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第12 讲点与圆、直线与圆的位置关系
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断点与圆的位置关系
题型2 利用点与圆的位置关系求半径
题型3 点与圆上一点的最值问题
题型4 判断直线和圆的位置关系
题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离
题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型9 有关切线的概念辨析
题型10 证明某直线是圆的切线
题型11 切线的性质定理
题型12 切线的性质和判定的综合应用
题型13 应用切线长定理求解
题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型15 三角形内心有关应用
题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型17 三角形内切圆与外接圆综合
题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
题型19 圆与三角形综合（压轴）
题型20 圆与四边形综合（压轴）
题型21 圆与函数综合（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
1. 掌握点与圆的三种位置关系及对应的数量判定方法。
2. 理解直线与圆的三种位置关系，熟记相关定义特征。
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切线长定理
三角形内心
3. 学会利用距离与半径的大小关系判定位置关系。
4. 能运用位置关系公式进行简单几何计算与判断证明。
5. 提升数形结合能力，熟练解决相关几何实际题型。
学习重点：掌握点、直线与圆的位置关系，会用数量关系准确判定位置关系。
学习难点：灵活运用数形结合思想，解决位置关系综合计算与推理问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点和圆的
点到圆心的距离与半径的关系
图示
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位置关系
文字语言
符号语言
点在圆内
圆内各点到圆心的距离都小于半径，
到圆心的距离小于半径的点都在圆内
点P 在圆内
<
d
r
点在圆上
圆内各点到圆心的距离都等于半径，
到圆心的距离等于半径的点都在圆上
点P 在圆上
=
d
r
点在圆外
圆内各点到圆心的距离都大于半径，
到圆心的距离大于半径的点都在圆外
点P 在圆外
>
d
r
注意：（1）利用d 与r 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定d 与r 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
即时即练
1．若
O 的半径为4cm ，点A 到圆心O的距离为5cm，那么点A 与
O 的位置关系是（
）
A．点A 在圆外
B．点A 在圆上
C．点A 在圆内
D．不能确定
2．线段
6
AB
，在以AB 为直径的
O 外有一点C ，则OC 的长的取值范围为______．
3．已知矩形ABCD的边
6
AB
cm
，
8
AD
cm
．
(1)以点A 为圆心、8cm 为半径作
A，求点B，C，D 与
A的位置关系；
(2)若以点A 为圆心作
A，使B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求
A的半径
r 的取值范围．
知识点02 直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系
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直线与圆有三种位置关系，如下所示：
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公共点
时，叫做直线与圆相交
直线和圆只有一个公共
点时，叫做直线与圆相切
直线和圆没有公共点时，
叫做直线与圆相离
图示
公共点个数
2
1
0
圆心到直径的距离d 与圆
半径r 之间的大小关系
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
交线/割线
切线
无
结论
直线与
相交
直线与
相切
直线与
相离
判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
即时即练
4．平面内，若
O 的半径为3，圆心O到直线l 的距离为2 ，则直线l 与
O 的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
5．已知在直角坐标系中，以点
0,3
A
为圆心，以3 为半径作
A，则直线
2
0
y
kx
k
与
A的位置关
系是__________（相切、相交或相离）．
6．如图坐标系中，
1 2
A ，，以A 为圆心，r 为半径画圆，
(1)当
A与坐标轴有一个公共点时，r 的取值范围是；
(2)当
A与坐标轴有两个公共点时，r 的取值范围是；
(3)当
A与坐标轴有三个公共点时，r 的取值范围是；
(4)当
A与坐标轴有四个公共点时，r 的取值范围是；
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知识点03 切线的判定定理与性质定理
切线的判定定理与切线的性质定理
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图所示，OA 是
的一条半径，直线l 经过点A 且OA⊥l，则l 是
的切线.
判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：
（1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；
（2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
（3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图所示：直线l 是
的切线，切点为点A，则OA⊥l.
即时即练
7．如图：等腰ABC ，以腰AB 为直径作
O 交底边BC 于P，PE
AC
，垂足为E．求证：PE 是
O 的切
线．
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8．如图，AB 为
O 的直径，取OA的中点C，过点C 作CD
AB
交
O 于点D，D 在AB 的上方，连接AD 、
BD ，点E 在线段CA 的延长线上，且AD
AE
．
(1)求
E
的度数；
(2)试判断ED 与
O 的位置关系，并说明理由．
9．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，DC 与
O 相切于点C．连接BC ，AC ．
(1)求证：
A
BCD
；
(2)若
45
D
，
O 的半径为2，求线段AD 的长．
知识点04 三角形的内切圆
三角形的内切圆
1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的
内部.
3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂
线段的长度就是内切圆的半径.
补充：三角形外心与内心对比：
图形
名称
性质
位置
角度关系
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外心（三角形外接
圆的圆心，三角形
三边中垂线的交
点）
到三角形三个顶
点的距离相等
外心不一定在三
角形的内部
∠BOC＝2∠A
内心（三角形内切
圆的圆心，三角形
三条内角平分线
的交点）
到三角形三边距
离相等
内心一定在三角
形的内部
∠BOC＝90°＋
∠A
即时即练
10．如图，ABC 中，
80
A
，点O是ABC 的内心．则
BOC
的度数（
）
A．60
B．80
C．120
D．130
11．如图，点I 和O分别是ABC 的内心和外心，若
125
AIB
，则
AOB
的度数为（
）
A．120
B．125
C．135
D．140
12．如图，圆O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°；
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知识点05 切线长及切线长定理
切线长及切线长定理
1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；
2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角.
拓展：如图所示：过
外一点P 引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO 并延
长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌
△BCP；③弧相等：
.
即时即练
13．如图，P 是
O 外一点，PA ，PB 分别和
O 切于A、B，C 是弧AB 上任意一点，过C 作
O 的切线分
别交PA ，PB 于D、E，若PDE 的周长为20cm ，则PA 长为_______．
14．如图，AC ，AB ，BD 是
O 的切线，切点分别为C，E，D 点，若
12
AB
，
3
BD
，则AC 的长为
________．
15．如图，PA
PB
、
是
O 的切线，A
B
、为切点，
30
OAB
．
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(1)求
APB
的度数；
(2)当
3
AP
时，求
O 的半径．
题型1 判断点与圆的位置关系
1．已知
O 的半径为6，点A 到圆心O的距离为7，则点A 与圆的位置关系为（
）
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．不确定
2．已知
O 的半径是3，点P 在
O 上，则点P 到圆心O的距离d 满足（
）
A．
3
d
B．
3
d
C．
3
d
D．
6
d
3．已知
O 的直径是10，点P 到圆心O 的距离d 为方程
2
4
5
0
x
x
的一个根，则点P 在
O 的_____．
（填
“内部”、“外部”、“上”）
4．设
O 的半径为2，点P 到圆心O 的距离OP
m
，且m 使得关于x 的方程
2
2
2 2
1
0
x
x
m
没有实
数根，则点P 与
O 的位置关系为________．
题型2 利用点与圆的位置关系求半径
5．平面上的一点和
O 的最近点距离为4cm ，最远距离为10cm，则这个圆的半径是（
）
A．7cm
B．3cm 或5cm
C．3cm 或7cm
D．5cm或7cm
6．已知矩形ABCD中，
4
3
AB
BC
，
，以点B 为圆心r 为半径作圆，且
B 与边CD有唯一公共点，则r
的取值范围为（
）
A．3
4
r
B．3
5
r
＜
C．3
4
r
D．3
5
r
7．如图，在矩形ABCD中，
3
AB
，
4
AD
．以点A 为圆心作
A，且使点B 、C 、D 中至少有一个点在
A 内，同时至少有一个点在
A外，则
A的半径r 应满足的条件是________．
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8．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，
8
AC
，
6
BC
，点O为AB 的中点．现以点O为圆心，r 为半径
作圆．若
O 与三角形的三边（包括顶点）有3 个公共点，则r 的值为________．
【易错警示】
利用点与圆的位置关系求半径时，容易混淆点在圆内、圆上、圆外的距离范围。解题时常忽略分类讨论，
混淆圆心到点的距离与半径的大小关系，错用对应公式，造成半径求解结果漏解或错解。
题型3 点与圆上一点的最值问题
9．如图，在正方形ABCD中，
4
AB
，
,
E F 分别是边CD和AD 上的动点，且AF
DE
，BE 与CF 交于点
G ，连接AG ，则AG 的最小值是（
）．
A．2 5
2
B．3
C．2 2
D．2 2
2
10．如图，矩形ABCD中，
4
AB
，
6
AD
，点
,
E F 分别是
,
AB BC 边上的两动点，且
2
EF
，点G 为EF
的中点，点H 为AD 边上一动点，连接
,
CH GH ，则GH
CH
的最小值为（
）
A．4 5
B．9
C．
83
D．85
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11．如图，点A，B 的坐标分别为
8,0
A
，
0,8
B
，C 为
B 上一点，
4
BC
，M 为线段AC 的中点，连接
OM ，则OM 的最小值为______．
12．如图，在长方形ABCD中，
4
6
AB
AD
，
，E 点是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF
沿EF 所在的直线翻折，得GEF ，则GC 长的最小值是___________________．
题型4 判断直线和圆的位置关系
13．如图，Rt ABC 中
90 ,
5,
3
C
AB
AC
，以AB 边的中点O为圆心，2 为半径作
O ，下列判断错误
的是（
）
A．点C 在
O 外
B．点A 在
O 内
C．BC 与
O 相交
D．AC 与
O 相切
14．Rt ABC 中，
90
ACB
，
5
AC
，
12
BC
，以C 为圆心，r 为半径作圆，此圆与直线AB 只有一个
公共点，则r （
）
A．6
B．65
12
C．60
13
D．30
13
15．已知
O 的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为4 ，若关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
rx
有两个不相等
的实数根，则直线l 与
O 的位置关系为______．
16．如图，已知ABC 中，BC
BA
，
30
CAB
，
O 经过点B 和点C，与AC 交于点D，且
O 的圆心
O 在CA 边上．
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(1)尺规作图：请根据题意，作出
O 并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)判断直线AB 与
O 的位置关系：_____________．
(3)若
2
AD
，则
O 的面积_____________．
题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
17．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
4
AC
，
3
BC ．以点C 为圆心，r 为半径作圆．若
C 与斜边AB
所在直线有且只有一个公共点，则r 的值为（
）
A．12
5
B．3
C．4
D．5
18．已知在ABC 中，
90
C
，
3
AC
，
4
BC
，以点C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与斜边AB 有两
个公共点，则r 的取值范围是（）
A．
12
5
r
B．12
3
5
r
C．12
4
5
r
D．
12
5
r
19．如图，Rt ABC 中，以点A 为圆心作
A，与BC ，AC 有交点（不经过点B ，C 两点），
90
B
，
30
C
．若
3
AB
，则
A的半径r 的取值范围是________．
20．“等弦”的探究．
(1)如图①，在
O 中，AB ，CD是弦，且AB
CD
．由此，你能发现什么？小明发现点O到AB ，CD的距
离相等．小红发现延长AB ，CD交于点P ，则PA
PC
．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一
个完成证明．
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(2)如图②，已知ABC ，O 与ABC 各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若
3
AC
，
4
BC
，
5
AB
，
O 的半径为r ，则r 的取值范围是_____．
题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
21．如图，已知
O 的半径为6，点O到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是（
）
A．AD
B．AB
C．BC
D．CD
22．如图，在梯形ABCD 中，AD
BC ，
90
B
，
16
CD
，
6
BC
AD
，如果以CD为直径的圆与梯
形ABCD各边共有3 个公共点（C，D 两点除外），那么AD 长的取值范围是（
）
A．5
16
AD
B．5
8
AD
C．5
8
AD
D．0
5
AD
23．已知
O 的半径是5，点A 在
O 上．P 是
O 所在平面内一点，且
2
AP
，过点P 作直线l ，使l
PA
．
（1）点O到直线l 距离的最大值为______；
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（2）若M ，N 是直线l 与
O 的公共点，则当线段MN 的长度最大时，OP 的长为______．
24．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
3
BC ，
4
AC
，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且
3
DE
，
若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为______．
题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离
25．如图，
30
APB
，圆心在边PB 上的
O 的半径为3cm ，
8
OP
cm
．若
O 在BP 上向点P 移动，当
O
与PA 相切时，圆心O移动的距离为________cm ．
26．如图，在直线l 上有相距5cm 的两点A 和O（点A 在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm 的圆，
过点A 作直线AB
l
．将
O 以2
/
cm s 的速度向右移动（点O始终在直线l 上），则
O 与直线AB 在______
秒时相切．
27．如图，直线AB 、CD相交于点O，
45
AOC
，
P 的半径为
2cm ，且
4cm
OP
，如果
P 以1
/
cm s
的速度沿由A 向B 的方向移动，则___________秒时
P 与直线CD相切．
28．如图，半径
2 2
r
的⊙M 在x 轴上平移，且圆心M 在x 轴上，当⊙M 与直线
2
y
x
相切时，圆心M
的坐标为（）
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A．(0，0)
B．(2，0)
C．（-6，0）
D．(2，0) 或（-6，0）
题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离
29．已知：O 的半径为2cm ，圆心到直线l 的距离为1cm ，将直线l 沿垂直于l 的方向平移，使l 与
O 相切，
则平移的距离是（
）
A．1cm
B．1cm 或2cm
C．2cm 或3cm
D．1cm 或3cm
30．如图，在平面直角坐标系中，
P 与x 轴分别交于A、B 两点，点P 的坐标为(3, 1)
，
2 3
AB
．将
P
沿着与y 轴平行的方向平移，使得
P 与x 轴相切，则平移的距离为（
）
A．1
B．1 或2
C．3
D．1 或3
31．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 的⊙P 的圆心P 的坐标为（-3，0），将⊙P 沿x 轴正
方向平移，使⊙P 与y 轴相切，求平移的距离．
32．已知：直线
0
y
kx k
经过点
3, 4
.
（1）求k 的值；
（2）将该直线向上平移
0
m m
个单位，若平移后得到的直线与半径为6 的
O 相离（点O为坐标原点），
试求m 的取值范围.
题型9 有关切线的概念辨析
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33．下列说法中，正确的是（
）
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等
C．三角形有且只有一个内切圆
D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
34．如图，与
O 相切的直线是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．1l 和3l
35．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径
所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
36．当点P 在⊙O 上时, 经过点P 能作________条直线与⊙O 相切. 若过点P 能作⊙O 的两条切线,则点P
必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”)
题型10 证明某直线是圆的切线
37．如图，在Rt AOB 中，
90
AOB
，OA
OB
，C 是AB 的中点，以OC 为半径作
O ．
(1)求证：AB 是
O 的切线；
(2)若
2
OC
，求OA的长．
38．如图，ABC 中，AB
AC
，
30
B
C
，点A 在以CD为直径的
O 上．
(1)求
ADC
度数；
(2)求证：AB 是
O 的切线．
39．如图，在ABC 中，
B
C
，点D 是边BC 的中点，点O 是边AB 上的点，以O 为圆心，OA为半径
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的
O 交
,
,
AB BC AD 于点F，E，G，且点E 是弧GF 的中点，连接OE ．
(1)求证：BC 是
O 的切线；
(2)若
4,
2
BE
BF
，求
O 的半径．
40．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是
O 上两点，
2
ABD
A
，过C 作CE
DB
交DB 的延长线于E ．
(1)求证：CE 是
O 的切线；
(2)若
6
DB
，
4
CE
，求
O 的半径长．
【易错警示】
证明切线时易混淆两种判定方法，有公共点忘连半径证垂直，无公共点不作垂直证半径。常缺失关键推理
步骤，仅凭图形直观判定，忽视严谨证明过程，导致切线证明逻辑不完整、答题失分。
题型11 切线的性质定理
41．如图，点A，B 在
O 上，
90
AOB
，点C 在OB 的延长线上，过C 作
O 的切线，切点为D，连接
AD 交OC 于点E．
(1)求证：CE
CD
；
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(2)若
1
OE ，
2
BC
，求AE 的长．
42．如图，在Rt ADE 中，
90
D
，点O在边AE 上，以点O为圆心，OA为半径作圆，与AE 交于点B ，
恰与DE 相切于点C ，连接AC ，
2
BE
，
4
CE
．
(1)求证：AC 平分
DAE
；
(2)求OA的长．
43．如图，在ABC 中，
90
ABC
，O 是ABC 外接圆，点D 是圆外一点，DB 是
O 的切线．连接DO ，
DO 与AB 交于点E ．
(1)求证：
DBA
ACB
；
(2)若DO
AB
，
2
BC
，
4
DE
，求
O 的半径．
44．如图，在
O 中，AB 是直径，BC 是弦，D 为BC 的中点，连接OD 并延长交
O 于点E，BF 为
O 的
切线交AE 的延长线于点F．记AE 与BC 的交点为H．
(1)求证：
BOE
CBF
．
(2)若H 为CD的中点，
O 的半径为4，求OD 的长．
题型12 切线的性质和判定的综合应用
45．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA为半径的圆交AB 于D，延长AO 交
O 于E，连
接CD，CE ，若CE 是
O 的切线．
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(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
4
5
CE
OC
，
，则DBC 的面积＝______．
46．如图，AB 是
O 的直径，点C 是
O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点M ．作AD
MC
，垂
足为点D ，已知AC 平分
MAD
．
(1)求证：MC 是
O 的切线；
(2)若AB
BM
，
2 6
MC
，求
O 的半径．
47．如图，圆内接四边形ABCD的边AB 过圆心O，过点C 的直线与边AD 所在直线垂直于点M．
(1)若CM 是
O 的切线，且
55
ABC
．求
ACD
的度数．
(2)试猜想
CAB
与
BAD
满足什么关系时，直线CM 与
O 相切？并说明理由．
48．如图，AB 为
O 的直径，CB 是
O 的切线，切点为点B，点D 为
O 上一点，连接CD并延长交BA 的
延长线于点
,
E CD
CB
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
4,
8
AE
DE
，求
O 的半径长．
题型13 应用切线长定理求解
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49．如图，圆O 是ABC 的内切圆，
2cm
AC
，DE 交AB 于点D，交BC 于点E，且DE 是O 的切线．若
BDE 的周长为5cm，则ABC 的周长为（
）
A．8cm
B．9cm
C．10cm
D．11cm
50．如图，EA ，ED 是
O 的切线，切点为A ，D ，点B ，C 在圆
O 上，若
235
ABC
CDE
，则
E
（
）
A．55°
B．65°
C．70°
D．78°
51．如图，AB 为
O 的弦，PA ，PB 为
O 的切线，且AB
AP
，点C 为劣弧上一动点（点C 与点A ，B
不重合），则
ACB
的度数为______．
52．如图，EA ，ED 是
O 的切线，切点为A，D，点B，C 在
O 上，若
236
BAE
BCD
，则
E
_______________．
题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
53．在ABC 中，
90
C
，
10
AB
，且
6
AC
，则这个三角形的内切圆半径为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
54．如图，ABC 的内切圆
O 与边BC
CA
AB
，
，
分别相切于点D
E
F
，，
．已知
3
4
5
AB
BC
CA
，
，
，
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则BD 的长为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
55．如图，E，F，G，H 四点分别在正方形ABCD 的四条边上，AF
BG
CH
DE
．若
17,
13
AB
EF
，
则GCH 的内切圆半径为___________ ．
56．已知ABC ，按要求完成作答
(1)用直尺和圆规作如图ABC 的内切圆⊙O．
(2)若
110
AOC
，则
B
______；
(3)若ABC 面积为6，周长为10，则ABC 的内切圆半径为________．
题型15 三角形内心有关应用
57．如图，ABC 的内切圆
O 与
,
,
BC CA AB 分别相切于点D，E，F．
(1)点O 是ABC 的_______心；
(2)如图1，若
9
AB
，
14
BC
，
13
CA
．设AF
x
，求BF 的值；
(3)如图2，若
90
B
，
,
,
AB BC CA 的长分别是a，b，c，则
O 半径是_______（用含a，b，c 的式子表
示）．
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58．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 为
O 的直径，点E 为ABC 的内心，连接AE 并延长交
O 于点D ，
连接BD 并延长至点F ，使得BD
DF
，连接CF
BE
、
．
(1)求证：DB
DE
；
(2)判断直线CF 与
O 的位置关系，并说明理由．
59．如图，在ABC 中，
90
C
．
(1)实践与操作：在图1 中用尺规作图法作出ABC 的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)证明与应用：如图2，
I 与ABC 的三边分别相切于D
E
F
、、
，连接ID、IE，
①判断四边形IDCE 的形状并证明；
②若
60 ,
2
A
AC
，求
I 的半径．
60．已知，如图，AB 为
O 的直径，ABC 内接于
O ，BC
AC
，点P 是ABC 的内心，延长CP 交
O
于点D ，连接BP ．
(1)求证：BD
PD
；
(2)已知
O 的半径是3 2 ，
8
CD
，求BC 的长．
题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
61．如图，ABC 的周长为22cm ，
6
AB
cm
，
O 是它的内切圆，直线DE 是位于
O 右侧的任意一条切
线，若沿着直线DE 剪下CDE ，则剪下的CDE 的周长为（
）
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A．16cm
B．12cm
C．10cm
D．随直线DE 的变化而变化
62．如图是一张四边形纸片ABCD，已知
3dm
6dm
90
AB
BC
AD
CD
A
C
，
，
，要在该纸片中
剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（
）
A．1dm
B．2dm
C．
3dm
D．2
5dm
5
63．如图，
O 是ABC 的内切圆．
（1）若
80
A
，则
BOC
的度数为______．
（2）若
14,
5,
7
ABC
S
AB
BC
△
，则
O 的半径为______．
64．如图，ABC 的内切圆
O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D，E，F，且
5
AB
cm
，
7cm
BC
，
6cm
CA
．
如图，ABC 的内切圆
O 与BC
CA
AB
，
，
分别相切于点D，E，F，
(1)求AF 的长．
(2)已知
2
6 6cm
ABC
S
△
，求OD 的长．
题型17 三角形内切圆与外接圆综合
65．在ABC 中，
50
A
，
O 是ABC 的内切圆，连接OB 、OC ，则
BO
C 的度数为（
）
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A．105
B．110
C．115
D．125
66．如图，周长为15cm的三角形纸片ABC ，小刚想用剪刀剪出它的内切圆
O ，他先沿着与
O 相切的DE
剪下了一个三角形纸片BDE ，已知
4
AC
cm
，则三角形纸片BDE 的周长是（
）
A．10cm
B．9cm
C．8cm
D．7cm
67．如图，
O 为ABC 的外接圆，其中
50
B
，点I 为ABC 的内心，连接
I
A 并延长交
O 于点D，连
接IC
CD
，
，则
ICD
____．
68．如图，在ABC 中，
90
ACB
．
(1)在图1 中作ABC 的外接圆
O ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，点I 是ABC 内切圆的圆心，当
6
AC
，
8
BC 时，连接
I
O ，求
I
O 的长．（可在备
用图中画出图形）
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题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）
69．已知：圆O及圆外一点P ，求作：过点P 作圆O的切线．
作法：①连接OP ，分别以O，P 为圆心，大于1
2 OP 的长为半径作弧，两弧分别交于点C 和E ，连接CE ，
交OP 于点D ；
②以D 为圆心，OD 长为半径作圆D ，交圆O于点A ，B 两点；
③作直线PA ，PB ．
所以直线PA ，PB 为
O 的切线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明推理的依据
证明：连接OA，OB ，
∵OP 为
D的直径，且点A 、B 在
D上，
∴OA
AP
，OB
BP
（①_______________），
∵OA，OB 为
O 的半径，
∴直线PA ，PB 为
O 的切线（②_______________）．
70．如图，由边长为1的小正方形组成的7 7
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且A
B
C
、、
是格点．仅
用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中先作直径CE ，再过点E 作
O 的切线；
(2)在图2 中，点D 是
O 与网格线的交点，先在AB 上方作
2
BF
AD
；再在AB 下方作弦DG
BC
．
71．如图，
O 半径是3，点P 是
O 外一点，且
5
OP
．
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(1)请用直尺和圆规作出过点P 的
O 的两条切线，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不写画法和证明）．
(2)若点C 是AB 上任意一点（点C 不与点A、B 重合），过点C 的切线交PA
PB
、
于点D、E．则PDE 的
周长是．
72．已知：如图，
O 及
O 外一点P，
(1)求作：过点P 的
O 的切线PA
PB
，
（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，
OP 是
M 的直径，
OAP
_______°（）（填依据）
OA
AP
．
又
OA为
O 的半径，
直线PA 是
O 的切线（）（填依据）
同理可证，直线PB 也是
O 的切线．
题型19 圆与三角形综合（压轴）
73．如图，在Rt ABC 中，
90
ACB
，AO 平分
BAC
交BC 于点O，以点O为圆心，OC 为半径的圆交BC
于点D ．
(1)求证：AB 为圆O的切线；
(2)若
6
AC
，
8
BC ，求圆O的半径R ．
74．如图，ABC 中，AB
AC
，以AB 为直径的
O 与AC ，BC 分别交于点D 和点E ，过点E 作EF
AC
，
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垂足为F ，连接DE ．
(1)求证：EF 是
O 的切线；
(2)若
6
CD
，
10
BC
，求
O 半径．
75．AC 为圆O 直径，BC 切圆O 于点C，过点C 作CM
OB
交圆O 于点M，交OB 于点F，连接BM ．
(1)如图1，求证：BM 为圆O 切线；
(2)如图2，过点A 作AD
BM 交OB 于点D，求证BC
AD
；
(3)在（2）的条件下，连接AM ，当AD
AC
时，
2 2
AM
，求BM 的长．
76．如图，
O 的半径为1，A，P，B，C 是
O 上的四个点，
60
APC
CPB
．
(1)请判断ABC 的形状？说明理由；
(2)当点P 位于AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
题型20 圆与四边形综合（压轴）
77．[感知]如图①，
O 为等边ABC 的外接圆．AD 为
O 的直径，线段AD 与BC 交于点E，探究线段
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AE
BD
DE
、
、
的数量关系．
小明同学的做法是：过点C 作BD 的垂线交BD 延长线于点F，连接CD．易证AD
BC
．进而得出
BCF
ACE
≌
，
CDE
CDF
≌
△
△
．则线段AE
BD
DE
、
、
的数量关系是：
BD
DE
______．
[探究]如图②，等腰三角形ABC 中．AC
BC
，O 为ABC 的外接圆，D 为弧BC 上一点，CE
AD
于E，
探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．
[应用]如图③，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，AC
BC
．点D 在
O 上，且点D 与点C 位于线段AB
两侧，过点C 作线段AD 的垂线，交线段AD 于点E，若点E 为AD 的三等分点，则DB
AC 的值为______．
78．【感知】如图①点A
B
C
P
、、、
均在
O 上，
45
BAC
，则
BPC
的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC 上（点P 不与点A
C
、
重合），连接PA
PB
PC
、
、
．求证：PB
PA
PC
．小明发现，延长PA 至点E ，使AE
PC
，连接BE ，
通过证明PBC
EBA
≌
．可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA 至点E ，使AE
PC
，连接BE ．
四边形ABCP 是
O 的内接四边形，
180
BAP
BCP
，
180 ,
BAP
BAE
BCP
BAE
，
ABC 是等边三角形，
BA
BC
，
SAS
PBC
EBA
≌
．请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，
O 是ABC 的外接圆，
90 ,
ABC
AB
BC
，点P 在
O 上，且点P 与点B 在AC 的两
侧，连接PA
PB
PC
、
、
，若
3 2
PB
PA
，求PB
PC 的值．
79．如图，ABC 内接
O ，点A 为BC 的中点，D 为BC 边上一点，
DAC
ACE
，AE 是
O 的切线，
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1
1
2
AF
BD
AB
，连接CF ．
(1)求证：CE
CF
；
(2)当点A 到弦BC 的距离为1 时，求AE 的值．
80．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD 平分
BDF
，AE
CD
于点E．
(1)求证：AB
AC
．
(2)若
9
BD
，
1
DE ，求CD的长．
题型21 圆与函数综合（压轴）
81．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1 为半径作圆，点P（m，
3 m＋2
3 ），过点P 作该圆的
一条切线，切点为A，则PA 的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
3
D．
2
82．如图，点P 为函数
6
0
1
y
x
x
的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P 半径为2，
3,0
A
，
6,0
B
，
点Q 是
P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最大值是__________．
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83．如图，直线
2
y
x
与双曲线
(
0)
k
y
k
x
交于点A，B，C 为x 轴正半轴上一点，且
5
OC
，P 为半径为
1 的
C 上一点，E 为BP 的中点．若OE 的最小值为2，则此时k 的值为______．
84．已知反比例函数
k
y
x
经过点
3,4
A
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以平面直角坐标系原点O为圆心，OA长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A 外的其余交
点的坐标；
(3)若该反比例函数与
O 在第一象限的另一个交点为点B ，求OAB 的面积．
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1．如果
O 的半径为5cm，圆心O到直线l 的距离为d ，且
3cm
d
，那么
O 和直线l 的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定
2．如图，
O 是ABC 的外接圆，AC 为
O 的直径，BD 与
O 相切于点B．若
35
CBD
，则
ACB
的
度数为（
）
A．25
B．35
C．45
D．55
3．如图，PA ，PB 是
O 的切线，A ，B 为切点，AC 是
O 的直径，
25
BAC
．则
P
的度数为（）
A．65
B．50
C．60
D．70
4．如图，PA 是
O 的切线，切点为A ，PO的延长线交
O 于点B ，连接
.
AB 若
40
P
，则
B
的度数
为（
）
A．20
B．25
C．40
D．50
5．如图，AB 是
O 的直径，点C 在
O 上，AE 是
O 的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ，
若
80
AOC
，则
ADB
的度数为（
）
A．80
B．60
C．50
D．40
6．如图，
O 是ABC 的内切圆，切点分别为
,
,
D E F ．若
8,
10
CF
AB
，则ABC 的周长为（
）
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A．8
B．10
C．20
D．36
7．如图，PA
PB
、
是
O 的切线，A
B
、为切点，点C 是优弧ACB 上一点，连接BC
AC
、
，若
70
P
，
则
C
的度数为（
）
A．35
B．45
C．50
D．55
8．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，
P 与x 轴相切于点A ，与y 轴的一个交点为B ．若
P
的半径为5，点A 的坐标是
3,0 ，则点B 的坐标是（
）
A．
0,7
B．
0,8
C．
0,9
D．
0,10
9．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
3
4
AC
cm
BC
cm
，
，以点C 为圆心，以3.5cm 为半径作圆，则
C
与边AB 的公共点个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．不确定
10．如图，在Rt ABC 中，
90
BAC
，AD 为中线，若
5
AB
，
12
AC
，设ABD 与ACD的内切圆半
径分别为1r ，2r ，那么
1
2
r
r 的值为（
）
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A．1
B．25
18
C．6
5
D．5 2
6
11．如图，四边形ABCD与
O 分别相切于点E ，F ，G ，H ，其中，四边形ABCD的周长为44 ，
12
AD
，
则BC 长度为______．
12．如图，点O是ABC 外接圆的圆心，点I 是ABC 的内心，连接OB
IA
、
．若
40
CAI
，则
OBC
的
度数为___________．
13．如图，PA 与
O 相切于点A ，PB 与
O 相切于点B ，M 为AB 上一点，过点M 与
O 相切的直线分
别交
,
PA PB 于点E
F
，
．若PEF 的周长为12，则PA 的长为___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，
A与x 轴相切于点B ，CB 为
A的直径，点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，D 为y 轴上一点，若ACD的面积为1，则k ______．
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15．如图，AB 是
O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC
OA
，OC 交AB 于点D ；若
68
BDC
，则
ABC
的度数为______．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，
O 经过B ，C 两点，且与AD 相切，则
O 的半径为______．
17．如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，
90
ADC
，DC
BC
，直线EA 与
O 相切于点A．若
128
BCD
，则
DAE
的度数为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点
0,6
A
，点
8,0
B
，I 是OAB的内心，则
（1）AB _______；
（2）点I 关于x 轴对称的点的坐标是____________．
19．如图，ABCD是一个梯形，AB
CD ，梯形的两腰与上底均与半圆O 相切，已知
3
4
AD
BC
，
，则
CD ______．
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20．如图，ABC 内接于
O ，CD
AB
于D 点，若O为BCD 的内心，则AD
BD ______．
21．如图，以点O为圆心，AB 为直径作圆，在
O 上取一点C ，连接AC ，BC ，延长AB 至点D ，连接DC ，
使得
DCB
DAC
，求证：CD是
O 的切线．
22．如图，已知AB 是
O 的直径，点C，D 在
O 上，
65
ABC
，BC
CD
．
(1)求证：BOC
DOC
≌
；
(2)求
ABD
的度数．
23．如图，在ABC 中，
90
C
，AD 平分
CAB
，AD 交边BC 于点D ，点O为边AB 上一点，
O 经过
点A 、D 并且交AB 于另一点E ．
(1)作出
O 并标出点E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，
①证明：直线BC 是
O 的切线；
②若
O 与AC 交于点F ，且
26
AE
，
12
CD
，求AF 的长．
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24．在
O 中，直径BD 垂直于弦AC ，垂足为E，连接AB ，BC ，CD，
.
DA
(1)如图①，若
110
ABC
，求
BAE
和
CAD
的大小；
(2)如图②，过点C 作
O 的切线交AB 的延长线于点F．若AC
AD
，
2
BF
，求此圆半径的长．
25．如图，在ABC 中，
90
C
，以BC 为直径的
O 交AB 于D ，点E 在线段AC 上，且ED
EA
．
(1)求证：ED 是
O 的切线；
(2)若
3
ED
，
60
B
，求
O 的半径．
26．如图，在Rt ABC 中，
90
C
，
4
AC
，
3
BC ，点E 为边AC 上一点，过点E 作EP
AC
交ABC
的角平分线AD 于点P．以点P 为圆心，PE 长为半径画圆．
(1)求证：AB 与
P 相切；
(2)若
5
2
AE
，求
P 的半径．
27．如图，
O 是ABC 的外接圆，CD是
O 的切线，且AC
BC
，连接AD 交
O 于点E．
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(1)求证：CD
AB ；
(2)连接BE ，若BE 为直径，
3 10
BC
，
8
AE
，求
O 的半径．
28．如图，O为正方形ABCD对角线AC 上一点，以O为圆心，OA长为半径的
O 与BC 相切于点M ．
(1)求证∶CD与
O 相切；
(2)若正方形ABCD的边长为1，求
O 的半径．
29．综合与探究
问题情境：如图，已知AB 为
O 的直径，点C 为
O 上异于A ，B 的一点，过点C 作
O 的切线CE ，过点
A 作AD
CE
于点D ，连接OC ．
(1)探究发现：证明：无论点C 在何处，将ADC 沿AC 折叠，点D 一定落在直径AB 上；
(2)探究引申：如图2 ，小明同学继续探究发现，若AOC 是等腰三角形且对称轴经过点D 时，CD与AB 存
在什么数量关系？请给予证明；
(3)探究规律：如图3，小亮同学继续探究发现，当AOC 为等边三角形时，CD与AB 存在什么数量关系？
请给予证明．
30．在平面直角坐标系xOy 中，
O 的半径为1，对于点P 、点A 和
O ，给出下面定义：将点P 绕点A 顺
时针旋转90得到点P，若点P在
O 上或内部，则称点P 为
O 关于点A 的旋垂点．
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(1)如图1，若点
2,2
A
．
①在点
1 4,0
P
、
2 4,1
P
中，为
O 关于点A 的旋垂点是_____；
②点P 是x 轴上的动点，且点P 为
O 关于点A 的旋垂点，求点P 横坐标的取值范围；
(2)如图2，若点
2,0
A
，直线
2
y
kx
k
0
k
上存在
O 关于点A 的旋垂点，直接写出
．．．．k 的取值范围．
