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第10 讲圆的对称性
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 垂径定理的概念辨析
题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长）
题型3 利用垂径定理求平行弦问题
题型4 利用垂径定理求同心圆问题
题型5 利用垂径定理求解其他问题
题型6 垂径定理的推论
题型7 垂径定理的实际应用
题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证
题型10 利用垂径定理求最值（压轴）
题型11 垂径定理求半径综合（压轴）
题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
垂径定理
垂径定理的推论
1. 理解垂径定理的推导过程，熟记定理核心内容与几何表述。
2. 掌握垂直于弦的直径平分弦及对应两条弧的核心性质。
3. 能够熟练运用垂径定理进行线段、弧长的计算与求解。
4. 学会构造直角三角形，结合勾股定理解决圆的计算问题。
5. 培养几何识图建模能力，提升圆的几何推理应用素养。
学习重点：掌握垂径定理内容及几何语言，运用定理进行线段和弧的相关计算。
学习难点：构造直角三角形结合勾股定理解题，灵活运用定理解决变式问题。
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AD
BD
AC
BC
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧；
如图，几何语言为：
要点：CD 是直径
推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
CD⊥AB
AE=BE
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即时即练
1．垂径定理垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____．
【答案】
平分
两条弧
【分析】根据垂径定理的概念即可求解．
【详解】解：垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
故答案为：平分；两条弧．
【点睛】本题主要考查垂径定理的概念，掌握垂径定理的概念是解题的关键．
2．下列语句中，不正确的是（
）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．大小不相等的两个圆中不存在等弧
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直径也必平分弦
【答案】C
【分析】本题考查圆的对称性(既是轴对称又是中心对称图形)、等弧的定义：同圆或等圆中能重合的弧，大
小不等的圆无等弧；以及垂径定理及其推论(垂直于弦的直径平分弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦且平
分弦所对弧)，核心是对圆的这些基础性质的理解与辨析．根据相关定义和性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、圆沿着任意一条直径所在的直线对折后两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形；绕着
圆心旋转180后能与原图重合，所以圆也是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意；
B、等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。大小不相等的两个圆，半径不同，所以不存在等弧，正
确，故本选项不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如果这条弦是直径，那么任意一条直径
都可以平分它，但不一定垂直，错误，故本选项符合题意；
D、根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．如图A，B，C，E 四点在
O 上，OC
AB
，
8
AB
，
2
CD
，则
O 的直径AE 为__．
【答案】10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到
1
4
2
AD
AB
，由勾股定理
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得到
2
2
2
2
4
r
r
，求出
5
r
，即可得到
O 的直径AE 的长．
【详解】解：设圆的半径长是r，
∵OC
AB
，
∴
1
1
8
4
2
2
AD
AB
，
∵
2
CD
，
∴
2
OD
r
，
∵
2
2
2
OA
OD
AD
，
∴
2
2
2
2
4
r
r
，
∴
5
r
，
∴
O 的直径
2
10
AE
r
．
故答案为：10．
知识点02 垂径定理拓展
垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这
五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦
不能是直径）
即时即练
4．下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直
线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是______．
【答案】①④
【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念．
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根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆心角和半径的关系，
判断各语句的正确性．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确；
②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误；
③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误；
④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确；
⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误．
故答案为①④．
5．如图，OA
OB
OC
，
，
都是
O 的半径，AC
OB
，
交于点D．若
8
6
AD
CD
OD
，
，则BD 的长为
_______________
【答案】4
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得OB
AC
，再根据勾股
定理得
2
2
2
2
8
6
10
OA
AD
OD
，即可求出答案．
【详解】解：
8
AD
CD
，
OB
AC
，
在Rt AOD 中，
2
2
2
2
8
6
10
OA
AD
OD
，
10
OB
，
10
6
4
BD
．
故答案为：4．
6．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD 于点F，且CF
AD
．
(1)证明：E 是OB 的中点；
(2)若
6
AB
，求CD的长．
【答案】(1)见解析
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(2)
3 3
CD
．
【分析】
（1）先证明AC
AD
，再证明AC
CD
，可得ACD是等边三角形，则
30
FCD
，可得
1
2
OE
OC
，
从而可得结论；
（2）先求解
1
3
2
OC
AB
，
3
2
OE
，再利用勾股定理求解CE 的长，再利用垂径定理可得答案.
【详解】（1）证明：直径AB 垂直于弦CD于点E，连接AC ，
∴AC
AD
，
∴AC
AD
，
∵过圆心O 的直线CF
AD
，
∴AF
DF
，即CF 是AD 的中垂线，
∴AC
CD
，
∴AC
AD
CD
．
即：ACD是等边三角形，
∴
30
FCD
，
在Rt COE 中，有
1
2
OE
OC
，
∴
1
2
OE
OB
，
∴点E 为OB 的中点；
（2）解：∵
6
AB
，
∴
1
3
2
OC
OB
AB
，
又∵BE
OE
，
∴
3
2
OE
，
∴
2
2
2
2
3
3
3
3
2
2
CE
OC
OE
，
AB
CD
，
∴
2
3 3
CD
CE
．
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【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，垂径定理
的应用，掌握“垂径定理及其推论”是解题的关键.
知识点03 垂径定理常见辅助线
常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
即时即练
7．如图，在ABC 中，
90
C
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D，交AC 于点E．
(1)若
35
A
，求DE 的度数；
(2)若
6,
8
BC
AC
，求BD 的长．
【答案】(1)20
(2) 36
5
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅
助线构造直角三角形．
（1）求出
B
的度数，求出
B
所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）过点C 作CH
BD
于点H，根据垂径定理得到BH
DH
，再利用勾股定理计算出
10
AB
，接着利
用面积法计算出
24
5
CH
，然后利用勾股定理计算出BH ，从而得到BD 的长．
【详解】（1）解：连接CD，
∵
35
A
，
90
C
，
55
B
，
∵CB
CD
，
55
B
CDB
，
∴
180
70
BCD
B
CDB
，
20
DCE
ACB
BCD
，
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∴DE 的度数为20；
（2）解：过点C 作CH
BD
于点H，则BH
DH
，
在Rt ABC 中，
6,
8
BC
AC
，
∴
2
2
2
2
6
8
10
AB
BC
AC
，
∵1
1
2
2
CH AB
BC AC
，
∴
6 8
24
10
5
CH
，
∴在Rt BCH 中，
2
2
2
2
24
18
6
(
)
5
5
BH
BC
CH
，
∴
36
2
5
BD
BH
．
8．如图，AB 为
O 的直径，弦CD
AB
于E，已知
12
CD
，
3
BE
．求
O 的直径．
【答案】15
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
连接OD ，设圆O 的半径为r，则
3
OE
r
，然后根据垂径定理得出
1
6
2
DE
CD
，然后在Rt ODE 中利
用勾股定理进一步求解即可.
【详解】解：连接OD ，设半径为r，
∵AB 为
O 的直径，弦CD
AB
于E，
12
CD
，
3
BE
．
∴
1
6
2
DE
CD
，
3
OE
r
，
在Rt ODE 中，
∵
2
2
2
OE
DE
OD
，
即
2
2
2
3
6
r
r
，
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解得
15
2
r
，
∴
2
15
AB
r
．
9．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，连接AD ，若
3
OE
，
8
CD
，则AD 的长为___________．
【答案】4 5
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得
1
2
DE
CD
，再利用勾股定理得
5
OD
，进而
可求出
8
AE
，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接OD ，如图：
∵AB 为直径，且CD
AB
，
8
CD
，
∴
1
4
2
DE
CD
，
在Rt DOE 中，
3
OE
，根据勾股定理得：
∴
2
2
2
2
3
4
5
OD
OE
DE
，
∴
5
AO
DO
，
∴
5
3
8
AE
AO
EO
，
∴
2
2
2
2
8
4
4 5
AD
AE
DE
．
故答案为：4 5 ．
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题型1 垂径定理的概念辨析
1．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，
正确的是（
）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题
D．①和②都是假命题
【答案】A
【分析】根据垂径定理及其推论求解即可．
【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题；
对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不
是直径”的条件，因此命题②是假命题，
综上，①是真命题，②是假命题．
2．下列关于圆的说法中，正确的是（
）
A．半圆是弧
B．弦是直径
C．长度相等的两条弧是等弧
D．平分弦的直径垂直这条弦
【答案】A
【分析】根据圆的相关定义和定理逐一判断，解答即可．
本题考查圆的基本概念，包括弧、弦、等弧和垂径定理，熟练掌握相关定理和定义是解题的关键．
【详解】解：A：∵半圆是圆上一条直径的两个端点分成的弧，∴半圆是弧，正确，符合题意；
B：∵弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，∴弦不一定是直径，错误，不符合题意；
C：∵等弧需在同圆或等圆中长度相等，∴仅长度相等不一定等弧，错误，不符合题意；
D：∵垂径定理要求平分弦（非直径）的直径才垂直弦，∴若弦是直径，则不一定垂直，错误，不符合题意；
故选：A．
3．如图，AB 是
O 的直径，CD是弦但不是直径，AB
CD
于点E ，连接OC ，则下列结论不一定正确的
是（
）
A．CE
ED
B．AO
CO
C．OE
BE
D．AC
AD
【答案】C
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【分析】此题考查了垂径定理，由于AB
CD
于点E ，AB 是
O 的直径，得到CE
DE
，AC
AD
，AO
CO
，
即可得到答案．
【详解】解：∵AB
CD
于点E ，AB 是
O 的直径，
∴CE
DE
，AC
AD
，AO
CO
，
无法证明OE
BE
，
∴C 不正确，符合题意；A、B、D 正确，不符合题意；
故选：C．
4．如图，AB 是
O 的直径，CD 为弦，CD
AB
于点E，则下列结论不一定正确的是（
）
A．CE
DE
B．OE
BE
C．BC
BD
D．
COE
DOE
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，据此解答即可.
【详解】解：根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，可知：
A、不符合题意；
B、符合题意；
C、不符合题意；
D、不符合题意．
故选：B.
5．下列命题正确的是（
）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定
理和垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
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D、平分弦( 不是直径) 的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长）
6．如图，在
O 中，
O 的半径长为4 2 ，圆心O到AB 的距离
4
OE
，则弦AB 的长为（
）
A．8
B．8 2
C．4
D．4 2
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．
利用垂径定理得到
1
2
AE
BE
AB
，根据勾股定理求出AE 长，进而求出AB 长．
【详解】解：
OA 是
O 的半径，OE
AB
，
1
2
AE
BE
AB
、
90
OEA
，
在Rt OAE 中，由勾股定理得：
2
2
2
2
4 2
4
4
AE
OA
OE
，
2
2 4
8
AB
AE
．
7．如图，CD为
O 的直径，弦AB
CD
，垂足为点E ，连接OA，OB ，若
1
DE ，
6
AB
，则
O 的半
径长为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，理解题意是解决本题的关键．
设
O 的半径是r ，由垂径定理得
1
3
2
DE
CD
，根据勾股定理列得
2
2
2
OD
OE
DE
，即
2
2
2
1
3
r
r
，
求出r 即可．
【详解】解：设
O 的半径是r ，
弦AB
CD
，
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1
3
2
AE
AB
，
1
DE ，
1
OE
r
，
2
2
2
OA
OE
AE
，
2
2
2
1
3
r
r
，
5
r
，
O
的半径长为5．
故选：A．
8．如图，AB 是
O 的直径，且
8
AB
，C 为
O 上一点，过C 作CD
AB
，交AB 于点D ，交
O 于点E ．若
D 为OB 中点，则CE 的长为____________．
【答案】4 3
【分析】连接OC ，由垂径定理可得
2
CE
CD
，最后结合勾股定理
2
2
CD
OC
OD
求解即可．
【详解】解：连接OC ，
AB 是
O 的直径，且
8
AB
，CD
AB
，
4
OA
OB
OC
，
2
CE
CD
，
D 为OB 中点，
1
2
2
DO
OB
，
根据勾股定理，得
2
2
2 3
CD
OC
OD
，
2
4 3
CE
CD
．
9．如图，AB 是
O
☉
的直径，AB
CD
，
4 3
CD
，
60
ACD
，则
O
☉
的半径长为___________．
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【答案】4
【分析】利用垂径定理平分弦，算出
2 3
CE
；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导
30
OCE
；
依托30直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径．
【详解】解：连接OC ，设直径AB 与弦CD交于垂足E ．
AB 是
O 直径，AB
CD
，
AB
垂直平分CD，
1
1
4 3
2 3
2
2
CE
CD
．
AB
CD
，
90
AEC
，
在Rt ACE 中，
60
ACD
，
180
30
A
AEC
ACD
．
OA
OC
，
30
A
OCA
，
60
30
30
OCE
ACD
OCA
．
在Rt OCE 中，
90
OEC
，
30
OCE
，
1
2
OE
OC
．
设
O 半径OC
R
，则
1
2
OE
R
．
由勾股定理：
2
2
2
OE
CE
OC
，
代入得：
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2
2
2
1
2 3
2 R
R
2
16
R
0
R
，
4
R
．
O
的半径长为4．
10．如图，AB 是
O 的弦，半径OD
AB
，垂足为H，BC
AB
，交AD 延长线于点C．
(1)求证：D 是AC 的中点；
(2)若
12
AB
，
4 13
AC
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接BD ．
∵AB 是
O 的弦，半径OD
AB
，
∴D 是AB 的中点，
∴AD
BD
，
∴AD
BD
，
∴
BAD
ABD
，
∵BC
AB
，
∴
90
ABC
，
∴
90
BAD
C
，
90
ABD
DBC
，
∴
C
DBC
，
∴BD
CD
，
∴AD
CD
，
即D 为AC 的中点；
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(2)
O 的半径为13
2 ．
【分析】（1）连接BD ，根据垂径定理推出AD
BD
，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出
BD
CD
，等量代换即可得解；
（2）连接OA，根据垂径定理推出
6
AH
，根据勾股定理求出
4
DH
，设OD
OA
r
，则
4
OH
r
，
根据勾股定理
2
2
2
4
6
r
r
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：略；
（2）解：如图，连接OA．
∵半径OD
AB
，垂足为H，
12
AB
，
∴
1
6
2
AH
AB
，
∵D 是AC 的中点，
4 13
AC
，
∴
1
2 13
2
AD
AC
，
∴
2
2
2
2
2 13
6
4
DH
AD
AH
，
设OD
OA
r
，则
4
OH
r
，
在Rt OAH 中，
2
2
2
OH
AH
OA
，
∴
2
2
2
4
6
r
r
，
∴
13
2
r
，
即
O 的半径为13
2 ．
【易错警示】
运用垂径定理计算弦长、半径时，常忽略作垂直辅助线构造直角三角形。部分学生直接套用公式，记错半
弦、弦心距与半径的勾股关系，混淆线段对应关系。解题漏解、不分类讨论，忽略题意隐含条件，最终导
致计算结果出错。
题型3 利用垂径定理求平行弦问题
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11．已知
O 的半径为13cm，弦AB
CD ，
24
AB
cm
，
10cm
CD
，则AB ，CD之间的距离为（
）
A．17cm
B．7cm
C．12cm
D．17cm 或7cm
【答案】D
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O 作OE
CD
于点E，延长交AB 于点F，连接OB
OD
，
，
由AB
CD 得到OF
AB
，利用垂径定理得到
5cm
DE
，
12cm
BF
，利用勾股定理求出OE
OF
，
，再分
当AB
CD
，
在圆心同侧时，当AB
CD
，
在圆心两侧时求出答案．
【详解】解；如图所示，当平行弦AB ，CD在圆心O的同侧时，
过点O作OE
AB
，垂足为E ，延长OE 交CD于点F ，连接OA，OC ，
则
1
12cm
2
AE
AB
，
1
5cm
2
CF
CD
．
在Rt AOE 中，
2
2
5cm
OE
OA
AE
．
在Rt COF 中，
2
2
12cm
OF
OC
CF
．
故EF
7cm
OF
OE
．
如图所示，当平行弦AB ，CD在圆心O的异侧时，
过点O作OE
AB
，垂足为E ，延长EO交CD于点F ，连接OA，OC ，
则
1
12cm
2
AE
AB
，
1
5cm
2
CF
CD
．
在Rt AOE 中，
2
2
5cm
OE
OA
AE
．
在Rt COF 中，
2
2
12cm
OF
OC
CF
．
故
17cm
EF
OE
OF
．
综上，AB ，CD之间的距离为7cm 或17cm ，
故选：D．
12．已知
O 的半径为13，弦
10
AB
，弦
24
CD
，AB
CD ，则这两条平行弦AB ，CD 之间的距离为
________．
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【答案】7 或17
【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键，
分弦AB 和弦CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦AB 和弦CD 到圆
心的距离，再计算两条弦之间的距离即可，
【详解】解：过点O 作OM
AB
于点M，ON
CD
于点N，
AB
CD ，
点O、M、N 三点共线，
由垂径定理得，M 为AB 中点，N 为CD中点
10
AB
5
AM
24
CD
12
CN
在Rt OAM 中，
13
OA
、
5
AM
，
由勾股定理得
2
2
13
5
12
OM
在Rt
OCN
△
中，
13
OC
、
12
CN
，
由勾股定理得
2
2
13
12
5
ON
当AB 、CD在圆心同侧时，如图：
距离为
12
5
7
OM
ON
当AB 、CD在圆心异侧时，如图：
距离为
12
5
17
OM
ON
．
故答案为：7 或17．
13．已知AB、CD 是⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为17cm，
30
AB
cm
，
16
CD
cm
，则AB、CD 间的
距离为________．
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【答案】7 或23
【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可．
【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时：
AB、CD 是⊙O 的两条平行弦，
过圆心作MN 分别垂直于AB、CD，
则根据垂径定理可得：
15
BN
，
8
DM
，
在Rt
DMO
△
中，
2
2
2
2
17
8
15
OD
DM
OM
；
同理在Rt BNO 中，
2
2
2
2
17
15
8
ON
OB
BN
；
则
15
8
23
MN
，
同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，
15 8
7
MN
，
故答案为：7 或23．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键．
14．如图，已知点A ，B ，C 均在
O 上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D 是AC 的中点，试画出
B
的平分线；
(2)如图2，若BD
AC ，试画出
ABC
的平分线．
【答案】(1)如图，BE 即为所求；
(2)
如图，BF 即即为所求
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【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义；
（1）连接OD 并延长，交
O 于点E ，连接BE ，即可求解；
（2）连接AD 交BC 于点M ，连接OM 并延长交
O 于点F ，连接BF ，则BF 即即为所求．
【详解】（1）如图所示，连接OD 并延长，交
O 于点E ，连接BE ，则BE 即为所求；
∵点D 是AC 的中点，
∴OD
AC
∴AE
EC
∴
EBA
EBC
；
（2）解：如图所示，连接AD 交BC 于点M ，连接OM 并延长交
O 于点F ，连接BF ，则BF 即即为所求
∵AC
BD
∴AB
CD
∴
ACB
CAD
∴MA
MC
，
连接
,
AO CO ，
∴OM 垂直平分AC
∴AF
CF
∴
FBA
FBC
15．如图，在
O 中，AB 是直径，弦EF
AB ．
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(1)在图1 中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF 的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP 、PF ，若OP 交弦EF 于点Q ，PQF 的面积6，且
12
EF
，求
O
的半径；
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）由圆的对称性，连接AF 、BE 交于点M ，连接OM 并延长交
O 于P 点即可；
（2）连接OF ，如图，根据垂径定理得到OP
EF
，
1
6
2
EQ
FQ
EF
，再利用三角形面积公式计算出
2
PQ
，
设
O 的半径，则
2
OQ
r
，OF
r
，利用勾股定理得到
2
2
2
6
(
2)
r
r
，解方程即可．
【详解】（1）解：连接AF 、BE ，它们相交于点M ，连接OM 并延长交
O 于P 点，如图1，
点P 为所作；
（2）连接OF ，如图2，
点P 为劣弧EF 的中点，
OP
EF
，
1
6
2
EQ
FQ
EF
，
PQF
△
的面积为6，
1
6
6
2
PQ
，
解得
2
PQ
，
设
O 的半径r ，则
2
OQ
r
，OF
r
，
在Rt
OQF
△
中，
2
2
2
6
(
2)
r
r
，
解得
10
r
，
即
O 的半径为10．
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【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
题型4 利用垂径定理求同心圆问题
16．已知
O 的直径为34cm，AB ，CD是
O 的两条弦，AB
CD ，
30
AB
cm
，
16
CD
cm
，则AB 和CD
之间的距离是（
）
A．7cm 或23cm
B．14cm 或46cm
C．7cm
D．23cm
【答案】A
【分析】解题需分情况讨论弦AB 、CD与圆心O的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再
分情况计算两弦间的距离。
【详解】解：①当弦AB 和CD在圆心同侧时，
连接OA，OC ，过点O作OE
AB
于点E 并延长交CD于点F ．则OF
CD
，如图，
30cm
AB
，
16
CD
cm
，
1
15cm
2
AE
AB
，
1
8cm
2
CF
CD
，
17cm
OA
OC
，
2
2
8cm
EO
OA
AE
，
2
2
15cm
OF
OA
CF
，
7cm
EF
OF
OE
；
②当弦AB 和CD在圆心异侧时，如图，
30cm
AB
，
16
CD
cm
，
1
15cm
2
AE
AB
，
1
8cm
2
CF
CD
，
17cm
OA
OC
，
2
2
8cm
EO
OA
AE
，
2
2
15cm
OF
OA
CF
，
23cm
EF
OF
OE
．
AB
与CD之间的距离为7cm 或23cm ．
17．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，
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已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB 的宽度是（
）cm.
A．6
B．4 2
C．4 3
D．4 5
【答案】C
【分析】作OD⊥AB 于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO 为半径，则OA=OD=4；然后
运用勾股定理即可求得AC 的长，即可求得AB 的长.
【详解】解：作OD⊥AB 于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=
2
2
2 3
OA
OC
，
∴AB=2AC= 4 3 .
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
18．如图，半径为3 5 和5 的两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C
D
、
两点，若
8
CD
，则AB ____．
【答案】12
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点O作OH
CD
于点H ，连接
,
OD OB ，由垂径定理可得
1
4
2
2
DH
CH
CD
AB
BH
，
，由勾股定理求出OH 的长，进而求出BH 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作OH
CD
于点H ，连接
,
OD OB ，
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∴
1
4
2
2
DH
CH
CD
AB
BH
，
，
在Rt ODH 中，由勾股定理得
2
2
2
2
5
4
3
OH
OD
DH
，
在Rt OBH 中，由勾股定理得
2
2
2
2
3 5
3
6
BH
OB
OH
，
∴
2
12
AB
BH
，
故答案为：12．
19．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，
8,
6
AB
CD
．
(1)直接写出BD 的长为___________；
(2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长．
【答案】(1)1
(2)3 2
【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质．
（1）过点O作OE
AB
于点E ，连接
,
,
,
OA OB OC OD ，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和
差进行求解即可；
（2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点O作OE
AB
于点E ，连接
,
,
,
OA OB OC OD ，
根据垂径定理得，点E 为线段AB 和CD的中点，
∴
1
1
3,
4
2
2
DE
CD
BE
AB
，
∴
4
3
1
BD
BE
DE
，
故答案为：1；
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（2）解：如图所示，过点O作OE
AB
于点E ，连接
,
,
,
OA OB OC OD ，
结合（1）得，
根据勾股定理得
2
2
25 16
3
OE
OB
BE
，
∴
2
2
9
9
3 2
OD
OE
DE
，
∴小圆的半径长为3 2 ．
20．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D．
(1) 求证：AC
BD
．
(2) 若大圆的半径
10
R
，小圆的半径
6
r
，且圆心O 到直线AB 的距离为3，求AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 91
3 3
【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）过点O 作OE
AB
于点E，根据垂径定理，OB 垂直平分AB 和CD，即AE
BE
，CE
DE
，进而即
可得出结论；
（2）连接AO
CO
，
，利用勾股定理计算CE 和AE 的长度，进而求AC 的长度．
【详解】（1）证明：如图，过点O 作OE
AB
于点E．
∵OE
AB
，
∴AE
BE
CE
DE
，
．
∴AE
CE
BE
DE
．
∴AC
BD
．
（2）解：如图，连接AO
CO
，
．
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∵
10
3
AO
OE
，
，
2
2
91.
AE
AO
OE
∵
6
3
CO
OE
，
，
2
2
3 3.
CE
CO
OE
91
3 3.
AC
AE
CE
题型5 利用垂径定理求解其他问题
21．如图，BC 是
O 的弦，OA
BC
于H，连接OB 、OC ，则下列结论中错误的是（
）
A．BH
CH
B．OH
AH
C．AB
AC
D．
AOB
AOC
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可．
【详解】解：A：
OB
OC
，OH
BC
，
∴BH
CH
，正确，故该选项不合题意；
B：根据题目条件无法推出OH
AH
，错误，故该选项符合题意；
C：由OA
BC
及BH
CH
可知，OA垂直平分BC ，
∴AB
AC
，
AOB
AOC
D：
OB
OC
，OH
BC
，
∴OH 平分
BOC
，
∴
AOB
AOC
，正确，故该选项不合题意．
故选：B ．
22．如图，A
B
，为球门边框的两端点，M 为ABC 的外接圆，CP
AB
．当运动员带球沿C
N
M
Q
运动时，射门角的变化情况是（
）
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A．越来越大
B．越来越小
C．不变
D．无法确定
【答案】A
【分析】由垂径定理得CP 垂直平分AB ，进而推导出
2
AQB
AQP
，
2
AMB
AMP
，
2
ANB
ANP
，
2
ACB
ACP
，再根据三角形外角定理判断出
AQP
AMP
ANP
ACP
，从而得到射门角越来越
大的结论．
【详解】解：∵
M 的圆心M 在CP 上，
∴线段CP 是
M 的直径，
∵CP
AB
，
∴CP 垂直平分AB ，
∴AQ
BQ
，
∴
AQP
BQP
，
∴
2
AQB
AQP
，
同理可得：
2
AMB
AMP
，
2
ANB
ANP
，
2
ACB
ACP
，
∵
AQP
AMP
ANP
ACP
，
∴2
2
2
2
AQP
AMP
ANP
ACP
，
即
AQB
AMB
ANB
ACB
，
∴射门角的变化情况是越来越大．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外角定理，解题关键是根据三角形外角定理判断角的大小关系．
23．如图，⊙P 与y 轴相切于点
0 3
C
，，与x 轴相交于点
10
A ，，
9 0
B
，．直线
3
y
kx
恰好平分
P 的面
积，那么k 的值是__________________．
【答案】6
5
【分析】连接PC ，PA ，过点P 作PD
AB
于点D ，根据切线的性质可知PC
y
⊥
轴，故可得出四边形PDOC
是矩形，所以
3
PD
OC
，再求出AB 的长，由垂径定理可得出AD 的长，故可得出OD 的长，进而得出P
点坐标，再把P 点坐标代入直线
3
y
kx
即可得出结论．
【详解】解：连接PC
PA
，
，过点P 作PD
AB
于点D ，
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∵
P 与y 轴相切于点
0 3
C
，，∴PC
y
⊥
轴，
∴四边形PDOC 是矩形，
∴
3
PD
OC
，
∵
10
A ，，
9 0
B
，，∴
9 1
8
AB
，
∴
1
1
8
4
2
2
AD
AB
，
∴
4
1
5
OD
AD
OA
，
∴
5 3
P
，，∵直线
3
y
kx
恰好平分
P 的面积，
∴点P 在直线
3
y
kx
上，
∴3
5
3
k
，解得
6
5
k
．
故答案为：6
5 ．
【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P 点坐标即可得出结论．
24．如图，
1
O 和
2
O 相交于A 和B ，过点A 作
1
2
O O 的平行线交两圆于C
D
、
，已知
1
2
20cm
O O
，则
CD ________cm ．
【答案】40
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作
1
O E
CD
于点E ，
2
O F
CD
于点F ，利用
垂径定理得到AE
CE
，AF
DF
，且易得四边形
1
2
O O FE 为矩形，进而得到
1
2
20cm
EF
OO
，再利用等
量代换即可得到CD．
【详解】解：作
1
O E
CD
于点E ，
2
O F
CD
于点F ，
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1
2
O E
O F
∥
，AE
CE
，AF
DF
，
1
2
O O
CD，
易得四边形
1
2
O O FE 为矩形，
1
2
20cm
O O
，
1
2
20cm
EF
OO
，
2
2
40cm
CD
CE
AE
AF
DF
AE
AF
EF
，
故答案为：40 ．
25．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文
物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知
弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出BAC 所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设ABC 是等腰三角形，底边
8
BC
cm
，腰
5
AB
cm
，求圆片的半径R．
【答案】(1)
如图，点O 即为所求．
(2)圆片的半径是25
6 cm
【分析】（1）分别作弦
,
AB AC 的垂直平分线，交于点O，即为所求；
（2）连接AO 交BC 于点D，连接BO，CO，则有AO
BC
，
1
4
2
BD
CD
BC
，再利用勾股定理构造
方程求半径R 即可．
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【详解】（1）略
（2）连接AO 交BC 于点D，连接BO，CO．
∵AB
AC
，
∴AB
AC
，
∴
AOB
AOC
．
又∵BO
CO
，
∴AO
BC
，
1
4
2
BD
CD
BC
．
在Rt ABD 中，
2
2
3
AD
AB
BD
，
∴
3
OD
R
．
在Rt BDO中，
2
2
2
BD
OD
OB
，
∴
2
2
2
4
3
R
R
，
解得
25
6
R
．
∴圆片的半径是25
6 cm ．
题型6 垂径定理的推论
26．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，则这条圆弧所在圆的半径
长为（
）
A．
2
B．5
C．2
D．3
【答案】B
【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股
定理计算半径．
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【详解】解：
圆弧经过A ，B ，C 三点，连接AB ，BC ，
圆心在AB 和BC 垂直平分线的交点，
半径
2
2
1
2
5
．
27．如图，AB 是
O 的直径，CD为弦，CD
AB
于点E ，连接AC ，AD ，则下列结论一定正确的是（
）
A．AC
BC
B．BC
BD
C．OE
BE
D．
CAD
CDA
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理可得BC
BD
、DE
CE
，AC
AD
，无法得到OE
BE
，CAD
CDA
，据此即可解答．
【详解】解：如图：连接BC 、BD ，
∵AB 是
O 的直径，CD为弦，CD
AB
于点E ，
∴BC
BD
，AC
AD
，DE
CE
，
∴BC
BD
，AC
AD
，
∴B 选项结论成立，符合题意；A 选项结论不成立，不符合题意；
证明OE
BE
缺少条件，即C 选项结论不成立，不符合题意，
CAD
CDA
无法判断，即D 选项结论不成立，不符合题意．
故选：B．
28．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果D 是
O 中弦AB 的中点，CD
经过圆心交
O 于点C ，并且
12
AB
米，
9
CD
米．则
O 的半径为（
）
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A．6 米
B．13
2 米
C．7 米
D．15
2 米
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由D 是
O 中弦AB 的中点，则AC
BC
，所以
CD
AB
，故有
90
ADO
，
1
6
2
AD
BD
AB
（米），设
O 的半径为r 米，则
9
OD
CD
OC
r
（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵D 是
O 中弦AB 的中点，
∴AC
BC
，
∴CD
AB
，
∴
90
ADO
，
1
6
2
AD
BD
AB
（米），
设
O 的半径为r 米，则
9
OD
CD
OC
r
（米），
∵
2
2
2
OD
AD
OA
，
∴
2
2
2
9
6
r
r
，
∴
13
2
r
，
故选：B ．
29．如图，
O 的半径为5，弦AB 的长为8，点C 是
O 上一点，且AC
BC
，连接CO并延长，交AB 于
点D，交
O 于点E，则DE 的长为________．
【答案】2
【分析】连接OA，根据垂径定理推论可得
4
AD
BD
，CE
AB
，勾股定理求出
3
OD
，即可得
5
3
2
DE
．
【详解】解：连接OA，
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∵点C 是
O 上一点，且AC
BC
，连接CO并延长，交AB 于点D，交
O 于点E，弦AB 的长为8，
∴
4
AD
BD
，CE
AB
，
∵
O 的半径为5，
∴
5
OA
OE
，
∴
2
2
5
4
3
OD
，
∴
5
3
2
DE
．
30．如图，OA
OB
，AB 交
O 于点C，D，OE 是半径，且OE
AB
于点F．
(1)求证：AC
BD
；
(2)若
12
CD
，
4
EF
，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13
2
【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的三线合一可得AF
BF
，再根据垂径定理可得CF
DF
，然后根据线段和差即可
得证；
（2）连接OC ，设
O 的半径为r ，则OC
OE
r
，
4
OF
r
，再根据垂径定理可得
1
6
2
CF
CD
，然
后在Rt COF 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵OA
OB
，OE
AB
于点F ，
∴AF
BF
，
又∵OE 是
O 的半径，OE
AB
，
∴CF
DF
，
∴AF
CF
BF
DF
，
即AC
BD
．
（2）解：如图，连接OC ，
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设
O 的半径为r ，则OC
OE
r
，
∵
4
EF
，
∴
4
OF
OE
EF
r
，
∵OE 是
O 的半径，OE
AB
，
12
CD
，
∴
1
6
2
CF
CD
，
在Rt COF 中，
2
2
2
OF
CF
OC
，即
2
2
2
4
6
r
r
，
解得
13
2
r
，
所以
O 的半径为13
2 ．
【易错警示】
运用垂径定理推论时，极易忽略“弦不为直径”这一前提条件，盲目套用结论。不能正确区分定理与推论
的适用场景，误判垂直、平分弦、平分弧的对应关系，缺少分类讨论，造成几何判断和解题推理出现错误。
题型7 垂径定理的实际应用
31．如图，有一个圆弧形的门洞，
8 m
AB
，AB 上的最高点C 到水平地面AB 的距离CD为͵ m，则AB 所
在圆的半径为（
）
A．ͷ m
B．13 m
6
C．25 m
6
D．4 m
【答案】C
【分析】因为C 是弧AB 的最高点且CD垂直AB ，所以根据垂径定理CD所在直线必然经过弧AB 对应圆的
圆心，且D 为AB 的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦AB 的距离可表示为(
3
r )，AD 的长度为AB 的
一半即4m ．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，
因此可根据勾股定理建立关于r 的一元二次方程，求解得到半径．
【详解】解：设圆心为O，连接OA
OD
，
，
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∵CD是弧AB 的最高点到AB 的距离，
∴CD
AB
，AD
BD
，
∴OD
AB
，
∴O、D、C 三点共线，
设圆的半径为m
r
，
∵
8 m
AB
，CD为͵ m，
∴OA
OC
r
，
3
OD
OC
CD
r
．
在Rt OAD 中，由勾股定理得：
2
2
2
OA
AD
OD
，
代入得：
2
2
2
4
(3
)
r
r
，
解得
25
6
r
．
∴AB 所在圆的半径为25 m
6
．
32．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，
展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可
以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的
O 与长方形的边BC 相切于点M ，点E 为拱
门的最高点，经测量，
0.2 m
AB
，
1.4 m
BC
，则拱门最高点E 到地面BC 的距离是（
）
A．1.325 m
B．1.525 m
C．2.45 m
D．2.65 m
【答案】D
【分析】连接OM 交AD 于点F ，连接OD ，根据矩形的性质和垂径定理求得AF 的值，通过构建直角三角
形，利用勾股定理进行计算即可求解．
【详解】解：连接OM 交AD 于点F ，连接OD ，如图：
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根据题意可得：四边形ABCD是矩形，OM
BC
，
∴AD
BC ，
1.4
BC
AD
m
，
∵OM
BC
，AD
BC ，
∴OM
AD
，
即OF
AD
，
∴
1
1 1.4
0.7
2
2
DF
AD
m
，
0.2
MF
AB
m
，
设
O 的半径为m
r
，则
0.2
OF
OM
MF
r
m
，
在Rt ODF 中，
2
2
2
OF
DF
OD
，
即
2
2
2
0.2
0.7
r
r
，
解得
1.325
r
，
∴拱门最高点E 到地面BC 的距离是
2
2 1.325
2.65
r
m
．
33．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如
下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D 四点，利用刻度
尺量得该纸条宽为7cm ，
6
AB
cm
，
8cm
CD
，则该水杯杯口的直径为________cm ．
【答案】10
【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半
径，进而求得直径．
【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O，半径为R 过点O作MN
CD
于点M ，交AB 于点N ，连接
OD ，OB ，
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纸条上下边沿平行，且MN
CD
，
MN
AB
，
由垂径定理可知，M 为CD中点，N 为AB 中点，
1
1
8
4
2
2
DM
CD
cm ，
1
1
6
3
2
2
BN
AB
cm ，
由题意及图形可知，圆心O在弦AB ，CD之间，且MN 为纸条宽度，
7
MN
cm ，即
7
OM
ON
cm ，
设OM
x
cm ，则
7
ON
x
cm ，
在Rt OMD中，
2
2
2
OD
OM
DM
，即
2
2
2
4
R
x
，
在Rt
ONB
△
中，
2
2
2
OB
ON
BN
，即
2
2
2
7
3
R
x
，
2
2
2
2
4
7
3
x
x
，
解得
3
x
，
2
2
3
4
5
R
cm ，
水杯杯口的直径为2
10cm
R
．
34．项目学习
项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一
圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，
形成了如下活动报告．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何对音乐喷泉进行测量和规划
活动内容
利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
示意图如图所示，点O为喷泉中心，AB 是喷泉边
缘的一条弦，
8
AB
米，D 是弦AB 的中点，连
接OD 并延长，交劣弧AB 于点C ，
2
CD
米．
已知防护栏要距离喷泉边缘1 米，以点O为圆心，
R 为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）．
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数据
8
AB
米，
2
CD
米．图中防护栏的厚度忽略不
计．
计算
…
交流展示
…
根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5 米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整
数，π取3.14）
【答案】25
【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
连接OA，设喷泉的半径为r ，根据垂径定理和勾股定理进行求出半径r ，根据喷泉的半径求出防护栏的半
径，进而求出防护栏的周长，进而求解即可．
【详解】解：连接OA，设喷泉的半径为r ，则：OA
OC
r
，
∴
2
OD
OC
CD
r
，
∵D 是弦AB 的中点，
∴
1
4
2
AD
AB
，OC
AB
，
∴
2
2
2
OA
AD
OD
，
∴
2
2
2
4
2
r
r
，
解得：
5
r
米，
∴
5 1
6
R
（米），
∴2 6 3.14 1.5
25
（盏）．
答：大约需要安装25 盏景观灯．
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35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的
一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的
O ，且圆心在水面
上方．在某一时刻，
O 被水面截得的弦AB 长为60 分米，过点O作OC
AB
，交
O 于点C ，交AB 于点
D ，水面下盛水筒的最大深度为10 分米（即
10
CD
分米）．
(1)求
O 的半径；
(2)若水面上涨，导致
O 被水面截得的弦AB 从原来的60 分米变为80 分米，且圆心O仍在水面上方时，求
水面上涨了多少分米？
【答案】(1)50 分米
(2)10 分米
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理得
1
30
2
AD
BD
AB
分米，设圆的半径为r 分米，则OA
OC
r
分米，
10
OD
r
分米，利用勾股定理得
2
2
2
OD
AD
OA
，即
2
2
2
10
30
r
r
，解方程即可得解；
（2）设水面升到如图EF 的位置，则EF
AB ，OC 与EF 相交于点G，根据垂径定理得
1
1
80
40
2
2
EG
FG
EF
分米，由勾股定理求出OG ，再根据DG
OD
OG
=
-
即可得解．
【详解】（1）解：如图，由题意可知，
60
AB
分米，
10
CD
分米，
∵
60
AB
分米，OC
AB
，
∴
1
30
2
AD
BD
AB
分米，
设圆的半径为r 分米，则OA
OC
r
分米，
10
OD
r
分米，
在Rt AOD 中，
2
2
2
OD
AD
OA
，即
2
2
2
10
30
r
r
，
解得
50
r
，
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即该圆的半径为50 分米；
（2）解：设水面升到如图EF 的位置，则EF
AB ，OC 与EF 相交于点G，
∵OG
EF
，且OG 经过圆心，
∴
1
1
80
40
2
2
EG
FG
EF
（分米），
连接OE ，
在Rt EOG 中，
40
EG
分米，
50
OE
分米，
∴
2
2
30
OG
OE
EG
（分米），
∴
40
30
10
DG
OD
OG
（分米），
即水面上涨的高度为10 分米．
【易错警示】
垂径定理实际应用中，常忘记作垂线构造直角三角形解题。容易混淆弦长、半弦、弦心距与半径的关系，
误用勾股定理。部分题目存在双解，学生常遗漏分类讨论，忽略图形位置变化，导致答案不完整而出错。
题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解
36．如图，
,
AO CO 是
O 的半径，B 是AC 的中点，连接
,
AB BC ，点D 在BC 的延长线上．若
130
OCD
，
则
AOC
的度数为（
）
A．160
B．130
C．100
D．80
【答案】A
【分析】利用邻补角定义求出
OCB
，根据等腰三角形性质求出
BOC
，再利用弧中点性质得出
AOB
BOC
，最后求和即可．
【详解】解：连接OB ，
点D 在BC 的延长线上，
130
OCD
180
180
130
50
OCB
OCD
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OB
OC
50
OBC
OCB
180
180
50
50
80
BOC
OBC
OCB
B 是AC 的中点
AB
BC
80
AOB
BOC
80
80
160
AOC
AOB
BOC
．
37．如图，A ，B 是
O 上的两点，C 为劣弧AB 的中点，
120
ACB
，若
2
OA
，则四边形OACB 的面
积为（
）
A．3
B．2 3
C．3 3
D．4 3
【答案】B
【分析】连接OC ，AB 交于点D ，根据弦、弧、圆心角的关系得出AOC 和BOC 为等边三角形，进而得
出四边形OACB 是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出OC 、AB 的长，利用菱形的面积公式即
可求解．
【详解】解：如图，连接OC ，AB 交于点D ，
∵C 为劣弧AB 的中点，
∴AC
BC
，
∵OA
OB
，
∴OC 垂直平分AB ，AD
BD
，
∵
120
ACB
，
∴
60
ACO
BCO
，
∵OA
OC
OB
，
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∴AOC 和BOC 为等边三角形，
∴
60
AOC
BOC
，OA
OB
BC
AC
，
∴四边形OACB 是菱形，
∵
2
OA
，
∴
2
OC
OA
，
∴
1
1
2
OD
OC
，
∴
2
2
2
2
2
1
3
AD
OA
OD
，
∴
2
2 3
AB
AD
，
∴
1
1
2 3
2
2
OACB
S
AB OC
四边形
2
2 3
．
38．如图，AB 是
O 的直径，CB ，CD是
O 的弦，且CB
CD
，CD 与AB 交于点E，连接OD ．若
40
AOD
，
则
D
的度数是_____
【答案】35/35度
【分析】连接OC ，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即
COB
COD
，利用平角定义和角的和差关系
建立方程求出
COD
的度数，最后利用等腰三角形的性质求出
D
的度数即可.
【详解】解：连接OC ，
∵CD
CB
，
∴CD
CB
，
∴
COD
COB
，
设
COB
x
，则
COD
x
，
AB 是
O 的直径，
180
AOB
，
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180
180
AOC
COB
x
，
40
AOD
，
由图可知
COD
AOC
AOD
，
180
40
x
x
，
解得
110
x
，
110
COD
OC
OD
，
D
OCD
，
1
1
180
180
110
35
2
2
D
COD
.
39．如图，四边形ABCD内接于
O ，AC 是
O 的直径，点D 是AC 的中点，
140
BOD
，则
BAC
的
度数为________．
【答案】65
【分析】根据题意
90
AOD
，则
50
AOB
，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出
BAC
即可．
【详解】解：∵AC 是
O 的直径，
又∵点D 是AC 的中点，
∴AD 是整圆的1
4 ，即
90
AOD
，
∴
50
AOB
BOD
AOD
，
∵OA
OB
，
∴
180
65
2
AOB
BAC
OBA
．
40．如图，已知AB 是
O 的直径，弦AC 与弦BD 交于点E，且OD
AC
，垂足为点F．若点C 是BD 的中
点．
(1)求
AOD
的度数；
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(2)若
8
AB
，求DF 的值；
【答案】(1)60
(2)2
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
（1）连接OC ，根据三线合一得到
AOD
COD
，再根据等弧所对圆心角相等得到
BOC
COD
，推
出
AOD
BOC
COD
，即可求解；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接OC ，
∵OA
OC
，OD
AC
，
∴
AOD
COD
，
∵C 是BD的中点，
∴BC
CD
，
∴
BOC
COD
，
∴
AOD
BOC
COD
，
∴
1 180
60
3
AOD
；
（2）解：∵
8
AB
，
∴
1
4
2
OD
OA
AB
，
∵OD
AC
，
∴
90
AFO
，
∵
60
AOD
，
∴
90
60
30
OAF
，
∴在Rt AOF 中，
1
1
4
2
2
2
OF
OA
，
∴
4
2
2
DF
OD
OF
．
题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证
41．如图，在
O 中，BD
CA
下列结论不正确的是（
）
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A．AB
CD
B．
BOC
BOD
C．AB
CD
D．
AOB
COD
S
S
【答案】B
【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定，
根据“弧，弦，圆心角”的关系得
,
AB
CD
BOD
AOC
，即可说明A，C；再证明ABO
CDO
≌
解答D
即可．
【详解】解：∵BD
CA
，
∴
,
AB
CD
BOD
AOC
，
∴AB
CD
，则A 正确，C 正确；
∵
,
AO
BO
CO
DO AB
CD
，
∴ABO
CDO
≌
，
∴
AOB
COD
S
S
，则D 正确．
BOC
BOD
、
不一定相等，则B 不正确
故选：B．
42．如图，在
O 中，BC 是直径，AB
DC
．下列结论不一定成立的是（
）
A．OA
OB
AB
B．
AOB
COD
C．AB
DC
=
D．O 到
,
AB CD 的距离相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心
角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】解：∵AB
DC
，
∴AB
DC
=
，
∴
AOB
COD
，
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∵OA
OB
OC
OD
，AB
DC
，
∴
SSS
AOB
COD
V
V
≌
，
∴O 到
,
AB CD 的距离相等，
由题意，OA
OB
AB
不一定成立，
结合选项可知，选项B、C、D 结论成立，不符合题意；选项A 结论不一定成立，符合题意；
故选：A．
43．如图，在
O 中，弦AB 的长度是弦CD长度的两倍，连接OA，OB ，OC ，OD ，则
AOB
_______2 COD
．（填“ ”“”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点O作OE
AB
交AB 于点F ，先根据垂径定理
证明
1
2 A
F
B
A
BF
，AE
BE
，根据等弧所对的圆心角相等可得
1
2
AOE
BOE
AOB
，再证BE
CD
，
可得
BOE
COD
，进而推出
2
AOB
COD
．
【详解】解：过点O作OE
AB
交AB 于点F ，连接BE ．
1
2 A
F
B
A
BF
，AE
BE
，
1
2
AOE
BOE
AOB
，
又
2
AB
CD
，
BF
CD
，
在Rt BEF 中，BE
BF
，
BE
CD
，
BOE
COD
，
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1
2
AOB
COD
，
即
2
AOB
COD
，
故答案为：．
44．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在
O 上，且BC
CD
DE
EA
．
(1)求证：AD
CE
；
(2)若
2
AB
，
3
CE
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
O 的半径为9 2
8
．
【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证；
（2）连接BD 、OA、OB 、OD ，作DF
AB
交AB 于点F ，结合弧、弦、圆心角的关系证明
3
AD
BD
CE
，
结合三线合一定理证明DF 过点O，设OA
OB
OD
r
，OF
h
，结合勾股定理推出
7
9
h
r
后即可求得
O
的半径．
【详解】（1）证：
BC
CD
DE
EA
，
DE
EA
CD
DE
，
即AD
CE
，
AD
CE
．
（2）解：连接BD 、OA、OB 、OD ，作DF
AB
交AB 于点F ，
BC
CD
DE
EA
，
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DE
EA
CD
BC
，
即AD
BD
，
3
AD
BD
CE
，
DF
是ABD 中线，
即
1
1
2
AF
BF
AB
，
又AOB 中，OA
OB
，
OF
AB
，
故DF 过点O，
设OA
OB
OD
r
，OF
h
，
Rt AOF 中，
2
2
2
OF
AF
OA
，
Rt ADF 中，
2
2
2
DF
AF
AD
，
2
2
2
2
2
2
1
1
3
h
r
r
h
，
2
1
8
r
h
r
h
r
h
，
1
8
r
h
r
h
，
7
9
h
r
，
代入
2
2
2
1
h
r
，
解得
9 2
8
r
，
即
O 的半径为9 2
8
．
【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合
一定理证明DF 过点O．
45．如图，AB 是
O 的直径，CD是
O 的弦，CD
AB
于点E ，C 是AF 的中点，连接AF ．
(1)求证：AF
CD
．
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(2)若
2
AE
，
10
AF
，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 29
4
【分析】（1）根据垂径定理得AC
AD
，由C 是AF 的中点即可得AC
CF
，进而得AF
CD
，根据圆心
角定理，即可证明结论；
（2）连接OD ，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解．
【详解】（1）证明：
AB 是
O 的直径，CD
AB
于点E ，
AC
AD
，
C 是AF 的中点，
AC
CF
，
AC
CF
AC
AD
，即AF
CD
，
AF
CD
；
（2）解：如图，连接OD ，
由（1）可知
10
AF
CD
，
设
O 的半径为r ，则OA
OD
r
，
2
AE
，
2
OE
OA
AE
r
，
CD
AB
于点E ，
1
5
2
DE
CD
，
在Rt ODE 中，
2
2
2
OE
DE
OD
，即
2
2
2
2
5
r
r
，
解得
29
4
r
，
O
的半径为29
4 ．
题型10 利用垂径定理求最值（压轴）
46．如图，MN 是
O 的直径，
1
3
AN
MN
，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点．连接AB ，AP ，
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BP ．若
2 2
MN
，则PA
PB
的最小值是（
）
A．1
B．
2
C．2
D．2 2
【答案】C
【分析】作点A 关于MN 的对称点A，连接
,
AA A B
，A B
交MN 于点P ，连接
,
,
OA OA OB
，由轴对称性可
得PA
PA
，则PA
PB
PA
PB
A B
，故当
, ,
A P B
三点共线时，PA
PB
最小，最小值为A B
，由弧和
圆心角的关系可求
60 ,
30
A ON
AON
BON
，进而求出
90
A OB
，由勾股定理可求
2
A B
，
即可求解．
【详解】解：如图，作点A 关于MN 的对称点A，连接
,
AA A B
，A B
交MN 于点P ，连接
,
,
OA OA OB
，
∵点A 与点A关于MN 对称，
,
PA
PA OA
OA
，
PA
PB
PA
PB
A B
，
则当
, ,
A P B
三点共线时，PA
PB
最小，最小值为A B
，
∵MN 是
O 的直径，
1
3
AN
MN
，点B 是AN 的中点，
1
1
180
60 ,
60
30
3
2
A ON
AON
BON
，
90
A OB
A ON
BON
，
又
1
2
2
OA
OA
MN
，
2
2
2
A B
OB
OA
，
∴PA
PB
的最小值为2．
47．如图，ABC 内接于
O
AC
，
为
O 的直径，点D，E 分别为
O 上的动点（不与点A，点B，点C 重
合），且DE
BC
，F 为DE 的中点，分别连接OF
AF
，
，若
3
4
AB
BC
，
，则AF 的最大值为（
）
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A．3
B．4
C．4.5
D．5
【答案】B
【分析】如图1，过点O作OH
BC
于H ，以点O为圆心，以OH 为半径作圆，由勾股定理得：
2
2
5
AC
AB
BC
，OH 为ABC 的中位线，当点D ，E 在
O 上运动时，点F 在以点O为圆心，以3
2 为
半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：AF
OA
OF
，如图2：此时
5
3
4
2
2
AF
OA
OF
，
即AF 的最大值为4，由此即可求解．
【详解】解：如图1，过点O作OH
BC
于H ，以点O为圆心，以OH 为半径作圆，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ABC
，
在Rt ABC 中，
3
AB
，
4
BC
，由勾股定理得：
2
2
5
AC
AB
BC
，
∴
1
5
2
2
OA
OC
AC
，
∵OH
BC
，
90
ABC
，
∴OH 为ABC 的中位线，
∴
1
3
2
2
OH
AB
，即弦BC 的弦心距
3
2
OH
，
∵点F 为DE 的中点，
∴OF 为弦DE 的弦心距，
∵DE
BC
，
∴
3
2
OF
OH
，
∴当点D ，E 在
O 上运动时，点F 在以点O为圆心，以3
2 为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”
得：AF
OA
OF
，
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∴当点F 在AO 的延长线上时，AF 为最大，
如图2：此时
5
3
4
2
2
AF
OA
OF
，即AF 的最大值为4，
故选：B．
48．如图，在平面直角坐标系中，以点
01
G
，为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A
B
，两点，与y 轴交于C
D
，
两点，E 为
G 上一动点，CF
AE
于点F ，则点E 在
G 上运动的过程中，线段FG 的长的最小值为（
）
A．
5
2
B．1
C．
3
1
D．
2
1
【答案】C
【分析】连接AC ，过点G 作GM
AC
于点M ，连接AG
FM
，
，根据斜边中线得到
1
3
2
FM
AC
，根
据垂径定理和勾股定理得到
1
GM ，再根据FG
FM
GM
得到当点F 在MG 的延长线上时，FG 的长最
小，最小值为
3
1
FM
MG
．
【详解】解：连接AC ，过点G 作GM
AC
于点M ，连接AG
FM
，
，
在Rt
AGO
△
中，
2,
1
AG
OG
，
∴
2
2
2
1
3
OA
，
在Rt AOC 中，
3,
3
OA
OC
，
∴
2
2
3
3
2 3
AC
，
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∵
G 中GM
AC
，
1
3
2
AM
CM
AC
，
2
2
2
3
1
GM
，
CF
AE
，
1
3
2
AM
CM
AC
1
3
2
FM
AC
，
∵FG
FM
GM
，
∴当点F 在MG 的延长线上时，FG 的长最小，最小值为
3
1
FM
MG
．
故选C．
49．如图，在平面直角坐标系中，
6,0
A
、
0,8
B
，点C 在y 轴正半轴上，点D 在x 轴正半轴上，且
6
CD
，
以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB 于E 、F ，则线段EF 的最大值为_____．
【答案】4.8 /
4
4 5 / 24
5
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，
正确作出辅助线是解题的关键．
过CD的中点G作EF 的垂线与AB 交于点M，过点O作OH
AB
于H，连接OG
EG
、
，先求出
6,
8
OA
OB
，
进而求出
10
AB
，再根据等面积法求出
4.8
OH
，由直角三角形斜边中线的性质得到
3
OG
EG
，由垂
径定理得到
2
EF
EM
，由
2
9
EM
GM
，可知当GM 最小时，EM 最大，即EF 最大，再由OG
GM
OH
，
得到
1.8
GM
最小值
，则
2
9 1.8
2.4
EM
最大值
，即可得到
4.8
EF
最大值
．
【详解】解：过CD的中点G 作EF 的垂线与AB 交于点M，过点O 作OH
AB
于H，连接OG
EG
、
，
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∵
6,0
A
，
0,8
B
∴
6
8
OA
OB
，
，
∴
2
2
10
AB
OA
OB
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
OA OB
AB OH
△
，
∴
4.8
OA OB
OH
AB
；
∵
6
90
CD
COD
，
，G 为CD的中点，
∴
1
3
2
OG
EG
CD
，
∵GM
EF
，
∴
90
2
GME
EF
FM
∠
,
，
∴
2
2
2
9
EM
GF
GM
GM
，
∴当GM 最小时，EM 最大，即EF 最大，
∵OG
GM
OH
，
∴3
4.8
GM
，
∴
1.8
GM
，即
1.8
GM
最小值
，
∴
2
9 1.8
2.4
EM
最大值
，
∴
4.8
EF
最大值
．
故答案为：4.8 ．
50．如图，在半圆O中，直径
6
AB
，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的
中点．连接OE ，则OE 的最小值为_______．
【答案】3 2
3
/ 3
3 2
【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根
据三角形三边关系确定OE 的取值范围．
把AEC 所在的圆补全为
F ，可知点F 与点O关于AC 对称，求出
90
F
，CE 长，OE 的最小值为
EC
OC
．
【详解】解：如图，把AEC 所在的圆补全为
F ，连接FC ，FE ，OC ，EC ，FE 交AB 于点G ，可知点F
与点O关于AC 对称，
3
FC
FE
，
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∴
FCA
OCA
，
∵OC
OA
，
∴
OCA
CAO
，
∴
FCA
CAO
，
∴CF
AB ，
∴点E 是弧AD 的中点，
∴FE
AB
，
∴
90
F
BGE
，
∵
3
FC
FE
，
在Rt CEF 中，
2
3 2
EC
FC
，
∵
3 2
3
OE
EC
OC
，
∴OE 的最小值为3 2
3
．
故答案为：3 2
3
．
题型11 垂径定理求半径综合（压轴）
51．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形ABCD内接于
O ，
2
AB
CD
．若
6
AB
，
13
CD
，则
O 的半径是（
）
A．13
4
B．7
2
C．9
2
D．5
【答案】A
【分析】首先取AB 的中点E ，利用弧长关系得出AE
BE
CD
，然后通过垂径定理和勾股定理建立关
于半径的方程求解即可．
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【详解】解：如图，取AB 的中点E ，连接AE ，BE ．
2
AB
CD
，
AE
BE
CD
，
13
AE
BE
CD
．
过点O 作OM
AB
于点M ，连接ME ，
1
3
2
AM
AB
，且O，M ，E 三点共线．
在Rt AME 中，
2
2
2
2
( 13)
3
2
EM
AE
AM
．
设
O 的半径为
R ，则OA
OE
R
，
2
OM
OE
EM
R
，
在Rt
OMA
△
中，
2
2
2
OA
OM
AM
，
2
2
2
(
2)
3
R
R
解得
13
4
R
．
52．如图，⊙O 中，弦
8
AB
CD
cm
，若AB
CD
于点P，且
3 2
OP
cm
，则
O 的半径为（
）
A．4 2 cm
B．5 2 cm
C．5cm
D．6cm
【答案】C
【分析】本题考查了圆的弦长性质与勾股定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造矩形和直角三角形，
利用弦长、距离与半径的关系列方程求解．
过圆心O作
,
AB CD 的垂线，利用垂径定理得弦的一半为4cm ，结合AB
CD
知四边形为矩形，再通过勾股
定理先求弦心距的平方，最终求出圆的半径即可．
【详解】如图：过点O 作
,
OE
AB OF
BC
，连接
,
OA OC ，
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,
OE
AB OF
BC
，
1
=
=
= 4cm
2
AE
BE
AB
，
1
4
2
CF
DF
CD
cm
，
,
,
AB
CD OE
AB OF
CD
，
四边形OEPF 是矩形，
,
OE
PF OF
PE
，
设
0
OE
PF
x
，
0
OF
PE
y
，
O 半径
r
，
在Rt OAE 中，由勾股定理得
2
2
2
OE
AE
OA
即
2
2
2
4
x
r
①，
在Rt OCF 中，由勾股定理得
2
2
2
OF
CF
OC
即
2
2
2
4
y
r
②，
由①②可知
2
2
x
y
x
y
，
在Rt
OPE
△
中，
3 2
OP
，由勾股定理得
2
2
2
OE
PE
OP
即
2
2
2
(3 2)
x
y
，
x
y
，
2
2
18
x
\
=
，
解得
2
9
x
，
2
2
2
4
x
r
，
2
25
r
，
5
r
cm
．
故选C．
53．如图，矩形ABCD是长方体玻璃片的截面，已知
2,
6
AB
BC
．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜
（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G 在以点O
为圆心的圆上，则
O 的半径为________．
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【答案】
5
【分析】连接
,
EF GH 交于点M ，根据矩形的性质和中点的定义可得EF
GH
，
3
ME
，
1
MG ，由圆的
对称性可知圆心O在直线GH 上，设半径为R ，在Rt OME 中利用勾股定理构建关于R 的方程求解.
【详解】解：连接
,
EF GH 交于点M ，
四边形ABCD是矩形，
,
,
,
E F G H 分别是
,
,
,
AB CD AD BC 的中点，
则：
,
,
,
EF
BC HG
AB EF HG
互相垂直平分，
1
1
3,
1
2
2
ME
BC
MG
AB
，
∵点
,
E F 在
O 上，
圆心O在弦EF 的垂直平分线上，
GH
EF
且平分EF ，
圆心O在直线GH 上，
设
O 的半径为R ，则OE
OG
R
，
由图可知点O在GH 的延长线上，
1
OM
OG
MG
R
，
在Rt OME 中，由勾股定理得
2
2
2
OE
OM
ME
，
2
2
2
(
1)
3
R
R
，
解得
5
R
.
54．如图，ABC 内接于
O ，
2
AB
BC
，若
6
AB
，
13
BC
，则
O 的半径是______．
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【答案】13
4
【分析】过点O作OE
AB
交
O 于点E ，交AB 于点F ，连接OA，AE ，由垂径定理可得AF 的长，
2
AB
AE
，
结合已知可得AE
BC
，从而可得AE 的长，在Rt AEF 中，由勾股定理可得EF 的长，设
O 的半径为x ，
在Rt AOF 中，由勾股定理列方程求解即可得解．
【详解】解：如图，过点O作OE
AB
交
O 于点E ，交AB 于点F ，连接OA，AE ，
1
2
AE
AB
，
1
3
2
AF
AB
，
2
AB
AE
，
2
AB
BC
，
AE
BC
，
13
AE
BC
，
在Rt AEF 中，
2
2
2
2
13
3
2
EF
AE
AF
，
设
O 的半径为x ，则OA
OE
x
，
2
OF
OE
EF
x
，
在Rt AOF 中，
2
2
2
OF
AF
OA
，
2
2
2
2
3
x
x
，
解得
13
4
x
，
即
O 的半径为13
4 ．
55．如图，在
O 中，AB 、AC 为弦，CD为直径，AB
CD
于点E，BF
AC
于点F，BF 与CD相交于
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点G．
(1)求证：ED
EG
；
(2)若
2 5
AB
，
1
OG ，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：连接BD ，
∵CD为直径，AB
CD
，
∴BD
AD
，
∴
ACD
ABD
，
∵BF
AC
，AB
CD
，
∴
90 ,
90
ACD
FGC
ABD
D
，
∴
FGC
D
，
∵
FGC
DGB
，
∴
DGB
D
，
∴BD
BG
，
∵AB
CD
，
∴ED
EG
；
(2) 7
3
【分析】（1）连接BD ，根据垂径定理得到BD
AD
，则
ACD
ABD
，再根据垂直得到
FGC
D
，
结合对顶角相等得到
DGB
D
，则BD
BG
，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到ED
EG
；
（2）连接OA，设
O 的半径为r ，即OA
OD
r
，由
1
OG ，ED
EG
，得到
1
1
2
2
r
r
OE
OD
DE
r
，
再根据垂径定理得到
1
5
2
AE
AB
，最后在Rt AOE 中根据
2
2
2
OE
AE
OA
列方程求解即可．
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【详解】（1）略
（2）解：连接OA，
设
O 的半径为r ，即OA
OD
r
，
∵
1
OG ，ED
EG
，
∴
1
2
2
OG
OD
r
DE
EG
，
∴
1
1
2
2
r
r
OE
OD
DE
r
，
∵CD为直径，AB
CD
，
2 5
AB
，
∴
1
5
2
AE
AB
，
∵Rt AOE 中
2
2
2
OE
AE
OA
，
∴
2
2
2
1
5
2
r
r
，
解得
7
3
r
或
3
r （舍去）．
∴
O 的半径为7
3 ．
题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴）
56．如图，在
O 中将弧AB 沿弦AB 翻折经过圆心O交弦BE 于点
2
2 7
F
BF
EF
AB
，
，
，则BE 长为
_____．
【答案】6
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接
,
,
,
AE AF OA OB，过点O 作OT
AB
交
O
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于T，连接AT ．证明AEF 是等边三角形，设
2 ,
4
EF
a BF
a
，再利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，连接
,
,
,
AE AF OA OB，过点O 作OT
AB
交
O 于T，连接AT ．
由翻折的性质可知，AB 垂直平分线段OT ，
AO
AT
，
OA
OT
，
AOT
是等边三角形，
60
AOT
，
OT
AB
，
AT
BT
60
AOT
BOT
，
120
AOB
，
1
60
2
E
AOB
，
ABF
ABE
，
AF
AE
AE
AF
，
AEF
是等边三角形，
2
BF
EF
，
设
2 ,
4
EF
a BF
a
，则EH
FH
a
，
在Rt AEF 中，
60 ,
30
E
EAH
，
1
2
EH
AE
，由勾股定理，得
3 ,
5
AH
a BH
a
在Rt AHB 中，
2
2
2
AB
AH
BH
，
2
2
2
2 7
3
5
a
a
，
1
a
，
6
6
BE
a
，
故答案为；6．
57．如图，在
O 中，点C 为AB 的中点，将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O重合．点D 为
优弧AB 上一点，连接BD 、CD、BC ．若
45
BCD
，
2
AB
，则CD ________．
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【答案】
6
2
3
【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、含30角的直角三角形的性质等
知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解
题的关键．连接OB
OC
、
，OC 交AB 于点N，过点B 作BM
CD
，先证明OBC 是等边三角形，再求得CM
及DM 的长即可．
【详解】如图，连接OB
OC
、
，OC 交AB 于点N，过点B 作BM
CD
，
将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合．
OB
BC
，AB
OC
，
1
2
ON
NC
OC
，
1
1
2
BN
AB
，
OB
OC
，
OB
BC
OC
，
∵在Rt OBN 中，
2
2
2
ON
BN
OB
，即
2
2
2
1
(
)
1
2 OB
OB
∴
2 3
3
OB
BC
，
45
BCD
，
90
BMC
2
6
2
3
BM
CM
BC
，
∵OBC 是等边三角形，
60
BOC
，
1
30
2
CDB
BOC
，
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2 6
2
3
BD
BM
，
2
2
2
DM
BD
BM
6
2
3
CD
CM
DM
，
故答案：
6
2
3
58．如图，AB 是
O 的直径，
2
AB
，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE
AB
，将DBE 沿DE 翻
折交直线AB 于点F，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为______．
【答案】2
3
或2
3
或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DE
AB
，可得
1
DE 或2，利用勾股定理
进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：
AB 为直径，DE 为弦，
DE
AB
，
当DE 的长为正整数时，
1
DE 或2，
当
2
DE
时，即DE 为直径，
DE
AB
将DBE 沿DE 翻折交直线AB 于点F，此时F 与点A 重合，
故
2
FB
；
当
1
DE 时，且在点C 在线段OB 之间，
如图，连接OD ，
此时
1
1
2
OD
AB
，
DE
AB
，
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1
1
2
2
DC
DE
，
2
2
3
2
OC
OD
DC
，
2
3
2
BC
OB
OC
，
2
2
3
BF
BC
；
当
1
DE 时，且点C 在线段OA之间，连接OD ，
同理可得
2
3
2
BC
，
2
2
3
BF
BC
，
综上，可得线段FB 的长为2
3
或2
3
或2，
故答案为：2
3
或2
3
或2．
59．如图，四边形ABCD内接于
O ，AB
AD
，
3
BC ．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O．当对
角线BD 最大时，则弦AB 的长为（
）
A．
6
B．2 3
C．3
2
D．2 2
【答案】A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF 为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形
是直角三角形得出OE=EB=
2
6
2
2
OB
，进而即可得解.
【详解】当BD 过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧BC ，设与点O 对应的点为F，连接FB、
FC、OF，OF 交BC 于G，如图所示：
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由翻折的性质，得
OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心O
∴OB=OF
∴△OBF 为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
∴
2 3
3
OB
BG
∵
3
BC
∴BG=CG=1.5
∴
3
OB
∵AB
AD
，OE⊥AB，OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴OE=EB=
2
6
2
2
OB
∴
6
AB
故选：A.
【点睛】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进
行求解.
60．如图，将⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D，再将BD沿BD 翻折交BC 于点E，连结DE．若
AB＝10，OD＝1，则线段DE 的长为（
）
A．5
B．2 5
C．2 3
D．4
3
3
+1
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【答案】B
【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA 于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到
AC
CD
DE
，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计
算出CF，接着再计算出CD 即可．
【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA 于F，如图，
10,
1
AB
OD
1
5 1
4
2
AD
AO
OD
AB
OD
∵⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D，再将BD沿BD 翻折交BC 于点E，
∴
,
,
AC CD DE为等圆中的弧，
∵它们所对的圆周角为∠ABC，
∴AC
CD
DE
，
∴AC＝CD＝DE，
∴AF＝DF＝2，
在Rt△OCF 中，CF＝
2
2
5
3
＝4，
在Rt△CDF 中，CD＝
2
2
4
2
＝2 5 ，
2 5
DE
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，
圆心角之间的关系是解题的关键．
1．如图，AB 是
O 的弦，半径OC
AB
，垂足为点E ，设
O 的半径为4,
2
CE
，则AB 的长为（
）
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A．2
B．4
C．4 3
D．2 5
【答案】C
【分析】连接AO ，由垂径定理得出
1
2
AE
AB
，由勾股定理求出AE ，即可求出AB ．
【详解】解：连接AO ，
∵AB 是
O 的弦，半径OC
AB
，
∴
1
2
AE
AB
，
在Rt AOE 中，
2
2
2
2
4
4
2
2 3
AE
AO
OE
，
∴
2
4 3
AB
AE
．
2．如图，AB 是
O 的弦，若
O 的半径
10
OA
，圆心O 到弦AB 的距离
6
OC
，则弦AB 的长为（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】C
【分析】根据垂径定理得到AC
BC
，在Rt ACO中利用勾股定理求出AC 的长，即可求解．
【详解】解：由题意得，OC
AB
，
∴
90
ACO
，AC
BC
，
∴在Rt ACO中，
2
2
2
2
10
6
8
AC
OA
OC
，
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∴
2
2 8
16
AB
AC
．
3．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为
O 的直径，CD
AB
，
垂足为E，
1
CE 寸，
10
AB
寸，则直径CD长度是（
）
A．12 寸
B．13 寸
C．24 寸
D．26 寸
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
设
O 的半径为r ，根据垂径定理得到
1
2
AE
AB
，在Rt AEO 中，利用勾股定理列出方程，求解半径r ，
从而求出直径CD长度．
【详解】解：设
O 的半径为r ，
OA
OC
r
、
2
CD
r
、
1
OE
r
，
CD 为
O 的直径，CD
AB
，
1
1 10
5
2
2
AE
AB
，
在Rt AEO 中，由勾股定理得：
2
2
2
OA
OE
AE
，
即
2
2
2
1
5
r
r
，
解得
13
r
，
2 13
26
CD
寸．
4．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A、B 两点，点P 的坐标为(6,3)，点B 的坐标为(9,0) ，则点A
的坐标为（
）
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
【答案】C
【分析】本题考了垂径定理，连接PB ，过点P 作PD
AB
于点
6,0
D
，由垂径定理可得AD
BD
，根据
坐标可得
3
BD
，从而得到
3
AD
即可求出点A 的坐标．
【详解】解：连接PB ，过点P 作PD
AB
于点D，
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∴AD
BD
，
∵点P 的坐标为(6,3) ，点B 的坐标为(9,0) ，
∴
6,0
D
，
3
BD
，
∴
3
AD
BD
，
∴点A 的坐标为(3,0) ．
故选：C．
5．如图，
O 的半径OC 长为4，将
O 沿AB 折叠，AB 恰好经过OC 的中点D ，且OC
AB
，则折痕AB
长为（
）
A．3 15
2
B．2 15
C．4
D．2 3
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
延长CO交AB 于E 点，连接OB ，根据垂径定理可得OC
AB
，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求
出其长度即可．
【详解】解：延长CO交AB 于E 点，连接OB ，
∵OC
AB
，
∴E 为AB 的中点，
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∵
O 的半径OC 长为4，AB 恰好经过OC 的中点D ，
∴
1
2,
4
2
CD
OD
OC
OB
，
∴
1
4
2
2
3
2
DE
，
∴
1
OE
DE
OD
．
∴
2
2
15
BE
OB
OE
，
∴
2
2 15
AB
BE
．
故选：B．
6．如图，在扇形OAB 中，点C 在AB 上，连接OC ，AC ，BC ，
132
ACB
．若
2
BOC
AOC
，则AC
的度数为（）
A．16
B．24
C．32
D．36
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质得出
,
OCA
OAC
OCB
OBC
，由四边形内角和为
96
AOB
，根据
2
BOC
AOC
可得出
1
32
3
AOC
AOB
，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案．
【详解】解：∵
,
AO
OC OC
OB
，
∴
,
OCA
OAC
OCB
OBC
，
∴
ACB
OCA
OCB
OAC
OBC
，
∵
360
AOB
OAC
OBC
ACB
，
∴
2
360
AOB
ACB
，
∴
360
2
96
AOB
ACB
，
∵
2
BOC
AOC
，
∴
1
32
3
AOC
AOB
．
则AC 的度数为32．
7．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，连接AD ．若
2
BE
，
4 5
AD
，则CD长为（
）
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A．4
B．4 2
C．8
D．9
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的综合应用．设圆的半径为r ，利用垂径定理得到
2
CD
ED
，再结
合勾股定理分别在Rt OED 和Rt AED 中建立方程，求出半径后计算弦长．
【详解】解：如图，连接OD ．
设
O 的半径为r ，则OB
OD
r
．
∵
2
BE
，
∴
2
OE
r
，
2
2
AE
r
．
∵CD
AB
，根据垂径定理，得
2
CD
ED
．
在Rt OED 中，由勾股定理得：
2
2
2
ED
OE
OD
，
即
2
2
2
(
2)
ED
r
r
，化简得
2
4
4
ED
r
，
在Rt AED 中，由勾股定理得：
2
2
2
AE
ED
AD
，
∴
2
2
(2
2)
4
4
(4 5)
r
r
，解得
5
r
(舍去负根)，
∴
2
4
4
16
ED
r
，
4
ED
．
∵
2
CD
ED
，
∴
8
CD
；
故选：C．
8．如图，将半径为6 的
O 沿AB 折叠，AB 与AB 垂直的半径OC 交于点D 且
2
CD
OD
，则折痕AB 的长
为（
）
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A．4 2
B．8 2
C．6
D．6 3
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求
解是解答此题的关键；延长CO交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后根据勾股定理求出AB 的
长．
【详解】解：延长CO交AB 于E 点，交
O 于点F，连接OB ，
CE
AB
，
E
为AB 的中点，
6
OC
，
2
CD
OD
，
4,
2,
6
CD
OD
OB
，
由折叠的性质可知：
1
1
1
2 6
4
4
2
2
2
DE
EF
DF
CF
CD
，
2
OE
DE
OD
，
在Rt OEB中，由勾股定理可得：
2
2
4 2
BE
OB
OE
，
2
8 2
AB
BE
．
故选：B．
9．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1 是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮
盘，它的边缘平均分布了12 个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的
1 个水斗在点A 处放空水，同时有1 个水斗刚好在点B 处接触水面，中间还有2 个水斗，已知外围轮盘半径
OA为5m，点A 到水面的距离为7m ，则水面宽度CB 为（
）
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A．6m
B．7m
C．7m 或9m
D．6m 或8m
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
作OD
BC
，AE
BC
，作OF
AG
，设
m
OD
x
，先说明四边形ODEF 是矩形，得到OD
EF
，再利
用“ AAS ”说明DOB
FOA
≌
，得到DB
AF
，根据勾股定理列出方程，求出OD ，BD ，最后根据垂径定
理，计算即可求解．
【详解】解：如图，作OD
BC
、AE
BC
交BC 于点D 、E ，作OF
AG
于点F ，
设
m
OD
x
，
OD
BC
，AE
BC
，OF
AG
，
90
ODE
DEA
OFE
OFA
，
四边形ODEF 是矩形，
90
DOF
，
m
OD
EF
x
，
点A 到水面的距离为7m ，
7m
AE
，则
7
m
AF
AE
EF
x
，
圆形轮盘分布了12 个水斗，水斗A 和B 中间还有2 个水斗，
3
360
90
12
AOB
，
90
FOA
BOF
，
又
90
DOF
，即
90
DOB
BOF
，
DOB
FOA
，
在DOB和FOA 中，
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ODE
OFA
DOB
FOA
OB
OA
，
DOB
FOA
≌
，
7
m
DB
AF
x
，
在Rt DOB中，
5m
OB
，
则
2
2
2
DB
OD
OB
，即
2
2
2
7
5
x
x
，解得
1
3
x
，
2
4
x
，
7
3m
DB
x
或4m ，
OD
BC
，
点D 是BC 的中点，即
2
BC
DB
，
6
BC
m
或8m ．
故选：D．
10．如图，AB 是
O 的直径，点D 是AC 的中点，过点D 作DF
AB
于点E，交
O 于另一点F．若
12
AC
，
3
AE
，则
O 的半径是（
）
A．15
2
B．13
2
C．6
D．10
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
先证AD
AF
CD
，进而得出DF
AC
，
12
DF
AC
，由垂径定理得
1
6
2
EF
DF
，再用勾股定理解
Rt OEF 即可．
【详解】解：
点D 是AC 的中点，
AD
CD
，
DF
AB
，
AD
AF
，
AD
AF
CD
，
DF
AC
，
12
DF
AC
，
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DF
AB
，
1
6
2
EF
DF
，
如图，连接OF ，设
O 的半径为r，设
3
OE
OA
AE
r
，
在Rt OEF 中，由勾股定理得
2
2
2
OE
EF
OF
，
2
2
2
3
6
r
r
，
解得
15
2
r
，
故选：A．
11．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，
10
AB
，
6
CD
，连接OC ．则BE 的长为______．
【答案】1
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，熟悉垂径定理，勾股定理是解题的关键．根据题意
1
1
5,
3
2
2
OC
OB
AB
CE
CD
，再在Rt OCE ，利用勾股定理求得
4
OE
，再根据BE
OB
OE
，求
出结果即可．
【详解】解：
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E，
6
CD
，
∴
1
3
2
CE
CD
，
∵
10
AB
，
∴
1
5
2
OC
OB
AB
，
在Rt OCE 中，
2
2
2
CE
OE
OC
，
即
2
2
2
3
5
OE
，
解得：
4
OE
，负值舍去，
5
4
1
BE
OB
OE
．
故答案为：1．
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12．如图，AB 为
O 的弦，
8,
AB
OD
AB
，交
O 于点D ，垂足为C ，
2
CD
，则
O 的半径长为_____．
【答案】5
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键．
如图所示，连接OA，设OA
OD
r
，由圆的基础知识，垂径定理得到
2,
4
OC
r
AC
，根据勾股定理
列式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OA，
∴设OA
OD
r
，则
2
OC
OD
CD
r
，
∵OD
AB
，
∴
1
4
2
AC
BC
AB
，
在Rt AOC 中，
2
2
2
OA
AC
OC
，
∴
2
2
2
4
2
r
r
，
解得，
5
r
，
∴
O 的半径长为5，
故答案为：5 ．
13．如图，拱桥可以近似的看作直径为260 m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路
面AB 长度为100m ，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________ m ．
【答案】10
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆弧的圆心为O，过O 作OC
AB
于C，交AB 于D，连接OA，先由垂径定理得
50m
AC
，再由勾股
定理求出
120m
OC
，然后求出CD的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O 作OC
AB
于C，交AB 于D，连接OA，
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则
1
260
130 m
2
OA
OD
，
1
1 100
50 m
2
2
AC
BC
AB
，
∴
2
2
2
2
130
50
120 m
OC
OA
AC
，
∴
130 120
10 m
CD
OD
OC
，
即这些钢索中最长的一根为10m，
故答案为：10．
14．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为
____________ mm．
【答案】13
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则AB 是
O 的直径，过O作OC
TE
，
连接OD ，再结合正方形的性质以及垂径定理得
5mm
CE
，
12
CD
mm
，由勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：AB 是
O 的直径，过O作OC
TE
，连接OD ，
依题意，
mm
10
7
mm
TE
ED
,
，
∵OC
TE
，
∴
mm
1
5
2
CE
TE
，
5
7
12 mm
CD
，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴
1 10
5 mm
2
CO
，
在Rt OCD中，
2
2
25 144
13 mm
OD
OC
CD
，
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即这枚古钱币的半径为13mm，
故答案为：13
15．往直径为10m的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽
6
AB
m
，则水的最大深度为
____________．
【答案】1m/1 米
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．连接OB ，过点O作OC
AB
于点D ，交
O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理
求出OD 的长，进而得出CD的长即可．
【详解】解：如图，连接OB ，过点O作OC
AB
于点D ，交
O 于点C ，
∵
6
AB
m
，
∴
1
3m
2
BD
AB
，
∵
O 的直径为10m，
∴
5m
OB
OC
，
在Rt OBD 中，
2
2
2
2
5
3
4m
OD
OB
BD
，
∴
5
4
1m
CD
OC
OD
，
即水的最大深度为1m．
故答案为：1m．
16．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m ，地面入口宽为1m，则该门洞的半径是_____ m ．
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【答案】1.3
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理列式计算，
求解即可．
【详解】解：如图，连接OA，
设圆心为点O，洞高为
2.5m
DC
，入口宽为
1
AB
m
，门洞的半径为xm，
根据题意，得
2.5
m
OC
x
，
1
0.5m
2
AC
AB
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2.5
0.5
x
x
，
解得
1.3
x
，
答：该门洞的半径为1.3m ．
故答案为：1.3
17．如图，AB ，CD为
O 的直径，点E 为AD 的中点，连接DE ，BC ，若
36
B
，则
CDE
的度数为
_________．
【答案】63
【分析】连接
,
OE AE ，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得
108
BOC
，进而可知
108
AOD
BOC
，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得
54
DOE
AOE
，然后在ODE 中，结
合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接
,
OE AE ，如下图，
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∵
36
B
，OB
OC
，
∴
36
C
B
，
∴
180
108
BOC
C
B
，
∴
108
AOD
BOC
，
∵点E 为AD 的中点，
∴AE
DE
，
∴
1
54
2
DOE
AOE
AOD
，
又∵OD
OE
，
∴
1
1
180
180
54
63
2
2
ODE
OED
DOE
，
∴
63
CDE
．
18．如图，将一块等腰Rt ABC 的直角顶点C 放在
O 上，绕点C 旋转三角形，使边AC 经过圆心O，某一
时刻，斜边AB 在
O 上截得的线段
4
DE
，且
14
BC
，则OC 的长为_____．
【答案】6
【分析】连接OD ，作OM
AB
，根据垂径定理得到
1
2
DM
EM
DE
，用OD 表示OA，在等腰Rt
AMO
△
中求OM ，在Rt ODM 中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接OD ，过O 点作OM
AB
，
∴
2
ME
DM
，
设MO
h
，CO
DO
x
，
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∵ABC 为等腰直角三角形，
14
AC
BC
，
∴
45
MAO
，
∴
2
AO
h
，
∵
14
AO
x
，
∴
2
14
h
x
，
∴
14
2
x
h
，
在Rt DMO 中，
2
2
2
OM
DM
OD
，
∴
2
2
2
2
h
x
，
∴
2
2
2
14
2
2
x
x
，
解得：
34
x
（舍去）或
6
x
．
故OC 的长为6．
19．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下
方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A
B
C
D
，，，
四点，然后利用刻度
尺量得该纸条的宽为3.5cm ，
3
AB
cm
，
4
CD
cm
．则纸杯杯底的半径为___________cm ．
【答案】5
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出BN
CM
，
的长，设ON
x
，由勾股定理得
到
2
2
2
2
3.5
2
1.5
x
x
，求出x 的值，得到ON 的长，由勾股定理求出OB 长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，MN
AB
，MN 过圆心O，连接OC
OB
，
，
∴
3.5cm
MN
，
∵AB
CD ，
∴MN
CD
，
∴
1
1
4
2 cm
2
2
CM
CD
，
1
1
3
1.5 cm
2
2
BN
AB
，
设
cm
ON
x
，
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∴
3.5
cm
OM
MN
ON
x
，
∵
2
2
2
OM
MC
OC
，
2
2
2
ON
BN
OB
，
∴
2
2
2
2
OM
MC
ON
BN
，
∴
2
2
2
2
3.5
2
1.5
x
x
，
∴
2
2
12.25
7
4
2.25
x
x
x
，
∴7
14
x
，
∴
2
x
，
∴
2 cm
ON
，
∴
2
2
2
2
2
1.5
2.5 cm
OB
ON
BN
，
∴纸杯的直径为
2.5 2
5 cm
．
故答案为：5．
20．如图，在半圆ACB 中，
5
AB
，将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若弧BC 恰好过圆心O，则弦BC
的长是________．
【答案】5 3
2
【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．将半圆ACB
沿弦BC 所在的直线折叠，半圆上的点D 与点O重合，连接OD 交BC 于点E ，由折叠可得
1
5
2
4
OE
DE
OD
，运用勾股定理可求
5 3
4
BE
，再由垂径定理即可求解．
【详解】解：将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，半圆上的点D 与点O重合，连接OD 交BC 于点E ，
AB 是
O 的直径，且
5
AB
，
1
5
2
2
OD
OB
OA
AB
，
点D 与点O关于直线BC 对称，
BC
垂直平分OD ，
90
OED
，
1
5
2
4
OE
DE
OD
，
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2
2
2
2
5
5
5 3
( )
( )
2
4
4
BE
OB
OE
，
OD 是
O 的半径，BC 是
O 的弦，且OD
BC
于点E ，
BE
CE
，
5 3
2
2
BC
BE
，
故答案为：5 3
2 ．
21．如图，AB 是
O 的直径，AC
CD
DE
，
40
AOC
．求
BOE
的度数．
【答案】60
【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，
则另外两组量也对应相等．根据圆心角、弧、弦的关系得到
40
AOC
COD
DOE
，再利用平角的
定义得到
BOE
的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解．
【详解】解：∵AC
CD
DE
，
40
AOC
，
∴
40
AOC
COD
DOE
，而AB 为直径，
∴
180
3 40
60
BOE
答：
BOE
的度数为60.
22．如图，
O 的直径
10cm
CD
，AB 是
O 的弦，AB
CD
，垂足为E，
:
3:5
OE OC
．
(1)线段CE 的长为多少？
(2)弦AB 的长为多少？
【答案】(1)2cm
(2)8cm
【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
（1）根据
O 的直径
10cm
CD
，则
O 的半径为5cm，再由
:
3:5
OE OC
，即可求解；
（2）连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB 的长度．
【详解】（1）解：∵
O 的直径
10cm
CD
，
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∴
O 的半径为5cm，
∵
:
3:5
OE OC
，
∴
3,
5
OE
OC
，
∴
2
CE
cm
；
（2）解：连接OA，
∵AB 是
O 的弦，AB
CD
，
∴
2
,
90
AB
AE
AEO
，
∵
5cm,
3cm
OA
OE
，
∴
2
2
4cm
AE
OA
OE
，
∴
8
AB
cm
．
23．如图，在
O 中，BD
AC
．
求证：
(1) AB
CD
；
(2)
B
C
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）由BD
AC
得出BD
AD
AC
AD
，即AB
CD
，即可得证；
（2）证明
SSS
AOB
DOC
≌
，即可得证．
【详解】（1）证明：∵BD
AC
，
∴BD
AD
AC
AD
，即AB
CD
，
∴AB
CD
；
（2）证明：在AOB 和DOC 中，
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OA
OD
AB
DC
OB
OC
，
∴
SSS
AOB
DOC
≌
，
∴
B
C
．
24．如图，在ABC 中，
70
A
；
55
B
，以BC 为直径作
O ，分别交AB 、AC 于E 、F ．
(1)求BF 的度数；
(2)求证：BE
CF
．
【答案】(1)110
(2)证明见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．
（1）连接OF ，求出
C
和
CFO
度数，求出
COF
，即可求出CF 度数，即可求出答案；
（2）根据
B
C
得出»
»
CE
BF
，求出»
»
CF
BE
，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到BE
CF
．
【详解】（1）解：连接OF ，如图，
70
A
，
55
B
，
180
55
C
A
B
，
B
C
，
AB
AC
，
连接OF ，
OC
OF
，
55
C
CFO
，
70
COF
，
CF 的度数是70，
BF 的度数是180
70
110
；
（2）证明：
C
B
，
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»
CE
BF
，
»
»
CF
BE
，
BE
CF
．
25．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在
O 上，且BC
CD
DE
EA
．
(1)求证：AD
CE
；
(2)若
2
AB
，
3
CE
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
O 的半径为9 2
8
．
【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证；
（2）连接BD 、OA、OB 、OD ，作DF
AB
交AB 于点F ，结合弧、弦、圆心角的关系证明
3
AD
BD
CE
，
结合三线合一定理证明DF 过点O，设OA
OB
OD
r
，OF
h
，结合勾股定理推出
7
9
h
r
后即可求得
O
的半径．
【详解】（1）证：
BC
CD
DE
EA
，
DE
EA
CD
DE
，
即AD
CE
，
AD
CE
．
（2）解：连接BD 、OA、OB 、OD ，作DF
AB
交AB 于点F ，
BC
CD
DE
EA
，
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DE
EA
CD
BC
，
即AD
BD
，
3
AD
BD
CE
，
DF
是ABD 中线，
即
1
1
2
AF
BF
AB
，
又AOB 中，OA
OB
，
OF
AB
，
故DF 过点O，
设OA
OB
OD
r
，OF
h
，
Rt AOF 中，
2
2
2
OF
AF
OA
，
Rt ADF 中，
2
2
2
DF
AF
AD
，
2
2
2
2
2
2
1
1
3
h
r
r
h
，
2
1
8
r
h
r
h
r
h
，
1
8
r
h
r
h
，
7
9
h
r
，
代入
2
2
2
1
h
r
，
解得
9 2
8
r
，
即
O 的半径为9 2
8
．
【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合
一定理证明DF 过点O．
26．如图，
O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足为E，
2
AE
，
8
CD
．
(1)求
O 的半径长；
(2)连接BC ，作OF
BC
于点F，求OF 的长．
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【答案】(1)5
(2) 5
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接OD ，如图，设
O 的半径长为r，先根据垂径定理得到
4
DE
CE
，再利用勾股定理得到
2
2
2
2
4
r
r
，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出
4 5
BC
，再根据垂径定理得到
2 5
BF
CF
，然后利用勾股定理可计算出
OF 的长．
【详解】（1）解：连接OD ，如图，
设
O 的半径长为r，
∵AB
CD
，
∴
90
OED
，
1
1
8
4
2
2
DE
CE
CD
，
在Rt ODE 中，
∵
2
OE
r
，OD
r
，
4
DE
，
∴
2
2
2
2
4
r
r
，
解得
5
r
，
即
O 的半径长为5；
（2）解：在Rt BCE 中，
∵
4
CE
，
8
BE
AB
AE
，
∴
2
2
4
8
4 5
BC
，
∵OF
BC
，
∴
1
2 5
2
BF
CF
BC
，
90
OFB
，
在Rt OBF 中，
2
2
2
2
5
2 5
5
OF
OB
BF
，
即OF 的长为5 ．
27．如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C 三点的
O 交CD于点E，且与AD 相切．
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(1)求证：AB
AC
；
(2)若
8,
4 5
BC
BE
，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
O 的半径长为5
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识
点是解决本题的关键．
（1）连接AO 并延长交BC 于点F，根据切线的定义可得AD
OA
，再根据平行四边形的性质和垂径定理
可得AF 垂直平分BC ，进而即可求证；
（2）设
O 的半径为r，连接OC ，则OC
OA
r
，根据平行线的性质可得
ABE
BEC
，则AE
BC
，
进而可得»
»
AC
BE
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）
证明：如图，连接AO 并延长交BC 于点F，
∵
O 与AD 相切，
∴AD
OA
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC
AD ，
∴OF
BC
，
∴BF
CF
，
∴AF 垂直平分BC ，
∴AB
AC
；
（2）解：设
O 的半径为r，连接OC ，则OC
OA
r
，
∵AB
CE ，
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∴
ABE
BEC
，
∴AE
BC
，
∴AE
CE
BC
CE
，
∴»
»
AC
BE
，
∴
4 5
AC
BE
，
∵
90
CFO
，
1
1
8
4
2
2
BF
CF
BC
，
∴
2
2
4 5
4
8
AF
，
∵
2
2
2
OF
CF
OC
，且
8
,
OF
r OC
r
，
∴
2
2
2
8
4
r
r
，
解得
5
r
．
∴
O 的半径长为5．
28．如图，在ABC 中，
90
C
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．
(1)若
20
A
，求BD的度数．
(2)若
5
BC
，
12
AC
，求BD 的长．
【答案】(1)40
(2) 50
13
【分析】（1）连接CD，先求出
B
的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
BCD
的
度数，即可得出答案；
（2）过点C 作CH
BD
于点H ，根据垂径定理得到BH
DH
，再利用勾股定理计算出AB ，接着利用
等面积法计算出CH ，然后利用勾股定理计算出BH ，从而得到BD 的长．
【详解】（1）解：连接CD，
20 ,
90
A
C
，
70
B
，
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CB
CD
，
70
B
CDB
，
180
40
BCD
B
CDB
，
∴BD的度数为40；
（2）解：过点C 作CH
BD
于点H ，则BH
DH
，
在Rt ABC 中，
5,
12
BC
AC
，
2
2
2
2
5
12
13
AB
BC
AC
，
1
1
2
2
CH AB
BC AC
，
5 12
60
13
13
CH
，
∴在Rt BCH 中，
2
2
2
2
60
25
5
13
13
BH
BC
CH
，
50
2
13
BD
BH
．
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅
助线构造直角三角形．
29．如图，AB 是
O 的直径，CD是
O 的弦，CD
AB
于点E，点F 在
O 上且CF
CA
，连接AF ．
(1)求证：AF
CD
；
(2)连接BD ，若
2,
8
AE
AF
，求BD 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 4 5
【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结
合勾股定理计算线段长度．
（1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系；
（2）连接BD 、OD ，利用垂径定理得
1
4
2
CE
DE
CD
，结合勾股定理列方程求半径，再计算BD 的长
度．
【详解】（1）证明：∵AB 是
O 的直径，CD
AB
，
AC
AD
，
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CF
CA
，
CF
AC
AD
，
AF
CD
，
AF
CD
；
（2）解：连接BD 、OD ，
则OD
OA
，
∵AF
CD
且
8
AF
，
∴
8
CD
，
∵AB 是
O 的直径，CD是
O 的弦，CD
AB
于点E
∴
1
4
90
2
CE
DE
CD
BED
，
，
∵
2
AE
，
∴
2
OE
OA
，
∵
2
2
2
OE
DE
OD
，
∴
2
2
2
(
2)
4
OA
OA
，
解得
5
OA
，
∴
2
10
AB
OA
，
∴
8
BE
AB
AE
，
∴
2
2
2
2
4
8
4 5
BD
DE
BE
，
即BD 的长是4 5 ．
30．如图，AB 是半圆O 的直径，
10
AB
，点C 在半圆O 上，D 为AC 的中点，连接OD 并延长交半圆O
于点E．
(1)如图1，若
1
AD
OD
，求AC 的长；
(2)如图2，过点E 作EF
AB
，垂足为F，若
8
AC
，求AF 的长．
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【答案】(1)6
(2)2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）连接OC ，根据三线合一的性质得出OD
AC
，
2
AC
AD
，在Rt ADO 中，根据勾股定理可得出
2
2
2
1
5
OD
OD
，求出
4
OD
，即可求解；
（2）由（1）可求出
4
AD
，根据勾股定理求出
3
OD
，证明
AAS
EFO
ADO
≌
，得出
3
FO
DO
，即
可求解．
【详解】（1）解：连接OC ，
∵OA
OC
，D 为AC 的中点，
∴OD
AC
，
2
AC
AD
，
∴
2
2
2
AD
OD
AO
，
又
1
AD
OD
，
1
5
2
AO
AB
，
∴
2
2
2
1
5
OD
OD
，
解得
4
OD
（负值舍去），
∴
3
AD
，
∴
2
6
AC
AD
；
（2）解：由（1）知
2
AC
AD
，OD
AC
，
又
8
AC
，
∴
4
AD
，
∴
2
2
3
OD
AO
AD
，
∵
90
EFO
ADO
，
EOF
AOD
，AO
EO
，
∴
AAS
EFO
ADO
≌
，
∴
3
FO
DO
，
∴
2
AF
AO
FO
．
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