文档文本内容
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第02 讲 反比例函数的图象与性质
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 画反比例函数图象
题型2 已知反比例函数图象判断其解析式
题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围
题型5 判断反比例函数增减性及所在象限
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
题型7 比较反比例函数值或自变量的大小
题型8 已知比例系数求特殊图形的面积
题型9 根据图形面积求比例系数
题型10 求反比例函数解析式
题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题
题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题
题型13 反比例函数与一次函数综合
题型14 反比例函数与几何综合
题型15 反比例函数的新定义问题
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数的图象与
性质
反比例函数的k 值意
义
反比例函数解析式
1.认识反比例函数双曲线图象，掌握图象基本特征与分布规律。
2.熟记k 的正负对应图象象限，掌握函数增减性特点。
3.能根据解析式画出函数图象，结合图象分析函数性质。
4.理解k 的几何意义，会利用性质解决基础计算题型。
5.树立数形结合思想，提升函数图象分析与推理能力。
学习重点：掌握反比例函数图象特征，依据k 值判断图象象限、增减性，熟练运用k 的几何意义解
题。
学习难点：准确辨析跨象限函数值大小，灵活运用k 的几何意义求解复杂图形面积问题。
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知识点
01
反比例函数的图象
反比例函数的图象
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与
轴、
轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
（1）若点(
)在反比例函数
的图象上，则点(
)也在此图象上，所以反
比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数
(
为常数，
)中，由于
，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到
轴和
轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0 为中心，在0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺
序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不
与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由
的符号决定的：当
时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
即时即练
1．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数
的图象．
1
2
4
【答案】
1
2
4
2
1
，见解析
【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作．
先将
的值代入反比例函数
求出对应的
值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函
数图象
【详解】解：
1
2
4
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2
1
2．表示关系式①
，②
，③
，④
的图象依次是_____，_____，_____，
_____．
A．
B．
C．
D．
【答案】 C B D A
【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答．
【详解】解：①∵
，
∴
，
即
，
∴
，故
的图象为C；
②∵
，即
，
∴
，
∴
的图象为B；
③∵
，即
，
∴
，即
，
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∴
的图象为D；
④
的图象为A；
故答案为：C；B；D；A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键
3．已知反比例函数
，且当
时，
．
(1)求a 的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【答案】(1)
(2)
函数图象如图所示：
【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法：
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（1）将
，
代入解析式求解．
（2）根据函数解析式及表格作图．
【详解】（1）解：把
，
代入
得，
，
解得
；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为
，
∴当
时，
，
描点，连线，图象略．
知识点
02
反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）如图1，当
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，
值随
值的增
大而减小；
（2）如图2，当
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，
值随
值的增
大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的
增减性都是由反比例系数
的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出
的符号.
反比例函数的图象与性质易错点：
1、描述增减性遗漏 “在每个象限内”，直接说全体定义域内 y 随 x 增大增减，表述错误。
2、跨象限两点比较函数值，误用增减性判断，忽略一、三象限 y 为正，二、四象限 y 为负。
3、误以为双曲线会与 x 轴、y 轴相交，忽略 x、y 均不能取 0，图象无限趋近坐标轴。
4、运用 k 的几何意义计算面积时，漏掉绝对值，算出负数面积。
5、混淆 k 正负对应的象限，k>0 对应一、三象限，k<0 对应二、四象限易记反。
6、忽略|k|大小影响双曲线远近，错认为 k 正负决定曲线离轴距离。
7、正比例与反比例交点忘记关于原点对称，求解坐标时不利用相反数简化计算。
8、含参题型只考虑指数，忘记反比例系数不能为 0，导致参数多解出错。
9、平移反比例函数，遵循平移口诀：上加下减在末尾，左加右减在中间（x 后面）。
10、分不清反比例关系与反比例函数，两个变量乘积定值不代表就是反比例函数。
即时即练
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4．在反比例函数
图象的任意一支上，
都随
的增大而减小，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数
的取值范围，对于反比例函
数
，当
时，图象任意一支上
都随
的增大而减小，进行解答；即可．
【详解】∵ 反比例函数
图象的任意一支上，
都随
的增大而减小，
∴
，
解得
，
上述四个选项中只有
，符合条件．
5．在反比例函数
的图象上有两点
，
，当
时，有
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据当
时，有
则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断
的取值
范围．
【详解】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限，
，
解得：
．
6．已知反比例函数
（
为常数）．
(1)若点
在该反比例函数的图象上，则
的值为___________；
(2)当
时，
的值随
值的增大而减小，求
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）将
代入
求解即可；
（2）根据题意得到
，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵点
在该反比例函数的图象上，
∴
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∴
；
（2）解：
反比例函数
（
为常数），当
时，
的值随
值的增大而减小，
．
．
知识点
0 3 反比例函数的解析式
确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
中，只有一个待定系数
，因此只
需要知道一对
的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出
的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
(
)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数
的值；
（4）把求得的
值代回所设的函数关系式
中.
即时即练
7．如果反比例函数
的图象经过点
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将已知点的坐标代入解析式解答即可求解．
【详解】解：∵ 反比例函数
的图象经过点
，
∴
，
解得
．
8．若反比例函数的图像过点
，则其函数表达式为______．
【答案】
【分析】利用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出比例系数
，即可
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得到函数表达式.
【详解】解：设反比例函数的表达式为：
，
反比例函数的图像过点
，
将
，
代入
，
得
，
反比例函数的表达式为
，
故答案为：
.
9．已知反比例函数y=
的图象经过点
．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的值；
(3)当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
．
【分析】（）把点
代入解析式即可求出
的值；
（
）把
代入解析式即可求解；
（）分别求出当
时，当
时
的值，从而得出
的取值范围．
【详解】（1）解：将点
代入得
，
解得
，
∴
的值为
；
（2）解：由（）得，
，
∴反比例函数解析式为
，
当
时，
；
（3）解：当
时，
；当
时，
，
∵在每个象限内，
随
增大而减小，
∴
．
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知识点
0 4 反比例函数的
k 值意义
反比例函数
(
)中的比例系数
的几何意义
过双曲线
(
)上任意一点作
轴、
轴的垂线，所得矩形的面积为
.
过双曲线
(
)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为
.
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围
成的面积始终是不变的.
即时即练
10．如图，已知点A 位于第二象限，且在反比例函数
的图象上．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂
足分别为点B，C．若
，
，则k 的值为（ ）
A．
B．-2
C．6
D．
【答案】D
【分析】根据矩形的判定和性质得到
，
，
，根据k 的几何意义作答即
可．
【详解】解：∵过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点B，C．
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∴矩形
的面积为
，
∵反比例函数经过第二象限，
∴
．
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11．反比例函数
的图象如图所示，
轴．若△ABC的面积为4，则k 的值为______．
【答案】
【分析】连接
，根据
轴，可得△ABC与
的面积相等，可推出
，解得
，再根
据反比例函数
的图象在第二象限，可得
，从而得到答案．
【详解】解：连接
，
∵
轴，
∴△ABC与
的面积相等，
即
．
又∵
，
∴
解得：
，
∵反比例函数
的图象在第二象限，
∴
．
12．如图，在直角坐标系中，矩形
的边
，
分别在坐标轴上，且
，
，反比例函
数
的图象与
，
分别交于点
，
，连接
，
，
．若
的面积为
．
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关
键．
（）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可；
（
）由四边形
是矩形，则
，
，求出
，
，然后利用
即可求解；
【详解】（1）解：∵四边形
是矩形，
∴
，
∵
的面积为
，
∴
，
∴
，
∴反比例函数的表达式为
；
（2）解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∵反比例函数的表达式为
，
，
∴点
的纵坐标是，
∴
，解得：
，
∴
，
同理当
时，
，
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∴
，
∴
，
，
，
，
∴
．
题型1 画反比例函数图象
1．下列图象是反比例函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为
，由解析式可知
，
，
图象与x 轴、y 轴都无交点，图象为双曲线．
【详解】解：由反比例函数解析式
，可知
，
，
∴图象与x 轴、y 轴都无交点，
C、B、D 的图象都与坐标轴有交点．
故选：A．
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2．反比例函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键；
根据反比例函数的比例系数
，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可．
【详解】解：由
知，
，
∴反比例函数
经过第二、四象限，
故选：A．
3．如图所示是三个反比例函数
、
、
的图象，由此观察得到
、
、
的大小关系是
_____（用“＜”连接）．
【答案】k1＜k2＜k3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系．
【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝
的图象在第二象限，故k1＜0；
y=
，y=
在第一象限；且y=
的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；
故答案为k1＜k2＜k3．
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【点睛】本题考查反比例函数y=
的图象，反比例函数y=
的图象是双曲线，当k＞0 时，它的两个分支
分别位于第一、三象限；当k＜0 时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k 的绝对
值越大．
4．已知反比例函数
(1)直接写出自变量x 的取值范围．
(2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
x
…
…
y
…
…
(3)观察图像，思考：在每一个象限y 随x 的变化是如何变化的？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)y 随x 的增大而增大
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键．
（1）根据分母不为零即可得解；
（2）根据自变量的取值范围，给定x 的值，并求出相应的y 的值，并描点连线即可；
（3）根据画出的图象回答即可．
【详解】（1）解：分母不为零可知：自变量x 的取值范围是
；
（2）解：列表格如下：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
1.5
2
3
6
…
描点并连线如下：
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（3）由图象可知：在每一个象限y 随x 的变化是y 随x 的增大而增大．
5．画出反比例函数
与
的图象．
【答案】见解析
【分析】先列表、描点，再画图象．
【详解】解 列表表示几组x 与y 的对应值（填空）：
x
…
1
2
3
4
6
12
…
…
6
3
2
…
…
12
4
3
1
…
描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数
与
的图象．
【点睛】此题考查画反比例函数的图象，掌握画函数图象的步骤：列表、描点、连线是解题的关键．
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题型2 已知反比例函数图象判断其解析式
6．反比例函数
的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．6
B．10
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，
，且
，即可作答．
【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知
，
，
结合图象得
，
只有A 选项在此范围内．
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．
B．1
C．2
D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k 的取值应该满足
，进而可得答案.
【详解】解：由题意可得：k 的取值应该满足：
，即
，
所以k 的值可能是6；
故选：D.
8．在平面直角坐标系中，反比例函数
的图象如图所示，则k 的值可能是______．
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【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k 的绝对值越
大．
根据点A 和点B 的坐标，得出k 的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点
，
∴
，
∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点
，
∴
，
∴
，
∴k 的值可能是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
9．在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是
______（写出一个即可）．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当
，反比例函数图象经过第一、三象限，当
，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可．
【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是
，
故答案为：
（答案不唯一）．
10．如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2 个单位长度得到点A，过点A 作y 轴的
平行线交反比例函数y＝
的图象于点B，AB＝
.求反比例函数的解析式．
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【答案】反比例函数的解析式为y＝－
.
【分析】根据平移及AB 的长度求出点B 坐标即可得答案.
【详解】∵将坐标原点O 沿x 轴向左平移2 个单位长度得到点A，
OA=2
∴
，
AB//y
∵
轴，AB=
，
B
∴
点坐标为：（-2，
），
把B（-2，
），代入y＝
中，得到k＝－3，
∴反比例函数的解析式为y＝－
.
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据平移及AB 的长度求出B 点坐标是解题关键.
题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
11．如图，若直线
与双曲线
的一个交点坐标为
，则其另一个交点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解
决问题．
【详解】解：由题意知，
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∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称，
∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称，
∵直线
与双曲线
的一个交点坐标为
，
∴另一个交点的坐标为
，
故选：D．
12．如图，双曲线
与直线
相交于A，B两点，若点A的坐标为
，则点B的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得
点A、B关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解．
【详解】解：
双曲线
与直线
相交于A，B两点，
点A、B关于原点对称，
点A的坐标为
，
点B的坐标为
．
故选：A．
13．已知直线
与双曲线
的一个交点坐标为
，则它们的另一个交点坐标是______．
【答案】
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求
解即可．
【详解】解：∵直线
的图象关于原点对称，双曲线
的图象也关于原点对称，
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．
已知一个交点坐标为
，
因此另一个交点坐标为
．
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14．若函数
与函数
的图象交于两点，其中一个交点的坐标为
，则另一个交点的
坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数
和反比例函数
（
）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解
答即可．
【详解】解：正比例函数
和反比例函数
（
）的图象都关于原点对称，
∴它们的交点也关于原点对称，
∵其中一个交点的坐标为
，
∴另一个交点为
．
故答案为：
．
15．已知反比例函数
的图象与正比例函数
的图象相交于点A，B．若A点的坐标
为
，则B点的坐标为_____．
【答案】
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数
的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称即可求得B的坐标．
【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∴点A
和点B关于原点对称，
∴
，
故答案为：
．
题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围
16．若反比例函数
的图象位于第二、四象限，则k 的取值可以是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出k的取值
范围后，即可选出符合要求的选项．
【详解】
反比例函数
的图象位于第二、四象限，
，解得
，选项中只有
，符合
的要求，
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故k 的取值可以是A 项．
17．若反比例函数
的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】反比例函数
中，当系数
时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出m的取
值范围．
【详解】解：∵反比例函数
的图象分布在第二、四象限，
∴
，
解得
．
18．已知反比例函数
的图象经过点
，
，且
，那么这个反比例函数的表达式可
以是______（写出一个符合条件的表达式）．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据题意，易得反比例函数的图象位于第二，四象限，进而得到
，即可.
【详解】解：∵反比例函数
的图象经过点
，
，
，且
，
∴反比例函数的图象位于第二，四象限，
∴
，
∴这个反比例函数的表达式可以是
.
19．在平面直角坐标系中，某反比例函数
的图象分别位于第二、四象限，且k 为大于
的整数，则
满足条件的k 的值是_________．
【答案】
【分析】图象在第二、四象限可得
，再由
且k为整数，即可得出结果．
【详解】解：反比例函数
的图象位于第二、四象限，
，
且k为整数，
且k为整数，
．
20．已知反比例函数
的图像位于第二、四象限．
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(1)求k的取值范围；
(2)若图像经过点
，当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键．
（1）根据函数图象在第二、四象限，可得
，求出k 的取值范围即可；
（2）根据图象经过点
，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：
反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
；
（2）解：图象经过点
，
，
，
，
当
时，
，
而当
时
随x的增大而增大，
的取值范围是：
．
【易错警示】
由双曲线所在象限求参数时，仅依据象限判断 k 正负，易忽略反比例函数系数不能为 0 的隐藏条件。含
参解析式需同时满足两项：x 的指数为 - 1、比例系数与 k 同号，常漏写系数不为 0 的不等式，直接解
得参数范围，造成答案多解或错解，做题务必联立双重条件检验。
题型5 判断反比例函数增减性及所在象限
21．已知反比例函数
的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ）
A．
，在每个象限内，y 随x 增大而减小
B．
， 在每个象限内，y 随x 增大而增大
C．
， 在每个象限内，y 随x 增大而增大
D．
， 在每个象限内，y 随x 增大而减小
【答案】B
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【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m 的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断
选项即可.
【详解】解：∵反比例函数
的图象分布在第二、四象限，比例系数
，
∴
，在每个象限内，
随x增大而增大；
解得
.
22．已知反比例函数
，下列结论正确的是（ ）
A．点
在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当
时，
D．当
时，
【答案】C
【分析】反比例函数
中
，根据点在函数图象上的判定，反比例函数的象限分布和增减性，逐
一判断选项即可．
【详解】解：A、∵反比例函数
，
∴当
时，
，故A 错误；
B、∵
，
∴反比例函数图象位于第一、第三象限，故B 错误；
C、∴在每一象限内，
随x的增大而减小，
∵
，两点都在第三象限，
∴
，故C 正确；
D、若
，
，满足
，
此时
，
，
∴
，不符合
，故D 错误．
23．设
为反比例函数
图象上的两点，若
时，
，则点
在第
__________象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的比例系数判断图象所在的象限及每个象
限内的增减性，再结合已知条件分析点A、B 的位置关系，进而确定点B 所在象限．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为
，且
，
∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大，
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当点A 和点B 都在第二象限时，若
，则
，这与
时，
矛盾；
当点A 和点B 都在第四象限时，若
，则
，这与
时，
矛盾；
当点A 在第二象限，点B 在第四象限时，满足
，且满足
；
综上所述，点B 在第四象限，
故答案为：四．
24．若反比例函数
的图像上有两点
和点
，其中
则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数
(k 是常数，
)的图象是双曲线，当
，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当
，反比
例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
由反比例函数的性质，结合点A 和点B 的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，确定比例系数的正负，从而
求解
【详解】解：∵点
和点
在反比例函数
图像上，且
，
，
∴该反比例函数在
时，y 随x 的增大而减小，
根据反比例函数的性质，比例系数
，
解得
，
故答案为
25．已知关于x的反比例函数
的图象经过点
．
(1)求m的值；
(2)判断该反比例函数图象经过的象限．
【答案】(1)
；
(2)第一、三象限．
【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质；
（1）根据图象经过点的意义，代入计算即可；
（2）根据反比例函数k的符号进行判断即可．
【详解】（1）解：
图象经过点
，
，
解得：
．
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（2）解：当
时，
，
，
双曲线的两支分别位于第一、三象限．
【易错警示】
判断增减性必须带上 “在每个象限内”，不可笼统概括。跨象限比较函数值不能用增减性，应依据 y 的
正负区分。容易记混 k 正负对应的象限，同时忽略双曲线永不与坐标轴相交。答题规范表述，先看 k 符
号定象限，再分象限分析增减，避免表述不严谨丢分。
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
26．已知反比例函数
，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质可得
，解一元一次不等式即可得．
【详解】解：∵反比例函数
，在每一象限内，
随x的增大而减小，
∴
，
解得
．
27．已知点
，
在反比例函数
的图象上，若
，请写出一个符合条件的k
的值是___．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据已知点的横坐标和纵坐标的大小关系，判断k的取值范围，即可得到符合条件的k值．
【详解】解：∵
，
，
∴在同一象限内
随x的增大而减小，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴
，
∴
（答案不唯一）．
28．在平面直角坐标系
中，点
，
在反比例函数
的图象上．如果
，
那么k的值可以为______（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，任意正数均可）
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【分析】根据
两点的横坐标均为正，可知两点位于同一象限，再根据反比例函数的性质判断出k的取
值范围，写出一个符合要求的值即可．
【详解】解：∵点
，
的横坐标都大于
，
两点在同一象限，
∵
，
∴在该象限内，
随x的增大而减小，
∴由反比例函数的性质可得
，
的值可以为1，
故答案为：1．（答案不唯一）
29．已知反比例函数
（
为常数），当
时，
随x的值增大而减小，则
的取值范围是
______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的增减性得到出
，求解即可．
【详解】解：∵反比例函数
，当
时，
随x的值增大而减小，
∴
，
解得
．
30．已知反比例函数
．
(1)若该函数经过
，求k 的值；
(2)若该函数图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，求k 的取值范围．
【答案】(1)k =5
(2)
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法求解；
（2）构建不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，把
代入解析式
，
得，
，
解得，k =5；
（2）解：
函数图象的每一支，y 随x 的增大而减小，
，
解得，
．
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【易错警示】
根据增减性求参数，先由增减性判定 k 正负列出不等式，极易忽略反比例函数系数不能为 0 的前提。含
参题型需联立指数为 - 1、系数符号、系数不为 0 三重条件，不少学生只看符号，遗漏限制条件，求出错
误参数，算出结果后务必回代检验。
题型7 比较反比例函数值或自变量的大小
31．已知点
，
，
在反比例函数
的图象上，则a、b、c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将点分别代入反比例函数中，求解出a、b、c 的值判断大小即可．
【详解】解：∵反比例函数
，且点
，
，
，
∴
，
，
，
∴
．
32．已知点
都在反比例函数
的图像上，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】已知三个点都在给定的反比例函数图象上，只需将各点横坐标代入函数解析式，求出对应的y 值，
再比较大小即可得到结果．
【详解】解：∵点
都在反比例函数
的图象上
∴将各点横坐标分别代入解析式得
，
，
∵
∴
．
33．在平面直角坐标系
中，若点
，
在反比例函数
的图象上，则
________
（填“
”，“
”或“
”）．
【答案】
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【分析】根据
可判断反比例函数
的图象所在象限及每个象限内
随x的变化规律，结合
两点横坐标的大小即可比较
和
的大小．
【详解】解：
，
反比例函数
的图象在二、四象限，在每一象限内，
随x的增大而增大．
，
点
，
都在第四象限，
．
34．已知反比例函数
（k为常数，
）．
(1)若在其图象的每一支上，
随x的增大而增大，求k的取值范围；
(2)若点
在该反比例函数的图象上．
①求该反比例函数的解析式；
②当
时，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)①
②
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合在其图象的每一支上，
随x的增大而增大，得
，故
，即可作答．
（2）①直接把
代入
，进行计算，得k =7，故
，
②先分别算出把
代入
，得
；把
代入
，得
；再结合反比例函数
在
其图象的每一支上，
随x的增大而减小，进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：∵反比例函数
在其图象的每一支上，
随x的增大而增大，
∴
，
解得
；
（2）解：①依题意，把
代入
，
得
，
解得k =7，
∴
；
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②由①得
，
依题意，把
代入
，得
；
把
代入
，得
；
∵
中的
，
∴反比例函数
在其图象的每一支上，
随x的增大而减小，
∴当
时，则
．
35．在平面直角坐标系
中，
为双曲线
上一点．
(1)求k的值；
(2)在（1）的条件下：
①点
和
在双曲线
上，比较
与
的大小；
②点A在双曲线
上，点B的坐标为
．若
的面积为8，求点A的坐标．
【答案】(1)
(2)①
；②
或者
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上
知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①将点代入函数解析式，求得
，再比较大小即可；②利用
，求得
或
，然后再代入求出横坐标即可．
【详解】（1）解：
为双曲线
上一点，
，
；
（2）解：①
点
和
在双曲线
上，
，
，
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；
②不妨设
，
点B的坐标为
，
，
，
，
或
，
当
代入
，得到
；
当
代入
，得到
；
或者
．
题型8 已知比例系数求特殊图形的面积
36．如图，点A，B分别为反比例函数
（
）与
（
）图象上的点，
轴，点P在
x轴上，连接
、
，则
的面积为（ ）．
A．6.5
B．8.5
C．11
D．13
【答案】A
【分析】连接
，
，设
与
轴交于点
，将
面积转化为
的面积，然后结合反比例
函数系数 k 的几何意义求解．
【详解】解：如图，连接
，
，设
与
轴交于点
，
轴，
，
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点 A，B 分别为反比例函数
，
的图象上的点，
，
，
．
37．如图，点A在反比例函数
的图象上，过点A作
轴于点B，点
在
轴的正半轴上，
则
（ ）
A．1.5
B．2
C．3
D．6
【答案】A
【分析】连接
，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可．
【详解】解：如图，连接
，
∵
轴，
∴
，
∴
．
38．在平面直角坐标系中，点P 是反比例函数
图象上的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，
垂足分别为A、B，则四边形
的面积为______．
【答案】6
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可求出四边形
的面积．
【详解】解：因为点P是反比例函数
图象上的一点，过点P分别作x轴、
轴的垂线，垂足分
别为A、B，
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所以矩形
的面积
．
39．如图，点M，N 在反比例函数
的图象上，分别过点M，N 向x 轴、y 轴作垂线，则
_____（填“>”、“<”或“＝”）
．
【答案】
【分析】根据反比例函数k 值的几何意义解答即可．
【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k 值的几何意义可得：
，
∴
．
40．如图是反比例函数
，
的图象，点P为
图象上的一点，且
轴，
轴，垂足分别为点A、点B，
、
分别交
的图象于点
、点
．
(1)当点P的横坐标为1 时，求点A、点
的坐标；
(2)在（1）的条件下，求
的面积．
【答案】(1)点A的坐标为
，点
的坐标为
；
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）先求得点P的坐标，由
轴，可求得点A的坐标，由
轴，得到点
的纵坐标为
，据此
求解即可；
（2）由（1）得
，
，同理点
的坐标为
，求得
，
，根据三角形面积公
式求解即可．
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【详解】（1）解：∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为
，
∴点P的坐标为
，
∵
轴，
∴点A的坐标为
，
∵
轴，
∴点
的纵坐标为
，
当
时，
，
，
∴点
的坐标为
；
（2）解：由（1）得
，
，同理点
的坐标为
，
∴
，
，
∴
．
题型9 根据图形面积求比例系数
41．如图，点P在反比例函数
的图象上，
轴于点A，
的面积为4，则k的值为
（ ）
A．4
B．8
C．－4
D．－8
【答案】B
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可得
，再由反比例函数的图象经过第一、三象限，
得到
，则
，据此可得答案．
【详解】解：∵点P在反比例函数
的图象上，
轴于点A，
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∴
，
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴
，
又∵
的面积为4，
∴
，即
，
∴
42．如图，在平面直角坐标系中，A是x轴上任意一点，
轴，分别交反比例函数
、
的图像于
，B两点，若
的面积为
，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数中的面积问题，掌握k的值和面积的关系是解题的关键．
连接
、
，反比例函数上的点与坐标轴垂足以及原点O组成的三角形面积为
，根据面积与k的关系
得出对应方程，解出k的值．
【详解】解：连接
、
，如下图：
可知
，且
，
解得
，
故选B．
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43．如图，已知A是反比例函数
上一点，
轴于点B，点
在x轴上，且
的面积为1，则
k的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是设出点A 的坐标代入三角形面积公式．
设点A 的坐标为
，由此可得点B 的坐标为
，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵已知A是反比例函数
上一点，
∴设点A 的坐标为
，
∵
轴于点B，
∴点B 的坐标为
，
∴
，
的高为
，
∴
，
即
，即
，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴
．
故选：D ．
44．如图，已知反比例函数
和
的图象，点
为
图象上一点，过点
作
轴于点
与
图象交于点
，若
的面积为1，则k的值为___________．
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【答案】3
【分析】根据反比例函数的几何意义得
，由
求解即可．
【详解】解：由题意可得点
在
图象上，
∴
，
∵
，
∴
，
∵点
为
图象上一点，
∴
，
∴
．
45．已知等边
，边长为8，点A 在y 轴上，点B 在第一象限，反比例函数
经过AB的中
点M，与
边相交于点N．
(1)求B 点坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)连接
，求
的面积．
【答案】(1)
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(2)
(3)12
【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求得B 的坐标；
（2）求出M 的坐标，代入
即可求得k 的值；
（3）作
轴于C，
轴于D，得到
，求出
的解析式，再联立方程组求出
点N 的坐标，再根据
即可求解．
【详解】（1）∵等边三角形
，边长为8，点A 在y 轴上，点B 在第一象限，
作
轴，
∵
∴
，
∴
，
∴B
；
（2）∵M 是AB的中点，
，
∴M
，
代入
得到
∴反比例函数的解析式为
；
（3）作
轴于C，
轴于D，得到
，
∵B
，
∴设直线
为
，代入
解得m=
，
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∴直线
为y=
x，
∴
，
解得
或
（舍去），
∴N
，
∴
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积，求得M、 N 的坐
标是解题的关键．
【易错警示】
利用图形面积求 k 时，常忘记面积等于 | k|，直接把面积当作 k，忽略绝对值造成符号出错。部分学生
分不清矩形、三角形对应面积公式，计算三角形时漏乘 2。求出 k 后需结合双曲线所在象限判断正负，
两步结合才能得到正确比例系数。
题型10 求反比例函数解析式
46．已知点
在反比例函数
的图象上，则k的值为（ ）
A．
B．6
C．
D．12
【答案】C
【详解】解：∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
．
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47．若点
在反比例函数
（k 为常数且
）的图象上，则k 的值为（ ）
A．8
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】本题利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点的坐标代入解析式即可
计算出k的值．
【详解】解：∵点
在反比例函数
的图象上，
∴将点
代入解析式
，得
，解得
即k的值为．
48．已知一个反比例函数的图象经过点
，若该反比例函数的图象也经过点
，则m的值为
_________．
【答案】
【分析】设反比例函数解析式为
，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数k列等式求
解即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为
，
反比例函数图象经过点
和
，
，
整理得
，
解得
．
49．在平面直角坐标系
中，若反比例函数
的图象经过点
和点
，则m的值
为_________．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数
的图象经过点
∴
∵点
在反比例函数
的图象上
∴
，即
解得
50．如图，反比例函数
与一次函数
的图像相交于A、B两点，点A的坐标为
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，点B的坐标为
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)连接
、
，求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何的综合．
(1)利用待定系数法求出函数的解析式；
(2)根据一次函数的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据
求出
的面积．
【详解】（1）解：将
代入
，
可得：
，
反比例函数解析式为
，
将
代入反比例函数解析式
，
可得：
，
点B的坐标为
，
将A、B两点的坐标代入
，
可得：
，
解得：
，
一次函数的解析式为
．
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（2）解：
，
当
时，
，
点
的坐标是
，
，
当
，
，
解得：
，
点
的坐标是
，
，
，
，
．
题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题
51．函数
与
在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【分析】本题考查一次函数及反比例函数结合问题，一次函数和反比例函数图象及性质等．根据题意逐一
对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A、由函数
的图象得：
，由函数
的图象得：
，符合，故本
选项符合题意；
B、由函数
的图象得：
，由函数
的图象得：
，相矛盾，故本选项不符合
题意；
C、由函数
的图象得：
，相矛盾，故本选项不符合题意；
D、由函数
的图象得：
，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：A
52．若
，
互为相反数，则函数
与
在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键
是掌握它们的性质．
根据题意得
，当
时，函数
的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第
一、三象限；当
时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选
择即可．
【详解】解：∵
，
互为相反数，
∴
，
当
时，函数
的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选
项；
当
时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D 符合．
故选：D．
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53．如图，在同一平面直角坐标系中，直线
与双曲线
相交于点
，则当
时，x的
取值范围是___________．
【答案】
或
．
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，
找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x 的取值范围即可．
【详解】解：由图象可以看出当
或
时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当
时，
x的取值范围是
或
．
故答案为：
或
．
54．如图是函数
，
和
在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断
和
间的大小关系为 _____________．
【答案】
【分析】根据正比例函数图象的性质：
时，图象经过一、三象限；
时，图象经过二、四象限，
可判断
．根据反比例函数图象的性质：
时，图象位于一、三象限；
时，图象位于二、四象
限，k 的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断
，即可求解．
【详解】解：由函数图象可知正比例函数
经过第二、四象限，
∴
，
又∵反比例函数
和
图象在第一象限，且
更远离坐标轴，
∴
，
∴
．
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故答案为：
．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出k 的取值范围是解题的
关键．
55．如图，已知直线
与反比例函数
的图象相交于点
，并且与x 轴相交于点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求
的面积；
(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数关系式以及求三角形的面积，
关键是求出A 点坐标，利用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用待定系数法把
代入函数关系式
中即可求出a 的值；把A 点坐标代入反比
例函数关系式
，即可得到答案；
（2）根据题意画出图象，过A点作
轴于D，根据A 的坐标求出
的长，再根据B点坐标求出
的长，根据三角形面积公式即可算出
的面积；
（3）观察图象，一次函数在反比例函数图象上方的部分对应x 的取值即为所求．
【详解】（1）∵点
在
的图象上，
∴
，
将
代入
，
得
，所以反比例函数的解析式为
；
（2）如图：过A 点作
轴于D，
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∵
，
∴
，
在直线
中，令
，得
，
∴
，
∴
，
∴
的面积
．
即：
的面积为
；
（3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为C，
把
代入
，整理得
，
解得
或
，
当
时，
，
所以C 点坐标
，
由图象知，要使一次函数的值大于反比例函数的值，x 的取值范围是：
或
．
题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题
56．若正比例函数
与反比例函数
的一个交点为
，则反比例函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出
参数k，即可得到解析式．
【详解】解：∵ 点
在正比例函数
上
∴ 将
代入
，得，
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解得
，
即交点坐标为
又∵ 点A在反比例函数
上，
∴
，
∴ 反比例函数的解析式为
．
57．若双曲线
与直线
交于
，
两点，则不等式
的解
集是（ ）
A．无法确定
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，本题需先根据交点坐标确定双曲线与直
线的图象所在象限，再结合函数图象的位置关系，找出双曲线在直线下方时x 的取值范围即可．
【详解】解：∵双曲线
与直线
交于
，
两点，
∴可画大致图象为：
∴不等式
的解集
或
故选：D．
58．如图，已知直线
与双曲线
的一个交点坐标为
，则不等式
的解集为______．
【答案】
或
【分析】找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即
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可．
【详解】解：∵直线
与双曲线
的一个交点坐标为
，
∴直线
与双曲线
的另外一个交点坐标为
，
观察图象得：不等式
的解集为
或
．
59．如图所示，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于第二、四象限的点
和点
，过A点作x轴的垂线，垂足为点
，
的面积为4．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求
的面积．
(3)结合图象直接写出
中x的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)15
(3)
或
【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数
的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据
的面积为4．得出
，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出
，再分别求出
，
，最后代入
，求解出
，即可作答．
（2）先求出
，再分别把数值代入
的面积
计算，即可作答．
（3）运用数形结合思想，得出符合题意的x的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵过A点作x轴的垂线，垂足为点
，
的面积为4．
∴
∴
，
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∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴
；
∴
；
∵
，
的面积为4．
∴
解得
，
即
，
把
代入
，得
，
解得
，
∴
；
把
和
代入
，
得
解得
∴
；
（2）解：连接
，如图所示：
由（1）得
，
，
，
令
则
，
解得
，
则
∴
，
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则
的面积
；
（3）解：∵
，
∴
，
依题意，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于第二、四象限的点
和点
，
则当
时，
或
，
即结合图象当
时x的取值范围为
或
，
60．如图，一次函数
（
）的图象与反比例函数
（
）的图象交于点
，
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式
的解集．
【答案】(1)
，
(2)
和
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键：
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：把
代入
中得：
，
解得
，
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∴
把
代入
中得
，解得
；
∴
，
把A、B代入到
中得：
，解得：
，
∴
；
（2）解：由图象可知，不等式的解集为：
和
．
【易错警示】
联立两函数求交点易忽略交点个数，忘记两交点关于原点对称简化计算。比较函数值大小时，漏分区间讨
论 x 取值范围，混淆图象上下位置。求解面积时分割图形出错，未结合象限判断坐标正负，最终导致解
集、面积计算出现失误。
题型13 反比例函数与一次函数综合
61．如图，直线
与双曲线
交于点
，点
．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P 在x 轴上，
，求点P 的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为
，反比例函数解析式为
(2)点P的坐标为
或
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，
正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据
即可求解．
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【详解】（1）解：∵双曲线
经过点
，
，
∴
，
∴
，
∴
，反比例函数解析式为：
，
∵直线
经过点
，点
，
∴
，
解得：
，
∴一次函数解析式为：
；
（2）解：∵点P 在x 轴上，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点P的坐标为
或
．
62．如图，直线
与反比例函数
的图像相交于
两点，连接
和
．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像直接写出
的解集；
(3)求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
或
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(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利
用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较
函数值的大小．
（1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）利用图像求不等式的解集；
（3）设直线AB交x轴于点
，利用
求解即可．
【详解】（1）解：
在反比例函数
的图像上，
，
，
反比例函数的解析式为：
，
在反比函数上，
，
，
将点
代入一次函数
中，得
，
解得
，
所以一次函数的表达式为：
；
（2）
，
，
根据图像，得
或
；
（3）把
代入
得，
，
设点
为
与x轴的交点，则
，
，
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63．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与双曲线
交于点
．
(1)求双曲线的表达式；
(2)已知B是双曲线
上一点，且到
轴的距离是12，直线
与直线
交于点
，与双曲线
交于点
．如果
，求n的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合：
（1）把
，
代入
，可求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入
求出k，即可求解；
（2）先求出点B 的坐标为
，再设点C 的坐标为
．点D 的坐标为
，根据
求解，即可．
【详解】（1）解：
直线
经过点
，
把
，
代入
，解得
．
所以点A 的坐标为
．
把
，
代入
，得∶
，解得
，
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∴双曲线的表达式为
；
（2）解：
点B 在第一象限且到y 轴距离为12，
点B 的横坐标为12．
又点B 在双曲线
上，
点B 的坐标为
．
直线
与直线
交于点C，与双曲线
交于点D，
可设点C 的坐标为
．点D 的坐标为
，
∵
，
∴
解得：
（负舍）．
∵
，
的值为4．
64．如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于点
，与x 轴交于点B．
(1)求反比例函数
与一次函数
的表达式：
(2)过点A 作
轴于点C，求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达
式，两点之间的距离公式．
（1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可；
（2）先求出点C 的坐标，
，再求出一次函数与x 轴的交点B 的坐标，利用两点之间的距离就出BC，
利用三角形面积公式求解即可．
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【详解】（1）解：∵一次函数
和反比例函数
都过点点
，
∴
，
，
解得：
，
，
∴一次函数的解析式为∶
，
反比例函数的解析式为：
．
（2）∵
，
，
∴
，
∴
，
另
，解得：
，
∴
，
∴
，
∴
．
65．如图，一次函数
与反比例函数
的图像在第二象限交于点A，且点A 的横坐标为
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B 的坐标是
，若点P 在y 轴上，
，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）首先确定点A 的坐标，再利用待定系数法求出k 即可；
（2）设
，构建方程求解．
【详解】（1）解∵一次函数
与反比例函数
的图象在第二象限交于点A，点A 的横坐标为
，
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当
时，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为
；
（2）解：设
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴P 点的坐标为
或
．
题型14 反比例函数与几何综合
66．如图，在平面直角坐标系中，线段
端点的坐标为
，
，其中
，反比例函数
的图象交线段
于点P．当
时，m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据题意可得点P 为线段
的中点，从而得到点
，即可求解．
【详解】解：∵
，
∴点P 为线段
的中点，
∵线段
端点的坐标为
，
，
∴点
，
把点
代入
得：
，
解得：
．
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67．如图，点A 在反比例函数
的图象上，
轴于点B，
轴于点C，
，
，连接
．若四边形
的面积为3，则k 的值为_________．
【答案】9
【分析】根据反比例函数的定义设点A坐标为
，得到
，
，
，
，可求得四边形
、三角形
、三角形
的面积，可求出四边形
的面积
表达式，根据四边形
的面积为3，可求k 的值．
【详解】解：设点A坐标为
，
∴
，
，
又∵
轴于点B，
轴于点
，
∴
则四边形
为矩形，
四边形
的面积为
，
，
，
根据题意有
，
，
则
，
，
，
，
四边形
的面积为
，
根据题意得
，
解得
．
68．在平面直角坐标系中，直角三角板
按如图位置摆放，直角顶点与原点O 重合，点A 在反比例函
数
的图像上，
．若点B 坐标为
，则k 的值是______．
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【答案】1
【分析】过点A作
垂直于
轴，过点B作
垂直于
轴，根据点B的坐标求出
的长度，利用勾
股定理求出
的长度，再通过解直角三角形求出
的长度，最后利用“
字模型”求出
的距离，
根据k的几何意义求解．
【详解】解：如图所示，过点A作
垂直于
轴，垂足为点
，过点B作
垂直于
轴，垂足为点
，
∴
，
∵点
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，即
，解得
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，即
，解得
，
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∴
，
又∵
，
∴
，
又∵反比例函数图像在第一象限，
∴
．
69．如图，在平面直角坐标系中，正方形边框
的边
在x 轴正半轴上，顶点A，D 在第一象限内，
反比例函数
的图象与
交于点E，已知点E 的坐标为
．
(1)求k 的值．
(2)若
边不动，将正方形边框
向左下方推动，使点A落在y 轴的点
处．点D 落在点
处．若点
在反比例函数
的图象上，求点
的坐标．
【答案】(1)20
(2)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）可得四边形
是矩形，
，然后把
代入
求解即可．
【详解】（1）解：把
代入
，得
．
（2）解：
，
正方形
的边长
，
由题意得，
，
轴，
如解图，过点
作
于点F，
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∵
∴四边形
是矩形，
．
把
代入
，
解得
．
点
的坐标为
．
70．如图，四边形
是矩形，
，
，反比例函数
的图象过点A．
(1)求k 的值．
(2)点P 为反比例图象上的一点，作
直线
，
轴，当四边形
是正方形时，求点P 的坐
标．
【答案】(1)
(2)点P 坐标为
或
【分析】（1）根据已知条件，先求出点A 坐标，再根据反比例函数
的图象过点A，将点A 坐标代入
反比例函数解析式中，即可求出k 的值；
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为：
，设点
，由四边形
是正方形，可得
，分点P 在第一象限和第三象限两种情况，进行讨论，建立关于a 的方程，解方程即可求出对应
点P 坐标．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴点
，点
，点
，
∵反比例函数
的图象过点A，
∴将点
代入反比例函数解析式中，
可得：
；
（2）解：∵
，
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∴反比例函数解析式为：
，
设点
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
当点P 在第一象限时，
∴
，
∴
，
（舍去），
∴点
；
当点P 在第三象限，
∴
，
∴
（舍去），
，
∴点
；
综上所述：点P 坐标为
或
．
题型15 反比例函数的新定义问题
71．定义新运算：
，则对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象位于第一、三象限
C．当
时，
D．当
时，y 随x 的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质；
根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可．
【详解】解：∵定义新运算
∴
，
对于A 选项：将
代入
，得
，故函数图象不经过点
，A 错误；
对于B 选项：∵
，
∴反比例函数
的图象位于第二、四象限，B 错误；
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对于C 选项：当
时，x为负数，
为正数，且x从
增大到
时，
从1 增大到4，即
，C 错误；
对于D 选项：∵
，
∴当
时，
随x的增大而增大，D 正确；
故选：D．
72．定义：在平面直角坐标系
中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐
标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．点
是反比例函数
图象上的一个“梦之点”，
该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线
为
，当
时，x 的取值范围是____．
【答案】
或
【分析】把
代入
求出解析式，再求与
的交点即为
，最后根据函数图象判断当
时，x 的取值范围即可．
【详解】解：∵点
在反比例函数
的图象上，
∴
，
∴
，
∴反比例函数解析式为
，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线
的图象上，
联立
，
解得
，
，
∴
，
把
，
代入
，得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
∴函数图象如图：
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由图可得，当
时，x 的取值范围是
或
．
73．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数
的图象与直线：
交于整点A，与直线
交于整点B和整点
，直线与
交于整点
，若线段BC上有7 个整点
（包括端点），且
，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点
的坐标为
，过点
作
轴的平行
线，与过点A作x轴的平行线交于点
，则
，联立
，求出
，则可得
，所以
，又线段BC上有
个整点，点B，
，
都是整点，故
，然
后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键．
【详解】解：联立
，
解得
，
∴点
的坐标为
，
过点
作
轴的平行线，与过点A作x轴的平行线交于点
，则
，
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联立
，解得：
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵线段BC上有
个整点，点B，
，
都是整点，
∴
，
∵点A，B都在反比例函数
的图象上，
∴
，
解得
，
故答案为：．
74．定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线
与双曲线
交于点A、B 两点．那么双曲线关于直线的割距是______________
【答案】
【分析】本题主要考查了双曲线与直线的交点问题，勾股定理，解方程组等知识点，根据新定义得出方程
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组，进而可得
，
，再勾造直角三角形，利用勾股定理求出AB的值即可得解，熟练掌握其性
质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】由题意得：
，
解方程组并检验得：
或
，
∴
，
，
如图，作
轴，
轴，两线交于点D，
∴在
中，
，
故答案为：
．
75．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点
的纵坐标
与横坐标x的差“
”称
为点A的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵
横极差”．例如：点
的“纵横差”为
；函数
图象上所有点的“纵横差”可以
表示为
；当
时，
的最大值为
，所以函数
（
）
的“纵横极差”为
．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
(1)求点
的“纵横差”；
(2)求函数
的“纵横极差”；
(3)若h为实数，函数
的“纵横极差”为
，求h的值．
【答案】(1) ；
(2)
；
(3)
．
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【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键．
（1）根据“纵横差”的定义求解即可；
（2）根据“纵横极差”的定义得
，然后通过反比例函数的性质求解即可；
（3）根据“纵横极差”的定义得
，然后通过反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点
的“纵横差”为
；
（2）解：由题意，函数
图象上所有点的“纵横差”为
，
又∵当
时，
随x的增大而减小，
∴当
时，
的值最大，最大值是
，
∴函数
的“纵横极差”为
；
（3）解：∵
，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为
，
根据反比例函数的性质，对h的符号进行分类讨论：当
时，
若
，则
的最大值在
处取得，即最大值为h，
∴“纵横极差”为
，符合条件；
若
，则
的最大值在
处取得，即最大值为
，
∴“纵横极差”为
，解得
，不符合条件，舍去，
综上所述，h的值为
．
1．已知反比例函数
的图象位于第二、四象限，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案
【详解】解：∵ 反比例函数
的图象位于第二、四象限
∴ 反比例函数的比例系数满足
解得
∵
，选项中只有
，其余选项均满足
∴m 的值可能为0
2．关于反比例函数
，下列说法中错误的是（ ）
A．当
时，
随
的增大而减小
B．图象位于第一、三象限
C．点
在函数图象上
D．当
时，
【答案】D
【分析】先由解析式得
，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可．
【详解】解：∵ 反比例函数
中，
，
∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B 正确；
且在每个象限内，
随
的增大而减小，
∵
对应第三象限，
∴ 当
时，
随
的增大而减小，选项A 正确；
将
代入解析式，得
，与点的纵坐标一致，
∴ 点
在函数图象上，选项C 正确；
当
时，
，
∵
时，
随
的增大而减小，
∴ 当
时，
，
因此D 错误选项．
3．反比例函数
的图象上三个点的坐标分别是
，
，
，则
，
，
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标的值，再根据有理数大小比较法则判
断大小关系即可．
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【详解】解：分别将三个点的横坐标代入反比例函数
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
，
．
4．如图，
两点分别在函数
和
的图像上，线段
轴，点
在
轴上，
则△ABC的面积为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】A
【详解】解：连接
、
，线段
交y 轴于点D，
，
，
，
，
由反比例函数中k 的几何意义知，
，
，
．
5．如图，过点
分别作
轴于点C，
轴于点D，
、
分别交反比例函数
的图象于点A、B，则四边形
的面积为（ ）．
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A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【分析】此题主要考查了反比例函数系数
的几何意义；
由点P 坐标可得四边形
的面积，根据反比例函数系数
的几何意义可得
，
再利用矩形
的面积减去
和
的面积即可．
【详解】
解：∵
，
∴四边形
的面积为
，
∵
两点在反比例函数
的图象上，
，
∴四边形
的面积为：
．
故选：C．
6．如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象相交于A、B 两点，点A 的横坐标为
，
当
时，x 的取值范围为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例
函数图象的性质得到A、B 关于原点对称，则点A 的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图
象下方所对应的自变量的范围即可．
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【详解】解：∵正比例函数
的图象与反比例函数
的图象关于原点对称，
∴两函数的交点A，B 关于原点对称，
∵点A 的横坐标为
，
∴点B 的横坐标为1，
当
时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B 的左侧和第三象限内点A 的
左侧，
∴当
时，x 的取值范围为
或
，
故选：C．
7．已知反比例函数
（m 为常数），当
时，函数y 的最大值为a（a 为常数），则当
时，函数y 有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由
，故该反比例函数图象位于第二、四
象限，当
时，函数的最大值为
，可得出
，再分析函数在
上的极值即可得
出答案．
【详解】解：∵
，故该反比例函数图象位于第二、四象限．
当
时，函数在第四象限，且
，故
随
增大而递增．
因此，当
时，
取得最大值
，即：
，
∴
，
当
时，函数在第二象限，
随
增大而递增，
∴当
时，
有最小值，最小值为：
，
当
时，
有最大值，最大值为：
，
故选：A．
8．如图，点
在反比例函数
（
）的图像上，过点
分别作
轴、
轴的垂线交
轴、
轴于点
、
，线段
、
与反比例函数
（
）的图像相交于点
、
，连接
．则
的面
积为（ ）
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A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数系数与几何图形面积的关系是关
键．
根据题意设
，则
，
，由此得到
，再利用三角形
面积公式计算即可求解．
【详解】解：∵点
在反比例函数
（
）的图像上，过点
分别作
轴、
轴的垂线交
轴、
轴于点
、
，
∴设
，
∵线段
、
与反比例函数
（
）的图像相交于点
、
，
∴点
的横坐标为
，则纵坐标为
，即
，
点
的纵坐标为
，则横坐标为
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：C．
9．一次函数
与反比例函数
的部分图象如图所示，M 是它们的一个交点，N 是
它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M 作
轴，
轴，垂足分别为A，B；过点N
作
轴，
轴，垂足分别为C，D．记矩形
的面积为
，周长为
，记矩形
的面
积为
，周长为
，下列结论正确的是（ ）
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】设点
坐标为
，点
坐标为
，根据点
在反比例函数图象上可得
的值，根据点
在反比例函数图象上方可得
与
的关系；根据点
在一次函数图象上可得
的值，根据点
在一次
函数图象下方可得
与
的关系．
【详解】设
，
点
在反比例函数
图象上
点
在反比例函数图象的上方
，即
点
在一次函数
图象上
，即
∵矩形
∴
，
点
在一次函数图象的下方
，即
∵矩形
∴
，
∴
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综上所述，
，
．
10．如图，矩形
的顶点
，
分别在
轴、
轴的正半轴上，点
在
上，且
，反比例
函数
的图象经过点
及矩形
的对称中心
，连接
，
，
．若
的面积
为，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
点的坐标为
，根据矩形对称中心的性质得出延长
恰好经过点B，
，确定
，然后结合图形及反比例函数的意义，得出
，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
设
点的坐标为
，
∵矩形
的对称中心M，
∴延长
恰好经过点B，
，
∵点D 在
上，且
，
∴
，
∴
，
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∴
∵
在反比例函数的图象上，
∴
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
．
11．反比例函数
，当
时，y 随x 的增大而_______．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【详解】解：∵反比例函数
，
，
∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大；
故当
时，y 随x 的增大而增大.
12．已知反比例函数
的图象与一次函数
的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表
达式为________．
【答案】
【分析】先将交点的横坐标代入已知一次函数，求出交点的纵坐标，得到交点坐标，再将交点坐标代入反
比例函数求出
的值，即可得到反比例函数的表达式．
【详解】解：把
代入
中得
，则交点坐标为
，
将
代入反比例函数
中，得
，
则反比例函数表达式为
．
13．在平面直角坐标系
中，点
均在函数
的图象上，且
0，则
_____
（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】先根据
确定k 的值，得出函数图像的增减性，即可求解．
【详解】解：
点
在函数
的图象上，
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，
，
在每一象限内，
随
的增大而增大，
，
．
14．已知点
，
，
都在反比例函数
的图象上，则用“
”将
，
，
按从
大到小的顺序排列为____________．
【答案】
【分析】根据题意得反比例函数在每个象限内，y 随x 的增大而减小，由此问题可求解．
【详解】解：由反比例函数
可知该函数在第一、第三象限，则有在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∵点
都在反比例函数的图象上，
，
∴
，
故
．
15．在平面直角坐标系
中，若反比例函数
的图象位于第一、三象限，则
的取值范围是
____________
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数
的性
质：当
时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当
时，图象在二、四象限，
在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
根据反比例函数的性质，当比例系数大于0 时，图象位于第一、三象限，据此得到
，再解不等式
即可．
【详解】解：反比例函数
的图象位于第一、三象限，
则比例系数
，
解得
，
故答案为：
．
16．函数
与
图象的一个交点坐标为
，则
的值为_________．
【答案】
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【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得
，
，进而得出
，
，即可求解．
【详解】解：∵函数
与
图象的一个交点坐标为
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形
的边
在
轴负半轴上，函数
的图象经过顶
点
和对角线
的中点
，
交
轴于点
，若
的面积为，则
的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的
性质是关键．依据题意，如图，连接
，延长
交
轴于点
，又点
，
，
三点共线．
轴，
设点
，则
，推出
，推出
，再由
的面积
可得
，从而可得
，即可判断得解．
【详解】解：如图，连接
，延长
交
轴于点
，
点
是菱形对角线
的中点，
，
点
，
，
三点共线，
轴．
设点
，则
，
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，
．
，
直线
：
．
，
直线
：
．
，
．
的面积
．
．
．
．
故答案为：
．
18．如图，在平面直角坐标系
中，两个反比例函数
和
在第二象限内的图象依次为
，
．已知点P 在
上，点A，B 在
上，且
轴，
轴，则四边形
的面积为____．
【答案】4
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到
即可求出答案．
【详解】解：如图，
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由反比例函数比例系数的几何意义可得，
∴四边形
的面积为
．
19．如图，将反比例函数
图象在第一象限的分支向左平移
个单位长度后与
轴相交于点
，
为
轴上一点，作点
关于点
的对称点
，再以线段
为斜边向下作等腰直角三角形
若点
和
点
恰好都落在反比例函数
图象在第三象限的分支上，则
__________．
【答案】
【分析】连接
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
．易证得
，得到
，
；设
，则点
的坐标为
，点
的纵坐标为
．求得平移后的函数解析式为
，代入A 的坐标得到
，令
，
，即可得到
，
，根据反比例函数系数
得到
，解得
，进而即可求得
．
【详解】解：如图，连接
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
．
点
与点
关于点
对称，
．
是以线段
为斜边的等腰直角三角形，
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，
，
，
．
，
，
，
；
设
，则点
的坐标为
，点
的纵坐标为
．
∵将反比例函数
图象在第一象限的分支向左平移4 个单位长度后与y 轴相交于点A，
点
在函数
的图象上，
把A 的坐标代入得
，
令
，
解得
，
点
的横坐标为
，
，
，点
的纵坐标为
，
，
．
点
和点
都在反比例函数
图象在第三象限的分支上，
，
解得
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
平移的规律，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
20．如图，已知反比例函数
的图象上有一组点
、
、……、
，它们的横坐标依次增加1，且点
横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记
，
，
……，则
__________．
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【答案】
【分析】本题考查了反比例函数
的几何意义，掌握反比例函数
的几何意义是解题的关键．由反比例函
数系数
的几何意义可知，
……的面积都等于
，得出
，进而即可求解．
【详解】解：如图，由反比例函数系数
的几何意义可知，
……的面积都等
于
，
又∵点
，
，……，
，它们的横坐标依次增加，且点
横坐标为，
∴
，
，
，
，
……
∴
，
,……，
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∴
，
故答案为：
．
21．如图，正比例函数
的图象与反比例函数
的图象有一个交点
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当
时，求反比例函数
的
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握反比例函数的图象与性质，反比例函数
，当
时，图象经过一、三象限，并在每个象限内y 随x 的增大而减小，当
时，图象
经过二、四象限，并在每个象限内y 随x 的增大而增大．
（1）将点
代入
，求出
，将点
代入
即可求出反比例函数表达式；
（2）直接根据反比例函数的图象性质计算即可得出结论．
【详解】（1）解：将点
代入
，
∴
，
∴点
坐标为
，
将点
代入
，
∴
，
∴反比例函数为
；
（2）解：∵
，
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∴反比例函数图象在一、三象限，并在每个象限内y 随x 的增大而减小，
当
时，反比例函数图象在第三象限，
∴
时，
最大，当
时，
最小，
∴当
时，
的取值范围是
．
22．如图，反比例函数
的图象与一次函数
的图象交于A、B 两点．已知
，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB 的面积；
【答案】(1)一次函数解析式为
，反比例函数解析式为
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）把点B 坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点A 坐标，再把点A 和点B 坐
标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；
（2）求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标，再根据
进行求解即可．
【详解】（1）解：把
代入
中得：
，解得
，
∴反比例函数解析式为
，
在
中，当
时，
，
∴
，
把
，
代入
中得，
，
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∴
，
∴一次函数解析式为
；
（2）解；设一次函数
与x 轴交于C，则
，
∴
，
∴
．
23．已知函数
．
(1)当
为何值时，此函数为正比例函数，且
随
的增大而增大？
(2)当
为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可．
（1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可．
（2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可．
【详解】（1）解：当函数为正比例函数时，
则
，
解得：
，
∵
随
的增大而增大．
∴
，
∴
，
∴
．
（2）当函数为反比例函数时，
则
，
解得：
，
∵图象经过第一、三象限
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∴
，
∴
，
∴
．
24．如图所示，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于两点
，与
轴
相交于点
．
(1)求反比例函数和一次函数的函数表达式：
(2)直接写出：不等式
的解集是______；
(3)求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
或
．
(3)4
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象
上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键．
（1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出
点坐标，再将
，
点坐标代入一次函数求解
即可；
（2）根据图象即可得出不等式的解集；
（3）先求出
点坐标，再分别求出
和
的面积即可求出
的面积．
【详解】（1）解：
反比例函数
的图象过
，
，
反比例函数的解析式为：
，
点
在反比例函数图象上，
，
，
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点
的坐标为
，
将点
，
坐标代入一次函数
中，
得
，
解得
，
一次函数的解析式为：
．
（2）解：根据图象可知，不等式
的解集是：
或
．
故答案为：
或
．
（3）解：
一次函数
与
轴相交于点
，
点坐标为
，
，
点坐标为
，
，
点坐标为
，
，
．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形
的对角线
、
相交于点
，且
，
．
(1)求证：四边形
是菱形；
(2)如果
，
，求出经过点
的反比例函数解析式．
【答案】(1)见解析
(2)
．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及菱形的判定及性质．
（1）由
，
结合平行四边形的判定定理可得出四边形
是平行四边形，再由矩形的
性质可得出
，从而得出四边形
是菱形；
（2）连接
，交
于点
，根据菱形的性质结合线段
、
的长度，由此即可得出点
的坐标，由
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点
的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵
，
，
四边形
是平行四边形．
又
四边形
是矩形，
与
相等且互相平分，
．
四边形
是菱形；
（2）解：连接
，交
于点
，如图所示．
四边形
是菱形，
与
互相垂直平分．
又
，
，
，
，
点的坐标为
．
设反比例函数解析式为
，
则
，
经过点
的反比例函数解析式为
．
26．如图，一次函数
的图像经过点
，
，点P 在一次函数的图像上，过点P 分别作
x 轴和y 轴的平行线交反比例函数
的图像于M，N 两点，连接
．
(1)求a，b 的值；
(2)若
是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值．
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【答案】(1)
，
(2)点
的坐标为
，
【分析】（1）将点
代入一次函数
，即可求解；
（2）解：设点
的坐标为
，根据
是腰长为3 的等腰直角三角形得到点
的坐标为
，点
的坐标为
，把它们代入反比例函数
，即可求出t 的值，进而得到点P
的坐标与k 的值．
【详解】（1）解：
一次函数
的图像经过点
，
，解得
．
（2）解：由（1）有
，
，
∴一次函数为
，
∵点P 在一次函数
的图像上，
∴设点
的坐标为
．
是腰长为3 的等腰直角三角形，
，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
．
∵点
在反比例函数
的图像上，
．
解得
．
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
．
．
27．如图，矩形
的顶点
与坐标原点重合，点
的坐标为
，点
，
分别在坐标轴上，反比例
函数
的图象与
，
分别交于点
，
，且
．
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(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接
，将
沿
翻折，点
的对应点
落在
轴上，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由矩形与点
坐标得到
长度，结合
算出AD长，确定
点坐标，代入反比
例函数求
，得到解析式．
（2）先由反比例解析式求
点坐标，得
长度；根据折叠性质得
，设
，
利用勾股定理列方程求解
，得到
坐标．
【详解】（1）解：
，四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
．
在
上，
，
．
（2）解：
在BC上，横坐标为
，
在
上，
，
，
由折叠得：
，
设
，
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，
．
在
中，
，
∴
∴
，
在
左侧，
，
，
，
．
28．【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵
，
∴
，
∴
，
只有当
时，等号成立．
【数学认识】在
（a、b 均为正实数）中，若
为定值k，则
，只有当
时，
有最小值
．
【解决问题】
(1)若
，
有最小值为 ，此时
．
(2)如图，已知直线
与x 轴交于点A，过点A 的另一直线
与双曲线
相交于B，
若点C 为双曲线上任意一点，作
轴交直线
于点D，试求当线段
最短时，求
面积．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据题意可得
，则
，当且仅当
时，等号成立，
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据此可得答案；
（2）设
，则
，
，仿照题意可得
，
当且仅当
时，等号成立，求出等号成立时m 的值和
的长，再求出点A 的坐标，进而根据三角
形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，当且仅当
时，等号成立，即当
时，等号成立，此时
或
（舍去），
∴当
时，
有最小值，最小值为
；
（2）解：设
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，当且仅当
时，等号成立，即当
时，等号成立，此时
或
（舍去），
∴当
时，
有最小值，即此时
有最小值，
∴当
时，
最短，最短为
，
在
中，当
时，
，
∴
，
∴此时
．
29．如图，O 为坐标原点，四边形
为矩形，
，点P 在边BC上以每秒1 个单位长的速
度由点C 向点B 运动，同时点Q 在边
上以每秒a 个单位长的速度由点A 向点B 运动，运动时间为t 秒
（
）．
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(1)若反比例函数
图像经过P 点、Q 点，求a 的值；
(2)若
是以
为底的等腰直角三角形，求a 的值；
(3)若
垂直平分
，求a 的值；
(4)当Q 点运动到
中点时，是否存在a 使
为直角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，请说
明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了反比例函数，坐标与图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等
三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用．
（1）先用t 表示出P，Q 两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；
（2）证明
，推出
，
，
，即可解答；
（3）先根据
垂直平分
得出
，求出t 的值，再由
即可得出a 的值；
（4）分
与
两种情况进行分类讨论．
【详解】（1）解：∵
，点P 在边BC上以每秒1 个单位长的速度由点C 向点B 运动，同时
点Q 在边
上以每秒a 个单位长的速度由点A 向点B 运动，
∴
，
∵反比例函数
图象经过P 点、Q 点，
∴
，
解得
；
（2）解：如图，
是等腰直角三角形，且
，
，
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根据题意得
，
，
，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（3）解：∵
垂直平分
，
∴
，
∴
，解得
，
∴
，
∵
，
∴
，解得
；
（4）解：存在，
的值为
，
如图，
∵Q 为
的中点，
∴
，
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当
时，
， 即
，
整理得，
，
∵
，
∴此方程无解，即此种情况不存在；
当
时，
，即
，
整理得，
，解得
，
∵
，
∴
，即
，解得
；
综上，存在a 使
为直角三角形，
的值为
．
30．如图，反比例函数
与一次函数
的图象交于点
，点
，一次函
数
与
轴相交于点
．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点
是反比例函数图象上
点右侧一点，连接
，以点
为直角顶点作等腰
，若点
恰好也
落在这个反比例函数的图象上，求点
的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式
，一次函数的表达式
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定与性
质，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）将
代入反比例函数的解析式求得m 的值，再将
代入
求得n 的值，再利用待定系数
法求解即可；
（2）过点A 作x 轴的平行线，过点E，F 作x 轴的垂线，交直线于点
，根据等腰直角三角形的性质
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证明
，设点
，
，则
，从而得到
，再列方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：将
代入反比例函数
，
解得
，
∴
，
将
代入
，
得
，
将
，点
代入
，
，
解得
，
∴
；
（2）解：过点A 作x 轴的平行线，过点E，F 作x 轴的垂线，交直线于点
，
，
，
，
，
，
设点
，
，
，
，
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，
，即
，
两式相加得：
，即
，
将
代入
得：
，即
，
解得：
或
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
点
是反比例函数图象上
点右侧一点，
∴
．
