文档文本内容
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第08 讲圆的相关概念
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 圆的基本概念辨析
题型2 圆中弦的相关概念
题型3 圆中弧的相关计算
题型4 圆心角的相关问题
题型5 圆的周长和面积
题型6 判断点与圆的位置关系
题型7 根据点与圆的位置关系求长度
题型8 点与圆上一点的最值问题
题型9 圆的相关概念综合（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
圆的基本概念
圆中弦、弧、圆心角
1.认识圆，准确掌握弦、弧、圆心角的定义；
2.能区分优弧劣弧，规范书写各类圆弧符号；
3.理解同圆中圆心角与其对应弧、弦的关系；
4.会利用三者等量关系完成简单几何证明；
5.提升识图能力，建立圆内等量转化思想。
学习重点：掌握弦、弧、圆心角概念，理解三者相等关系。
学习难点：灵活运用三者关系进行几何推理与等量证明。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 圆的定义
1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫圆．这个固定
的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．以O 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径
确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
即时即练
1．下列说法中，正确的是（
）
A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形
B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆
C．弦是直径
D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
2．下列说法正确的是（
）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
3．在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（
）
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A．圆心决定圆的位置
B．半径决定圆的大小
C．同圆中的半径都相等
D．同圆中直径是半径的2 倍
知识点02 弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的
2 倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A
B
、
为端点的弧记作⌒
AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，
能够重合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优
弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称
概念
注意
图示
弦
连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦AC ”
直径是圆中最长的
弦不一定是直径
直径
经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径AB ”
但弦不一定是直径
弧、
半圆、
劣孤、
优弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条
直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；
大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的
ABC ；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图
中AC
半圆是弧，但弧不
一定
是半圆
等圆
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个
圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
等圆只和半径的大
小有关，和圆心有
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位置有关
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
长度相等的孤不一
定是等孤
即时即练
4．如图，在Rt ABC 中，
90 ,
20
ACB
A
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于点D、
点E，则弧BD 的度数为（
）
A．28
B．60
C．55
D．40
5．下列图形中的角是圆心角的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，圆心角
90
AOD
BOC
．
(1)判断
AOC
和
BOD
的数量关系，并说明理由；
(2)若
30
COD
，求
AOB
的度数．
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题型1 圆的基本概念辨析
1．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距
离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B 是半径为3cm 的
O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是
0cm
6cm
AB
．其中，正确的是（
）
A．②③④⑤
B．①②④⑤
C．①③④⑤
D．①②③⑤
2．下列说法正确的是（
）
A．直径是弦，弦是直径
B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
C．相等的弦所对的弧相等
D．在同圆中直径的长度是半径的2 倍
3．若
O 的直径长为4 ，点A ，B 在
O 上，则AB 的长不可能是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．下列说法中，不正确的是（）
A．过圆心的弦是圆的直径
B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
C．周长相等的两个圆是等圆
D．等弧的长度一定相等
5．在下列说法中，正确的有________．（填序号）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧．
【易错警示】
辨析圆相关概念需规避常见误区：弦不一定是直径，直径是最长弦；半圆是特殊弧，但弧不一定是半圆。
优弧、劣弧需区分，不可混淆。圆心角、弦、弧相等关系仅适用于同圆或等圆，切勿通用，避免概念混用
解题出错。
题型2 圆中弦的相关概念
6．如图所示，点A ，O，D ，点C ，D ，E 以及点B ，O，C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
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7．如图，在
O 中，点A ，O，D 在一条直线上，点B ，O，C 在一条直线上，那么图中有弦（
）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
8．如图，A
B
C
E
，，，
四点在
O 上，点A
O
B
C
O
D
，，，点，，
，点B
D
E
，，
分别共线，则图中弦的条数
为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．
O 的半径为2cm ，A 为
O 上一定点，点P 在
O 上沿圆周运动（不与点A 重合），则使弦AP 的长度
为整数的点P 共有________个．
10．如图，ABC 是
O 内接三角形，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．，分别按下列要求画图．
（1）在图1 中，画山一条与BC 相等的弦；
（2）在图2 中，画出一个与ABC 全等的三角形．
题型3 圆中弧的相关计算
11．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为2 : 3: 4 : 6 ，则丁扇形的圆心角的度数为（
）
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A．48
B．72
C．144
D．96
12．如图ABC 中，
=90 ,
=20
C
B
，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D，则AD 的度数为（
）
A．30
B．40
C．45
D．50
13．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC 的度数是_______
14．如图，AB ，CD是圆O的两条相等的弦，弧AD ，弧BC 的度数分别为30 度，120 度，P 为劣弧AB 上
一点，则
APB
______°．
15．如图，A 为⊙O 上的一点，C 为⊙O 外的一点，AC 交⊙O 于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A 的度数.
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题型4 圆心角的相关问题
16．如图所示，量角器的圆心O 在矩形ABCD 的边AD 上，直径经过点C，则∠OCB 的度数为（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
17．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是弧AB 上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC 的度数为
（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
18．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到
的，图中的度数为_______．
19．如图，在
O 中，已知
50
OAB
，则弦AB 所对的圆心角的度数是________．
20．如图，AB 是
O 的直径，点C，D 在
O 上，OC
AD ，OA CD ，若
1
AD ，则BC 的长为__________．
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题型5 圆的周长和面积
21．若
O 的半径为6cm ，
7cm
PO
，则点P 与
O 的位置关系是（
）
A．点P 在
O 外
B．点P 在
O 上
C．点P 在
O 内
D．点P 在
O 内或
O 上
22．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
8
AC
，
6
BC
，点O为AB 的中点，若以点O为圆心，5 为半径作
O ，则下列判断正确的是（
）
A．点C 在
O 外B．点C 在
O 上
C．点C 在
O 内
D．无法判断
23．如图，在Rt ABC 中，
6
AC
，
8
BC ，以点A 为圆心，BC 为半径画圆，则点C 与
A的位置关系是
___________．
24．如图，Rt ABC 中，
90
ACB
，
6
BC
，
8
AC
，CD
AB
于点D，以点C 为圆心，5 为半径作
C ，
则点D 在
C ___________．(填“外”“内”或“上”)
25．已知如图，在
ABC 中，
90 ,
3,
4
ACB
AC
BC
，AB 的中点为点M．
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(1)以点C 为圆心，3 为半径作
C ，则点A、B、M 分别与
C 有怎样的位置关系？
(2)若以C 为圆心作
C ，使A，B，M 三点中至少有一点在
C 内，且至少有一点在
C 外，则
C 的半径
r 的取值范围是什么？
题型6 判断点与圆的位置关系
26．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径
为10 米，外圈跑道的半径为12 米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（
）
A．2 米
B．10 米
C．20 米
D．25 米
27．如图，战机白帝号顺着大半圆从A 地飞到B 地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从A 地到B 地与之汇合，设
白帝、鸾鸟走过的路程分别为a 、b ，则a 与b 的大小关系是（
）
A．a
b
B．a
b
C．a
b
D．无法确定
28．．已知图1、图2 中两个半圆的半径相等，
1
2
O
O
、
分别是两圆的圆心，图1 中的阴影部分面积为
1S ，
图2 中的阴影部分面积为
2S ，那么
1S 与
2S 之间的大小关系是
1S ______
2S ．
29．如图，在一个长方形休闲广场的中央设计一个圆形的音乐喷泉，若圆形音乐喷泉的半径为r 米，广场
的长为a 米，宽为b 米，则广场空地的面积为______平方米（结果用含a，b，r 的代数式表示）．
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30．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为100米,宽为60 米的长方形构成（π取3）．
(1)求这个运动场的周长是多少米?
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为2:3,每平方米塑胶的价格为120元,比
每平方米草坪的价格高1
5 ,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元?
题型7 根据点与圆的位置关系求长度
31．点P 到圆心O 的距离为6，若点P 在圆O 外，则圆O 的半径r 满足（
）
A．0
6
r
B．0
6
r
C．
6
r
D．
6
r
32．如图，在Rt ABC 中，
90
B
，
4
AB
，
7
BC
，点D 在边BC 上，且
3
BD
，连接AD ．以点D 为
圆心，以r 为半径画圆，若点
, ,
A B C 中只有2 个点在圆内，则r 的值可能为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
33．已知
O 的半径为7cm ，点P 到圆心O的距离为d ，若点P 在
O 内，则d 的取值范围中整数的个数为
___________
34．如图，原点右边7 个单位有一点P，数轴上半径为1 的
O 从原点O 开始以每秒2 个单位的速度向右
运动，经过________秒，点P 在
O 上
35．如图，在ABC 中，
90 ,
3,
4
C
AC
BC
，以点C 为圆心作
C ，半径为r．
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(1)当r 取什么值时，点A，B 都在圆外？
(2)当r 取什么值时，点A 在圆内，点B 在圆外？
题型8 点与圆上一点的最值问题
36．如图，在边长为2 的正方形ABCD中，以点C 为圆心，1为半径的圆弧与边CB ，CD分别交于点E ，F ．点
M 在边AB 上，点N 在EF 上，则DM
MN
的最小值为（
）
A．10
B．13
C．2 5
1
D．17
1
37．如图，已知
O 的半径为2, P 是
O 外一点，
4,
OP
Q
是
O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连结OP ，
OM ，则线段OM 的最小值是（
）
A．0
B．0.5
C．1
D．1.5
38．如图，
M 的半径为4，圆心M 的坐标为
6,8 ，P 是
M 上的任意一点，PA
PB
，且PA 、PB 与x
轴分别交于A 、B 两点．若点A 、B 关于原点O对称，则AB 长的最大值为（
）
A．16
B．12
C．28
D．14
39．如图，在正方形ABCD中，点E 、F 分别是DC 、AD 边上的动点，且AE
BF
，垂足为P ，连接CP ．若
正方形的边长为1．则线段CP 的最小值为（
）
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A．
5
1
2
B．
2
2
C．
5
1
2
D．
5
4
40．如图，在矩形ABCD中，
4
AB
，
6
AD
，点E ，F 分别是AD ，CD边上的点，且
4
EF
，点M 为
EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA
PM
的最小值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【易错警示】
求解点与圆上一点的最值问题易出现误区：需牢记定点与圆心的距离为核心，圆上点到定点距离最大值为
圆心距加半径，最小值为圆心距减半径。切勿忽略点在圆内、圆上、圆外的不同情况，盲目套用公式，导
致最值求解错误。
题型9 圆的相关概念综合（压轴）
41．如图，点A，B，C 在直线l 上，AD
l
，AD
BE
CF
∥
∥
，且过点D，E，F 三点的圆的圆心在直线l
上．若
1
AD
CF
，
2
BE
，则AB BC
的值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
42．如图，已知点
15,20
P
，
P 半径为10，
14,0
A
，
28,0
B
，点M 是
P 上的动点，点C 是MB 的中
点，连接AC ，则AC 的最小值是（
）
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A．15
B．15
2
C．35
D．35
2
43．如图，正方形AEFG 与正方形ABCD的边长都为3，正方形AEFG 绕顶点A 旋转一周，在此旋转过程中，
线段DF 的长的取值范围是（
）
A．3 2
3
3 2
3
DF
B．3 2
6
DF
C．3
6
DF
D．3 2
3
0
DF
44．如图，正方形ABCD的边长为6，以点C 为圆心，2 为半径作
C ．P 为
C 上的动点，连接BP ，并将
BP 绕点B 逆时针旋转90得到BP，连接CP．在点P 运动的过程中，CP长度的最大值是（
）
A．5 2
2
B．6 2
2
C．5 2
2
D．6 2
2
45．某学校计划修建一条400m 标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图．
已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为86m；内圈（第1 道）的长度为400m ，一
共8 条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线
上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度）
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(1)内圈（第1 道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留）
(2)如果每条跑道宽1.22m ，求第2 道的全长
2L ，并计算第2 道起跑线比第1 道应前移多少米（结果保留π）；
(3)已知规范要求跑道宽度为1.22
0.01m
，如果实际测量得到第8 道起跑线比第1 道前移了53.38m．请你通
过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（π取3.14）
1．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（
）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．圆心
2．如图，在直角ABC 中，CD为斜边AB 上的中线，以点D 为圆心，以AB 为直径作
D，则点C 与
D
的位置关系为（
）
A．点C 在圆外
B．点C 在圆内
C．点C 在圆上
D．不能确定
3．如图，点A 、B 为
O 上两点，连接OA、OB ，分别以A 、B 为圆心，以大于1
2 AB 的长为半径作弧，两
弧交于点M ，作射线OM 交
O 于点C ，连接AC 、BC ，若
65
A
，则
AOB
的度数为（
）．
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A．90
B．100
C．110
D．120
4．一个圆形花坛，周长是9.42m，在距花坛边0.5m的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取3.14）（
）
A．9.42m
B．10.42m
C．12.56m
D．15.7m
5．已知
O 的半径为5cm，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与
O 的位置关系是（
）
A．点P 在圆上
B．点P 在圆内
C．点P 在圆外
D．无法确定
6．如图，
ABCD 中，
10
DC
，
6
CB
，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB 于点E ；则BE 的长
（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
7．小明把一个半圆平均分成12 份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（
）
A．半圆周长更长
B．新图形的周长更长
C．一样长
D．无法比较．
8．如图，扇形OAB ，点C 在AB 上．若
60
AOB
，则
ACB
的度数是（
）
A．150
B．140
C．130
D．120
9．如图，A，B，C 是小区内的三栋楼，现准备在B，C 的中点D 处建造一个5G 基站，若其覆盖范围是一
个半径为200m 的圆，则这三栋楼在该5G 基站覆盖范围内的是（
）
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A．只有B
B．只有A、B
C．只有B、C
D．A、B、C
10．如图，OA是
O 的半径，B 为OA上一点（且不与点O、A 重合），过点B 作OA的垂线交
O 于点C．以
OB 、BC 为边作矩形OBCD，连接BD ．若
10
BD
，
8
BC ，则AB 的长为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
11．
O 的半径是5cm，同一平面内，若点P 到点O 的距离是6cm ，则点P 与
O 的位置关系为________．
12．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为15.7cm（π取
3.14），则这个圆形物体的直径是______cm ．
13．已知矩形ABCD，
4
AB
，
3
AD
，以点A 为圆心，AB 为半径作
A，则点D 在
A_________（填“外”“内”
或“上”）．
14．如图，AB 是
O 的弦，
90
AOB
，若
4
OA
，则AB 的长为__________．
15．在平面内，线段
8
AB
，在以AB 为直径的
O 外有一点C，则OC 长度的取值范围为_______．
16．如图，已知正方形ABCD，以点A 为圆心，以AB 为半径作
A，则点C 在
A_______．（填“外”或“内”）
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17．如图，A ，B ，C 是
O 上的点，OC
AB
，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，若
5
OA
，则BC 的长
为______．
18．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知
平行四边形的底是15.7cm ，那么圆形茶杯垫片的面积是_______
2
cm ．（取3.14）
19．如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2 是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之
比是3:1，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________．
20．如图，A 为
O 上一点，按以下步骤作图：①连接OA，②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交
O 于
点B；③在射线OB 上截取BC
OB
；④连接AC ．若
2
OA
，则AC 的长为______．
21．如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是12cm，内圈直径是8cm ，求该零件的横截面积．
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22．已知
O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为d，且d 满足方程
2
4
3
0
x
x
，试判断点P 与
O 的位
置关系．
23．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面
圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为
2
64πcm 为了美观，涵涵准备用一个体积为
3
3000cm ，
长、宽、高之比为15:8: 25的长方体纸盒进行包装，如图2．
(1)该圆形团扇的半径为______cm ；
(2)求该长方体盒子的长．
24．如图，AB 是
O 的直径，C，D 是圆上的两点，连接BC ，CD，DA ，OC ，OD ．若OC
AD ，求证：
BOC
COD
．
25．如图，AB 、AC 为
O 的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB 、AC 于点E、F，
B
C
．求证：
CE
BF
26．如图，在ABC 中，
90 ,
3,
4
C
AC
BC
，以点C 为圆心作
C ，半径为r．
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(1)当r 取什么值时，点A，B 都在圆外？
(2)当r 取什么值时，点A 在圆内，点B 在圆外？
27．欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6
中给出的，如图，已知
O ，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①点O 为
O 的圆心，点A 为
O 上任意一点，过点
,
A O 作
O 的直径AC ；
②作直径AC 的垂直平分线BD ，分别交
O 交于点
,
B D ；
③连接
,
,
,
A B C D ，即得到
O 的内接正方形ABCD．
(2)若
O 的半径是6，则正方形ABCD的面积为________．
28．如图，在
O 中，AB 为直径，点P 为圆内一点，连接PA ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出
BAP
的平分线AC ，交
O 于点C （保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若AP
OA
，连接OC ，PC ，求证：四边形AOCP是菱形．
29．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方
形两种，每种扇面面积均为
2
900cm ．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不
计），如图所示（取3）．
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(1)圆形团扇的半径为________cm ，正方形团扇的边长为_______cm ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
30．操作与探究：如图，在ABC 中，
90
ABC
．
(1)动手操作：
用直尺和圆规按要求作图：①作AC 的垂直平分线MN 交AC 于点O；②以点O 为圆心OC 长为半径作
O ；
③连接BO并延长交
O 于点D，连接AD ，CD（要求：保留作图痕迹，标明字母）．
(2)猜想证明：
在（1）所作的图形中：
①判断点A，B 与
O 的位置关系，并说明理由；
②判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
