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第09 讲确定圆的条件
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断确定圆的条件
题型2 确定圆心（尺规作图）
题型3 求能确定的圆的个数
题型4 画圆（尺规作图）
题型5 三角形外接圆的概念辨析
题型6 求三角形外心坐标
题型7 求特殊三角形外接圆的半径
题型8 已知外心的位置判断三角形的形状
题型9 判断三角形外接圆的圆心位置
题型10 确定圆的条件综合（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
三角形的定义
边、角、顶点
三角形的分类
三角形的三边关系
1. 理解不在同一直线上三点确定一个圆的基本原理。
2. 掌握三角形外接圆、外心的定义及相关性质特征。
3. 学会动手作图，熟练画出三角形的外接圆图形。
4. 能区分内外心差异，辨析三点共线无法作圆情况。
5. 运用定圆条件解决基础几何计算与证明问题。
学习重点：掌握不在同一直线上的三点确定一个圆，理解三角形外接圆与外心的性质。
学习难点：理解三点共线不能确定圆的原因，灵活利用外心性质解题作图。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 确定圆的条件
条件
类别
过一点作圆
过两点作圆
过不在同一条直
线上的三点作圆
理论
依据
经过平面内一个点A 作圆
时，只要以点A 以外任意
一点为圆心，以这点到点
A 的距离为半径就能作出
一个圆，这样的圆能作出
无数多个
经过平面内的两个点A ，
B 作圆，由于圆心到这两
个点的距离相等，所以圆心
在线段AB 的垂直平分线
上，这样的圆心有无数多
个，这样的圆能作无数多个
经过不在同一条直线上的三点A，B ，
C 作圆，圆心到这三个点的距离相等。
因此，圆心是线段AB ，BC 的垂直平
分线的交点O，以点O为圆心，以OA
（或OB ，OC ）为半径可作出经过A，
B ，C 三点的圆，这样的圆只有一个
圆形
结论
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
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即时即练
1．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（
）
A．①
B．②
C．③
D．都可以
【答案】A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，
进而可得到半径的长．
2．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，AC 经过格点A 、B 、C ，则该弧所在圆的半径是
______________________．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作
,
AB BC 的垂直平分线交于点O，连接AO ，勾股
定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，作
,
AB BC 的垂直平分线交于点O，连接AO ，
∴
2
2
1
2
5
AO
，
故答案为：5 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C 作一圆弧AC ．
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(1)弧AC 所在圆的圆心M 的坐标为________________；
(2)求弧AC 所在圆的半径；
【答案】(1)
2,1
(2) 10
【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键：
（1）根据圆的确定方法，得到线段
,
AB BC 的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果；
（2）利用勾股定理求出MC 的长即可．
【详解】（1）解：如图，点M 即为圆心，由图可知：
2,1
M
；
（2）由勾股定理，得
2
2
3
1
10
MC
；
故半径为10 ．
知识点02 三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
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②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形
外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
图3
图2
图1
O
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
A
即时即练
4．已知Rt ABC ，
90
C
．
(1)求作一点O，使以O为圆心的圆经过A
B
C
、、
三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若AC 为8，BC 为6 ，求
O 的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)
O 的半径为5．
【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接
圆的画法和其性质是解题的关键．
（1）根据题意画Rt ABC 的外接圆，即先画Rt ABC 三条边的垂直平分线，其交点为圆心O，以OA为半径
作圆即可；
（2）先根据勾股定理求出AB ，即可求出半径的值．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）∵Rt ABC ，
90
C
，
8
AC
，
6
BC
，
∴
2
2
2
2
8
6
100
10
AB
AC
BC
，
∵令
O 的半径为r ，
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∴
1
5
2
r
OA
AB
．
5．如图，在5 5
正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C 三点，那么AC 所对的圆心角度数是______．
【答案】90/90 度
【分析】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键．
连接
,
AB BC ，分别作
,
AB BC 的垂直平分线，即可得到圆心Q ．分别求出
2
2
2
,
,
CQ
AQ
AC ，根据勾股定理的
逆定理即可求解．
【详解】解：连接
,
AB BC ，分别作
,
AB BC 的垂直平分线，即可得到圆心Q ，
由图可得：
2
2
2
2
1
2
5
CQ
AQ
，
2
2
2
1
3
10
AC
，
∴
2
2
2
CQ
AQ
AC
，
故
90
AQC
，
即AC 所对的圆心角为90．
故答案为：90
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
0,3
A
，点
2,1
B
，点
2, 3
C
．则经画图操作可知：ABC 的外
心坐标应是_______．
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【答案】
2, 1
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的
关键是数形结合思想的应用．
首先由ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB 与BC 的垂线，两
垂线的交点即为ABC 的外心.
【详解】解：
ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
EF
与MN 的交点O即为所求的ABC 的外心，
ABC
的外心坐标是
2, 1
，
故答案为：
2, 1
．
题型1 判断确定圆的条件
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平
分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，判断确定圆的条件，三角形外接圆的概念辨析，垂径定理的推论
等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据圆的相关概念，包括确定圆的条件、三角形外心的定义、圆的对称轴以及垂径定理的推论，需逐一分
析每个说法的正误．
【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，
故①错误；
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三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，
而各边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，
故②正确；
对称轴是直线，直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线，
故③错误；
平分弦（非直径）的直径，才平分这条弦所对的弧，
当弦为直径时该结论不成立，
故④错误；
综上所述，正确的只有1 个，
故选：A．
2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（
）
A．以点O为圆心
B．以5cm 长为半径
C．以点O为圆心，5cm长为半径
D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C 选项正确，
故选：C．
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形
镜子，小明带到商店去的碎片应该是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂
直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可．
故选：A．
4．下列命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆
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心角所对的弧相等；④三个点确定一个圆．其中正确的是___．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了与圆有关的知识：弧的概念、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条
件，掌握这些基本概念与性质是解题的关键；根据弧的概念、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、
确定圆的条件判断即可．
【详解】解：①半圆是弧，但弧不一定是半圆，命题正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本命题错误；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，命题正确；
④不在同一直线上的三个点确定一个圆，故本小题命题错误；
故答案为：①③．
5．当
1,2
A
，
3, 3
B
，
5,
C
n 三点可以确定一个圆，求n 的取值范围．
【答案】
8
n
【分析】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，三点能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确
定直线AB 的解析式，然后点C 不满足求得的直线即可．
【详解】解：设直线AB 的解析式为y
kx
b
，
∵
1,2
A
，
3, 3
B
，
∴
2
3
3
k
b
k
b
，
解得：
5
2
9
2
k
b
，
∴直线AB 的解析式为
5
9
2
2
y
x
，
∴若点
5,
C
n 在直线AB 上，
则有
5
9
5
8
2
2
n
，
∴当点
1,2
A
，
3, 3
B
，
5,
C
n 三点可以确定一个圆时，则n 需要满足的条件为
8
n ，
所以n 取值范围是
8
n ．
【易错警示】
确定圆时切记：只有不在同一直线上的三点才能确定唯一圆，三点共线无法作圆。切勿随意认为任意三点
均可画圆。辨析三角形外心位置，锐角三角形外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部，
避免判断失误。
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题型2 确定圆心（尺规作图）
6．如图，弧AB 是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心O的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
【分析】在弧AB 上任取一点C（不与A，B 重合），连接弦AC 、弦BC ；再分别作线段AC 的垂直平分线、
线段BC 的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O．
【详解】略
7．如图，在ABC 中，求作
O ，使
O 经过A，C 两点，且圆心落在BC 边上；（要求：尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）
【答案】所作图形如图所示：
【分析】作AC 的垂直平分线，交BC 于点O，以点O 为圆心，OC 长度为半径作圆即可．
【详解】略
8．如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图
（不写作法，保留作图痕迹）．
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(1)如图1，将ABC 绕点O 逆时针旋转90得
1
1
1
A B C ，画出
1
1
1
A B C ；
(2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别取格点
1A ，
1B ，
1
C ，使
1
1
1
90
AOA
BOB
COC
，顺次连接
1
1
1
A
B
C
、、
即可；
（2）取弦MN
NP
、
，分别作它们的垂直平分线，交于点O，则点O为这个圆的圆心．
【详解】（1）解：如图，
1
1
1
A B C 即为所作；
（2）解：如图，点O即为这个圆的圆心．
9．如图是由小正方形组成的6 5
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A ，B ，C 三个格点都在
O 上．仅
用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
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(1)在图①中画出
O 的圆心O，并在弦BC 上方的圆弧上画点D ，使得
90
AOD
；
(2)点E 在
O 上，CE
AB
，在图②中画出所有满足条件的点E ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了圆的基本性质、垂径定理和弧与弦的关系，掌握利用网格找垂直平分线确定圆心，根
据弧相等找对应弦端点是解题的关键．
（1）利用网格中弦AB
AC
、
的垂直平分线（格线）找到圆心O，再作OD
OA
交圆弧于D ；
（2）根据弧相等则弦相等，利用网格平移AB ，找到与C 构成等弧的点E ．
【详解】（1）解：点O及点D 如答图①所示．
（2）解：点E，E如答图②所示．
10．在ABC 中，
5
AB
AC
，
6
BC
．
(1)求作：ABC 的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
O 的半径．
【答案】(1)作图见详解
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(2) 25
8
【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解．
（1）分别作出AB ，AC ，BC 的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为ABC 的外心，即为ABC
外接圆的圆心O，以OA为半径画出
O ，ABC 的外接圆O 即为所求；
（2）作BC 的垂直平分线，交BC 于点D，连接OB ，由AD 为BC 的垂直平分线，得出点D 为BC 的中点，
求得
1
3
2
BD
DC
BC
，再利用勾股定理求得AD 的长度，设OD
x
，则OA
OB
R
，利用勾股定理和线
段的和差关系列出方程求解x 的值，再将x 代入
4
R
x
即可求得
O 的半径．
【详解】（1）解：如图所示，ABC 的外接圆O 即为所求，
（2）解：如图，作BC 的垂直平分线，交BC 于点D，连接OB ，
∵AB
AC
，
6
BC
，
∴ABC 为等腰三角形，
∵AD 为BC 的垂直平分线，
∴点D 为BC 的中点，
∴
1
3
2
BD
DC
BC
，
在Rt
ABD
△
中，
2
2
4
AD
AB
DB
，
设OD
x
，则OA
OB
R
，
在Rt OBD 中，
2
2
2
OB
OD
DB
，即
2
2
23
R
x
，
又∵OA
AD
OD
，
∴
4
R
x
，
将
4
R
x
代入
2
2
23
R
x
得：
2
2
2
4
3
x
x
，
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解得：
7
8
x
，
∴
7
25
4
4
8
8
R
x
．
题型3 求能确定的圆的个数
11．如图，点A，B，C，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数
为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题．
【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：
,
, ; ,
, ; ,
, ; ,
, ; ,
, ;
,
,
A B P A C P A D P B C P B D P C D P
∴最多可画出圆的个数为6 个．
故选：D ．
12．如图，已知点A ，B 和线段a ，
1
2
a
AB
．用直尺和圆规作
O ，使
O 过点A ，B ，且半径为a ，则
这样的圆可以作（
）
A．1 个
B．2 个
C．4 个
D．无数个
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接AB ，
作线段AB 的垂直平分线，以点A（或B ）为圆心，线段a 的长为半径画弧，交线段AB 的垂直平分线于点O，
分别以O为圆心，线段a 的长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，
O 满足题意．
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这样的圆可以作2 个．
故选：B．
13．已知A
B
C
D
、、、
为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能
是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（1）有三点共线；（2 ）任意三点不共线，
解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆．
【详解】解：∵四点不在同一直线上，
∴根据题意分两种情况讨论：（1）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3个圆；
（2 ）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4 个圆；
∴确定圆的个数为1、3或4 ，不可能为2 ，
故选：B ．
14．如图，点A ，B ，C 均在直线I 上，点P 在直线I 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
___________个．
【答案】3
【分析】本题考查了确定圆的条件.
根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C 可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3 个，
故答案为：3．
15．已知线段
6
AB
．
(1)作半径为4 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能作几个？
(2)作半径为3 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能作几个？
(3)作半径为2 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能作几个？
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【答案】(1)这样的圆能作2 个
(2)这样的圆能作1 个
(3)这样的圆能作0 个
【分析】（1）要确定作半径为4 且经过A
B
、两点的圆的个数，需先作AB 的垂直平分线，再以A 为圆心、
4 为半径作弧，看与垂直平分线的交点个数，交点个数即为圆的个数；
（2）作半径为3 且经过A
B
、两点的圆，先作AB 的垂直平分线，找到AB 中点O，判断以O为圆心、3 为
半径的圆是否经过A
B
、；
（3）判断作半径为2 且经过A
B
、两点的圆的个数，需比较半径与AB 一半的长度，看是否存在这样的圆心．
【详解】（1）解：这样的圆能作2 个，如图①所示．
作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，4 为半径作弧，交l 于点
1
O ，
2
O ，然后分别以点
1
O ，
2
O 为圆心，
4 为半径作圆，则
1
O 和
2
O 为所求．
（2）解：这样的圆能作1 个，如图②所示．
作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O，然后以点O为圆心，3 为半径作圆，则
O 为所求．
（3）解：
6
AB
，其一半为3，半径2 小于3，不存在到A
B
、距离为2 的点，所以这样的圆能作0 个．
【点睛】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数
是解题的关键．
题型4 画圆（尺规作图）
16．如图，在ABC 中，请用尺规作图法求作
O ，使得圆心O在BC 边上，且A ，C 在
O 上．（保留作
图痕迹，不写作法）
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【答案】
【分析】作AC 的线段垂直平分线，交BC 于点O，再以点O为圆心、OC 长为半径画圆即可．
【详解】解：略．
17．如图，已知
O 和点P ，按如下方式作图：
①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线交OP 于点A ；
②以点A 为圆心，OA长为半径作圆，交
O 于点
,
B D ；
③连接PB ，交OP 的垂直平分线于点C ．
请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
【分析】根据步骤作图即可；
【详解】按照题干步骤完成作图，如下：
①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线交OP 于点A ，保留垂直平分线的作图痕迹；
②以点A 为圆心，OA长为半径作圆，交
O 于点
,
B D ，保留画圆的痕迹；
③连接PB ，交OP 的垂直平分线于点C ，作图完成，所有痕迹保留；
如图：
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18．如图，在ABC 中，请用尺规作图法，作
O ，使点O在AB 上，且
O 经过
,
B C 两点．（保留作图痕
迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握圆的特征是解题的关键．作BC 的垂直平分线交AB 于O，再以O 为圆
心，OB 为半径作圆即可．
【详解】解：
O 即为所求．
19．已知矩形ABCD，BC 边的垂直平分线EM 交AD 于E，垂足为M，用直尺和圆规作
O ，使
O 过B、
C、E 三点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
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【分析】连接BE ，作BE 的中垂线，交EM 于点O，以O为圆心，OE 的长为半径画圆，
O 即为所求．
【详解】解：如图，
O 即为所求．
【点睛】本题考查复杂作图—作圆．解题的关键是掌握过不在同一条直线上的三个点的圆，圆心为三点构
成的线段的中垂线的交点．
20．如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
．
(1)尺规作图：作
O ，使它过点A
C
、
，且圆心O在AB 上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的
O 中，求证：点B 在
O 上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AC 的垂直平分线，与AB 相交于点O，以点O 圆心，OA长为半径作圆，即可得到解
答；
（2）连接OC ，由（1）得直线l 为AC 的垂直平分线，则OC
OA
，得
A
OCA
，由由
90
B
A
且
90
OCB
OCA
得到
B
OCB
，则OC
OB
，即OC
OB
OA
，即可得证．
【详解】（1）如图所示，
O 为所求，
；
（2）如图，连接OC ，由（1）得直线l 为AC 的垂直平分线，
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∴OC
OA
，
∴
A
OCA
，
∵在Rt ABC 中，
90
ACB
，
∴
90
B
A
且
90
OCB
OCA
，
∴
B
OCB
∴OC
OB
，即OC
OB
OA
，
∴A
B
C
、、
三点共圆，点B 在
O 上．
【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直
平分线的作图和性质是解题的关键．
【易错警示】
尺规作三角形外接圆时，易错点为：未正确作两边垂直平分线找外心，作图误差过大。需牢记仅不共线三
点可作圆，作图漏画垂直平分线、圆心定位偏差，或忘记标注圆心、半径，均会导致作图不规范、结果错
误。
题型5 三角形外接圆的概念辨析
21．下列命题不正确的是（
）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可．
【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A 正确；
∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B 正确；
∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C 不正确；
∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D 正确；
故选：C．
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22．对于三角形的外心，下列说法正确的是（
）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的
距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案．
【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂
直平分线的交点，故A、B 错误；D 正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中
点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C 错误．
故选：D．
23．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定ABC 的外心的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．
根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有A 选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：A．
24．如图：已知ABC 是等边三角形，O 为ABC 外接圆圆心，ABC 以O 为旋转中心，按顺时针方向至少
旋转________度与原来的三角形重合．
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【答案】120
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这
种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质
可得点O 是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用360除以3 计算即可得解．
【详解】解：∵O 为为ABC 外接圆圆心，，
∴点O 是ABC 的中心，
∵360
3 120
，
∴ABC 以O 为旋转中心，按顺时针方向至少旋转120与原来的三角形重合．
故答案为：120．
25．如图，已知ABC ，AB
AC
，AD 是高．
(1)求作ABC 的外接圆O；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若
13
AB
，
10
BC
．求ABC 外接圆的半径．
【答案】(1)
如图所示，
O 即为所求；
(2)169
24
【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线，交AD 于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，则
O 即为
所求；
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（2 ）连接OB ，由等腰三角形的性质得
1
5
2
BD
CD
BC
，即由勾股定理得
2
2
12
AD
AB
BD
，设
O
的半径为x ，则OA
OB
x
，在Rt ODB 中由勾股定理得
2
2
2
12
5
x
x
，解方程即可求解；
本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）解：连接OB ，
∵AB
AC
，AD
BC
，
∴
1
5
2
BD
CD
BC
，
90
ADB
，
∴
2
2
2
2
13
5
12
AD
AB
BD
，
设
O 的半径为x ，则OA
OB
x
，
∴
12
OD
AD
OA
x
，
在Rt ODB 中，
2
2
2
OD
BD
OB
，
∴
2
2
2
12
5
x
x
，
解得
169
24
x
，
∴ABC 外接圆的半径为169
24 ．
题型6 求三角形外心坐标
26．如图，直角坐标系中
0,4 ,
4,4 ,
6,2
A
B
C
，经过A，B，C 三点的圆，圆心为M，则点M 的坐标为（
）
A．
1, 1
B．
1,0
C．
2,0
D．
2,1
【答案】C
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【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段AB 和BC 的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M 的坐标．
【详解】解：如图，作线段AB 和BC 的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M 坐标为
2,0 ，
故选：C
27．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1 个单位长度，点O，A，B，C 均在格点（两条网格线的交
点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为（
）
A．(0, 1)
B．( 1,0)
C．( 1, 1)
D．( 1, 2)
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据
垂径定理得出外接圆的圆心位置．
连接CB ，作CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D 的坐标即可．
【详解】解：连接CB ，作CB 的垂直平分线，如图所示：
在CB 的垂直平分线上找到一点D ，
2
2
3
1
10
CD
DB
DA
，
点D 是过A 、B 、C 三点的圆的圆心，
即D 的坐标为( 1, 2)
，
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故选：D．
28．如图ABC 中外接圆的圆心坐标是______．
【答案】
6,2
【分析】本题考查三角形外心的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的外心到三角形三个顶点
的距离相等，即外心是三角形三边中垂线的交点．
【详解】解：AB 和BC 的垂直平分线的交点P 即为ABC 的外接圆的圆心，由图知
6,2
P
．
故答案为：
6,2 ．
29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别是
2,0 、
3,3 、M 是OAB的外接圆，则
M
的半径为_____．
【答案】5
【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的
关键．过点B 作BE
x
于E ，作BF
y
于F ，连接EF ，作OA的垂直平分线CD，垂足为C ，交EF 于M ，
则
1
OC ，即点M 的横坐标为1，再证四边形OEBF 为正方形，则EF 垂直平分OB ，则点M 是OAB 的外
心，求出直线EF 的解析式为
3
y
x
，把
1
x 代入求得
2
y
，即可求解．
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【详解】解：如图，过点B 作BE
x
于E ，作BF
y
于F ，连接EF ，作OA的垂直平分线CD，垂足为C ，
交EF 于M ，连接OM ．
(3,3),
,
,
B
BE
x BF
y
3,
OE
BE
BF
OF
∴四边形OEBF 为正方形，
∴EF 垂直平分OB ，
又∵CD垂直平分OA，
∴EF 和CD的交点即为OAB 的外心M，
3
OF
OE
，
(3,0),
(0,3)
E
F
，
设直线EF 的解析式为y
kx
b
，
则
3
0
3
k
b
b
，解得
1
3
k
b
，
∴直线EF 的解析式为
3
y
x
，
当
1
x 时，
2
y
，
∴
(1,2)
M
，
∴
M 的半径为
2
2
1
2
5
OM
，
故答案为：5 ．
30．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点
0 2
A
，，
4 2
B
，，
6 0
C
，，解答下
列问题：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D 点的位置，则D 点坐标为_______．
(2)连结AD ，CD，求出
ADC
的度数．
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【答案】(1)
如图所示，作线段AB 和线段BC 的垂直平分线，两条直线的交点即为点
2, 2
D
．
故答案为：
2, 2
(2)90
【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系：
（1）作线段AB 和线段BC 的垂直平分线，两条直线的交点即为点D ；
（2）利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）如图所示，连接AC ．
∵
2
2
2
2
4
20
AD
，
2
2
2
2
4
20
CD
，
2
2
2
2
6
40
AC
，
∴
2
2
2
AC
AD
CD
．
∴
90
ADC
．
题型7 求特殊三角形外接圆的半径
31．在ABC 中，
5
AB
，
3
AC
，
4
BC
，那么ABC 的外接圆半径为（
）
A．5
B．3
C．2
D．5
2
【答案】D
【分析】先根据勾股定理逆定理判断ABC 是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算
即可．
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【详解】解：∵
2
2
2
2
3
4
25
AC
BC
，且
2
2
5
25
AB
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
，
∴
90
C
，则ABC 是直角三角形，
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴ABC 的外接圆半径为1
1
5
5
2
2
2
AB
．
32．如图，A，B，C 是
O 上的三点，ABC 是等边三角形．若
3
AB
，则
O 的半径是（
）
A．3
2
B．
3
2
C．3
D．5
2
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和
勾股定理解题是关键．
连接OB 、OC ，过点O作OH
BC
，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形
内角和为180得到
30
OBC
，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出
O 的半径．
【详解】解：连接OB 、OC ，过点O作OH
BC
，
∵
O 是等边三角形ABC 的外接圆，
∴
2
2 60
120
BOC
A
，OB
OC
∴
180
120
30
2
OBC
OCB
，
1
2
OH
OB
，
又∵OH
BC
，
∴
1
3
2
2
BH
BC
，
在Rt OBH 中，利用勾股定理得，
3
OB
．
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故选：C ．
33．如图，在ABC 中，AB
AC
，点D 为BC 上一点，
6
10
BD
BE
CD
CA
，
，则AED 的外接圆半
径为（
）
A．3
B．10
3
C．11
3
D．4
【答案】B
【分析】先作辅助线，再根据三角形外接圆的性质以及垂径定理可以得到OM 、OD 、DM 三者之间的关系，
最后利用勾股定理求出外接圆的半径．
【详解】解：如图所示
∵BE
BD
∴
BED
BDE
∴
AED
EDF
∵
180
AED
AFD
，
180
EDF
EAF
∴
EAF
AFD
∴BA
BF
∵CD
CA
，AB
AC
∴BA
BF
CA
CD
，
B
C
∴在BAF 与CAD 中
∴
BA
CA
B
C
BF
CD
∴
BAF
CAD SAS
≌
∴AF
AD
∴作AM
DF
，垂足为M
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则
1
2
DM
FM
DF
∴AM 过外接圆圆心，设圆心为O，连接OD
∵
6
BD
BE
，
10
CA
CD
∴
16
BC
CD
BD
∵AM
BC
，AB
AC
∴
1
8
2
BM
CM
BC
∴
2
2
10
8
6
AM
，
8
6
2
DM
∴设OA
OD
R
，则
6
OM
R
∴在Rt ODM 中
2
2
2
OM
DM
OD
即
2
2
2
6
2
R
R
∴
10
3
R
∴外接圆的半径为：10
3
故选B
【点睛】本题考查的是三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质：等边对等角，全等三角形性质和判定等
相关知识点，利用三角形外接圆的性质做出辅助线是解题的关键．
34．ABC 内接于
O ，若
6
AB
，
8
AC
，
10
BC
，则
O 的半径是________．
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三
角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处．
先根据勾股定理逆定理确定ABC 是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可．
【详解】解：∵
6
AB
，
8
AC
，
10
BC
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
，
∴
90
A
，
∵ABC 内接于
O ，
则圆心为斜边BC 的中点，
∴
O 的半径1
5
2 BC
，
故答案为：5．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为
)
11
31
4
)
1
(
(
)
(
A
B
C
，，
，，
，．
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(1) ABC 的外接圆的半径为
．
(2)将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90后得到
1
1
A BC ，请在图中画出△A1BC1．
(3)连结
1
CC ，求四边形
1
1
CBAC 的面积．
【答案】(1) 13
2
(2)见解析
(3)9.5
【分析】（1）根据网格的特点，勾股定理求得BC 的长，进而即可求解．
（2）利用旋转变换的性质作出A
C
，
的对应点
1
1
A
C
，
即可；
（3）把四边形的面积看成矩形的面积减去两个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵ABC 是直角三角形，
2,
3
AB
AC
，
∴
2
2
2
3
13
BC
，
∴ABC 的外接圆的半径为
13
2
；
（2）如图，
1
1
A BC 为所作；
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（3）
四边形
1
1
CBAC 的面积
1
1
3 5
2 3
1 5
9.5
2
2
．
【点睛】本题考查了求直角三角形的外接圆半径，勾股定理与网格，画旋转图形，坐标与图形，掌握以上
知识是解题的关键．
题型8 已知外心的位置判断三角形的形状
36．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
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C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90．
故选：C
37．如图，在Rt ABC 中，
90
A
，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到ABC 的外心，作法如下：
嘉嘉：
作BC 的垂直平
分线，交BC 于点O，点O 即为ABC 的
外心
淇淇：
作
BAC
和
ACB
的平分线，两条角平分线交于点O，
点O 即为ABC 的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（
）
A．嘉嘉正确，淇淇错误
B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确
D．两人都错误
【答案】A
【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，
解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断．
【详解】解：
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点．
嘉嘉正确，淇淇错误．
故选：A．
38．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O 两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另
外找两点B、C，使得ABC 的外心为O，求BC 的长度为（
）
A．4
B．5
C．10
D．
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【答案】D
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性
质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到OB
OC
OA
，从而确定B、C 的位置．
【详解】解：∵ABC 的外心为O，
∴OB
OC
OA
，
∵
2
2
1
3
10
OA
，
∴
10
OB
OC
，
∵B、C 是方格纸格线的交点，
∴B、C 的位置如图所示，
∴
2
2
2
4
20
BC
．
故选：D．
39．已知
O 为ABC 的外接圆，且圆心O 在ABC 的内部，分别过点O 作
,
OD
AB OE
AC
，垂足分别
为点D
E
、
，若
8
DE
cm
，则BC ________cm ．
【答案】16
【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；
由点O是ABC 的外心，OD
AB
，OE
AC
得到DE 是ABC 的中位线，根据三角形中位线定理即可求得
BC ．
【详解】解：如图，
O 是ABC 的外心，OD
AB
，OE
AC
，
AD
BD
，AE
CE
，
DE
为ABC 的中位线，
2
16
BC
DE
cm
．
故答案为：16
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40．如图，在6 6
正方形网格中，A、B、C、D 均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．作图（保留痕
迹，描出必要的格点）．
(1)在图1 中作出ABC 的外心D；
(2)图2 中D 是AB 的中点，作出BC 边上的点F（不与点B 重合），使得BD
DF
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结
合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1 中，分别作BC 及AC 的垂直平分线，相交于点D，点D 即为所求．
（2）如图2 中，过点A 作BC 的垂线，垂足即为点F，连接DF ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一亲，可得BD
DF
．
【详解】（1）如图1，点D 即为ABC 的外心；
（2）如图2，点F 即为所作；
题型9 判断三角形外接圆的圆心位置
41．如图，在3 3
的正方形网格中，A，B 在格点上，在网格中找一个格点C，使ABC 的外心也在该正方
形网格的格点上，这样的点C 有（
）
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A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网
格，画出图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，
1
2
,
C C 满足题意，共2 个，
故选：C．
42．已知锐角ABC 中，O是AB 的中点，甲、乙二人想在AC 上找一点P ，使得ABP 的外心为点O，其
做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（
）
甲的作法
过点B 作与AC 垂直
的直线，交AC 于点P ，则P 即为所求．
乙的作法
以O为圆心，
OA长为半径画弧，交AC 于点P ，则P
即为所求．
A．两人都正确
B．只有甲正确
C．只有乙正确
D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边中线的性质，由三角形外心的性质：三角形的
外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断．
【详解】解：甲的作法，
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BP
AC
，
90
APB
，
∵O 是AB 中点，
1
2 A
PO
B
，
PO
AO
BO
，
∴O 是PAB 的外心，
∴甲的作法正确．
乙的作法，
由作法知：OA
OB
OP
，
∴O 是PAB 的外心，
∴乙的作法正确．
故选：A．
43．如图，正方形网格中，
, ,
A B C 三点均在格点上，那么ABC 的外接圆圆心是点__________．
【答案】G
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解
题的关键．连接BC ，作线段BC 的垂直平分线与线段AB 的垂直平分线交于点G，则点G 即为所求作的点．
【详解】解：如图，点G 即为所求作的点．
故答案为：G．
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44．如图，等腰
,
5,
6
ABC AB
AC
BC
．
(1)尺规作图作出ABC 的外接圆
O ；（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)作直径AD ，证明：AD 平分
BAC
；
(3)
O 的半径=______________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 25
8
【分析】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾
股定理构建方程是解答本题的关键．
（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，作BC 和AC 的垂直平分线，相交于点O；以O 为圆
心、OA长为半径作圆，即可得出ABC 的外接圆；
（2）BC 的垂直平分线交
O 于点D，则线段AD 即为直径，然后利用三线合一可证AD 平分
BAC
；
（3）连接OB ，利用垂径定理求得
1
3
2
BE
CE
BC
，然后在Rt ABE 中求得AE ，最后在Rt BOE 中利
用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
O 是所求作的ABC 的外接圆，
（2）证明：如图，AD 即为所求作的直径，
∵
5
AB
AC
，OA
BC
，
∴AD 平分
BAC
；
（3）解：如图，设AD 与BC 交于点E，
O 的半径为r，
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∵ABC 是等腰三角形，
6
BC
，
5
AB
AC
，OA
BC
，
∴
1
3
2
BE
CE
BC
∴在Rt ABE 中，
2
2
2
2
5
3
4
AE
AB
BE
．
在Rt BOE 中，∵
2
2
2
OB
BE
OE
，
∴
2
2
23
4
r
r
，
∴
25
8
r
．
故答案为：25
8 ．
45．已知ABC 在平面自角坐标系中位置如图所示．
(1)请仅用无刻度的直尺画出ABC 的外接圆的圆心P，并写出圆心P 的坐标为；
(2)画出ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90后的A B C
，并写出A的坐标为．
【答案】(1)画图见解析，(1,2)
(2)画图见解析，
8,5
【分析】本题考查图形与坐标、三角形外接圆、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概念是解
题关键．
（1）根据三角形外接圆圆心是三角形三条边中垂线的交点即可作图及得到P 的坐标；
（2）根据旋转的性质可进行作图，再根据点的位置可得A的坐标；
【详解】（1）解：所作ABC 的外接圆
P 如图所示：
由图可知：点
(1,2)
P
；
（2）解：所作A B C
如图所示；
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∴
8,5
A
．
题型10 确定圆的条件综合（压轴）
46．如图是一个含有3个正方形的相框，其中，
2
4
6
AB
CD
EF
，
，
，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，
使A
G
H
，，
三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（
）
A．5
10
2
B．3 10
C．6 2
D．9
【答案】B
【分析】连接AG ，作线段AG 的中垂线和线段HG 的中垂线交于点O，连接OG ，则点A
G
H
、、
三点刚好
在以点O为圆心，OG 为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得OM 的长，再结合勾股定理求得半
径的长．
【详解】解：连接AG ，由3个正方形的相框的位置关系，可知C
E
、
均在AG 上，作线段AG 的中垂线和线
段HG 的中垂线交于点O，交HG 于点K ，交EF 于点M ，连接OG ，如图所示：
AG
HG
、
是圆形的金属框的两条弦，
点A
G
H
、、
三点刚好在以点O为圆心，OG 为半径的圆上，
90
2
4
6
BCD
DEF
AB
CD
EF
，
，
，
，
由勾股定理可得
2
2
2 2
AC
AB
BC
，
2
2
4 2
CE
DC
DE
，
2
2
6 2
EG
EF
FG
，
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12 2
AG
AC
CE
EG
，
则
1
2
AE
EG
AG
，
∴点E 为线段AG 的中点，
即线段AG 的中垂线过点E ，
45
GEF
OE
AG
，
，
45
OEF
，
OEM
是等腰直角三角形，
则OM
EM
，
KO 是线段HG 的中垂线，HG
EF ，HG
EF
，
1
3
2
ME
MF
EF
，
1
3
2
KG
KH
HG
，
则
3
OM
，
在Rt OKG 中，OK
KG
，
3
6
9
OK
OM
KM
，
3
KG
，则由勾股定理可得
2
2
2
2
3
9
3 10
OG
KG
OK
，
故选：B．
【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等
知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度．
47．如图，已知E 是ABC 的外心，P、Q 分别是AB 、AC 的中点，连接EP 、EQ 交BC 于点F、D，若
5
BF
，
3
DF
，
4
CD
，则ABC 的面积为（
）
A．18
B．24
C．30
D．36
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理及三角形面积公式．先根据
三角形外心性质及中点条件，得到EP
AB
，EQ
AC
，AF
BF
，AD
DC
，从而得到AF ，AD 的长
度，由DF 的已知长度可知，三边符合勾股定理的逆定理，从而得到
90
ADF
，进而求得BC 的长，最
终求得ABC 的面积．
【详解】解：如图，连接AF ，AD ，
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∵E 是ABC 的外心，P、Q 分别是AB 、AC 的中点，
∴EP
AB
，EQ
AC
，
∴AF
BF
，AD
DC
，
∵
5
BF
，
4
CD
，
∴
5
AF
，
4
AD
，
∵
3
DF
，
∴
2
2
2
DF
AD
AF
＝
，
∴
90
ADF
，
∵
5
3
4
12
BC
BF
DF
DC
，
∴
1
1 12
4
24
2
2
ABC
S
BC
AD
＝
．
故选：B．
48．如图，在矩形ABCD中，
6
AB
，
8
BC ，P 为矩形的边BC 上的一动点，点P 从点B 运动到点C，PAD
的外接圆的圆心运动的路径长为（
）
A．4
3
B．8
3
C．5
3
D．10
3
【答案】B
【分析】连接
,
AC BD ，交于点O，当点P 为BC 的中点，即PB
PC
时，连接PO，并延长交AD 于点E ，
设此时PAD 的外接圆的圆心为点O，先求出点P 从点B 运动到点C ，PAD 的外接圆的圆心运动的路径是
从点O运动到点O，再从点O运动到点O，其路径长是2OO，再利用勾股定理求出O E
，OE 的长，由此
即可得．
【详解】解：如图，连接
,
AC BD ，交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
6
AB
，
8
BC ，
∴O A
O C
O B
O D
，
90
BAD
ADC
ABC
BCD
，
6
CD
AB
，
8
AD
BC
，
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∴点O在PAD 的AD 边的垂直平分线上，
当点P 与点B 或C 重合时，PAD 的外接圆的圆心为点O，
当点P 为BC 的中点，即PB
PC
时，连接PO，并延长交AD 于点E ，设此时PAD 的外接圆的圆心为点O，
则OP
OD
，
在ABP 和DCP 中，
90
AB
DC
ABP
DCP
PB
PC
，
∴
ABP
DCP SAS
≌
，
∴PA
PD
，
∴此时点P 在PAD 的AD 边的垂直平分线上，
∴PE 垂直平分AD ，
∵PAD 的外接圆的圆心一定在AD 边的垂直平分线上，
∴点O一定在PE 上，
∴点P 从点B 运动到点C ，PAD 的外接圆的圆心运动的路径是从点O运动到点O，再从点O运动到点O，
其路径长是2OO，
在Rt ABD 中，
6,
8
AB
AD
，
2
2
10
BD
AB
AD
，
∴
5
O D
，
又∵PE 垂直平分AD ，
∴
1
4
2
DE
AD
，
∴
2
2
3
O E
O D
DE
，
∵
90
BAD
ABC
，PE 垂直平分AD ，
∴四边形ABPE 是矩形，
∴
6
PE
AB
，
设OE
x
，则
6
OD
OP
PE
OE
x
，
在Rt DOE 中，
2
2
2
OE
DE
OD
，即
2
2
2
4
6
x
x
，
解得
5
3
x
，
∴
5
8
2
2
2
3
3
3
OO
O E
OE
，
即点P 从点B 运动到点C ，PAD 的外接圆的圆心运动的路径长为8
3 ，
故选：B．
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【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的
判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键．
49．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形ABC 是“等
接圆三角形”，那么ABC 的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留π）
【答案】2
3
4π
或2
3
4π
【分析】根据题意，分两种情况，画出图形，进行求解即可．
【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等，
当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，
O 是等腰ABC 的外接圆，AB
AC
，OB
OC
BC
，
∴BOC 为等边三角形，
∴
60
BOC
，
∴
1
30
2
A
BOC
，
作BD
AC
于点D ，则
2
,
3
AB
BD AD
BD
，
∴
2
AC
AB
BD
，
∴
2
3
CD
AC
AD
BD
，
∴
2
2
2
2
2
2
3
1
7
4 3
8
4 3
BC
BD
BD
BD
BD
，
∴
2
2
2
8
4 3
OB
BC
BD
，
∴ABC 的面积为
2
1
2 AC BD
BD
，
O 的面积为
2
2
π
8
4 3 π
OB
BD
，
∴ABC 的面积与
O 的面积比为
2
2
2
3
4π
8
4 3 π
BD
BD
；
当
A
为钝角时，如图，连接OA交BC 于点E ，
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∵OB
OC
BC
OA
，AB
AC
，
∴OA垂直平分BC ，
∴
2
BC
BE
，
∴
2
2
2
,
3
OA
OB
BC
BE OE
OB
BE
BE
，
∴
2
3
AE
OA
OE
BE
，
∴ABC 的面积
2
1
2
3
2 BC AE
BE
，
O 的面积为
2
4π BE
，
∴ABC 的面积与
O 的面积比为2
3
4π
；
综上：ABC 的面积与
O 的面积比为2
3
4π
或2
3
4π
．
50．如图，在平面直角坐标系中，点
0,4
A
、
4,4
B
、
6,2
C
，
(1)经过A、B、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为__________；
(2)
M 的面积是__________；
(3)
AMC
的度数为__________；
(4)点P 是x 轴上的一点，且AP
CP
的值最小，则点P 坐标为__________．
【答案】(1)
2,0
(2) 20
(3)90
(4)
4,0
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质等知识，掌握确定三角形的外接圆的
圆心的方法是解题的关键．
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（1）根据垂径定理可作AB 和BC 的垂直平分线，它们的交点即为M 点；
（2）利用勾股定理可求得半径的长，再利用圆的面积公式求解即可；
（3）根据勾股定理的逆定理可求得
90
AMC
；
（4）作出点C 关于x 轴的对称点C，连接AC交x 轴于点P，点P 即为所作，根据图形即可得到点P 的坐
标．
【详解】（1）解：如图，分别作AB ，BC 的垂直平分线交于点M，则点M 为所求圆心，
由图得，点M 的坐标为
2,0 ；
；
故答案为：
2,0 ；
（2）解：如图，连接AM ，
∴
M 的半径为：
2
2
4
2
2 5
AM
，
∴
M 的面积为：
2
2
2 5
20
AM
；
故答案为：20；
（3）解：连接CM ，AC ，
∴
2
2
4
2
2 5
CM
AM
，
∵
2
2
2
6
2 10
AC
，且
2
2
2
2 5
2 5
40
2 10
，
∴AM
CM
AC
2
2
2
，
∴
90
AMC
，
故答案为：90；
（4）解：如图，点P 坐标为
4,0 ．
故答案为：
4,0 ．
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1．三角形的外心是（
）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案.
【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.
2．已知线段
7
AB
，经过A 、B 两点且半径为5 的圆有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
【答案】C
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键．
经过两点A 、B 的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，且圆心到A 、B 的距离等于半径，利用勾股定理计
算圆心到AB 中点的距离，判断是否存在这样的圆．
【详解】解：如图，
分别以A 、B 为圆心、5 为半径作圆，两圆相交于点C、D，
然后分别以C、D 为圆心，5 为半径作圆，则
C 和
D为所求．
故选：C．
3．如图所示，在4×4 的网格中，A，B，C，D，O 均在格点上，则点O 是（
）
A．ACD的外心
B．ACD的内心
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C．ABC 的重心
D．ABC 的外心
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理，
根据勾股定理求出
5
OA
OD
OC
，可得答案．
【详解】解：由勾股定理可知：
2
2
1
2
5
OA
OD
OC
，
所以点O是△ACD的外心，
故选：A．
4．已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6 和8，它的外接圆的半径是（
）
A．5
B．4
C．5 或
7
D．4 或5
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，外接圆．直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此先利用勾股定理
求出斜边长，即可求出外接圆的半径．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为6 和8，
∴斜边
2
2
6
8
36
64
100
10
c
，
∴外接圆半径
10
5
2
2
c
R
，
因此，外接圆半径为5，
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
0,3
A
，
2,1
B
，
2, 3
C
，则ABC 的外心坐标是（
）
A．
2, 2
B．
2, 1
C．
1, 2
D．
1, 1
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作
出线段
,
AB BC 的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
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由图可知：ABC 的外心坐标是
2, 1
；
故选B．
6．在平面直角坐标系中，若
1, 1
A
，
3,3
B
，
5,
C
n 三点可以确定一个圆，则n 的取值范围是(
)
A．
3
n
B．
5
n
C．
6
n
D．
7
n
【答案】D
【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线AB 的解析
式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答．
【详解】解：设直线AB 的解析式为：
,
y
kx
b
则
1
3
3
k
b
k
b
，
解得：
2
3
k
b
ì =
ïí = -
ïî
，
直线AB 的解析式为
2
3
y
x
，
当
5
x
时，
2 5
3
7
y
，
点
5,7 在直线AB 上，
A
，B ，C 三点可以确定一个圆时，
7
n
，
故选：D．
7．下列说法正确的是（
）
A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等
B．垂直于弦的直径平分弦
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外心、垂径定理以及弦与弧的关系，根据定义和定理逐项判断．
【详解】A．三角形的外心是边垂直平分线的交点，到顶点距离相等，但到边距离相等的是内心，该选项错
误；
B．由垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，故正确；
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C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧之分，不一定相等，该选项错误；
D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，该选项错误；
故选：B．
8．下面有关圆的一些结论，①三点确定一圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径平分弦所对
的两条弧；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中错误的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心是解题的关键；
根据确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及三角形的外心性质判断各结论的正误．
【详解】解：①三点确定一个圆需不在同一直线上，①错误；
②相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，②错误；
③平分弦的直径平分弦所对的两条弧需弦非直径，③错误；
④三角形的外心是外接圆的圆心，且到三个顶点的距离相等，④正确．
错误的结论有3 个，
故选C．
9．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外
找两点B 、C ，使得ABC 的外心为O，则BC 的长度为（
）
A．4
B．5
C．10
D．2 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外
心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到OB
OC
OA
，从而确定B、C 的位置，
然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵ABC 的外心为O，
OB
OC
OA
．
2
2
1
3
10
OA
，
10
OB
OC
，
B 、C 是方格纸格线的交点，
B
、C 的位置如图所示，
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2
2
2
4
2 5
BC
．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为
4,6 ，
,6
m
，
4,n ，若ABC 外接圆的圆心
坐标为
9,2 ，则m 和n 的值为（
）
A．
12
m
，
6
n
B．
10
m
，
4
n
C．
14
m
，
2
n
D．
12
m
，
8
n
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，根据三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，从而
得出4
9
2
m
，6
2
2
n
，计算即可得解，熟练掌握三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点是解
此题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为
4,6 ，
,6
m
，
4,n ，且ABC 外接圆的
圆心坐标为
9,2 ，
∴4
9
2
m
，6
2
2
n
，
∴
14
m
，
2
n
，
故选：C．
11．已知直角三角形的两直角边分别为6 和8 ，则它的外接圆的直径为_____．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟记直角三角形外接圆的直径等于斜边长是解题的关键．根
据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的直径等于斜边长即可得解．
【详解】解：
直角三角形的两直角边分别为6 和8，
直角三角形的斜边长为
2
2
6
8
10
，
这个直角三角形的外接圆的直径为：10．
故答案为：10 ．
12．三边长为7，24，25 的三角形，它的外接圆半径为________ ．
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【答案】12.5
【分析】本题考查勾股定理逆定理、圆周角定理的推论，根据勾股定理逆定理可得这个三角形是直角三角
形，再根据圆周角定理的推论可得这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，进而求解即可．
【详解】解：∵
2
2
2
7
24 = 25
，
∴这个三角形是直角三角形，
∵这个三角形的直角是它的外接圆的圆周角，
∴这个直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，
∴它的外接圆半径为25
2
12.5
，
故答案为：12.5．
13．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是______．
【答案】4 或5
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的
一半是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”
来求该直角三角形外接圆半径即可．
【详解】解：
在一个直角三角形中，两边长分别是6，8，
当6，8 是直角三角形的两条直角边时，
根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为
2
2
6
8
10
，
此三角形的外接圆的半径是10
5
2 ；
当8 是直角三角形的斜边时，
此三角形的外接圆的半径是4；
综上所述，这个三角形的外接圆的半径是4 或5．
故答案是：4 或5．
14．已知：A 点坐标为
1,0
，B 点坐标为
4,5 ，若过A、B、C 三点不能确定一个圆，写出一个满足要求
的C 点坐标_________．（写出一个就行）
【答案】
5,6 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象
与性质是解题的关键；设直线AB 的解析式为y
kx
b
，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、
B、C 三点不能确定一个圆可知：A、B、C 三点共线，进而问题可求解．
【详解】解：设直线AB 的解析式为y
kx
b
，由题意得：
0
4
5
k
b
k
b
，解得：
1
1
k
b
，
∴直线AB 的解析式为
1
y
x
，
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∵A、B、C 三点不能确定一个圆，
∴A、B、C 三点共线，
∴点C 的坐标只需满足在直线AB 上即可，例如：
5,6 ，
1,2 等等；
故答案为
5,6 （答案不唯一）．
15．一直角三角形的两直角边是方程
2
4
3
0
x
x
的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________．
【答案】10
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解
一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径
与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中a 、
b 为直角边，c 为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度
这一性质，得出外接圆的直径．
【详解】解：
2
4
3
0
x
x
，
1
3
0
x
x
，
解得
1
1
x 或
2
3
x
，
故两直角边长分别为1和3．
由勾股定理，斜边长为
2
2
1
3
1 9
10
．
故外接圆直径为
10 ．
故答案为：10 ．
16．已知直角三角形模具的两条直角边为6cm 和8cm ，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这
个圆形纸片的最小直径为___________cm ．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义和勾股定理．圆形纸片完全盖住直角三角形时，最小直径应等
于直角三角形的斜边长，据此进行求解即可．
【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为6cm 和8cm ，
由勾股定理得，斜边长为
2
2
6
8
10cm
．
∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长，
∴圆形纸片的最小直径为10cm．
故答案为：10．
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为
6,1 ，点B 坐标为
4,1 ，点C 坐标为
2,3 ，则能完全覆
盖ABC 的最小圆的半径为______．
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【答案】5
【详解】解：以AC 为直径的圆是能完全覆盖ABC 的最小圆
能完全覆盖ABC 的最小圆的半径为：
2
2
1
4
2
5
2
，
故答案为：5 ．
18．将边长为6 的正方形ABCD和边长为3 的正方形DEFG 如图摆放，使得A 、D 、E 三点共线，此时经
过B 、C 、F 三点作一个圆，则该圆的半径为______．
【答案】3 5
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取AD 的中点O，连接OB 、OC 、OF ，根据勾股定理分
别求出OB 、OC 、OF ，得到答案．
【详解】解：取AD 的中点O，连接OB 、OC 、OF ，
由题意得：
3
OA
OD
，
由勾股定理得：
2
2
6
3
3 5
OB
，
2
2
6
3
3 5
OC
，
2
2
6
3
3 5
OF
，
∴OB
OC
OF
，
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∴点O 为经过B、C、F 三点的圆的圆心，该圆的半径为3 5 ，
故答案为：3 5 ．
19．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为
4,4 ，则该圆弧所在圆的半径为
__________．
【答案】2 5
【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理．
作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆
心．
0,4
A
、
4,4
B
，
A
与B 关于直线
2
x
对称，
即
2
x
垂直平分AB ；
6,2
C
，
BC
中点坐标是
5,3 ，
则连接
2,0 与
5,3 ，刚好是正方形的对角线，
即这条正方形对角线垂直平分BC ；
如图所示：
则圆心是
2,0 ，
则圆的半径为
2
2
2
4
20
2 5
.
故答案为：2 5 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为
1,4 ，
5,4 ，
1,0 ，则以A 、B 、C 为顶点
的三角形外接圆的圆心坐标是______．
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【答案】
3,2
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”
作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，
∵点A 、B 、C 的坐标分别为
1,4 ，
5,4 ，
1,0 ，
所以弦
5 1
4
AB
，弦
4
0
4
AC
，
∴弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
3,0 ，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点
0,2 ，
∴两条垂直平分线的交点
1
O 即为三角形外接圆的圆心，且
1
O 点的坐标是
3,2 ．
故答案为：
3,2 ．
21．如图是一残破圆轮，A，B，C 是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见详解
【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段AB
AC
，
的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段AB 与线段AC 的垂直平分线的交点即为圆心O
【详解】
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22．如图，已知ABC ．
(1)用直尺和圆规作ABC 的外接圆
O （保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若
O 的半径为5，点O到BC 的距离为3，求BC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识，
（1）作线段AB ，AC 的垂直平分线交点为O，点O即为ABC 的外接圆的圆心；
（2）作OE
BC
于.
E 利用勾股定理求出BE ，再利用垂径定理可得BE
EC
，求出BC 即可．
【详解】（1）解：如图，作线段AB ，AC 的垂直平分线交点为O，点O即为ABC 的外接圆的圆心；
（2）解：作OE
BC
于E ．
在Rt OBE 中，
5
OB
，
3
OE
，
2
2
2
2
5
3
4
BE
OB
OE
，
OE
BC
，
4
BE
EC
，
8
BC
BE
EC
．
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23．（1）已知：ABC （图①），求作：ABC 的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，
不要求证明）
（2）如图②，A 为
O 上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交
O 于点B ；③在射线OB 上截取BC
OA
；④连接
AC ．若
3
AC
，求
O 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
O 的半径3 ．
【分析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心．
（1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；
（2）由题意易得OAB是等边三角形，则
60
OAB
OBA
O
，进而可得
30
C
BAC
，然后可
得
2
2
3
AC
OC
OA
OA
，最后问题可求解．
【详解】解：（1）ABC 的外接圆
O 如图所示：
（2）连接AB ，
∵OA
OB
，
由作图知OA
AB
，
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∴OA
OB
AB
，
∴OAB是等边三角形，
∴
60
OAB
OBA
O
，
∵BC
OA
，
∴BC
BA
，
∴
30
C
BAC
，
∴
90
OAC
，
∴在Rt OAC 中，
2
2
3
AC
OC
OA
OA
，
∵
3
AC
，
∴
3
OA
，
∴
O 的半径3 ．
24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A
B
C
、、
，现在以格点O为原
点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)请标出该圆弧所在圆的圆心D ，并写出圆心D 的坐标；
(2)求
D的半径；
(3)若点E 的坐标是
1,3
，试判断点E 与
D的位置关系，并说明你的理由．
【答案】(1)见解析；
(2,0)
D
(2) 2 5
(3)点E 在
D内部
【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键．
（1）连接BC ，则圆心D 是线段BC 、AB 垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D 的位置及坐
标；
（2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解；
（3）利用勾股定理求出DE ，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系．
【详解】（1）解：圆心D 如图所示；
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圆心坐标为
(2,0)
D
；
（2）解：由勾股定理得
D半径为：
2
2
4
2
2 5
；
（3）解：点E 在
D内部；
2
2
3
3
3 2
DE
，
而3 2
2 5
，
故点E 在
D内部．
25．在如图所示的方格纸中存在ABC ，其中，点A ，B ，C 均在格点上．
(1)用直尺作出ABC 的外接圆圆心O．
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求ABC 外接圆半径R 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 10
【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的
垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（2）连接OB 计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求．
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（2）解：连接OB ．
2
2
1
3
10
OB
．
故外接圆半径R 的长为10 ．
26．如图所示，在平面直角坐标系中有ABC ，请在图中画出ABC 外接圆的圆心P．
(1)圆心P 的坐标是________；
(2)判断点
6 5
M
，是否在
P 上？
【答案】(1)作图见解析；
5 2
，
(2)点M 不在
P 上，在
P 内
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的
交点是解答本题的关键．
（1）作AB 和BC 的垂直平分线，它们的交点为ABC 的外接圆的圆心，然后直接读出ABC 的外接圆的圆
心坐标．
（2）先求出MP 的值，根据点和圆的位置关系进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：点P 即为所求；
所以点P 的坐标为
5 2
，．
故答案为：
5 2
，．
（2）解：
2
2
5
6
2
5
10
MP
，
圆的半径
2
2
3 5
6
2
2 5
PA
，
∵10
2 5
，
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∴点M 在
P 内，不在
P 上．
27．如图，在Rt ABC 中，
90
C
．
(1)求作：ABC 的外接圆
O （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若
6
AC
cm
，
8
BC
cm
，求
O 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
2
25 cm
【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点
时解题的关键．
（1）作出AB 的垂直平分线，交AB 于点O，以点O 为圆心，OA为半径画圆，
O 即为所求；
（2）先根据勾股定理求出
2
2
10cm
AB
AC
BC
，进而得出
1
5cm
2
OA
AB
，最后根据圆的面积公式，
即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，
O 即为所求；
（2）解：∵
90
C
，
6
AC
cm
，
8
BC
cm
，
∴根据勾股定理可得
2
2
10cm
AB
AC
BC
，
∴
1
5cm
2
OA
AB
，
∴
O 的面积
2
2
5
25
cm
．
28．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．
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(1)用尺规作图法找出弧BAC 所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设ABC 是等腰三角形，底边
8cm
BC
，腰
5
AB
cm
．求圆片的半径R．
【答案】(1)见解析
(2)
25
6
R
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角BEO ，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）分别作AB 和AC 的垂直平分线，设交点为O，则O 为所求圆的圆心；
（2）连接AO
BO
、
, AO 交BC 于E ,
∵AB
AC
AE
BC
，
1
1
8
4
2
2
BE
BC
，
在Rt ABE 中,
2
2
2
2
5
4
3
AE
AB
BE
，
设
O 的半径为R ，
在Rt BEO 中,
2
2
2
OB
BE
OE
，
即
2
2
2
4
3
R
R
，
25
6
R
，
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定
理的应用．
29．如图，ABC 中，
.
AB
AC
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(1)用直尺和圆规作ABC 的外接圆
O （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若
5
AB
AC
，
6
BC
，求ABC 的外接圆
O 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 25
8
【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，相交于点O，再以点O 为圆心，OB 的长为半径画圆，即可得ABC
的外接圆．
（2）连接AO 并延长，交BC 于点D，连接OB ，可得AD
BC
，即可得
1
3
2
BD
DC
BC
，
90
ODB
，
在Rt ABD 中，根据勾股定理得，
2
2
4
AD
AB
BD
，设ABC 的外接圆
O 的半径为x，则OB
OA
x
，
4
OD
AD
OA
x ，在Rt BOD中，根据勾股定理得，
2
2
2
OB
OD
BD
，代入求出x 的值即可．
【详解】（1）解：如图，分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，相交于点O，再以点O 为圆心，OB 的长为
半径画圆，
则
O 即为所求．
（2）解：连接AO 并延长，交BC 于点D，连接OB ，
得AD
BC
，
1
3,
90
2
BD
DC
BC
ODB
，
在Rt ABD 中，根据勾股定理得，
2
2
2
2
5
3
4
AD
AB
BD
，
设ABC 的外接圆
O 的半径为x，
则OB
OA
x
，
4
OD
AD
OA
x ，
在Rt BOD中，根据勾股定理得，
2
2
2
OB
OD
BD
，
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即
2
2
2
(
)
4
3
x
x
，
解得
25
8
x
ABC
的外接圆
O 的半径为25
8 ．
30．如图，在坐标系中，
(1,6)
A
、
(5,6)
B
、
(
)
7,4
C
．
(1)经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为________；
(2)这个圆的半径为：_______；
(3)直接判断点
(5, 3)
D
与
M 的位置关系．点
(5, 3)
D
在
M ________．（填“内”、“外”、“上”）
【答案】(1)
3,2
(2) 2 5
(3)外
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握圆心在弦的垂直平分线上是解题的关
键．
（1）利用网格特点，作AB 和BC 的垂直平分线，它们的交点为点M，从而得到点M 的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出MA，即可求解；
（3）先计算出MD ，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点
(5, 3)
D
与
M 的位置关系．
【详解】（1）解：如图，利用网格特点，作AB 和BC 的垂直平分线，交于点M，
圆心M 的坐标为
3,2 ．
（2）
3,2
M
，
1,6
A
，
2
2
1 3
6
2
2 5
MA
，
圆的半径长为2 5 ．
（3）
3,2
M
，
5, 3
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学科网（北京）股份有限公司
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