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第14 讲扇形
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求弧长
题型2 求扇形半径
题型3 求圆心角
题型4 求某点的弧形运动路径长度
题型5 求扇形面积
题型6 求图形旋转后扫过的面积
题型7 求弓形面积
题型8 求其他不规则图形的面积
题型9 求圆锥的侧面积
题型10 求圆锥底面半径
题型11 求圆锥的高
题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角
题型13 圆锥的实际问题
题型14 圆锥侧面上最短路径问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
弧长
扇形面积
圆锥侧面积
1. 理解弧长与扇形面积公式的推导过程及几何意义。
2. 熟记弧长、扇形面积公式，能进行基础数值计算。
3. 掌握圆锥母线、侧面积、全面积的概念及计算公式。
4. 理清圆锥侧面展开图与扇形之间的对应关系。
5. 能运用公式解决相关实际问题与几何综合题型。
学习重点：熟记弧长、扇形及圆锥侧面积公式，熟练完成各类基础计算。
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学习难点：厘清圆锥与展开扇形的对应关系，解决公式综合应用问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 弧长公式
弧长公式
半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：
(弧是圆的一部分)
要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
即时即练
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1．如图，在扇形纸扇中，若
30 cm
OC
，
108
COD
，则CD的长为（
）
A．18 cm
B．30 cm
C．100 cm
D．270 cm
【答案】A
【分析】，根据弧长公式：
π
180
n r
l
，求解即可．
【详解】解：∵
30
OC
cm
，
108
COD
，
∴
π
108
30
π
18
180
180
n r
CD
cm
．
2．如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，点A，B，C 均在格点上，则经过点B 的AC 的长度是______．
【答案】
5
2
【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解．
【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示，
由图可知：
2
2
1
2
5,
90
OA
OC
AOC
，
∴AC 的长度为90π
5
5
180
2
．
3．如图，已知CD是
O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA，若
4,
25
CD
C
．
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(1)求
D
的度数；
(2)CE 的长度为__________．
【答案】(1)50
(2)10
9
【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得
AOD
的度数，再由平行线的性质可得答案；
（2）连接OE ，由圆周角定理可得
COE
的度数，再由弧长计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD
AD
，
∴
2
50
AOD
C
∠
∠
，
∵OA
DE
∥
，
∴
50
D
AOD
∠
∠
；
（2）解：如图所示，连接OE ，
∵CD是
O 的直径，
∴
1
2
2
OE
OC
CD
，
∵CE
CE
，
∴
2
100
COE
D
∠
∠
，
∴CE 的长度
100
2
10
180
9
．
故答案为：10 π
9
知识点02 扇形面积公式
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360
1
扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的
即
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式
lR
S
2
1
扇形
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
ah
S
2
1
有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
lR
R
R
n
R
n
S
2
1
180
2
1
360
2
扇形
.
4．如图，正五边形ABCDE 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
__________．
【答案】10.8π
【分析】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握正多边形的内角和公式和扇形面积公式
是解题的关键．
先根据正多边形的内角公式：每个内角度数
2
180
n
n
，求出正五边形内角
EAB
，再利用扇形面积公
式代入数值计算即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，
∴
5
2
180
108
5
EAB
，
360
360
1
2
2
R
R
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∴阴影部分面积
2
2
108π
108π 6
10.8π
360
360
EAB
r
S
扇形
．
故答案为：10.8π ．
5．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA，OB 的夹角为150，OA的长为3dm ，扇面AC 的长为2dm ，
则扇面的面积是__________
2
dm ．
【答案】10
3
【分析】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握相关公式是关键．
运用扇形面积公式计算出大扇形OAB 和小扇形OCD的面积，相减得出结果．
【详解】解：∵
3
OA
dm
，
2
AC
dm
，
∴
3
2
1
OC
OA
AC
dm
，
由扇形面积公式可得，
2
2
2
π
150 π 3
15π
360
360
4
OAB
n OA
S
dm
扇形
，
2
2
2
π
150 π 1
5π
360
360
12
OCD
n OC
S
dm
扇形
，
∴扇面的面积为
2
15π
5π
10π
4
12
3
OAB
OCD
S
S
dm
扇形
扇形
．
故答案为：10
3
．
6．如图，AB 是
O 的直径，点C 在
O 上，AC
OD ，OD 与
O 相交于点E，与BC 相交于点F，CE 平
分
BCD
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
2
CE
DE
，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 2
3
【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到
90
ACB
，根据平行线的性质得到
90
DFC
ACB
，
求得
90
BCE
OEC
，根据等腰三角形的性质得到
OEC
OCE
，根据角平分线的定义得到
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BCE
DCE
，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到
ECD
D
，求得CF
BF
，求得
OEC
EDC
DCE
，
BCE
DCE
根据等边三角形的性质得到OE
CE
，OF
EF
，
60
BOE
COE
，
60
CEF
，
得到
BOF
CEF
，推出
ASA
OFB
EFC
≌
，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC ．
AB 是
O 的直径，
90
ACB
．
AC
OD ，
90
DFC
ACB
．
90
BCE
OEC
．
OE
OC
，
OEC
OCE
．
CE 平分
BCD
，
BCE
DCE
．
90
OCD
OCE
DCE
BCE
OEC
．
OC
CD
．
OC 是
O 的半径，
CD
是
O 的切线．
（2）解：
2
CE
DE
，
ECD
D
．
90
DFC
，即OD⊥BC，
∴CF＝BF．
OEC
EDC
DCE
BCE
DCE
，
，
3
90
BCE
OEC
BCE
．
30
BCE
，
60
OEC
．
OEC
是等边三角形．
OE
CE
，OF
EF
，
60
BOE
COE
．
OFB
EFC
，
ASA
OFB
EFC
≌
．
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2
0
2
3
6
2
360
OFB
EFC
OBE
OBE
S
S
S
S
S
阴影
扇形
扇形
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的
性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶
知识点03 圆锥的侧面积与全面积
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积
2
360
l
S
rl
扇
n
=
，
圆锥的全面积
）
（
底
扇
全
r
l
r
r
rl
S
S
S
2
.
要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
即时即练
7．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长是8cm ，则圆锥的侧面积是_____
2
cm （结果保留π）．
【答案】32
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长，结合扇形面积公式计算即可．
【详解】解：这个圆锥的侧面积
1
2
4 8
32
2
（
2
cm ）．
8．妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这
个圆锥的底面半径为_____________cm ．
【答案】5
【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长
公式求解底面半径．
【详解】解：设圆锥的底面半径为cm
r
，
根据弧长公式，可得扇形弧长为：
150
12
10 (cm)
180
180
n R
l
，
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由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：2
10
r
，
解得
5
r
．
9．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径OA为6cm．
(1)求扇形AOB 的弧长；（结果保留π）
(2)如图所示，若把扇形纸片AOB 卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH ．（结果保留根号）
【答案】(1)4πcm
(2)4 2cm
【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得
到2π
4
r
，解得
2
r
，然后根据勾股定理计算OH ．
【详解】（1）解：∵扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm，
∴
120 6
4
cm
180
AB
l
．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
∴2π
4
r
，解得
2
r
，
在Rt OHC 中，
2
HC
，
6
OC
，
∴
2
2
4 2 cm
OH
OC
HC
．
【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”是
解本题的关键．
题型1 求弧长
1．如图，扇形AOB 是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径
15cm
OA
，
120
AOB
，则AB 的长为（
）
A．8π
B．10π
C．12π
D．14π
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【答案】B
【分析】根据弧长公式
π
180
n r
l
求解即可．
【详解】解：根据题意，扇形的弧长为120π 15
10π
180
．
2．如图，点A，B，C 均在
O 上，若
140
ABC
，
3
OA ，则AC 的长是（
）
A．2 π
3
B．4 π
3
C．π
D．2π
【答案】B
【分析】如图，在圆上取点E ，连接AE ，CE ，由圆内接四边形的性质可得
40
AEC
，再根据圆周角定
理求出
AOC
，再根据弧长公式计算得到答案．
【详解】解：如图，在圆上取点E ，连接AE ，CE ，
140
ABC
，四边形ABCE 是
O 的内接四边形，
180
40
AEC
ABC
，
2
80
AOC
AEC
，
AC 的长为：
3
80π
3
4π
180
．
3．在半径为5 的
O 中，弦AB 所对的圆心角为60，则弦AB 所对的弧长为___________．
【答案】
5
3
或25
3
【分析】弦在圆中对应两条不同的弧，分别为劣弧和优弧，根据弧长公式分别计算两条弧的长度即可.
【详解】解：已知
O 的半径
5
R
，弦AB 所对的圆心角为60，弧长公式为
π
180
n R
l
，其中n 为弧所对的圆
心角度数，R 为圆的半径.当所求弧为劣弧AB 时，
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当圆心角
1
60
n
，代入公式得1
60π
5
5
180
3
l
；
当所求弧为优弧AB 时，圆心角
2
360
60
300
n
，
代入公式得2
300π 5
25
180
3
l
.
综上：弧长为5
3
或25
3
4．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为AB （小球的大小不计），若绳长
3 cm
OB
，
60
AOB
，则AB 的长是_________cm ．
【答案】π
【分析】根据弧长公式
π
180
n r
l
计算即可．
【详解】解：∵
3 cm
OB
，
60
AOB
，
∴AB 的长为
60π
3
π
,
180
c m
．
5．如图，点A ，B ，C ，D 在
O 中，若BC
AD
，
(1)求证：AC
BD
；
(2)若
30
ACB
，
O 半径为1，则»
AB
______．
【答案】(1)见解析
(2) 3
【分析】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，弧长公式等知识点．
（1）由弧与弦的关系证明即可；
（2）连接
,
OA OB ，则由圆周角定理可得
2
60
AOB
ACB
，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵BC
AD
，
∴BC
AD
，
∴BC
AB
AD
AB
，
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∴AC
BD
，
∴AC
BD
；
（2）解：连接
,
OA OB ，
∵
30
ACB
，
∴
2
60
AOB
ACB
，
∴AB 的长为：60
1
180
3
，
故答案为：3
．
【易错警示】
计算弧长时易混淆弧长与扇形面积公式，记错公式系数。忽略公式中圆心角为度数且不带单位，误用半径
平方计算。未看清题目圆心角、半径条件，随意代值，同时容易遗漏整圆等分的特殊情况导致计算错误。
题型2 求扇形半径
6．在
O 中，如果108的圆心角所对的弧长是3πcm ，那么
O 的半径是（
）
A．4cm
B．5cm
C．8cm
D．10cm
【答案】B
【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式
π
180
n r
l
，即可求解出
O 的半径．
【详解】解：设
O 的半径为rcm，
∵
π
180
n r
l
，
108
n
，
3π
l
cm
，
代入公式得
108π
3π
180
r
，
解得
5
r
，即
O 的半径为5cm．
7．如图，PA ，PB 分别切
O 于点A，B，若
60
P
，AB 的长为10π ，则
O 的半径为（
）
A．10
B．15
C．20
D．30
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【答案】B
【分析】连接
,
OB OA，由切线定理及四边形内角和可得
120
AOB
，然后根据弧长计算公式进行求解即
可．
【详解】解：连接
,
OB OA，如图所示：
∵PA ，PB 分别切
O 于点A，B，
∴
90
PAO
PBO
，
∵
180
P
AOB
PAO
PBO
，且
60
P
，
∴
120
AOB
，
∵AB 的长为10π ，
∴120π
10π
180
r
，
解得：
15
r
．
8．一条弧所对的圆心角为135，弧长等于半径为3cm 的圆的周长的5 倍，则这条弧的半径为________．
【答案】40cm
【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结
果．
【详解】解：设这条弧所在圆的半径为rcm．
由题意得，135
2
3 5
180
r
整理得3
30
4
r
．
两边约去，解得
40
r
cm
．
9．图1 是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2 所示，PA ，PB 分别与
O 相切于点A，B，“不倒翁”
与水平面的接触点C 是ACB 的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B 的对应点B刚好与水平面接触，
如图3．若
30
P
，水平线上点C 与点B的距离为7
cm
4
，则ACB 所在圆的半径是_____cm ．
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【答案】3
【分析】连接
,
,
OA OB OC ，再根据题意可得
AOB
的度数，然后可得
1 360
105
2
BOC
AOB
，再
根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接
,
,
OA OB OC ，
设圆的半径为r，
∵PA ，PB 分别与
O 相切于点A，B，
∴
,
PA
OA PB
OB
，
∴
90
OAP
OBP
，
∵
30
P
，
∴
150
AOB
，
根据题意得：点C 为ACB 的中点，
∴
1 360
105
2
BOC
AOB
，
∵点C 与点B的距离为7
cm
4
，
∴CB 的长度为7
cm
4
∴105
7
180
4
r
，
解得：
3
r ，
即ACB 所在圆的半径是3cm ．
10．如图，AB 是
O 的直径，C 是
O 上一点，CD
AB
于点D ，延长AB 至点F ，使得
BCF
BCD
．
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(1)求证：CF 与
O 相切；
(2)若
30
F
，BC 的长为2 π
3
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
O 的半径为2
【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是
解题关键．
（1）连接OC ，先根据等腰三角形的性质可得
A
ACO
，根据圆周角定理可得
90
ACB
，再证出
ACO
BCD
BCF
，则可得
90
OCF
，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设
O 的半径为r ，连接OC ，先求出
60
COB
，再利用弧长公式求解即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接OC ，
∵OA
OC
，
∴
A
ACO
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
，
∴
90
A
ABC
，
∴
90
ACO
ABC
，
∵CD
AB
，
∴
90
CDB
，
∴
90
BCD
ABC
，
∴
ACO
BCD
，
∵
BCF
BCD
，
∴
ACO
BCF
，
又∵
90
ACO
OCB
ACB
，
∴
90
BCF
OCB
，即
90
OCF
，
∴OC
CF
，
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又∵OC 是
O 的半径，
∴CF 与
O 相切．
（2）解：设
O 的半径为r ，
如图，连接OC ，
∵
90
OCF
，
30
F
，
∴
60
COB
，
∵BC 的长为2 π
3
，
∴60π
2 π
180
3
r
，
解得
2
r
，
∴
O 的半径为2．
题型3 求圆心角
11．如图1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2 所示，它是以O
为圆心，OA
OB
，
长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为
2
16 πm
3
，若
5m
3m
OA
OB
，
，则扇面宣传
板所对的圆心角的度数为（
）
A．60
B．90
C．120
D．150
【答案】C
【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键；
利用
AOD
BOC
S
S
S
扇面宣传板
扇形
扇形
，再由扇形面积公式代值计算即可求解．
【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为n，
则
2
π 5
360
AOD
n
S
扇形
，
2
π 3
360
BOC
n
S
扇形
，
∵
16 π
3
AOD
BOC
S
S
S
扇面宣传板
扇形
扇形
，
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∴
2
2
π 5
π 3
16 π
360
360
3
n
n
，
解得
120
n
，
即扇面宣传板所对的圆心角为120，
故选：C．
12．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm 时滑轮的一条半径OA绕轴心O按
逆时针方向旋转的角度约为______．
【答案】108/108度
【分析】根据弧长公式
π
180
n r
l
，进行计算即可求解．
【详解】解：
10
6
180
n
，
解得：
108
n
．
13．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2 ，弧长为4
3
，则其圆心角为______．
【答案】120
【分析】根据弧长公式变形得到圆心角的计算式，代入已知量即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角度数为n ，已知扇形半径
2
r
，弧长
4
3
l
，扇形弧长公式为
180
n r
l
π ，
变形可得
180 l
n
r
，
将
2
r
，
4
3
l
代入得：
4
180
3
120
2
n
．
14．半径为6cm 的圆，一圆心角所对的弧长为6.28cm ，这个圆心角多少度？
【答案】60
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：
=6.28
180
n r
l
，
6
r
，
∴
180 6.28
60
3.14 6
n
．
∴这个圆心角为60．
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【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键．
15．物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径
12
OA
cm
，
当重物上升了6πcm ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则OA绕点O 按逆时针方向旋转的度数为（
）
A．60
B．80
C．90
D．100
【答案】C
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升6πcm时，即弧长是6πcm ，设旋转的角度是n，利用弧长
公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：设旋转的角度是n，滑轮的半径是
12
OA
cm
，
由题意得：π 12
6π
180
n
，
解得：
90
n
，
OA绕点O 按逆时针方向旋转的度数为90，
故选：C．
题型4 求某点的弧形运动路径长度
16．如图，Rt ABC 中，
90
C
，
3
AC
，
4
BC
，若以A 为旋转中心，将其按顺时针方向旋转60到AB C
位置，则B 点经过的路线长为（
）
A．π
B．
4
3
C．5
3
D．3
2
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出
5
AB
，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在Rt ABC 中，
90
C
，
3
AC
，
4
BC
，
∴
2
2
3
4
5
AB
，
∴B 点经过的路线长
60
5
5
180
3
l
．
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17．如图①，是风力发电场的外景，我国早在上世纪50 年代就开始了风力发电的尝试．记者从山西省农业
农村厅获悉，为进一步壮大农村集体经济、助力乡村振兴、山西省首批确定33 个风电项目作为“驭风行动”
助力乡村振兴工程试点项目，总规模151.74 万千瓦．如图②是“大风车”的示意图，当“大风车”静止时，点A
所在的旋转叶片与塔架垂直，当有风吹过，点A 所在的旋转叶片顺时针缓缓转动，已知旋转叶片的长度为
60 米，当点A 所在的旋转叶片第一次转动到与塔架重合时，所经过的路程是（
）
A．30π 米
B．60π 米
C．90π 米
D．120π 米
【答案】A
【分析】根据题意可得点A 所在的旋转叶片第一次转动到与塔架重合时，旋转的角度为90，用弧长公式计
算即可．
【详解】解：90
2 60
30
360
米．
18．图1为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图2 为其几何示意图．已知该盾构机前端的
刀盘直径16.6米，匀速旋转一周用时约45 秒，刀盘上的滚刀从A 开始，匀速旋转9秒后到达B 处，则此过
程中该滚刀所经过的路径AB 的长度为___ m ．（结果保留π）
【答案】83 π
25
【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：∵匀速旋转一周用时约45 秒，刀盘上的滚刀从A 开始，匀速旋转9秒后到达点B ，
∴
9
360
72
45
AOB
，
∴AB 的长度为
72
π 16.6
83
3.32π
π
360
25
m
．
19．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕点O旋转到A B
的位置，已知
3 m
AO
，若栏
杆的旋转角
50
AOA
，则点A 扫过的弧长为_____ m ．（结果保留）
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【答案】5
6 / 5
6
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意得，点A 扫过的弧长为
50
3
5
m
180
6
．
20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1 个单位长度，ABC 的三个顶点坐标分别为
( 1,1),
( 2,3),
( 5,2)
A
B
C
．
(1)画出ABC 关于原点对称的图形
1
1
1
A B C ；
(2)画出ABC 绕点O顺时针旋转90后得到的
2
2
2
A B C ；
(3)求点C 旋转到点
1
C 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
29
【分析】本题主要考查了利用关于原点对称作图，旋转变换作图和利用弧长公式计算弧长，熟练掌握网格
结构准确找出对应点的位置，准确运用弧长公式是解题的关键．
（1）根据“关于原点对称的点的横坐标和纵坐标互为相反数”找到对应的点，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出三角形三个顶点以点O为旋转中心顺时针旋转90后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用勾股定理求出OC 的长，再根据弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C 即为所求．
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（2）解：如图，
2
2
2
A B C 即为所求．
（3）解：∵
2
2
2
5
29
OC
，
∴点C 旋转到点
1
C 的过程中所经过的路径长180
29
29
180
．
题型5 求扇形面积
21．如图，正方形ABCD的边长为4，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧．则图中扇形的面积为（
）
A．
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】利用正方形和扇形面积公式求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴
90 ,
4
A
AD
AB
，
∴图中扇形的面积为
2
90π
4
4
360
．
22．如图，点A，B，C 是
O 上的三个点，
3
OB
OC
，
70
A
，则扇形BOC 的面积为（
）
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A．7 π
9
B．4 π
3
C．7 π
2
D．2π
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求出圆心角
BOC
的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：
A
与
BOC
是同弧所对的圆周角与圆心角，
70
A
，
2
140
BOC
A
，
3
OB
OC
，
扇形BOC 的面积
2
140 π 3
140 9π
7 π
360
360
2
．
23．如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2 所示，
45cm
AO
BO
，
20cm
CO
DO
，
72
AOB
，窗户能透光（阴影部分）的面积为________
2
cm ．（结果保留π）
【答案】325π
【分析】根据窗户能透光（阴影部分）的面积等于两扇形面积之差计算即可．
【详解】解：由图可知：窗户能透光（阴影部分）的面积为
2
2
2
2
2
72π
45
72π
20
45
20
325
360
360
5
cm
．
24．如图，
O 是ABC 的外接圆，BC 是
O 的直径，
=
B
CAD
．
(1)求证：AD 是
O 的切线；
(2)连接OA，若
30
B
，
3
AC
，求扇形OAC 的面积．
【答案】(1)见解析
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(2) 3
2
【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式；
（1）由BC 是
O 的直径，得到
90
BAC
，由OA
OB
得到
OAB
B
，进而得到
90
BAC
OAD
，
再利用切线的判定定理即可证明；
（2）根据圆周角定理得到
2
60
AOC
B
，进而推出OAC 是等边三角形，则
3
OA
AC
，再利用扇
形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OA，
∵BC 是
O 的直径，
∴
90
BAC
，
∵OA
OB
，
∴
OAB
B
，
∵
=
B
CAD
，
∴
OAB
CAD
，
∴
OAB
OAC
CAD
OAC
，
即
BAC
OAD
，
∴
90
OAD
，
OA 是
O 的半径，
∴AD 是
O 的切线；
（2）解：∵
30
B
，
∴
2
60
AOC
B
，
∵OA
OC
，
∴OAC 是等边三角形，
∴
3
OA
AC
，
∴扇形OAC 的面积
2
60
3
3
360
2
．
25．如图，在ABC 中，
90 ,
20
ACB
B
，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，连接CD，
且
4
AC
．
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(1)求AD 的长；
(2)求扇形ACD 的面积．
【答案】(1) 8π
9
(2)16π
9
【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键：
（1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出
ACD
的度数，再利用弧长公式进行计算即可；
（2）根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵在ABC 中，
90 ,
20
ACB
B
，
∴
70
BAC
，
∵以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，
∴AC
CD
，
∴
70
CDA
CAD
，
∴
180
2 70
40
ACD
，
∴
40
8
4
180
9
AD
l
π
π；
（2）解：由（1）知：
8
9
AD
l
π，
∴扇形ACD的面积
1
8π
16π
4
2
9
9
．
【易错警示】
计算扇形面积时，常混淆扇形面积与弧长公式，遗漏半径平方项。容易记错分母数值，误用圆心角公式。
未区分弧度与角度条件，盲目代入数据，忽视图形拆分拼接，导致面积计算出错、答案偏差。
题型6 求图形旋转后扫过的面积
26．一根长10cm的木棒，如果绕着它的一端旋转180，木棒扫过的面积是（
）
2
cm
A．100
B．50
C．25
D．12.5
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【答案】B
【分析】根据题意，绕木棒一端旋转180，木棒扫过的图形是半径为10cm的半圆，利用圆的面积公式计算
即可得到结果.
【详解】解：∵木棒长为10cm，绕一端旋转180，
∴扫过的图形是半径
10
r
cm
的半圆
∵圆的面积公式为
2
π
S
r
∴木棒扫过的面积为
2
2
1
1
10
100
50
cm
2
2
.
27．如图，在ABC 中，
90 ,
1,
3
ACB
BC
AC
，将ABC 绕着点A 逆时针旋转90得到ADE ，则图
中阴影部分的面积是（
）
A．π
2
B．π
3
2
2
C．π
4
D．π
3
4
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出AB 的长，再根据
ADE
ABC
BAD
ACE
S
S
S
S
S
△
△
阴影
扇形
扇形
进行求解即可．
【详解】解：∵在ABC 中，
90 ,
1,
3
ACB
BC
AC
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
，
由旋转的性质可得
90
ADE
ABC
S
S
BAD
CAE
△
△
，∠
∠
∴
ADE
ABC
BAD
ACE
S
S
S
S
S
△
△
阴影
扇形
扇形
BAD
ACE
S
S
扇形
扇形
2
2
90
3
90
2
360
360
4
，
故选：C．
28．如图，ABC 中，
50
ABC
，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到
A CB
V
，边A B
恰好经过点B ．若线
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段BC 扫过的图形面积为2π，则BC 的长为______．
【答案】3
【分析】根据旋转的性质可得CB
CB
，
50
A B C
ABC
，从而判断
CBB为等腰三角形，利用
三角形内角和定理求出旋转角
BCB
的度数，最后根据扇形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得：CB
CB
，
50
A B C
ABC
，
∵边A B
恰好经过点B ，
∴点B 在线段A B
上，
∴
50
CB B
A B C
，
∵CB
CB
，
∴
50
CBB
CB B
，
∴
180
180
50
50
80
BCB
CBB
CB B
，
∵线段BC 扫过的图形面积为2，
∴
2
80
2
360
BC
，
∴
3
BC （负值已舍）．
29．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转120得到A B C
，已知
3
AC
，
2
BC
，则线段AB 扫过的图形（阴
影部分）的面积为_______．
【答案】
5
3/ 5
3
【分析】本题主要考查了旋转的性质、扇形的面积公式，由旋转可知
120
ACA
BCB
，整个图形的面
积为：
3π
ABC
ABC
ACA
S
S
S
扇形
，
4 π
3
BCB
S
扇形
，根据
ACA
BCB
S
S
S
阴影
扇形
扇形
即可求出结果．
【详解】解：
将ABC 绕点C 顺时针旋转120得到A B C
，
120
ACA
BCB
，
整个图形的面积为：
2
2
120
1
π·
π
3
3π
360
3
ABC
ABC
ABC
ABC
ACA
S
S
AC
S
S
S
扇形
，
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CB
扫过的图形的面积为：
2
2
120
1
4
π
π
2
π
360
3
3
BCB
S
CB
扇形
，
由旋转可知ABC
A B C
≌
，
ABC
A B C
S
S
，
ABC
A B C
ACA
BCB
S
S
S
S
S
阴影
扇形
扇形
ACA
BCB
S
S
扇形
扇形
4
3π
π
3
5 π
3
．
30．如图，C 为半圆内一点，O为圆心，直径AB 长为2cm ，
60
BOC
，
90
BCO
，将BOC 绕圆心
O逆时针旋转至
B OC
△
，点C在OA上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为______
2
cm ．
【答案】π
4
【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含30度角的直角三角形的性质求出OC ，根据
B OC
BOC
B OB
C OC
B OB
C OC
S
S
S
S
S
S
扇形
扇形
扇形
扇形
计算即可．
【详解】解：
60
BOC
，
90
BCO
，
30
OBC
，
1
1
1
2
4
2
OC
OB
AB
，
则边BC 扫过区域的面积为：
B OC
BOC
B OB
C OC
B OB
C OC
S
S
S
S
S
S
扇形
扇形
扇形
扇形
2
2
1
120π
120π 1
π
2
=
360
360
4
故答案为：π
4 ．
题型7 求弓形面积
31．如图，在扇形MON 中，
105
MON
，P 为OM 边上一点且
2
OP
，连接PN ，将OPN 沿PN 折叠，
点O恰好落在MN 上的点Q 处，则阴影部分的面积为（
）
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A．2 π
2 3
3
B．2 π
3
3
C．4 π
2 3
3
D．4 π
3
3
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接OQ ，交PN 于点
S ，根据折叠得出
OQN
△
是等边三角形，进而得出POQ 是等腰直角三角形，求得半径，进而根据
OQN
OQN
S
S
S
阴影
扇形
即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OQ ，交PN 于点S
∵折叠，
∴OQ
PN
，ON
NQ
，
又∵OQ
ON
∴ON
OQ
QN
∴
OQN
△
是等边三角形，
∴
60
QON
∵
105
MON
，
∴
45
POQ
MON
QON
∵OQ
PN
，
∴
45
OPN
QPN
∴
90
OPQ
∴POQ 是等腰直角三角形，
∴
2
PO
PQ
，
∴
2
2 2
OQ
OP
∴
2
2
1
2,
6
2
OS
OQ
SN
ON
OS
∴
2
60
1
4
π
2 2
2 2
6
π
2 3
360
2
3
OQN
OQN
S
S
S
阴影
扇形
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故选：C．
32．如图，矩形ABCD中，
4 2
AB
，
2
AD
，以AB 为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（
）
A．4π
8
B．2π
4
C．4
8
3
3
D．2
4
3
3
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设CD与半圆O 交于点E，F，过点O 作OM
CD
于点M，则
2
OM
AD
，
1
1
4 2
2 2
2
2
OE
AB
，根据垂径定理可得
2
EF
EM
，FOM
EOM
，
再结合勾股定理可得OM
EM
，
2
4
EF
EM
，从而得到
90
EOF
，然后根据
EOF
EOF
S
S
扇形
，即可
求解．
【详解】解：如图，设CD与半圆O 交于点E，F，过点O 作OM
CD
于点M，则
2
OM
AD
，
1
1
4 2
2 2
2
2
OE
AB
，
∴
2
EF
EM
，
FOM
EOM
，
∴
2
2
2
EM
OE
EM
，
∴OM
EM
，
2
4
EF
EM
，
∴EOM 是等腰直角三角形，
∴
45
FOM
EOM
，
∴
90
EOF
，
∴图中阴影部分的面积是
2
90π
2 2
1
2 4
2π
4
360
2
EOF
EOF
S
S
扇形
．
故选：B．
33．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为2 dm
的圆形纸片剪出如图所示的图案，
其内部4 个小圆的半径都为1dm
，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____
2
dm ．
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【答案】
4π
8
/
8
4
【分析】根据题意，分别算出
2
1
2
AOB
S
dm
扇形
，
2
1
AOB
S
dm
，
4
ABCD
S
正方形
，4 个空白半圆的面积为
2
2
dm
，
结合图形即可求解．
【详解】解：根据题意，半径为
2
R
dm
的圆形纸片的面积为
2
4
dm
，内部4 个小圆的半径都为
1
r
dm
，
则内部4 个小圆的面积为
2
4
dm
，
如图所示，
根据剪纸中折叠的性质得到，AC
BD
，垂足为点O，四边形ABCD是正方形，过点O 作OE
AB
于点E，
圆心为点E，
∴
2
2
AB
r
dm
，则
1
AE
OE
dm
，
∴
2
2
1
1
π 1
2
2
AOB
S
dm
扇形
，
2
1
1
2 1
1
2
2
AOB
S
AB OE
dm
，
2
2
4
ABCD
S
正方形
，4 个空白半圆的面积
为
2
2
1
4
π 1
2
2
dm
，
∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：
2
4π
4
2π
2π
4 dm
，
∴在
E 中，弓形
,
OA OB 的面积为
2
1 π
1
2
AOB
AOB
S
S
dm
扇形
，
同理，大圆内4 个花瓣的面积和为
2
1
4
π
1
2π
4
2
dm
，
∴阴影部分的面积为
2
2π
4
2π
4
4π
8 dm
，即剪去空白部分，则剩下部分面积为
2
4π
8 dm
．
34．如图，ABC 内接于
O ，CD为
O 的切线，且CD
AB ，若
O 的半径为2，
60
CAB
，则图中
阴影部分的面积为______．
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【答案】4 π
3
3
【分析】连接
,
OA OC ，过点O 作OE
AC
于点E，由切线性质得OC
CD
，结合CD
AB 推出
120
AOC
．利用扇形面积公式得
4 π
3
AOC
S
扇形
，利用垂径定理和含30的直角三角形的性质算出AOC 面
积为3 ，二者作差即得阴影面积．
【详解】解：连接
,
OA OC ，过点O 作OE
AC
于点E，如下图，
∴OC
OA
，
CD 是
O 的切线，
OC
CD
，即
90
OCD
，
CD
AB ，
60
CAB
，
∴
180
120
ACD
CAB
，
∴
120
90
30
OCA
，
∵OC
OA
，
∴
30
OCA
OAC
，
∴
180
30
30
120
AOC
，
∵半径
2
r
，
∴
2
120
4 π
π
2
360
3
AOC
S
扇形
，
∵OE
AC
，且
2
OC
OA
，
30
OCA
，
∴
1
1
2
OE
OC
，
2
2
3
EC
OC
OE
AE
，
∴
1
1
2 3 1
3
2
2
AOC
S
AC OE
，
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∴
4π
3
3
AOC
AOC
S
S
S
阴影
扇形
．
35．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆
叫做这个三角形的“等弦圆”．
【问题解决】如图，
O 是ABC 的“等弦圆”，AD
AE
FG
，
，
是
O 截得的三条弦．
(1)求证：AO 平分
BAC
．
(2)若
90
BAC
，
4
FG
，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2π
4
【分析】（1）连接OD ，OE ，由AD
AE
，OD
OE
，OA
OA
，可得
SSS
AOD
AOE
△
≌△
，得出
OAD
OAE
，即可得证；
（2）连接OF ，OG ，由AO 平分
BAC
，
90
BAC
可得
90
AOE
，由AE
FG
可得AE
FG
，进而
得出
90
FOG
AOE
，从而得出
OFG
△
是等腰直角三角形，可求出
2
2 2
2
OF
FG
，最后由
FOG
FOG
S
S
S
△
阴影
扇形
即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接OD ，OE ，如图所示，
∵AD
AE
，
又
OD
OE
，OA
OA
，
SSS
AOD
AOE
△
≌△
，
OAD
OAE
，
AO
平分
BAC
．
（2）解：由（1）得AO 平分
BAC
，
∵
90
BAC
1
45
2
OAE
BAC
，
OA
OE
，
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45
AEO
OAE
，
90
AOE
，
连接OF ，OG ，如图所示，
AE
FG ，
F
AE
G
，
90
FOG
AOE
，
OF
OG
，
∴
OFG
△
是等腰直角三角形，
又∵
4
FG
，
2
2 2
2
OF
FG
，
2
2
90
1
π
2 2
2 2
2π
4
360
2
FOG
FOG
S
S
S
阴影
扇形
．
题型8 求其他不规则图形的面积
36．如图，在菱形ABCD中，
4
AB
，
60
A
，点E 是AB 上一点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，该弧
与AD ，CD相切，切点分别为G 和H ，且与边BC 相交于点F ，则阴影部分的面积为（
）
A．2 3
π
B．4 3
2π
C．6 3
3π
D．12 3
4π
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质、切线、特殊角的三角函数以及扇形面积，连接BG ，BH ，先求出
,
BG BH ，
进而得到两个三角形的面积，再计算扇形GBH 的面积，用菱形面积减去这三个面积即为阴影面积．
【详解】解：连接BG ，BH ，
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弧与AD 相切，
BG
AD
，
即
90
AGB
，
4
AB
，
60
A
，
3
sin
4
2 3
2
BG
AB
A
，
1
cos
4
2
2
AG
AB
A
，
180
30
ABG
AGB
A
，
同理
2 3
BH
，
2
CH
，
30
CBH
，
ABCD 是菱形，
4
AD
AB
，
180
120
B
A
，
菱形ABCD的面积为：
4 2 3
8 3
AD
BG
，
60
GBH
ABC
ABG
CBH
，
1
1
2
2 3
2 3
2
2
ABG
S
AG
BG
，
同理，
1
2 3
2
CBH
S
CH
BH
，
2
60
π
12
2
360
6
GBH
S
BG
扇形
，
阴影部分的面积为：
8 3
2 3
2 3
2 π
4 3
2
AGB
CHB
ABCD
GBH
S
S
S
S
菱形
扇形
．
37．如图是以AB 为直径的半圆O，分别以A ，B 为圆心，以AB 的长为半径作弧，两弧交于点C ，若
2
AB
，
则图中阴影部分的面积为________．
【答案】5 π
3
6
【分析】连接
,
,
AC BC CO ，根据作图可知ABC 是等边三角形，得到
60
CAB
CBA
，
2
AC
BC
AB
，
CO
AB
，进而得到
1
AO ，根据勾股定理求出
3
CO
，根据
ABC
BAC
ABC
S
S
S
S
S
阴影
半圆
扇形
扇形
计算即可．
【详解】解：连接
,
,
AC BC CO ，
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∵分别以点A、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C，
∴AC
BC
AB
，
∴ABC 是等边三角形，
∴
60
CAB
CBA
，
2
AC
BC
AB
，CO
AB
，
∴
1
AO
AB
1
2
，
∴
3
CO
，
∴
ABC
BAC
ABC
S
S
S
S
S
阴影
半圆
扇形
扇形
2
2
2
60π 2
60π 2
1
1
2
2
3
π
360
360
2
2
2
5 π
3
6
．
38．在如图所示的4
4
网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D 均在小正方形的顶点上，连
接AC 和BD 交于点E，分别过点A，E，B 和点B，E，C 作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】7
3
4
【分析】连接BC ，标记字母F，H．易证
AFC
BHD SAS
≌
，得出
FAC
HBD
，求出
90
BEA
，
从而可得AB ，BC 分别为AEB ，BEC 所在圆的直径，由网格特点可得
3
AB
，
2
FC
，
1
BF ，
90
F
，
则
5
BC
，最后由
ABC
AEB
BEC
S
S
S
S
半圆
半圆
阴影
计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接BC ，标记字母F，H．
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由网格特点可得
4
AF
BH
，
2
CF
DH
，
90
AFC
BHD
，
∴
AFC
BHD SAS
≌
，
∴
FAC
HBD
，
∴
90
BEC
FAC
ABE
HBD
ABE
ABH
，
∴
90
BEA
，
∴AB ，BC 分别为AEB ，BEC 所在圆的直径．
由网格特点可得
3
AB
，
2
FC
，
1
BF ，
90
F
，
∴
2
2
2
2
2
1
5
BC
BF
CF
，
∴
2
2
5
3
2
1
7
2
3 2
π
3
2
2
2
4
ABC
AEB
BEC
S
S
S
S
阴影
半圆
半圆
．
39．如图，Rt ABC 中，
90
ACB
，
2
BC
，
3
AC
，以A 为圆心，AB 的长为半径的弧交AC 的延
长线于点E，以B 为圆心，AB 的长为半径的弧交BC 的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】5 π
6
4
【分析】求解
5
AB
，
90
ABC
CAB
，利用阴影部分的面积等于两个扇形面积之和减去三角形ABC
面积的2 倍即可得到答案．
【详解】解：∵
90
ACB
，
2
BC
，
3
AC
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
，
90
ABC
CAB
，
设
ABD
n
，
BAE
m
，
∴
1
6
2
3
2
2
ABC
S
△
，
2
π
5
360
ADB
n
S
扇形
，
2
π
5
360
AEB
m
S
扇形
，
∴图中阴影部分的面积为
2
π
5
2
360
ABC
n
m
S
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5π
6
90
2
360
2
=
´
-
´
5π
6
4
=
-
．
40．如图，在
O 中，CA
CB
，以AB 、BC 为边作平行四边形ABCD，AD 与
O 交于点E ．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
O 的半径为1，且
45
ACB
，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)证明：连接CO并延长，交AB 于点F ，连接
,
OA OB ，
CA
CB
，OA
OB
CO
垂直平分AB
90
BFC
ABCD 为平行四边形
AB
CD
90
DCF
BFC
OC
CD
OC 是圆O的半径，
CD
为圆O的切线
(2)
2
1
π
2
4
S
阴影
【分析】（1）连接CO并延长，交AB 于点F ，根据
CA
CB
，OA
OB
得出CO垂直平分AB ，根据平行
四边形的形状可得
90
DCF
BFC
，即可得证；
（2）连接OE ，根据圆周角定理可得
90
EOC
，进而勾股定理求得AB ，根据
COED
OCE
S
S
S
阴影
梯形
扇形
，
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接OE ，连接
,
OA OB ，
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ABCD 为平行四边形
45
EAC
ACB
90
EOC
2
90
AOB
ACB
2
2
2
AB
OA
OB
2
CD
AB
2
1
90
2
1
π
π 1
2
360
2
4
COED
OCE
S
S
S
OE
CD
OC
阴影
梯形
扇形
【易错警示】
求解圆相关不规则图形面积时，常用割补、和差法，易错直接套用基础公式。常看错组合图形构成，重复
或遗漏重叠区域面积，变换图形思路混乱，计算步骤出错，最终导致不规则阴影面积求解结果偏差。
题型9 求圆锥的侧面积
41．某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（
）
A．4 10 π
B．60π
C．15π
D．8π
【答案】A
【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥．
圆锥的高
6
h
，底面直径为4 ，因此底面半径
2
r
．
根据勾股定理，圆锥的母线长
2
2
2
2
2
6
2 10
l
r
h
．
圆锥侧面积公式为
π
S
rl
侧
，代入数据得：
π
2 2 10
4 10
S
侧
，
对应选项A．
42．如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为_____．
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【答案】60π
【分析】由三视图得出该几何体为圆锥，圆锥侧面展开图为扇形，然后利用扇形面积和弧长关系求解．
【详解】解：通过三视图可知该几何体为圆锥，
底面圆的半径为
1 12
6
2
r
，
底面圆的周长为2π 6
12
，
侧面扇形的弧长等于底面圆的周长12，
根据勾股定理可得母线长为
2
2
8
6
10
R
，
∴该几何体的侧面积为1 12π 10
60
2
．
43．草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、
结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴
素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为50cm、高
为40cm 的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小
涵计算所需扇形卡纸的面积为_______cm²．(结果含π)
【答案】1500
【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧
长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由圆锥母线长50cm、高40cm ，得底面半径为
2
2
50
40
30cm
，
底面周长为2
30
60 cm
，
扇形弧长公式为π 50
60π
180
n
，
化简得5
60
18
n
，
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解得
216
n
，
∴扇形卡纸的圆心角的度数为216，
∴面积为：
2
2
216
50
1500 cm
360
．
44．某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．
(1)根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、
“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）；
(2)请根据图中所给数据（单位：dm ）求每顶帐篷的表面积．
【答案】(1)圆柱，圆锥；
(2)每顶帐篷的表面积为
2
960 dm
．
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据三视图即可判断几何体；
（2 ）根据三视图得圆锥的母线长为24dm ，底面圆的半径为15dm ，圆柱的高为20dm ，然后分别求出圆锥
的侧面积，圆柱的侧面积，最后相加即可．
【详解】（1）解：根据三视图确定此款帐篷可以看作由圆柱和圆锥组合而成的几何体，
故答案为：圆柱，圆锥；
（2）解：根据三视图得圆锥的母线长为24dm ，底面圆的半径为15dm ，圆柱的高为20dm ，
∴圆锥的侧面积
2
15 24
360
dm
，圆柱的侧面积
2
2
15 20
600
dm
，
∴每顶帐篷的表面积
2
360
600
960
dm
，
答：每顶帐篷的表面积为
2
960 dm
．
45．图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为__________
2
cm ．（结果保留π）
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【答案】96π
【分析】本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积，解决本题的关键是抓住圆锥中的相等关系解决问
题．由已知三视图中标识的数据，我们易判断圆锥的底面直径为12cm，高为8cm ，利用勾股定理求得母线
长为10cm，代入圆锥表面积公式，即可求出答案．
【详解】解：由三视图可知该几何体为圆锥，底面直径为12cm，高为8cm ，
由勾股定理可知，母线
2
2
1
8
12
10cm
2
l
，
则该几何体的表面积
2
2
2
6 10
6
96 cm
rl
r
，
故答案为：96．
【易错警示】
计算圆锥侧面积时，极易混淆底面半径与母线长，错用底面半径代入公式。无法对应圆锥与侧面扇形的关
系，记错扇形弧长与底面周长的等量关系，常混淆侧面积与全面积公式，多加底面积，造成解题失误。
题型10 求圆锥底面半径
46．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为60的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为
__________．
【答案】5
6
【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径，圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，利用弧长公式建
立方程求解即可．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为r ，圆锥的母线长为5，即侧面展开图扇形的半径为5，
扇形的弧长为60
5
π
5
180
3
，
圆锥底面圆的周长为2πr ，
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根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，可得
5
2π
3
r
，
解得
5
6
r
．
47．如图，从一块直径是1m 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆
锥，圆锥的底面圆的半径是______．
【答案】
2
8 m
【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得．
【详解】解：∵
O 的直径为1m ，则半径是：1
2 m ，
∴
2
1
π
2
4
O
S
，
连接BC 、设BC 的中点为O，连接AO ，根据题意知BC
AO
，
∵
90
BAC
,
∴BC 是直径，
∴
1
2
AO
BO
m
，
在Rt ABO 中，
2
2
2
2
AB
OB
OA
，
即扇形的对应半径
2
2
R
，
弧长
2
90π
2
2
180
4
l
，
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设圆锥底面圆半径为r，则有
2
2π
4
r
，
解得：
2
8
r
m
．
48．小刚用一张半径为15cm 的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥
形小丑帽子的底面半径为6cm ，那么这张扇形纸板的面积是________
2
cm ．
【答案】90
【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，先求出圆锥底面周长得到
扇形弧长，再利用扇形面积公式计算即可；
【详解】解：根据圆的周长公式，可得圆锥形帽子底面周长为：
2π
2 π 6
12π cm
C
r
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，因此扇形的弧长
12πcm
l
，已知扇形半径
15cm
R
根据扇形面积公式
1
2
S
lR
，得：
2
1 12π 15
90πcm
2
S
；
49．如图在半径为3 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60的扇形（图中的阴影部分）．
(1)求这个扇形的半径；
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【答案】(1)3 3
(2)
3
2
【分析】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练
掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
（1）连接BC ，OB ，OC ，过点O 作OD
BC
，垂足为D，得到
120
BOC
，
30
OBC
OCB
，
根据垂径定理，求得
2
BC
BD
，判定ABC 是等边三角形，利用勾股定理计算即可．
（2）设圆锥底面圆的半径为r ，根据题意，得60
π
3 3
2π
180
r
，计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接BC ，OB ，OC ，过点O 作OD
BC
，垂足为D，
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∵
60
BAC
，
3
OB
OC
，AB
AC
，
∴
120
BOC
，
30
OBC
OCB
，ABC 是等边三角形，
∴
2
2
3
2
2
3
3 3
2
BC
BD
，AB
BC
AC
，
∴这个扇形的半径为3 3 ；
（2）解：设圆锥底面圆的半径为r ，
根据题意，得60
π
3 3
2π
180
r
，
解得
3
2
r
．
故圆锥底面圆的半径为
3
2
．
50．如图，用一个半径为30cm，面积为
2
300πcm 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径r ．
【答案】(1)120
(2)10cm
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．
（1）设扇形的圆心角的度数为n，根据扇形的面积公式S
2
nπr
360
列方程求解即可；
（2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可．
【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为n，
则
2
π 30
300π
360
n
，
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解得
120
n
，
答：扇形圆心角的度数为120；
（2）解：
侧面积为
2
300πcm ，母线长为30cm，
π
30
300π
r
，
10
r
，
答：圆锥的底面半径为10cm．
题型11 求圆锥的高
51．用一个圆心角为120，半径为3 的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（
）
A．4
3
B．1
C．2 2
D．2 3
【答案】C
【分析】利用扇形弧长等于圆锥底面周长，先求出圆锥底面半径，再用勾股定理计算圆锥的高。
【详解】解：
扇形的圆心角为120，半径为3，根据扇形弧长公式
180
n R
l
，
120π 3
2
180
l
，
设圆锥底面半径为r ，
扇形弧长等于圆锥底面周长，
2π
2
r
，
解得
1
r ，
圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为3，
由勾股定理得圆锥的高：
2
2
3
1
8
2 2
h
.
52．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6 ，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一
个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（）
A．2
B．4 2
C．8
D．8 2
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底
面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：多边形ABCDEF 是正六边形，
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6
2
180
120
6
FAB
，
6
AB
AF
，
阴影扇形的弧长
120
6
4
180
l
，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，
圆锥底面圆的周长为4，设圆锥底面半径为r ，则2
4
r
，
解得
2
r
；
圆锥的母线长为6 ，底面半径为2 ，
圆锥的高
2
2
6
2
32
4 2
h
．
53．如图，如果从半径为10cm的圆形纸片上剪去1
5 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处
不重叠），那么这个圆锥的高是_____cm ．
【答案】6
【分析】先根据扇形弧长等于圆锥底面周长计算出圆锥底面的半径，再画出圆锥的截面图，使用勾股定理
计算出圆锥的高．
【详解】解：设圆锥底面的半径为rcm，
由题意可知，
4
2π
2π 10
5
r
，
解得
8
r
，
圆锥的截面图如图所示，
由圆锥的性质可知，
8
OA ，
10
AC
，OC
AB
，
在Rt OAC 中，
2
2
2
2
10
8
6
OC
AC
OA
，
∴圆锥的高为6cm ．
54．如图，扇形的圆心角为60，其弧长是4πcm．
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(1)求此弧所在圆的半径长；
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高OD 是_______cm ．
【答案】(1)12cm
(2) 2 35
【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识，
（1）设此弧所在圆的半径长为rcm，根据弧长公式可得60
2
4
360
r
，求解即可；
（2）结合（1）可知
12cm
DE
，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为acm ，根据圆的周长公式解得a 的值，
进而可得
2cm
OE
，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为rcm，
根据题意，可得60
2
4
360
r
，
解得
12
r
cm ；
（2）如图，结合（1）可知
12cm
DE
r
，
设这个扇形制作成的圆锥底面半径为acm ，
则有2
4
a
，解得
2
a
cm
，即
2cm
OE
，
∴
2
2
2
2
12
2
2 35cm
OD
DE
OE
．
故答案为：2 35 ．
55．已知一个扇形的圆心角是216，半径l 是10cm．
(1)求这个扇形的面积：
(2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h 是多少?
【答案】(1)
2
60πcm
S
扇形
(2)这个圆锥的高h 是8cm
【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键．
（1）利用扇形面积公式计算即可；
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（2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）解∵扇形的圆心角为216，半径为10cm，
∴
2
2
216π 10
60πcm
360
S
扇形
．
（2）扇形所对的弧长为216π 10
12πcm
180
．
设圆锥底面圆的半径为rcm，
∴2π
12π
r
，
∴
6
r
，
∴
2
2
2
2
10
6
8cm
h
l
r
，
∴这个圆锥的高h 是8cm ．
题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角
56．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（
）度
A．90
B．100
C．120
D．105
【答案】B
【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，
列方程求解即可．
【详解】解：设侧面展开图的圆心角为n，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径
2.5
r
，母线长
9
l
，
∴圆锥底面周长
2π
2π 2.5
5
C
r
，扇形弧长公式为π
180
n l ，据此列方程得
π 9
5π
180
n
，
解得
5 180
100
9
n
，
∴圆心角为100．
57．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为32cm，
母线长为30cm，则扇形纸片的圆心角为（
）
A．86
B．144
C．150
D．192
【答案】D
【详解】解：
圆锥底面圆直径为32cm，
圆锥底面圆周长
π 32
32πcm
C
，
扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长30cm
设扇形圆心角为n，根据扇形弧长公式
180
n R
l
，可得：
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π 30
32π
180
n
解得
192
n
，
扇形纸片的圆心角为192．
58．一个圆锥的底面圆半径是1，高为2 2 ，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（
）
A．60
B．90
C．120
D．150
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形
弧长公式列方程求解圆心角度数．
【详解】解：圆锥底面半径
1
r ，高
2 2
h
，
由勾股定理得圆锥母线长
2
2
2
2
1
2 2
3
l
r
h
．
∵圆锥底面圆周长
2
2
1
2
C
r
，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，
设扇形圆心角度数为n ，
则
3
2
180
n
，
解得：
120
n
，
即圆心角度数为120．
59．如图，ABC 是一个圆锥的主视图，若
3
AB
AC
，
2
BC
，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角
．．．是
_______．
【答案】120
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可求
得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【详解】解：∵
2
BC
，
∴圆锥的底面周长为2π，
设扇形的圆心角为n，
∴π
3
2π
180
n
，
解得
120
n
．
故这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为120．
60．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级
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学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，
底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ．
【答案】200
【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【详解】解：设圆心角为n，
∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm，
∴
36
2π
20
180
n
，
解得：
200
n
，
∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为200．
题型13 圆锥的实际问题
61．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（）
A．
1
2
B．1
3
C．π
12
D．π
6
【答案】C
【分析】设正方体棱长为a ，分别计算正方体体积和最大圆锥的体积，再求圆锥体积与正方体体积的比值即
可得到结果。
【详解】解：设正方体的棱长为a ，
∴
3
V
a
正方体
，
∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长，
∴圆锥底面半径
2
a
r
，圆锥高h
a
，
∴
2
2
3
1
1
3
2
3
4
12
a
a
V
a
a
a
圆锥
，
∴
3
3
12
12
a
V
V
a
圆锥
正方体
，
即圆锥的体积占正方体体积的12
．
62．如图，矩形纸片ABCD中，
12
AD
cm
，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出
扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（
）
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A．6cm
B．7cm
C．8cm
D．9cm
【答案】C
【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底
面圆的周长．设AB 的长为x cm ，进而得到
12
DE
x
cm ，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等
式求解，即可解题．
【详解】解：设AB 的长为x cm ，
四边形ABFE 为正方形，
则AE
x
cm ，
90
B
，
12
AD
cm
，
12
DE
x
cm ，
扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
90
12
180
x
x
，
解得
8
x
cm ，
故选：C．
63．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500t ，相当于排开
3
67500m 的水．若已知圆锥体体积可近似
看成
2
V
r h
，那么当这些水恰好充满高为27m 的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为__________ m ．（
取3）
【答案】300
【分析】本题考查弧长的计算，圆锥端点体积公式等知识，利用公式求出r ，可得结论．
【详解】解：
2
V
r h
，
3
67500m
V
，
27m
h
，
∴
67500
50 m
27
V
r
h
，
圆锥展开后的扇形弧长
2
300 m
r
．
故答案为：300．
64．如图漏斗，圆锥形内壁的母线OB 长为6cm ，开口直径为6cm ．
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（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________cm ；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________．
【答案】
3 3
180/180 度
【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可；
（1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可．
【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为6
3
2
cm
，
∴圆锥的高为
2
2
6
3 =3 3cm
；
即：水深3 3 cm；
故答案为：3 3 ；
（2）由题意，得：
6
6
180
n
，
∴
180
n
，
∴展开滤纸的圆心角为180；
故答案为：180．
【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解
题的关键．
65．综合与实践
（主题）滤纸与漏斗
（素材）如图甲所示：
1：一张直径为10cm 的圆形滤纸；
2：一只漏斗口直径与母线均为7cm 的圆锥形过滤漏斗．
（实践操作）
步骤1：取一张滤纸；
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步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中．
（实践探索）
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π）
【答案】(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析
(2) 25π
2
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长
的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积．
（1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致；
（2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为5cm
的半圆，计算其面积即可．
【详解】（1）解：能；理由如下：
设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为n．
∵漏斗口直径与母线均为7cm ，
∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为5cm ，
π
5
5
180
n
，解得
180
n
．
正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁；
（2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为5cm 的半圆，
∴侧面积为半圆的面积，即：
2
2
1
25π
π
5
2
2 cm
．
题型14 圆锥侧面上最短路径问题
66．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周
后回到点A 的最短路程是（
）
A．12
B．18
C．12 2
D．24
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【答案】C
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心
角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接AA，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段AA的长度．
由题意知，
12
OA
OA
，
2π 3
6
AA
l
，
设
AOA
n
，根据弧长公式可求
6π 180
90
12
n
，
则最短路程为：在Rt AOA中，
2
2
12 2
AA
OA
OA
．
67．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从B 点爬到AC 的中点D ，最短
路径长是（
）cm
A．3 3
B．2 2
C．2 3
D．2 5
【答案】D
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图
圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵底面圆半径为2，
底面周长为2π
4π
r
，
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n，
根据题意有：π
4
π
4
180
n
，
解得：
180
n
，如图，
∴AB
AC
，且BD 为最短路径．
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圆锥的母线长为4 ，
1
4,
2
2
AB
AD
AC
，
∴
2
2
4
2
2 5
BD
，
故最短路径长是2 5 ．
故选：D．
68．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC 的边长为6m，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在吃粮
食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面P 处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是________________m．
【答案】3 5
【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开
后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为180，即圆锥侧面展开为半圆．B点正好在半圆的中点处，
由此得B AP
为直角三角，根据勾股定理即可求出B P
的长，即小猫所经过的最短路径．
本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
【详解】
ABC 为正三角形，
6
BC
，
2
3
6
l
，
∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
6
6
180
n
，
180
n
，则
90
B AC
，
36
9
3 5
B P
（m），
故答案为：3 5 ．
69．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
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【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，
8
AB
cm
，
8cm
l
，C 是PB 的中点，现要从点A 到点C 再到点A 之
间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】8 5 cm
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根
据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：
8 cm
AB
，
4 cm
r
．
2
1
2
2
360
n l
r l
，
360
360
4
180
8
r
n
l
．
将圆锥侧面展开后得到圆心角为180 的扇形，如下图所示：
由图可知，
1 180
90
2
A PC
．
8 cm
PA
PB
，
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1
4 cm
2
PC
PB
．
在Rt A PC
中，由勾股定理，得A C
'2
2
2
2
8
4
4 5 cm
PA
PC
．
彩带长度的最小值为2
8 5 cm
A C
．
70．综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，
6
AB
cm
，
6
l
cm
，C 是PB 的中点，现要从点A 到点C 再到点A 之间拉一条装饰
彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】6 5cm
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根
据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵
6
l
cm
，
3
r
cm
，
∴
360 3
180
6
n
．
∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180，如图所示．
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∴
1 180
90
2
A PC
．
∵
6cm
PA
PB
，
∴
1
3cm
2
PC
PB
．
∴在Rt A PC
中，由勾股定理得
2
2
2
2
6
3
3 5 cm
A C
PA
PC
．
∴彩带长度的最小值为2
6 5cm
A C
．
1．若扇形的半径为3，圆心角是120，则此扇形的弧长为（
）
A．2π
B．3π
C．4π
D．6π
【答案】A
【详解】解：∵扇形的半径为3，圆心角是120，
∴此扇形的弧长为120
π
3
2π
180
．
2．如图1 是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2 所示是一条圆弧AB ，圆弧的半径
10 cm
OA
，圆心角
90
AOB
，则弧AB 的长是（
）
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A．2π cm
B．5π cm
C．10πcm
D．20πcm
【答案】B
【分析】根据弧长公式
π
180
n R
l
，将半径
10
R
和圆心角
90
n
代入计算即可求解．
【详解】解：∵圆弧的半径
10
OA
cm
，圆心角
90
AOB
，
∴弧AB 的长
90π 10
5π cm
180
l
．
3．一个扇形的半径是1，弧长是6
，那么此扇形的圆心角的大小为（
）．
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】A
【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式
π
180
n r
l
即可求解圆心角度数．
【详解】解：设此扇形的圆心角为n，
∵扇形半径
1
r ，弧长
6
l
，
∴
π 1
π
180
6
n
，
解得
30
n
，
∴此扇形的圆心角为30．
4．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为120，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积
为4π平方米，则这个扇形的半径是（
）
A．
6 米
B．2 2 米
C．10 米
D．2 3 米
【答案】D
【分析】已知扇形的圆心角和面积，利用扇形面积公式即可计算出半径，得到正确选项.
【详解】设该扇形的半径为R 米，
∵扇形面积公式为
2
π
360
n R
S
扇形
，本题中
120
n
，
4π
S
扇形
，
∴代入公式得
2
120π
4π
360
R
，
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化简得
2
π
4π
3
R
，
等式两边同时除以π，得
2
4
3
R
，
整理得
2
12
R
，
∵半径为正数，
∴
12
2 3
R
米，
故选：D．
5．苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖
雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形OBC 和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角
108
O
，已
知
100
40
OA
cm
OB
cm
，
，则该砖雕的面积为（
）
A．
2
6400 cm
B．
2
900 cm
C．
2
5500 cm
D．
2
2520 cm
【答案】D
【分析】解题的关键是掌握扇形面积公式
2
π
360
n r
S
，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解．
【详解】解：由题意可知，该砖雕的面积等于扇形OAD 的面积减去扇形OBC 的面积，
圆心角
108
O
，
100cm
OA
，
40
OB
cm
，
该砖雕的面积为：
OAD
OBC
S
S
S
扇形
扇形
2
2
108
108
360
360
OA
OB
2
2
108
(100
40 )
360
3
(10000 1600)
10
3
8400
10
2
2520 (cm )
．
故选：D．
6．小红在一张边长为2dm 的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼
帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（
）
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A．
2 dm
B．1dm
C．
2
2 dm
D．1
2 dm
【答案】D
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题
的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解．
【详解】解：由题意得：扇形的半径R 等于正方形的边长，即
2dm
R
，圆心角
90
n
，
扇形的弧长为
90π 2
π dm
180
l
，
设圆锥底面圆的半径为r ，
圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
2π
π
r
，
1 dm
2
r
．
7．如图，从一个边长是8 的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，
这个圆锥的底面半径为（
）
A．4
3
B．8
3
C．16
3
D．3
8
【答案】B
【分析】先求出正六边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求出底面半径．
【详解】解：
六边形ABCDEF 是正六边形，
(6
2) 180
120
6
BAF
，
则弧BF 的长为120
8
16
180
3
，即圆锥底面周长为16
3 ，
设圆锥底面半径为r，则
16
2
3
r
，
∴
8
3
r
，
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圆锥底面半径为8
3 ．
8．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区
转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象
为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去
（底面不铺）．若油毡纸的价格为30 元/
2
m ，则买油毡纸要花费的费用至少为（
）
A．8.4 元
B．17 元
C．34 元
D．50 元
【答案】C
【分析】过点A 作AD
BC
于点D ，根据等腰三角形的性质以及勾股定理先求解圆锥的母线长，再求出圆
柱和圆锥的侧面积，即可得到油毡纸的面积，即可求解费用．
【详解】解：过点A 作AD
BC
于点D ，
由题意得，
,
0.8m,
0.2m
AB
AC BC
BE
，
∴
0.5
0.2
0.3m
AD
，
1
0.4m
2
DB
BC
，
∴
2
2
0.5m
AB
AD
BD
，
∴
2
2
0.8
2
0.2
0.16π m
S
圆柱侧面积
，
2
0.4 0.5
0.2π m
S
圆锥侧面积
∴买油毡纸要花费的费用
0.16
0.2
30
10.8
34
（元）．
9．如图1 是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2 所示，剑架的
弧形部分可看作一段圆弧，AB 所在圆的圆心为点O，弦AB 的长为40cm ，过点O作OC
AB
，垂足为点C ，
且OC
AC
，则AB 的长为（
）
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A．20 2π cm
B．10 2π cm
C．200π cm
D．400π cm
【答案】B
【分析】根据垂径定理得到
1
20
2
AC
BC
AB
cm
，结合题意得到
,
AOC
BOC 是等腰直角三角形，则
20 2
AO
cm
，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：弦AB 的长为40cm ，过点O作OC
AB
，垂足为点C ，
∴
1
20
2
AC
BC
AB
cm
，
∵
,
OC
AC OC
AB
，
∴
,
AOC
BOC 是等腰直角三角形，
∴
45
COA
CAO
COB
CBO
，
2
20 2
AO
AC
cm
，
∴
90
AOB
，
∴
90π
20 2
10 2
180
AB
l
cm
．
10．如图，AB 为
O 的直径，过点A 的
O 的切线与半径OC 的延长线交于点P ．若
6
AB
，
B
P
，
则图中阴影部分的面积为（
）
A．9 3
B．3 3
3
C．9 3
3
4
D．9 3
3
4
2
【答案】D
【分析】连接AC ，根据切线的性质，圆周角定理推出ABC 为含30 度角的直角三角形，求出
,
AC BC 的长，
根据阴影部分的面积等于
OBC
AOC
S
S
扇形
，进行求解即可.
【详解】解：连接AC ，
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∵AB 为
O 的直径，过点A 的
O 的切线与半径OC 的延长线交于点P ，
∴
90 ,
90
ACB
OAP
，
∴
90
B
CAP
BAC
，
∵
B
P
，
∴
CAP
P
，
∴
2
2
OCA
P
CAP
P
B
，
∵
1
3
2
OA
OB
OC
AB
，
∴
OCB
B
，
1
2
OBC
ABC
S
S
，
∴
3
90
ACB
OCA
OCB
B
，
∴
30
B
，
∴
1
3,
3
3 3
2
AC
AB
BC
AC
，
2
60
AOC
B
，
∴阴影部分的面积为
2
1
1
1
60π
9 3
3
3 3 3
3
π
2
2
2
360
4
2
OBC
ABC
AOC
AOC
S
S
S
S
扇形
扇形
.
11．一个扇形的半径是3，面积为6，那么这个扇形的圆心角的度数是______．
【答案】240
【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角．
【详解】解：设该扇形的圆心角为n，已知扇形半径
3
r ，面积
6
S
，
根据扇形面积公式
2
π
360
n r
S
扇形
，得
2
π 3
6π
360
n
，整理得9 π
2160
n
，解得：
240
n
，
即这个扇形的圆心角是240．
12．图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形AOB 的面积．已知
3cm
OA
，
150
AOB
，则该银杏叶的面
积约为_________
2
cm ．（结果保留π）
【答案】15
4
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案．
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【详解】解：扇形的面积
(
)
2
2
36
150
3
15
cm
4
0
p
p
´
=
=
．
13．如图，点C 在直径AB 的延长线上，CD与半圆O 相切于点D，
30
C
，
4
OC
，则弧BD 的长度为
________．（结果保留π）
【答案】2
3
/ 2
3
【分析】由切线的性质得到
90
ODC
，从而得到
60
COD
，根据直角三角形的性质得到
2
OD
，再
利用弧长公式即可求解．
【详解】解：连接OD ，如图：
∵CD与半圆O相切，
∴
90
ODC
，
∵
30
C
，
4
OC
，
∴
1
2
2
OD
OC
，
90
60
BOD
C
，
∴BD的长度
60
2
2
180
3
．
14．小红要用彩色卡纸做一个圆锥形展示模型，根据需要，圆锥模型的底面半径为3cm ，模型的母线长为5cm，
则小红做的圆锥形模型的侧面积是________．
【答案】
2
15πcm
【详解】解：小红做的圆锥形模型的侧面积
2
π
3 5
15π cm
．
15．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林围墙上的花窗（如图1），其形状是扇形的一部分（如图2 所示，阴
影部分为花窗），若
60
BOD
，
6dm
AB
，
2πdm
BD
，则花窗（阴影部分）的面积为__________
2
dm ．
【答案】18
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【分析】根据弧长公式求出扇形OBD 的半径，再分别求出扇形OAC 面积和扇形OBD 的面积，最后用扇形
OAC 的面积减去扇形OBD面积即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：
2πdm
BD
，弧长公式为
π
180
n r
l
，
60
BOD
，
在扇形OBD中有
60
2
180
r
，
6dm
r
，
2
360
OBD
n r
S
扇形
，
60
BOD
，
6dm
r
，
2
2
60 6
6 dm
360
OBD
S
扇形
，
6dm
AB
，
6
6
12dm
AO
AB
BO
，
2
2
60 12
24 dm
360
OAC
S
扇形
，
2
24
6
18 dm
OAC
OBD
S
S
S
阴影部分
扇形
扇形
．
16．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图
形，AB 所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与
O 相切于点E ，连接BE ，
15
ABE
，
连接OE 交AB 于点F ．若
6
AB
，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
9 3
3
2
【分析】观察图形可知，
AOF
AOE
S
S
S
阴影
扇形
，则需求得OA、AF 、OF 、
AOE
的度数，根据矩形和切
线的性质可得AB
OE
，根据垂径定理得AF 的长，由圆周角定理可得
AOE
，再由含30角直角三角形
的性质结合勾股定理即可求得OA、OF 的长，即可得解．
【详解】解：
四边形ABCD为矩形，
//
AB CD
，
边CD与
O 相切于点E ，
CD
OE
，
AB
OE
，
1
1
6
3
2
2
AF
BF
AB
，
67 / 81
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15
ABE
，
2
30
AOE
ABE
，
在Rt AOF 中，
2
6
OA
AF
，
2
2
2
2
6
3
3 3
OF
OA
AF
，
AOF
AOE
S
S
S
阴影
扇形
2
30
6
1
3 3 3
360
2
9 3
3
2
．
17．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为6cm （如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度．
【答案】120
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，
∵圆锥的底面半径为2cm ，
∴圆锥的底面周长为4πcm，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4πcm，
则π
6
4
180
n
，
解得：
120
n
．
18．某同学用一张半径为24 cm
的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果
做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是________
2
cm （结果保留π）．
【答案】240π
【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：
圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，
圆锥的底面周长为2 10π
20πcm
，
扇形木纸板的半径为24cm ，
扇形木纸板的面积为
2
1
24
20π
240
2
cm
，
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19．如图，在坐标系中，
1,6
A
、
5,6
B
、
7,4
C
．
(1)经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为________；
(2)这个圆的半径长为________；
(3)判断点
5, 3
D
与
M 的位置关系：点D 在
M ________（填内、外、上）
(4)若用扇形AMC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________．
【答案】(1)
3,2
(2) 2 5
(3)外
(4)
5
2
【分析】（1）先确定圆心点M 在直线
3
x
上，设点M 的坐标为
3,m ，根据半径相等列方程求解即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）先计算
29
DM
，再根据点与圆的位置关系判断即可；
（4）根据勾股定理的逆定理证明
90
AMC
，然后利用扇形的弧长公式求出扇形MAC 的弧长，再根据此
弧长即圆锥底面圆的周长列方程求解即可．
【详解】（1）解：
1,6
A
、
5,6
B
，
AB
的垂直平分线是直线
3
x
，
圆心点M 在直线
3
x
上，
设点M 的坐标为
3,m ，
则AM
CM
，
2
2
2
2
(3 1)
(
6)
(3
7)
(
4)
m
m
，
解得
2
m
，
圆心M 的坐标为
3,2 ．
故答案为：
3,2 ．
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（2）解：
3,2
M
，
1,6
A
，
2
2
(3 1)
(2
6)
2 5
AM
，
这个圆的半径长为2 5 ．
故答案为：2 5 ．
（3）解：
3,2
M
，
5, 3
D
，
2
2
(5
3)
( 3
2)
29
DM
，
2 5
DM
，
点D 在
M 外．
故答案为：外．
（4）解：连结AC ，CM ，
1,6
A
，
7,4
C
，
2
2
(1
7)
(6
4)
2 10
AC
，
2 5
AM
CM
，
2
2
2
2
2
(2 5)
(2 5)
40
AM
CM
AC
，
90
AMC
，
扇形MAC 的弧长为90π 2 5
5π
180
，
将扇形围成一个圆锥的底面圆的周长为5π ，
设这个底面圆的半径为r，
则2π
5π
r
，
5
2
r
，
即该圆锥的底面圆的半径是
5
2
．
故答案为：
5
2
．
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【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，
圆锥侧面展开图的相关计算，熟练掌握点与圆的位置关系及圆锥侧面展开图的相关计算是解决问题的关键．
20．如图，在ABC 中，
30
CAB
，
45
ACB
，将ABC 绕点A 逆时针旋转至ADE ，若用扇形ABD
围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为1r ；用扇形ACE 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底
面圆的半径为2r ，则
1
2
r
r
______（结果保留根号）
【答案】
3
1
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．过B 点作BH
AC
于H 点，如图，设
2
AB
a
，利用含30 度角的直角三角形
三边的关系求出BH
a
，
3
AH
a
，再利用等腰直角三角形的性质得到CH
BH
a
，所以
3
1
AC
AH
CH
a
，接着根据旋转的性质得到
CAE
BAD
，设
CAE
BAD
n
，由于圆锥
的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧
长公式得到2
1
2
2
180
n
a
r
，
2
3
1
2
180
n
a
r
，然后计算
1
2
r
r 的值．
【详解】解：过B 点作BH
AC
于H 点，如图，
在Rt ABH 中，设
2
AB
a
，
∵
30
CAB
，
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∴
1
1
2
2
2
BH
AB
a
a
，
∴
3
3
AH
BH
a
，
在Rt BCH 中，
∵
45
ACB
，
∴CH
BH
a
，
∴
3
1
AC
AH
CH
a
，
∵ABC 绕点A 逆旋转一定的角度至ADE ，
∴
CAE
BAD
，
设
CAE
BAD
n
，
∵
1
2
2
180
n
a
r
，
2
3
1
2
180
n
a
r
，
∴
1
2
2
3
1
3
1
r
r
．
故答案为：
3
1
．
21．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB 和AC 的夹角为120，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm．
(1)求弧BC 的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
【答案】(1) 50 πcm
3
(2)
2
175πcm
【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中
考常考题型．
（1）利用弧长公式求解即可，
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【详解】（1）解：
120
π
25
50 π cm
180
3
BC
l
；
（2）解：
25
AB
cm ，
15cm
BD
，
25 15
10 cm
AD
，
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2
2
120 π 25
625π
=
cm
360
3
ABC
S
扇形
，
2
2
120
π 10
100π
=
cm
360
3
ADE
S
扇形
，
贴纸部分的面积
2
625π
100π
525π
175π cm
3
3
3
．
22．如图，ABC 中，AB
AC
，点O 是底边BC 的中点，腰AB 与
O 相切于点D．
(1)求证：AC 是
O 的切线；
(2)若
O 的半径为2，
45
C
，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
(2)阴影部分的面积为4
【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及判
定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键；
（1）过点O 作OG
AC
于点G，连接
,
AO OD ，由题意易得AO 平分
BAC
，然后可得OD
OG
，进而问
题可求证；
（2）由题意易得BAC 为等腰直角三角形，则有四边形ADOG 是正方形，然后根据扇形面积公式可进行求
解．
【详解】（1）证明：过点O 作OG
AC
于点G，连接
,
AO OD ，如图所示：
∵腰AB 与
O 相切于点D，
∴OD
AB
，
∵AB
AC
，点O 是底边BC 的中点，
∴AO 平分
BAC
，AO
BC
，
∴OD
OG
，
∵
,
OD OG 都是圆的半径，
∴AC 是
O 的切线；
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（2）解：如图（1），
∵AB
AC
，
45
C
，
∴
45
B
C
，
∴
90
BAC
，即BAC 为等腰直角三角形，
∵
90
ADO
AGO
，
∴四边形ADOG 是矩形，
∵OD
OG
，
∴四边形ADOG 是正方形，
∴
2,
90
AD
OD
OG
AG
DOG
，
∴阴影部分的面积为
2
90
2
4
4
360
ADOG
DOG
S
S
正方形
扇形
．
23．如图，AB 是
O 的直径，点P 是
O 外一点，PA 与
O 相切于点A，点C 为
O 上的一点．连接PC 、
AC 、OC ，且PC
PA
．
(1)求证：PC 为
O 的切线；
(2)若
30
CAB
，
6
OD
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
证明：∵PA 是
O 的切线，OA是
O 的半径．
∴
90
PAO
连接PO
在PAO 与PCO 中，
PA
PC
OA
OC
PO
PO
∴PAO
PCO
≌
∴
90
PAO
PCO
∵C 为
O 上的一点．
∴PC 是
O 的切线；
(2) 9
3
3
2
2
【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含30三角形
的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积．
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（1）利用PA 是
O 的切线，OA是
O 的半径，求出
90
PAO
，再证明出PAO
PCO
≌
，求出
90
PAO
PCO
，从而证明出切线．
（2）利用含30三角形的性质求出OCD边长，从而求出OCD的面积．再利用扇形公式求出扇形OBC 的
面积，求差即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）∵
30 ,
6
CAB
OD
，
∴
2
60
COD
CAB
，
∵CO
PD
，
30
D
，
∴
1
3
2
OC
OD
，
∴
3 3
CD
∴
9
3
3
2
2
OCD
OBC
S
S
S
阴影
扇形
．
24．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点
0,4
A
，
4,4
B
，
6,2
C
，该圆弧所
在圆的圆心为点P．
(1)点P 的坐标为_____，
P 的半径为_____．
(2)若扇形PAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____．
【答案】(1)
2,0 ，2 5
(2)
5
2
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，弧长公式的运用，理解圆心的作图方法，掌握弧长公式的
计算是关键．
（1）根据圆心到圆弧各点距离相等，结合线段垂直平分线的性质，连接
,
AB BC ，作线段
,
AB BC 的垂直平
分线，两线的交点即为圆心，结合图形求圆的半径即可；
（2）根据网格与勾股定理得到PAC 是等腰直角三角形，运用弧长公式得到
5π
AC
l
，由圆的周长公式计
算即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接
,
AB BC ，作线段
,
AB BC 的垂直平分线，两线的交点即为圆心，
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∴
2,0
P
，
2
2
2
4
2 5
AP
，
故答案为：
2,0 ，2 5 ；
（2）解：根据题意，
2
2
2 5,
2
6
2 10
PA
PC
AC
，
∴
2
2
2
20,
40
PA
PC
AC
，则
2
2
2
PA
PC
AC
，
∴PAC 是等腰直角三角形，
90
APC
，
∴
90
π
2 5
5π
180
AC
l
，
设圆锥底面圆的半径为r ，
∴2
5π
r
，
解得，
5
2
r
，
故答案为：
5
2
．
25．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中
ABC
的度数；
(2)如果A 是底面圆周上的一点，从点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
【答案】(1)120
(2)这根绳子的最短长度为6 3
【分析】（1）结合侧面展开图是以6 为半径，4为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC 的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
【详解】（1）解：设
ABC
的度数为n ，
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底面圆的周长等于
6
2
2
180
n
，
解得
120
n
．
（2）解：连接AC ，过B 作BD
AC
于D ，
∴
2
CD
AD
AC
AD
，
，
90
BDA
∵由（1）得
120
n
∴
60
ABD
∵
90
BDA
则
30
DAB
由
6
AB
，
∴
3
BD
，
∴
2
2
6
3
3 3
AD
，
∴
2
6 3
AC
AD
，
即这根绳子的最短长度是6 3 ．
26．如图，用一个半径为12cm，面积为
2
48 cm
的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径r ．
【答案】(1)120
(2)4cm
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
（1）先求出半径为12cm的圆面积，结合面积为
2
48 cm
的扇形，即可作答．
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（2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：
180
n R
l
，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到
120
12
2
180
r
，然后解方程求出r 即可．
【详解】（1）解：∵一个半径为12cm，面积为
2
48 cm
的扇形铁皮
∴
2
48
360
120
12
∴扇形的圆心角的度数为120；
（2）解：根据题意得
120
12
2
180
r
解得
4
r
cm
．
所以圆锥的底面半径r 为4cm
27．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，O 是BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点
D，连接CD，且CD
AC
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
60
A
，
2 3
AC
，求BD的长．
【答案】(1)证明：如图，连接OD ，
∵AC
CD
，
∴
A
ADC
，
∵OB
OD
，
∴
B
BDO
，
在Rt ABC 中，
90
ACB
，
∴
90
A
B
，
∴
90
ADC
BDO
，
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∴
180
90
ODC
ADC
BDO
，
OD
CD
，
又∵OD 是
O 的半径，
∴CD是
O 的切线．
(2) 4
3
【分析】（1）根据题意，作辅助线证明
90
ODC
即可．
（2）先求出圆的半径OB 和圆心角
BOD
的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
2 3
CD
AC
，
60
A
，
∴ACD是等边三角形，
∴
60
ACD
，
∴
30
DCO
ACB
ACD
，
由（1）知，
90
ODC
，
∵在Rt OCD中，
90
ODC
，
30
DCO
，
∴
2
OC
OD
，
设OD
x
，则
2
OC
x
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2 3
2
x
x
，解得
2
x
，（负值舍去），
∴
2
OD
，
∵
90
30
B
A
，OD
OB
，
∴
30
ODB
B
，
∴
180
120
BOD
B
BDO
，
∴BD的长为120π
2
4 π
180
3
．
28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD
AB
于点E，OF
AC
于点F，BE
OF
，连接OC
BC
、
．
(1)求证：CFO
CEB
≌
；
(2)若
2
OA
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
证明：∵AB 是⊙O 的直径，
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∴
90
ACB
．
∴
90
A
B
．
∵OA
OC
，
∴
A
OCA
．
∴
90
OCA
B
．
∵AB
CD
，OF
AC
，
∴
90
CFO
CEB
．
∴
90
BCE
B
．
∴
OCF
BCE
在CFO 与CEB 中
OCF
BCE
CFO
CEB
OF
BE
∴
(
)
CFO
CEB AAS
≌
．
(2) 2 π
3
3
【分析】（1）根据直径所对圆周角等于90，已知垂直的条件证明
OCF
BCE
，即可判定CFO
CEB
≌
；
（2）根据CFO
CEB
≌
可得OC
BC
，进而可得OCB 为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形OBC 的
圆心角等于60，再根据阴影部分的面积等于扇形OBC 减去OCB 计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知CFO
CEB
≌
，
∴OC
BC
．
∵OC
OB
，
∴OC
BC
OB
，OCB 为等边三角形．
∴
60
BOC
，
2
OA
OB
OC
CB
．
∴
1
OE
BE
，
3
CE
∴
2
60
1
2
π 2
2
3
π
3
360
2
3
OBC
OBC
S
S
S
阴影
扇形
．
29．如图是一个几何体的三视图．
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(1)写出这个几何体的名称；
(2)求这个几何体侧面展开图的圆心角；
(3)求这个几何体的全面积．
【答案】(1)圆锥
(2)120
(3)16
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积
计算．
（1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥；
（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为4 2 ，再根据展开图扇形的弧长公式得到
圆心角的度数；
（3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为4 2 ，再根据面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
（2）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为4 2 ，
∴母线为
2
2
4 2
2
6
，
则展开图扇形的弧长为2π 2
4
，
又弧长为
6
180
n
，
6
4
180
n
，
解得
120
n
展开图扇形的圆心角度数为120；
（3）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，
展开图扇形的面积为
2
120
6
12
360
p
p
´
=
，
底面面积为
2
π
2
4
，
圆锥的全面积为12
4
16
．
30．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣
小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm 、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆
盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
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(1)这顶锥形草帽的高为______cm ，侧面积为______
2
cm ．（结果保留π）
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
【答案】(1)20 ，375π
(2)216
【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股
定理及扇形面积公式是解决问题的关键．
（1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式1
2 lr 代值计算即可得到面积；
（2）由（1）知侧面积为
2
375πcm ，设所需扇形卡纸的圆心角的度数n，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
在Rt BOC 中，
90
BOC
，
15cm
OC
，
25cm
BC
，
则由勾股定理可得
2
2
2
2
25
15
20 cm
BO
BC
OC
；
圆锥底面圆的周长为
2π 15
30π cm
，
圆锥侧面积为
2
1
30π
25
375π cm
2
；
故答案为：20 ，375π ；
（2）解：由（1）知侧面积为
2
375πcm ，
设所需扇形卡纸的圆心角的度数n，
2
π
25
375π
360
n
，
解得
216
n
，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216．
