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第09 讲确定圆的条件
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断确定圆的条件
题型2 确定圆心（尺规作图）
题型3 求能确定的圆的个数
题型4 画圆（尺规作图）
题型5 三角形外接圆的概念辨析
题型6 求三角形外心坐标
题型7 求特殊三角形外接圆的半径
题型8 已知外心的位置判断三角形的形状
题型9 判断三角形外接圆的圆心位置
题型10 确定圆的条件综合（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
三角形的定义
边、角、顶点
三角形的分类
三角形的三边关系
1. 理解不在同一直线上三点确定一个圆的基本原理。
2. 掌握三角形外接圆、外心的定义及相关性质特征。
3. 学会动手作图，熟练画出三角形的外接圆图形。
4. 能区分内外心差异，辨析三点共线无法作圆情况。
5. 运用定圆条件解决基础几何计算与证明问题。
学习重点：掌握不在同一直线上的三点确定一个圆，理解三角形外接圆与外心的性质。
学习难点：理解三点共线不能确定圆的原因，灵活利用外心性质解题作图。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 确定圆的条件
条件
类别
过一点作圆
过两点作圆
过不在同一条直
线上的三点作圆
理论
依据
经过平面内一个点A 作圆
时，只要以点A 以外任意
一点为圆心，以这点到点
A 的距离为半径就能作出
一个圆，这样的圆能作出
无数多个
经过平面内的两个点A ，
B 作圆，由于圆心到这两
个点的距离相等，所以圆心
在线段AB 的垂直平分线
上，这样的圆心有无数多
个，这样的圆能作无数多个
经过不在同一条直线上的三点A，B ，
C 作圆，圆心到这三个点的距离相等。
因此，圆心是线段AB ，BC 的垂直平
分线的交点O，以点O为圆心，以OA
（或OB ，OC ）为半径可作出经过A，
B ，C 三点的圆，这样的圆只有一个
圆形
结论
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
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即时即练
1．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（
）
A．①
B．②
C．③
D．都可以
2．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，AC 经过格点A 、B 、C ，则该弧所在圆的半径是
______________________．
3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C 作一圆弧AC ．
(1)弧AC 所在圆的圆心M 的坐标为________________；
(2)求弧AC 所在圆的半径；
知识点02 三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
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②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形
外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
图3
图2
图1
O
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
A
即时即练
4．已知Rt ABC ，
90
C
．
(1)求作一点O，使以O为圆心的圆经过A
B
C
、、
三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若AC 为8，BC 为6 ，求
O 的半径．
5．如图，在5 5
正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C 三点，那么AC 所对的圆心角度数是______．
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
0,3
A
，点
2,1
B
，点
2, 3
C
．则经画图操作可知：ABC 的外
心坐标应是_______．
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题型1 判断确定圆的条件
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平
分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（
）
A．以点O为圆心
B．以5cm 长为半径
C．以点O为圆心，5cm长为半径
D．以上都不对
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形
镜子，小明带到商店去的碎片应该是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
4．下列命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆
心角所对的弧相等；④三个点确定一个圆．其中正确的是___．（填序号）
5．当
1,2
A
，
3, 3
B
，
5,
C
n 三点可以确定一个圆，求n 的取值范围．
【易错警示】
确定圆时切记：只有不在同一直线上的三点才能确定唯一圆，三点共线无法作圆。切勿随意认为任意三点
均可画圆。辨析三角形外心位置，锐角三角形外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部，
避免判断失误。
题型2 确定圆心（尺规作图）
6．如图，弧AB 是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心O的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
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7．如图，在ABC 中，求作
O ，使
O 经过A，C 两点，且圆心落在BC 边上；（要求：尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）
8．如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图
（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)如图1，将ABC 绕点O 逆时针旋转90得
1
1
1
A B C ，画出
1
1
1
A B C ；
(2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心．
9．如图是由小正方形组成的6 5
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A ，B ，C 三个格点都在
O 上．仅
用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图①中画出
O 的圆心O，并在弦BC 上方的圆弧上画点D ，使得
90
AOD
；
(2)点E 在
O 上，CE
AB
，在图②中画出所有满足条件的点E ．
10．在ABC 中，
5
AB
AC
，
6
BC
．
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(1)求作：ABC 的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求
O 的半径．
题型3 求能确定的圆的个数
11．如图，点A，B，C，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数
为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
12．如图，已知点A ，B 和线段a ，
1
2
a
AB
．用直尺和圆规作
O ，使
O 过点A ，B ，且半径为a ，则
这样的圆可以作（
）
A．1 个
B．2 个
C．4 个
D．无数个
13．已知A
B
C
D
、、、
为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能
是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14．如图，点A ，B ，C 均在直线I 上，点P 在直线I 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
___________个．
15．已知线段
6
AB
．
(1)作半径为4 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能作几个？
(2)作半径为3 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能作几个？
(3)作半径为2 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能作几个？
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题型4 画圆（尺规作图）
16．如图，在ABC 中，请用尺规作图法求作
O ，使得圆心O在BC 边上，且A ，C 在
O 上．（保留作
图痕迹，不写作法）
17．如图，已知
O 和点P ，按如下方式作图：
①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线交OP 于点A ；
②以点A 为圆心，OA长为半径作圆，交
O 于点
,
B D ；
③连接PB ，交OP 的垂直平分线于点C ．
请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在ABC 中，请用尺规作图法，作
O ，使点O在AB 上，且
O 经过
,
B C 两点．（保留作图痕
迹，不写作法）
19．已知矩形ABCD，BC 边的垂直平分线EM 交AD 于E，垂足为M，用直尺和圆规作
O ，使
O 过B、
C、E 三点．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
．
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(1)尺规作图：作
O ，使它过点A
C
、
，且圆心O在AB 上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的
O 中，求证：点B 在
O 上．
【易错警示】
尺规作三角形外接圆时，易错点为：未正确作两边垂直平分线找外心，作图误差过大。需牢记仅不共线三
点可作圆，作图漏画垂直平分线、圆心定位偏差，或忘记标注圆心、半径，均会导致作图不规范、结果错
误。
题型5 三角形外接圆的概念辨析
21．下列命题不正确的是（
）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
22．对于三角形的外心，下列说法正确的是（
）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
23．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定ABC 的外心的是（
）
A．
B．
C．
D．
24．如图：已知ABC 是等边三角形，O 为ABC 外接圆圆心，ABC 以O 为旋转中心，按顺时针方向至少
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旋转________度与原来的三角形重合．
25．如图，已知ABC ，AB
AC
，AD 是高．
(1)求作ABC 的外接圆O；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若
13
AB
，
10
BC
．求ABC 外接圆的半径．
题型6 求三角形外心坐标
26．如图，直角坐标系中
0,4 ,
4,4 ,
6,2
A
B
C
，经过A，B，C 三点的圆，圆心为M，则点M 的坐标为（
）
A．
1, 1
B．
1,0
C．
2,0
D．
2,1
27．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1 个单位长度，点O，A，B，C 均在格点（两条网格线的交
点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为（
）
A．(0, 1)
B．( 1,0)
C．( 1, 1)
D．( 1, 2)
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28．如图ABC 中外接圆的圆心坐标是______．
29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别是
2,0 、
3,3 、M 是OAB的外接圆，则
M
的半径为_____．
30．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点
0 2
A
，，
4 2
B
，，
6 0
C
，，解答下
列问题：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D 点的位置，则D 点坐标为_______．
(2)连结AD ，CD，求出
ADC
的度数．
题型7 求特殊三角形外接圆的半径
31．在ABC 中，
5
AB
，
3
AC
，
4
BC
，那么ABC 的外接圆半径为（
）
A．5
B．3
C．2
D．5
2
32．如图，A，B，C 是
O 上的三点，ABC 是等边三角形．若
3
AB
，则
O 的半径是（
）
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A．3
2
B．
3
2
C．3
D．5
2
33．如图，在ABC 中，AB
AC
，点D 为BC 上一点，
6
10
BD
BE
CD
CA
，
，则AED 的外接圆半
径为（
）
A．3
B．10
3
C．11
3
D．4
34．ABC 内接于
O ，若
6
AB
，
8
AC
，
10
BC
，则
O 的半径是________．
35．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为
)
11
31
4
)
1
(
(
)
(
A
B
C
，，
，，
，．
(1) ABC 的外接圆的半径为
．
(2)将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90后得到
1
1
A BC ，请在图中画出△A1BC1．
(3)连结
1
CC ，求四边形
1
1
CBAC 的面积．
题型8 已知外心的位置判断三角形的形状
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36．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
37．如图，在Rt ABC 中，
90
A
，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到ABC 的外心，作法如下：
嘉嘉：
作BC 的垂直平
分线，交BC 于点O，点O 即为ABC 的
外心
淇淇：
作
BAC
和
ACB
的平分线，两条角平分线交于点O，
点O 即为ABC 的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（
）
A．嘉嘉正确，淇淇错误
B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确
D．两人都错误
38．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O 两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另
外找两点B、C，使得ABC 的外心为O，求BC 的长度为（
）
A．4
B．5
C．10
D．
20
39．已知
O 为ABC 的外接圆，且圆心O 在ABC 的内部，分别过点O 作
,
OD
AB OE
AC
，垂足分别
为点D
E
、
，若
8
DE
cm
，则BC ________cm ．
40．如图，在6 6
正方形网格中，A、B、C、D 均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．作图（保留痕
迹，描出必要的格点）．
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(1)在图1 中作出ABC 的外心D；
(2)图2 中D 是AB 的中点，作出BC 边上的点F（不与点B 重合），使得BD
DF
．
题型9 判断三角形外接圆的圆心位置
41．如图，在3 3
的正方形网格中，A，B 在格点上，在网格中找一个格点C，使ABC 的外心也在该正方
形网格的格点上，这样的点C 有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
42．已知锐角ABC 中，O是AB 的中点，甲、乙二人想在AC 上找一点P ，使得ABP 的外心为点O，其
做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（
）
甲的作法
过点B 作与AC 垂直
的直线，交AC 于点P ，则P 即为所求．
乙的作法
以O为圆心，
OA长为半径画弧，交AC 于点P ，则P
即为所求．
A．两人都正确
B．只有甲正确
C．只有乙正确
D．两人都不正确
43．如图，正方形网格中，
, ,
A B C 三点均在格点上，那么ABC 的外接圆圆心是点__________．
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44．如图，等腰
,
5,
6
ABC AB
AC
BC
．
(1)尺规作图作出ABC 的外接圆
O ；（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)作直径AD ，证明：AD 平分
BAC
；
(3)
O 的半径=______________．
45．已知ABC 在平面自角坐标系中位置如图所示．
(1)请仅用无刻度的直尺画出ABC 的外接圆的圆心P，并写出圆心P 的坐标为；
(2)画出ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90后的A B C
，并写出A的坐标为．
题型10 确定圆的条件综合（压轴）
46．如图是一个含有3个正方形的相框，其中，
2
4
6
AB
CD
EF
，
，
，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，
使A
G
H
，，
三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（
）
A．5
10
2
B．3 10
C．6 2
D．9
47．如图，已知E 是ABC 的外心，P、Q 分别是AB 、AC 的中点，连接EP 、EQ 交BC 于点F、D，若
5
BF
，
3
DF
，
4
CD
，则ABC 的面积为（
）
A．18
B．24
C．30
D．36
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48．如图，在矩形ABCD中，
6
AB
，
8
BC ，P 为矩形的边BC 上的一动点，点P 从点B 运动到点C，PAD
的外接圆的圆心运动的路径长为（
）
A．4
3
B．8
3
C．5
3
D．10
3
49．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形ABC 是“等
接圆三角形”，那么ABC 的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留π）
50．如图，在平面直角坐标系中，点
0,4
A
、
4,4
B
、
6,2
C
，
(1)经过A、B、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为__________；
(2)
M 的面积是__________；
(3)
AMC
的度数为__________；
(4)点P 是x 轴上的一点，且AP
CP
的值最小，则点P 坐标为__________．
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1．三角形的外心是（
）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点
D．三角形三个内角平分线的交点
2．已知线段
7
AB
，经过A 、B 两点且半径为5 的圆有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
3．如图所示，在4×4 的网格中，A，B，C，D，O 均在格点上，则点O 是（
）
A．ACD的外心
B．ACD的内心
C．ABC 的重心
D．ABC 的外心
4．已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6 和8，它的外接圆的半径是（
）
A．5
B．4
C．5 或
7
D．4 或5
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
0,3
A
，
2,1
B
，
2, 3
C
，则ABC 的外心坐标是（
）
A．
2, 2
B．
2, 1
C．
1, 2
D．
1, 1
6．在平面直角坐标系中，若
1, 1
A
，
3,3
B
，
5,
C
n 三点可以确定一个圆，则n 的取值范围是(
)
A．
3
n
B．
5
n
C．
6
n
D．
7
n
7．下列说法正确的是（
）
A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等
B．垂直于弦的直径平分弦
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．长度相等的弧是等弧
8．下面有关圆的一些结论，①三点确定一圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径平分弦所对
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的两条弧；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中错误的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外
找两点B 、C ，使得ABC 的外心为O，则BC 的长度为（
）
A．4
B．5
C．10
D．2 5
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为
4,6 ，
,6
m
，
4,n ，若ABC 外接圆的圆心
坐标为
9,2 ，则m 和n 的值为（
）
A．
12
m
，
6
n
B．
10
m
，
4
n
C．
14
m
，
2
n
D．
12
m
，
8
n
11．已知直角三角形的两直角边分别为6 和8 ，则它的外接圆的直径为_____．
12．三边长为7，24，25 的三角形，它的外接圆半径为________ ．
13．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是______．
14．已知：A 点坐标为
1,0
，B 点坐标为
4,5 ，若过A、B、C 三点不能确定一个圆，写出一个满足要求
的C 点坐标_________．（写出一个就行）
15．一直角三角形的两直角边是方程
2
4
3
0
x
x
的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________．
16．已知直角三角形模具的两条直角边为6cm 和8cm ，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这
个圆形纸片的最小直径为___________cm ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为
6,1 ，点B 坐标为
4,1 ，点C 坐标为
2,3 ，则能完全覆
盖ABC 的最小圆的半径为______．
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18．将边长为6 的正方形ABCD和边长为3 的正方形DEFG 如图摆放，使得A 、D 、E 三点共线，此时经
过B 、C 、F 三点作一个圆，则该圆的半径为______．
19．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为
4,4 ，则该圆弧所在圆的半径为
__________．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为
1,4 ，
5,4 ，
1,0 ，则以A 、B 、C 为顶点
的三角形外接圆的圆心坐标是______．
21．如图是一残破圆轮，A，B，C 是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
22．如图，已知ABC ．
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(1)用直尺和圆规作ABC 的外接圆
O （保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若
O 的半径为5，点O到BC 的距离为3，求BC 的长．
23．（1）已知：ABC （图①），求作：ABC 的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，
不要求证明）
（2）如图②，A 为
O 上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交
O 于点B ；③在射线OB 上截取BC
OA
；④连接
AC ．若
3
AC
，求
O 的半径．
24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A
B
C
、、
，现在以格点O为原
点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)请标出该圆弧所在圆的圆心D ，并写出圆心D 的坐标；
(2)求
D的半径；
(3)若点E 的坐标是
1,3
，试判断点E 与
D的位置关系，并说明你的理由．
25．在如图所示的方格纸中存在ABC ，其中，点A ，B ，C 均在格点上．
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(1)用直尺作出ABC 的外接圆圆心O．
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求ABC 外接圆半径R 的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中有ABC ，请在图中画出ABC 外接圆的圆心P．
(1)圆心P 的坐标是________；
(2)判断点
6 5
M
，是否在
P 上？
27．如图，在Rt ABC 中，
90
C
．
(1)求作：ABC 的外接圆
O （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若
6
AC
cm
，
8
BC
cm
，求
O 的面积．
28．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．
(1)用尺规作图法找出弧BAC 所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设ABC 是等腰三角形，底边
8cm
BC
，腰
5
AB
cm
．求圆片的半径R．
29．如图，ABC 中，
.
AB
AC
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(1)用直尺和圆规作ABC 的外接圆
O （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若
5
AB
AC
，
6
BC
，求ABC 的外接圆
O 的半径．
30．如图，在坐标系中，
(1,6)
A
、
(5,6)
B
、
(
)
7,4
C
．
(1)经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为________；
(2)这个圆的半径为：_______；
(3)直接判断点
(5, 3)
D
与
M 的位置关系．点
(5, 3)
D
在
M ________．（填“内”、“外”、“上”）
