文档文本内容
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第01 讲 反比例函数的概念
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 反比例函数的定义
题型2 根据反比例函数的定义求参数
题型3 求反比例函数值
题型4 由反比例函数值求自变量
题型5 用反比例函数描述数量关系
题型6 反比例函数的简单应用
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数的定义
反比例函数的自变量
反比例函数值
反比例函数的简单应
用
1. 知识目标：理解反比例函数的核心定义，掌握三种等价表达式，明确参数
k≠0 及自变量的取值范围。
2. 能力目标：能依据定义准确判定反比例函数，熟练解决含参取值问题，辨
析易混淆函数解析式。
3. 素养目标：区分正比例与反比例函数差异，建立变量乘积定值思维，提升
函数建模核心素养。
学习重点：理解反比例函数的定义本质，熟记三种解析式形式，会依据定义判断反比例函数。
学习难点：掌握含参反比例函数的求解方法，辨析易混函数，深刻理解变量积为定值的特征。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
反比例函数的定义
定义：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成y = k
x （k 为常数，且 k ≠0）的形式，
那么称 y 是 x 的反比例函数。
三种等价表达形式
（1）分式标准型：y = k
x (k ≠0)
（2）乘积型（最常用求k）：xy =k(k ≠0)
含义：自变量与函数值的乘积恒为定值k
（3）负指数幂型：y =k x
−1(k ≠0)
说明：x 的次数必须是 −1，系数不能为 0
即时即练
1．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
，y
是
的反比例函数的有 ________ ．（填序号）
3．下列函数关系式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
，其中表示y 是
的反比例函数的是______（填入序号）．
知｜识｜精｜讲
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知识点
02
自变量与函数值取值范围
自变量与函数值取值范围
1.分母不能为 0，因此 x≠0；
2.由 xy =k、k ≠0 可知 y 也不可能等于 0，即 y ≠0；
3.实际应用题中，通常根据场景附加限制：如长度、数量、速度等，x>0。
即时即练
4．已知点
在反比例函数
的图象上，则m 的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
5．若一个反比例函数的图象经过
两点，则
的值为（ ）
A．4
B．
C．5
D．
6．已知反比例函数
．
(1)说出比例系数．
(2)求当
时函数的值．
(3)求当
时自变量x 的值．
知识点
0 3 含参的反比例函数
含参反比例函数（江苏地区中考高频考点）
题目形式：已知 y =(m−2)x
m
2−5 是反比例函数，求m的值
解题双重条件：
1、x 的指数 = −1：m
2−5=−1
2、系数≠0：m−2≠0
两个条件联立求解，缺一不可，只算指数忽略系数会丢分。
即时即练
7．若函数
为y 关于x 的反比例函数，则m 的值为（ ）
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A．
B．0
C．2
D．
或2
8．若
是反比例函数，则m 的值为_______．
9．已知
若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值．
知识点
0 4 常见易错点总结
定义相关常见易错点总结
（1）漏掉 k ≠0 这个关键限制条件；
（2）分母含多项式（如x−2）误认为是反比例函数；
（3）含参题型只列指数方程，忘记系数不能为 0；
（4）混淆正比例、反比例的判定条件，分不清积定还是商定；
（5）认为x、y可以取 0，忽略分母不为 0 的隐藏条件。
题型1 反比例函数的定义
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在下列函数的表达式中，
均表示自变量：①
；②
；③
；④
；⑤
；
⑥
，其中
是
的反比例函数的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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4．有下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，
是
的反
比例函数的有（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
5．下列函数关系式：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
（5）
，其
中表示
是
的反比例函数的是___________（填入序号）．
题型2 根据反比例函数的定义求参数
6．如果函数
是反比例函数，那么m 的值是（ ）
A．2
B．
C．1
D．0
7．函数
是反比例函数，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
8．若函数
是反比例函数，则
的值为__________．
9．已知
是反比例函数，求
的值．
10．已知函数
．
(1)当
为何值时，该函数是一次函数？
(2)当
为何值时，该函数是正比例函数？
(3)当
为何值时，该函数是反比例函数？
【易错警示】
依据反比例函数定义求参数，需同时满足指数为 - 1、系数不为零两个条件。很多同学只列指数方程求
解，忽略系数不能为 0 的限制，出现多余错误解。算出参数后一定要代入系数检验，舍去使系数为 0 的
取值，避免步骤遗漏导致失分。
题型3 求反比例函数值
11．下列各点在反比例函数
的图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列四个点，在反比例函数
的图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知点
、
均在反比例函数
的图象上，则
的值为______．
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14．已知反比例函数的图象
经过点
，则m 的值为______．
15．已知
，
与
成正比例，
与
成反比例，当
时，
，当
时，
．
(1)求y 的表达式；
(2)求当
时
的值．
题型4 由反比例函数值求自变量
16．点
在反比例函数
的图象上，则a 的值是（ ）
A．4
B．
C．
D．1
17．函数
，当
时，y 的范围是________；
时，x 的范围是________．
18．已知反比例函数
，当
时，
___________．
19．已知
(1)化简Q．
(2)若点
在反比例函数
的图象上，求Q 的值．
20．已知y 与x 的函数解析式是y＝
，
（1）求当x＝4 时，函数y 的值；
（2）求当y＝﹣2 时，函数自变量x 的值．
【易错警示】
由函数值求自变量时，部分学生直接代入解析式求解，忽略反比例函数自变量不能为 0 的隐含条件。同时
容易漏解、重解，未检验求出的自变量是否符合题意。解题必须先列式求解，再逐一检验根的有效性，剔
除无效取值，保证答案完整准确。
题型5 用反比例函数描述数量关系
21．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以
的平均速度用了
到达目的地．当他按原路匀速返回
时，汽车的速度v（单位：
）与时间t（单位：
）之间的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y 元，若该厂生产x 只（x 取正整数）玩
具熊猫的总成本为5000 元，则y 与x 之间满足的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
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23．如图，在矩形
中，
，
，
为边
上一动点，
于点
，
，
则
关于
的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）．
24．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为
），现打算沿墙围一个面积为
的矩形花圃．设
花圃的长
为
，宽为
，则
关于
的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________．
25．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表：
每天运输的吨
数
500
25
0
100
50
……
运输的天数
1
2
5
……
(1)这批货物共有多少吨？
(2)用
表示运输天数，用
表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系．
(3)
与
成反比例关系吗？如果成，请求出表格中
的值．
题型6 反比例函数的简单应用
26．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ）
A．当压力F 一定时，压强P 与受力面积S 之间的函数关系
B．当物体的质量m 一定时，物体的密度
与体积V 之间的函数关系
C．当行驶的路程s 一定时，时间t 与速度v 的函数关系
D．当三角形的一条边长a 一定时，它的面积S 与这条边上的高h 之间的函数关系
27．如图，边长为7 的正方形
放置在平面直角坐标系中，动点P 从点C 出发，以每秒1 个单位的速
度向O 运动，点Q 从点O 同时出发，以每秒1 个单位的速度向点A 运动，到达端点即停止运动，运动时间
为t 秒，连
．
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(1)写出B 点的坐标；
(2)填写下表：
时间t（单位：秒）
1
2
3
4
5
6
的长度
的长度
的长度
四边形
的面积
①根据你所填数据，请描述线段
的长度的变化规律？并猜测
长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形
的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
(3)设点M、N 分别是
的中点，写出点M，N 的坐标，是否存在经过M，N 两点的反比例函数？如
果存在，求出t 的值；如果不存在，说明理由．
28．已知，视力表上视力值
和字母
的宽度
（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字
母
的宽度
如图1 所示，经整理，视力表上部分视力值
和字母
的宽度
（mm）的对应数据如表所示：
位置
视力值
的值（mm）
第1 行
0.1
70
第5 行
0.25
28
第8 行
0.5
14
第14 行
2.0
3.5
(1)请你根据表格数据判断并求出视力值
和字母
的宽度
（mm）之间的函数表达式，并说明理由；
(2)经过测量，第4 行和第7 行两行首个字母E 的宽度a（mm）的值分别是35mm 和17.5mm，求第4 行、
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第7 行的视力值．
29．如图，某养鸡场利用一面长为11m 的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为
，设与墙垂直的边
长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y 与x 的函数关系式为______；
(2)现有两种方案
或
，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
30．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数．
(1)火车从石家庄驶往相距约
的北京，若火车的平均速度为
，求火车距石家庄的距离
与行驶的时间
之间的函数关系式．
(2)某中学现有存煤
，如果平均每天烧煤
，共烧了y 天，求y 与x 之间的函数关系式．
(3)一个游泳池容积为
，注满游泳池所用的时间
随注水速度x
的变化而变化，求y 与
x 之间的函数关系式．
1．下列函数是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．物体匀速下落过程中，下落高度
与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的
是（ ）．
A．路程一定，速度与时间
B．圆的面积与半径
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C．正方形周长与边长
D．匀速行驶路程与时间
3．若x 和y 成反比例关系，则
的值是（ ）
x
2
a
y
6
b
A．7
B．8
C．9
D．10
4．若
是反比例函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数
是反比例函数，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
6．在反比例函数
中，当
时，
，则k 的值为（ ）
A．5
B．1
C．
D．
7．下列函数：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
，其中y 是x 的反比
例函数的有（ ）
A．②③⑥
B．①③⑥
C．①③⑤
D．④⑤⑥
8．已知反比例函数的解析式为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．a 为任意实数
9．对于实数
，我们用
表示不超过
的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数
的最大值为1，最小值为0
C．函数
不存在对称轴
D．随着
的增大，函数
和函数
越来越接近
10．若点
都在反比例函数
的图像上，则m 与n 之间的数量关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．下列函数：①
：②
；③
；④
；⑤
．其中y是
的反比例函数
的有______（填序号）．
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12．已知点
在反比例函数
的图像上，则
_______．
13．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是
和
，则动力
（单位：
）与动力臂
（单位：
）之间的函数表达式是______．
14．已知
是同一个反比例函数图像上的两个点，则
的值为___________．
15．点
在反比例函数
的图像上，则
的值是_______．
16．若函数
是反比例函数，则
________．
17．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为
），现打算沿墙围一个面积为
的矩形花圃．设
花圃的长
为
，宽为
，则y关于
的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________．
18．在平面直角坐标系xOy中，若函数
的图象经过点
和
．则
______．
19．已知函数
是关于
的反比例函数，则
的值是______．
20．下列函数，①
②.
③
.
④
⑤
⑥
；其中是y 关于x 的
反比例函数的有：_________________．
21．若函数
是反比例函数，试求
的值．
22．下列函数是否是反比例函数？为什么？
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
23．若函数
是反比例函数，求m 的值．
24．已知
．
(1)当
为何值时，y是
的正比例函数？
(2)当
为何值时，y是
的反比例函数？当
时，求
的值．
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25．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表：
每本的页数
16
20
25
30
60
可以装订的
本数
225
180
60
(1)将表格补充完整．
(2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由．
(3)如果现在需要用这批纸装订
本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？
26．已知函数
(1)若y 是x 的正比例函数，求m 的值．
(2)若y 是x 的反比例函数，求m 的值．
27．已知反比例函数
，求：
(1)自变量
的取值范围．
(2)当
时，函数y的值．
(3)当
时，自变量
的值．
28．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围：
(1)在
的匀速运动中，运动路程
是时间
的函数；
(2)某学校要在校园中辟出一块面积为
的长方形土地做花圃，这个花圃的长
是宽
的函数．
29．已知：
．
(1)化简
；
(2)若函数
为反比例函数，求
的值．
30．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下．
每块地砖的面积
0.2
0.3
0.6
0.8
…
所需地砖数量/块
300
20
0
100
75
…
(1)从表格中得到：
①这间教室有_____
；
②分别用
（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示y与
的关系为_____，y与
成_____比例关系；
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(2)如果采用边长为5 分米的方砖铺这间教室，需要多少块？
