2026秋《5星学霸函数》

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5星学霸
5 星学霸
5星学霸
5星学霸
5 星学霸
第一章
平面直角坐标系
人教七下苏科八上北师八上沪科八上浙教八上华师八下
题型1
平面直角坐标系的概念
1
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
3
题型3
点的坐标特征——特殊线
4
题型4
点到坐标轴的距离
5
题型5
两点之间的距离
6
题型6
平移中的坐标变化
8
题型7
轴对称中的坐标变化
10
题型8
旋转中的坐标变化
12
题型9
中点坐标公式
13
题型10
用方向和距离确定位置( 极坐标)
14
题型11
坐标变化中的规律问题
15
题型12
平面直角坐标系与几何-----面积问题⑤
18
题型13
平面直角坐标系与几何——图形变换问题
22
题型14
平面直角坐标系与几何——最值问题
25
题型15
平面直角坐标系与几何——存在性问题
28
第二章
一次函数
人教八下苏科八上北师八上沪科八上浙教八上华师八下
题型16
函数的概念与自变量的取值范围
31
题型17
函数的三种表示方法
33
题型18
函数图象的实际应用
35
题型19
一次函数的概念
38
题型20
正比例函数的图象与性质
40
Contents
目录
内题型46
一次函数与几何——特殊四边形存在性问题
122
题型47
一次函数与几何——直线与圆
126
第三章
反比例函数
人教九上苏科九上北师九下沪科九上浙教九下华师八下
题型48
反比例函数的概念
129
题型49
反比例函数的增减性与对称性
131
题型50
反比例函数中k的几何意义——单k模型
134
题型51
反比例函数中k的几何意义——双k模型
135
题型52
反比例函数与一次函数——图象共存问题
136
题型53
反比例函数与一次函数——交点与不等式问题
138
题型54
反比例函数的应用——实际问题
141
题型55
反比例函数的应用——跨学科问题
144
题型56
反比例函数与几何——面积问题
147
题型57
反比例函数与几何-----线段问题
150
题型58
反比例函数与几何——角度问题
153
题型59
反比例函数与几何——图形变换问题
156
题型60
反比例函数与几何——最值问题
159
题型61
反比例函数与几何——存在性问题
162
题型62
类反比例函数图象的性质探究
166
第四章
二次函数
人教九上苏科九下北师九上沪科九上浙教九上华师九下
题型63
二次函数的概念
168
题型64
二次函数的增减性与对称性
170
题型65
利用待定系数法求二次函数的解析式③
173
题型66
二次函数图象与系数的关系
176
题型67
二次函数区间最值问题-----定轴区间⑤
179
Contents
目录
题型68
二次函数区间最值问题——动轴区间
184
题型69
二次函数的交点问题——坐标轴
188
题型70
二次函数的交点问题——直线
191
题型71
二次函数的交点问题——线段
194
题型72
二次函数的交点问题——图形
198
题型73
二次函数的交点问题-----根系关系的运用
200
题型74
二次函数中的整点个数问题
202
题型75
二次函数的实际应用——图形面积问题
205
题型76
二次函数的实际应用——销售利润问题
208
题型77
二次函数的实际应用——抛物线形问题
210
题型78
二次函数的平移
213
题型79
二次函数的对称
216
题型80
二次函数的旋转
219
题型81
双抛物线问题
222
题型82
二次函数与几何——面积问题(定值与数量关系)
225
题型83
二次函数与几何——面积问题( 最值)
227
题型84
二次函数与几何——线段问题(定值与数量关系)
230
题型85
二次函数与几何——线段问题( 最值)
233
题型86
二次函数与几何——角度问题(定值与数量关系)
236
题型87
二次函数与几何——全等、相似关系存在性问题
240
题型88
二次函数与几何——特殊三角形存在性问题
243
题型89
二次函数与几何——特殊四边形存在性问题
246
题型90
二次函数与几何——圆的相关性质
250
题型91
二次函数中的平行弦与相交弦
253
题型92
二次函数中的焦点、准线⑤
256
题型93
二次函数中的动点定直线与定点动直线⊙
259
索引
函数图象与性质
图象统领，性质归纳，打通知识主线
图象与性质基础
1. 函数的三种表示方法
P33
2. 正比例函数的图象与性质
题型20 P 40
3. 一次函数的图象与性质
P42
4. 利用待定系数法求一次函数的解析式
P53
5. 反比例函数的增减性与对称性
P131
6. 二次函数的增减性与对称性
P170
7. 利用待定系数法求二次函数的解析式
P173
8. 二次函数图象与系数的关系
P176
图象与性质的综合应用
1. 一次函数中的图象共存问题
P45
2. 一次函数与方程(组)
P47
3. 一次函数与不等式
P50
4. 反比例函数与一次函数——图象共存问题
P136
5. 类反比例函数图象的性质探究
P166
6. 二次函数区间最值问题——定轴区间
P179
7. 二次函数区间最值问题——动轴区间
P184
1. 平移中的坐标变化
P8
2. 轴对称中的坐标变化
P10
3. 旋转中的坐标变化
P12
4. 坐标变化中的规律问题
P15
5. 平面直角坐标系与几何——图形变换问题
P22
6. 一次函数的平移
P59
7. 一次函数的轴对称
P63
8. 一次函数的旋转
P68
9. 反比例函数与几何——图形变换问题
P156
10. 二次函数的平移
P213
11. 二次函数的对称
题型79 P 216
12. 二次函数的旋转
P219
压轴题型分类突破，集中攻坚，提升综合题得分能力
几何最值问题
1. 平面直角坐标系与几何——最值问题
题型14 P 25
索引
2. 一次函数与几何——最值问题
题型43
 P 112
3. 反比例函数与几何——最值问题
题型60
 P 159
4. 二次函数与几何——面积问题( 最值)
题型83
 P 227
5. 二次函数与几何——线段问题( 最值)
题型85
 P 233
存在性问题
1. 平面直角坐标系与几何——存在性问题
P28
2. 一次函数与几何——全等、相似关系存在性问题
P116
3. 一次函数与几何——特殊三角形存在性问题
P119
4. 一次函数与几何——特殊四边形存在性问题
P122
5. 反比例函数与几何——存在性问题
P162
6. 二次函数与几何——全等、相似关系存在性问题
P 240
7. 二次函数与几何——特殊三角形存在性问题
P 243
8. 二次函数与几何——特殊四边形存在性问题
题型89
 P 246
交点问题
1. 反比例函数与一次函数——交点与不等式问题
题型53
 P 138
2. 二次函数的交点问题——坐标轴
P188
3. 二次函数的交点问题——直线
P191
4. 二次函数的交点问题——线段
P194
5. 二次函数的交点问题——图形
P198
6. 二次函数的交点问题——根系关系的运用
P200
面积、线段、角度问题
1. 平面直角坐标系与几何——面积问题
题型12 P 18
2. 一次函数与几何——面积问题
P97
3. 一次函数与几何——线段问题
P104
4. 一次函数与几何——角度问题
P108
5. 反比例函数与几何——面积问题
P147
6. 反比例函数与几何——线段问题
P150
7. 反比例函数与几何——角度问题
题型58
 P 153
8. 二次函数与几何——面积问题( 定值与数量关系)
题型82
 P 225
9. 二次函数与几何——面积问题( 最值)
题型83
 P 227
10. 二次函数与几何——线段问题(定值与数量关系)
题型84
 P 230
11. 二次函数与几何——线段问题( 最值)
题型85
 P 233
12. 二次函数与几何——角度问题(定值与数量关系)
题型86
 P 236
索引
其他问题
1. 一次函数中的定点动直线与动点定直线
P73
2. 含绝对值的函数
P 76
3. 一次函数与几何——直线与圆
P126
4. 类反比例函数图象的性质探究
P166
5. 二次函数中的整点个数问题
P 202
6. 双抛物线问题
P 222
7. 二次函数与几何——圆的相关性质
P 250
8. 二次函数中的平行弦与相交弦
P 253
9. 二次函数中的动点定直线与定点动直线
P 259
1. 平面直角坐标系与几何——面积问题
P18
2. 利用待定系数法求一次函数的解析式
P 53
3. 两直线的位置关系
P56
4. 一次函数的轴对称
P 63
5. 二次函数区间最值问题——定轴区间
P179
6. 二次函数区间最值问题——动轴区间
P184
7. 二次函数中的焦点、准线
P 256
8. 二次函数中的动点定直线与定点动直线
P 259
实际应用情境建模，问题转化，提升应用能力
1. 函数图象的实际应用
P35
2. 一次函数中的图象信息题
P 79
3. 一次函数的实际应用——行程问题
P82
4. 一次函数的实际应用——最值问题
P85
5. 一次函数的实际应用——方案问题
P88
6. 一次函数的实际应用——跨学科问题
P91
7. 一次函数的实际应用——含参问题
P94
8. 反比例函数的应用——实际问题
P141
9. 反比例函数的应用——跨学科问题
P144
10. 二次函数的实际应用——图形面积问题
P205
11. 二次函数的实际应用——销售利润问题
P 208
12. 二次函数的实际应用——抛物线形问题
P 210
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—
—
—
题型1
平面直角坐标系的概念
的
人
所需前置知识：
主要数学思想：
数轴的概念
数形结合思想
平面直角坐标系：如图，平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系.
坐标轴：水平的数轴称为横轴(x轴)，通常取向右为正方向.
竖直的数轴称为纵轴(y轴)，通常取向上为正方向.
坐标原点：两条坐标轴的交点是坐标系的原点，通常用点 
O 表示.
象限：x轴与y轴将坐标平面分成了四个部分，从右上起，按逆时针
方向依次叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.
点的坐标：过平面内一点作x，y轴的垂线，若垂足在x轴上对应的数
为m，在y轴上对应的数为n，则m为这个点的横坐标，n为这个点
的纵坐标，(m，n)为这个点的坐标.
例1
点的坐标
如图，这是某市市政府周边的一些建筑.
(1)请写出商会大厦和医院的坐标；
(2)
小
明
沿
(2,0)→(2,-1)→(2,-3)→(0,-3)→(0,-1)→
(-2，-1)的路线逛了一下，请写出他路上经过的地方.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
例2
建立平面直角坐标系
(鄂州中考)如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标
汉界
系,使“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),那么“兵”在同一坐
标系下的坐标是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:5min
(2)请建立一个与(1)不同的平面直角坐标
1.
如图，在平面直角坐标系
系，并写出故宫的坐标：
.
中，正方形 ABCD 的面积为
16, 点A(1,0), 则点 C 的坐标
变式
斜坐标系
为
.
3.
在同一平面内，如果仅原点重合的两条数
2.
小明通过查阅资料了解到老北京城一些
轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标
地点的分布示意图(如图).
系.如图，若点 P 是斜坐标系中任意一点，过点
P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于
点M,N, 如果点M,N 对应的数为a,b, 则点P
的坐标为(a，b).下列可能是点 E 在斜坐标系
中的坐标的是
(
)
(1)在图中，分别以正东、正北方向为x轴、
y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果东直
门的坐标为(3.5,4),宣武门的坐标为(-2,-1).
那么坐标原点所在的地点是
；
A.(4,-2)
 
B.(4,2)
 
C.(3,-2)
 
D.(3,2)
第一章
平面直角坐标系| 学霸5 星(
5
5
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
1
1
1
所需前置知识：
本书前置内容：
平面直角坐标系的基础知识
题型1
平面直角坐标系的概念
第一象限
x>0, y>0 ( +,+)
第二象限
x<0, y>0 (- ,+)
象限内的点
第三象限
x<0, y<0 (- ,-)
第四象限
x>0, y<0 ( +,-)
x 轴
纵坐标为0，表示为(x，0)
坐标轴上的点
y 轴
横坐标为0，表示为(0，y )
原点
横、纵坐标均为0，表示为(0，0)
…
…
「
…
…
…
…
…
建议用时:10 min
的象限是第
象限.
1.
( 衡阳期中)点
所在象限
(2) 如果m 是任意实数,那么点P ( m-4, m+
1)一定不在第
象限.
为
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.
已知a，b都是实数，设点
2.
已知点M(x，y)的坐标满足
0，则点M 在
(
)
且满足3a = 2+b，我们称点P 为“梦之点”.
B. x 轴上
(1 ) 判断点A (3, 2)是否为“梦之点”;
A. y轴上
( 2) 若点M( m-1, 3m+2 ) 是“ 梦之点”, 请判
C. y 轴或x 轴上
D. 原点处
断点 M 在第几象限，并说明理由.
3.
(1 ) (长沙期中)在平面直角坐标系中，
点P ( 1 a,a
+3 ) 在 y  轴上, 则 a 的值
是
.
( 2)已知点A (-3,2m-4
) 在x 轴上, 点B ( n+
5,4 ) 在y 轴上,则点C (n,m) 位于第
象限.
4.
(1 ) ( 西宁期中)在平面直角坐标系中，
若点A(a,b) 在第四象限, 则点B(-b,a) 所在
学霸|5星数学函数
的
人
的
题型3
点的坐标特征——特殊线
王
子
王
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基础知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②平行线、垂线、角平分线的概念
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
平行( 垂直)于坐标
MN∥x 轴(MN⊥y 轴)
M，N两点纵坐标相等，横坐标不相等
轴的线上的点
MN∥γ 轴(MN⊥x 轴)
M，N两点横坐标相等，纵坐标不相等
象限角平分线上的点
位于第一、三象限角平分线上
x=y
P(x,y)
位于第二、四象限角平分线上
x=-y
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
1
建议用时:12 min
5.
( 沧州期中)如图，在平面直角坐标系
1.
( 广州期中)在平面直角坐标系中，点
中，直线l₁ 过点(3，0)且平行于y轴，直线l₂
A(m+2,-1),B(m-1,-1), 则直线AB 与y 轴
过点(0，4)且垂直于y轴，则点 P 的坐标可
的位置关系是
(
)
能是
.(写出一个即可)
A.平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D.不能确定
2.
在平面直角坐标系中，点A(-1，5)，
B(a,2a+1), 若AB∥y 轴, 则点 B 的坐标是
(
)
6.
在平面直角坐标系中，点M(m，n)在第
A.(-2,-3)
B.(2,5)
四象限的角平分线上，且m，n满足m+2n=
C.(1,3)
D.(-1,-1)
-3，则点M的坐标为
.
3.
已知点M(m-1,2m+3) 在第一、三象限
的角平分线上，则m的值是
(
)
变式
平行线上的整数点问题
B.4
7.
(沧州期中)在平面直角坐标系中，已知
点A(a,a),B(a+3,a), 其中a 为整数. 点C
C.-4
D.-4
或
在线段AB上，且点 C的横、纵坐标均为整数.
4.
若点M 的坐标为(2,-3),MN=4,MN⊥
若点 C 在 y 轴上，则满足条件的点 C 的坐
x轴，且点 N在第四象限，那么点 N的坐标
标有
(
)
为
.
A.3 个
B.4 个
C. 6 个
 D.7 个
第一章
平面直角坐标系|学霸5星
—
—
—
—
题型4
点到坐标轴的距离
F
F
F
所需前置知识：
本书前置内容：
平面直角坐标系的基础知识
题型1
平面直角坐标系的概念
点(x,y)到x轴的距离为lyl,到y轴的距离为lx1.
例
若点M(a+3，2a-4)到y轴的距离是到x轴距离的2 倍，则a的值为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
的
的
。
…
…
…
…
题型训练
建议用时:7 min
到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则
1.
( 保定期中)如图，用
a的值为
.
手盖住点 P，点P 到x轴的
距离为2，到y轴的距离为
变式
新定义问题
5，则点P 的坐标是(
)
3.
在平面直角坐标系中，若点 P 到两坐标
A.(-2,-5)
B.(-5,-2)
轴的距离之差的绝对值等于点 Q 到两坐标
C. (2,-5 )
D. ( 5,-2 )
轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为
2.
(1 )在平面直角坐标系中，有一点A(n-
“等差点”,例如P(-2,5
) 和Q(1,4 )到两坐
1，m+3)在第一象限，且点A到x轴的距离为
标轴的距离之差的绝对值都等于3，它们互
2，到y轴的距离为4，则m+n 的值为
.
为“等差点”.若点
M(-1,3
)和点 N(2,2-a)
(2)已知点P(2a,1-3a)在第二象限,且点 P
互为“等差点”，则a的值为
.
学霸|5星数学函数
—
—
—
—
题
型
5
两点之间的距离
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系点的坐标特征
题型1
平面直角坐标系的概念
②勾股定理
题型3
点的坐标特征——特殊线
已知A(x₁,y₁ ),B(x₂,y
₂)两点.
AB∥x 轴
y ₁)
在平行于坐标轴的
直线上
AB∥y 轴
y ₂)
不在平行于坐标轴
的直线上
例1
平行于坐标轴的直线上的两点距离
在平面直角坐标系中，若点M(2，4)与点N(x，4)之间的距离是3，则x的值是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
不平行于坐标轴的直线上的两点距离
如图，在平面直角坐标系中，点P为x轴上一点，且到点A(0，2)和点B(5，5)的
距离相等，求线段 OP 的长.
第一章
平面直角坐标系|学霸5星
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
10
0
的
建议用时:15 min
1.
已知点A(2,3),B(-4,3), 则A,B 两点
4.
( 兰州期中)在平面内两点P₁(x ₁,y₁ ),
间的距离是
(
)
P₂ (x ₂,y₂
), 其两点间的距离
A.4
B.6
C.2
D.1
2.
在平面直角坐标系中，点P(-x，2x)到原
(1) 已知A(2,4),B(-4,5), 试求A,B 两点
点O的距离等于5，则x的值是
(
)
间的距离；
A.±1
B. 1
C.
(2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A
3.
在平面直角坐标系内有一点 P，点P 到
的纵坐标为4，点B的纵坐标为-2，试求A，B
两坐标轴的距离相等，且点 P 到两点A(-1，
两点间的距离；
3),B(2,4)的距离相等,求点P的坐标.
(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为
D(1,1),E(-3,-1),F(2,-1), 你能判定此
三角形的形状吗?说明理由；
(4)在(3)的条件下，平面直角坐标系中，在
坐标轴上找到一点，使得△PDF是以 DF 为
底的等腰三角形，求点 P的坐标.
学霸|5星数学函数
1
题型6
平移中的坐标变化
に
あ
る
と
し
た
。
「
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基础知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②平移的性质
已知点P (x，y)，则其向各个方向平移的坐标变化如下：
变换
影响
平移后的 P '坐标
向右平移m个单位长度(m>0)
横坐标增加m
向左平移m个单位长度(m>0)
横坐标减小m
向上平移n个单位长度(n>0)
纵坐标增加n
向下平移n个单位长度(n>0)
纵坐标减小n
点的平移口诀：上加下减，左减右加.
图形的平移：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，所以可从图形
上的一个点的坐标变化得出其他点的坐标变化.
例1
点的平移
(武汉期中)在平面直角坐标系中，点P (1，-4) 向左平移4 个单位长度，向上平移6 个单位长
度后对应点 B，则点 B 在第
象限.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第一章平面直角坐标系|学霸5星
例2
图形的平移
(菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，将线段
AB 平移至
的位置，则a+b的值为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
1183
中
華
十
建议用时:15 min
1.
将点M(-2 ，3)向右平移n个单位长度
3.
(武汉期末)点A( 6-2x,x-3
) 在x 轴的
到达点 N，若点 N的横坐标和纵坐标相等，则
上方，将点 A 向上平移4 个单位长度，再向左
n的值为
(
)
平移1 个单位长度后得到点 B，点B 到 x 轴
A.2
B.3
C.4
D.5
的距离大于点 B 到y 轴的距离，则x的取值
范围是
.
2.
如图，在8×8 的网格中，每个小正方形的
4.
( 锦州期中)对于平面直角坐标系中的
边长都为1 个单位长度.
图形G 和图形G上的任意点P (x，y)，给出如
下定义:将点P (x,y) 平移到 P '( x+t,y-t)
称
为将点 P 进行“t型平移”，点P '称为将点 P
进行“t型平移”的对应点；将图形 G 上的所
有点进行“t型平移”称为将图形 G 进行“t型
平移”.
(1 )建立适当的平面直角坐标系后，若点 B
已知点A( 2,1 )和点 B(4,1 ).
的坐标为(-3,0
), 点C 的坐标为(2,0 ),则点
(1 ) 将点A(2，1)进行“2 型平移”后的对应点
A 的坐标为
A'的坐标为
；
；
( 2)若线段AB 进行“t型平移”后与坐标轴有
(2)将△ABC向右平移2 个单位长度，再向下平
公共点，则t的取值范围是
；
移3 个单位长度，画出平移后的△
A'B'C';
(3 ) 已知点C( 7,0 ), D( 9,-2
),点M 是线段
(3 ) 在(1)( 2 )的条件下,若线段AC 上有一
CD 上的一个动点，将点 B 进行“t型平移”后
点P (m，n)，则平移后的对应点 P ' 的坐标
得到的对应点为 B' ，当t 的取值范围是
为
.
时，B'M的最小值保持不变.
学霸|5星数学函数
—
—
题型7
轴对称中的坐标变化
其
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基础知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②轴对称的性质
已知点 P(x，y)，则其进行以下轴对称变换后坐标变化如下：
变换
影响
轴对称后的 P '坐标
关于y轴对称
横坐标变为其相反数
关于x轴对称
纵坐标变为其相反数
P'(x,-y)
关于过点(m，0)且平行于y轴的直线对称
纵坐标不变，横坐标变化
关于过点(0，n)且平行于x轴的直线对称
横坐标不变，纵坐标变化
关于第一、三象限角平分线对称
横纵坐标互换
P'(y,x)
关于第二、四象限角平分线对称
横纵坐标取相反数后互换
例1
关于坐标轴对称
如果点A(a,b) 在第二象限, 则B(-2a+2,b+1) 关于y 轴的对称点在
(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
关于平行于坐标轴的直线对称
(聊城期末)在平面直角坐标系中，直线l是经过点(-1，0)，且平行于y轴的直线，点P(a，-1)
与点Q(3,b) 关于直线l 对称, 则a+b 的值为
.
第一章平面直角坐标系| 学霸5 星(
三步破题
第1 步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
—
—
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—
—
—
建议用时:10 min
对称, 请在图中标出点B(3,5),C(3,-5),
1.
如果点A(m +5,m-3
)在x轴上,那么点
D(-3,-5
),E(-5,
0 ) 关于直线l 对称的点
B( m-1，m-5)关于x轴的对称点的坐标是
B₁, C₁,D₁,E₁
的位置.
(
)
【探索归纳】
A.(6,10
)
( 2)结合图形并观察以上五组点的坐标，你
B.(2,2
)
会发现：坐标平面内任意一点 P (a，b)关于直
C.(-2,2
)
线l对称的点 P ₁ 的坐标为
；
D.(-6,-10
)
【拓展应用】
2.
已知点A(-4, 3),B (2,3 )关于某条直线
(3 ) 若点M(4,x ) 与点N(-3,2y
) 关于直线l
对称，请写出该直线上的一点：
.
对称，则点(x，y)的坐标为
.
(写出一个即可)
3.
如图，在平面直角坐标系中，直线l是第
4.
( 郑州期中)在平面直角坐标系中，经过
一、三象限内两坐标轴夹角的平分线.
点(0，m)，且平行于x轴的直线可以记作直线
y=m，经过点(m，0)，且平行于 y 轴的直线可
以记作直线x =m，我们给出如下的定义：点
P(x,y)先关于x轴对称得到点 P ₁,再将点 P₁
关于直线y =m对称得点 P'，则称点 P'为点 P
关于x 轴和直线y = m 的二次反射点.已知点
P(2,3 ), Q(2,2 )关于x轴和直线y= m 的二次
反射点分别为 P ₁, Q₁, 点M(2,3 )关于直线x =
【问题背景】
m对称的点为M₁, 则当△P₁Q₁M₁ 的面积为l
(1)由图可知点A(0,2)与点A₁(2,0)关于直线l
时，m的值为
.
学霸|5星数学函数
上
题型8
旋转中的坐标变化
11
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基础知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②旋转的性质
已知点P (x，y)，则其进行以下旋转变换后坐标变化如下：
变换
影响
旋转后的P'坐标
绕原点旋转180°(关于原点对称)
横纵坐标取相反数
点P,P '到点(m,n)的水平距离、竖
绕点(m,n)旋转180°
直距离均相等
绕原点逆时针旋转90°
纵坐标取相反数后，横纵坐标互换
绕原点顺时针旋转90°
横坐标取相反数后，横纵坐标互换
P'(y,-x)
绕点(m,n)逆时针旋转90°
点P 与点(m，n)的横纵坐标差值发
绕点(m,n)顺时针旋转90°
生相应变化
P'(m- n+y, m+n-x)
—
—
—
—
—
—
—
—
—
建议用时:7min
1.
( 西宁期末)在平面直角坐标系中，点
△ABC 绕点 P 逆时针方向旋转得到
P(-3, 2)绕原点旋转180°,旋转后对应点 P '
△A'B' C', 点B 的对应点 B'的坐标为(-3,2 ),
的坐标为
(
)
点P 在x轴上.
A. (3,2)
B. (3,-2)
C. (-2,3)
D. (2,-3)
2.
如图,将△ABC 绕点 C(0, 2 ) 旋转180°
得到△A' B'C, 设点A 的坐标为(a,b), 则点
A'的坐标为
.
(1 ) 点P 的坐标是
，旋转角的度数
为
;
3.
如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C
( 2)旋转后点 C'的坐标为
，画出旋
的坐标分别为(-2,1
),(
1,2 ),( 2,1 ), 将
转后的△A'B' C'.
第一章平面直角坐标系|学霸5星t
—
—
—
—
题型9
中点坐标公式
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①点的坐标特征
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
②数轴上的中点公式
题型8
旋转中的坐标变化
我们先来回顾一下数轴上的中点公式：如图，在数轴上，已知点 A 表示的数为x₁，点B 表示的数为
x₂.若点 C 为线段AB的中点,设点 C 表示的数为x₀, 则有AC=BC, 即
x ₁
利用上述知识推导平面直角坐标系中的中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x₁，y
₁)，
点B 的坐标为(x₂,y₂),点 C 为线段AB 的中点.设点 C 的坐标为(x₀,y₀), 则
在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(x₁，y₁)，点B 的坐标为(x₂，y₂).
1. 线段AB的中点 C的坐标为
2. 线段AB 的两个三等分点 P₁，P₂的坐标为：
靠近A的三等分点
靠近 B 的三等分点
3. 靠近点A 的第一个n等分点 Q 的坐标为
…
…
…
…
—
—
—
—
—
建议用时:10 min
1.
若点 P(3,7),线段PQ 的中点坐标为
点重合，则点 H 的坐标为
.
(-1,5), 则点Q 的坐标为
.
3.
已
知
点
E(a-2,-1),F(b,a-b-1),
若
线
2.
已
知
三
点
E(4,-2),F(-3,-1),G(-1,
段 EF 上靠近点 E 的三等分点 G 恰好位于
-4), 点H(x,y) 与点E,F,G 中的一个点构成
x轴上，且到y轴的距离是2，则2a -b 的值
的线段的中点与另外两个点构成的线段的中
为
.
学霸[5量数学函数
—
—
—
题型10 用方向和距离确定位置(极坐标)
—
—
—
—
—
在平面直角坐标系之外，另一种常用的坐标系是极坐标系，其中点的坐标称为极坐标.
所需前置知识
①平面直角坐标系的概念
②等腰三角形的性质( 第3题)
本书前置内容
题型1
平面直角坐标系的概念
如果已知一点 M 相对于定点O 的距离和方向，那么这个点就被唯一确定了.也就是说，可用角度和
距离来确定平面上点的相对位置.例如，雷达屏幕上用方位角和距离显示目标，或“教学楼东偏北
30°方向200 m处”，都是这种思想的体现.
M(ρ,θ)
如图，在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点引一条射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长
度单位、一个角度单位及其正方向(通常取逆时针方向).这样就建立了一个极坐标系.
O
设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离IOM|叫作点 M 的极径，记为ρ；以极轴 
Ox 为始边，射线
OM 为终边的∠xOM叫作点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫作点M 的极坐标，记为M(ρ，θ).
自
己
人
的
的
建议用时:10 min
1.
如图，在平面上取定一点 O 称为极点；
现以O 为极点，Ox 为极轴，逆时针方向为正方
从点 O 出发引一条射线 Ox 称为极轴；线段
向，则点A 的极坐标为
，点B的极坐标
OP 的长度称为极径.点P 的极坐标就可以用
为
；比较大小：点
C 的极角
点
线段OP 的长度以及从 Ox 转动到OP 的角度
D 的极角.( 极角范围在0°~180 °)
(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，如
P(3,30
°) 或P(3,-330
°) 或P(3,390
°), 则
点 P 关于点 O 成中心对称的点 Q 的极坐标
表示不正确的是
(
)
( 第2 题)
( 第3 题)
3.
(1 )在图①的极坐标系下，等边三角形
A. Q(3,210 °)
OAB 中,有一边 OA 在射线 Ox 上,OA=4, 则
B. Q(3,-450 °)
点 B的极坐标为
；
C. Q(3,570 °)
( 2)在图②的极坐标系下，正六边形 ABCDEO
D. Q( 3, -150 °)
的边长为2，每个内角为120°，有一边 OA在射
2.
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标
线 Ox 上，则顶点C 的极坐标为
.( 极
为(4,0 ),点D 的坐标为(3,5 ).
角范围在0°~180 °)
第一章平面直角坐标系| 学霸5 星
下
题型11
坐标变化中的规律问题
11313
①点的坐标特征
所需前置知识
②平移与对称的坐标变化
③数式规律探究方法
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
题型6
平移中的坐标变化
本书前置内容
题型7
轴对称中的坐标变化
题型8
旋转中的坐标变化
主要数学思想
数形结合思想、从特殊到一般的思想
坐标变化中的规律问题，通常以点的运动或连续变换为载体，考查坐标与序号( 次数)之间的
数量关系或循环特征.常见类型及解法如下：
类型
特征
解法要点
点按固定路线循环运动(如绕长方形
计算前几次坐标→确定循环周期T→第N次的坐
边界运动)
标由N除以T的余数决定
循
环
型
点依次关于多个不同的定点作对称变换先用中点坐标公式求每次变换后的点坐标，再确
(如绕对称中心A→B→C→…循环)
定循环周期，最后根据余数判断所在周期位置
点的坐标随序号n增加呈特定的递进
将横、纵坐标分开观察，分别与序号 n建立关系；
变化(如“上下跳动+左右摆动”且摆
奇偶项规律不同时分段处理，最后用含 n的代数
递
增
型
动幅度逐次增加1)
式表示
点在不断向外扩展的几何图形上(如绕
先找图形结构规律(如边长变化、位置变化等)，
原点呈“回”字形运动、三角形滚动等) 再确定点坐标与序号的对应关系
例1
循环型
如图, 在平面直角坐标系中,A,B,C 的坐标分别为(-3,0),(0,3),
(3，0)，一个动点从原点 O 出发，第一次跳跃到点 P ₁，使得点 P ₁与点 O 关
于点 A 成中心对称；第二次跳跃到点 P₂，使得点 P₂与点 P ₁关于点 B 成中
心对称；第三次跳跃到点 P₃，使得点 P₃与点 P₂关于点 C 成中心对称，….
这个动点照此规律跳下去，则点 P₁₉₉的坐标是
.
；学霸| 5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
递增型
(兰州期中)如图，点A(-1，0)第一次向上平移1 个单位长度至点
第二次向右平移
1 个单位长度至点A₂(0，1)，第三次向上平移1 个单位长度至点 A₃( 0，2)，第四次向右平移1 个单
位长度至点A₄( 1，2)，…，照此规律平移下去，点
A₁0₀₀的坐标是
(
)
A. (498,498 )
B. (498,499 )
C. ( 498,500 )
D. ( 499,500 )
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第一章平面直角坐标系| 学霸5星2
第
步计算求解
的
的
的
的
，
其
中
题型训练
①
建议用时:15 min
-1),C(1,
-1),D(1,2
),点P从点 A 出发,
1.
( 河南模拟)
沿长方形的边(A→B→C→D→A)运动,速度
在平面直角坐标
为每秒2 个单位长度，同时点 Q 从点 A 出
系中，正方形
发, 沿长方形的边(A→D→C→B→A) 运动,
OABC的位置如图
速度为每秒3 个单位长度，记P，Q在长方形
所示，边长为1，每
边上第一次相遇时的点为M₁，第二次相遇时
一次将正方形
的点为 M₂，第三次相遇时的点为 M₃，…，则
OABC 绕点 O 逆
B₃
点 M₁999的坐标为
.
时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2 倍，
第一次旋转得到正方形 OA₁B₁C₁，第二次旋
变式一
循环型——冰雹猜想
转得到正方形 OA₂B₂ C₂，…，以此类推，则点
4.
( 北京期中)任取一个正整数，若是奇
B₁₂₆的坐标是
.
数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将
2.
如图，在平面直角坐标系中，风车图案的
该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有
中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边
限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这
形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为
就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点
(1, 0 ),( 0,4 ), 将风车绕点O 顺时针旋转,每
(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进
次旋转90°,则经过第2 226 次旋转后,点 D
行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均
为正整数.则点(4，2) 经过2 222 次运算后得
的坐标为
.
到的点是
.
变式二
递增型——整数点分层排列
5.
(邯郸模拟)如图，
在平面直角坐标系中，
有若干个整数点，其顺
序按图中“→”方向排
列, 如(0,1 ), (-1,2
),
( 第2 题)
( 第3 题)
(0,2 ),( 1,2 ),( 2,3 ),( 1,3 ),( 0,3 ), …, 根
3.
如图，平面直角坐标系中长方形ABCD
据这个规律探索可得第1 849 个点的坐标
的四个顶点坐标分别为A(-1,2
), B(-1,
是
.
学霸|5星数学函数
题型12
平面直角坐标系与几何——面积问题
日
的
日
所需前置知识：
本书前置内容：
①点的坐标特征
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
②三角形、特殊四边形的面积公式
题型5
两点之间的距离
类型
已知条件
解法要点
三角形一边在坐标轴上
在平面直角坐标系
将坐标轴上的一边作为底边，那么高便垂直于
中，已知三个点
坐标轴，三角形的面积等于底与高乘积的一半，
A(x₁,0),
 
B(x₂,
即：
A
D B
0),
三角形一边平行于坐标轴
将平行于坐标轴的一边作为底边，那么高便垂直
于坐标轴，三角形的面积等于底与高乘积的一
半，即：
01
在平面直角坐标系
任意三角形(割补法)
当三角形的三边均不与坐标轴平行时，补成长
中，已知三个点
方形、梯形等，利用面积的和差，计算原三角形
的面积.如：
任意三角形(铅垂法)
三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一
铅
垂
高
半，即：
01
①若为特殊四边形(梯形、平行四边形)，四边
形面积用对应公式求解；
四边形的面积
四个顶点坐标
②分割成三角形求面积；
③补成长方形或梯形求面积
给定部分顶点和面
已知面积求点的坐标
根据面积公式建立方程，注意分类讨论
积，求另一顶点
第一章平面直角坐标系|学霸5星个
例1
根据坐标求面积
如图, 四边形ABCD 四个顶点的坐标分别为A(-2,0),B(1,7),
C(5,5 ), D(7,0 ).则这个四边形的面积为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
•
第
步计算求解
'
例2
根据面积求点的坐标
(上海期中)如图，在平面直角坐标系中(单位长度为1cm)，已
知点A(0,4),N(6,0),若点 E是第一象限内一点,且EN⊥x轴,过点
E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒
2cm的速度沿直线a向左移动，点Q 从原点 O 同时出发，以每秒
1 cm的速度沿x轴向右移动.若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边
形的面积是11 cm²，求此时点 P 的坐标.
三步破题
第
步提取信息
(
(
第
步对应题型
第
步计算求解
)
学霸|5星数学函数
1
1
…
…
…
建议用时:25 min
1.
( 咸宁期中)定义：任意三点A，B，C的
变式
坐标系中的面积关系
“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点5.
(广州期中)如图①，以长方形ABCD的
横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵
中心 O 为原点，平行于 BC 的直线为x轴建
坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah. 例如，三
立平面直角坐标系，若点 D 的坐标为(6，3).
点坐标分别为A(0,3),B(-3,4),C(1,-2),
(1 )直接写出点A,B,C的坐标.
则“水平底” a=4,“铅垂高” h=6,“矩面积”
( 2)设AD的中点为 E,点 M 是y 轴上的点,
S= ah =24. 若D(2,2),E(-2,1),F(3,m)
三
点的“矩面积”为20, 则m=
.
且△CME 的面积是长方形 ABCD 面积的
2.
在平面直角坐标系中，已知点A(5，1)，
求点 M 的坐标.
B(5,0),C(2,1),D(2,3), 并顺次连接A-B-
(3 )如图②,若点 P 从点 C 出发向CB方向匀
C-D-A,则四边形 ABCD 的面积为
.
速移动(不超过点B)，点Q 从点B出发向BA
3.
在平面直角坐标系中，已知点A(0，2 )，
方向匀速移动(不超过点A)，且点 Q 的速度
点B(0,-3
), 三角形ABC 的面积为15, 点 C
是点P的一半，P，Q两点同时出发，已知当
到x 轴的距离为2，点C 的坐标是
.
移动时间为 t秒时，点P的横坐标为6-2t.
4.
( 合肥期末)在平面直角坐标系中，点O
①此时
(用含
为坐标原点，点B 的坐标为(0，2)，点C 的坐
t的式子表示)
标为(4，0).点A 在x轴的负半轴上，连接
②在点 P，Q 移动过程中，四边形PBQD 的面
AB,BC, △ABC 的面积为6.
积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，
(1 )求点 A 的坐标;
求其变化范围.
( 2)动点P从点 C出发以每秒2 个单位长度
的速度沿x轴负半轴方向运动，到达A 点停
止，设点 P 的运动时间为 t 秒，连接 PB，
△OBP 的面积为S，用含t的式子表示 S，并
直接写出t的取值范围.
②
第一章平面直角坐标系| 学霸5 星
面积为S₁,△EOH 的面积为S₂,求
6.
在平面直角坐标系中，对于 P，Q两点给
的值.
出如下定义：点P到x轴，y轴的距离中的最
大值等于点 Q到x轴，y轴的距离中的最大
值,则称P,Q 两点为“等距点”.如点 P(3,2)
与Q(1,3)两点即为“等距点”.
(1)已知点A 的坐标为(-1,4).
①点B(3,1),C(-2,4),D(-4,1) 中, 与点A
为“等距点”的是
；
②若点M 的坐标为M(m,-m-6), 且A,M 两
点为“等距点”，求出点 M的坐标.
( 2) 若点E(-2,n+3) 与点 F(8,2n-5)两点
为“等距点”，在y轴上有异于原点的一点
H(O,b), 连接EH,OE,OF,FH. 若△HOF 的
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
衔接高中
建议用时:10 min
高中聚焦于更普适性的坐标面积计算(不再依赖图形割补).
初高中一致题型
坐标系内三角形、多边形面积求解
坐标行列式面积公式：
新增方法
在平面直角坐标系中, 已知三个点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃ ),
△ABC面积为
新增内容：任意三角形的直接面积计算( 第1 题)
考向差异
难度提升：结合动点、直线求面积最值或参数
( 第2 题)
1.
( 佛山期中)在平面直角坐标系中，
3.
在平面直角坐标系中，已知A(x₁，y₁)，
O(O,O),A(1,3),B(3,1), 则△OAB 的面积
B(x₂,y ₂), 若△AOB 的面积为S, 证明:S=
S=
.
2.
在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个
顶点坐标分别为A(0,2),B(4,0),C(m,0). 若
△ABC的面积为5，求点 C的坐标.
学霸|5星数学函数
题型13
平面直角坐标系与几何——
1
3
1
图形变换问题
上
主
①点的坐标特征
②平移、轴对称、旋转的性质
所需前置知识
③全等三角形的判定与性质
④等腰三角形
⑤勾股定理
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
题型6
平移中的坐标变化
本书前置内容
题型7
轴对称中的坐标变化
题型8
旋转中的坐标变化
主要数学思想
数形结合思想、转化思想
平面直角坐标系中的图形变换问题，是指将图形(点、线段、三角形等)进行平移、旋转、轴对称
等变换.常见类型及解法如下：
类型
特征
解法要点
平移
图形沿水平、竖直方向移动，形状平移遵循“左、右平移，左减右加；上、下平移，上加下
变换
和大小不变
减”的坐标变化规律
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
对称
图形关于x轴、y轴、原点或某条
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数；
变换
特殊直线对称
关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数；
关于直线y=x对称：横、纵坐标互换
图形绕某点顺时针/逆时针旋转
旋转90°或180°后的点坐标可利用几何构造(如一线
旋转
一定角度( 通常为90°，180°等特
三垂直模型)求解；绕某点旋转180°等同于关于该点
变换
殊角)
的中心对称
复合
图形依次进行平移、旋转、对称中遵循变换的独立性：按照变换顺序依次计算各顶点的
变换
的两种或多种变换
对应坐标，逐步推导，不得混淆变换顺序
例1
单变换(循环对称)
(牡丹江期中)圆周率π是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值.如图，在平面直角坐标
系中，对π进行循环往复的轴对称变换，若π第一笔画上有一点A，其坐标为(m，n)，则经过第
125 次变换后所得的点A的坐标是
(
)
第1次
第2次
第3次
第4次
关于x轴对称
关于y轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
.(m,n)
B. (-m,n)
C. (m,-n)
D. (-m,-n)
第一章平面直角坐标系| 学霸5 星
三步破题
第
步提取信息
(
>
(
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
复合变换( 平移+旋转)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是
A(-3,2
),B(0,
4),C(0,
2).
(1 )将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的
△A₁B₁C₁,平移△ABC,对应点A₂的坐标为(0,-4 ),画出平移后对
应的△A₂B₂C₂;
( 2)若将△A₁B₁C₁绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂，请直接写出旋
转中心的坐标.
三步破题
第
步提取信息
(
彳
(
第
步对应题型
第❸步计算求解
学霸|5星数学函数
—
—
—
的
的
的
题型训练
建议用时:I5 min
1.
在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整
5.
( 商丘模拟)如图，
数的点称为整点.如图，点A，B，D的坐标分
在平面直角坐标系中，
别为(0,2 ),( 1,4 ),( 3,0 ).连接AB,点 C 为
已知点 A(1,0
),B(2,
AB 的中点,连接CD,将线段 CD 沿射线 CB
0), 以点 O 为圆心,OA
方向平移得到线段C₁D₁，当点 D₁首次落在整
长为半径作圆，C 是⊙O 上一动点，连接BC，
点上时，点C₁的坐标为
.
以点 B 为旋转中心，将 BC顺时针旋转90°得
BD,连接CD.若点 C 从点 A 出发,按照逆时
针方向以每秒π/2个单位长度运动，则第
4 027 秒时,点 D 的坐标是
(
)
A. (3,2)
B. (2,3)
 C. (2,1)
D. (1,2)
( 第1题)
( 第2 题)
6.
在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点坐标
2.
如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与
分别为O(0,0),A(2a,0),B(0,-a), 线段EF
△DEF 关于直线m:x=1 对称,M,N 分别是
两端点的坐标为E(-m,a+1),F(-m,1),
这两个三角形中的对应点.如果点 M 的横坐
( 2a>m>a); 直线l∥y 轴交x 轴于点P(a,0),
标是a，那么点 N 的横坐标是
.
且线段EF 与CD 关于y轴对称，线段 CD 与
3.
( 上海期中)已知:点A(6,3),B(3,6),
NM关于直线l对称.
O 为坐标原点，将线段AB绕原点顺时针方向
(1 )求点 N,M 的坐标( 用含m,a 的代数式
旋转90°到线段 A'B', 则四边形 ABA'B'的面
表示)；
( 2) △ABO 与△MFE通过平移能重合吗? 能
积为
.
与不能都要说明其理由，若能，请你说出一个
平移方案(平移的单位数用m，a表示).
变式
对称变换与勾股定理
4.
( 烟台期末)在平面直角坐标系中，点A
的坐标为(4,2 ),过点A 作AB⊥y轴于点 B,
连接 OA,作△ABO 关于直线 AO 的对称图
形,得到△AEO,AE 交x轴于点 F,则点 F 的
坐标为
.
E
第一章
平面直角坐标系| 学霸5 星
上
题型14
平面直角坐标系与几何——最值问题
在
其
其
①平移、轴对称的性质
所需前置知识
②两点之间线段最短
③垂线段最短
④勾股定理
题型4
点到坐标轴的距离
题型5
两点之间的距离
本书前置内容
题型6
平移中的坐标变化
题型7
轴对称中的坐标变化
主要数学思想
数形结合思想、转化思想、模型思想
平面直角坐标系中的最值问题，通常以动点或动线为载体，考查线段之和最小、线段之差最
大、点到直线距离最小等问题.常见类型及解法如下：
类型
特征
解法要点
“化同侧为异侧”：作其中一个定点关于动点所在
在坐标轴(或与坐标轴平行的直
将军饮马
直线的对称点，利用轴对称性质将折线转化为线
线)上找一动点，使该点到两个
(两定一动)
段，连接对称点与另一个定点，交点即为所求点.最
定点的距离之和最小
小距离为线段长度，可用两点间距离公式计算
线段之
在坐标轴上找一动点，使该点到“化异侧为同侧”：作其中一个定点关于动点所在
两个定点的距离之差的绝对值直线的对称点，连接对称点与另一个定点并延长，
差最大
最大
与直线的交点即为所求点
直接利用“垂线段最短”原理.若动点在坐标轴上运
求定点到坐标轴(或与坐标轴平动，定点到该轴的距离即为最小值；若动点在水平
垂线段最短
行的直线)的最短距离
直线y=c或竖直直线x=a上运动，最小值即定点
到该直线的垂直距离，可直接由坐标差值求得
造桥选址(定定长线段滑动，求两端点到两定平移其中一个定点，构造平行四边形，利用两点间
长线段滑动) 点距离和的最小值
线段最短求解
利用两点间给出形如
由代数问题转化为几何问题，放到平面直角坐标系
距离公式求
的式子( 或中，根据两点之间线段最短等定理，求最值
最值
其他变形)，求其最值
学霸|5星数学函数
例1
将军饮马求最值
平面内四个点A(3,5),B(0,y),C(x,0),D(5,1), 将它们顺次连
接,则折线AB+BC+CD的最小值为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2 定长线段滑动求最值
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-1，0)，点B 的坐标是
(2,0 ), 长为2 的线段CD在y轴上移动,则AC+BD 的最小值是
.
三步破题
第
步提取信息
E
第
步对应题型
第
步计算求解
第一章
平面直角坐标系| 学霸5星；
的
人
的
—
—
—
—
题型训练
建议用时:20 min
1.
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶
5.
(邯郸模
点的坐标分别为A(-5,1
), B(-4,4
),
拟)如图，某
C(-1,-1
). 直线l 过点(2,0 )且平行于y轴,
社区快递员
在直线l 上找一点 P，使得|PB-PC|的值最
从配送站
大，则最大值为
.
A(4,5 )出发,
2.
若在平面内有一点 C(x，y)，使式子
需要先到
有最
y轴上的P 处投递一个包裹，然后到x轴上
小值，则最小值为
.
的Q 处取出一个退件，再沿x 轴向右骑行
3.
( 厦门期中)定义：在平面直角坐标系
2个单位长度到充电桩 R 给电动车充电，最
中，已知P₁(a,b),
P₂(c,b),
P₃(c,d), 这三个
后前往下一个配送点 B( 6，1).快递员沿折线
点中任意两点间的距离的最小值称为点 P₁，
骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最
P₂, P₃ 的“最佳间距”.例如:点
短，则这条最短路径的总长度为
.
P₂( 1,2 ), P₃( 1,3 )的“最佳间距”是1.
6.
如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 分
(1 )理解:点Q₁( 2,1 ), Q₂( 4,1 ), Q₃(4,4 )的
别交x 轴、y 轴于点A(a,0), 点B(0,b), 且
“最佳间距”是
.
a,b 满足
( 2)探究:已知点 O(0,0),A(-3,0),B(-3,
(1 )求△ABO 的面积;
y).则点 O，A，B的“最佳间距”的最大值
( 2)若在x轴上存在点 P, 使∠APB=45 °,求
为
.
△ABP的面积;
(3 ) 动点C 在x轴上，连接BC，将线段BC绕
点 B逆时针旋转60°至 BD,连接 OD,求线段
变式
面积最值问题
OD 的最小值.
4.
(重庆期中)如图，
在平面直角坐标系中，
已知点
先向左平移2 个单位长
度，再向下平移3 个单位长度到点 B，点B 在
y 轴上，则点 B 的坐标为
；点C 是
x轴负半轴上一点，过点C 作CD∥y轴，点 D
在第二象限，点E 在线段 CD 上，连接 OD，
BE,BD,OE, 且 BE=6,OD =8. 则四边形
BOED 的面积最大值为
.
学霸|5星数学函数
1
1
题型15
平面直角坐标系与几何——存在性问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①两点间距离公式
题型4
点到坐标轴的距离
②面积法(割补法、铅垂法)
题型5
两点之间的距离
③全等三角形的判定与性质
题型12
平面直角坐标系与几何——面积问题
④勾股定理
平面直角坐标系中的存在性问题，是指在给定条件下，判断是否存在满足某种几何特征的点，
并求出该点的坐标.常见类型及解法如下：
类型
特征
解法要点
①是否存在点，使该点到某定点( 或定直
距离存
线)的距离为某一定值；
设动点坐标，利用两点间距离公式列方
在性
②是否存在点，使线段满足相等或倍数
程求解，注意检验点是否在给定范围内
关系
(如坐标轴上、线段上等)
①是否存在点，使三角形( 或四边形)的面
面积存
积为某一定值；
在性
②是否存在点，使某图形面积与另一图形
设动点坐标，利用面积关系列方程
面积相等或成倍数关系
①是否存在点，使得新三角形与已知三角
全等：对应边相等列方程；
特殊图形
形全等；
等腰：分三种情况列距离方程；
存在性
②是否存在点，使该点与已知点构成等腰
直角：分类讨论直角顶点，用勾股定理列
三角形或直角三角形等
方程
新定义中
先理解新定义，将其转化为数学条件，再
是否存在点，满足题目给出的新定义要求
存在性
根据条件列方程或不等式求解
例
面积存在性
( 信阳期中)在平面直角坐标系中, 已知A(0,3 ),B(
5,0 ),C(
5,6 )三点.是否存在点
使三角形AOP 的面积为三角形ABC 的面积的3 倍?若存在，请直接写出点 P 的坐
标；若不存在，请说明理由.
第一章平面直角坐标系|学霸5星?
三步破题
第
步提取信息
(
(
第
步对应题型
本
利
第
步计算求解
日
2
0
题型训练
建议用时:25 min
2.
( 邹城期末)如图，在平面直角坐标系
1.
如图，在以点 O 为原点的平面直角坐标
中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3,
系中, 点A,B 的坐标分别为(3,0),(3,4), 点
1),B(1,0),C(2,4). 是否存在不与点C 重合
C 在y轴上,且BC∥x轴.点 P 从原点出发,
的点 P，使以点 P，A，B为顶点的三角形与以
以每秒2 个单位长度的速度沿着O-A-B-C-
点A，B，C为顶点的三角形全等?若存在，请
O的路线运动(回到O 为止).点P 运动t秒
直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不
存在，请说明理由.
后(t≠0)，是否存在点P到x轴的距离为
个单位长度的情况?若存在，求出点 P 的坐
标；若不存在，请说明理由.
学霸5星数学函数
变式一
距离存在性(到多点等距)
5.
( 北京期末)对于平面直角坐标系中的
3.
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC
四个点A，B，C，D，如果可以作一个长方形
的三个顶点坐标分别是A(1,2),B(3,4),
PQRS，其边均与某条坐标轴垂直，且A，B，C，
C(4,1).
D分别落在该长方形的四条边上，A，B，C，D
(1 )请画出将△ABC向下平移4 个单位长度，
均不与长方形的顶点重合，则称A，B，C，D是
向左平移4 个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；
“ 坐标相合” 的. 已知A(-1,2),B(1,1),
( 2)是否存在点 P，使
C( 3,2 ),D( 0,5 ).例如,如图,对于点A,B,C,
若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说
D,可作长方形 PQRS,因此A,B,C,D 是“坐
明理由.
标相合”的.
(1 ) 设E(e,2e-3 )是坐标平面上的动点,且
A,C,D,E是“坐标相合”的,求 e 的取值
范围；
( 2)在坐标平面内，是否存在点 F，使得A，B，
C，D，F中任意四点都是“坐标相合”的?若
存在，求点 F 的坐标；若不存在，说明理由.
-5
变式二
两动点存在性问题
4.
如图，在平面直角坐标系中，已知一定点
M(1,0
),
两
个
动
点
E(a,2a+1),F(b,
- 2b+3 )，请你探索，是否存在以两个动点E，
F 为端点的线段 EF 平行于线段 OM 且等于
线段OM?若存在，求以点O，M，E，F为顶点
的四边形的面积；若不存在，请说明理由.
中
题型16
函数的概念与自变量的取值范围
其
中
是
其
一
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基本知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②分式、偶次根式有意义的条件
题型2
点的坐标特征——象限与坐标轴
类型
特征
解法要点
在具体变化过程中，区分哪些量是①常量可以是具体的数字，也可以是表示固定数
判断常量
常量(数值始终不变)，哪些量是变值的字母(如π或题中指定的固定参数)；
与变量
②同一量在不同变化过程中可能是常量也可能
量(数值发生变化)
是变量
①给出解析式，判断变量y是否为x ①查看对于所有的x的取值，y的值是否都为唯一值；
判断是否
为函数
的函数；
②对于图象，作与x轴垂直的直线，若与图象最
②给出图象，判断y是否为x的函数多只有一个交点，则是函数图象
①分式型：分母≠0；②偶次根式型：被开方数≥
求自变量的函数解析式中含有分式、偶次根式、0；③零次幂型：底数≠0；④负整数指数幂型：底
取值范围
零次幂、负整数指数幂等
数≠0；⑤实际问题型：使实际问题有意义；⑥几
种情况同时出现时，取各条件的公共部分
求函数值或已知自变量的值，求对应的函数值；将已知量代入函数解析式，计算( 或解方程)
自变量的值已知函数值，求对应的自变量的值即可
例
判断是否为函数
(北京期中)观察表格和图象，下列判断正确的是
(
)
x
-2
1
y₁
1
2
3
4
A. y₁是x的函数,y₂不是x的函数
B. y₂是x的函数,y₁不是x的函数
C. y₁和y₂都是x的函数
D. y₁和y₂都不是x的函数
学霸|5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
2
3
…
…
…
…
题型训练
C
建议用时:8 min
1.
(南通期中)下列图象中，表示y 是x 的
4.
下列各题中能将其中某个变量看成另一
函数的是
(
)
个变量的函数吗?若能，指出自变量的取值
范围.
(1 )北京市某天气温的变化情况如图所示；
A
B
C
D
2.
下列各式:①y =3x; ②y =
x+2; ③y² =
x
⑤lyl
= 2x.其中y 是x 的函数
的有
.(填序号)
3.
求下列函数自变量x 的取值范围：
( 2)投寄质量在100g 以内(含100g)的外埠
普通信函，应付邮资如下表：
信件质量
0<
20<
40<
60<
80<
m/ g
m≤20 m≤40 m≤60 m≤80 m≤100
邮资y/ 元
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
第二章一次函数| 学霸5星
的
人
。
题型17
函数的三种表示方法
巨
巨
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基本知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②函数的概念
题型16
函数的概念与自变量的取值范围
表示方法
特征
解法要点
用关于自变量的代数式来表示函数的方
①写解析式时，注意根据实际情况确定自变
解析
量的取值范围；
法.能准确反映函数与自变量的数量关
式法
②函数与自变量的变化有时分为几段不同的
系，但部分函数关系难以用解析式表达
规律，需要分段写函数解析式
①快速判断函数与自变量，一般第一行是自
把一系列自变量的值与对应的函数值列变量；
列表法
成一个表格来表示函数关系的方法.对应②从表格中判断函数与自变量的关系，分析
关系清晰，但不能表示自变量的所有取值因自变量的变化而引起的函数的变化情况，
弄清每组对应值的实际含义
用函数图象表示函数的方法.能直观地表①明确横、纵轴的含义；
图象法
示出自变量与函数的变化规律，但有时不②关注特殊点坐标的意义、图象的上升或下
够精确
降趋势
注意事项：
①函数的三种表示方法从数和形两个方面诠释了函数的本质，可以互相转化.
②函数解析式在书写上有顺序，例如y =x+1 表示y 是x 的函数，x = y-1 表示x 是y 的函数.
例
表示方法的转化
为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能(车速不超过140 km/ h)，测试员对这种型号的汽
车进行了测试，测得的数据如下表.下面说法中，错误的是
(
)
刹车时车速v(km/ h)
0
10
20
30
40
50
刹车距离s/ m
0
2.5
5
7.5
10
12.5
A. 刹车时车速v 是自变量
B. 车速不超过140 km/ h 时，随着刹车时车速v 的增大，刹车距离s 也随之增大
C. 刹车距离s( m)与刹车时车速v(km/ h)之间的函数解析式为s= 0.25v
D. 当刹车时车速是100km/ h 时,刹车距离是20 m
学霸|5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第❸步计算求解
30000
—
—
—
—
—
题型训练
建议用时:
7 min
1.
(北京期中)如图，四幅图象分别表示变
2.
某市电费实行阶梯式收费，标准如下：
量之间的函数关系，请按图象的顺序，将下面
一户居民一个月用电量的
电费价格
的四种情境与之对应排序.
范围
( 元/ 千瓦时)
不超过200 千瓦时的部分
0.55
超过200 千瓦时，但不超
0.6
O
O
x O
0
过400 千瓦时的部分
a.运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间
超过400 千瓦时的部分
0.8
的关系)；
(1 )设该市一户居民某月用电量x千瓦时，
b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地
当月的电费y元，写出y与x的解析式：
(小车行驶路程与时间的关系)；
当200 <x≤400 时,
; 当x>400 时,
c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐
.
渐增加(弹簧的长度与所挂重物的质量的关
( 2)某户居民七月份用电量为260 千瓦时，
求该户居民这个月的电费.
系);
(3 )某户居民八月份缴电费170 元，那么该
d.小明从 A 地到 B 地后，停留一段时间，然
户居民八月份用电量为多少千瓦时?
后按原来的速度原路返回(小明离A 地的距
离与时间的关系).正确的顺序是
(
)
A. abcd
B. abdc
C. acbd
D. acdb
第二章一次函数| 学霸5 星?
—
—
—
—
题型18
函数图象的实际应用
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系的基本知识
题型1
平面直角坐标系的概念
②函数的概念
题型16
函数的概念与自变量的取值范围
③函数的三种表示方法
题型17
函数的三种表示方法
类型
特征
解法要点
给出实际问题情境( 如匀速运①分析变量关系，确定函数类型(如是否为分段函数)；
判断函
数图象
动、变速运动、注水、温度变化②关注关键点(起点、终点、转折点)和变化趋势；
等)，要求选择符合的函数图象
③排除不符合的选项(如趋势错误、起点不符等)
①关注横、纵轴：从图象上判定函数与自变量的关系，弄
清横、纵轴代表的意义；
分析函
给定函数图象，要求解决实际问
②关注特殊点：理解图象中起点、终点、交点、端点等特
题(如求速度、时间、距离、面积
数图象
殊点的实际意义；
等)
③关注每一截线段：理解每一截线段的含义( 变化趋
势、实际意义)
例1
判断函数图象
某容器的截面如图所示，出水阀门在点A 处.如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放
出，下面图象中能大致表示水的深度h( cm)与放水时间t(s )之间的关系的是
(
)
h/cm↑
h/cm↑
h/cm↑
h/cm↑
A
t/s
t/s
A
B
C
D
三步破题
第
步提取信息
学霸|5星数学函数
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
分析函数图象
(北京期中)某中学举办班超比赛，在初二男子组1500 米的项目中，参赛选手在400 米的环形
跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程(甲跑完了全程)，其中x 表示甲的跑步时
间，y 表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论：
①甲到达终点时，乙还有60 米未跑；
②甲跑完全程用时5' 15"；
③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次；
④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长.
上述结论中，所有正确结论的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第二章一次函数| 学霸5 星?
—
—
—
—
li
建议用时:10 min
1.
(临沂模拟)在
一定温度下，某固
态物质在100g 溶
剂中达到饱和状态
时所溶解的溶质的
质量叫作这种物质
T/℃
在这种溶剂中的溶解度.物质的溶解度会随
温度的变化而变化.已知甲、乙两种物质在水
②
中的溶解度 S (g)与温度 T(℃)之间的对应
根据上述信息回答：
关系如图所示，则下列说法正确的是(
)
(1 )机器人的运动路线是:A→
→
→
A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度
→D; ( 填"O""B" 或"C")
B. 当温度从0 ℃升高至15 ℃的过程中，甲
( 2) 当x=2 时,y=
.
物质的溶解度随着温度的升高而增大
C. 将30 ℃时乙的饱和溶液降温至15 ℃时，
3.
周末，父子二人在一段笔直的跑道上限
乙仍是饱和溶液
时90 s练习往返跑，跑道两端分别为A，B，跑
D. 当温度高于15 ℃时，用等质量的甲、乙物
道全长120 m，父亲从 A 端出发，速度为
质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水
4m /s; 儿子从B端出发,速度为2m /s. 两人
的质量更大
同时出发，往返跑，不计转向时间.图中，纵坐
标表示两人之间的距离s( m)，横坐标表示时
变式
动点问题的函数图象
间t(s).下列四个图象中，能正确表示s随t
2.
(荆州模拟)图①是一个轨道的示意图，
变化趋势的是
(
)
四边形 ABCD是长方形，对角线AC，BD交于
点O,AB=AO=BO=CO=DO=1m
,此长方形
的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点
A 处安装了一台观测仪.小升操作机器人以
1m/min 的速度沿轨道匀速运动，机器人从
点A出发，分别经过O，B，C
三点各一次并最
A
B
终到达点 D.记机器人运动的时间为 x min，
机器人到观测仪的距离为 ym，机器人在轨
道中转弯所用的时间忽略不计.观测仪中所
记录的y 与x的函数关系的部分图象如图②
所示.
C
D
学霸5星数学函数
—
—
—
题型19 一次函数的概念
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①函数的基本知识
题型16
函数的概念与自变量的取值范围
②一次方程的解法
题型17
函数的三种表示方法
类型
特征
解法要点
判断函数是否
形如y= kx+b(k,b 是常数,k≠0) 的
①化简整理成y= kx+b形式;
为一次函数
函数
②检查k≠0且自变量次数为1；
③分母中不能含自变量
判断函数是否
形如y= kx(k是常数,k≠0)的一次
①先判断是否为一次函数；
为正比例函数
函数，是b=0时的一次函数
②再检查常数项是否为0
①设自变量和函数；
实际问题中构
根据实际情境中的等量关系列出函
②找等量关系；
建一次函数
数解析式
③写出解析式并根据实际情境注明自变
量取值范围
①自变量的次数为1；
含参问题(根据
解析式中含有参数，根据一次函数
②系数k≠0;
定义求参数)
或正比例函数的定义确定参数值
③若是正比例函数，还需常数项为0.
列方程(组)求解
例
判断一次函数与正比例函数
下列函数:①y=-x+4;②y=
x; ③y=-2+x;(; ④y=-6x²+7; ⑤y=
-3x;⑥y=
+₅.其中是一次
函数的有
，是正比例函数的有
.(填序号)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第二章一次函数学霸5星7
第
步计算求解
和
利
益
1
1
题型训练
Ⓓ
建议用时:8 min
1.
下列函数解析式：
(4 )如图，搭1 条“小鱼”需要8 根火柴棒，每
1); ②y= kx+b; ③y=2x-1;(
⑤y=-x.
多搭1 条“小鱼”就要增加6 根火柴棒.所需
其中是一次函数的个数为
(
)
火柴棒的根数 S 随着所搭“小鱼”条数 n 的
A.1
B.2
C. 3
D.4
变化而变化.
2.
定义[p,q]为一次函数y= px+q 的特征
数，若特征数是[3，k-2]的一次函数为正比
例函数，则k 的值是
.
3.
(徐州期末)下列说法正确的是
.
(填序号)
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③关于函数y = kx+b(k,b 是常数,k≠0), 只
有当b≠0 时，y才是x的一次函数.
4.
写出下列各个变化过程中两个变量之间
的函数解析式，并指出其中的一次函数、正比
例函数.
(1 )正方形花圃的周长 C(m) 随边长x(m) 的
变化而变化.
( 2)正方形花圃的面积S(m²) 随边长x(m)
的变化而变化.
(3 )如图,A,B 两站相距200 km.若火车从 B
站出发以320km / h 的速度匀速驶向C 站，火
车离A 站的路程y(km) 随行驶时间t(h) 的
变化而变化.
学霸|5星数学函数
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型20正比例函数的图象与性质
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点的坐标特征
题型19
一次函数的概念
②函数的基础知识
y= kx(k≠0)
图象
经过象限
变化趋势
具体变化情况
上升趋势
当 x 增大1 时,
k>0
第一、三象限
y随x的增大而增大
y增大k
x增大1
下降趋势(
当 x 增大1 时,
k<0
第二、四象限
y随x的增大而减小
y减小-k
(1,k)
归纳总结：
①y= kx(k≠0)必定经过原点(0,0);
②k的正负决定正比例函数的变化趋势，k>0时为上升趋势，k<0时为下降趋势；
③lkl的大小决定直线的“陡度”，|k|越大直线越陡，|k|越小直线越平，如下图：
例
在正比例函数y= kx(k≠0) 的图象上有两点P(-3,m),Q(2,m+5), 则该函数图象一定经
过的点是
(
)
A.(1,-2)
B.(-1,1)
C.(3,3)
D.(-2,4)
三步破题
第
步提取信息
第二章一次函数|学霸5星；
第
步对应题型
第
步计算求解
是
是
自
己
下
建议用时:10 min
4.
(南平期中)已知正比例函数y=kx 的图
象经过点(3,-6 ).
1.
(昆明期中)关于正比例函数
(1 )求这个函数的解析式；
下列说法中错误的是
(
)
(2)画出这个函数图象；
A. 其图象经过原点
(3 )判断点A(4,-2 ),B (-1.5,3
)是否在这个
B. y随x 的增大而增大
函数图象上.
C. 其图象经过第二、四象限
D. 点(-20,2 )在其图象上
2.
(上海期中)如图，三个正比例函数的图
象分别对应的解析式是:①y= ax,②y= bx,
③y= cx,下列用“<”表示 a,b,c的不等关系
正确的是
(
)
变式
与图形的公共点问题
5.
如图，若正比例函数y=kx图象与四条
直线x=-1,x=2,y=2,y=4
相交围成的长方
形 ABCD 有公共点，则k 的取值范围是
———-
A. a<b<c
B. c<a<b
C. c<b<a
D. a<c<b
3.
已知点A(-3,a),B(5,b) 均在正比例函
数y =(m-4) x+2- m 的图象上, 则a   b.
(填“>”“<”或“=”)
学霸5星数学函数
的
人
人
题型21
一次函数的图象与性质
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点的坐标特征
题型19
一次函数的概念
②函数的基础知识
图象
经过象限
与y 轴的交点(0, b)
变化趋势
上升趋势
第一、二、三象限
y轴正半轴
y随x的增大而增大
下降趋势
第一、二、四象限
y轴正半轴
y随x的增大而减小
上升趋势
第一、三、四象限
y轴负半轴
y随x的增大而增大
下降趋势(
第二、三、四象限
y轴负半轴
y随x的增大而减小
归纳总结：
是一条经过点(0，b)和
的直线；
②k的正负决定一次函数的变化趋势，
)时为上升趋势，k<0时为下降趋势；
③b的正负决定一次函数图象与y轴交点的位置，(
时交于y轴正半轴，b<0时交于y轴负半轴；
④k，b的正负共同决定一次函数图象与x轴交点的位置，一次函数图象与x轴交于点
当k，b异号时，图象交于x轴正半轴，当k，b同号时，图象交于x轴负半轴；
⑤IkI的大小决定直线的“陡度”，IkI越大直线越陡，Ikl越小直线越平.
例1
一次函数的图象
在同一平面直角坐标系内作出一次函数y =2 x+4，y =2 x，y=2 x‐2 的图象.
第二章一次函数学霸5星：
c3? 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
一次函数的性质
(福州期中)已知A(x₁,y₁),B(x₂,y
₂)是直线y= mx+x+3上的相异两点,若(
则m的取值范围是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸5星数学函数
—
—
的
部
分
建议用时:15 min
1.
已知一次函数y= kx+3(k为常数,k≠0)
的图象经过点(-1,5), 点A(x₁,y₁),B(x₂,
y₂), C(x₃, y₃)均在一次函数y= kx+3 的图象
上，若
则x ₁,x₂, x₃ 的大小关系为
A. y₂的图象与x轴的交点位于x轴的正半轴
(
)
B. y₂的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴
C. y₂的图象经过原点
D. y₂的图象经过第一、二、三象限
2.
若一次函数y=(m+4)
x+m+2 的图象不
7.
(1) 一次函数y= ax-a+1(a 为常数, 且
经过第二象限，则m的取值范围是
.
a≠0), 当-1≤x≤2 时, 函数有最大值2, 求
3.
小明在用“列表、描点、连线”的方法画
出 a的值；
一次函数y= kx+b(k,b 为常数,k≠0) 的图象
(2) 一次函数y= kx+b(k≠0) 的自变量的取
时，列出x与y的几组对应值(如表)，请你细
值范围是
相应函数值的取值范围
心观察，当x=
时，小明计算的y值
是-5≤y≤-2，求这个函数的解析式；
是错误的.
(3) 当
时, 一次函数y=(3a-2)x+
0
1
2
3
a+2(a 为常数)的图象在x轴上方，则a的取
x
值范围是
.
y
-3
-1
0
3
4.
已知一次函数y= kx+b(k,b 是常数,
k≠0) 的图象与x 轴交于点(2,0), 与y 轴交
于点(0,m). 若
则 m 的取值范围
为
.
变式
与直线、线段的公共点问题
5.
(南充期末)在同一直角坐标系中，若直
线y= kx+1 与
在-4≤x<2时有公共
点，则k的取值范围是
.
3.
已知y₁，y₂都是关于x的一次函数，y₁的
图象如图所示，若
下列说法正确是
(
)
第二章一次函数学霸5星：
—
—
—
—
题型22一次函数中的图象共存问题
图象共存
多个函数图象在同一坐标系中同时成立，参数符号统一
①一次函数的定义
所需前置知识
②平面直角坐标系的概念
③函数的图象与性质
题型20
正比例函数的图象与性质
本书前置内容
题型21
一次函数的图象与性质
模型
一次函数解析式
解题技巧
方法总结
双一次函数基础共存
①先定范围：根据一
①符号一致性：多个一次
与
(无公共参数)
个图象的位置(如过
函数图象在同一坐标系
正比例+一次函数共
第一、二、四象限)确
中，相同参数的符号应满
存(含公共参数)
y= mx 与y = nx+m
定参数的初步取值
足图象位置( 如过象限)
范围；
的一致性；
互换参数型
y= ax+b 与y = bx+a
②同步验证：用该范
②代入检验：取满足其中
同斜率不同截距型
与y = ax+ a
围同时验证所有图象
一个图象的参数值，代入
一次函数+绝对值一
是否合理，排除矛盾
其他函数解析式，验证图
次函数共存
y= kx+b 与y =| kx+b|
情形
象位置是否矛盾
例
互换参数型图象共存
已知一次函数
和
函数y₁ 和y₂ 的图象可能是
(
)
A
B
C
D
三步破题
第1 步提取信息
学霸5星数学函数
第
步对应题型
第
步计算求解
的
的
的
的
一
个
是
一
个
是
是
许
多
题型训练
建议用时:10 min
4.
( 晋城模拟)直线
和
1.
(重庆期中)若
，则一次函数
-m在同一平面直角坐标系中的图象可
与正比例函数.
在同一坐标系的
能是
(
)
图象可能为
(
)
A
B
C
D
A
B
2.
(合肥期中)已知
且
则
一次函数
和y
的图象可能是
(
)
C
D
A
B
C
D
3.
(衡水期中)一次函数
与
变式
一次函数与绝对值一次函数共存
5.
在同一平面直角坐标系中，函数.
正比例函数
在同一直角坐标系内的图
与
的大致图象可能是
象可能为
(
)
(
)
A
B
A
B
C
D
C
D
第二章一次函数|学霸5星?
—
—
题型23
一次函数与方程( 组)
①一次函数的基础知识
②平面直角坐标系的概念
所需前置知识
③一元一次和二元一次方程组的解法
题型17
函数的三种表示方法
本书前置内容
题型21
一次函数的图象与性质
主要数学思想
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想
考查核心
解题方法和核心结论
①方程 kx+b=0的解⇔直线与x轴交点的横坐标；
一次函数y=kx+b 与方
②方程 kx+b=m的解⇔直线上y=m对应的x值(直线y= kx+b与水平
程 kx+b=0, kx+b=m 的
直线y=m交点的横坐标)；
关系
③从表格或图象中直接找y=0或y=m时对应的x值；
④已知两点坐标，先求解析式y=kx+b，再解方程
两函数的交点坐标与方①两函数图象的交点坐标(x，y)即为方程组
的解；
程组的解；
②方程
的解即为两函数图象交点的横坐标；
两函数的位置关系与方
程组的解
③位置与解的个数：
⇒相交(唯一解)
⇒平行( 无
解);
⇒重合(无数解)
①面积问题常利用
底>×高，底在坐标轴上时高即为纵或横坐标
一次函数与三角形面积
绝对值；
②已知面积求点坐标时，注意多解情况(如点在原点两侧)
绝对值方程|
x-a | =k
①分类讨论去掉绝对值，将方程转化为分段一次函数(或常数函数)；
的解的个数与分段函数
②画出分段函数的图象，方程根的个数等于函数图象与水平线y=k的
y= | x-a | 的关系
交点个数；
③对于整数解问题，需结合区间端点和整数值分析
含参直线过定点
直线过定点⇔方程可写成λa+μb=0(其中a，b是关于x，y的式子)，且
λ，μ不全为零，定点由两式子a，b同时为零确定
学
霸5 星数学函数
例1
一次函数图象交点与一次方程的解
(滁州模拟)一次函数
的图象如图所示，则关于x 的方程
kx+b=3 k 的解为
(
)
A. x=5
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
两函数的交点坐标与方程组的解
在同一平面直角坐标系中，一次函数
与
的图象
如图所示，以下结论中：①在一次函数
的图象中，y 的值随着x
值的增大而减小；
③方程
的解为x =1；④方程组
的解是
正确结论的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第二章一次函数| 学霸5星?
1
1
2
生
活
了
建议用时:20 min
④当PF+PC 的值
1.
(扬州模拟)如图，
点A，B的坐标分别为
最小时，点P 的坐标为(1，0).正确的个数
(0,4),(6,8), 点 P 为
为
.
x轴上的动点.若点 B
4.
(福州期中)在平面直角坐标系中，直线
关于直线AP 的对称点
与 x 轴相交于点
B'恰好落在x轴上，则点 P 的坐标是(
)
A(3t,0), 直线
直线l₁ 与l₂ 交
于点 P.
A. (
,o)
(1) 求k 的值;
C. (2,0)
D. (3,0)
(2) 已知当3-t ≤x≤4- t |时，
的最大值
是其最小值的4 倍，求t的值?
(3)若直线
(m,n
常数,2m+
2.
(深圳竞赛)已知关于x的方程|x | =ax+
n>0)经过点 P.试探究：是否存在一组常数
2 022 仅有一个根，且这个根为正数，则a的
m，n，使得无论t取何值，直线 l₃ 都经过x 轴
取值范围是
(
)
上的某一个定点?若存在，请求出m，n的值
A.a≤-1
B. a<-1
及该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
C. -1 <a<1
D. a≥1
3.
( 滁州期末)
已知直线
kx+b 与直线
都经过点
E(-1,3), 直线l₁
交x 轴于点 A, 交y 轴于点 B(0,4), 直线 l₂
交y轴于点 C，交x轴于点 D，直线l₃∥直线
l₁ 且经过原点，且与直线l₂ 交于点 F，点 P 为
x轴上任意一点，连接PC，PF，对于以下结
论，①方程组
的解为
学霸|5星数学函数
题型24
一次函数与不等式
…
…
…
…
—
—
—
—
①一次函数的基础知识
所需前置知识
②平面直角坐标系的概念
③一元一次和二元一次方程组的解法
题型21
一次函数的图象与性质
本书前置内容
题型23
一次函数与方程(组)
主要数学思想
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想
题型特点
①以文字情境给出限制条件，含至少、至多、不超过、不足等不等关系：
至少、不少于、不低于→≥
至多、不超过、不大于→≤
超过、多于、高于→>
不足、少于、低于→<
②图象类题型通过直线上下位置、与x轴交点直接读图得解集：
单函数：kx+ b>0→图象在x轴上方的x范围；kx+b<0→图象在x轴下方的x范围：
双函数(分界点是两直线交点的横坐标)：
在y₂上方的x 范围；
在y₂下方的x 范围.
核心解题思路
①确定图象信息，如直线的位置、两直线的交点和直线与坐标轴的交点等；
②一定情况下需对不等式进行整理或变形；
③将图象信息与不等式对应，得出结果.
例
图象法解不等式
(济南期中)如图，直线
与直线
交于点 P，下列结论错误的是
(
)
A. k<0, m>0
3. 关于x 的方程x+n= kx+m 的解为x =3
C. 直线 l ₁ 上有两点(( x ₁, y ₁ ),(
x ₂, y ₂ ), 若
时，则
). 关于x 的不等式(k‐1 )x<n- m 的解集为x<3
l₂: y= kx+m
≥三步破题
第
步提取信息
第二章一次函数|学霸5星|
第
步对应题型
第
步计算求解
的
一
的
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:20 min
(4)写出关于x 的不等式组
的解集.
1.
(河北模拟)已知一次函数y = kx+b 的图
象经过A(3,3 ), B (m, n)两点.若点 B 在第一
象限内，则下列判断正确的是
(
)
A. 若一次函数y = kx+b 的图象经过第一、三、
四象限，则k>3
B. 当m>n 时，一次函数的图象与y 轴一定交
于负半轴
C. 若m=2n=2, 则当 kx+b<0 时,x 的取值范
围是x<3
D. 当m+n=3 时,k>0
2.
(南京模拟)已知-2<k<1 时,代数式 kx+
2k+1
的值恒大于0，则 x  的取值范围
为
.
3.
(内蒙古期中)如图，根据图中信息解答
下列问题：
(1 ) 关于x 的方程 ax+b=0 的解是
;
( 2)关于 x  的不等式 mx +n <1 的解集是
;
(3 ) 当x 为何值时，
学霸|5星数学函数
变式
与几何综合
5.
(阜新期末)如图所示，在同一个坐标系
4.
(河源期中)如图，已知直线
经
中，一次函数
和
的图象分
过点 A(-6,0), 直线
与直线AB 相
别与x轴交于点A，B，两直线交于点 C.已知
交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为
A(-1,0),B(2,0), 观察图象并回答下列
问题：
(1 ) 根据图象, 直接写出当x+a<-2x+b 时,x
(1 )关于x的方程
的解是
；
的取值范围是
.
关于x的不等式
的解集是
.
( 2) 求a 和b 的值;
( 2)直接写出关于x的不等式组
的
(3 )若点 P 在直线AB上,且
求点 P的坐标.
解集
.
(3 )若点 C 的坐标为(1,3 ).
①△ABC的面积为
;
②在平面内找一点 D,使得△BCD 是以 BC
为直角边的等腰直角三角形，请直接写出 D
点的坐标.
第二章一次函数学霸5星
题型25
利用待定系数法求一次函数的解析式
121
所需前置知识：
本书前置内容：
①正比例函数的图象与性质
题型20
正比例函数的图象与性质
②一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
③解二元一次方程组
函数解析式
已知条件
求解过程
图象上一点的坐标
将点的坐标代入求出k₁
已知k₁，b₁其中一项和图象上一
将点的坐标代入求出k₁ 或b₁
点的具体坐标
将两点的坐标分别代入，列二元一次方程
已知图象上两点的坐标
组求出
扩展：
①若已知y+m与.
成正比例函数关系，则其函数解析式可写作：
②若已知y+m与x+n成一次函数关系，则其函数解析式可写作
例
小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表：
x
0
1
2
y
9
5
1
-2
-7
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，则这个函数的解析式为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
自
己
是
一
个
人
的
题型训练
建议用时:15 min
1.
已知点P(3,a) 和点Q(b,-4) 关于y 轴
4.
(株洲期中)定义：直线y=ax+b 与直线
对称，一次函数y=kx+1 的图象经过点 P，则
y= bx+a互为“友好直线”.如:直线y=2x+1
k的值为
(
)
与直线y=x+2 互为“友好直线”.
B.
D.2
(1 ) 点M(m, 2) 在直线y=-x+4
的“友好直
线”上,则m=
.
2.
( 长沙模拟)如
( 2) 点M(2,9 )既是直线y=2px+q上的一点,
图，在平面直角坐标
又是该直线的“友好直线”上的点，则p-q=
系中，有3 个半径为1
.
的小圆拼在一起，y轴
(3 )对于直线 y = ax +b 上的任意一点
过右边两个小圆的圆
M(m,n), 都有点N(2m,m-2n)在它的“友好
心，且这两个圆有唯一一个公共点 P. 若过点
直线”上，求a，b的值.
P 有一条直线平分这3 个小圆的总面积，则
该直线的函数解析式为
.
变式
多项式之间的函数关系
3. *** 已知
且y ₁ 与x² 成正比例,
y₂ 与x-2 成正比例,且当x=1 时,y=1;
当
x=-3
时,y=13.
(1 ) 求y 与x 之间的函数解析式；
(2) 当x=3 时,求y的值.
第二章一次函数学霸5星?
的
建议用时:10 min
高中对一次函数的设立方式进行了很多扩展，可分为点斜式、截斜式、两点式、截距式和一
般式五种形式，每种设立方式均有其合适的应用场景.
初高中一致题型
待定系数法求一次函数解析式
斜率：将直线y=kx+b中的k称作“斜率”，表示直线的倾斜程度，若已知
新增概念
(x ₁,y₁ ),(x ₂,y₂ ),则过两点的直线的斜率
截距：将直线y=kx+b与x轴交点的横坐标称作“横截距”，与y轴交点
的纵坐标称作“纵截距”
①点斜式：已知直线过(x₀，y₀ )，可设直线解析式为：
②截斜式：已知直线斜率k和纵截距b，可设直线解析式为y=kx+b；
③两点式：已知直线过(x₁，y₁),(x₂,y
₂)两点，由直线倾斜程度保持不变
可设直线解析式为
新增方法
④截距式：已知直线横截距为a，纵截距为b，即过(a，0) 和(0，b)两点，
可设直线解析式为
⑤一般式：直线方程可写作 Ax+By+C=0形式，可用于点到直线距离的
求解(详见题型30)
1.
已知平面内两点A(6,-6
),B( 2,2 ), 则
4.
( 吉林期中)求符合下列条件的直线解
过点 P(2,-3 )且与直线 AB 平行的直线l的
析式：
解析式为
.
(1 ) 直线过点A(-1,-3 ), 且斜率k 为
2.
直线y=mx+n与x轴正方向所成的角为
135° ,且与y轴交于点(0,6 ), 则m+n 的值为
( 2) 直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的
两倍.
——
.
3.
已知直线l 经过点(1,6) 和点(8,-8
),
求直线l与两坐标轴围成的图形面积.
第二章一次函数学霸5星?
高
粱
建议用时:20 min
1.
若一次函数的图象与直线
平行，
4.
( 九江期末)【基础应用】
且经过直线
与 x轴的交点，则该一
(1 )一次函数
的图象与
的图
次函数的解析式是
(
)
象的关系是
.
( 2)若一次函数
的图象与
的图象平行，则
2.
已知直线
与直线
【拓展提升】
平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为
(3 )如图，一次函数
的图象与
6,则
3.
( 滁州期末)在平面直角坐标系中，一次
x轴、y轴分别交于点B,C,一次函数y= kx+8
函数
的图象与正比例函数y=
(k<0)的图象与x轴、y轴分别交于点 D,A,
-3 x的图象平行.
两直线交于点 F.已知∠AFC=45°,AE∥BC
(1 )若一次函数图象经过点(1，2)，求一次函
交x轴于点 E.解答下列问题：
数的解析式；
①求直线AE 的解析式；
( 2) 当
时，一次函数有最小值-8，求
②求点 F 的坐标.
一次函数的解析式.
学霸|5星数学函数
…
…
…
…
…
…
…
衔接高中
)建议用时:15 min
高中除了使用两直线的平行关系外，还新增了两直线的垂直关系的结论.
初高中一致题型
两直线位置关系
已知两直线
新增方法
若
则
若
则l₁⊥l ₂
1.
已
知
点
 
A(m,m+1),B(-m,2m),
4.
阅读理解：我们知道平面内两条直线的
C(4,m),D(1,0), 且直线AB 与直线 CD 垂
位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的
直，则m的值为
(
)
特殊情况，在坐标平面内有两条直线：
A.-7
或0
B.0 或7
有下
C.0
D.7
列结论:当l₁ ⊥l ₂ 时,
反之当
2.
若三条直线y=2 x+4, y=x+5,
-1 时,
(1 )实践应用:直线y= kx+5 与直线y=3 x+2
围成直角三角形，则m=
.
垂直, 则k=
;
3.
( 亳州期中)已知△ABC 的三个顶点
( 2)深入探索：如图，直线y=x+1 与x 轴交于
A(1,6),B(-1,-2),C(6,3).
点B，且经过点A，已知A 的横坐标为2，点P
(1 )求边 BC上的中线所在直线的解析式；
是x轴上的一动点，当△ABP 为直角三角形
( 2)求边BC上的高所在直线的解析式.
时,求△ABP的面积.
第二章一次函数|学霸5星
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型27 一次函数的平移
是
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点的平移
题型6
平移中的坐标变化
②一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由正比例函
数y=kx的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下探究活动.
(1 )请完成探究活动中的相关问题：
①将y=2x的图象向上平移4 个单位长度，得到直线l，则直线l的函数解析式为
；
②请在平面直角坐标系中，画出直线l的图象；
③直线l与x轴的交点坐标是
；
④观察图象，直线l也可以看作由y=2x的图象向
(填“左”或“右”
)平移
个单位
长度得到的.
( 2) 将
向下平移3 个单位长度得到的图象，相当于将
向
(填“左”或
“右”)平移
个单位长度得到的.
学霸|5星数学函数
已知直线
，和直线上一点 A 的坐标(
同时直线可变形为
类型
平移后
的坐标
影响
平移后直线解析式
向上平移n个单
k不变，所有点的纵坐标增加n，
位长度
即
向下平移n个单
k不变，所有点的纵坐标减小n，
位长度
即
向右平移 m 个
k不变，所有点的横坐标增加m，
单位长度
即
向左平移 m 个
k不变，所有点的横坐标减小m，
y=k(x+m)+b
单位长度
即
一次函数的平移口诀：上加下减，左加右减.(与点的平移口诀不一致，详见题型6 )
扩展：
①若k>0，根据平移后的函数解析式可得，当n=km时：
向上、向左两种平移方式可得到相同结果，向下、向右两种平移方式也可得到相同结果.
②若k<0，根据平移后的函数解析式可得，当n=-km时：
向上、向右两种平移方式可得到相同结果，向下、向左两种平移方式也可得到相同结果.
例
已知直线
平移之后的直线为
，则下面平移方式正确的是
(
)
A. 向上平移4 个单位长度
B. 向下平移2 个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移
个单位长度
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第二章一次函数|学霸5星(
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
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…
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…
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…
…
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…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
的
人
的
题型训练
建议用时:30 min
的坐标为(6,4), 直线l y↑
1.
将直线y=-2x 平移，若平移后的直线与
的函数解析式为
一次函数y=4x-3
的图象的交点在y轴上，
则平移后直线的函数解析式为
2，将直线l 沿y轴向上平
(
)
移m个单位长度，使平移
A. y=-2x-3
B. y=-2x+3
C. y=2x-3
后的直线与正方形ABCD 有交点，则m的取
D. y=2x+3
2.
(西安期中)在平面直角坐标系中，将直
值范围是
.
线y= kx+2(k≠0) 向右平移6 个单位长度或
6.
如图，在平面直角坐标系中，直线y=
向下平移4 个单位长度可得到同一条直线，
过点A(-4,m)且与y轴交于点 B,把
则直线 y=kx+2 经过的点可以是
(
)
点A 向右平移2 个单位长度，再向上平移
A.(6,6)
B. (
,o)
c. (2,
D.(3,1)
3个单位长度，得到点 C.过点 C 且与y=x平
3.
( 重庆期中)如
行的直线交 y轴于点 D.
图,将直线 y=4x+3
(1 )求直线 CD的函数解析式；
( 2)直线AB 与CD 交于点 E,将直线CD沿射
向右平移
个单位长
线 EB方向平移，平移到经过点 B 的位置结
度后得到直线 l₁，直
束，求直线 CD 在平移过程中与 x 轴交点的
线 l₁ 与直线
横坐标的取值范围.
- x+3 交于点A, 直线l₁,l₂ 分别交x 轴于点
B,C,则△ABC的面积为
(
)
A.
B.5
C.
D.7
4.
(天津模拟)将直线y=-x+2
向下平移
m个单位长度，若平移后的直线经过第二、三、
四象限，则m的值可以是
(写出一个
即可).
5.
如图，在平面直角坐标系中，边长为3 的
正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A
学霸|5星数学函数
( 2)如图③，将直线l:
向左平移6
7.
如图①，将长方形ABCD 置于平面直角
个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、
坐标系中，其中AD 边在x轴上，AB=2，直线
y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点
MN：y=x-4沿x轴的负方向以每秒1 个单位
O关于直线m的“L 距离”.
的长度平移，设在平移过程中该直线被长方
形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时
间为t，m与t的函数图象如图②所示，则下
列判断正确的个数有
(
)
①点A的坐标为(1,0);
①
②长方形ABCD的面积是8；
③a²的值为8;
④b的值为10
①
②
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
8.
已知直线l:y= kx+b(k≠0), 将直线l 向
上平移5 个单位长度后经过点(3，7 )，将直
线l 向下平移5 个单位长度后经过点(7，7)，
那么直线l向
(填“左”或“右”
) 平
移
个单位长度后过点(1，7).
9.
( 咸阳期中)新定义：如图①，在平面直
角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为
直线l外一点.过点 P 分别作PE∥x轴交直
线l于点 E,作PF∥y轴交直线l于点 F,我
们称折线 EPF 为点 P 关于直线 l 的“L 路
径”,“L 路径”的长度(即 PE+PF)称为点 P
关于直线l的“L距离”.
(1)如图②，若直线
分别交x轴和
y轴于A，B两点，O为坐标原点，求点 O关于
直线l的“L距离”；
第二章一次函数|学霸5星?
自
己
题型28 一次函数的轴对称
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点的对称
题型7
轴对称中的坐标变化
②一次函数上点的坐标特征
题型21
一次函数的图象与性质
通过一次函数的学习，我们知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法求出这个一次
函数的解析式.如图，直线l₁ 的解析式为：
，若直线l₂ 与直线l₁ 关于y轴对称，则求直线 l₂
的解析式时可用以下思路求解：
第一步：求出直线l₁ 与x轴的交点A的坐标为(2，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，4)；
第二步：在平面直角坐标系中，作出直线
第三步：求点 A关于y轴的对称点 C 的坐标为(
第四步: 由点B(0,4), 点(
利用待定系数法，可得直线
的解析式为
问题1：直线
关于y轴对称的直线的解析式为
；
问题2：直线
与直线
关于直线
对称，求直线的解析式；
问题3：直线
与直线
关于直线y=x对称，求直线
的解析式.
第二章一次函数|学霸5星?
例1
关于x 轴对称
已知一次函数的图象与直线y =x+2 关于x 轴对称，则一次函数的解析式为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
关于直线y = a 对称
已知在平面直角坐标系中，直线y = kx-3 ( k 为常数，且k≠0)与直线y =2x+b( b 为常数)关于
y=1 对称，则k，
b 的值依次为
(
)
A.-5,2
B.2,-5
C.-2,-5
D.-2,5
s3? 三步破题
第
步提取信息
两直线关于直线y =1 对称.
第
步对应题型
本题属于题型展示中的情况⑤.
第
步计算求解
—
—
—
—
—
—
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时：20m
A. y=-2x+13
B. y =-2x-13
1.
已知一次函数的图象与直线y =2x+1 关
于直线x =3 对称，则此一次函数的解析式为
2.
在平面直角坐标系中，若直线 y = kx•
(
)
与直线y=-7 x+b 关于y 轴对利
学霸|5星数学函数
y= kx+b 的图象不经过
(
)
8.
如图，已知直线
与x，y轴分别
A. 第一象限
B. 第二象限
交于点A，B，直线
与x，y轴分别交
C. 第三象限
D. 第四象限
于点 C,D,直线y₁ 与y₂ 交于点 P,已知P的
3.
若直线y=2x+b 与直线y= kx+3 关于直
横坐标为-2,S△PBD=3.
线y =- x 对称,则k,b的值分别为
(
)
(1 )求a,b的值;
( 2) 直线y₁ 关于直线y=n的对称直线为
kx+c, 在直线y₁, y₃ 上分别取点(d,y₁ ),
(d,y ₃), 当d≥0 时,
求 n 的取值
范围.
4.
若将一次函数y=-3x-b
的图象关于原
点对称，所得的图象经过点(8，6)，则b的值
是
.
变式
已知一次函数解析式得对称关系
5.
已知一次函数
和
在同一平面直角坐标系
中的图象如图所示，则关于x，y的
方程组
的解为
(
)
A. {x=2,
B.(x=2,
C.{x=3,
D.(x=3,)
6.
已知直线
经过点(0,-1 ),
直线
经过点(3,1 ), 且直线l₁与
l₂关于第一、三象限角平分线所在直线对称，
则关于x 的不等式
的解集
是
.
7.
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知
△ABC顶点坐标分别为点A(1,0),B(5,0
),
C(3,4 ), l₁ 是过点M(2,0 )与x轴垂直的直
线.若直线
上存在点 Q，使点 Q
关于直线l₁ 的对称点在△ABC 的内部或边
上，则b的取值范围是
.
第二章一次函数|学霸5星
…
…
—
—
…
建议用时:20 min
高中聚焦于更普适性的与直线有关的对称.
初高中一致题型
直线之间的对称问题
新增概念
①中点坐标公式：A(x₁,y₁),B(x₂,y₂
)的中点为
②互相垂直的两直线
满足
新增内容：点关于非特殊直线的对称问题( 第1，2题)
考向差异
难度提升：直线之间更普适的对称问题( 第3，4题)
1.
已知点 P(3,2 )与点 Q(1,4 ) 关于直线l
4.
如图,已知A(6,6
),B(0,0),C(12,
对称，则直线l 的方程为
.
0), 直线
2.
已知在△ABC 中, 其中B(1,4),C(6,
(1 )求直线l 经过的定点坐标；
3)，∠BAC 的平分线所在的直线方程为y =
( 2) 若P(2,2
)，李老师站在点 P 用激光笔
x+1, 求A 点的坐标.
照出一束光线，依次由 BC(反射点为 K),AC
(反射点为I)反射后，光斑落在P 点，求入射
光线PK 的直线方程.(光线在平面上反射时，
反射前后平面的夹角相等)
3.
( 上海期中)已知直线
y=- x+2, 求直线 l ₁ 关于直线 l₂ 对称的直线
的方程.
学霸|5星数学函数
的
题型29
一次函数的旋转
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标中点的旋转
题型8
旋转中的坐标变化
②一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
③等腰三角形、全等三角形的相关知识
图形变换
所需方法
分析思路
绕直线外
旋转180°
点的旋转的坐标变化
选取直线上两点，分别得出旋转后两点坐标，进
一点旋转
旋转90°
( 详见题型8)
而求出解析式
法1：点的旋转的坐标
选取直线上另外一点，得出旋转后该点坐标，结
变化(详见题型8)
合直线上的旋转中心求出解析式
构造两直角三角形全等，进而根据几何关系求
旋转90°
法2：构造全等三角形
出解析式
绕直线上
法3：利用两直线垂直
具体步骤详见“题型26 衔接高中”部分
一点旋转
的斜率关系求解
构造一线三垂直全等
构造一线三垂直模型，利用几何关系求出解
旋转45°
模型
析式
旋转30°
构造含30°角的直角三利用已知的30°或60°角，结合垂线构造含30°
或60°
角形
角的直角三角形，利用其几何关系求出解析式
例1
绕直线外一点旋转
已知一次函数
的图象绕直线外一点 P (m,0) 旋转180° , 所得的图象经过(0,-1),
则m 的值为
(
)
A. - 2
B.-1
C. 1
D.2
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第二章一次函数学霸5星
第
步计算求解
例2
绕直线上一点旋转
(上海期中)已知直线y=-2 x+4 与x轴交于点A，与y轴交于点B，把直线AB绕点A 逆时针旋
转90 °，则直线 AB 旋转后的解析式为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
—
—
—
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:20mm
时针旋转45° 至直线l₂ 的位置，求直线l₂ 的
1.
(西安期中)直线y =2x-3 绕坐标原点旋
函数解析式.
转180° 后得到直线
(
)
A. y =-2 x‐3
B. y =2 x+3
C. y =2 x‐3
D. y=-2 x+3
①
②
2.
( 怀化模拟)如
图，在平面直角坐标
系中，已知下列变
换：①沿x轴翻折；
②沿函数y =- x 的图
象翻折；③绕原点按
顺时针方向旋转45°；④绕点(1，
-1 ) 按顺时
针方向旋转90° .其中，能使函数y =2 x +4 的
图象经过一种变换后过点P (2，2)的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
3.
( 连云港模拟)已知直线l 过点 A(0，
5.
点A (m,n) 在直线
上，将直
-1 ) 且平行于x 轴, 点B 的坐标为(0,1 ), 将
线l ₁ 绕点 A 旋转45°得到直线
直线l 绕点 B 逆时针旋转60°，则旋转后的直
2, 则m+n+k =
(
)
线对应的函数解析式为
.
A. 1
B.
C. 1 或0
D.1 或
4.
( 菏泽期末)【模型建立】
6.
在平面直角坐标系中，已知在第一象限
(1 )如图①，在等腰直角三角形 ABC 中，
内的点A(m,n),
B( m+3, n), C( m+2, n+1).
∠ACB =90 ° ,CB =CA, 直线 ED 经过点 C, 过
若将点 B 和点 C 分别绕点 A 按逆时针方向
点A 作 AD⊥ED 于点 D,过点 B 作 BE ⊥ED
旋转90°得到点 B'和点 C',设直线 B' C'对应
于点 E.求证:△BEC≌△CDA.
的函数解析式为y = kx+b. 若b=0, 则m 和n
【模型应用】
满足的关系是
(
)
( 2)如图②，已知直线
与x 轴交
A. m-n=2
B. m-n=-2
于点 A，与y轴交于点B，将直线l₁ 绕点 A 逆
C. m-n=3
D. m-n =-3
第二章一次函数|学霸5星
k##ig##e
题型30
点到直线的距离
的
基
督
所需前置知识：
本书前置内容：
一次函数的解析式
题型25
利用待定系数法求一次函数的解析式
平行线的性质
题型26
两直线的位置关系
一次函数的解析式y=kx+b(k≠0)也称作该直线的斜截式方程，将斜截式方程变形为 Ax+By+
C=0的形式，该形式也称为直线的一般方程(其中A，B不能同时为0).
一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线的距离，可用下面的公式求解：
点 P(x₀,y₀)到直线 Ax+By+C=0 的距离公式是
如:求点 P(1,1)到直线
的距离.
解：先将解析式
整理为一般方程,即x+2y-8=0.
然后由点到直线的距离公式得
(1 ) 已知一动点P(2t,t), 已知点P 到直线3x -4y+7 = 0 的距离为3, 则t=
.
(2)根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式求两平行线间的距离.若已知直线y=2x-6
与直线y=ax +9 = 0 平行，求这两条平行线间的距离.
学霸|5星数学函数
点到直线的距离公式
点 P(x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离
两平行直线之间的距离公式
直线
到直线
的距离
注：以上两个公式在初中阶段不进行学习，仅在题目背景中有对应公式说明时才可使用.
的
的
的
的
。
但
是
一
个
人
的
的
人
们
的
一
个
人
的
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
人
们
的
人
们
的
一
个
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
1
建议用时:10 min
1.
已知点 P(x₀,y₀)到直线y= kx+b的距离
( 2) 已知:⊙C 是以点C(2,1 )为圆心,1 为半
公式为
例如：点(2，5)到直线
径的圆，点C 到直线
的距离刚好
等于圆的半径，求b的值；
y=3 x+1 的距离为
请根据
(3 )如图,设点 P 为(2 )中⊙C 上的任意一
点, 点A,B 为直线4x+3y+5 = 0 上的两点,且
该公式解决以下问题：
(1 ) 点(3,2
) 到直线y=-2
x+3 的距离是
AB=4，请求出S△ABB的最大值和最小值.
;
( 2)P (m,n) 在直线y=3x-1
上,则(
的最小值是
.
2.
(莆田期中)阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点. P(x₀,y ₀) 到直
线 Ax +By +C = 0 的距离公式为 d =
例如：求点P₀(0,0 ) 到直线4x+3y-3=0
的
距离.
解:由直线4x+3y-3=0
知,A=4,B=3,C=
-3,
∴点P₀( 0,0 ) 到直线4x+3y-3=0
的距离为
根据以上材料，解决下列问题：
(1 )点 P ₁(3,4 )到直线
的距离为
;
第二章一次函数(学霸5星
的题型31
一次函数中的定点动直线与动点定直线
1
1
1
所需前置知识：
本书前置内容：
一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
题型
已知
结论
恒过y轴上一定点
直线解析式形如y=kx+1
直线过定点(0，1)
将含k的项整合在一起
恒过x轴上一定点
直线解析式形如y=kx-k
得
y=k(x-1)
定点动直
直线过定点(1，0)
线问题
将含 k的项整合在一起
恒过一定点
直线解析式形如y= kx-2k+5
得
y=k(x-2)+5
直线过定点(2，5)
恒在平行于
点恒在过点(0，2 )且平行
点的坐标形如(m，2)
x轴的直线上
于x轴的直线上
恒在平行于
点恒在过点(2，0)且平行
动点定直
点的坐标形如(2，n)
y轴的直线上
于y轴的直线上
线问题
可得纵坐标y与横坐标x
恒在直线上
点的坐标形如(a,a+2)
之间的关系为y=x+2，则
点恒在直线y=x+2 上
例1
定点动直线问题
(西安期末)在平面直角坐标系中，已知一次函数y=(m+4)x+2m+2，无论m取何值时，它的图
象恒过定点 P，则定点 P 的坐标为
.
?三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸| 5星数学函数
第
步计算求解
例2
动点定直线问题
在平面直角坐标系中，已知P(a-1，2a+1)，无论a取何值，点P一定在一条直线上，此直线的
解析式为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
三
百
五
的
的
人
。
题型训练
|
建议用时:25 min
m取任何数，都经过一个定点，该定点坐标为
.
1.
( 承德期末)已知函数y = kx+1(k≠0),
则此函数图象过定点
(
)
A.(1,1)
B.(0,1)
4.
(济南期中)在平面直角坐标系xOy中，
C.(1,0)
D.(-1,0)
已知点P的坐标是(a，a-4)，另一点A的坐
2.
已知直线
始终过定点A，直线
标为(3，0)，则以下结论：
l₂:y= mx+n(m≠0) 经过点A 和点B(0,5), 则
①点P 在直线y= x-4 上;
直线l₂ 的解析式为
(
)
②若设△OPA的面积为S，当
时，
A. y=-5 x-5
B. y=5x+5
C. y=-x+5
D. y=x+5
③△OPA的周长最小值为
④若点 P在第四象限，过P作PE⊥x轴于点
3.
(1) 直线
无论k 取
E,PF⊥y轴于点 F,长方形 OEPF的周长始
除1 外的任何数，都经过一个定点，该定点坐
终为8.
标为
；
其中正确的有
(
)
( 2)直线
无论
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
第二章一次函数| 学霸5 星(
5.
(北京期中)对于两个一次函数
7.
(武汉期末)若一个点的横、纵坐标都是
我们称一次函
关于某个相同变量的一次式，则这个点必定
数
为这两个函数的复合函
在一条固定的直线上.如：点A(a，2a)，易知
数.已知一次函数
与y= mx-1的复
点 A在直线
上；又如：
合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常
令x=m-1,y=4-2m,
消去m 得
故
数m满足的条件是
；若m<
点 B 在直线
上.
与
的复合
(1 ) 点(a,-4a )所在直线的解析式为
;
一次函数
点(2m
+1,4m-5) 所在直线的解析式为
函数的图象必经过定点
.
.
6.
(遂宁期中)阅读理解与一题多变问题：
( 2) 已知点A(-2,0
),P(n,
-2 n+ 4 ),Q(m,
探究一次函数
(k 是不为0 的常
三点.判断 P 和 Q 两点所在直线的
数)图象的共性特点.
位置关系，证明你的结论.
探究过程：小明尝试把
代入时，发现可
(3 )直线
与
(a，b是常数且
以消去k，竟然求出了
a≠2) 交于点M，对于a的某个确定的值，当
老师问：结合一次函数图象，这说明了什么?
b 变化时，点M 到直线y=-x+4 的距离是一
小组得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+
个定值，求a的值.
2 的图象一定经过定点(
老师：如果一次函数的图象是经过某一个定
点的直线，那么我们把像这样的一次函数的
图象定义为“点旋转直线”.已知一次函数y=
的图象是“点旋转直线”.
(1 )一次函数y=(k+ 3) x+(k-1) 的图象经过
的定点P 的坐标是
；
( 2) 已知一次函数y=(k+3)x+(k-1) 的图象
与x轴、y轴分别相交于点A,B.若△OBP 的
面积为3，求k的值.
学霸|5星数学函数
—
—
—
—
—
—
—
—
题型32
含绝对值的函数
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②一次函数对称变换
题型28
一次函数的轴对称
(银川期末)根据以下素材，探究函数y=|x-ml的图象性质.
素材1：在“绝对值”的学习中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即绝对值的意义
素材2：在“函数”的学习中，我们经历了“确定函数的解析式—利用函数图象研究其性质—应用函
数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象.
【问题解决】
(1) 对于函数y= | x-m | , 当m=2 时化简函数的解析式:
当
时,y=
;当x<2 时,y=
.
(2)在平面直角坐标系中，画出函数
的图象.
(3) 函数
的图象可由
的图象向
平移
个单位长度得到；
当
时，函数
的图象可由
|的图象向
平移
个单位长度得到.
(4)结合以上内容，你发现函数.
有哪些性质?(写出一条即可)
第二章一次函数|学霸5星?
含绝对值的函数分析方法：
①方法一：画图法，先列表，再描点，最终确定图象，进而得到函数解析式；
②方法二：分类讨论法，根据x的取值范围，分类讨论去掉绝对值符号，从而得到函数解析式，进而
画出一次函数图象；
③方法三：结合“题型28
一次函数的轴对称”中的知识，将图象与一次函数的轴对称结合分析.
…
…
…
…
…
—
—
—
—
—
—
建议用时:20 min
1.
( 盐城期中)某数学兴趣小组遇到这样
一个问题：探究函数
的图象
与性质.组员小东根据学习函数的经验，对函
数
的图象与性质进行了探
究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问
题：若一次函数y = ax +1 的图象与函数y=
的图象只有一个交点，则实数a
的取值范围是
.
( 2)探索思考：平移函数y =-21 x 1的图象可
2.
( 重庆中考)函数图象在探索函数的性
以得到函数y =-2 |x | +2和y =-2 |x+2 |的图
质中有非常重要的作用，下面我们就以一类
象，分别写出平移的方向和距离；
特殊的函数展开探索.画函数y =-21 xl 的图
(3 )拓展应用：在所给的平面直角坐标系内
象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得
画出函数y =-2 | x-3 | +1的图象.若点(x₁,
到函数图象如图所示；经历同样的过程画函
y₁) 和(x₂, y₂)在该函数图象上,且
数y =-2lxl+2
和y =-2
|x +2l 的图象如图
比较y₁,y₂ 的大小.
所示.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
(1 )观察发现：三个函数的图象都是由两条
射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中
绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向
和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生
了变化.写出点A，B的坐标和函数y=-2lx+
21的对称轴；
学霸|5星数学函数
3.
( 济南期中)【问题提出】如何解不等式
(3 )先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角
|x‐1 | + |x‐3 |>x+2?
坐标系中作出函数y = |x‐1 | + |x‐3 | 和y=x+
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一
2的图象.并通过观察图象，求出不等式|x,
元一次不等式和一次函数，利用这些一次模
1| + |x‐3 | >x+2 的解集.
型和函数的图象，可以解决一系列问题.
图①中给出了函数y =x+1 和y =2x+3 的图
象，观察图象，我们可以得到：
(1 ) 当x>-2 时,函数y =2x+3 的图象在y=
x+1 图象上方,由此可知不等式2x+3 >x +1
①
的解集为
.
预备知识2：函数
称为分
段函数，其图象如图②所示.实际上对带有绝
对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”
的办法，将带有绝对值符号的代数式在各
③
“取值段”化简，即可去掉绝对值符号.比如化
简| x‐1 | + |x‐3 |时,可令x-1=0
和x-3=0,
分别求得x =1, x =3 ( 称1,3 分别是|x‐1 |和
|x‐3 |的零点值),这样可以针对x<1,1 ≤x <
3，x ≥3 三种情况进行讨论：
①当x<1 时,|x‐1 | + |x‐3 |
=-(x‐1 )-( x‐3 )=
4-2 x;
②当1≤x<3 时,|x‐1 | + |x‐3 | =(x‐1 )-( x‐
3)= 2;
③当x ≥3 时,|x‐1 | + |x‐3 | =(x‐1 )+( x‐3 )=
2x -4.
∴|x‐1 | + |x‐3 |就可以化简为
预备知识3：函数y = b( b 为常数)称为常数函
数，其图象如图③所示.
( 2)【知识迁移】如图④,直线y =x+1 与直线
y= ax+b 相交于点A (m,3 ), 则关于x 的不等
式x +1≤ax+b 的解集是
.
【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研
究怎样解不等式 lx-1 l+lx-3 l>x+2.
第二章一次函数学霸5星个
三
题型33一次函数中的图象信息题
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
题型
介绍
分析思路
一找分段结点
已知场景判断函数图象
给出物体运动、体积变化等场景，
二看各段变化
对应函数图象
三定正确图象
一找图象拐点
已知函数图象反推场景
给出函数图象，对应图象来源的
二看图象变化
具体场景
三定正确场景
先总后分，先分析整体各段的变
综合图象信息题
包含复杂运动、多物体运动、多函
化趋势与变化原因，再确定各段
数图象等综合性强的内容
变化的具体数值
例
在A，B两地之间有汽车站C(C在直线AB上)，甲车由A 地驶往 C站，乙车由B 地驶往
A地，两车同时出发，匀速行驶.甲、乙两车离C站的路程y₁(千米)，y₂(千米)与
y/千米
行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示.如果绘制成甲、乙两车的距离
y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象，这个图象大约是
(
)
y/千米
y/千米
y/千米
y/千米
x/小时
x/小时
x/小时
x/小时
A
B
C
D
三步破题
第
步提取信息
学霸|5星数学函数
第
步对应题型
第
步计算求解
的
的
的
三
首
一
题型训练
建议用时:20 min
出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两
1.
如图是某游乐场每天
y/万元
个常数，容器内的水量y(单位：L)与时间x
的利润y(票价总收入减去
(单位：min)之间的关系如图.则在第
运营成本)与每天售出的
min 时,容器内的水量是15 L.
门票张数x的函数图象.目
前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取
降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象
中能表示采取措施后的是
(
)
3.
( 盐城期末)如图①,△ABC中,AB>AC,
动点 D 从点 B 开始在边 BC 上向点 C 运动,
设点 D 运动的路程为x，A，D两点之间的距
离为y，表示y与x的函数关系的图象如图②
A
B
所示，则△ABD的面积S关于x的函数解析
y/万元
式为
.( 不需要写自变量的取值
范围)
C
D
2.
( 武汉期末)一个有进水管与出水管的
容器，从某时刻开始的4 min 内只进水不出
水，在随后的8 min 内既进水又出水，之后只
第二章一次函数|学霸5星
4.
周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同
人各自加工的零件数为y(个)，甲加工零件的
的大型手工作品.前半小时妹妹先拼了10 个
时间为x(小时)，y与x之间的函数图象如图所
小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速
示，当甲、乙两人相差
15个零件时，甲加工零件
度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的
的时间为
.
速度是妹妹的3 倍.如图分别表示妹妹和哥
6.
( 杭州期末)如图①是甲、乙、丙三个圆
哥完成小零件的数量y(个)与时间x(小时)
柱形无盖容器的截面示意图.其中，乙容器底
的函数图象.
部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器
(1 )求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
之间有一根管子连通(管子体积可忽略不
( 2) 若哥哥比妹妹早1 小时完成作品，求这
计).现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，
个作品共需要完成的小零件总数量a的值.
则三个容器中水的深度 h(cm)与注水时间
t(min)之间的关系如图②所示.请结合图象
提供的信息，解答下列问题.
x/小时
①
②
(1 ) 乙容器中铁块的高度是    cm ；
( 2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注
水时长；
(3 )若甲容器的底面积为60 cm²，丙容器的
底面积为10 cm²,则a 的值为
.
5.
甲、乙两人分别
加工100 个零件，甲
第1 个小时加工了
10 个零件，之后每
小时加工30 个零
件，乙在甲加工前已
x/小时
经加工了40 个零件，在甲加工3 小时后乙开
始追赶甲，结果两人同时完成任务.设甲、乙两
学霸|5星数学函数
—
— 题型34一次函数的实际应用——行程问题
①行程三要素：s=vt，路程=速度×时间
所需前置知识
②一次函数基础知识
③一元一次方程和二元一次方程组的解法
本书前置内容
题型17
函数的三种表示方法
题型21
一次函数的图象与性质
主要数学思想
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想
单向问题
①画线段图：用线段表示路程，标出起点、终点、方向及关键距离，直观找出等量关系.
②设未知数：通常设运动时间为t.
③列方程：根据“路程和”或“路程差”的等量关系列出方程.
④解方程并检验：得出结果后，要检查是否符合实际(如时间不能为负).
往返问题(去—停—回)
①行程拆解：将全程按运动状态拆分为去程、停留、返程三个独立阶段，明确各阶段的信息.
②针对每个阶段，求出函数解析式.并明确每个解析式对应的自变量的取值范围(初始距离不一定为0 ).
③重点分析折返点：返程阶段距离随时间增大而减小，函数斜率为负，速度取斜率的绝对值.
多人行程问题( 相遇/追及)
①统一时间起点，建议以第一个事件发生的时间为t=0(通常是一人开始运动的时刻).
②相对速度速算
相向而行(相遇)：相对速度=速度和；同向而行(追及)：相对速度=速度差(快减慢).
③分阶段联立求解：按各人运动阶段分别联立方程，解得的结果必须检验是否在对应时间范围内.
例
相遇问题
(济南中考)A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都
保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所示，则他们相遇
时距离A 地
 km.
第二章一次函数|学霸5星?
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
高
度
题型训练
建议用时:15 min
1.
( 唐山期中)随着人工
智能的发展，智能机器人送
餐成为时尚.某餐厅的机器
人聪聪和慧慧，它们从厨房
门口出发，准备给客人送
餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧
慧出发一段时间后将速度提高到原来的
A. 聪聪的速度为10cm /s
2 倍.设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧
B. 慧慧比聪聪晚出发15s
行走的路程分别为y₁(cm), y₂(cm),y ₁,y ₂关
C. 客人距离厨房门口400 cm
于x的函数图象如图所示，则下列说法中不
D. 从聪聪出发直至送餐结束，共需45s
正确的是
(
)
学霸| 5 星数学函数
2.
(宿迁中考)甲、乙两人从同一地点M 出
3.
(黑龙江中考)一条公路上依次有 A，B、
发沿同一路线匀速步行前往 N 处参加活动.
C 三地，一辆轿车从A 地出发途经 B 地接人，
甲比乙早出发6 min，两人途中均未休息，先
停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从
到达 N处的人在原地休息等待，直到另一人
C 地出发，送货到达 B 地后立即原路原速返
到达N处.两人之间的路程y(m)与甲行走的
回 C 地(卸货时间忽略不计).两车同时出发，
时间t(min)的函数图象如图所示.
轿车比货车晚
到达终点，两车均按各自
(1 ) 乙步行的速度为    m/ min,MN之
间的路程为   m；
速度匀速行驶.如图是轿车和货车距各自出
( 2) 当
时，求y关于t的函数解
发地的距离y( 单位：km)与轿车的行驶时间
析式；
x(单位：h)之间的函数图象，结合图象回答
(3 )甲出发多长时间时，两人之间的路程为
下列问题：
450m ?
(1 )图中a的值是
,b的值是
;
( 2)在货车从 B 地返回 C 地的过程中，求货
车距出发地的距离y(单位：km)与行驶时间
x(单位：h)之间的函数解析式；
(3 )直接写出轿车出发多长时间与货车相距
40 km.
第二章一次函数学霸5 星
题型35
一次函数的实际应用——最值问题
—
—
—
—
①一元一次不等式基础知识
所需前置知识
②一次函数基础知识
③一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法
题型17
函数的三种表示方法
本书前置内容
题型21
一次函数的图象与性质
题型24
一次函数与不等式
主要数学思想
数形结合思想
1. 常见题型：租车进货、商品销售、运费规划、购票套餐、生产分配等.
2. 解题思路：(1)找准等量关系，列出费用或利润关于自变量的一次函数；(2)根据实际意义列出
不等式，确定自变量取值范围(常为正整数)；(3)由k的正负判断增减性，确定最优方案、最低费
用、最大利润等.
【注意】实际问题中的自变量多为整数，不可直接取小数端点.
例
一次函数与销售最值
(邵阳模拟)某特产店销售A款臭豆腐挂件和B款酱板鸭挂件.购进50 个 A 款和30 个 B款，
共需940 元;购进30 个A 款和50 个B 款, 共需820 元. A款售价20 元/ 个,B 款售价15 元/ 个.该商
家计划购进A，B两款挂件共200 个，且A款数量不少于B款数量的
，总费用不超过2000 元，该
商家如何进货能在这批挂件全部售完时获利最大?最大利润是多少元?
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸|5星数学函数
第
步计算求解
8
0
0
1
1
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题型训练
答案D30
建议用时:20 min
2.
( 焦作模拟)根据下表中提供的素材，完
1.
( 深圳期中)深圳某科技公司计划生产
成问题解决中的任务.
智能手表和智能手环两种产品共150 件，用
主题
为快递公司设计采购方案
于参加展会.已知生产一件智能手表的成本
为2 000 元，生产一件智能手环的成本为
两种型号机器人的工作效率和价格如
1 200 元，智能手表的生产数量不少于智能手
下表：
环数量的2 倍.
每台机器
(1 )该公司最少生产多少件智能手表?
机器人每台机器人每小
人价格/
素
材
1
型号
时分拣快递量/件
( 2)假设该公司的生产总成本为w元，如何
万元
安排生产才能使总成本w最小?
A
1 200
a
B
1 000
b
素
材
2
计划购进A，B两种机器人共8 台.
购买1 台A型号机器人比购买1 台B 型
素
材
3
号机器人多2 万元，购买2 台A型号机
器人和3 台 B 型号机器人共24 万元.
问题解决：
(1 )任务一：求每种型号机器人的单价.
( 2)任务二：该公司采购预算为41 万元，若
第二章一次函数学霸5星?
使每小时总分拣量尽可能大，应如何采购两
种机器人?
4.
(德州模拟)兴旺超市经营甲、乙两种商
品的进价和售价如表：
商品种类成本价(元/个)
售价(元/个)
甲种商品
0.8
m
乙种商品
1.2
n
在超市购买2 000 个甲种商品和1 000 个乙
种商品共需5 600 元；购买1 500 个甲种商品
和1500
个乙种商品共需6 000 元.
(1 )求m,n的值.
( 2)“五一”期间，超市购进甲、乙两种商品共
65 万个，其中，甲种商品数量不低于乙种商
3.
( 广安模拟)近年来，地摊经济备受青
品数量，且不超过55 万个.实际销售时，由于
睐，某个体户购买了蜡梅、百合两种鲜花摆摊
市场因素影响，甲种商品量超过45 万个的部
销售，若购进蜡梅5 束，百合3 束，需要114元；
分每个需要打八五折才能全部售完，乙种商
若购进蜡梅8 束，百合6 束，需要204 元.
品能按售价卖完.设当天售完这两种商品获
(1 )蜡梅、百合两种鲜花的进价分别是每束
得的总利润为y万元，甲种商品量为x万个
多少元?
(x为整数).
( 2)若每束蜡梅的售价为20 元，每束百合的
①求y(万元)关于x(万个)的函数解析式，
售价为28 元.结合市场需求，该个体户决定
并写出x的取值范围；
购进两种鲜花共90 束，计划购买成本不超过
②求当天售完这两种商品获得的最大总
1 380 元，且购进百合的数量不少于蜡梅数量
利润.
的
，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大
(3 )为支持农村教育事业，在(2 )的条件下，
获得最大利润时，超市对本地100 所乡镇中
利润及相应的进货方案.
学进行物资捐赠：向每所中学捐出甲种商品
a个，乙种商品a/3个，若要保证捐赠后盈利率
不低于10%，求a 的最大值.
学霸| 5 星数学函数
—
—
—
—
题型36
一次函数的实际应用——方案问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②待定系数法求函数解析式
题型25
利用待定系数法求一次函数的解析式
一次函数实际应用中的方案问题——已给出方案内容：确定各方案函数解析式后对比分析即可.
一次函数实际应用中的方案问题——寻找满足题意的方案：
1. 确定关系式：根据题中数量关系构建函数解析式；
2. 确定自变量取值范围：根据题中对变量的限制条件确定变量的取值范围.
3. 确定方案个数与方案数据：根据自变量取值范围与题干具体要求列出各方案并分析各方案数据.
例
“小布丁”文具厂计划生产甲、乙两种文具共40 套.已知甲种文具每套成本34 元，售价
39 元；乙种文具每套成本42 元，售价50 元.文具厂预计生产两种文具的成本不高于1 552 元，且甲
种文具的数量少于20 套.
(1 )设生产甲种文具x套，文具厂获利w元，求w关于x的函数解析式.
( 2)该文具厂有哪几种生产方案?
(3 ) 在(2)的条件下，40 套文具全部售出后，文具厂又生产6 套文具捐赠给社区学校，这样文具厂
仅获利润25 元.请直接写出文具厂是按哪种方案生产的.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第二章一次函数|学霸5星?
—
—
—
…
…
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…
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…
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…
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…
题型训练
建议用时:20 min
题型初解
2.
某中学购进甲、乙两类图书若干套.已知
1.
学校计划在某体育用品专营店购买一些体
1套甲类图书比1 套乙类图书的进价高30 元，
育用品，该体育用品店有如下两种购买方案：
买3 套甲类图书和2 套乙类图书一共需要
方案一：原价购买；
540 元.
方案二：办理一张成本价为100 元的会员卡，
(1 )甲、乙两类图书每套的进价分别是多
所有商品按原价8 折出售.
少元?
若学校需要购买原价为x元的体育用品，按方
( 2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类
案一购买需付款y₁ 元，按方案二购买需付款
图书共100 套，其中甲类图书的数量不少于
y₂ 元，已知y₁，y₂关于x的函数图象如图所示.
乙类图书数量的
，且甲类图书购买的数量
(1 )直接写出y₁，y₂的函数解析式.
( 2)当学校购买原价为多少元的体育用品
不超过45 套.共有几种购买方案?
时，方案一与方案二的实际付款相同.
(3 )若购买甲类图书x套，学校购买这批图
(3 )当学校购买原价为多少的体育用品时，
书的总费用为y 元，在(2 )的条件下，哪种方
方案一与方案二的实际付款金额相差40 元.
案的y 最小? 求出y 的最小值.
学霸|5星数学函数
在材料二中，若该顾客至少购买了一份
3.
(金华期末)某地“包子计划”开展的如
任
务
二
套餐，则其想要在一定资金内买到心仪
火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益.
的早餐，求他最多能买肉包的个数.
根据提供的材料解决问题.
家住距离早餐店14 km 处的某客户想
项目
内容
要在该包子铺购买早餐，该客户预算用
某包子铺开张，经营
100 元的资金购买早餐，计划购买肉包
早餐销售，有菜包、肉
不少于20 个，菜包不多于20 个，用买包
包、豆浆等类型早餐，
任
务
三
子剩下的钱买豆浆.若该客户想用材料
客户可自行搭配.菜包
三中的一种方案购买早餐，在买包子的
材
料
一
2 元/个, 豆浆2 元/
x/个
钱最少的前提下，求他所能买的最多的
碗，肉包的总金额γ
豆浆碗数，并列举此时该客户的购买
(单位：元)随购买个数x (单位：个)之
方案.
间的关系如图所示,坐标(3,12 ),( 5,
15)均经过该分段函数.
经过试销，该包子铺推出套餐 A 和套餐
B,如下:
套餐A：2 菜包+1 肉包+1 豆浆，6 元
材
料
二
套餐B:1 菜包+1 肉包+2 豆浆,7 元
现在某顾客有资金30 元，想购买任意
种类包子6 个，豆浆2 碗.
为了吸引顾客，扩大市场，该包子铺决
定开办线上外卖(配送费：3 km及以内
4元, 超过3 km 后每增加1 km 多收费
1元, 不满1 km 的按1 km 计算),并对
包子和豆浆进行优惠，具体方案如下：
材
料
三
方案一：全场九折(不包括配送费).
方案二：①每买5 个肉包赠送2 个菜包；
②每买3 个菜包赠送1 碗豆浆.
方案三：每购买材料二中的套餐任意
2份，赠送肉包2 个.
求购买肉包的总价y (单位：元)与购买
任
务
一
肉包个数x (单位：个)之间的函数解析
式，并写明自变量的取值范围.
第二章
一次函数|学霸5星?
其题型37
一次函数的实际应用——跨学科问题
青
玉
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②待定系数法求函数解析式
题型25
利用待定系数法求一次函数的解析式
一次函数实际应用中的跨学科问题常涉及的背景：
物理中的弹簧问题，弹簧长度与拉力读数成函数关系；
物理中的杠杆问题，由杠杆定律公式可衍生出一次函数关系；
物理中的温度变化问题，温度变化图象常表现为一次函数图象；
物理中的光线反射问题，光线的轨迹可用一次函数描述；
物理中的其他可用一次函数描述的物理量关系，如压强与高度、速度与时间等；
化学中的溶解问题，溶解情况可用一次函数图象反映.
例
小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，弹簧长度与弹簧测力计的拉力存在一次函数
关系.他通过悬挂不同质量的物体，测量对应的弹簧长度，验证了该结论.实验过程中，他将所得的
几组数据制成如下表格，其中拉力读数为xN，弹簧长度为 ycm.
x/N
1
2
3
4
5
y/ cm
3.6
6.8
8.4
10.0
(1)根据表格中相关数据求出y与x之间的函数解析式；
(2)小亮发现表格中拉力为2 N时，弹簧长度对应的数据模糊不清，请你帮他计算出该数据；
(3)若弹簧的安全使用长度不能超过14.8cm，求弹簧可承受的最大拉力是多少N.
点步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
攵
第
步计算求解
学霸| 5星数学函数
…
…
题型训练
©
建议用时:20 min
2.
(景德镇期中)在物理课上，老师为了更
1.
某校化学实验小组针对“氯化钾在不同
好地让学生感受光的反射规律并激发学生探
温度下的溶解度”进行研究，得到氯化钾在
索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法
0~100 ℃时溶解度y(g)与温度x(℃)近似
盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设
满足一次函数关系，其图象如图所示.(注：氯
计图.已知CD为平面镜，其中点C，点D的坐
化钾的溶解度是指在一定温度下，氯化钾在
标分别为(4,0),(4,8), 在点E(-1,0) 处放
100g水中达到饱和状态时所溶解的氯化钾
置一支激光笔，激光笔发射光线对应的函数
的质量)
解析式为y= kx+b(k>0).
(1 )求氯化钾在0~100 ℃时溶解度y(g)与
(1)点F 为平面镜的中点，若激光笔发射的
温度x(℃)之间的函数解析式；
光线恰好经过点 F，求EF所在直线的函数解
( 2) 当温度为30 ℃时,在100 g水中加入
析式；
39 g氯化钾，充分搅拌，能否完全溶解?若
(2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元
能，请说明理由；若不能，至少应少放多少克
件，当经过反射的光线照射到点 P(-2 ，8)与
氯化钾?( 忽略水的挥发及其他因素的
点Q (1，8)之间时(包含端点)，上方显示屏
影响)
就会显示出“我爱物理”的字样.若要让同学
们看到“我爱物理”字样，求b的取值范围.
x/℃
92
第二章一次函数|学霸5星
温度与接水时间的函数关系：设接温水
3.
(泉州期末)项目式学习：饮水机中的数
项目
时间为x 秒，接开水时间为y 秒，水杯总
学建模
二
容量为700 mL, 则y =
.( 用含x
项目探究高铁站饮水机接水策略中的数学
的代数式表示)
主题问题
优化接水策略：若想在最短时间内接满
项目水且水温达到最佳饮用温度，应如何安
新课标倡导“跨学科学习”理念，生活中
三
排接温水和接开水的时间?
常见的饮水机接水问题蕴含物理热传
递原理与数学建模思想.小明在接水时
项目发现：温水与开水混合时，开水放出的
热量等于温水吸收的热量(不计热损
背景
失)，可简化为数学关系：开水体积×开
水降低的温度=温水体积×温水升高的
温度.请通过数学建模及项目素材，探索
解决以下问题.
类型
温水
开水
水流速度(mL/ s)
20
15
初始温度/ ℃
30
100
目标容量/ mL
700 水杯
项目
最佳饮用温度/ ℃
36~40 (含端点)
素材
实物照片
若混合后水温为t℃，则有
物理
其中V开水，
V温水分别
原理
为开水和温水的体积(mL ).
问题解决
项目接水时间计算：小明先接温水20 s，再继续
一
接开水直至水杯接满还需    s.
学霸|5星数学函数
11
题型38
一次函数的实际应用——含参问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②待定系数法求函数解析式
题型25
利用待定系数法求一次函数的解析式
一次函数实际应用中的含参问题求解步骤：
1. 确定函数关系；
2. 确定参数的值是否影响分析过程；
3. 若不影响，则将参数视为常数构造关系式求解；
4. 若影响，则根据情况分类讨论或直接确定满足条件的参数的值.
例
(唐山期末)某商场计划购进两种服装共100 件，甲种服装进价160元/件，售价(220- a)
元/件；乙种服装进价(124- a) 元/件，售价160 元/件.设购进甲种服装x 件，两种服装全部售完，商
场获得的最大利润为4950 元, 则a 的值为
.( 其中0<a<20,60 ≤x≤75)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第二章
一次函数( 学霸5 星)
的
自
的
中
華
建议用时:25 min
3.
(襄阳中考)为了振兴乡村经济，我市某
1.
已知某手机
镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙
目前电量为
两种产品.某经销商购进甲、乙两种产品，甲
20% ,经测试,在
种产品进价为8 元/ kg；乙种产品的进货总金
用快速充电器和
额y (单位：元)与乙种产品进货量x (单位：
普通充电器对该
kg)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产
t/小时
品的售价分别为12 元/ kg 和18 元/ kg.
手机充电时，其电量E (单位：%)与充电时间
t(单位：小时)的函数图象分别为图中的线段
(1 ) 求出0 ≤x ≤2 000 和x > 2 000 时,y 与x
AB，AC.已知该手机正常使用时耗电量为
之间的函数解析式；
10%/小时，在用快速充电器将其充满电后，
( 2 ) 若该经销商购进甲、乙两种产品共
正常使用a小时，接着再用普通充电器将其
6 000 kg，并能全部售出，其中乙种产品的进
充满电，其“充电—耗电—充电”的总时间是
货量不低于1 600 kg, 且不高于4 000 kg,设
8小时，则a的值为
(
)
销售完甲、乙两种产品所获总利润为 w元
(利润=销售额-成本)，请求出w(单位：元)
D.3
与乙种产品进货量x (单位：kg )之间的函数
2.
为响应积极锻炼的同学们，某中学计划
解析式，并为该经销商设计出获得最大利润
同时购进一批篮球和排球，若购进2 个篮球
的进货方案；
和1 个排球，共需要资金280 元；若购进3 个
(3 )为回馈广大客户，该经销商决定对两种
篮球和2 个排球，共需要资金460 元.
产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的
(1 ) 1 个篮球和1 个排球的价格分别为多
进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低
少元?
a 元/ kg和2a 元/ kg，全部售出后所获总利润
( 2)学校计划购进两种球类共20 个，商场售
不低于15 000 元，求a的最大值.
出一个篮球，利润率为25% ，一个排球的进价
为50 元，为了促销，商场决定每售出一个排
球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商
场所有购买方案获利相同，求m的值.
学霸|5星数学函数
4.
清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小
销售额/万元13
14
15
16
17
18
19
吃——青团也深受大家欢迎，某店推出一款
人数
1
1
5
4
3
2
3
鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青
销售额/万元22
23
24
26
28
30
32
团每个售价是芒果青团的
倍，4 月份鲜花
人数
1
1
1
2
3
1
2
牛奶青团和芒果青团总计销售60 000 个，且
鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为5：
服装部制定两种奖励方案，供营业员选择高
7，鲜花牛奶青团的销售额为250 000 元.
薪方案：
(1 )求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价；
方案一：薪资f=底薪a+销售额x×抽成c；
( 2) 5 月份正值该店周年庆，决定再生产
方案二：薪资g=底薪b+销售额x×抽成(销
售额不超过18 万元的抽成2% ，18 万元以上
12 000 个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果
青团较受欢迎，同时也考虑到受机器设备限
的部分抽成d,d>c).
制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青
小明发现：
Ⅰ.当销售额为15 万元时，两种方案的薪资
团个数的
，且不多于鲜花牛奶青团的2 倍，
均为0.5 万元.
其中，鲜花牛奶青团每个让利a元销售，芒果
Ⅱ.与自己销售额相同的还有3 个人，选择方
青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团
案一比选择方案二多了100元.
(1 )写出方案二中销售额不超过18 万元的
售价不得低于芒果青团售价的
，该店如何
薪资g(万元)关于销售额x(万元)的函数解
设计生产方案使总销售额最大?
析式：
.(不需要写自变量
取值范围)
( 2)销售额为30 万元的小王选择方案一薪
资是多少?
(3 )服装部发现：销售额为15 万元及以内的
营业员都选择方案二.若有不低于一半的营
业员选择方案一时，试求方案二中销售额在
18 万元以上部分的抽成d的取值范围.
5.
某商场服装部为了调动营业员的积极
性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况
对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适
当的月销售目标，商场服装部统计了每个营
业员在某月的销售额(单位：万元)，数据整
理如下：
第二章一次函数|学霸5星(
题型39
一次函数与几何——面积问题
人
的
—
—
…
…
…
…
…
…
…
所需前置知识：
本书前置内容：
①图形面积的求解方法
题型12
平面直角坐标系与几何——面积问题
②一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
场景
分析思路
①三角形两边在坐标轴上( 两
形状为直角三角形，求出坐标轴上两边的长度，分别作
边与坐标轴平行的情况同理)
为底和高求解面积
②三角形一边在坐标轴上(一
以坐标轴上一边作为底，以不在坐标轴上的点的横/纵
边与坐标轴平行的情况同理)
坐标作为高，求解面积
和差法：利用满足①，②两种场景的三角形求
三角形
方法一
和或做差得出面积
割补法：补全或分割图形求解面积(详见题
③三角形三边均不在坐标轴上
方法二
型12)
等面积转化法：利用等底等高关系进行面积
方法三
转化，转化为①，②两种场景
④特殊形状四边形
利用对应四边形面积公式求解面积
和差法：利用满足①，②两种场景的三角形求
方法一
四边形
和或做差得出面积
⑤非特殊形状四边形
割补法：补全或分割图形求解面积(详见题
方法二
型12)
例
如图, 直线AB 分别与x 轴,y 轴相交于点A(5,0),B(0,4), 点
E(2.5,m)在直线AB上,直线y= kx+b经过点E,并与x轴相交于点 F.若
四边形OFEB 与△FEA 的面积之比为3 ∶2, 则线段OF的长为
(
)
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
学霸|5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
—
—
—
—
—
题型训练
建议用时:35 min
3.
(张家口期中)如图，直线y=-2x+m上
1.
一次函数y=-3x+4的图象与坐标轴所
三点A，B，C的横坐标依次为-1，1，2，分别过
围成的三角形面积是
(
)
点A，B，C作x轴与y轴的垂线，形成了涂色
三角形，则这三个涂色三角形的面积之和
A.
B.
C.2
D.4
.
为
2.
如图,函数y=-x+2的
图象与x轴、y轴分别交于
点 A,B, 若直线 BC 将
△AOB分为面积比为1 : 3
的两部分，则直线 BC的函
数解析式为
(
)
(第3题)
(第4题)
或y=-2x+2
B. y=-2x+2
4.
如图，直线
与x轴、y轴分别
或y=-4x+2
交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限
第二章一次函数|学霸5星(
内作等腰Rt△ABC、∠BAC=90°,如果在第二
7.
(南阳期中)实践探究：三角形的面积平
象限内有一点
，使△ABP的面积与
分直线探究
三角形的中线能将三角形分成面积相等的两
△ABC的面积相等，则a的值为
.
5.
如图，直线 l 分别与x 轴、y轴交于点
部分.已知直线
与x轴、y轴分别交
A(4,0),B(0,5), 把直线l 沿y 轴向下平移
于A，B两点，O为坐标原点，我们来开展以下
3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与
探究活动.
x轴、y轴交于点 C,D.
(1)求出A,B 两点的坐标,并计算△AOB 的
(1)求直线l对应的函数解析式；
面积；
(2)求四边形ABDC的面积.
(2)请你画出△AOB，并尝试画出一条能将
△AOB分成面积相等两部分的直线，写出这
条直线的函数解析式，并说明你这样画的
理由；
(3)除了(2)中你画出的直线外，是否还存在
其他过△AOB 顶点且能平分其面积的直线?
如果存在，请找出所有符合条件的直线并写
出它们的函数解析式；如果不存在，请说明
理由；
(4)结合上述探究，你能总结出“过三角形一
个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规
律吗?请用文字描述出来.
6.
( 蚌埠期中)如图，在平面直角坐标系
中,直线AB:y= kx+1(k≠0)交y轴于点A,交
x 轴于点B(3,0), 点P 是直线x=2 上的一动
点，且P在第一象限.
(1)△ABO 的面积为
;
(2)当△ABP 的面积与△ABO 的面积相等
时，点P的坐标为
.
学霸|5星数学函数
8.
(襄阳期末)在平面直角坐标系xOy中，
9.
材料：在平面直角坐标系中，点P(a，b)，
点A(a,0),B(0,b), 且a,b 满足| a+4 | =
Q(c ，d) ，则线段PQ 的中点坐标为
将直线AB 沿x 轴向右平移m 个单
位长度交 x 轴于点 D, 交y 轴于点 C(0,c)
(c<0).
(1)求△AOB的面积;
(1) 如图①, 点A(a,2)),B(b,6), 且a,b 满
足关系式
则点 A 的坐标
(2)如图①,若
求m的值；
是
，点B的坐标是
；
(3) 如图②, 当CD=AB 时, 过点 B 作x 轴的
(2)如图②，在(1)问条件下将线段 AB 向右
平行线交直线CD于点E，点P 以每秒1个单
水平移动，平移后 A，B的对应点分别为 D，
位长度的速度从点 B 出发沿射线 BE 运动，
E, 线段 DE 交y 轴于点 C, △DCO 与△ECO
设运动时间为t秒，连接CP交x轴于点 F，
的面积相等，若点P是坐标轴上一点，且满足
若△CDF的面积不大于△OCD 的面积的一
求出点 P 的坐标.
半，求t的取值范围.
第二章一次函数| 学霸5 星|
—
—
—
—
题型40一次函数与几何——规律问题
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①坐标轴中的规律问题
题型11
坐标变化中的规律问题
②一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
一次函数中的规律问题的分析步骤：
1. 计：首先根据题目信息计算出前几项的具体数据.
2. 猜：根据前几项的数据，再结合常见的数字规律猜想数据满足的通式.
3. 验：继续计算几项数据用于验证通式，同时也可结合几何关系进行验证.
常见数字规律：
①等差:如1,4,7,10,
…, 第n 项可用3n -2表示;
②次方：如
第n项可用
表示；
③奇偶项：如-
则奇数项为-1，偶数项为1.
例1
如图，在平面直角坐标系中，点A₁(-1 ，1) 在直线y = x+ b
上,过点A₁ 作A₁B₁⊥x 轴于点B₁,作等腰直角三角形A₁B₁B₂( B₂ 与原
点O 重合)，再以A₁B₂ 为腰作等腰直角三角形A₂A₁B₂，以A₂B₂ 为腰作
等腰直角三角形A₂B₂B₃……按照这样的规律进行下去，那么A₁₀₀₀ 的
坐标为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学
霸|5星数学函数
第
步计算求解
例2
(漳州期中)如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直
线l，作点A₁(1，0)关于直线l的对称点A₂，将A₂ 向右平移2 个单位长度得
到点A₃；再作A₃关于直线l的对称点A₄，将A₄ 向右平移2 个单位长度得到
点A₅……则按此规律，所作出的点A₅₆的坐标为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第二章
一次函数|学霸5星(
(
1
)
题型训练
建议用时:15 min
边在
的右侧作等腰直角
1.
如图，在平面直角坐标系中，函数.
和
按此规律进行下去，则
的长
的图象分别为直线
, 过点(1,0) 作
为
.
x轴的垂线交
于点
过点
作y轴的垂线
交l ₂ 于点.
过点.
作x 轴的垂线交
于点
A₃，过点A₃ 作y 轴的垂线交
于点
依次
进行下去，则点.
的坐标为
(
)
4.
( 聊城模拟)如图，平面直角坐标系中，
网格边长为1 个单位长度，在一次函数y=x
A.( 50, -51 )
与y=-x之间，存在若干横纵坐标均为整数
的点，A₁ 的坐标为(0，0 )，根据这个规律，
2.
( 成都期中)正方形 A₁B₁C₁O, 正方形
A₂₀₂₆的坐标是
.
A₂B₂ C₂ C₁, 正方形 A₃B₃C₃C₂… 按如图的方式
放置, 点A₁, A₂, A₃, … 和点C₁, C₂, C₃, …分别
在直线y= kx+b (k>0) 和 x 轴上, 已知点
B₁(1,1),
B₂(3,2), 按此规律, 则B₅₀₀的坐标
是
.
5.
如图，已知直线
(n 为正
3.
( 宁波期末)如图, 点A₁(2,2) 在直线y=
整数)与 x 轴、y 轴分别交于点 An,Bn,
x 上, 过点A₁ 作A₁B₁∥γ轴交直线
于点
△AnBnO 的面积为 Sn, 则
.
B₁, 以点 A₁ 为直角顶点,A₁B₁ 为直角边在
A₁B₁ 的右侧作等腰直角△A₁B ₁C₁, 再过点 C ₁
作A₂B₂∥γ 轴, 分别交直线y=x 和
于
A₂, B₂ 两点, 以点A₂ 为直角顶点,A₂B₂ 为直角
学霸|5星数学函数
—
—
—
—
题型41一次函数与几何——线段问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②几何相关知识
使用方法
分析思路
对于求由水平、竖直直线截得线段的长，可将线段两端
代数法求线段长
设直线上点的坐标
点的坐标用参数表示出来，然后构造方程求出参数
三角形面积法
利用三角形面积公式列出等价方程
勾股定理
在直角三角形中使用勾股定理列方程
几何法求线段长
等腰三角形
利用等腰三角形的性质或构造等腰三角形
构造全等三角形
利用已知的相等关系或角度关系构造全等三角形
例1
代数法求线段长
如图，已知直线
与直线
相交于点 P,分别与y轴相交于点A,B.点M(0,k)
为y轴上的一个动点，过点M作y轴的垂线交l₁和l₂于点N，Q，当NQ=2时，求点P的坐标及k的值.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第二章
一次函数| 学霸5 星(
第
步计算求解
例2
几何法求线段长
如图，在平面直角坐标系中，直线
分别与x轴、y轴相交于A，B两
点.将△AOB沿x轴翻折得到△AOC，使点 B刚好落在y轴正半轴的点 C处，过点
C 作CD⊥AB 交AB于点D,则 CD 的长为
(
)
C.5
D.4
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
。学霸|5星数学函数
—
—
—
的
①建议用时:30 min
3.
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+
4与x轴、y轴分别交于点 A,B;过点 D(0,2)
1.
如图，直线
分别与x，y轴交
作直线CD与x轴交于点 C，交直线 AB 于点
于点 A,B,点 C 在线段 OA 上,将△BOC 沿
E，且点 E的横坐标为
BC 翻折,点 O 落在AB边上的点 D 处,则CD
的长为
(
)
(1) 写出点A,B 的坐标;
(2)求△ACE的面积;
(3)若点 M 是线段AB 上一动点,连接 OM,
过点 O 作 ON⊥OM 交直线 CD 于点 N,判断
线段OM 与ON的数量关系，并说明理由.
A.4
B.3
C.2
D.1
2.
如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象分别交x轴、y轴于点 A，
B,交直线y= kx于点 P.
(1)求点 A,B的坐标;
(2)若OP=PA,求点 P的坐标及k的值;
(3)在(2)的条件下，C是直线BP上一动点，
CE⊥x 轴于点E, 交直线OP 于点 D, 若CD=
3ED,求点 C 的坐标.
第二章一次函数| 学霸5 星(
5.
( 眉山期中)如图①所示，直线AB：y=
4.
(台州期末)如图①、若一次函数y = kx+
nx-4n( n>0)与x轴正半轴、y轴负半轴分别
b的图象经过.
则有k=
交于A，B两点.
(1 )如图①所示，当OA=OB时，试确定直线
例如：一次函数
的图象经过点
AB 的函数解析式.
( 2) 在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为直
(4,3 ) 和(2,1 ),则有
线 BA上一点,过点 O,Q 作直线 OQ, 过A,B
(1 ) 若点A( 4,-2
), B( 1,4 ) 在一次函数y =
两点分别作AM⊥OQ 于点M,BN ⊥OQ 于点
kx+b 的图象上，则
N, 若AM=1, 求BN的长.
( 2)若一次函数y= kx+b 在m≤x≤m+2 范围
(3 )如图③所示，当n取不同的值时，点B 在
内，函数的最大值与最小值的差为3，求k
y轴负半轴上运动，以点 B 为直角顶点分别
的值；
作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，且点
(3 )如图②,点A,B 在直线
上，点
F 在第三象限，点E 在第四象限，连接EF 交
C，D在直线
上, 已知AC∥BD∥
y轴于点 P，试探究 PB 的长是否为定值?若
y轴,
轴, 且AC= 2BD ,求 k₁ 与k₂ 满足
是，求出 PB 的值；若不是，请说明理由.
的数量关系，并说明理由.
①
②
②
学霸|5星数学函数
—
—
题型42一次函数与几何——角度问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②几何相关知识
场景
分析思路
根据角度关系构造全等三角形、直角三角形、等腰三角形、平
已知条件有角度关系
行关系等
已知条件涉及45°角
构造等腰直角三角形
求解角度关系
利用几何关系进行角度等价变换
例
如图，已知函数
与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称.设
点M是线段AC上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接
BM,若∠BMP=∠BAC,求点P的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第二章一次函数(学四5星)
第
步计算求解
10
学霸| 5 星数学函数
三
首
其
一
五
百
年
的
的
。
题型训练
建议用时:30 min
1.
( 芜湖期末)直线
交x 轴于点
2.
( 福州期末)如图，平面直角坐标系中，
一次函数y=2x+4 的图象分别交x轴、y轴于
A,交y轴于点 B.
点A,B, 一次函数y=-x+b 的图象经过点B,
(1 )求点A,B的坐标;
并与x轴交于点C，F为直线 BC上的动点.
( 2) 点D 是x 轴上一点,∠BAO=2 ∠DBO, 求
(1 )求直线 BC的函数解析式；
点 D 的坐标.
( 2)当点 F 的横坐标比纵坐标大2 时，求
△ABF的面积;
(3 )当∠FAB=∠ABO时,求点F的坐标.
第二章一次函数| 学霸5 星?
3.
( 武汉期中)如图，已知直线
4.
( 黄石期末)如图，在平面直角坐标系
交x轴于点A(6,0 ),交y轴于点 B.
xOy 中, 直线y=-x+4 分别交x轴、y轴于点
(1 )直接写出
A、点 B,点 C 在 x 轴的负半轴上,且OC=
(2)直线
与x轴、y轴分别相交于
点D为△AOB 内一点.
点D,E, 与直线 l₁ 相交于点 C, 若
求n的值；
(1 )求直线 BC的函数解析式；
(3 )点 M 在直线 AB 上,若∠BAO+∠MOA=
( 2)如图①,点
直线 CD 交 AB 于
45°,求点 M 的坐标.
点Q，求
的值；
(3 )如图②,点 P 是线段 BC 上的动点(点P
不与B,C 重合), 连接AP,PD, 若△BPD 是以
BP 为斜边的等腰直角三角形，点E 是线段
AP的中点,连接DE,OD.试探究∠ODE 的大
小是否为定值，若是，求出∠ODE 的度数；若
不是，请说明理由.
①
②
学
霸5星数学函数
下
题型43 一次函数与几何——最值问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①平移、轴对称的性质
题型14
平面直角坐标系与几何——最值问题
②两点之间线段最短
题型30
点到直线的距离
③垂线段最短
题型39
一次函数与几何——面积问题
④勾股定理
题型41
一次函数与几何——线段问题
⑤二次根式、分式的运算
类型
特征
解法要点
①单线段最短(垂线段最短)：在一条直线上利用垂线段最短，过定点作已知直线的垂
找一点P，使点 P 到直线外一定点A 的距离线，垂足即为最值点，距离可用点到直线距
最小
离公式(或构造直角三角形)计算
②线段和最小(将军饮马)：在一条直线上找
作其中一个定点关于直线的对称点，连接对
称点与另一个定点，与直线的交点即为P，
线段一点 P，使点 P到两定点A，B的距离之和最小
最小值为两点间距离
最值
作其中一个定点关于直线的对称点，连接对
③线段差最大：在一条直线上找一点 P，使
| PA-PB |最大
称点与另一个定点并延长，与直线的交点即
为P，最大值为对称点与另一点间的距离
④定长线段滑动：定长线段在坐标轴
(或直线)上平移定点构造平行四边形，将问题转化为
滑动，求两端点到两定点距离和的最小值
“将军饮马”
①设动点坐标，用铅垂法或割补法表示面积；
面积动点在一次函数图象上运动，求与定点构成的
②注意自变量的取值范围；
最值三角形(或四边形)面积的最大值或最小值
③利用配方法或一次函数的性质求最值
-
列1
线段最值
如图, 点A(3,0) 在x 轴上, 直线
与两坐标轴分别交于 B，C两
点,D,P分别是线段OC,BC上的动点,则PD+DA的最小值为
.
第二章一次函数|学霸5星
三步破题
第
步提取信息
(
(
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
面积最值
如图，直线
)与x轴、y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(-8，0)，点A的坐标为
点P(x，y)是线段EF上的一个动点.
(1)求k的值;
(2)求点P在运动过程中
的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x
的取值范围；
(3) 求
面积的最大值.
c ³²三步破题
第
步提取信息
学霸|5星数学函数
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:30 min
( 2) 设点C 的坐标为(0,m), 当0<m<2 时,线
段 DE 与线段 OB 相交于点 F，求四边形
1.
如图,已知点A(1,0),
点 P
COFD 面积的最大值.
在直线y = x 上运动, 则|PA‐PB
| 的最大
值为
.
2.
(安徽模拟)在平面直角坐标系中，点Q
在直线y =- x+1 上运动，将点 Q 绕原点顺时
针旋转90°,得到点Q', 连接QQ', 则QQ'的最
小值为
.
3.
( 辽宁中考)如图，在平面直角坐标系
xOy 中, 直线y=-x+4 与y轴相交于点A,与
x轴相交于点 B，点C 在线段 OA 上(不与点
O,A重合),过点 C 作 OA的垂线,与直线AB
相交于点 D，点A 关于直线 CD 的对称点为
E, 连接DE.
(1 )求证:∠OAB=45°;
第二章一次函数|学霸5星：
7.
( 重庆期中)如图，在平面直角坐标系
变式一构造手拉手模型——线段和最值
中，一次函数
的图象与x轴、y轴分
4.
( 绍兴期末)如图，在平面直角坐标系
别交于A，B两点，一次函数
的图象
中,点A 的坐标为(8,0 ),点Q 是直线
与x轴、y轴分别交于C，D两点，且与
上的一个动点，以AQ 为边，在AQ 的右侧作
3 的图象交于点 E(m,4).已知OD=2OB.
等边三角形 APQ，使得点 P 落在第一象限，
(1 ) 求k,b 的值;
( 2)点 G 为线段 CE 上一点,连接 BG,△BDE
连接OP,则 OP+AP 的最小值为
.
和四边形 COBG的面积分别记为 S₁，S₂.在线
段AE 上有两动点 P,Q(
点 P 在点 Q的上
方)，且
过点Q 作QH⊥x轴于点 H,
连接 PG. 当
时, 求 GP+PQ+QH 的最
小值.
变式二跨学科融合——激光反射最值
5.
(1)如图①，一束激光从点 C 出发，射向
x轴上的点 P，经过反射后射向点M，已知光
线的反射满足反射定律( 即反射角= 入射
角).若点 C(O,2 ),点 P(1,0
),则直线 MP 与
y轴的交点 Q 的坐标为
；
( 2)如图②，线段AB 是一根激光感应器，其
函数解析式为
从点
C(0, 2)射出的激光射向位于x轴上的镜面
DE，经过反射后 MN恰好覆盖线段AB上的
4个整数点(横、纵坐标都为整数的点)，则
DE 的最小值为
.
②
6.
(嘉兴自主招生)不论k取不等于1 的任
意实数，一次函数
的图象都
与以M(2，0)为圆心的圆有交点，则⊙M 的
面积的最小值为
.
学霸|5 星数学函数
的
其
一
题型44•一次函数与几何——全等、相似
关系存在性问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②全等三角形的判定
③相似三角形的判定(九年级学习)
场景
分析思路
三角形①三点确定
根据三角形②中确定的线段，与三角形①中的
三角形②两点确定
线段对应，基于此分类讨论
全等存在
三角形①三点确定
使得三角形②中一边与三角形①中三边对应相
性问题
三角形②一点确定
等，分类讨论，根据全等关系分析结果
两三角形常常为共边情况，基于相等边进行分
三角形①，②均有不确定的点
类讨论，同时结合对称变换画图辅助分析
三角形①三点确定
三角形②两点确定
相似存在
三角形①三点确定
基于两三角形中相等的角进行分类讨论
性问题
三角形②一点确定
三角形①，②均有不确定的点
注：
1. 遇到两三角形共边、等边情况，也可借助轴对称、中心对称等变换辅助判断.
2. 若两三角形有角度关系，也可利用角度对应相等的情况进行分类讨论.
例
如图，函数y=-x+2 的图象与x轴、y轴分别相交于点D，C，直线
AB 经过点A(-2,0) 和点B(0,6), 直线AB,CD 相交于点 M, 连接AC.
(1 )求点M的坐标.
( 2)在直线 CD 上是否存在点 P，使得 B，M，P三点构成的三角形与
△AMC全等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
第二章一次函数学霸5星
P 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
し
ま
え
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:30 min
2.
如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与
1.
如图,直线y=kx+b 与x轴、y轴分别交
x轴、y轴分别交于点 A,B,直线 CD 与x轴、
于A(-4,0),B(0,3) 两点, 点C(x,y) 是直线
y轴分别交于点 C,D,AB 与 CD 相交于点 E,
y= kx+b上与A,B不重合的动点.
线段OA=12,OC=6,BE=5,
在
(1 )求直线AB的解析式.
x轴上是否存在点 P，使点C，E，P为顶点的
(2) 过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于
三角形与△DCO 相似?若存在，请求出点 P
点D, 是否存在点 C, 使△BCD 与△AOB 全
的坐标；若不存在，请说明理由.
等?若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，说
明理由.
学霸5星数学函数
3.
(成都期中)如图①，在平面直角坐标系
4.
在平面直角坐标系中，点A 的坐标为
xOy 中, 直线y= kx+3 分别交 x轴、y轴于点
，点B 在直线
上，过点B
A,B, 且
作AB 的垂线，过原点 O 作直线l 的垂线，两
(1 )求k的值.
垂线相交于点 C.
( 2) 若点 C 为线段 OB 上一点,连接 AC,将
(1 )如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC
△ABC沿着 AC 折叠,使点 B 落在x 轴的点
与AO 相交于点 D.
B'处，求点 C 的坐标.
①若BA=BO, 求证:CD=CO.
(3 ) 如图②, 作OD⊥AB, 点E 为直线AB 上一
②若∠CBO=45 °,求四边形ABOC的面积.
动点，点F 为y轴上一动点，是否存在以 O，
( 2)是否存在点 B，使得以A，B，C为顶点的
E，F为顶点的三角形与△ODE 全等?若存
三角形与△BCO 相似?若存在，求OB 的长；
在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说
若不存在，请说明理由.
明理由.
备用图
第二章一次函数| 学霸5 星?
题型45
一次函数与几何——
的
人
。
特殊三角形存在性问题
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②等腰三角形与直角三角形的判定
场景
分析思路
首先对顶点的情况进行分类讨论，然后利用两点之间的距离公
等腰三角形存在性问题
式确定具体数据，同时也可借助作图画圆法辅助分析
等边三角形存在性问题
利用两点之间的距离公式列方程求解
直角三角形存在性问题
首先确定对直角的情况进行分类讨论，然后利用几何位置关系
和勾股定理分析具体数据
等腰直角三角形存在性问题
常与一线三垂直全等模型结合分析
9
例
如图，已知直线
与x轴交于点A，与直线
3x交于点B，在x轴上是否存在一点 M，使得△MAB 是直角三角形?若存
在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
…
…
…
…
…
…
…
…
1
1
题型训练
①建议用时:30 min
1.
( 资阳期中)如图，在平面直角坐标系
2.
(1 )如图①，在平面直角坐标系中，等腰
中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐
Rt△ABC 的直角顶点 C 在原点，将其绕着点
标轴上放在第二象限，点C 的坐标为
O 旋转,若顶点 A 恰好落在点(1,3 )处.则OA
(-1,0).过点 B 的直线
的长为
；点B 的坐标为
.
与
(直接写结果)
的图象相交于点E，过点B作BD⊥x轴，垂足
( 2 ) 如图②，在平面直角坐标系中，点
为 D，且点 B的横坐标为-3.
B(4,3), 过点B 作BA⊥y 轴, 垂足为点A, 作
(1 )求证:△BDC≌△COA.
BC⊥x轴,垂足为点 C,P 是线段BC 上的一
( 2)求BC所在直线的函数解析式.
个动点，点Q 是直线y=2x-6
上一动点.是否
(3 )在直线
上是否存在点 P,使△ACP
存在以点 P 为直角顶点的等腰Rt△APQ?若
存在，请求出此时P 的坐标，若不存在，请说
是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在，
明理由.
求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
①
②
第二章一次函数| 学霸5 星(
3.
在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的
4.
( 深圳期中)如图，在平面直角坐标系
解析式为
分别与x轴、y 轴交于 A,B
中，将y=2x+1 向下平移3 个单位长度得到
两点，已知点 A 的坐标为(
直线l₁，直线l₁ 与x轴交于点 C；直线
(1 )求直线 AB 的解析式及点 B 的坐标；
x+2 分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与直
( 2)将直线AB 沿y轴向上平移t个单位长度
线l₁ 交于点 D.
得到直线CD，分别与x轴、y轴交于C，
(1 )填空：点A的坐标为
，点B的坐
D 两点，直线 CD 上是否存在一点 E，使
标为
.
△ABE为等边三角形?若存在，请求出 t 的
( 2) 直线l₁ 的解析式为
.
值；若不存在，请说明理由.
(3 )在直线 l₁ 上是否存在点 P,使△ACP 为
等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若
不存在，请说明理由.
备用图
学霸|5星数学函数
题型46一次函数与几何——特殊
主
義
主
義
四边形存在性问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
特殊四边形存在性问题整体有以下两种分析思路：
①以边的情况进行分类讨论，利用的知识点为“特殊四边形对边平行且相等”；
②以对角线的情况进行分类讨论，利用的知识为“特殊四边形对角线互相平分”，且“中点坐标公
式”也可辅助分析.
对于矩形、菱形、正方形的存在性问题也有着额外的条件：
1. 菱形四边均相等，可利用两点之间的距离公式辅助求解；
2. 矩形四角均为直角，可利用勾股定理辅助求解；
3. 正方形四边相等、四角为直角，常利用一线三垂直全等模型分析.
例
(重庆期中)如图，直线
与x轴交于点 D，直线
- x+b经过定点B(-1,5
)且与x轴交于点A.直线l₁,l₂ 交于点C(2, m).
(1 )求直线l₁ 的解析式.
( 2)平面内是否存在点Q，使得以A，B，D，Q为顶点的四边形为平行四边
形?若存在，请求出点 Q 的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第二章一次函数学霸5星(
不
知
。
—
—
—
—
题型训练
建议用时:40 min
2.
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的
1.
如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐
坐标分别是A(0,3),
将线段AB
标原点,A(3,4),四边形ABCO 是菱形,点 C
沿x轴向右平移2
个单位长度到CD，M为
在x轴的负半轴上，直线AC交y轴于点 D.
坐标平面内一点.
(1 )求菱形ABCO 的周长.
(1 )求证:四边形ABCD 是菱形.
(2)平面直角坐标系内是否存在点 M，使得
( 2)在第一象限内是否存在点 P，使得以AC
以点C，O，D，M为顶点的四边形是平行四边
为一边，以PM为另一边的四边形是正方形?
形?若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，
若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请
请说明理由.
说明理由.
备用图
学霸|5星数学函数
4.
如图，直线
与坐标轴分别交
3.
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形
于点A，B，与直线y=x交于点C，射线OA上
OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别
的动点 Q 以每秒2 个单位长度的速度从点O
为(6,0 ),(-3,4). 将线段 CO 先向右平移
出发，沿着 OA方向作匀速运动，运动时间为
6个单位长度后，再向下平移2 个单位长度，
t秒.
得到线段 MN.
(1 )点C的坐标为
.
(1 ) 点M 的坐标为
，点N的坐标为
( 2)平面内是否存在一点 P,使以P,Q,A,C
.
为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出
( 2)点D 是直线MN上的动点，在x轴上是
否存在E，使得以O，B，D，E为顶点的四边形
点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
为平行四边形?若存在，请求出满足条件的
所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.
第二章一次函数|学霸5星
5.
如图, 直线l:y= kx+b 经过点(2,3), 并
6.
如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC
且与直线
平行，与y轴交于点A.
的对角线AC=12,∠ACO=30°.
(1 )求点 B的坐标.
(1 )求直线l的函数解析式和点 A 的坐标.
( 2)把矩形OABC沿直线DE折叠后展开，使
(2)若点P是直线l上的一个动点，过点P分
点C落在点A处，DE 与AC 相交于点F，连接
别作PM⊥x 轴于点M,PN⊥y 轴于点 N, 在
CE,AD,求四边形ADCE 的周长.
四边形 PMON 上分别截取
(3 )若点 M在坐标轴上，平面内是否存在点
N，使以点O，F，M，N为顶点的四边形为矩
求证：四边形
形?若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，
BCDE 是平行四边形.
请说明理由.
(3 ) 在(2)的条件下,直线y= kx+b上是否存
在点 P，能使四边形 BCDE 为正方形?若存
在，直接写出所有符合条件的P点坐标，若不
存在，请说明理由.
学霸5星数学函数
—
—
—
题型47一次函数与几何——直线与圆
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
②圆的切线(九年级学习)
位置关系
示意图
结论
直线与圆相切
圆心到直线的距离等于圆的半径
直线与圆相交
圆心到直线的距离小于圆的半径
直线与圆相离
圆心到直线的距离大于圆的半径
求解圆心到直线的距离的常用方法：
①勾股定理：作垂线或利用切线构造直角三角形，进而利用勾股定理求距离；
②三角形面积法：利用三角形的面积公式构造等式，从而得出距离.
例
如图，直线
与x 轴、y 轴分别交于A,B 两点,P(1,0),⊙P 与y 轴相切于点
O，将⊙P向上平移m个单位长度，当⊙P与直线AB第一次相切时，m的值是
(
)
B.2
三步破题
角
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
—
—
—
—
题型训练
答案D46
建议用时:25 min
AB 与两坐标轴分
1.
(珠海期中)在平面直角坐标系xOy中，
别交于A，B两点，
⊙O的半径为3，直线l的解析式为
AC=8,AB=10,
若
⊙O 的圆心在直线
那么直线l与⊙O的位置关系是
(
)
A. 相离
B. 相切
上，且⊙O与AB，AC所在直线相切，则
C.相交
D. 无法确定
2.
如图，C为平面直角坐标系的原点，直线
圆心O的坐标是
.
学霸|5星数学函数
3.
如图，在平面直
角坐标系xOy中，圆
心在 x 轴上的⊙A
5.
已知直线
与y轴交于点A，
与⊙C 同时与 y 轴
与x轴交于点B，⊙C经过点A 和原点 O.
相切.
直
(1 )若点 C在OA上,⊙C交AB于点 D,如图
线
交x轴于点 B.记点 B 的横坐标
①，求弦AD的长度；
( 2)若⊙C 与直线l相切于点A，且与x轴的
为xB，⊙A 与⊙C的组合图形记为曲线M.若
另一交点为点 E，如图②，求点 C的坐标；
直线
与曲线M 至少有4 个不同的
(3 )若点 C在△AOB的外角∠OAF 的平分线
上，且⊙C 与x轴的另一交点为点 G，如图
公共点，则xB的取值范围为
.
③，求半径AC的长.
4.
( 泰州期末)如图，⊙O 与y 轴交于点
A(0,-1), 一次函数
的图象
分别交x轴、y轴于点 B,C.
(1 )如图①,当
时，求证：直线 BC 与
①
②
⊙O 相切;
( 2)如图②,直线 BC 与⊙O 相交,交点分别
为 D,E,若∠DAE=45°,求b的值.
①
128
—
—
题型48
反比例函数的概念
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点的特征
题型17
函数的三种表示方法
②函数的基础知识
一般地，形如
(k为常数，
的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数.
1. 反比例函数的三种写法形式：
(k 为常数,k≠0);②y =kx⁻¹(k 为常数,k≠0);③xy =k
(k为常数，
2. 几种容易混淆的情况：
①形如
(k，c为非0的常数)，y 不是x 的反比例函数，但y 是x+c 的反比例函数；
②形如
(k，c为非0的常数)，y 不是x 的反比例函数，但y 是x 的反比例函数；
③形如
(a，b为非0的常数)，可将
看作常数，即令
则有
所以y 是x 的反比
例函数，同时y 也是 ax 的反比例函数.从这一点也可以得出，若y 是x 的反比例函数，x 是z 的正比
例函数，则y 是z 的反比例函数.
例反比例函数的定义
(安阳一模)若函数
是反比例函数，则k 的值为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
1
李窈|5星数学函数
第
步计算求解
的
的
的
的
。
因
为
这
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
1
1
1
题型训练
建议用时:15 min
1.
(烟台期中)下列函数: ①y=x-2; ②y=
5.
( 广州期末)二胡是我国一种传统拉弦
乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动
;③y=x⁻¹; ④y= x+1; ⑤xy=11; ⑥y= kx;
弦的共振频率f(单位：赫兹)与长度l(单位：
其中y 是x的反比例函数的有(
)
米)近似成反比例关系.当某一振动弦的共振
频率f 为320 赫兹时，长度l为0.5 米.若f为
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D. 5 个
400 赫兹, 则l 是
米.
2.
(珠海期末)下列各选项中的两个量，不
6.
( 西安二模)一个反比例函数的图象经
成反比例关系的是
(
)
过
A(m,4),B(3m-2,n),C(-4,-n)(n≠0)
A. 三角形的面积为6 cm²，它的一条边的长
三点，则该反比例函数的解析式为
.
与这条边上的高
7.
已知y=y₁­ y₂, 并且y₁与x 成正比例,y₂
B. 计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，
与(x-2 )成反比例,当x=-2
时,y=-7; 当x=
购买苹果的金额与购买香蕉的金额
3时,y=13. 则当x=5 时,y=
.
C.100 米短跑比赛，跑步的平均速度与时间
8.
如图，某校科技小组计划利用已有的一
D. 车间计划加工800 个零件，加工时间与每
面长为15 m 的墙，用篱笆围一个面积为
天加工的零件个数
30 m²的矩形科技园 ABCD,设 AB 的长为
3.
已知x和y成反比例关系，当x=6 时，
x(m),BC 的长为y(m).
当 x = a +6 时,
则 a 的值
(1 )求y关于x的函数解析式和自变量x的
为
.
取值范围；
4.
( 宜春期末)已知函数
( 2)若想使此科技园的长比宽多7 m，分别求
它的长和宽.
(1 )若y是关于x的正比例函数，求m的值；
( 2)若y是关于x的反比例函数，求m的值，
并写出此时y与x的函数关系式.
y
第三章度比例函数| 学期5项：
题型49
反比例函数的增减性与对称性
上
午
09
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点的特征
题型48
反比例函数的概念
②函数的基础知识
(k 为常数,k≠0)
k>0
k<0
图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大
1.关于原点成中心对称
对称性
2.关于直线y =x 与y=- x 成轴对称
①在描述反比例函数的增减性时，必须限定在每一个象限内，因为函数在x =0 左右的突变，会导致
整个函数不是y随x的增大而减小( 或增大).因此不能根据
就简单地得出y₁<y₂( 或
必须清楚两点是否在同一象限内，再利用增减性解题.
②图象都关于原点成中心对称，如果点(m，n)在反比例函数的图象上，那么点(-m，-n)也一定在
反比例函数的图象上.
③如果点(m，n)在反比例函数的图象上，因为图象关于直线y=x对称，则点(n，m)也在图象上；又
因为图象关于直线y=-x对称，则点(-n，-m)也在图象上.
④利用反比例函数的对称性可以定位一些特殊点，再结合增减性，可以快速分析某些问题.
例1
反比例函数的增减性
(浙江中考)反比例函数
的图象上有 P (t, y₁), Q(t+4, y₂)两点.下列正确的选项是(
)
A.当t<-4 时,
B. 当-4<t<0 时,
C.当-4<t<0 时,(
D. 当t>0 时,(
学霸：5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2 反比例函数的对称性
已知反比例函数
的图象与正比例函数
的图象交于点A(x₁,y₁) 和点 B(x₂,y₂), 则
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
132
第三章
反比例函数1学霸5 星
是
美
1
1
1
题型训练
1
①建议用时:20 min
6.
( 杭州一模)已知反比例函数
1.
点
A(x₁,y₁),B(-1,2),C(x₂,y₂)
在
反
比
(a≠3), 点 M(x₁,y₁) 和 N(x₂,y₂) 是反比例
例函数
的图象上，下列结论正确
函数图象上的两点，若对于
的是
4，都有
则a的取值范围是
(
)
(
)
A. a <0 或2<a<3
B.0 <a<1
C.2 <a<3
D. a >3 或a<0
B. 若
则
C. 若
则
7.
如图，点 P(3a，a)是反比例函数
D. y随x 的增大而增大
0)与⊙O 的一个交点，图中涂色部分的面积
2.
已知正比例函数y = ax (a 为常数)与反
为10 π，则反比例函数的解析式为
.
比例函数
的图象交于点 A(2，m) 和点
B，则点 B 的坐标为
(
)
A. (-2, -4 )
B.(-4,-2
)
C. ( 2,-4 )
D.(-2,4
)
3.
(杭州一模)设反比例函数
(k 为常
( 第7 题)
( 第8 题)
数,k≠0). 已知当-6≤x≤-2 时,y的最大值为
8.
如图所示，已知函数
和
-1, 则当2≤x≤3 时,y的最大值为
(
)
的图象交于点A,B,AB=10,
过点 A 作 AE 垂
直于 x 轴于
A.3
B.2
C. 1
D.
点 E,AE = 4,
则 k₁ k₂ 的
值是
.
4.
已知点
Q(t,
9.
已知点M，P是反比例函数
y₂)三点均在反比例函数
的图象上，若
图象上两点，过点 M作MN⊥x轴，过点 P 作
PQ ⊥x轴,垂足分别为点N,Q.
为正数，则t的取值范围是
.
(1 ) 若
点 P 在第一象限内，点M
5.
( 长春期中)已知点A(m,y₁),B(n,y
₂)
的坐标为(1，2)，求点P的坐标；
在反比例函数
( k 为常数,k>0 )的图象
( 2) 若
求k的值；
上,若 mm<0, 且m+n >0, 下列结论一定正确
(3 )设点M( 1-2 n,y ₁),P(
2n+1, y₂ ),且
的是
(
)
y₂，求 n的取值范围.
D. 无法确定
的正负
学霸5星数学函数
—
—
—
—题型50
反比例函数中k的几何意义——单k模型
所需前置知识：
本书前置内容：
①图形的面积
题型49
反比例函数的增减性与对称性
②反比例函数的基础知识
①三角形
②矩形与平行四边形
③与正比例函数构成的三角形
④三角形与梯形
B
在反比例函数
图象上任取一点 P(x，y)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，构成矩形
的面积
(如②).同理，构成三角形的面积
(如①).
司
法
业
的
的
。
题型训练
建议用时:10 min
连接 AE,AD. 则四边形
1.
(榆树二模)如图,在▱ABCD中,AB∥x轴,
ODAE的面积为
(
)
点B，D在反比例函数
的图象上，若
A.6
B.9
C.3
D.27
□ABCD的面积是16,则k的值是
(
)
A.2
B.4
C. 6
D.8
3.
如图，在反比例函
数
的图象
上, 有点 P₁,P₂,P₃,
P ₄, …,Pn,它们的横坐
( 第1题)
( 第2 题)
标依次为1,2,3,4,
…,n,分别过这些点作x
轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积
2.
如图，点A 在反比例函数
的图象
从左到右依次为S₁,S₂,S₃,S₄,…,Sₙ,则.
上,AB⊥x 轴于点 B,AC⊥y 轴于点 C,OD=
的结果为
.
第三章
受比例函数(学霸5星)
题型51
反比例函数中k的几何意义——双k模型
所需前置知识：
本书前置内容：
①图形的面积
题型49
反比例函数的增减性与对称性
②反比例函数的基础知识
题型50
反比例函数中k的几何意义——单k模型
k₁,k₂ 同号
k₁,k₂ 异号
…
…
…
…
1
8
建议用时:10 min
上一点, 分别过点A 作AB⊥x 轴,AC⊥y
1.
( 长春期中)如图，
在平面直角坐标系中，
轴, 垂足分别为点 B,C,AB,AC 与
分别
点 O 为坐标原点，点A
交于点 D，E，若四边形ADOE的面积为4，则
在函数
的
图象上，点B 在函数
的图象
3.
( 广西中考)如图，过
上, 线段AB 与y 轴相交于点 C, 且AC=BC,
的图象上点 A，
连接OA,OB. 若△AOB 的面积为5, 则k 的值
分别作x轴、y轴的平行线
为
.
交
的图象于 B，D两
2.
反比例函数
和y=
点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD 被坐标轴
分割成四个小矩形，面积分别记为S₁，S₂，S₃，
k₂的图象如图所示，点A是
S₄, 若
则k 的值为
.
学霸|5星数学函数
87题型52
反比例函数与一次函数——图象共存问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①正比例函数的图象与性质
题型20
正比例函数的图象与性质
②一次函数的图象与性质
题型21
一次函数的图象与性质
③反比例函数的图象与性质
题型49
反比例函数的增减性与对称性
k>0, b>0
k>0, b<0
k<0, b>0
k<0, b<0
k为共同参数：
y= kx+b 与
b为共同参数：
y= kx+b 与
1. 若反比例函数与一次函数没有共同的参数，则根据条件与函数的性质判断图象位置.
2. 若反比例函数与一次函数有共同的参数，则该参数的正负必须在两个函数中保持一致.常用的方
法有：①对参数进行分类讨论，分析可能出现的图象；②对选项逐个分析，通过各自的图象得出参
数的范围，判断是否产生矛盾.
例
只有一个参数
(济宁一模)在同一平面直角坐标系中，反比例函数
与一次函数y = ax-a(a≠0)
的图象可能是
(
)
A
B
C
D
第三章反比例函数1学霸52°，
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
—
—
—
题型训练
建议用时:10 min
系中的图象可能是
(
)
1.
(青海中考)若ab<0，则正比例函数y =
ax与反比例函数
在同一平面直角坐标
系中的大致图象可能是
(
)
A
B
A
B
C
D
C
D
2.
(德州期末)在同一平面直角坐标系中，
4.
( 阜新期末)一次函数y = mx+n 与反比
y=(m-1)
x 与
的图象的大致位置不可
例函数
(m,n 为常数且均不等于0) 在
能的是
(
)
同一平面直角坐标系内的图象可能是(
)
A
B
C
D
A
B
3.
(阜阳期末)若 ab<0,则一次函数y = bx+
ab和反比例函数
在同一平面直角坐标
C
D
学霸|5星数学函数
—
—
—题型53 反比例函数与一次函数-----交点与不等式问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①一次函数的图象与性质
题型23
一次函数与方程(组)
②反比例函数的图象与性质
题型24
一次函数与不等式
③方程与不等式的相关知识
题型49
反比例函数的增减性与对称性
如图，一次函数y = kx+b 与反比例函数
相交于A(x₁,y₁), B (x₂, y₂) 两点.
①将点的坐标代入到函数解析式中，得到参数之间的关系式，可以
求解一些代数问题；
②根据数形结合的思想，kx+b 与
组成的方程或不等式，其解或解
集可由图象中交点的横坐标确定；
③联立y = kx+b 与
可构造一元二次方程
若题中
有( 或隐含)反比例函数与一次函数的交点个数的条件时，可以利用根的判别式进行求解.
例1
图象交点与不等式
在平面直角坐标系中，一次函数y =- x +3 的图象与反比例函数
的图象交于A (1, m),
B(n,1 )两点,则不等式
的解集为
(
)
A.0 <x<1 或x>2
B.1 <x<2
C. x<0 或1<x<2
D. x<0 或x>2
三步破题
第
步提取信息
育
步对应题型
第三章
度比例函数(学霸5 星)
第
步计算求解
例2 交点与代数问题
(徐州一模)已知直线y=2x-1
与反比例函数
的图象交点为(m，n)，那么代数式
mn²的值为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:20 min
1.
如图，已知一次函数y=x+b 与反比例函
2.
(温州模拟)一次函数y=x+b(b为常数)
数
的图象相交于点P (m,n),
则
与反比例函数
交于A，B两点，其
关于x的方程
的解是
(
)
中点 A 的坐标为(2,1 ), 点 C (a,y
₁ ),
D(a,y ₂)分别在该一次函数与反比例函数图
象上，若
则a的值可以为
(
)
A. - 2
C.
D. 1
学霸5星数学函数
3.
(阜阳二模)如图，在平面直角坐标系中，
长度后与反比例函数的图象有且只有一个公
共点，求m 的值.
函数
与y = x‐1
的图象交于点
P(a,b),已知
则k的值为
.
4.
(广安中考)如图,一次函数y = kx+b(k,
b为常数，k≠0 )的图象与反比例函数
6.
(赤峰中考)在平面直角坐标系中，对于
点M ( x₁, y₁),给出如下定义:当点 N ( x₂,
(m为常数，m≠0)的图象交于A，B两点，点
y ₂),满足.
时,称点 N 是点 M 的
A 的坐标是(-8,1
), 点B  的坐标是(n,-4 ).
等和点.
(1 )求一次函数和反比例函数的解析式；
(1 )已知点M( 1,3 ), 在N₁(4,2 ), N₂( 3,-1 ),
( 2)根据函数图象直接写出关于x 的不等式
N₃(0,-2 )中,是点M 等和点的有
;
的解集.
( 2)若点 M( 3,-2 )的等和点 N 在直线y = x+
b上，求b 的值；
(3 )已知，反比例函数
和直线
满足
的x 的取值范围是x >4 或-2<x<
0.若点 P 在反比例函数
的图象上，点P
的等和点 Q 在直线
上，求点 P  的
坐标.
变式
巧用根的判别式
5.
(广州期中)如图，一次函数
的
图象与反比例函数
(k为常数,且k≠0)
的图象交于A(-2,b),B 两点.
(1 )求反比例函数的解析式；
( 2)若将直线 AB 向下平移m(m> 0)个单位
第三章反比例函数| 分霸5 星|
—
—
—
—
题型54
反比例函数的应用——实际问题
所需前置知识：
本书前置内容：
反比例函数的相关知识
题型48
反比例函数的概念
题型49
反比例函数的增减性与对称性
在实际生活与生产中，如果有两个量成反比例关系，那么可以建立反比例函数模型，利用反比
例函数的相关知识解决实际问题，通常步骤如下：
①找出成反比例关系的两个变量；
②设出反比例函数解析式
③根据题意找出一组对应值，代入求出k 的值；
④根据解析式解决实际问题(求变量值、判断取值范围等).
注意事项：①自变量的取值范围需符合实际意义；②保证变量的单位在运算时正确.
例电功率问题
在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t(单位：h)
是充电功率P (单位：kW )的反比例函数，其图象如图所示.若该新能源电动车每次充满电需要
4~5 h，则充电时的充电功率范围是
(
)
60 充电功率P/kW
A.15~ 20 kW
B.15 kW 以内
C. 12~15 kW
D. 12 kW 以上
三步破题
第
步提取信息
3
全
第
步对应题型
à
141
学霸| 5 星数学函数
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
,
答案D52
建议用时:25 min
箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y
1.
(德州一模)小明查阅资料，发现近视眼
(单位：个，y>0)与每个包装箱的实际装载质
镜的度数D (单位：度)是关于镜片焦距f ( 单
量x (单位：kg)成反比例关系.当使用40 个包
位：米)的反比例函数，其函数图象如图所
装箱时，每个包装箱的实际装载质量为
示，已知500 度近视眼镜的镜片焦距为
30 kg，且每个包装箱的最大安全装载质量为
0.2 米.若小明同学眼睛的近视度数不超过
40 kg.
250 度，则下列说法正确的是
(
)
(1 ) 求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变
量x 的取值范围；
A. 小明的镜片焦距应不小于0.4 米
( 2)该企业每次运输这批配件的总运输费用
B. 小明的镜片焦距应不小于2.5 米
由两部分组成：一是固定运输费800 元，二是
C. 小明的镜片焦距应不大于0.4 米
按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的
D. 小明的镜片焦距应大于0.4 米
耗材费为15 元.若某次运输的总费用不超过
D/度
1550 元，求每个包装箱的最少装载质量.
( 第1题)
( 第2 题)
2.
火力发电厂的大烟囱叫双曲线冷却塔，
它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边
形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x
轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的
平面直角坐标系，DE，CF分别是两个反比例
函数图象的一部分, 已知AB=88 m,BC=
20m，上口宽EF = 16m，则整个冷却塔高度
为
 
 
 m.
3.
某军工企业需向阅兵训练基地运送一批
高精度装备配件.运输时，配件需用专用包装
第三章反比例函数|学霸5星?
(3 )有一天,小明在上午7:20( 水温20℃).
变式
多个函数图象组合
开机通电后去上学，11：
33 放学回到家时，饮
4.
(深圳二模)如图①是某款煮茶壶，开机
水机内水的温度为多少? 并求在7：20 ~
加热4m in将水均匀加热至100 ℃后停止加
11：33 这段时间里，水温共有几次达到
热，随后水温开始下降，此时水温y(℃)与启
100 ℃?
动加热后通电时间x(min)成反比例函数关
系.当水温降至.
时启动保温功能.图②
是启动煮茶壶过程中，水温y(℃)与通电时
间x(min)之间的函数关系图，则下列说法错
误的是
(
)
6.
(济南期中)研究发现：初中生在数学课
上的注意力指标随上课时间的变化而变化，
①
②
上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段
A. 水温在启动加热到100 ℃的过程中，y与
时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始
x的函数解析式是y= 20x+20( 0≤x≤4)
分散，注意力与时间成反比例关系降回开始
B. 在通电启动加热开关8 min 时，喝到的茶
时的水平.学生注意力指标y随时间x(min)
水为50 ℃
变化的函数图象如图所示.
C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低
(1 )求反比例函数的解析式，并求点 A 对应
于50 ℃的时间为7 min
的指标值；
D. 在通电启动加热开关11 min 后，喝到的茶
( 2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题
水的温度为40 ℃
需要15 min，他能否经过适当的安排，使学生
在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于
5.
如图所示，小明家饮水机中原有水的温
36?请说明理由.
度是20℃，开机通电后，饮水机自动开始加
热，此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)
满足一次函数关系.当加热到100 ℃时自动
停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温
y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系.当水
温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……
不断重复上述程序.根据图中提供的信息，解
答下列问题：
(1 ) 当0≤x≤5 时,求水温y(℃)与开机时间
x(min)的函数解析式;
(2)求图中t的值；
学霸|5星数学函数
(()
题型55
反比例函数的应用——跨学科问题
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
反比例函数的相关知识
题型48
反比例函数的概念
题型49
反比例函数的增减性与对称性
反比例函数的核心特征是两个量的乘积为定值，这一规律在物理、化学、生物等多个领域中广
泛出现，比如：
欧姆定律
压强公式
密度公式
玻意耳定律
杠杆平衡条件(动
力×动力臂=阻力×阻力臂)等等.
注意事项：①物理公式适用的前提条件；
②变量的取值范围需满足实际意义；
③物理量的单位符合公式运算要求.
例
压强一体积关系(玻意耳定律)
(临沂一模)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对
汽缸壁所产生的压强p( kPa )与汽缸内气体的体积V( mL )成反比例，p 关于 V 的函数图象如图所
示.若压强由75 kPa 加压到100 kPa，则气体体积压缩了
(
)
100 V/mL
A. 10mL
B.15 mL
C. 20 mL
D.25 mL
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第三章度比例函数1学例5 星：
步计算求解
建议用时:25 min
1.
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫
木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木
板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的
ρ(g/cm³)
压强p( Pa)与木板面积S ( m²)满足反比例函
A. 当液体密度
时，浸在液体中的
数关系，它的图象如图所示，当压强p( Pa ) 是
高度h≥20 cm
4 800 Pa 时,木板面积为
(
)
B. 当液体密度
时，浸在液体中的
A.0.125 m²
B. 0.25 m²
高度h= 40 cm
C.0.5 m²
D. 1 m²
C. 当浸在液体中的高度0<h ≤10 cm 时,该
液体的密度
D. 当液体的密度(0<ρ≤1 g / cm³日
时，浸在液体
中的高度.
4.
( 第1题)
( 第2 题)
物理学中电磁波的波长λ(m)会随着电
2.
如图，根据小孔成像的原理，当像距(小
磁波的频率f( MHz)的变化而变化.已知波长
孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变
λ与频率f 是反比例函数关系，如表是它们
时，火焰的像高y(单位：cm)与物距(蜡烛到
的部分对应值.若f = 75 MHz，则电磁波的波
小孔的距离)x (单位：cm)成反比例关系，已
长λ =    m.
知当x = 4 时,y = 2.5, 则当x = 10 时,y 的值为
频率f/ MHz
10
15
50
(
)
波长λ/ m
30
20
6
A.10
B.2.5
C.4
D.1
3.
( 襄阳二模)综合实践小组的同学利用
5.
(平顶山一模)密闭容器内有一定质量
自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在
的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m³) 变
不同的液体中时，浸在液体中的高度h( cm)
化时，气体的密度ρ(单位：kg/m³)随之变化.
是液体的密度ρ( g/ cm³)的反比例函数，其图
已知密度ρ 与体积V 是反比例函数关系，它的
象如图所示(ρ> 0).下列说法正确的是
图象如图所示，当V=5 m³时,ρ=1.98 kg/ m³.
(
)
(1 )求密度ρ 关于体积V 的函数解析式；
学霸|5星数学函数
(2)若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化
(3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为y=2，
范围.
淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说
p(kg/m³)
明理由.
7.
实践活动：确定LED 台灯内滑动变阻器
的电阻范围.
素材1：某厂家设计的一款亮度可调的LED
台灯，图①为对应的电路图，电源两端的电压
保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R₂来
调节亮度，电流I 与总电阻R 成反比例，其中
已知
实验测得当
6.
如图，利用秤杆研究杠杆原理.用细绳绑
10 Ω时,I=0.4 A.
在秤杆上的点 O 处并将其吊起来，在点 O 右
素材2：图②是该台灯电流和光照强度的关
侧的秤钩上挂一个物体，在点 O 左侧的秤杆
系.研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在
上有一个动点 A(OA 最长为80 cm), 在点 A
300~750 lux 之间(包含临界值).
处用一个弹簧秤向下拉.当秤杆处于水平状
(1 ) 求I 关于R的函数解析式；
态时，分别测得弹簧秤的示数y(单位：N) 与
( 2)为使得光照强度适宜人眼阅读，确定 R₂
OA 的长度x (单位：cm)的五组对应值如表
的取值范围.
所示.
①
x/ cm
10
20
30
40
50
y/ N
24
12
8
6
4.8
(1 )由表格中数据判断y与x之间是什么函
数，并求y关于x的函数解析式与x的取值
范围；
( 2 )当OA 的长度为60 cm时,求弹簧秤的
示数；
第三章反比例函数|学霸5星：
11
题型56
反比例函数与几何——面积问题
所需前置知识：
本书前置内容：
①反比例函数的相关知识
题型21
一次函数的图象与性质
②三角形、四边形的相关知识
题型49
反比例函数的增减性与对称性
③全等、相似的相关知识
反比例函数与几何图形的面积问题，通过设点坐标，用代数方法(割补法、铅垂法等)表示几何
图形的面积，也可以利用系数k的几何意义，通常包括：
①已知面积的值，求满足条件的点的坐标；
②已知图象面积或线段长度间的数量关系，求满足条件的点的坐标.
例
面积比例问题
(泸州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y= kx+b 与x 轴相交于点A(-2，0)，与
反比例函数
的图象相交于点 B(2,3 ).
(1 )求一次函数和反比例函数的解析式；
( 2) 直线x= m( m>2 )与反比例函数
和
的图象分别
交于点C，D，
且
求点 C 的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
的
人
的
…
…
…
…
题型训练
答案D54
©
建议用时:25 min
(2)设点D为y轴上一点，线段BD的垂直平
1.
如图，一次函数y=x+4的图象与反比例
分线正好经过点A，求点D的坐标；
(3)点P 为反比例函数位于第三象限图象上
函数
(k为常数，且k≠0)的图象交于
的一点,连接AO,PO,AP,若△AOP 的面积为
A(-1,a),B(b,1) 两点, 与x 轴交于点C.
，求点 P 的坐标.
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且
求点
P 的坐标.
2.
( 成都一模)如图，在平面直角坐标系
xOy中，一次函数
的图象与反比例
函数
的图象相交于A(a,3),B两点.
(1)求反比例函数的解析式及点 B的坐标；
第三章
反比例函数1学霸5星：
4.
(济南二模)如图，在平面直角坐标系
3.
如图，一次函数
的图象与反比
中，直线l分别与x轴、y轴交于
B
例函数
的图象相交于A，B两点
两点，与反比例函数
的图象交于
( 点A 在点B 的左侧).
点 C(1,m).
(1)若点 A 的纵坐标为7，求点 B的坐标；
(1)求m和直线l的解析式.
(2) 若
时，求反比例函数的解
(2)点P 在直线l下方且在反比例函数
析式；
的图象上，连接CP.
(3)连接BO 并延长，交反比例函数的图象于
①如图①,延长CP交x轴于点 D,当△ABO
点C, 连接AC 交 y 轴于点 D, 若
求
和△ACD相似时，求点 P 的坐标；
②如图②, 连接 PA,PO,CO, 当
△ABC的面积.
时，求点P 的坐标.
学霸|5星数学函数
题型57
反比例函数与几何——线段问题
—
—
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①反比例函数的相关知识
题型21
一次函数的图象与性质
②三角形、四边形相关知识
题型49
反比例函数的增减性与对称性
③全等、相似的相关知识
反比例函数背景下的线段问题，需要利用相似三角形进行转化，设点坐标将几何问题转化为
代数运算，通常涉及：
①已知线段间的数量关系，求点的坐标；
②证明线段的和、差、积、商是否为定值.
例
线段和差定值问题
如图，已知直线y=0.5x-3
交反比例函数
的图象于点A(a,2),G, 交
y轴于点B，点C是线段AB上的动点(点C不与点A，B重合)，CD平行于y轴
交反比例函数于点 D,AD=AC.
(1 )求反比例函数的解析式；
(2)点T在双曲线第一象限内(不同于点A,D),直线 TA,TD 分别交y轴于点 E,F,请判断OF-OE
是一个定值吗?若是，请求出这个定值；否不是，请说明理由.
。三步破题
第
步提取信息
1
第
步对应题型
第
步计算求解
第三章反比例函数|学霸5星个
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
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…
…
…
…
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…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
自
己
题型训练
建议用时:30 min
2.
如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线
1.
(济南期末)如图,一次函数y = x +m( m>
y=2 x +1 与反比例函数
的图象交于
0)的图象与反比例函数
的图象交于点
A(-2,m),B 两点, 与x 轴交于点 C.
(1 )求反比例函数的解析式；
A，B(点A位于第三象限)，且一次函数的图
( 2)如图②，点P 为反比例函数图象上任意
象与x轴、y轴分别交于点 C，D.
一点(不与点A,B重合).直线 PA 与 x 轴、
(1 ) 当m= 1 时,
y轴分别交于点 M，N，直线 BP 分别与x轴、
①求点C,D 的坐标;
y轴交于点 E,F.试判断 ME•FN 是否为定
②求线段BC的长.
值.若是，求出该值；若不是，请说明理由.
(2) 若
求 m的值.
学霸|5星数学函数
4.
如图，一次函数
的图象与坐标
3.
( 成都期末)如图，在平面直角坐标系
轴相交于点
和点 B，与反比例函数
xOy 中, 点A 的坐标为(-3,0), 点B(m,4) 在
相交于点 C(2,m).
反比例函数
的图象上.连接 AB，且
(1 )求出一次函数与反比例函数的解析式；
( 2)如图①，若点 D 是反比例函数
(1 )求k的值;
( 2)平移线段AB，使得点A的对应点 C落在
0)图象上的一点，连接CD并延长，交x轴正
半轴于点 E，若
求△COD 的
反比例函数
的图象上，点B的对应点 D
面积；
落在x轴上.连接AC,BD,求四边形ACDB 的
(3 )如图②，在(2 )的条件下，F为反比例函
面积；
数
图象上一动点(不与点C，D重
(3 )在反比例函数
的图象上取一点 E，
合), 连接CF,DF,CF 分别与x 轴、y 轴交于
且 E 在直线 AB 的下方.设直线 AE 与直线
点M,P,DF分别与x轴、y轴交于点 N,Q,试
OB 相交于点 F, 当AF=2EF 时, 求满足条件
探究
是否是定值.如果是定值，请求出定
的点 E 的坐标.
值；如果不是，请说明理由.
第三章反比例函数|学霸5星|
其
题型58反比例函数与几何——角度问题
的
人
的
所需前置知识：
本书前置内容：
①反比例函数的相关知识
题型21
一次函数的图象与性质
②三角形、四边形相关知识
题型49
反比例函数的增减性与对称性
③全等、相似的相关知识
反比例函数背景下的角度问题，通常为已知角度之间的关系，求点的坐标，步骤为：
①将几何图形中的关键点用坐标表示；
②将角条件翻译为代数关系；
③建立方程求解.
例
已知平分角求坐标
(济南一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6 的图象与反比例函数
的图象
交于点A(4，a)，与y轴交于点B，经过点A，O的直线与反比例函数
的图象在第三象限交于点
C,△AHC 是以 AC 为斜边的直角三角形.
(1 )求反比例函数的解析式；
(2)如图,若AH平分∠BAC,求点 H的坐标.
? 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
—
—
—
—
—
—
—
题型训练
建议用时:30 min
2.
( 重庆一模)如图，在平面直角坐标系
1.
(景德镇期中)如图，直线y=mx+n分别
中，直线l与反比例函数
的图象
与x 轴、y 轴交于点A(-2,0),B(0,4), 与反
交于点C(1,m), 与x 轴交于点A(-1,0), 与
比例函数
的图象交于点 C，过点
y轴交于点 B.
C 作 CD⊥y轴,垂足为点 D.
(1 )求直线l的函数解析式；
(1 )求直线AB的解析式；
( 2)点P是直线l下方、反比例函数
( 2) 若
求k的值；
0) 图象上一点, 连接 PA,PC, 当
(3 ) 在(2)的条件下,过点 B 作BE∥x轴,交
4S△AOB时,求点 P 的坐标;
反比例函数图象于点 E，连接CE，若点 M 在
(3 ) 在(2)问求出点 P的条件下，将点 A 向左
x轴上且满足∠BEM=∠BEC，请直接写出点
平移3 个单位长度得到点 N'，连接N'B，点M
M 的坐标.
是y轴上一点,且∠MN'B=∠PAO,请求出所
有符合条件的点M的坐标.(选一种情况写
出解答过程)
第三章
反比例函数|学霸5星?
4.
已知反比例函数
的图象与
3.
如图，在平面直角坐标系中，直线y=
正比例函数y=x的图象交于点A(2，a)，点
与反比例函数
的图象交于
M 在线段 OA 的延长线上.
A，B两点，与y轴和x轴分别交于点 C 和点
(1 )求反比例函数的解析式和a的值；
D, 其中点B 的坐标为(-4,-b), 点M 在反比
( 2) 如图①, 过点 M 作x 轴的平行线l,l 与
例函数图象上.
的图象交于点 C，与y轴交于点
(1 )求点A 的坐标及反比例函数的解析式.
( 2)若点 M 在点 A 的右侧,过点 A 作 AN⊥x
B，当线段
时，求点 C的坐标；
轴，垂足为 N，若
求 AM
(3 ) 在(2 )的条件下,如图②,连接 CA 并延
的长.
长，与x轴交于点 D，点G 为x轴上一点，且
(3 ) 是否存在一点M, 使得∠MBA=2∠CDO?
满足∠AGO=∠ADO-∠OMB, 求点 G 的坐标.
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明
理由.
第三章反比例函数|学霸5星；
…
…
…
…
…
.
题型训练
建议用时:30 min
2.
( 成都模拟)如图，在平面直角坐标系
1.
( 济南中考)已知反比例函数
中，直线y=ax+2 与反比例函数
的图象
0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象
相交于A(1,3a),B(b,-1) 两点, 与y 轴交于
交于点A(2,a),点B 是线段OA 上(不与点A
点C.点D，E是第一象限内反比例函数图象
重合)的一点.
上的两点，且点E位于点A，D两点之间.
(1)求反比例函数的解析式；
(1) 求a,b 和k 的值.
(2)当△ACD面积为3时,求点 D的坐标.
(2)如图①，过点B作y轴的垂线l，l与
(3)将△ADE 沿着射线AB的方向平移后得
(x>0)的图象交于点 D,当线段 BD=3时,求
到△A' D' E', 当 AE = DE 时, 是否存在
点 B 的坐标；
△A'D'E'两顶点同时落在反比例函数图象上?
(3)如图②,将点 A 绕点 B 顺时针旋转90°得
若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明
理由.
到点 E，当点 E 恰好落在
的图象
上时，求点 E 的坐标.
②
学霸| 5星数学函数
4.
( 成都二模)如图(1)，在平面直角坐标系
3.
( 济南一模)将一副三角板按图①方式
xOy 中, 直线y = x+ b 与y 轴的交点为A(0,
摆放在平面直角坐标系xOy中，含30° 角的
4)，与反比例函数
的图象的一个交点为
三角板 OAB 的直角边 OA 落在 y 轴上,
B(a,2).
∠BOA=30 ° ,含45° 角的三角板 OAC 的直角
(1) 求k 的值;
顶点 C 的坐标为(2，2)，反比例函数
(2)过点 B 作直线 BC 交反比例函数
的
的图象经过点 C.
图象于点C( 异于点B)，交y 轴于点 D，连接
(1 )求反比例函数的解析式.
AC,若△ACD的面积为4, 求点 C 的坐标;
( 2)将三角板 OAB 绕点 O 顺时针旋转90°
至△OA₁B₁.
(3)将反比例函数
的图象沿直线
①如图①，点D为三角板AB边上一点，旋转
AB 翻折得到如图②所示的曲线l，若点 P 为
后点 D 的对应点 D₁ 恰好落在反比例函数图
线段OA上的一点，作直线 BP 交曲线l于另
象上，求旋转前点 D 的坐标；
一点Q, 当BP=2PQ 时, 求点P 的坐标.
②如图②，若将三角板AOC绕点 O 顺时针旋
转至△A₂OC₁, 使点 C₁ 落在边 OB₁ 上, 请判
断点A 旋转后的对应点 A₂ 是否在反比例函
数图象上，并说明理由.
第三章反比例函数|学霸5星。
题型60
上
反比例函数与几何——最值问题
1
所需前置知识：
本书前置内容：
①反比例函数的相关知识
题型14 平面直角坐标系与几何——最值问题
②三角形、四边形相关知识
题型21
一次函数的图象与性质
③全等、相似的相关知识
题型49
反比例函数的增减性与对称性
反比例函数中的最值问题，通常包括：
①将几何最值问题转化为代数最值问题(通常是二次多项式)；
②通过对称变换转化为“两点之间线段最短”等公理.
例求线段和的最小值
(成都期中)如图，一次函数
的图象交x轴、y轴于A，B两点，与反比例函数
0，
x>0)的图象在第一象限内交于点 C，AB=BC，在x轴的正半轴上有一
点D,且OD=3OA,连接CD.
(1)求点 C的坐标和反比例函数的解析式；
(2)点E 是线段AC上的一点,点 F 是x轴上的一动点,连接DE,EF,
CF,其中
求出△EFC周长的最小值及此时点 F的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
的
的
位
置
的
的
的
。
题型训练
建议用时:25 min
象与x轴交于点 C.
1.
( 济南期中)如图①，在平面直角坐标系
(1) 求a,b,k 的值;
中，一次函数
的图象与反比例函数
(2)如图①，点D 是第二象限内反比例函数
图象上一动点，连接 OD，CD.当
的图象交于点 A 和点 B，点A的坐标为
时，求点D 的坐标；
(-1，5)，点B 的横坐标为5，一次函数的图
(3) 如图②, 在(2) 问的条件下, 点E,F 均为
第三章反比例函数|学霸5星：
x轴上的动点,且点 E 在点 F 的左侧,EF=1.
3.
如图①,直线AB:y= kx+b的图象与反比
求 DE+EF+FB 的最小值.
例函数
的图象相交于点 A(2，
2), 点B(1,n).
(1)求一次函数的解析式；
(2)点 P 为 y轴上一点,若
求点 P
的坐标；
(3) 如图②, 在 OB 延长线上取一点 E, 使
②
过点 E 作 EC∥AB 交反比例函数
图象于点 C(在E 点右侧).在x轴正半轴有
两个动点M，N，满足
求
的
最小值.
2.
( 成都期末)如图，在平面直角坐标系
中，直线
与反比例函数
0) 的图象相交于M(m,2),N(4,n) 两点, 连
接OM,ON.
①
(1 ) 当b=3 时, 求
的面积；
(2)如图，过点M作x轴的平行线，过点N作
y轴的平行线，两线相交于点 P，若将△PMN
沿MN翻折后，点P恰好落在x轴上，求b的
值和反比例函数的解析式；
(3 ) 在(2)的条件下，若点 Q是平面内一点，
且它的纵坐标为
连接MQ,PQ, 求
的
最大值.
学霸|5星数学函数
。
题型61
反比例函数与几何——存在性问题
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①反比例函数的相关知识
题型15
平面直角坐标系与几何——存在性问题
②三角形、四边形相关知识
题型21
一次函数的图象与性质
③全等、相似的相关知识
题型49
反比例函数的增减性与对称性
反比例函数背景下的存在性问题，在给定的条件下，判断满足某种特殊几何关系(如等腰三角
形、直角三角形、平行四边形、全等三角形、相似三角形等)
的点是否存在，并求出其坐标.通常包括：
①等腰三角形存在性：已知两点，求第三点使三点构成等腰三角形；
②直角三角形的存在性：利用垂直关系或勾股定理；
③平行四边形(包括矩形、菱形等)存在性：利用中点公式或对边平行且相等；
④相似三角形存在性：利用对应边成比例.
例
三角形的存在性问题
(泉州期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点A，Cy'
在坐标轴上，反比例函数
在第一象限内的图象分别与AB，BC交于点
D(4,1 )和点E,且D为AB的中点.
(1 )求反比例函数的解析式和点 E 的坐标.
(2 )x轴上是否存在点 P使得△PDE 为等腰三角形?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明
理由.
cẹ? 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第三章反比例函数|学霸5星|
…
…
…
…
1
1
题型训练
建议用时:45 min
2.
如图, 已知直线l:y= mx-m(m>0) 交反
1.
( 绵阳中考)如图，在平面直角坐标系
比例函数
的图象于A，B两点(点
中，正比例函数y=mx(m≠0)的图象与反比
A 在点B 右侧),交x轴、y轴于点 C,D.点 E
例函数
的图象交于A(-2,m-
为反比例函数
第一象限图象上
9)，B两点，点C在反比例函数的图象上，且
在第一象限内点 B 的右侧，连接 BC，OC，
一点.若点 D 在y轴负半轴，点E 在直线l上
△BOC的面积为5.
方，
(1 )求点 A，B的坐标及反比例函数的解
(1 )求直线l和反比例函数解析式；
析式.
( 2)若△ABE的面积等于15, 求点 E 的坐标;
(2)探究在x轴上是否存在点 M，使得以点
(3 )点P为直线l上的一动点，在反比例函数
O，C，M，N为顶点的四边形为菱形?若存在，
求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.
图象上存在一点Q.当以O，D，P，Q为顶点的
四边形是平行四边形时，直接写出点 Q 的
坐标.
学霸|5星数学函数
变式
相似与存在性问题
4.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函
3.
(济南一模)如图，过原点 O的直线与反
数
的图象分别与x轴、y轴
比例函数
的图象交于A，B两点.
交于点C，D，与反比例函数
的图象交
一次函数y= mx+b(m≠0)的图象过点 A与
于点A(6,-1) 和点 B(m,3).
反比例函数交于另一点 C，与x轴交于点M，
(1 )求一次函数和反比例函数的解析式.
其
中
A(-2,1),C(-1,n).
( 2) 点E(-6,n) 是反比例函数
图象上
(1 )求反比例函数
和一次函数y= mx+b
一点,连接BE,CE,求△BCE的面积.
的解析式.
(3 )点P 是坐标轴上的点，点Q 是平面内一
(2)求△AOM的面积.
点，是否存在点 P，Q，使得四边形ABPQ 是矩
(3 )连接BC，在直线AC上是否存在点 D，使
形?若存在，请直接写出所有符合条件的点
以O,A,D 为顶点的三角形与△ABC 相似?
P的坐标；若不存在，请说明理由.
若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，
请说明理由.
第三章反比例函数|学霸5星
5.
已知一次函数
的图象与反比例
6.
如图，直线y=-x+b与反比例函数
函数
的图象交于点A(-3,m),B(1,
的图象相交于A，B两点，点A的坐标为(-2，
与x轴交于点 C.
3)，点P是x轴负半轴上的一点.
(1 )求一次函数和反比例函数的解析式.
(1 )求直线和反比例函数的解析式.
( 2) 连接AP,BP,OA,OB, 若
(2)若点P在y轴上，且满足
求点 P 的坐标.
求点 P 的坐标.
(3 )我们把能被一条对角线分成两个全等直
(3 )我们将有一个内角为45°的三角形称为
角三角形的四边形叫作“绣湖四边形”.在
“半直角三角形”，这个
45°角所对的边为“半
( 2)的条件下，平面内是否存在点Q，使得以
直角边”.反比例函数
在第四象限的图
A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形?
若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，
象上是否存在点 Q，使得△OBQ 是不以OB
请说明理由.
为“半直角边”的“半直角三角形”?若存在，
请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
165
学霸|5星数学函数
—
—
题型62
类反比例函数图象的性质探究
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①反比例函数的相关知识
题型6
平移中的坐标变化
②坐标系中的平移
题型48
反比例函数的概念
题型49
反比例函数的增减性与对称性
类反比例函数就是由反比例函数
经过平移(左右、上下)得到的，解析式为
如图所示为
通过向右平移1 个单位长度、向上平移2 个单位长度后，得到新函数
2的过程.处理此类问题时，通常从对称中心的平移入手，建立新的函数图象.
例
反比例函数图象的平移
将反比例函数
的图象向右平移1 个单位长度，可以得到函数
的图象.下列关于函
数
的说法中，正确的是
(
)
A. 图象交y 轴于点(0,3)
B. 图象关于点(0，1)对称
C. 图象关于直线y=x-1 对称
D. 图象上任取两点( x₁,y₁),( x₂,y₂),若
则
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第三章反比例函数|学霸5星
的
人
的
1
1
题型训练
©
建议用时:10 min
这个函数的性质正确的有：
.
1.
如图是函数
的图象，下列说法
①该函数图象与y 轴的交点坐标是(0，6)；
②该函数图象是中心对称图形，对称中心是
正确的有
(
)
①当x >0 时,y 随x 的
(-1, 0);
③该函数图象关于直线y =x-1 对称；
增大而减小；
④当x<0 时，y随x的增大而减小.
是由
( 2)在图中画出函数
的图象，根据
先向左平移2 个单位长
图象写出其两条不同类型的性质：
度，再向上平移1 个单
位长度得到的；
.
与直线x =2 没有交点；
④若y = kx-k的图象与
的图象只
有1 个交点,则k =-1 或0.
A. ③
B. ②③④
C. ③④
D. ①②③
问题解决
2.
我们研究反比例函数图象平移后的
(3 )若函数
的图象可以由函数
性质.
初步探究
的图象通过平移得到，则k的值为
.
深入思考
(1 )将反比例函数
的图象向右平移1 个
(4) 当a>0 时，对于任意正数k，方程
单位长度，可以得到函数
的图象，关于
均无解，则a，b，k满足的数量关系为
.
第四章二次函数|学霸5星?
第
步计算求解
例2 根据二次函数的概念求参数
若
是关于x的二次函数，则a的值是
.
? 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
的
的
的
的
。
的
建议用时:10 min
1.
下列函数：①y=x²; ②y=x²+1; ③y=(x+
5.
如图，矩形的长是4 cm，宽是3cm，如果
将其长与宽各增加 x cm，那么面积增加
y cm².
为常数)；
其中是二次函数
(1 )写出y与x的函数关系式，并判断上述函
的有
(
)
数是什么函数?
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
( 2)若要使得y≥8，求自变量x的取值范围.
2.
(绍兴期中)若关于x的函数
xcm
x是二次函数，则a的取值范围为
(
)
A. a≠0
B. a≠4
C. a<4
D. a >4
3.
已知二次函数
它的二次项
系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则y=
为
.
4.
(南阳期末)已知二次函数
的常数项为零，则m的值为
.
学霸|5星数学函数
—
—
题型64二次函数的增减性与对称性
所需前置知识：
本书前置内容：
①平面直角坐标系中点到直线的距离
题型7
轴对称中的坐标变化
②平面直角坐标系中点的对称
题型63
二次函数的概念
a>0
a <0
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
顶点坐标
当
时，y随x的增大而减小；
当
时，y随x的增大而增大；
增减性
当
时，y随x的增大而增大
当
时，y随x的增大而减小
已知二次函数
当x<m 时，y随x的增大而减小
且a >0
①利用二次函数增减
当x >m 时，y随x的增大而增大
且a >0
性求参数值或取值
范围
当x<m 时，y随x的增大而增大
且a <0
当x >m 时，y随x的增大而减小
且a <0
②利用对称性求参数
二次函数图象上有两点A(x₁,y), B (x₂,y)
数形结合：当a>0时，离对称轴距离越远，函数值越大；
③比较二次函数值的
当a <0时，离对称轴距离越远，函数值越小
大小
对称性转化：利用对称性将几个点转化到对称轴同一侧，再利用二次函数
增减性比较函数值大小
第四章二次函数|学霸5星：
例1
利用二次函数增减性求参数取值范围
(三明中考)已知二次函数
当x >1 时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的
取值范围是
(
)
A.b≥-1
B.b≤-1
C. b≥1
D. b≤1
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
比较二次函数值的大小
(佛山模拟)若点(0, y₁),( 2, y₂),( 3, y₃)都在二次函数
的图象上，则
(
)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
题型训练
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
建议用时:20 min
1.
( 榆林模拟)已知二次函数
变式
构造对称点求参数
b(a，b为常数，a≠0)，若其图象上有两点
7.
( 宁波期中)已知二次函数y =a(x-
A(m-1,n),B(
m+1,n), 则m 的值为(
)
m)( x+m-4)+3(a≠0) 的图象上有两个点
A.-6
B.-4
C.3
D.-3
A(x ₁, y ₁), B ( x₂, y₂ ), 其中
，则下列说法
2.
( 西安模拟)已知抛物线
中正确的是
(
)
c( a>0) 的自变量x₁, x₂, x₃ 对应的函数值分
A. 若
则
别为y₁, y₂, y₃.当
时，
B. 若
则
y₁, y₂, y₃ 三者之间的大小关系是
(
)
C. 若
则
D. 若
则
3.
( 咸宁中考)已
知
点
A(-1,m),B(1,m),
8.
( 安庆模拟)已知抛物线
C(2,m-n)(
n>0)在同一个函数的图象上,这
8a
(a≠0).
个函数可能是
(
)
(1)求该抛物线的对称轴；
A. y =x
(2)若抛物线经过.P ( x₁, y₁), Q( x₂, y₂ ) 这两
个不同的点，当
时，总有
y₂，求满足条件的m 的取值范围.
4.
已知抛物线
过点
其中
若m <n，则下列式子中一定正确
的是
(
)
5.
( 杭州期中)已知抛物线
为常数)，点P (m,s),
Q( m+2, s), N (2, t) 在
抛物线上，且满足s<t<3，则m 的取值范围是
(
)
A. m>2
B. m<2
C. m>-2
D. m<-2
6.
已知P ( x₁, y₁), Q( x₂, y₂ ) 是抛物线y =
上的任意两点，若对于-2<
都不存在
的情形，则m
的取值范围是
.
第四章
二次函数：学霸5星：
—
—
—
—
—
—
题型65
利用待定系数法求二次函数的解析式
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
解三元一次方程组
题型63
二次函数的概念
题型64
二次函数的增减性与对称性
二次函数解析式常见形式
适用场景
①一般式
(a,b,c 是常数,a≠0)
已知抛物线上三点坐标
②顶点式
(a,h,k 是常数,a≠0),其
已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大
中(h，k)为顶点坐标
( 小) 值
(a 是常数,a≠0),其中
③交点式
已知抛物线与x轴的两个交点的坐标
x₁，x₂ 是二次函数图象与x轴的交点
设特殊二次函数解析式的技巧：
当抛物线的对称轴是y轴时，解析式可设为
当抛物线经过原点时，解析式可设为
当抛物线顶点在x轴时，解析式可设为
例1
利用一般式求二次函数解析式
已知二次函数的图象过点A(2，0)，B(1，2 )，与y轴正半轴交于点 C，且OC=2，则此二次函数
的解析式为
(
)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
例2
利用顶点式求二次函数解析式
若抛物线的顶点坐标为(2，-5)，与y轴相交于点(0，-9)，则该抛物线的解析式为
(
)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例3 利用交点式求二次函数解析式
(德州期中)抛物线
与x轴的两个交点为(-1，0)，(2，0)，其形状和开口方向与抛
物线
相同，则抛物线
的解析式为
(
)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章
一次回致|
了期望|
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
—
—
…
…
①建议用时:25 min
互为“反顶点抛物线”，且抛物线
点A(-1,m)和点 B(2,1)均落在抛物线
的顶点在
上，那么k的值
1.
(a为常数，且a≠0)上，则m的值为
是
.
(
)
变式
结合几何图形求二次函数解析式
C.2
A.
D.
8.
如图，正方形的边长为1，A，B，C三个顶
2.
(西安模拟)二次函数y=ax²+ bx+c(a,b,
点都在抛物线上，点O 在原点，那么抛物线
c 为常数,a≠0)的图象经过A(-1,m),
解析式为
(
)
B(0,-1),C(3,m) 三点, 则4a +2b-c 的值为
(
)
A. -2
B.2
C.1
D.-1
3.
(南京期中)若二次函数
的
图象经过点A(-2,0),B(2,0),C(m,n), 则
下列选项中，对应的a的值最大的是(
)
A. m=0,n=-4
B. m=1,n=-4
C. m=-4, n =1
D. m=4, n =-1
4.
(南通中考)在平面直角坐标系中，五个
点的坐标分别为 A(-1,5
),B(1,2),
C(2,1),D(3,-1),E(5,5
). 若抛物线y=
9.
(福州模拟)在平面直角坐标系中，二次
经过上述五个点中的三个
函数
的图象过点
A(1,-4a),B(3,-c).
点，则满足题意的a的值不可能为
(
)
(1)求该二次函数图象的对称轴.
A.
B.
C.
D.
(2)若 ac<0,a(c+1)>0.
5.
(广东中考)已知二次函数
(i)判断该二次函数图象的开口方向，并说
的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二
明理由；
次函数的解析式可以是
.(写出
(ii)已知C(c，n)为该二次函数图象上的一
一个即可)
点,求证:6a+n<0.
6.
若抛物线
与x轴两交点距离
为4，对称轴为x=2，则抛物线的解析式
为
.
7.
已知抛物线
和
y=a(x-
它们的顶点分别为(m,p) 和(p,m),
我们称这两条抛物线互为“反顶点抛物线”.
如果抛物线
和
学霸|5星数学函数
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型66
二次函数图象与系数的关系
—
—
所需前置知识
不等式的性质
本书前置内容
题型63
二次函数的概念
题型64
二次函数的增减性与对称性
主要数学思想
数形结合思想
已知二次函数.
(a,b,c 是常数,a≠0)
a>0
开口向上
决定抛物线的开口方向
a<0
开口向下
a
| a |越小
开口越大
决定抛物线的开口大小
| a |越大
开口越小
a,b 同号
对称轴在y轴左侧
a，b的符号决定对称轴的
b=0
对称轴为y轴
a,b
位置
a,b 异号
对称轴在y轴右侧
c>0
抛物线与y轴交点在正半轴上
决定抛物线与y轴交点的
c
位置
c=0
抛物线经过原点
c<0
抛物线与y轴交点在负半轴上
抛物线与x轴有两个交点
决定抛物线与x轴交点的
抛物线与x轴有一个交点
个数
抛物线与x轴没有交点
与a，b，c相关的常见代数式与0 的大小关系判断
2a+b 或2a -b
观察对称轴与直线x = 1 或x =-1 的位置
a+b+c 或a- b+c
观察函数图象上横坐标为1 或-1的点的位置
4a+2b+c 或4a -2b+c
观察函数图象上横坐标为2 或-2的点的位置
只含有a，c或b，c的式子
根据二次函数对称轴，用消元法消去b或a
归纳总结：
判断与a，b，c相关代数式的正负或大小关系，需要将特殊值代入二次函数解析式中，求出函数值，
然后结合图象与0 作比较、与函数最值作比较，或者将代入特殊值后得到的关于a，b，c的解析式进
行加减乘除运算等.
第四章二次函数(学霸5星)
例1 利用图象判断与a、b、c相关代数式的正负或大小关系
(东营中考)已知抛物线
的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
(m为任意实数)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2 函数图象共存问题
(深圳中考)一次函数
与二次函数
在同一平面直角坐标系
中的图象可能是
(
)
A
B
C
D
三步破题
第
步提取信息
学霸|5星数学函数
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
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…
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…
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…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:20 min
意实数，则
⑤若方程a( x +1)(x-3)=-3
的两个根为x₁
1.
(广州中考)a ≠0，函数
与
和x₂, 且
则
其中，正确的结
a在同一平面直角坐标系中的大致图象可
论有
.(写出所有正确结论的序号)
能是
(
)
变式
与一次函数图象结合判断代数式正负
4.
( 淮南模拟)若二次函数
与一次
函数y = bx-c(ab≠0 )的图象如图所示,则下
A
B
C
D
列结论正确的是
(
)
2.
二次函数
的
A. abc>0
图象如图所示，则二次函数
B. a +b+c<0
的图象可能是
C. a+c<0
(
)
D. a<b<2a
5.
如图，抛物线 y =
A
B
C
D
的顶点
3.
( 2026 ·广州期
为(1,n), 与x 轴的一个
中)如图，抛物线y=
交点为B (3,0 ), 与y 轴
的对
的交点在(0,-3
) 和(0,
称轴是直线x =1，与
-2 )之间.下列结论中正确的是
(
)
x轴交于A (-1,0
),
B(3,0
). 给出下列5
个结论:①a-b+c=0; ②a+3c>0; ③若m 为任
D.2c- a>2n
第四章二次函数|学霸5星；
—
—
—
— 题型67 二次函数区间最值问题—— 定轴区间
区间：高中名词，是取值范围的一种表达形式.
如:若实数x满足a≤x≤b,则可表示为[a,b];若实数x满足 a<x<b,则可表示为(a,b).
①二次函数对称轴的判断；
所需前置知识
②二次函数增减性的分析
题型64
二次函数的增减性与对称性
本书前置内容
题型65
利用待定系数法求二次函数的解析式
主要数学思想
分类讨论思想
如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称.
取一个横坐标的区间[m,n]( 即m≤x≤n 的范围),试利用二次函数的性质解决以下问题：
(1 ) 当m=1,n= 2 时,在区间[m,n]上,当x=
时,函数取最大值,当x=
时,函数取
最小值；
(2) 当m=-2, n=-1
时, 在区间[m,n] 上, 当x=
时,函数取最大值,当x=
时,函
数取最小值；
(3 ) 当m=-1, n=2 时, 在区间[m,n] 上, 当x=
时,函数取最大值,当x=
时,函数
取最小值，此时若将区间[m，n]向左平移p个单位长度，使得在区间左侧函数取最大值，则求p的
取值范围.
学霸5星数学的数
④
二次函数
当
时，
表示 y的最大值，ymin表示y的最小值.
①如图①，二次函数对称轴在区间右侧(含边缘，
当x=m 时,
当x=n 时,
②如图②，二次函数对称轴在区间左侧(含边缘，
当x=n 时,
当x=m 时,
③如图③，二次函数对称轴在区间内
且距离区间左侧较近时，当x=n时，
当
时，
④如图④，二次函数对称轴在区间内
且距离区间右侧较近时，当x=m时，
当
时，
例1
定轴定区间
( 盐城中考)已知二次函数
当自变量x 满足0≤x≤4
时，y的取值范
围是
.
可确定具体情况时，明确情况后求解.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第四章二次函数学霸5星?
第
步计算求解
例2 定轴动区间
已知二次函数
则当t≤x≤t+1时，求y的最小值(用含t的代数式表示).
不确定具体情况时，分类讨论后求解.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
—
—
的
人
的
人
。
但
是
在
他
们
的
人
们
的
一
个
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
题型训练
建议用时:25min
变式三
含绝对值二次函数中的区间问题
1.
已知二次函数
( 其
8.
已知y= x | 1-x | , 当0 ≤x≤a 时, 求y 的
最大值.
中x是自变量)，当x ≥2 时，y随x的增大而
减小,且-2≤x ≤1 时,y的最小值为15, 则a
的值为
(
)
A. 1 或-2
或
C. - 2
D. 1
2.
已知二次函数
的图象经
过(-1,q
) 和(5,q )两点,且当-2≤x ≤3 时,
y的最大值为a，最小值为b，则a+b的值
9.
(辽宁中考节选)二次函数
为
.
3.
(乐山中考改编)已知二次函数
与二次函数
(-1 ≤x≤t-1), 当x=-1
时,函数取得最大
值；当x=1 时，函数取得最小值，则t的取值
(x≥3)组成新函数y₃,当
时，函
范围是
.
最大值为
则n
4.
(1 ) 当a≤x≤a+1 时,函数.
数y₃ 的最小值为
的最小值为3，则a的值为
.
的取值范围是
.
( 2)已知二次函数
的自变量x满
10.
已知抛物线
足m≤x≤m+2 时，此函数的最大值为p，最
(1 )求该抛物线的顶点坐标；
小值为q, 且p-q=2,
则m的值为
.
( 2) 当-2≤x≤2 时,y 的最小值为-4a ,则a
的值为
；
(3 ) 在(2 ) 的条件下, 当m≤x≤n 时,m≤
变式一
二次项系数的分类讨论
y≤n, 且m+n≥-2, 求m,n的值.
5.
已知函数
在-2≤
x≤2 时有最小值-2,则m=
.
6.
已知函数
当a≤x≤3 时,
y<-a
 
+5 恒成立, 则 a 的取值范围
是
.
变式二
由y 的区间求值或取值范围
7.
已知二次函数
当
时，x的取值范围是
.
第四章二次函数| 学霸5星
—
—
—
—
—
—
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
建议用时:15 min
二次函数区间最值问题在高中一年级属于常考内容，相比于初中，高中的此类题目在难度
与灵活性上都有一定的提高.
初高中一致题型
二次函数区间最值问题
难度提升：二次函数与不等式结合( 第1 题)
新增内容：全称命题与存在命题( 第2 题)
考向差异
(全称命题常见表述：“对于任意……，都有……”；存在命题常见表述：
“存在……,使得……”)
1.
(安徽高考模拟改编)已知函数
2.
(天津高考模拟改编)已知函数
bx+c为二次函数，不等式
的解集
若对于任意(
存
是1 <x<5, 且当-1≤x≤4 时,y 的最小值为
-12.
在
使得
成立，求实数a 的取
(1 )求二次函数的解析式；
值范围.
(2)当m-2≤x≤m时,y的最大值与最小值
的差为n，用含m的式子表示出n.
学霸| 5 星数学函数
的
人
。
题型68二次函数区间最值问题——动轴区间
①二次函数对称轴的判断
所需前置知识
②二次根式增减性的分析
题型64
二次函数的增减性与对称性
本书前置内容
题型65
利用待定系数法求二次函数的解析式
题型67
二次函数区间最值问题——定轴区间
主要数学思想
分类讨论思想
动轴区间问题与定轴区间问题类似，类比于题型67，一般情况下仍分为4 种情况讨论：
②
①如图①，二次函数对称轴在区间右侧(含边缘，
②如图②，二次函数对称轴在区间左侧(含边缘，
③如图③，二次函数对称轴在区间中间
且距离区间左侧较近时.
④如图④，二次函数对称轴在区间中间
且距离区间右侧较近时.
特殊场景下的分类讨论思路：
场景一：对称轴与区间的位置关系可以直接确定.如对称轴x=m与区间(m+1，m+2)，此时可直接
确定属于情况②，无须分类讨论.
场景二：有额外条件限制.如已知二次函数
中b<0，则可确定对称轴为x=-b，恒在y轴
右侧，则分类讨论的情况也需根据限制去调整.
场景三：③④两种情况可合并.如已知二次函数
求其在区间(m，n)上的最小值，
此时③④两种情况均在
时取最小值，分析相同，故仅需分三种情况讨论.
场景四：①④，②③情况分别可合并.如已知二次函数
求其在区间(m，n)上的最
大值，此时①④两种情况均在区间左边缘取最大值，②③两种情况均在区间右边缘取最大值，故仅
需分两种情况讨论.
第四章二次函数(学期5星)
例1 动轴定区间
(杭州期中)二次函数
在-1≤x≤2 有最大值6，则实数a 的值是
.
?三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2 动轴动区间
已知抛物线
(m 为常数),当2m≤x ≤2m+3 时,y 的最小值为9, 求m 的值.
? 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸| 5 星数学函数
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
的
的
。
—
—
—
—
—
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—
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—
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—
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—
—
—
—
—
—
—
—
—
题型训练
建议用时:25 min
1.
( 威海期中)已知抛物线
8.
已知二次函数
2m+1, m 为实数, 当2m -3≤x≤2m+1 时,y
(m 是常数).若点C(2,y₁),, 点D(m,y₂)也均
的最大值为4，则m的值为
(
)
在此函数图象上，且满足
求 m的取值
A.
范围.
B.-1
或1
D.
或-1
2.
(宁波期中)已知二次函数
3b (b 是常数),当自变量1≤x≤5 时,函数有
最大值为10, 则b=
.
3.
已知二次函数
当0 ≤
x≤3m时，y的最小值为n，则n的最大值
为
.
4.
( 广西模拟)已知抛物线
9.
(昆明模拟)已知关于x的二次函数y=
c(b<0),
当0 ≤x≤2 时,抛物线的最大值与
(k为常数).
最小值的差为2，则b的值是
.
(1 ) 当k=2 时，求二次函数图象的对称轴；
5.
( 安庆模拟)已知抛物线
( 2) 当k≤x≤k+3 时，二次函数的最大值为
2m -3经过A(0,y ₁),B(2,y
₂) 两点, 且A,B
m,最小值为n, 若m-n=6, 求k的值.
两点在该抛物线对称轴同侧.
(1 )若抛物线经过(0,1 ), 则m=
.
( 2) 若0 ≤x<2 时,y<-1, 则m 的取值范围
是
.
变式一
多参数关联问题
6.
点A(s，t)在二次函数
(m 为
常数)的图象上,s-m =t≠0. 当s-1 ≤x≤s+2
时，二次函数的最大值与最小值的差
为
.
变式二
多参数表示的对称轴
7.
已知二次函数
1(m≥0,n≥0),
当1≤x≤2 时,y随x的增大
而减小，则mn的最大值为
.
第四章二次函数|学霸5星；
1
5
0
衔接高中
建议用时:15 min
二次函数动轴区间问题比定轴区间问题难度更高，仍然出现在高中一年级，其函数叠加思
路的考法有较强的思维性.
初高中一致题型
二次函数区间最值问题
难度提升：多函数叠加问题( 第1，3题)
新增内容：全称命题与存在命题( 第2，3题)
考向差异
(全称命题常见表述：“对于任意⋯⋯，都有⋯⋯”；存在命题常见表述：
“存在……,使得……”)
1.
已知
3.
已知函数
在0≤x≤1
上的最大
(1 )设函数y₁ 在-2≤x≤-1 的最小值为y₂，
值为y₂，则y₂的最小值为
(
)
求 y₂的解析式；
A.0
B.
C. 1
D.2
( 2) 对(1) 中的y₂, 当
-1≤x≤1,-1≤t≤1
时，恒有
成立，求m 的取值
2.
已知二次函数
若对于任意
范围.
1≤x≤2 上的取值, 恒有y≥0, 求a 的取值
范围.
学霸|5星数学函数
人
题型69二次函数的交点问题——坐标轴
—
—
—
零点：对于二次函数
而言，使y =0 的x 的值叫作该函数的零点.即零点不是一个点，而
是方程
的实数根，也是二次函数
的图象与x 轴交点的横坐标
①一元二次方程根的判别式
所需前置知识
②二次函数的图象与性质
本书前置内容
题型64
二次函数的增减性与对称性
主要数学思想
分类讨论思想、数形结合思想
零点存在性问题
已知二次函数
判别式：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
(a >0)的图象
01
零点情况
2个零点
1个零点
无零点
零点区间问题
已知二次函数
在m <x<n 的区间内有零点
对称轴在区间左侧
当x = m 时,y<0
当x = n 时,y>0
对称轴在区间右侧
当x = m 时,y>0
当x = n 时,y<0
Δ=0
对称轴在区间边
缘或内部
O
Δ>0
当x = m 时,y>0
Δ>0
当x = n 时,y>0
第四章二次函数学霸5星)
例1 零点存在性问题
(宁夏中考)若二次函数
的图象与x轴有交点，则m的取值范围是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2 零点区间问题
已知抛物线
在(1,0) 和
之间与x轴有公共点(不含边缘两点).则
a的取值范围是
.
?三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
是
建议用时:25 min
1.
已知函数
(m 为常
变式一
二次函数图象与y 轴的公共点问题
数)，该函数图象与x轴公共点的个数是
5.
已知二次函数y=(x+2 )(x+m) 的图象
(
)
与y轴交点的纵坐标在m-3 至m+2 之间，则
A.0
B.1
C.2
D.1 或2
m的取值范围是
.
2.
对于二次函数
当
变式二
二次函数图象与坐标轴的公共点问题
时，函数图象与x 轴有且只有一
6.
(大庆中考)已知函数
的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m
个交点，则以下不满足题意的a值为(
)
的值为
.
D.
变式三
双区间问题
7.
若α，β是一元二次方程
3.
(1 )( 荆州中考)若函数
m-7=0
的实根,且满足-1<α<0,0<β<1,
则
4x+2a 的图象与x轴有且只有一个交点，则a
m的取值范围是
.
的值为
.
( 2)( 泸州中考)已知二次函数y =(x-a-
1)(x-a
+1)- 3a +7( 其中x 是自变量)的图象
8.
求实数a的取值范围，使关于x的方程
与x轴没有公共点，且当x<-1 时，y随x的增
大而减小，则实数a的取值范围是
.
(1 )有两个实根x₁,x₂, 且满足
4.
已知二次函数
( 2)至少有一个正根.
(1 ) 当c=-3
时，求出该二次函数的图象与
x轴的交点坐标；
( 2) 若-2<x<1 时，该二次函数的图象与x轴
有且只有一个交点，求c的取值范围.
第四章
二次函数1 学霸5 星?
—
—
—
—
题型70二次函数的交点问题——直线
—
—
—
—
—
—
—
—
所需前置知识
①一元二次方程根的判别式
②二次函数的图象与性质
题型64
二次函数的增减性与对称性
本书前置内容
题型69
二次函数的交点问题——坐标轴
主要数学思想
分类讨论思想、数形结合思想
二次函数
的图象与直线y = m 的公共点
法一：
的判别式Δ
△>0
Δ=0
Δ<0
法二：函数值y 的最小值p
p<m
p= m
p> m
二次函数
的图象(a>0) 与直线y = m
公共点情况
2 个公共点
1个公共点
无公共点
二次函数
的图象与直线y = kx+m 的公共点
方程
的判别式Δ
△>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
(a >0)的图象与直线y = kx+m
公共点情况
2 个公共点
1个公共点
无公共点
例1
与直线y =m 的公共点问题
若二次函数
的图象与直线y =2m-3 有两个公共点，则m 的取值范围是
.
学霸|5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
与直线y=kx+m 的公共点问题
若二次函数
的图象与直线y = ax 有且仅有一个公共点，则该公共点的横坐标
为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
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…
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…
…
…
…
建议用时:25 min
1.
抛物线
与直线y =1 只有
6.
(泸州期末)已知过点B(4，-2)的直线l
一个公共点，则c的值是
(
)
与抛物线
有唯一的公共点，且点
A. -2
B.2
C. - 1
D.1
A(a, -5 ) 在直线l 上，则符合条件的a的值
2.
(济宁中考)若
m,n(m<n)是关于x的方
是
.
程1- (x-a)(x-b)=
0 的两根,且a<b, 则a,
7.
(广元中考)将二次函数
b，m，n的大小关系是
(
)
的图象在 x 轴
A. m<a<b<n
B. a<m<n<b
上方的部分沿x轴翻折后，所
C. a<m<b<n
D. m<a<n<b
得新函数的图象如图所示.当
3.
无论k 为何值,直线y = kx‐ 2k+2 与抛物
直线y =x+b 与新函数的图象
线
总有公共点，则a的取值
恰有3 个公共点时，b的值为
.
范围是
.
8.
(宜昌中考节选)在平面直角坐标系中，
4.
( 连云港中考)已知二次函数
经过点
和点
的
a 为常数.
直线与抛物线
(1 )若该二次函数的图象与直线
有两
的公共点恰好为3 个不
个交点，求a的取值范围；
同点时，求n的值.
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a
的值；
(3 )求证：该二次函数的图象不经过原点.
变式图象不全时的公共点问题
5.
( 河北中考)对于题目“一段抛物线L：
y=- x(x-3 )+ c( 0 ≤x≤3) 与直线l: y =x+2 有
唯一公共点，若c 为整数，则c 的值可以
为
.
学霸|5星数学函数
高
粱
题型71二次函数的交点问题——线段
—
—
—
①一元二次方程根的判别式
②二次函数的图象与性质
所需前置知识
③一次函数的图象与性质
本书前置内容
题型69
二次函数的交点问题——坐标轴
主要数学思想
数形结合思想、转化思想、分类讨论思想
数形结合法
已知二次函数y= ax²+ bx+c( a>0), M(x₁, y₁), N (x₂, y₂), MN 在直线y = kx+ m 上
一个交点
点 M 在图象上方
点 M 在图象下方
二次函数图象与线段
点 N 在图象下方
点 N 在图象上方
MN 相切
两个交点
当
时，
有两个解
转化法
已知二次函数y= ax²+ bx+c( a>0), M( x₁, y₁), N ( x₂, y₂), MN 在直线y = kx+m 上
转化前
转化后
二次函数
的图象与倾斜直线二次函数
的图象与水
MN 的交点问题，M( x₁, y₁), N ( x₂, y₂ )
平直线M'N'的交点问题，M'( x₁, 0), N'( x₂, 0)
二次函数的图象与线段的公共点问题
二次函数零点区间问题(对应题型69)
194
第四章
二次函数学霸5 星?
例在平面直角坐标系中，A点坐标为(-1，-2)，B点坐标为(5，4).若抛物线
与线段
AB有两个公共点，则c的取值范围为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸| 5 星数学函数
的
人
的
建议用时:35 min
(2)若抛物线与线段PQ 有两个不同的交点，
1.
如图，在平面直角坐标系中，A点坐标是
求a的取值范围.
(6,4), 点A 关于直线x=2 的对称点为B, 若
抛物线
与线段AB恰有一个公
共点，则a的取值范围是
(
)
6.
(河南中考)如图，抛物线
与直
线y=-x+b 交于点A(2,0) 和点B.
(1) 求m 和b 的值;
(2)求点 B的坐标，并结合图象写出不等式
的解集；
(第1题)
(第3题)
2.
在平面直角坐标系中，抛物线
(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点 M
向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN
4x +1 与y 轴交于点 A, 已知点 P(0,2),
与抛物线只有一个公共点，直接写出点 M 的
Q(a,1),若线段 PQ 与抛物线
横坐标xM的取值范围.
只有一个公共点，则a的值可能是
(
)
A.-3
B.-4
C. - 5
D.-6
3.
如图，在平面直角坐标系中有M(1，2)，
N(3，3)两点，如果抛物线
与线段MN
没有公共点，则a的取值范围是
.
4.
在平面直角坐标系中，已知点A(4，2)，
B(4,4), 抛物线
当L
与线段 AB 有公共点时，t 的取值范
围是
.
5.
在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐
标分别为(-1,0),(1,1), 且抛物线
x+1(a≠0) 也在该坐标系中，请完成下列
探究：
(1)若该抛物线经过点P(-1，0)，则对称轴
为直线
.
第四章二次函数[学霸5星]
翻折，保留其他部分得到新的图象 C.
变式一
双线段公共点问题
(1) 求b 的值;
( 2) 已知两点A(-1,-1),B(5,-1), 当线段
7.
如图，直线
AB 与图象 C 恰有两个公共点时，直接写出
与 y 轴交于点 A，与直线
m的取值范围.
交于点 B，若抛物
线
的顶点在直线
上移
动，且与线段 AB，BO 都有公共点，则h的取
值范围是
.
变式二
二次函数图象与射线的公共点问题
11.
已知二次函数
的最大值
8.
( 宁波期末)如图，抛物线
经
为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点
过点A(2,0 )和点 B(-1,-3
).作射线 BA,P
为 D.
是线段 AB上的动点，将射线 BA 绕点 P 逆时
(1 )求该二次函数的解析式.
针旋转90°得射线 B'A'.若射线 B'A'与抛物线
( 2) 点P(t,0 )是x轴上的动点.
只有一个公共点，则点 P 的横坐标
①求| PC-PDI的值最大时点 P 的坐标;
x的取值范围为
.
②设Q(0,2t ) 是y 轴上的动点, 若线段PQ
与函数
的图象只有一个
公共点，求t的取值范围.
( 第8 题)
( 第9 题)
9.
( 苏州期中)如图，在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的顶点为A，与
y轴交于点 C，线段CB∥x轴，交该抛物线于
另一点 B.平移抛物线
使其顶点
始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线
与射线 BA 只有一个公共点时，设此时抛物
线的顶点的横坐标为 n ，n 的取值范围
是
.
10.
(大庆中考节选)已知二次函数
bx+m图象的对称轴为直线x=2.将二次函
数
图象中y轴左侧部分沿x轴
学霸)5星数学函数
—
—
—
—
题型72 二次函数的交点问题—— 图形
①
①一元二次方程根的判别式
所需前置知识
②二次函数的图象与性质
题型66
二次函数图象与系数的关系
本书前置内容
题型71
二次函数的交点问题——线段
主要数学思想
数形结合思想
二次函数与图形的交点问题主要依靠“数形结合思想”分析，根据“题型
66
二次函数图象与
系数的关系”有以下结论可帮助我们进行数形结合的分析：
对于二次函数
①若b=0且仅a发生改变，则函数的顶点坐标不变，开口大小发生变化，|a|越小，开口越大，
|a|越大，开口越小；
②若b≠0 且仅a发生改变，则函数的顶点坐标、开口大小均发生变化，|a|越小，开口越大，|a|
越大，开口越小；
③若仅b发生改变，则函数形状不变，整体位置根据顶点坐标的位置发生变化；
④若仅c发生改变，则函数形状不变，整体位置上下平移，c增加向上平移，c减小向下平移.
例
(南充中考)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),( 3,1 ),( 3,3 ),( 1,3 ),若抛物线
的图象与正方形有公共点，求实数a的取值范围.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第四章二次函数| 学霸5 星|
第
步计算求解
的
人
物
的
的
人
。
在
其
中
一
次
的
人
的
人
物
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
物
的
人
物
的
人
们
的
人
物
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
建议用时:20 min
则m的取值范围是
(
)
1.
(扬州中考)如图，已知△ABC的顶点坐
标分别为A(0,2 ),B(1,
0 ), C( 2,1 ).若二次
或
函数
的图象与涂色部分(含边
界)一定有公共点，则实数b的取值范围是
或
(
)
A.b≤-2
B. b<-2
C.b≥-2
D. b>-2
4.
( 绵阳中考节选)如图，二次函数y=
的图象与一次函数y=-2 x 的
图象交于点A，B(点B在右侧)，与y 轴交于
点 C，点A 的横坐标恰好为a.动点 P，Q同时
从原点 O 出发，沿射线 OB 分别以每秒
2
个单位长度运动，经过t秒后，以 PQ 为
( 第1题)
( 第2 题)
对角线作矩形 PMQN，且矩形四边与坐标轴
2.
如图，以圆心角为45°的扇形AOB 的顶
平行.
点O 为原点，半径 OB所在直线为x轴建立
(1 ) 求a 的值及t=1 时点 P的坐标;
平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)，若抛
( 2)当矩形 PMQN 与抛物线有公共点时，求t
物线
与扇形AOB的边界总有两个
的取值范围.
公共点，则实数k的取值范围是
(
)
变式二次函数与反比例函数的交点问题
3.
抛物线
与反比例
函数
的图象有交点(x₀，y₀)，且满足
学霸|5星数学函数
题型73二次函数的交点问题——根系关系的运用
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①乘法公式
题型5
两点之间的距离
②一元二次方程根的判别式
题型69
二次函数的交点问题——坐标轴
抛物线与x轴的两个交点之间的距离：
已知抛物线
设抛物线与x 轴有两个交点, 分别为A(x₁,0),B(x₂,0), 则
x₁，x₂ 是一元二次方程.
的两根，且判别式Δ>0，由根与系数的关系可知
即
例
根据抛物线与x轴交点距离求参
如图，二次函数
的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若AB=4，则
点 C的坐标是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章二次函数学霸5星：
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
的
其
后
是
建议用时:20 min
1.
如图，已知二次函数
的
变式
利用根与系数的关系判断函数值正负
图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于 C点.
5.
(台州期末)已知二次函数
若AB=OC, 则m 的值为
(
)
(a<0), 当x=n 时,y>0, 则当x=n-2 时,y 的
A.2
B.4
C.2
D.3
取值范围为
(
)
A. y>0
B. y<0
C. y=0
D. 不能确定
6.
定义：如果抛物线
与
(第1题)
(第2题)
x 轴交于点A(x₁,0),B(x₂,0), 那么我们把
2.
如图，抛物线
与 y轴交于点
线段AB 叫作横截弦，AB 两点之间的距离称
A，过点A作与x轴平行的直线，与抛物线y=
为抛物线的横截弦长.
相交于点 B，C(点B在点C的左
(1)求抛物线
的横截弦长；
(2)求抛物线
的
侧), 若BC=4, 则m 的值为
(
)
横截弦长的取值范围；
A.2
B.
C.1
D.3
(3) 设m,n 为正整数, 且m≠1, 抛物线y=
3.
(汕头期末)若抛物线
与x轴
的横截弦长为 l₁，抛物线
交于A(x₁,0),B(x₂,0) 两点,2≤AB≤5, 则c
的横截弦长为
的最大值是
.
试求出s与t之间的函数关系式；若不论t为
4.
已知二次函数
何值,s≥0恒成立,求m,n的值.
(1)若该二次函数的图象与x轴的两个交点
分别为A(x₁,0),B(x₂,0),.
且
求
m的值；
(2)若该二次函数的图象与y轴交于点 C，与
x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为2时，
求m的值.
学霸15星数学函数
甚
异
一
题型74
二次函数中的整点个数问题
整点：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫作整点
所需前置知识
①二次函数的图象与性质
②解一元一次不等式
题型66
二次函数图象与系数的关系
本书前置内容
题型69
二次函数的交点问题——坐标轴
求整点的个数
类型
问题模式
基本方法
①整点在边
求二次函数在特定自变
(1 )在自变量的取值范围内依次取整数值；
界上
量范围内的整点个数
( 2)代入相应的函数解析式求出对应的函数值；
(3 )判断对应的函数值是否为整数，如果是，则是整点
求由抛物线与直线(或
(1 )画出示意图，确定所求区域的边界；
②整点在区
者抛物线)围成的封闭
( 2)选取区域内为整数的横坐标；
域内
(3 )确定其纵坐标的取值情况，从而确定整点的个数
图形内部的整点个数
常见模型
①抛物线与平行于 x轴的直线
②抛物线与一次函数所围成的
③抛物线与抛物线所围成的封
所围成的封闭区域
封闭区域
闭区域
,
例1
边界上的整点个数
在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点.将直线y=x与抛物线
x-3 围成的封闭区域记作W，则区域W边界上的整点有
个.
三步破题
第
步提取信息
第四章二次函数|学霸5星|
步对应秘二
步计算求解
例2 区域内的整点个数
在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标都是整数的点称为完美点.将二次函数
的图象与x 轴所围成的封闭区域记为S，则区域S 内部及其边界上的完美点的个数
是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
111112
题型训练
建议用时:20 min
A.-1
≤a<0
B.-2
≤a<-1
1.
如图，若抛物线
D.-2
≤a<0
与x轴围成封闭区域( 边界除
4.
( 邯郸模拟)我
外)内整点(点的横、纵坐标都
们把横、纵坐标都是
是整数)的个数为k，则反比例
整数的点称为整点，
函数
的图象是
(
)
如图，抛物线C₁:y =
与C ₂:y=
(m 是常数)围成的封闭区域(边界除
外)内整点的个数不能是
(
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A
B
5.
(乐山中考)在平面直角坐标系中，我们
称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.
抛物线
(a 为常数且a >0) 与
y轴交于点A.
C
D
2.
( 唐山期中)在平面直角坐标系中，将
横、纵坐标都是整数的点叫作整点.已知抛物
线
与x轴的交点为A，B.
(1 )线段AB上的整点个数为
；
备用图①
备用图②
( 2)抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围
(1 ) 若a =1，求抛物线的顶点坐标；
成的区域内(包括边界)整点个数为
.
( 2)若线段 OA( 含端点)上的“完美点”个数
大于3 个且小于6 个，求a的取值范围；
(3 )若抛物线与直线y=x交于M，N两点，线
变式
已知整点个数求参数
段 MN 与抛物线围成的区域( 含边界)内恰
3.
( 武汉模拟)定义：在平面直角坐标系
有4 个“完美点”，求a的取值范围.
中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点
A叫作“整点”.如:B(3,0),C(-1,3
) 都是
“整点”.抛物线
与
x轴交于M，N两点，若该抛物线在M，N之间
的部分与线段 MN所围的区域(包括边界)
恰有5 个整点，则a的取值范围是
(
)
第四章二次函数学霸5星7
—
—
—
—
—
—题型75二次函数的实际应用——图形面积问题
—
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①常见几何图形面积公式
题型64
二次函数的增减性与对称性
②二次函数的最值
题型67
二次函数区间最值问题——定轴区间
利用二次函数解决实际问题的步骤：
1.审：提取题目信息，找出问题中涉及哪些量，找出等量关系；
2.设：设出合适的自变量，注意实际问题中隐含的自变量取值范围；
3.列：根据等量关系，建立二次函数模型，列出函数解析式；
4.解：结合题目条件，利用二次函数的性质求解；
5. 检：检验答案的合理性，是否符合实际情况；
6. 答：写出答案.
利用二次函数求解图形面积最值的方法：
1. 引入自变量，用含有自变量的代数式表示与所求图形相关的量；
2. 根据面积公式列出二次函数解析式(若图形规则，则直接使用面积公式即可；若图形不规则，则
先将其分割为多个规则图形再使用公式)；
3. 根据函数解析式，用公式法或配方法求出最值.
例1
利用二次函数解决图形面积问题
如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD 是墙，且AD 的长不能超过23 m，其余的三边
AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m.有下列结论：①AB的长可以为7 m；②AB的长有两个不
同的值满足菜园 ABCD 的面积为192m ²；③菜园ABCD 面积的最大值为200 m².其中，正确的结论
是
.( 填序号)
C
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸|5星数学函数
第
步计算求解
例2
利用二次函数解决图形运动过程中的面积问题
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24 mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB向点 B 以
2mm/s的速度移动，动点Q 从点 B 开始沿边 BC向点 C 以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分
别从A，B两点同时出发，设运动时间为 ts，那么△PBQ的面积S的最大值为
(
)
Q
A.60 mm²
B. 48 mm²
C.36 mm²
D. 120 mm²
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章
二次函数学霸5 星?
是
题型训练
建议用时:20 min
1.
用10m 长的围栏围成一边靠墙(墙足够
变式
利用分段函数表示图形面积
长)的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小
4.
如图, 在矩形ABCD 中,AB=16 cm,BC=
红提出了围成矩形、等腰三角形( 底边靠
12 cm.动点 P 从点 A 出发,以2cm /s 的速度
墙)、半圆形三种方案，如图所示，最佳方案
沿边 AB 向终点 B 运动；动点 Q 以相同的速
是
(
)
度,从点 B 出发沿边 BC、边 CD 向终点 D 运
动.两点同时开始运动，规定其中一个动点到
达终点时，另一个动点也随之停止运动.
方案1
方案2
方案3
C
A. 方案1
B. 方案2
C. 方案3
D. 都一样
2.
如图，有一块矩形空地
A→P
ABCD，学校规划在其内部
设运动的时间为 ts.有下列结论：
的一块四边形空地 EFGH
①当t=7 时,BP=CQ;
上种草坪,其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,
②当0<t<5 时,△BPQ 的面积逐渐增大;
BC,CD 上, 且AE=AF=CG=CH, 已知AD=
③动点运动过程中，△BPQ 的面积最大值为
30m
,AB=50m,则草坪面积最大为
(
)
32 cm².
A.600 m²
B. 800 m²
其中，正确的结论有
(
)
C. 1 000 m²
D. 1 200 m²
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
3.
( 潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的
铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工
5.
有一根直尺的短边长2 cm，长边长
件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB 与 DE 之
10cm，还有一块等腰直角三角形纸板ABC，
间的距离为2 米,AB=3 米,AF=BC=1 米,
它的斜边长12cm .如图①，将直尺的短边DE
∠A=∠B =90 ° ,∠C=∠F=135 ° . MH,HG,GN
放置与等腰直角三角形纸板的斜边 AB 重
是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH 的长度
合，且点 D 与点 A 重合.然后将直尺沿 AB 方
为多少时，矩形铁皮 MNGH 的面积最大?最
向平移(如图②)，设平移的长度为 xcm，直
大面积是多少?
尺和三角形纸板的重叠部分(图中涂色部
分)的面积为S(cm²). 当4<x<6 时,S 与x 之
间的函数解析式为
.
①
学霸| 5 星数学函数
1题型76
二次函数的实际应用——销售利润问题
上
に
あ
る
所需前置知识：
本书前置内容：
二次函数的最值
题型64
二次函数的增减性与对称性
题型67
二次函数区间最值问题——定轴区间
求最大利润、最大销量等问题属于二次函数实际应用中的常见题型，此类问题的关键是根据题意，
列出二次函数解析式，再根据二次函数性质求最值.
销售利润问题中常见的等量关系：①利润=售价-进价；②总利润=单件利润×销售数量；
③售价与销量的变化关系：
若售价在原售价基础上上涨x元，销量比原销量减少m件，则调整后总利润=(原售价+x-进价)×
( 原销量-m);
若售价在原售价基础上下降x元，销量比原销量增加m件，则调整后总利润=(原售价-x-进价)×
(原销量+m).
例
利用二次函数求最大利润
(广东中考改编)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023 年农产品进出口总
额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按
每吨5 万元出售，平均每天可售出100 吨.市场调查反映：如果每吨降价1 万元，每天销售量相应增
加50 吨.该果商如何定价才能使每天的利润最大?并求出其最大值.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章二次函数|学霸5星：
上
建议用时:15 min
宽度相同的行车道.
1.
便民商店经营一种商品，在销售过程中，
60
发现一周的利润y(单位：元)与每件销售价x
(单位：元)之间的关系满足
1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤
18，那么一周可获得的最大利润是
(
)
A.1 508 元
B.1550
元
(1 )求行车道宽度和车位数量；
( 2)停车场实行按天收费，在试营业期间，调
C. 1 554 元
D.1558
元
2.
( 深圳期末)《算法统宗》是明代数学家
查发现：按每个车位12 元/天的标准收费，车
位全部被租完，当停车费每上涨1 元时，出租
程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题.
车位的数量将减少5 个.设停车费上涨x元
今有一商贩售卖绸缎，若每匹绸缎售价为
( x 为正整数)，停车场当天收费总金额为
五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎
w元，求w的最大值；
的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增
(3 ) 在(2)的条件下，停车场确定收费标准为
加一匹.已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设
每个车位16 元/天，同时将未出租车位中的
每匹绸缎售价为x 文钱，商贩每日的利润为
m个普通车位改装为充电车位(充电车位每
y文钱，则y 与x 之间的函数关系为(
)
天都能全出租).充电车位每个改装费为
A. y=( 50-x )( 30+x)
5000 元.若改装 m 个车位后，停车场全年总
B. y=( x-30 )( 30+x)
收入(扣除改装费后)超过未改装前全年停
C. y=( x-30 )( 80- x)
车收费总金额的最大值( 全年均按365 天
D. y=( 50- x)( 80- x)
计)，求m的最小值.
3.
某商店购进一批单价为50 元的日用商
品，如果以每个60 元销售，每周能卖出
120 个，若这种商品零售价每涨价1 元，周销
售量就减少3 个，但物价部门规定，单个利润
不能超过成本价的30% ，则每周获得的最大
利润为
元.
4.
( 南充模拟)如图是某小区矩形停车场
平面图,长60 米, 宽30 米,其中共有A,B,C
三个矩形停车区域(宽度分别为a 米，2a 米，
a米)，面积和为1000 平方米，在停车区域内
划分完全相同的矩形车位(不留间隙)，车位
长a米，宽2.5 米.两端和停车区域间分别为
学霸|5星数学函数
—
—
—题型77
二次函数的实际应用——抛物线形问题
—
—
—
—
所需前置知识：
本书前置内容：
①建立平面直角坐标系
题型65
利用待定系数法求二次函数的解析式
②解三元一次方程组
③二次函数的图象与性质
抛物线形问题：
①拱桥、隧道洞门、拱形门窗等抛物线形建筑；
②球类运动、喷头喷水等符合二次函数规律的轨迹问题.
解题步骤：
步骤1：建立合适的平面直角坐标系；
步骤2：利用待定系数法确定二次函数解析式；
步骤3：运用二次函数解析式及其性质解决相关问题.
解题技巧：
建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，但最终结果是唯一的，建立坐标系的原则是便于计算，一
般情况下可设解析式为
例1
抛物线形建筑
(广安中考)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽
6米，水面下降
米，水面宽8 米.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章二次函数|学霸5星：
例2
运动轨迹问题
体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球.已知实心球所经过的
路线是如图所示的抛物线的一部分.如果实心球出手处A 距离地面的高
度是2 米，当球运行的水平距离为6 米时，达到最大高度5 米的B处，则
该男生本次扔实心球的成绩是
米.(结果保留根号)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
属
步计算求解
,
的
的
的
的
，
是
一
个
人
的
人
。
他
们
的
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
的
人
。
他
们
们
的
一
个
人
们
们
们
们
们
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
民
的
人
们
的
人
们
的
人
民
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
1
1
题型训练
建议用时:20 min
高为4m，宽为2m 的长方体形状的大型设
1.
如图，一工厂车间大
备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备
门由抛物线和矩形ABCD
的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时
的三边组成，门的最大高
才不会碰到门的顶部?
(
)
度是4.9m
,AB=10m,BC=2.4m,若有一个
A.1.8m
B.1.9 m
C.2m
D.2.1m
学霸|5星数学函数
2.
如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数
离斜坡的高度为6 米；
的图象形状相同的抛物线形，
③小球的落点 A 距离斜坡起点 O 的水平距
杯脚AB 高7 cm,杯口宽 CD 为8cm,则酒杯
离为7 米；
总高度为
(
)
④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差
A. 10 cm
B.12cm
为6.5 米.
C. 15 cm
D. 16 cm
其中，正确的结论有
(
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
5.
某兴趣小组受到安顺的坝陵河大桥的启
示，设计了一座桥的模型，它的两桥塔AD，
( 第2 题)
( 第3 题)
BC 之间的悬索 DPC 是抛物线形( 如图所
3.
(南充中考)如图，水池中心点 O 处竖直
示)，悬索上设置有若干条垂直于水平线AB
安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷
的吊索, 图中,AD=BC=10cm,AB=32cm, 悬
头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下
索上最低点 P 到 AB 的垂直距离 PO=2 cm
平移，水柱落点与点O 在同一水平面.安装师
(悬索 DPC与AB 在同一平面内)
傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距 O
(1 )按如图所示建立平面直角坐标系，求此
点2.5 m;喷头高4m 时,水柱落点距 O 点
抛物线的函数解析式；
3m .那么喷头高    m 时，水柱落点距
( 2)根据设计要求，从抛物线的顶点 P 开始，
O点4m.
每相隔2cm 有一条吊索，当吊索高度大于或
等于4 cm时，需加固.求此条抛物线有多少
变式
与一次函数综合
条吊索需要加固；
4.
如图，一小球从斜坡
(3 ) 若抛物线经过两点E(m,y₁),F(m+2,
O点以一定的方向弹出，
y₂)，抛物线在E，F之间的部分为图象 G(包
球的飞行路线可以用二次
括E，F两点)，图象G上任意一点的纵坐标
函数
刻
的最大值与最小值的差为t，当t=1时，求m
画，斜坡可以用一次函数
x/米
的值.
刻画，小球飞行的
水平距离x(单位：米)与小球飞行的高度y
(单位：米)的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
y
0
7一
2
6
8
n
有下列结论：
①m=3,n =6;
②当小球飞行的水平距离为2 米时，小球距
第四章
二次函数学霸5星：
—
—
—
—
—
—
题型78 二次函数的平移
—
—
所需前置知识
①二次函数的图象与性质
②二次函数的解析式
题型27
一次函数的平移题型64
二次函数的增减性与对称性
本书前置内容
题型66
二次函数图象与系数的关系
主要数学思想
数形结合思想
通过一次函数的学习，我们知道：一次函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的规律.对
于二次函数，我们可以通过定位顶点，探索它平移后的规律.
如图，抛物线 C₁ 的解析式为
若将 C ₁ 先向右平移1 个单位
长度，再向下平移2 个单位长度后得到抛物线
我们可以通过以下思路求解 C₂ 的解析式：
第一步：确定原抛物线C₁ 的顶点坐标为(0，1)；
第二步：根据平移规则，先向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度后，新的顶点坐标
为(1，-1)，因为平移不改变开口方向与大小，所以a 不变，a =2；
第三步：据此写出 C₂ 的解析式：
问题1：将抛物线
先向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到的解析式
为
.
问题2：抛物线
是由抛物线
经过怎样的平移得到的?
问题3：将抛物线
向左平移t 个单位长度后得到抛物线C₂，若点A(0，1)在C₂ 上，求t
的值.
对二次函数
进行平移
平移方式
平移规则
解析式变化
向左平移m 个单位长度(m>0)
x 替换为x+m
向右平移m 个单位长度(m>0)
x 替换为x- m
向上平移n 个单位长度(n>0)
y替换为y- n
向下平移n 个单位长度(n>0)
y替换为y+n
学霸|5星数学函数
归纳总结：
①若抛物线平移，开口方向与大小不变，其上所有点按相同规则移动；
②抛物线的平移遵循左加右减，上加下减的原则；
③抛物线平移的本质是顶点移动，将解析式化为顶点式，易求出新顶点的坐标，从而求出平移后的
新抛物线的解析式.
例1
二次函数平移后与坐标轴的交点问题
将抛物线
向右平移2 个单位长度，再向上平移4 个单位长度，得到的新抛物
线与x轴
(
)
A. 有一个交点
B. 有两个交点
C. 有三个交点
D. 没有交点
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
二次函数图象的平移的应用
( 泰安模拟)已知抛物线
与x 轴有两个交点A(-1,0),B(3,0), 抛物线y=
与x轴的一个交点是C(4，0)，则m的值是
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章
二次函数| 学霸5星：
引
擎
新
行
动
器
—
—
—
—
建议用时:20 mìn
A. 向上平移，
1.
( 惠州期末)一抛物线向左平移1 个单
位长度，再向上平移3 个单位长度后，得到新
B. 向下平移，
的解析式为
则原抛物线的解析式为
C. 向上平移，
(
)
D. 向下平移，
2.
(杭州模拟)在平面直角坐标系中，抛物
线：
经过点(3,0 ).
4.
(佛山模拟)平移抛物线
后得
(1 ) 求此二次函数图象的对称轴与顶点
坐标；
到的抛物线经过
和B (-5,0
).
( 2)若把此二次函数的图象先向右平移2 个
(1 )求平移后抛物线的顶点坐标；
单位长度，再向下平移n( n> 0)个单位长度，
( 2)设点M( x₁, y₁), N ( x₂, y₂ )都在平移后的
图象恰好经过点(5，-2)，求n的值.
抛物线上，若满足
且
比较 y₁
与y ₂ 的大小并说明理由；
(3 ) 直线x = m( m<0)与平移后的抛物线交于
点 P，与平移前的抛物线交于点 Q，记点 P  在
平移前的抛物线上的对应点为 P '.若以 P，
P'，B，Q四点为顶点的四边形有一组对边平
行，求点 P  的坐标.
变式
二次函数平移中的动点问题
3.
抛物线
与x 轴交
于A，B两点，且AB = 2.将抛物线沿y 轴平移
m个单位长度后，与线段AB ( 不含端点)一定
有交点，则抛物线平移方式及m 的取值范围
是
(
)
学霸|5星数学函数
三
十
三
十
三
十
三
十
三
十
六
十
二
十
二
十
二
十
二
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
十
八
题型79 二次函数的对称
各
种
的
的
的
性
质
所需前置知识
①二次函数的图象与性质
②二次函数的解析式
题型28 一次函数的轴对称题型64
二次函数的增减性与对称性
本书前置内容
题型66
二次函数图象与系数的关系
主要数学思想
数形结合思想、分类讨论思想
已知二次函数
,二次函数上一点A (x₁, y₁).
二次函数自身的对称性
模型
对称后A'的坐标
对称轴
模型展示
①二次函数的对称性
二次函数关于点或直线的对称
模型
对称后A'的坐标
对称后的二次函数解析式
模型展示
y↑
②关于x 轴对称
③关于y 轴对称
④关于原点对称
⑤关于x = m对称
⑥关于y= n 对称
⑦关于点(m,n)对称
第四章
二次函数|学霸5星
例1
已知对称方式求解析式
(上海模拟)如果抛物线
与抛物线 C₂ 关于直线x=-1 对称，那么C₂ 的解析式
为
.
? 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
根据二次函数的对称性求点的坐标
已知点A(s-2t,2-4st) 在抛物线
上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐
标为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸5星数学函数
1
1
建议用时:20 min
1.
若两个抛物线关于x轴对称，则称这两
4.
(广州模拟)在平面直角坐标系中，将函
个抛物线为“对称抛物线”.已知抛物线 L₁：
数
(m 为常数)的图象记为
与 x  轴交于点 A (-3,0
),
G，点P 的坐标为(
B(1,0 ),抛物线 L ₁ 的“对称抛物线” L₂ 的函
(1 ) 当点(1，0)在图象 G 上时，试解答以下
数解析式为
(
)
问题：
①求函数 G 的解析式；
②将抛物线在x ≥1 的那部分函数图象沿直
2.
( 福建中考)已知抛物线
线x =1 翻折得到新的函数图象，翻折前后的
(a >0 ) 经过A (2 n+3,y ₁),B(n-1,y
₂) 两点，
两部分合记为图象 F，若函数y=n与图象 F
若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且
至少有三个交点，求n的取值范围.
则n的取值范围是
.
( 2) 当m>0时，将点 P  向左平移2 个单位长
度得到点 Q，连接 PQ，以PQ 为边向上方作
矩形 PQMN, 使 PN = 1. 当图象 G 与矩形
变式
二次函数的翻折问题
PQMN 只有两个公共点时，求m的取值范围.
3.
(济宁模拟)在平面直角坐标系中，已知
抛物线
(1 )抛物线的对称轴为直线
.
( 2) 当-2≤x≤2 时，函数值y的取值范围是
-4 ≤y≤b.
①求a和b的值；
②将该抛物线在0 ≤x≤4 间的部分记为 G，
将G 在直线y = t 下方的部分沿y=t翻折，其
余部分保持不变.得到的新图象记为 Q.设Q
的最高点、最低点的纵坐标分别为y₁，y₂，若
求t 的取值范围.
第四章二次函数(学霸5星)
是
题型80 二次函数的旋转
…
…
①二次函数的图象与性质
所需前置知识
②二次函数的解析式
题型8
旋转中的坐标变化
本书前置内容
题型64
二次函数的增减性与对称性
题型66
二次函数图象与系数的关系
主要数学思想
数形结合思想、分类讨论思想
已知抛物线解析式
模型
旋转后的顶点坐标
旋转后的二次函数解析式
①绕原点(0,0 ) 旋转180°
(-h,-k)
②绕顶点(h,k) 旋转180°
(h,k)
③绕x 轴上一点(m,0) 旋转180°
(2m-h,-k)
④绕对称轴上一点(h,n) 旋转180°
(h,2n-k)
⑤绕任意一点(m,n) 旋转180°
(2m-h,2n-k)
抛物线旋转问题不宜处理整条曲线，应先追踪关键点.
1. 绕某点旋转180°与“关于该点中心对称”完全等价，因此，二次函数的180°旋转问题可借用
中心对称的思路.
顶点：决定旋转后抛物线的位置；
与坐标轴的交点：常用于确定解析式或几何图形；
图象上的已知点：旋转后仍在新图象上；
对称轴：旋转后可变为新的对称轴.
2. 绕某点旋转其他特殊角度(如90° )，则旋转后的图象不一定是函数图象，但还是抛物线，此
时若涉及交点、面积、线段，可旋转到原抛物线上，利用点坐标的变换转化为代数计算.
例1
求旋转后的抛物线解析式
(桂林中考)将抛物线
绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是
(
)
学霸|5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
求旋转中心
(西安模拟)将抛物线
绕其对称轴上一点 P 旋转180°，得到一条新抛物线 C₂，
若 C₁，C₂ 两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则点 P 的坐标为
(
)
A.(1,3)
B.(-1,3)
C.(1,-3)
D. (-1,-3)
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
—
—
—
—
—
—
题型训练
建议用时:25 min
AB=12, 则m 的值为
(
)
1.
二次函数
的图象
A.1 或
B.1 或-3
与y轴交于点 A.将该二次函数的图象绕原点
旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点 B，若
C.3
D.
第四章二次函数| 学霸5 星?
2.
在平面直角坐标系中，将抛物线
标，至少写出两种情况)；
(k+1)x+k绕点(1,0)旋转180°,在旋转后所
(3)设抛物线m的对称轴与抛物线n的交点
得的抛物线上，当x>-5时，y随x的增大而
为 P,且|AP|=6,试求a的值.
减小，则k的范围是
(
)
A.k≤-5
B. k>-5
C. k≤-15
D. k>-15
3.
( 河北中考)如图，y'
一段抛物线y=-x(x-
3)(0≤x≤3) 记为C₁,
它与x轴交于点 O,A₁;
C₂
将C ₁ 绕点 A₁ 旋转180°得到 C₂, 交x 轴于点
A₂; 将C₂ 绕点A₂ 旋转180°得到C₃, 交x 轴于
点A₃……如此进行下去,直至得到C₁₃.若P(37,
7.
如图，抛物线
的顶点为 M，
m)在第13段抛物线(C₁₃上, 则m=
.
对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A(-3，
4.
(沈阳模拟)定义：若一个函数的图象上
存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函
0)和B.将抛物线
绕点 B 按逆
数图象的“横纵相同点”.若将函数
时针方向旋转90°,点 M₁,A₁ 为点 M,A 旋转
2的图象绕x轴上一点 A 旋转180°，当旋转
后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于
后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，
C,D两点.
则点 A 的坐标为
.
(1)写出点 B 的坐标及求抛物线
5.
( 台州期中)如图，
已知抛物线 y₁ 开口向
c的解析式；
上且顶点 D 在 y 轴的
(2)设点 P 是旋转后抛物线上 DM₁ 之间的一
负半轴上，y₂ 由y₁ 先绕
动点.是否存在一点 P，使四边形 PM₁MD 的
顶点旋转180°，再平移
面积最大?如果存在，请求出四边形 PM₁MD
得到，它们与x轴的交点为A，B，C，且AB=
面积的最大值；如果不存在，请说明理由.
则抛物线y₂ 的顶点 E 的坐标
是
.
6.
( 江西中考)已知抛物线
a-1, 顶点为A, 若将抛物线m 绕着点(1,0)
旋转180°后得到抛物线n，顶点为 C.
(1)当a=1时，试求抛物线n的顶点 C的坐
标，再求它的解析式；
(2)在(1)中，请你分别在抛物线m，n上各
取一点 D，B(除点A，C外)，使得四边形
ABCD 为平行四边形(直接写出所取点的坐
学霸|5星数学函数
的
题型81
双抛物线问题
的
的
的
的
的
的
的
的
。
因
为
一
个
人
的
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
的
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
。
这
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
一
个
人
们
的
人
们
的
一
个
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
们
的
人
员
们
的
人
们
的
人
员
会
。
但
是
一
个
人
们
所需前置知识：
本书前置内容：
①一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
题型70
二次函数的交点问题——直线
②平面直角坐标系中的距离
①两条抛物线的交点个数问题
已知二次函数
与
令
得
若
则y ₁ 与y₂ 无交点；
若
则y ₁ 与y₂ 有一个交点；
若
, 则当Δ>0 时,y₁ 与y₂ 有两个交点;当Δ =0 时,y₁ 与y₂ 有一个交点;当Δ <0 时,
y₁ 与y₂ 无交点.
②两条抛物线与直线的交点个数问题
分别联立直线与每条抛物线，分类讨论直线与每条抛物线的交点个数.
③两条抛物线之间的距离最值
已知点 M(x ₁, y₁)在抛物线
上,点 N ( x₂, y₂)在抛物线
上.
若
则
根据二次函数性质求最值；
若
则
根据对称性或特殊关系，简化成二次函数求最值.
④判断点与两条抛物线围成的封闭图形的位置关系
已知二次函数
与
点 P  的坐标为(x₀, y₀ ).
步骤1：求两抛物线交点的横坐标：
步骤2：确定x₀ 与x₁，x₂ 大小关系，若
或.
，则点一定不在封闭图形内部.
步骤3：计算
时,y₁, y₂ 的值,假设
若
，则点在图形内部；否则不在.
例1
两条抛物线与直线的交点个数问题
如图，抛物线
与x 轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 C ₁，将
C₁ 向右平移得C₂，C₂ 与x 轴交于点B，D.若直线y = x+ n 与C₁，C₂ 共有3 个不同的交点，则n的取
值范围是
.
第四章二次函数学霸5星：
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
求两条抛物线之间的距离最值
抛物线
与抛物线
组成一个如图所
示的“月牙线”，二者与x轴有相同的交点
M，N( 点M 在点N 的左侧)，与y轴
的交点分别为A,B.已知点P (x₀, m) 和点Q(x₀, n)在“月牙线”上,且m>n, 若
m- n 的最大值为2，求m-n 取得最大值时AB的长.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
的
的
的
的
位
置
的
上
—
—
—
题型训练
S 建议用时:20 min
的图象也经过点 A.
1.
( 阜阳模拟)如图，抛
(1) 求二次函数y₂ 的解析式；
物线
与抛物线y=
(2) 直线y=m 与函数y₁，y₂的图象有两个交
相交于点 P(-2,
点，求m的值；
m)，过点 P 作x轴的平行
(3)如图②，将函数y₁ 的图象向右平移8个
线，与两条抛物线分别交于点 M，N.若M 是
单位长度得到函数y₃ 的图象，且函数y₃ 的
图象与函数y₂ 交于B,C 两点, 直线x= 2m+1
PN的中点，则
的值是
(
)
与y=m 交于点 M. 若点 M 位于 B,C 两点之
间的封闭曲线内(不包括边界)，请直接写出
A.
B.2
C.
D.3
m的取值范围.
2.
对于抛物线
及其所在坐标
平面内的点P，当过点 P 垂直于抛物线对称
轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个
交点位于点 P的两侧时，我们把点 P 称为抛
物线
的内点.现有抛物线L₁:y=
和
如果点 M
既是抛物线 L₁ 的内点，又是抛物线 L₂ 的内
点，那么点 M 的纵坐标 yM 的取值范围
是
.
3.
如图①，二次函数
0)的图象与y轴交于点A，二次函数
第四章
二次函数| 学霸5 星(
题型82
二次函数与几何——面积问题
第
三
(定值与数量关系)
—
—
①二次函数的图象与性质
所需前置知识
②简单几何图形的面积公式
本书前置内容
题型12
平面直角坐标系与几何——面积问题
主要数学思想
数形结合思想
二次函数中面积定值与数量关系问题
常见题型：①求证面积S 为定值；②已知面积比值
(k为常数)，求参数的值.
解题步骤：
步骤1：明确不动的量，找出题目中位置固定不变的几何要素(通常是抛物线与坐标轴的交点，
或者对称轴上的点)，这些定点之间的连线就是面积的底或高的来源.
步骤2：设动点坐标，动点 P 在抛物线
上，则可设点 P 的坐标为(
步骤3：用参数表示面积，根据图形选择求解面积的方法，如公式法、铅垂法或割补法等.
步骤4：解出参数或得出结论，根据题目要求列出方程或等式，若求证面积为定值，则化简解析
式，若化简结果不含参数m，即得证；若已知
则列出方程解出参数.
例
面积定值问题
如图，已知A，B，C是函数
图象上的动点，且三点的横坐标依次为a+1,a,a-1..
小华用软
件对△ABC 的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为
.
c 三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸|5星数学函数
第
步计算求解
的
人
物
自
己
题型训练
答案D93
建议用时:25 min
1.
(淄博中考)已知二次函数
4.
( 成都模拟)如图，在平面直角坐标系
的图象交x轴于 A，B两点.若其图象上有且
xOy 中，已知抛物线
经过点
只有 P₁, P₂, P₃ 三点满足
P( 2,1 ), 直线y = kx+1 ( k ≠0 )与抛物线交于
则m 的值是
(
)
A，B两点( 点A 在y 轴左侧，点B 在y 轴右
侧)，与y轴交于点 M.
A.1
B.
C.2
D.4
(1 )求抛物线的函数解析式；
2.
( 汉中模拟)已知抛物线
( 2)若作点 P 关于y 轴的对称点 P ', 直线AP'
与y轴交于点 D(0，3)，其顶点为点A，与x轴
与直线BP 相交于点 Q，试探究：△PP' Q 的面
交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧),连接 DB,
积是否为定值?若为定值，请求出△PP ' Q 的
面积；若不为定值，请说明理由.
DC，若在抛物线上存在点 P，使得
S△DBC，则点 
P 的坐标可以是
(
)
A.(2,-1
)
B.(0.5,1.25
)
3.
(抚州期中)抛物线
与x 轴交
于A(-4,0 ),B(2,0 ),与y轴交于点C(0,2 ).
(1 ) 这条抛物线所对应的函数的解析式
为
;
( 2)点 P 为抛物线上一点,连接CP,直线 CP
把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，则
点 P 的坐标为
.
第四章
二次函数| 学霸5 星?
的
题型83 二次函数与几何—— 面积问题( 最值)
的
人
们
的
人
们
①二次函数的图象与性质
所需前置知识
②二次函数的最值
题型12
平面直角坐标系与几何——面积问题
本书前置内容
题型67
二次函数区间最值问题——定轴区间
题型68
二次函数区间最值问题——动轴区间
主要数学思想
数形结合思想
二次函数中与面积相关的最值问题的解题策略：
①利用二次函数的性质求最值
设二次函数
上一动点 P 坐标为(
利用铅垂法或割补法将几
何图形面积用含有m的式子表示出来，利用二次函数的性质求最值.
②利用数形结合思想求最值
如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，P为抛物线在第一象限上的一点，平移
直线AB 至直线l，当直线l与抛物线只有一个交点P时，△PAB的面积取得最大值.
例
求动点三角形面积最大值
如图，抛物线
与x轴交于点A 和点 B，与y轴交于点 C.点D 是第三象限抛物线上
一动点，连接AD，AC，CD，则△ACD面积的最大值等于
(
)
D.
三步破题
第
步提取信息
学霸|5星数学函数
第
步对应题型
第
步计算求解
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
言
题型训练
建议用时:20 min
在B 的左侧),与y轴交于点 C,点 P 是 BC
1.
( 长春模拟)如图，
上方抛物线上一点，连接 AP 交 BC 于点 D，
在平面直角坐标系中，
连接AC,CP, 记△ACD 的面积为S₁, △PCD
抛物线
与
的面积为S₂，则
的最大值为
(
)
y轴交于点 A，过点A 平
行于x轴的直线交抛物
A.1
B.
C.
D.
线
于 B，C两点，点P 在抛物线
3.
抛物线
与x轴交于 A，B两
4x +1 上且在x 轴的上方, 连接PB,PC, 则
点，与y轴交于点 C，若点 M 是直线 AC下方
△PBC面积的最大值是
(
)
抛物线上一动点，则四边形 ABCM 面积的最
A.5
B.4.5
C.6
D.4
大值为
.
2.
( 绍兴期末)如
4.
已知抛物线
与x 轴
图，函数
交于A(-1,0),B(3,0) 两点, 与y 轴交于
4)(x+1) 的图象与
点 C.
x 轴交于A,B 两点(A
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 D 是抛物线上第一象限内的一个动
第四章二次函数学霸5星?
点,连接 AD,交 BC 于点 E.设
S△ACE，S是否存在最大值?如果存在，求出此6.
(徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，
时点 D的坐标及S的最大值；如果不存在，
已知抛物线
经过A(6,0),B(2,3)
请说明理由.
两点，P是抛物线上一点，且在直线 AB 的
上方.
(1)求抛物线的解析式；
(2) 若OP 交AB 于点C,PD∥BO 交AB 于点
D,记△CDP,△CPB,△CBO 的面积分别为
S₁, S₂, S₃.判断
是否存在最大值.若存
在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
变式
两个动点产生的面积最值问题
5.
如图，二次函数
的图象与
x 轴交于点A,B(-1,0), 对称轴是直线x=1,
与y轴交于点 C.点M，N同时从点A出发，都
以每秒1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC
边运动.
(1) 求该二次函数的解析式及点 A ，C 的
坐标；
( 2)当点 M运动到对称轴与x轴的交点时，
点 M往回运动，同时点N以2 倍的速度继续
沿AC运动，在整个运动过程中，以点A，M，N
为顶点的三角形面积是否存在最大值?若存
在，请求出这个最大值；若不存在，请说明
理由.
学霸|5星数学函数
题型84二次函数与几何——线段问题
二
十
七
(定值与数量关系)
第
二
十
所需前置知识：
本书前置内容：
①三角形相似
题型73
二次函数的交点问题——根系关系的
②平面直角坐标系中两点间距离
运用
模型
图示
已知条件
坐标表示
①水平线段
AB∥x
轴
②竖直( 铅垂)线段
AB∥y
轴
③斜线段
AB 不与坐标轴平行
AB⊥PN
④垂线段
AD⊥x 轴
⑤线段成比例关系
PA=kPB
二次函数中求线段定值的解题思路：
思路1：设点坐标→点参表示直线→点参表示关联点坐标→求出定值；
思路2：设直线解析式→线参表示点坐标→利用根与系数的关系消参→求出定值.
例1
已知线段比例关系求参
已知二次函数
的图象的顶点为N，在x轴上方的抛物线上对称轴两侧有两点 P(a，m)，
Q(a+6,n), 连接PQ, 过点N 作x 轴的垂线, 交 PQ 于点M, 若PM:QM=5:4, 则a=
.
第四章二次函数学霸5 星
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
求线段和定值
(贺州中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交x 轴
于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.过点D 作直线DE∥y轴，交
x轴于点E，点P 是抛物线上B，D两点间的一个动点(点P不与B，D两点重
合),直线PA,PB与直线DE分别交于点F,G,当点 P 运动时,EF+EG是否为定
值?若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
1
5
1
的
的
人
。
题型训练
建议用时:30 min
1.
如图，抛物线
与x轴交于A，
变式
两条抛物线上的线段成比例
C两点(点A在点C的左边)，对称轴与x 轴
3.
(葫芦岛模拟)抛物线
与
交于点 M，P为抛物线上对称轴左侧一点，直
抛物线
交
于
A(-1,m),
线 PM 交抛物线于另一点 Q，点P 关于抛物
B(3,n) 两点.
线对称轴的对称点为H，直线 HQ 交抛物线
(1) 求抛物线L₂ 的解析式；
对称轴于点 G.在点 P 运动过程中，GM 的长
(2)已知y是x的函数，其图象记为L，当
是否为定值?若为定值，请求出其值；若不为
y₂ 时,
当
时,y=y₂.直线y=x+k 与
定值，请求出其变化范围.
图象 L有四个交点，自左向右依次标记为M，
N,P,Q. 若MQ=2PN, 直接写出k 的值.
2.
抛物线
与x轴交于A，B两
4.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
点, 与y 轴交于点 C, 顶点为 D, 其中A(-3,
交x轴于A，B两点( 点A 在点B 的
0),D(-1,-4).
左侧)，其中A点坐标(-1，0)，交y轴负半轴
(1)求该抛物线的解析式；
于点C(0,-3).
(2)过抛物线对称轴上点 P 的直线交抛物线
(1)求出抛物线的解析式；
于 F,G两点,线段 FG的中点是 M,过点 M
(2)如图，点P 是第一象限抛物线上一点，过
点 P 的直线y= mx+n(n<0)与抛物线交于另
作y轴的平行线交抛物线于点 N.若
是一
外一点 Q.连接AP,AQ,分别交 y轴于 M,N
个定值，求点 P的坐标.
两点. 若OM•ON=3OA², 试探究m,n 之间的
数量关系，并说明理由.
第四章
二次函数|学霸5星
1
题型85
二次函数与几何——线段问题( 最值)
其
余
所需前置知识：
本书前置内容：
①二次函数的图象和性质
题型7
轴对称中的坐标变化
②二次函数的最值
题型84
二次函数与几何——线段问题(定值
③三角函数相关知识
与数量关系)
①利用二次函数性质解决线段最值问题
设抛物线上动点 P 的坐标，确定自变量取值范围；用横坐标或纵坐标表示出线段长，利用二次
函数性质确定最值.
②利用二次函数解决线段和的最值问题
模型一:如图①,两点在直线异侧,AM+BM≥AB;
如图②,两点在直线同侧,作点 B关于直线L的对称点 B',AM+BM≥AB'.
模型二: 如图③,sin∠MBN=k, 过点A 作AC⊥BN,PA+kPB≥PA+PC≥AC.
①
③利用二次函数解决线段差的最值问题
如图④,两点在直线同侧,|PA-PB|≤AB;
如图⑤,两点在直线异侧,作点B关于直线L的对称点 B',|PA-PB|≤AB'.
例
求线段或线段和最值
(东营中考改编)如图，抛物线
与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点 C.点M(3，2)是抛物线上的一点，点D 为抛物线上位于直线
BC上方的一点，过点 D 作DE⊥x轴交直线 BC 于点 E，点 P 为抛物线对称
轴上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求PD+PM 的最小值.
学霸|5星数学函数
三步破题
第
步提取信息
第❷步对应题型
第
步计算求解
第四章
二次函数| 学霸5 星(
—
—
(
)
题型训练
建议用时:25 min
1.
如图，点P 是抛物线
上第
变式
抛物线平移中的距离最值问题
一象限内一动点,A(0,3),B(3,0), 过点 P
4.
( 泰州期末)将二次函数
分别作 x 轴、y轴的平行线，分别交直线 AB
的图象一直向左平移，在平移过程中，图象与
于F，H两点，过点 P作AB的垂线，垂足为G.
y轴的交点 P 到一次函数y=2x+k(k<0)图象
下列说法中正确的是
(
)
的距离的最小值为
，则k的值为
.
5.
已知抛物线
(a,b,c
为常数，
a≠0),c<-1,
抛物线与x轴相交于点 A 和点
B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点 C.
若
OB=OC, 连接BC，点M和点N为直
线 BC上的两个动点(点N在点M的右侧)，
点F 为直线 BC 下方抛物线上的一
A. GH 的最大值为
个点,点 F 的横坐标为1, 连接AM,NF, 当
B. FG的最大值为
AM+NF 的最小值等于5 时，求c的值.
C. PF 的最大值为2
D. △PFG 周长的最大值为
2.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
与x轴从左到右依次交于A，B两
点，与y轴的交点为 C，P是抛物线对称轴右
侧图象上的一点，且在x轴的上方.若直线
BP 与抛物线对称轴交于点D，当|BD-CD | 取
得最大值时，点P 的坐标为
.
3.
( 深圳模拟)如图，在
平面直角坐标系中，二次
函数
的图象与
x轴交于A，C两点，与y轴
交于点B，若P是x轴上一
动点, 点Q(0,2) 在y 轴上, 连接PQ, 则PQ+
的最小值是
.
学霸| 5星数学函数
题型86
二次函数与几何——角度问题
的
是
是
(定值与数量关系)
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
①锐角三角函数
所需前置知识
②特殊三角形特征，三角形相似、全等
③角的平分线性质
本书前置内容
题型85
二次函数与几何——线段问题(最值)
主要数学思想
数形结合思想、分类讨论思想
①特殊角问题
当题目中出现特殊角时(如30°，
45°，
60°等)，构造等腰直角三角形、等边三角形、直角三角形
等特殊三角形或一线三垂直模型，再利用特殊三角形、相似三角形的性质计算求解.
一线三垂直模型:图①、图②中△ADC∽△CEB.
①
②等角问题
通常利用等腰三角形两底角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形和相似三角
形的对应角相等以及三角函数值相等解决问题.
③二倍角问题
利用角平分线：如图③，若∠β=
2 ∠α，可作∠β的平分线，将其划分为两个相等的角，进而利用
角平分线性质或构造全等三角形和相似三角形的方式解决问题.
利用等腰三角形外角性质：如图④，构造等腰三角形，使其顶角的外角为2 ∠α，则其底角
为∠α.
③
④
④和差角问题
对于和差角问题，常通过旋转、翻折、平移等几何变换方式构造角，将和差角问题转化为可求
解的几何关系.
第四章
二次函数| 学霸5 星
例1
特殊角问题
(连云港中考改编)如图，抛物线
与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C. Q 为抛物线
上一点,若∠ACQ=45°,点Q的坐标为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
例2
二倍角问题
(张家界中考改编)如图，抛物线
交x轴于A，B两点，交y轴于点
C.在直线BC上是否存在点 M，使AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2 倍?若存
在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
间
第
步计算求解
第四章二次函数学霸5星(
—
—
—
—
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
题型训练
建议用时:30 min
1.
( 菏泽中考改编)如图，抛物线
变式
已知角度为特殊角的和或差
bx+c(a≠0) 与x 轴交于A(-2,0),B(8,0) 两
3.
(广东中考)如图，已知顶点为C(0，-3)
点, 与y 轴交于点 C(0,4), 连接AC,BC.
的抛物线
与x轴交于 A,B
(1 )求抛物线的解析式；
两点,直线y=x+m过顶点 C 和点 B.
( 2)点 P 是抛物线上的一动点,当∠PCB=
(1 )求m的值.
∠ABC时,求点 P的坐标.
( 2)求抛物线
的解析式.
(3 )抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB=
15° ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，
请说明理由.
2.
(黄石中考改编)如图，抛物线
与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是
4.
(株洲中考改编)已知二次函数
bx+c( a>0).如图所示，该二次函数的图象与
第一象限内抛物线上的一点且横坐标为 m.
x 轴交于点A(x₁,0),B(x₂,0),.且.
连接CB,CP, 是否存在点 P, 使得∠BCO+
与y轴的负半轴交于点 C，点D 在线段 OC
2∠PCB =90 ° ? 若存在, 求m 的值, 若不存
在，请说明理由.
上, 连接AC,BD, 满足∠ACO=∠ABD,
.连接BC,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,点
在 y轴的负半轴上，连接AF，且
∠ACO=∠CAF+∠CBD,
求℃x 
₁
的值.
学霸|5星数学函数
题型87二次函数与几何——全等、相似关系
其
一
存在性问题
所需前置知识
①全等三角形的判定与性质
②相似三角形的判定与性质
本书前置内容
题型15
平面直角坐标系与几何——存在性问题
主要数学思想
分类讨论思想
分类
题型
解法
①△1≌△2
找到对应边，进而利用相等关系求解
全等三角形
对三边的对应关系进行分类讨论，再利用相等关系
②△1 与△2 全等
求解
③△1∽△2
找到对应边，进而利用比例关系求解
④△1 与△2 相似,其中找出已知等角，再对相似的可能情况进行分类讨论，利
相似三角形
存在一组已知等角
用对应边的比例关系求解
找出隐藏的一组等角(例如平行线、对顶角、圆周角
⑤△1 与△2 相似,其中
等)，再对相似的可能情况进行分类讨论，利用对应边
存在一组隐藏等角
的比例关系求解
例1
全等三角形的存在性问题
(黄冈中考改编)已知抛物线
与x轴相交于A，B两点，与y轴交
于点C，点N(n，0)是x轴上的动点.如图，若n<3，过点N作x轴的垂线交抛物线
于点 P,交直线 BC 于点 G.过点 P 作 PD⊥BC 于点 D,是否存在 n,使得△PDG≌
△BNG?若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章二次函数| 学霸5 星?
例2
相似三角形的存在性问题
如图，抛物线
交x 轴于A,B 两点, 交y 轴于点C(0,-3), 点 D
是线段 BC下方抛物线上的一个动点，过点 D 作 DE⊥x轴于点 E，交线段 BC于
点 F.是否存在点 D，使得△CDF 与△BEF 相似?若存在，求出点D 的坐标；若不
存在，请说明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
学霸|5星数学函数
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
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…
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…
…
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…
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…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
草
草
建议用时:25 min
1.
(陕西中考)如图，抛物线
经
3.
(衡阳中考改编)如图，已知抛物线y=
过点(3,12) 和(-2,-3), 与两坐标轴的交点
交x轴于A，B两点，将该抛物线位于
分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，
(1)求该抛物线的解析式；
得到的新图象记为“图象 W”，图象 W 交y轴
(2)P是该抛物线上的点，过点 P 作l的垂
于点 C.
线, 垂足为 D,E 是l 上的点. 要使以 P,D,E
(1)写出图象 W 位于线段AB 上方部分对应
为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件
的函数解析式；
的点 P，点E 的坐标.
(2)P为 x 轴正半轴上一动点，过点 P 作
PM∥y轴交直线 BC 于点 M,交图象 W 于点
N,是否存在这样的点 P,使△CMN 与△OBC
相似?若存在，求出所有符合条件的点 P 的
坐标；若不存在，请说明理由.
变式
先判断可能的相似关系再计算
2.
(十堰中考改编)如图，已知抛物线y=
经
过
点
A(-2,0),B(0,-4),
与
x轴交于另一点C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点 D，直线 BD 交
x 轴于点E, 使△ABE 与以A,B,C,E 中的三
点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在，
请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
第四章
二次函数|学霸5星
题型88二次函数与几何——特殊三角形
是
其
其
存在性问题
—
—
—
①等腰三角形的判定与性质
所需前置知识
②直角三角形的判定与性质
本书前置内容
题型15
平面直角坐标系与几何——存在性问题
主要数学思想
分类讨论思想
题型
解法
解法一：设出动顶点坐标，表示出三边长，再分类讨论列方程求解
①等腰三角形“两定解法二：根据“两圆一垂”构造等腰，再利用三角形全等、相似、三角函数等
一动”
知识点求解
②等腰三角形“一定设出动顶点坐标，表示出三边长，再分类讨论列方程求解
两动”
解法一：设出动顶点坐标，表示出三边长，再分类讨论根据勾股定理列出方
③直角三角形
程并求解
解法二：根据“两垂一圆”作出直角，并构造出一线三垂直模型，再利用三
角形全等、相似、勾股定理等知识点求解
例1
等腰三角形的存在性问题
(泰安中考改编)如图，在平面直角坐标系中，二次函数
交
x轴于点A，B，交y轴于点C，在y轴上有一点E(0，-2 )，连接AE.抛物线对称轴上
是否存在点P，使△AEP为等腰三角形?若存在，请直接写出所有点 P的坐标；若
不存在，请说明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸|5星数学函数
第
步计算求解
例2
直角三角形的存在性问题
(广安中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，C 两点，与
y轴交于点 B.点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P 的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章
二次函数| 学霸5星|
—
—
—
—
1
建议用时:25 min
物线C₂ 的解析式，并判断点 D 是否在抛物
1.
(本溪中考改编)如图，在平面直角坐标
线 C₂ 上.
系中,点 O 是原点,矩形 OABC 的顶点 A 在
(3 )在x轴上方的抛物线 C₂ 上，是否存在点
x轴的正半轴上，顶点 C 在 y 轴的正半轴上，
P，使△PBD是等腰直角三角形?若存在，请
求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
点 B的坐标是(5，3)，抛物线
经过A，C两点，与x轴的另一个交点是点 D，
连接 BD.
(1 )求抛物线的解析式；
( 2)点P 从点 D 出发，以每秒1 个单位长度
的速度沿 D→B 匀速运动，同时点 Q 从点 B
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿 B→A→
D 匀速运动，当点 P 到达点 B时，P，Q同时
3.
( 长沙中考改编)已知四个不同的点
停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值
A(x₁,y ₁),B(x₂,y
₂),C(x₃,y
₃ ),D(x₄,y
₄)都
时，以D，P，Q为顶点的三角形是等腰三角
在关于x的函数
(a,b,c
是常数，
形?请直接写出所有符合条件的值.
a≠0)的图象上.
(1 ) 当A,B 两点的坐标分别为(-1,-4
),
(3, 4)时,求代数式
的值；
( 2) 当a> 0 时，该函数图象与x轴交于E，F
两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：
请问是否存在实数m(m> 1)，使得AB，
CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且
该三角形的三个内角的大小之比为1：2：
3? 若存在，求出m的值和此时函数的最小
变式
等腰直角三角形的存在性问题
值；若不存在，请说明理由.(注：m·EF表示
2.
( 泰安中考)如图，抛物线
一条长度等于EF的m倍的线段)
的图象经过点 D(1，-1)，与x轴交于
点A, 点 B.
(1) 求抛物线C₁ 的解析式；
(2)将抛物线 C₁ 向右平移1个单位长度，再
向上平移3 个单位长度得到抛物线 C₂，求抛
学霸|5星数学函数
题型89二次函数与几何——特殊四边形
1
5
5
存在性问题
1
1
所需前置知识
①平行四边形的判定与性质
②矩形、菱形、正方形的判定与性质
题型5
两点之间的距离
题型9
中点坐标公式
本书前置内容
题型15
平面直角坐标系与几何——存在性问题
主要数学思想
分类讨论思想
平行四边形的存在性问题
①顶点顺序确定表示出四个顶点的坐标，根据对角线互相平分和中点坐标公式求解
②顶点顺序不先对动点位置根据顶点的不同顺序进行分类讨论(三种情况)，再根据对角线互
定，“三定一动”相平分和中点坐标公式求解
③顶点顺序不
先对已知两点连线段是平行四边形的边或对角线进行分类讨论，再对上述两种
情况中顶点的不同顺序进行进一步的讨论，最后根据对角线互相平分和中点坐
定，“两定两动”
标公式求解
矩形、菱形、正方形的存在性问题
先分类讨论确定平行四边形，再进一步讨论矩形：
④矩形的存在性
解法一：根据矩形对角线相等求解；
问题
解法二：根据矩形的四个角为直角，利用勾股定理等方法求解
先分类讨论确定平行四边形，再进一步讨论菱形：
⑤菱形的存在性
解法一：根据菱形的四条边相等求解；
问题
解法二：根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理等方法求解
先分类讨论确定平行四边形，再进一步讨论正方形：
⑥正方形的存在
解法一：根据正方形同时满足矩形、菱形的性质求解；
性问题
解法二：构造“一线三垂直”模型求解
例1
平行四边形的存在性问题
d (雅安中考改编)如图，二次函数
的图象与x轴交于点 A 和点 B，
与y轴交于点 C.点E 在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点 F，使得以A，
C，E，F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存
在，请说明理由.
第四章
二次函数1学霸5星?
c3三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
247
学霸|5星数学函数
例2
菱形的存在性问题
(泸州中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点 B.点C 是抛物线上位于第一象限的一个
动点，过点C作x轴的垂线交直线AB 于点 D，在y轴上是否存在点 E，使得以
B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说
明理由.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章
二次函数| 学霸5 星
题型训练
建议用时:40 min
1.
(自贡中考改编)如图，抛物线
变式
直角梯形的存在性问题
3.
( 安顺中考改编)如图，已知抛物线与
bx+4 与x轴交于A(-3,0
),B 两点, 与y 轴交
x 轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点, 与y 轴交于
于点 C.
点 C(0,3).
(1 )求抛物线的解析式及 B，C两点的坐标；
(1 )求抛物线的解析式；
( 2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四
( 2)设抛物线顶点为 D，点M是抛物线上一
边形，求点 D 的坐标.
点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯
形，试求出点 M的坐标.
( 西宁中考)如图，在平面直角坐标系
xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y=
点 A 的坐标是(-1,0),以原
点为中心，把点A 顺时针旋转90°，得到点A'.
(1 ) 直接写出点 A' 的坐标和抛物线的对
称轴；
4.
(无锡中考改编)已知二次函数
( 2) 当3 ≤x≤5 时,y有最大值为1-2a, 求抛
物线的解析式；
x+c的图象经过点
和点 B(2,1).
(3 ) 在(2)的条件下,若点 M在y轴上,点 N
(1 )求这个二次函数的解析式.
在坐标平面内，是否存在以点A'，P，M，N为
( 2) 点P,Q 在直线AB上,点 M 在该二次函
顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出
数图象上.问：在y轴上是否存在点 N，使得
所有符合条件的点 N的坐标；若不存在，请
以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形?若
说明理由.
存在，请直接写出所有满足条件的点 N的坐
标；若不存在，请说明理由.
学霸5星数学函数
的
人
。
题型90二次函数与几何——圆的相关性质
重
新
所需前置知识：
本书前置内容：
圆的相关性质
题型5
两点之间的距离
题型
解法
解法一：利用圆周角相等转化相似三角形求解
①点共圆问题
解法二：设出点的坐标，根据圆的定义求解
②定点与圆上一点距离的
设定点P, 圆C 上一点 Q, 则| PC-r | ≤PQ≤PC+r
最值
设圆心C到直线l的距离为d，圆C上一点到直线
③定直线与圆上一点距离l的距离为d'；
最值问题
的最值
若直线l与圆C 相交或相切，则(
若直线l 与圆C 相离, 则d-r≤d'≤d+r
④根据圆的几何性质求利用圆的性质或全等、相似等知识点将所求线段、
最值
面积等进行转化和求解
例1
点共圆问题
(遵义中考改编)在平面直角坐标系中，二次函数
的
图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.如图，经过A，B，C三点的圆交
y轴于点 F，求点F的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章二次函数学霸5星：
例2
最值问题
(宿迁中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数.
设点
P(m，n)是以点C(1，4)为圆心，1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴
相交于两点A，B，求
的最大值.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
有
一
个
…
…
…
…
题型训练
丷建议用时:40 min
C(0,4).
1.
( 海南中考改编)如图，抛物线
(1)求该抛物线的函数解析式；
bx+4 经过点A(-4,0),B(1,0), 交y 轴于点
(2) 过点A,O,C 的圆交抛物线于点 E,F, 连
学霸|5星数学函数
接AE,AF,EF, 判断△AEF 的形状, 并说明
理由.
变式
利用点与圆的位置关系判断角的类型
3.
(大庆中考改编)如图，已知二次函数y=
图象的对称轴为y轴，且过坐标原
点O 及点A(2
,3), 点 F 坐标为(0,1), 连
接AF 并延长交抛物线于点 E.
(1 )求二次函数的解析式；
( 2) 点 P(m,0) 为x 轴上的一个动点, 且
∠APE 为钝角，请直接写出实数 m 的取值
范围.
2.
(宁波中考改编)如图，二次函数
bx+c 的图象交x 轴于A(-1,0),B(2,0), 交
y 轴于C(0,-2), 过A,C 画直线.
(1)求二次函数的解析式；
(2)点M 在二次函数图象上，以M为圆心的
4.
( 济南中考改编)如图，抛物线
圆与直线AC 相切，切点为 H.若⊙M 的半径
bx+4(a≠0)
过
点
A(1,-1),B(5,-1),
与
y
轴交于点 C.
为
，求点M的坐标.
(1 )求抛物线的函数解析式；
( 2) 如图,⊙O₁过A,B,C 三点,AE 为直径, 点
M 为⊙O₁ 上的一动点(不与点A，E重合)，
∠MBN 为直角,边 BN 与 ME 的延长线交于
N，求线段BN长度的最大值.
第四章
二次函数学霸5星个
1
1
题型91
二次函数中的平行弦与相交弦
王
长
长
①一次函数的解析式及性质
所需前置知识
②二次函数根与系数的关系
题型26
两直线的位置关系
本书前置内容
题型70
二次函数的交点问题——直线
主要数学思想
数形结合思想
题型
条件
核心结论
已知A,B,C,D是函数
图象
二次函数中
上的四点且AB∥CD, 记A,B,C,D 四点
的平行弦
的横坐标分别为xA,xB,xC,xD
过抛物线
内部一点 P(m,
n)作任意两条直线
和y=
二次函数中
分别与抛物线交于点A，B，
的相交弦
C,D, 设点A,B,C,D 的横坐标分别为
xA,xB, xc,xD
二次函数中的平行弦的补充性质：
性质
性质1
性质2
性质3
模型
P
直线l∥AB 且l 与抛物线有
条件
AB∥CD,CE∥DF∥y
轴唯一公共点 D,DE∥y轴,交
AB∥CD, 延长 AC,BD 交于
点 P
AB 于点 E
结论
AE=BF
E为AB的中点
学霸|5星数学函数
二次函数中的相交弦的补充性质：
性质
性质1
性质2
模型
抛物线
的两条弦AB,CD 交于点 P
抛物线
的两条弦AB,CD 交(m,n),M,N 分别为AB,CD 的中点,kAB,kCD 分
条件
于点 P(m,n), 直线AC,BD 交于点 Q
别记为k₁,k₂
①若
(b为常数)，则直线 MN 过定点；
结论
点 Q 在定直线y=2amx-n 上
②若
(c为常数)，则直线MN 与定直线
平行
例1
二次函数中的平行弦问题
如图，已知抛物线
与x轴交于A，B两点( 点A 在点B 的左
边)，与y轴交于点 C.过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点
E, 若AE∶ED=1∶4, 则n 的值为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
第四章二次函数| 学霸5 星?
例2
二次函数中的相交弦问题
如图，抛物线
与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的负半轴
上，在y轴上有一动点G，作直线GA，GB，分别交抛物线于点M，N，若M，N两点的
横坐标分别为m，n，则m，n之间的数量关系为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
1
亻
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
的
s
建议用时:20 min
的纵坐标为
则点Q的坐标为
.
1.
如图，抛物线
与y 轴交于
变式二
利用相交弦的结论求参
点A, 与x 轴正半轴交于点 B, 直线y=kx+b
3.
如图，抛物线
与抛物线
交于 D，E两点，若
( 2a
-1)x-3a +1 经过A(-1,
AE∥BD, 点E,D 的横坐标分别为xE,xD, 若
0 ),B(3,
4 ) 两点, 直线y=
则抛物线的解析式为
.
-x+m与线段AB交于点 P,
与抛物线交于M，N两点
( 点M 在点N 的右侧),若PM·PN=6, 则m
的值为
.
4.
如图，在平面直角坐标
(第1题)
(第2题)
系中，已知抛物线
2x -6与x轴交于A,B两点,
变式一
利用平行弦的结论求参
与y轴交于点 C，连接BC.若
2.
如图，抛物线
与 y轴交于
动直线l与抛物线
交于M,N
点C，与x轴交于点A，B(其中点A在y轴左
两点( 直线l 与BC 不重合), 连接CN,BM, 直
侧，点B在y轴右侧)，对称轴为直线
线 CN与 BM 交于点 P.当MN∥BC 时,则点
过点 A 作 AQ∥BC 交抛物线于点 Q.若点 Q
P 的横坐标为
.
学霸|5星数学函数
下
题型92二次函数中的焦点、准线
焦点、准线：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等.这个点
称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线.
①两点之间的距离公式
所需前置知识
②点到直线的距离公式
题型5
两点之间的距离
本书前置内容
题型30
点到直线的距离
二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点
的距离与
它到定直线
的距离相等，则动点M形成的图形就是抛物线
该定义也常用于求解抛物线中的一些最值问题.
对于二次函数
可转化为
根据上述结论可知其焦点坐标为
准线为直线
至于形如
的二次函数可化为顶点式
然后通过由
平移来
确定焦点和准线.
二次函数
焦点F 的坐标为
准线为直线
性质
性质1
性质2
性质3
性质4
图形
M
M
N
N
AM⊥l 于点 M,
条件
AM⊥l 于点 M
AB 为过焦点 F的弦
BN⊥l 于点 N
BN⊥l 于点 N
结论
AF=AM
∠MFN=90 °
直线AO 过点 N
第四章
二次函数| 学霸5 星(
例1
焦点与准线的基本概念
已知F(x₀,y₀)为平面内一定点,直线l为y=-1. M(m,n)为抛物线
上一动点，且
点M 到直线l的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
第
步计算求解
例2
焦点与准线的最值转化
已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点P(m，n)是抛物线y=
上的一个动点.如图，设C的坐标为(2，5)，连接PC，当AP+PC的值最
小时，点P 的坐标为
.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸|5星数学函数
第
步计算求解
的
.
题型训练
①
建议用时:20 min
来说, 点 O(0,0) 为抛物线y₁ 的“焦
1.
在抛物线
的对称轴上存在
点”, 直线l:y=-2 即为抛物线y₁ 的“准线”.
一点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的
可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.
距离等于到直线
的距离，则定点 F 的
【应用】(1) 如图②,“ 焦点” 为 F(-4,-1) 、
坐标为
.
“准线”为l的抛物线
与y 轴
2.
已知坐标平面内的点D(4,3),F(2,1),
交于点 N(0，2 )，点M为直线FN与抛物线的
在抛物线
上找一点 Q，使
另一交点. MQ⊥l 于点 Q,直线 l 交 y 轴于
△DFQ 的周长最小，则此时△DFQ 周长的最
点 H.
①直接写出抛物线y₂ 的“准线”l：
；
小值为
.
②求
的值.
变式
利用焦点、准线求参
( 2)如图③，在平面直角坐标系xOy中，以原
3.
设直线
点O为圆心，半径为1 的⊙O 与x轴分别交
交抛物线
于A，B两点(A 在B 的左侧)，直线
8于点M，N，无论k为何
与⊙O 只有一个公共点 F，求以F为“焦点”、
值，平行于 x轴的直线
x轴为“准线”的抛物线
的解
上总存在唯一点
析式.
E,使得∠MEN为直角,则t的值为
.
4.
( 南平期末)【定义】我们定义：平面内到
一个定点 F 和一条直线l(点F 不在直线l
上)距离相等的点的集合叫作抛物线，其中
点 F 叫作抛物线的“焦点”，直线l叫作抛物
线的“准线”.例：如图①，对于抛物线
第四章二次函数|学霸5星|
—
—
—
—题型93
二次函数中的动点定直线与定点动直线
最
美
所需前置知识
①动直线过定点问题
②动点的轨迹问题
题型31
一次函数中的定点动直线与动点定直线
本书前置内容
题型70
二次函数的交点问题——直线
题型73
二次函数的交点问题——根系关系的运用
主要数学思想
函数与方程思想、数形结合思想
题型
题型解读
主要方法
①设点法：设点的轨迹，通过已知点的
动点定直线问题是指因图
轨迹，消去参数，从而得到定直线
二次函数中的动点定直线
②待定系数法：设出含参数的直线方
形变化或点的移动而产生
问题
程、待定系数法求解出系数
的动点在定直线上的问题
③特值法：通过特殊点位置求出直线方
程，对一般位置再检验
①直接法：通过题中条件，寻找直线y=
本质上即为一次函数中的kx+b中k 与b的关系，然后分离参数，
二次函数中的定点动直线定点动直线问题，但是需要使其系数为0求解出定点
问题
使用二次函数和题干条件②特值法：选取符合题干的两条动直
来得到直线方程
线，求出这两条直线的交点，并验证对
于其他动直线，该交点也在直线上
例1
二次函数中的动点定直线问题
如图，抛物线
与y轴交于点 C，一次函数y=kx+1的图象l与
抛物线交于P，D 两点.过点D作DE∥y轴交直线 PC于E，请说明点E一定在
某条确定的直线上运动，求出这条直线的解析式.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
学霸|5星数学函数
第
步计算求解
例2
二次函数中的定点动直线问题
如图，抛物线
与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，C
是AB 的中点，平行四边形 CDEF 的顶点 D，E均在抛物线上.若点 F 在抛物线上，
连接DF，求证：直线DF过一定点.
三步破题
第
步提取信息
第
步对应题型
中的二次函数中的定点动直线问题，选取合适参数表示直线 DF的解析式.
第
步计算求解
第四章
二次函数| 学霸5 星|
自
1
1
5
题型训练
①建议用时:20 min
2.
已知抛物线
经过点
1.
(武汉模拟)抛物线
( 2,3 ), 与x 轴交于A(-1,0),B 两点.
交x轴于A，B两点(A在B 左边)，交y轴于
(1 )求抛物线 C₁ 的解析式；
点 C.
( 2) 如图①, 过点A 的直线y=-x+b 交y 轴于
(1 )直接写出抛物线的对称轴.
E, 直线x=m(-1 <m<3) 交抛物线C₁ 于P, 交
( 2) 已知AB=4.
直线 AE 于 N,PN=2t,以PN 为对角线作正
①如图①，点D 在第二象限抛物线上，BD 交
方形PMNQ，若点Q恰好在抛物线C₁ 上，求t
AC 于点 E.若BE=2DE,求点 D 的坐标;
的值；
②如图②, 过点 T(-1,t)(t>0) 分别作直线
(3 )如图②，平移抛物线C₁，使其顶点在y轴
和直线
上，得到抛物线 C₂，过定点H(0，2 )的直线交
0)，直线l₁ 交抛物线于F，G两点，直线l₂ 交
抛物线C₂ 于M,N 两点, 过M,N 的直线MR,
抛物线于 M，N两点.设线段 FG，MN的中点
NR 与抛物线 C₂ 都只有唯一公共点，求证：点
分别为P，Q，若
且
求
R 在定直线上运动.
证：直线PQ 必经过一定点.
②
①
②
学霸|5星数学函数
自
然
自
己
建议用时:15 min
二次函数中的动点定直线与定点动直线在高中二年级会演变为抛物线中的定点、定直线问
题.相较于初中，高中的此类题目的题干条件会更为复杂、更为丰富.
初高中一致题型
二次函数中的动点定直线与定点动直线问题
直线y= kx+b 中的k 为直线的斜率, 若A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在该直线上,
新增方法
则
当直线平行于x轴时，斜率不存在
新增内容：引入斜率这样更复杂的条件(第1题)
考向差异
难度提升：更为一般的动点定直线问题(第2题)
1.
已知抛物线
的焦点为 F，
2.
已知抛物线
的焦点为 F，设动点
且
A(2,y₁),B(x₂,y
₂),C(x₃,y
₃) 为抛物线上
P 的坐标为(m,n).
三个不同的点, | AF | =2.
(1) 若m=2,n=1, 求过点P 与抛物线有且只
(1)求抛物线的方程；
有一个交点的直线方程；
(2)若直线AB，AC 的斜率之积为
证明：
(2)设过动点P的两条直线l₁，l₂ 均与抛物线
有且只有一个交点，且l₁，l₂ 的斜率分别为
直线 BC 过定点.
k₁,k₂, 满足
证明：动点 P
在一条定直线上.