
cm
，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出
扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（
）
A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
63．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500t ，相当于排开
3
67500m 的水．若已知圆锥体体积可近似
看成
2
V
r h
，那么当这些水恰好充满高为27m 的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为__________ m ．（
取3）
64．如图漏斗，圆锥形内壁的母线OB 长为6cm ，开口直径为6cm ．
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（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________cm ；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________．
65．综合与实践
（主题）滤纸与漏斗
（素材）如图甲所示：
1：一张直径为10cm 的圆形滤纸；
2：一只漏斗口直径与母线均为7cm 的圆锥形过滤漏斗．
（实践操作）
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中．
（实践探索）
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π）
题型14 圆锥侧面上最短路径问题
66．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周
后回到点A 的最短路程是（
）
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A．12
B．18
C．12 2
D．24
67．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从B 点爬到AC 的中点D ，最短
路径长是（
）cm
A．3 3
B．2 2
C．2 3
D．2 5
68．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC 的边长为6m，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在吃粮
食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面P 处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是________________m．
69．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，
8
AB
cm
，
8cm
l
，C 是PB 的中点，现要从点A 到点C 再到点A 之
间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
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70．综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，
6
AB
cm
，
6
l
cm
，C 是PB 的中点，现要从点A 到点C 再到点A 之间拉一条装饰
彩带，求彩带长度的最小值．
1．若扇形的半径为3，圆心角是120，则此扇形的弧长为（
）
A．2π
B．3π
C．4π
D．6π
2．如图1 是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2 所示是一条圆弧AB ，圆弧的半径
10 cm
OA
，圆心角
90
AOB
，则弧AB 的长是（
）
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A．2π cm
B．5π cm
C．10πcm
D．20πcm
3．一个扇形的半径是1，弧长是6
，那么此扇形的圆心角的大小为（
）．
A．30
B．45
C．60
D．90
4．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为120，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积
为4π平方米，则这个扇形的半径是（
）
A．
6 米
B．2 2 米
C．10 米
D．2 3 米
5．苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖
雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形OBC 和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角
108
O
，已
知
100
40
OA
cm
OB
cm
，
，则该砖雕的面积为（
）
A．
2
6400 cm
B．
2
900 cm
C．
2
5500 cm
D．
2
2520 cm
6．小红在一张边长为2dm 的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼
帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（
）
A．
2 dm
B．1dm
C．
2
2 dm
D．1
2 dm
7．如图，从一个边长是8 的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，
这个圆锥的底面半径为（
）
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A．4
3
B．8
3
C．16
3
D．3
8
8．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区
转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象
为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去
（底面不铺）．若油毡纸的价格为30 元/
2
m ，则买油毡纸要花费的费用至少为（
）
A．8.4 元
B．17 元
C．34 元
D．50 元
9．如图1 是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2 所示，剑架的
弧形部分可看作一段圆弧，AB 所在圆的圆心为点O，弦AB 的长为40cm ，过点O作OC
AB
，垂足为点C ，
且OC
AC
，则AB 的长为（
）
A．20 2π cm
B．10 2π cm
C．200π cm
D．400π cm
10．如图，AB 为
O 的直径，过点A 的
O 的切线与半径OC 的延长线交于点P ．若
6
AB
，
B
P
，
则图中阴影部分的面积为（
）
A．9 3
B．3 3
3
C．9 3
3
4
D．9 3
3
4
2
11．一个扇形的半径是3，面积为6，那么这个扇形的圆心角的度数是______．
12．图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形AOB 的面积．已知
3cm
OA
，
150
AOB
，则该银杏叶的面
积约为_________
2
cm ．（结果保留π）
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13．如图，点C 在直径AB 的延长线上，CD与半圆O 相切于点D，
30
C
，
4
OC
，则弧BD 的长度为
________．（结果保留π）
14．小红要用彩色卡纸做一个圆锥形展示模型，根据需要，圆锥模型的底面半径为3cm ，模型的母线长为5cm，
则小红做的圆锥形模型的侧面积是________．
15．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2 所示，阴
影部分为花窗），若
60
BOD
，
6dm
AB
，
2πdm
BD
，则花窗（阴影部分）的面积为__________
2
dm ．
16．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图
形，AB 所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与
O 相切于点E ，连接BE ，
15
ABE
，
连接OE 交AB 于点F ．若
6
AB
，则图中阴影部分的面积为__________．
17．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为6cm （如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度．
18．某同学用一张半径为24 cm
的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果
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做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是________
2
cm （结果保留π）．
19．如图，在坐标系中，
1,6
A
、
5,6
B
、
7,4
C
．
(1)经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为________；
(2)这个圆的半径长为________；
(3)判断点
5, 3
D
与
M 的位置关系：点D 在
M ________（填内、外、上）
(4)若用扇形AMC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________．
20．如图，在ABC 中，
30
CAB
，
45
ACB
，将ABC 绕点A 逆时针旋转至ADE ，若用扇形ABD
围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为1r ；用扇形ACE 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底
面圆的半径为2r ，则
1
2
r
r
______（结果保留根号）
21．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB 和AC 的夹角为120，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm．
(1)求弧BC 的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
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22．如图，ABC 中，AB
AC
，点O 是底边BC 的中点，腰AB 与
O 相切于点D．
(1)求证：AC 是
O 的切线；
(2)若
O 的半径为2，
45
C
，求图中阴影部分的面积．
23．如图，AB 是
O 的直径，点P 是
O 外一点，PA 与
O 相切于点A，点C 为
O 上的一点．连接PC 、
AC 、OC ，且PC
PA
．
(1)求证：PC 为
O 的切线；
(2)若
30
CAB
，
6
OD
，求阴影部分的面积．
24．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点
0,4
A
，
4,4
B
，
6,2
C
，该圆弧所
在圆的圆心为点P．
(1)点P 的坐标为_____，
P 的半径为_____．
(2)若扇形PAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____．
25．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中
ABC
的度数；
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(2)如果A 是底面圆周上的一点，从点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
26．如图，用一个半径为12cm，面积为
2
48 cm
的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径r ．
27．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，O 是BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点
D，连接CD，且CD
AC
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
60
A
，
2 3
AC
，求BD的长．
28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD
AB
于点E，OF
AC
于点F，BE
OF
，连接OC
BC
、
．
(1)求证：CFO
CEB
≌
；
(2)若
2
OA
，求阴影部分的面积．
29．如图是一个几何体的三视图．
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(1)写出这个几何体的名称；
(2)求这个几何体侧面展开图的圆心角；
(3)求这个几何体的全面积．
30．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣
小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm 、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆
盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
(1)这顶锥形草帽的高为______cm ，侧面积为______
2
cm ．（结果保留π）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
